CN106850183B - 一种全同态加密密文除法实现方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种新的全同态加密密文除法实现方法，可以实现对任意大小实数(数据)的加密并对两个加密密文执行密文同态除法运算。用户上传数据时，对数据进行多项式编码，然后进行全同态加密，将加密密文以及被除数的幂指数上传到云服务器，云服务器可以直接对上传到服务器上的任意两个加密密文执行除法运算，然后，云服务器将计算的结果返回给用户，用户使用加密算法的私钥进行解密，获取明文计算结果。

Description

一种全同态加密密文除法实现方法

技术领域

本发明属于密文数据处理技术领域，更为具体地讲，涉及一种全同态加密密文除法实现方法。

背景技术

随着云计算的发展，越来越多的数据需要上传到云服务器来存储和处理。在用户上传数据到云服务器，云服务器存储数据，并完成基于数据的相关计算的过程中，存储在云服务器上的数据，可能会暴露用户的隐私。因此，在上传数据前，对数据进行加密是保护用户隐私的有效手段。

但是，加密数据会使得数据的利用变得更加困难。全同态加密算法可以直接对加密的数据(加密密文)进行多次的加法和乘法运算。但是在许多的应用中，对于加密密文除了需要进行加法和乘法运算外，还需要进行其它的操作。在加密数据库(cryptDB)中，我们不仅需要对加密密文进行查询，还需要利用加密密文进行统计分析，这样，加密数据库(cryptDB)才能更加完备，以真正实用化。在加密数据库过程中，加密密文除法运算是数据库必须具备的基本功能之一。在加密密文处理过程中，我们需要使用加密密文的均值进行加密复合信号的解压。这样加密密文处理的速度可以得到极大提高。在大规模的数据统计和分析过程中，加密密文的除法运算也是基本操作之一。基于加密密文的机器学习，可以在保护用户和数据隐私的前提下，直接利用加密密文进行数据的分类，分析和预测分析。在基于密文的机器学习算法中，大量的算法涉及到除法运算。因此，加密密文的除法运算是基于密文机器学习的基本运算。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种全同态加密密文除法实现方法，以实现加密(密文)数据在云服务器中进行除法运算。

为实现上述发明目的，本发明全同态加密密文除法实现方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)、将需要上传到云服务器的数据编码为多项式，多项式的系数为0或1，以满足全同态加密要求；

(2)、首先，用户本地对需要在云服务器进行除法计算的两个数据p₁、p₂的多项式q₁(x)、q₂(x)分别进行全同态加密，得到的密文分别为E(q₁(x))、E(q₂(x))，其中：

E(q₁(x))＝a₀+a₁x+…+a_m-1x^m-1

E(q₂(x))＝b₀+b₁x+…+b_n-1x^n-1 (1)；

其中，E表示基于NTRU(Number Theory Reseach Unit)的全同态加密，密文E(q₁(x))也为多项式，a₁～a_m-1为多项式的系数；密文E(q₂(x))也为多项式，b₁～b_n-1为多项式的系数；x为多项式的自变量；

然后，计算幂指数j，幂指数j为整数，并且使得数据p₂的满足

2^j-1≤p₂≤2^j (2)；

最后，得到加密密文E(q₁(x))、E(q₂(x))以及幂指数j上传至云服务器；

(3)、快速傅里叶变换的密文计算

在云服务器中，构建一个快速傅里叶变换密文计算函数DFT_ω,T(E(q(x))，用于计算加密密文E(q(x))在每个T次本原单位元根ω处的密文，ω^T＝1，T为2的整数次幂，加密密文E(q(x))为多项式，表示为：

E(q(x))＝c₀+c₁x+…+c_w-1x^w-1；

其中，c₁～c_w-1为多项式的系数，所述T<w/2；

对于加密密文E(q(x))的快速傅里叶变换的密文计算为：

3.1)、如果T＝1，则直接返回加密密文E(q(x))的多项式各项系数，多项式各项系数组成一个向量，作为加密密文E(q(x))在每个T次本原单位元根处的密文，表示为DFT_ω,T(E(q(x))；

3.2)、如果T≠1，则：

3.2.1)、计算加密密文E(q(x))的第t项和t+T/2项密文的和，其中，t＝0,1,2,…,T-1，得到计算结果：

3.2.2)、计算加密密文E(q(x))的第t项和t+T/2项密文的差，其中，t＝0,1,2,…,T-1，得到计算结果：

3.2.3)、将步骤3.2.1)获得的结果中的t项分别与T次本原单位元根ω的t次幂相乘求和，得到计算结果：

3.2.4)、对计算结果D(x)、F(x)分别进行离散傅里叶变换，即：

DFT_ω,T:D(x)→(D(1),D(ω),D(ω²)，…，D(ω^T-1))

DFT_ω,T:F(x)→(F(1),F(ω),F(ω²)，…，F(ω^T-1)) (6)；

这样得到两个向量(D(1),D(ω),D(ω²)，…，D(ω^T-1))、(F(1),F(ω),F(ω²)，…，F(ω^T-1))；

3.2.5)、将步骤3.2.4)得到的两个向量的分量进行交叉，构成一个新的向量，即加密密文E(q(x))在每个T次本原单位元根处的密文，表示为DFT_ω,T(E(q₁(x))，即：

DFT_ω,T(E(q(x))＝(D(1),F(1),D(ω),F(ω),…D(ω^T-1),F(ω^T-1)) (7)；

(4)、密文乘积计算

在云服务器中，根据步骤(3)构建的快速傅里叶变换密文计算函数，得到任意两个多项式q′(x)、E(q″(x))的密文乘积E(q′(x))E(q″(x))为：

(5)、计算多项式E(r(x))

在云服务器中，根据以下步骤计算多项式E(r(x))：

5.1)、如果加密密文E(q₁(x))的次数小于加密密文E(q₂(x))的次数，则直接返回E(r(x))＝E(q₁(x))；

5.2)、如果加密密文E(q₁(x))的次数大于等于加密密文E(q₂(x))的次数，则：

5.2.1)、令k为加密密文E(q₁(x))减去加密密文E(q₂(x))得到的多项式的幂次；

5.2.2)、计算加密密文E(q₁(x))的逆(即多项式的逆)，记为即：

其中，k₁是加密密文E(q₁(x))的幂次，计算时，将作为公式(8)中的q′(x)，作为公式(8)中的q″(x)，按照公式(8)进行计算；

计算加密密文E(q₂(x))的逆(即多项式的逆)，记为即：

其中，k₂是加密密文E(q₂(x))的幂次，计算时，将作为公式(8)中的q′(x)，作为公式(8)中的q″(x)，按照公式(8)进行计算；

5.2.3)、计算多项式E^*(h(x))

多项式E^*(h(x))等于模(mod)x^k+1；

5.2.4)、计算多项式E(r(x))

E(r(x))＝E(q₁(x))-E(h(x))E(q₂(x)) (11)；

其中：

E(h(x))＝rev_kE^*(h(x)) (12)；

计算时，将E(h(x))作为公式(8)中的E(q′(x))，E(q₂(x))作为公式(8)中的q″(x)，按照公式(8)进行计算；

(6)、在云服务器中，根据以下公式，计算数据p₂的倒数密文：

Eⁱ(r(x))＝(E(r(x)))ⁱ (13)；

其中，z为幂次；

(7)、在云服务器中，根据以下公式，计算出：

然后，发送回用户。

本发明的目的是这样实现的。

本发明提出了一种新的全同态加密密文除法实现方法，可以实现对任意大小实数(数据)的加密并对两个加密密文执行密文同态除法运算。用户上传数据时，对数据进行多项式编码，然后进行全同态加密，将加密密文以及被除数的幂指数上传到云服务器，云服务器可以直接对上传到服务器上的任意两个加密密文执行除法运算，然后，云服务器将计算的结果返回给用户，用户使用加密算法的私钥进行解密，获取明文计算结果。

附图说明

图1是本发明全同态加密密文除法实现方法一种具体方式流程图；

图2是图1所示的基于编码的数据多项式表示的流程图；

图3是图1所示的快速傅里叶变换的密文计算流程图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式进行描述，以便本领域的技术人员更好地理解本发明。需要特别提醒注意的是，在以下的描述中，当已知功能和设计的详细描述也许会淡化本发明的主要内容时，这些描述在这里将被忽略。

图1是本发明全同态加密密文除法实现方法一种具体方式流程图。

在本实施例中，如图1所示，本发明包括以下步骤：

步骤S1：将需要上传到云服务器的数据编码为多项式，多项式的系数为0或1，以满足全同态加密要求。

对任意大小的实数即数据u需要上传到云服务器前，进行全同态加密时，需要首先使用以下编码方式对实数进行编码。

在本实施例中，如图2所示，编码分为两步，即步骤S101：对于任意一个数据u，我们首先利用补码和比例数格式编码结合的方法进行编码，将数据u转化成一个正整数。步骤102：对转化后得到的正整数，使用基于特征为2的有限域进行第二次编码。经过这样的编码后，该数据可以编码为多项式u(x)，该多项式可表示为：

u(x)＝d₀+d₁x+…+d_h-1x^h-1

其中，多项式u(x)的各项系数d₀,d₁,...,d_h-1为0或1。经过这样的转换以后，得到的多项式满足全同态加密要求。

步骤S2：首先，用户本地对需要在云服务器进行除法计算的两个数据p₁、p₂的多项式q₁(x)、q₂(x)分别进行全同态加密，得到的密文分别为E(q₁(x))、E(q₂(x))，其中：

E(q₁(x))＝a₀+a₁x+…+a_m-1x^m－1

E(q₂(x))＝b₀＋b₁x+…+b_n-1x^n-1 (1)；

其中，E表示全同态加密，密文E(q₁(x))也为多项式，a₁～a_m-1为多项式的系数；密文E(q₂(x))也为多项式，b₁～b_n-1为多项式的系数；x为多项式的自变量；

然后，计算幂指数j，幂指数j为整数，并且使得数据p₂的满足

2^j-1≤p₂≤2^j (2)；

最后，得到加密密文E(q₁(x))、E(q₂(x))以及幂指数j上传至云服务器；

步骤S3：快速傅里叶变换的密文计算

在云服务器中，构建一个快速傅里叶变换密文计算函数DFT_ω,T(E(q(x))，用于计算加密密文E(q(x))在每个T次本原单位元根ω处的密文，ω^T＝1，T为2的整数次幂，加密密文E(q(x))为多项式，表示为：

E(q(x))＝c₀+c₁x＋．．．＋c_w-1x^w－1；

其中，c₁～c_w-1为多项式的系数，所述T<w/2。

在本实施例中，如图3所示，对于加密密文E(q(x))的快速傅里叶变换的密文计算为：

步骤S301：如果T＝1，则直接返回加密密文E(q(x))的多项式各项系数，多项式各项系数组成一个向量，作为加密密文E(q(x))在每个T次本原单位元根处的密文，表示为DFT_ω,T(E(q(x))；

步骤302：如果T≠1，则：

步骤3021：计算加密密文E(q(x))的第t项和t+T/2项密文的和，其中，t＝0,1,2,…,T-1，得到计算结果：

步骤3022：计算加密密文E(q(x))的第t项和t+T/2项密文的差，其中，t＝0,1,2,…,T-1，得到计算结果：

步骤3023：将步骤3021)获得的结果中的t项分别与T次本原单位元根ω的t次幂相乘求和，得到计算结果：

步骤3024：对计算结果D(x)、F(x)分别进行离散傅里叶变换，即：

DFT_ω,T:D(x)→(D(1),D(ω),D(ω²)，…，D(ω^T-1))

DFT_ω,T:F(x)→(F(1),F(ω),F(ω²)，…，F(ω^T-1)) (6)；

这样得到两个向量(D(1),D(ω),D(ω²)，…，D(ω^T-1))、(F(1),F(ω),F(ω²)，…，F(ω^T-1))；

步骤3025：将步骤3024得到的两个向量的分量进行交叉，构成一个新的向量，即加密密文E(q(x))在每个T次本原单位元根处的密文，表示为DFT_ω,T(E(q₁(x))，即：

DFT_ω,T(E(q(x))＝(D(1),F(1),D(ω),F(ω),…D(ω^T-1),F(ω^T-1)) (7)；

步骤S4：密文乘积计算

在云服务器中，根据步骤S3构建的快速傅里叶变换密文计算函数，得到任意两个多项式q′(x)、E(q″(x))的密文乘积E(q′(x))E(q″(x))为：

步骤S5：计算多项式E(r(x))

在云服务器中，根据以下步骤计算多项式E(r(x))：

5.1)、如果加密密文E(q₁(x))的次数小于加密密文E(q₂(x))的次数，则直接返回E(r(x))＝E(q₁(x))；

5.2)、如果加密密文E(q₁(x))的次数大于等于加密密文E(q2(x))的次数，则：

5.2.1)、令k为加密密文E(q1(x))减去加密密文E(q2(x))得到的多项式的幂次；

5.2.2)、计算加密密文E(q₁(x))的逆(即多项式的逆)，记为即：

其中，k₁是加密密文E(q1(x))的幂次，计算时，将x^k1作为公式(8)中的q′(x)，作为公式(8)中的q″(x)，按照公式(8)进行计算；

计算加密密文E(q₂(x))的逆(即多项式的逆)，记为即：

其中，k₂是加密密文E(q2(x))的幂次，计算时，将x^k2作为公式(8)中的q′(x)，作为公式(8)中的q″(x)，按照公式(8)进行计算；

5.2.3)、计算多项式E^*(h(x))

多项式E^*(h(x))等于模(mod)x^k+1；

5.2.4)、计算多项式E(r(x))

E(r(x))＝E(q₁(x))-E(h(x))E(q₂(x)) (11)；

其中：

E(h(x))＝rev_kE^*(h(x))(12)；

计算时，将E(h(x))作为公式(8)中的E(q′(x))，E(q₂(x))作为公式(8)中的q″(x)，按照公式(8)进行计算；

步骤S6：在云服务器中，根据以下公式，计算数据p₂的倒数密文：

其中，z为幂次；

步骤S7：在云服务器中，根据全同态加密的乘法同态运算，依据以下公式，计算出：

然后，发送回用户。

上述全同态加密密文除法实现方法满足CPA安全，即选择明文安全性。

应用：

(1)、在加密的数据库系统中，我们可以使用上述的同态加密除法实现方法，实现针对加密数据的相关统计分析。

用户上传加密的数据(使用全同态加密算法)，云服务器做相关的统计分析计算。假设需要统计的数据为x₁,x₂,...,x_n，云服务器上对应的密文是E(x₁),E(x₂),...,E(x_n)，云服务器根据上述的全同态密文除法运算可以求解均值，期望，协方差和方差等。云服务器完成计算后，将结果返回给用户，用户用私钥解密，就可以得到计算结果。

(2)、在机器学习领域，特别是需要利用加密数据实现基于密文的机器学习领域，很多算法都需要使用密文的除法计算。例如在基于Fisher分类器的数据分类算法中，我们在计算各类样本均值向量Fisher准则函数和选定分界阈值点等都需要使用密文数据除法运算。在多层感知机分类模型和反馈式神经网络算法中Logistic函数和局部梯度等的计算都需要使用密文数据除法运算。

本发明除了可以使用在上述所举的应用示例外，还有很多其它涉及密文除法计算应用。

尽管上面对本发明说明性的具体实施方式进行了描述，以便于本技术领域的技术人员理解本发明，但应该清楚，本发明不限于具体实施方式的范围，对本技术领域的普通技术人员来讲，只要各种变化在所附的权利要求限定和确定的本发明的精神和范围内，这些变化是显而易见的，一切利用本发明构思的发明创造均在保护之列。

Claims (1)

1.一种全同态加密密文除法实现方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)、将需要上传到云服务器的数据编码为多项式，多项式的系数为0或1，以满足全同态加密要求；

(2)、首先，用户本地对需要在云服务器进行除法计算的两个数据p₁、p₂的多项式q₁(x)、q₂(x)分别进行全同态加密，得到的密文分别为E(q₁(x))、E(q₂(x))，其中：

E(q₁(x))＝a₀+a₁x+…+a_m-1x^m-1

E(q₂(x))＝b₀+b₁x+…+b_n-1x^n-1 (1)；

其中，E表示基于NTRU的全同态加密，密文E(q₁(x))也为多项式，a₁～a_m-1为多项式的系数；密文E(q₂(x))也为多项式，b₁～b_n-1为多项式的系数；x为多项式的自变量；

然后，计算幂指数j，幂指数j为整数，并且使得数据p₂的满足

2^j-1≤p₂≤2^j (2)；

最后，得到加密密文E(q₁(x))、E(q₂(x))以及幂指数j上传至云服务器；

(3)、快速傅里叶变换的密文计算

在云服务器中，构建一个快速傅里叶变换密文计算函数DFT_ω,T(E(q(x))，用于计算加密密文E(q(x))在每个T次本原单位元根ω处的密文，ω^T＝1，T为2的整数次幂，加密密文E(q(x))为多项式，表示为：

E(q(x))＝c₀+c₁x+…+c_w-1x^w-1；

其中，c₁～c_w-1为多项式的系数，所述T<w/2；

对于加密密文E(q(x))的快速傅里叶变换的密文计算为：

3.1)、如果T＝1，则直接返回加密密文E(q(x))的多项式各项系数，多项式各项系数组成一个向量，作为加密密文E(q(x))在每个T次本原单位元根处的密文，表示为DFT_ω,T(E(q(x))；

3.2)、如果T≠1，则：

3.2.1)、计算加密密文E(q(x))的第t项和t+T/2项密文的和，其中，t＝0,1,2,…,T-1，得到计算结果：

3.2.2)、计算加密密文E(q(x))的第t项和t+T/2项密文的差，其中，t＝0,1,2,…,T-1，得到计算结果：

3.2.3)、将步骤3.2.1)获得的结果中的t项分别与T次本原单位元根ω的t次幂相乘求和，得到计算结果：

3.2.4)、对计算结果D(x)、F(x)分别进行离散傅里叶变换，即：

DFT_ω,T:D(x)→(D(1),D(ω),D(ω²)，…，D(ω^T-1))

DFT_ω,T:F(x)→(F(1),F(ω),F(ω²)，…，F(ω^T-1)) (6)；

这样得到两个向量(D(1),D(ω),D(ω²)，…，D(ω^T-1))、(F(1),F(ω),F(ω²)，…，F(ω^T-1))；

3.2.5)、将步骤3.2.4)得到的两个向量的分量进行交叉，构成一个新的向量，即加密密文E(q(x))在每个T次本原单位元根处的密文，表示为DFT_ω,T(E(q₁(x))，即：

DFT_ω,T(E(q(x))＝(D(1),F(1),D(ω),F(ω),…D(ω^T-1),F(ω^T-1)) (7)；

(4)、密文乘积计算

在云服务器中，根据步骤(3)构建的快速傅里叶变换密文计算函数，得到任意两个多项式q′(x)、E(q″(x))的密文乘积E(q′(x))E(q″(x))为：

(5)、计算多项式E(r(x))

在云服务器中，根据以下步骤计算多项式E(r(x))：

5.1)、如果加密密文E(q₁(x))的次数小于加密密文E(q₂(x))的次数，则直接返回E(r(x))＝E(q₁(x))；

5.2)、如果加密密文E(q₁(x))的次数大于等于加密密文E(q₂(x))的次数，则：

5.2.1)、令k为加密密文E(q₁(x))减去加密密文E(q₂(x))得到的多项式的幂次；

5.2.2)、计算加密密文E(q₁(x))的逆(即多项式的逆)，记为即：

其中，k₁是加密密文E(q₁(x))的幂次，计算时，将作为公式(8)中的q′(x)，作为公式(8)中的q″(x)，按照公式(8)进行计算；

计算加密密文E(q₂(x))的逆(即多项式的逆)，记为即：

其中，k₂是加密密文E(q₂(x))的幂次，计算时，将作为公式(8)中的q′(x)，作为公式(8)中的q″(x)，按照公式(8)进行计算；

5.2.3)、计算多项式E^*(h(x))

多项式E^*(h(x))等于模(mod)x^k+1；

5.2.4)、计算多项式E(r(x))

E(r(x))＝E(q₁(x))-E(h(x))E(q₂(x)) (11)；

其中：

E(h(x))＝rev_kE^*(h(x)) (12)；

计算时，将E(h(x))作为公式(8)中的E(q′(x))，E(q₂(x))作为公式(8)中的q″(x)，按照公式(8)进行计算；

(6)、在云服务器中，根据以下公式，计算数据p₂的倒数密文：

Eⁱ(r(x))＝(E(r(x)))ⁱ (13)；

其中，z为幂次；

(7)、在云服务器中，根据以下公式，计算出：

然后，发送回用户。