CN106777663A - 一种考虑天然裂缝的压裂液滤失速度计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑天然裂缝的压裂液滤失速度计算方法，包括：(A)将缝长为L的天然裂缝划分为长度相等的N个单元体，将总计算时间T划分为间隔相同的M个时间节点；(B)假设在第k个时间节点天然裂缝入口处的压力估计值为(C)计算在第k个时间节点第i个单元体中的压力和天然裂缝的宽度(D)计算在第k个时间节点压裂液通过天然裂缝的滤失速度(E)计算在第k个时间节点天然裂缝入口处水力裂缝的宽度(F)确定在第k个时间节点天然裂缝入口处的压力计算值(G)设定求解精度ε，计算求解误差α，若α≤ε，步骤(D)得到的

Description

一种考虑天然裂缝的压裂液滤失速度计算方法

技术领域：

本发明涉及石油天然气勘探开发领域，尤其是水力压裂领域中一种考虑天然裂缝的压裂液滤失速度计算方法。

背景技术：

水力压裂技术是低渗透油气藏增产改造的重要措施。水力压裂是利用地面高压泵组，以超过地层吸收能力的排量将压裂液泵入地层来产生水力裂缝，然后继续注入带有支撑剂(砂粒)的压裂液，使裂缝继续延伸并在其中充填支撑剂，当压裂液返排后，在地层压力作用下，支撑剂在裂缝中起到支撑裂缝的作用，阻止裂缝闭合，从而在地层中形成具有一定长度和流动能力的填砂裂缝。

压裂液滤失是水力压裂过程中必然存在的现象，具体指的是压裂液在裂缝中流动时会渗透进入地层。压裂液的滤失流量(也称滤失速度)影响着裂缝中压力的分布情况，进而影响裂缝几何尺寸(长、宽、高)和储层增产改造效果，因此在水力压裂过程需要准确计算压裂液的滤失速度。

天然裂缝是相对于人工裂缝而言的，指的是地层中由于地壳运动或其他自然因素而天然存在的一类裂缝。地层中的天然裂缝不会完全闭合，具有一定初始缝宽，当水力裂缝在延伸过程中与天然裂缝相交时，大量压裂液将通过天然裂缝滤失到地层，因此天然裂缝的存在对压裂液滤失速度具有显著影响，在计算过程中应特别考虑。

有限差分方法是一种常用的数值解法，它是在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值。有限差分方法有显式和隐式两种格式，隐式差分格式是绝对稳定的，而显式差分格式则需满足一定条件才能达到稳定。

针对考虑天然裂缝的压裂液滤失速度计算方法，国内外学者已经做了许多相关研究，大多数都是采用渗流力学理论来描述天然裂缝中压裂液滤失情况，但压裂液在天然裂缝中的流动已经超出了渗流范畴，因此这些方法都不能很好地反映实际压裂液的滤失情况。

发明内容：

本发明的目的在于提供一种考虑天然裂缝的压裂液滤失速度计算方法，该方法原理可靠，计算精度高，能够精确计算出水力压裂过程中压裂液的滤失速度，进而为压裂方案设计提供有效指导。

为达到以上技术目的，本发明提供以下技术方案。

在发育有天然裂缝的地层中，压裂液通过水力裂缝壁面的滤失速度要远小于其通过天然裂缝的滤失速度，所以在计算过程中可忽略水力裂缝壁面的滤失情况。在给定天然裂缝和岩石基础参数的前提下，本发明采用迭代方法先计算得到天然裂缝内压力分布情况，然后再求解压裂液通过天然裂缝的滤失速度。

一种考虑天然裂缝的压裂液滤失速度计算方法，依次包括以下步骤：

(A)将缝长为L的天然裂缝划分为长度相等的N个单元体，每个单元体的长度为L/N；同时将总计算时间T划分为间隔相同的M个时间节点，相邻时间节点的间隔时间为T/M；

(B)假设在第k个时间节点(k＝1,2,···,M)，水力裂缝与天然裂缝相交位置处，即天然裂缝入口处，其压力估计值为

(C)基于步骤(A)的划分结果和步骤(B)的假设，计算在第k个时间节点第i个单元体中的压力和天然裂缝的宽度

(D)基于步骤(C)的结果，计算在第k个时间节点压裂液通过天然裂缝的滤失速度

(E)基于步骤(D)的结果，计算在第k个时间节点天然裂缝入口处水力裂缝的宽度w^k；

(F)基于步骤(E)的结果，确定在第k个时间节点天然裂缝入口处的压力计算值

(G)设定求解精度ε，并用以下公式计算求解误差α：

若α≤ε，步骤(D)计算得到的即为第k个时间节点压裂液通过天然裂缝的滤失速度；

若α＞ε，则用压力计算值代替压力估计值重复步骤(B)～(G)，直至α≤ε。

所述步骤(A)中采用的是离散思想。将缝长为L的天然裂缝划分为长度相等的N个单元体是空间离散思想。如果要确定整条天然裂缝中所有位置处的压力(或其它参数)，则需要求解天然裂缝中压力分布的解析解，这是十分困难的。但如果将天然裂缝划分为多个单元体，假设在同一个单元体中压力是均匀的，然后分别计算出各个单元体中的压力，并以此来分析整条天然裂缝中的压力分布规律，这种思路就更为简单，并且可行度更高。

将总计算时间T划分为间隔相同的M个时间节点是时间离散思想，具体原理与空间离散类似，此处就不再赘述。需特别注意的是，此处计算时间T的起始点是水力裂缝与天然裂缝相交的时刻。

所述步骤(B)中，第k个时间节点(k＝1,2,···,M)，水力裂缝与天然裂缝相交位置处(天然裂缝入口处)的压力估计值推荐采用如下方法进行估计：

其中，p_r表示地层压力。

所述步骤(C)中，计算在第k个时间节点第i个单元体中的压力和天然裂缝的宽度所采用的公式为：

式中：——在第k个时间节点第i个单元体中的压力，Pa；特别地，当i＝0时表示天然裂缝入口处的压力，其值由步骤(B)给出；当i＝N+1时表示天然裂缝出口处的压力，其值为地层压力；当k＝0时表示初始时刻的压力，在初始时刻天然裂缝各位置处压力均为地层压力。

μ——压裂液的黏度，Pa·s；

Δx——单元体的长度(即L/N)，m；

Δt——相邻时间节点的间隔时间(即T/M)，s；

K_n——天然裂缝法向刚度，Pa/m；

——在第k个时间节点第i个单元体中天然裂缝的宽度，m；特别地，当i＝0时表示天然裂缝入口处的宽度，当i＝N+1时表示天然裂缝出口处的宽度；

b_r——天然裂缝的初始宽度，m；

p_r——地层压力，Pa。

该公式的推导过程如下：

1)流体在天然裂缝中的流动属于裂隙流，其流动规律可以由1868年俄国布辛习涅斯基提出的立方定律加以描述：

式中：u——流体在天然裂缝中的流动速度，m/s；

b——天然裂缝宽度，m；

μ——流体黏度，Pa·s；

——压力梯度，Pa/m。

2)天然裂缝的变形方程可表示为(Ozdemirtas M,Babadagli T,KuruE.Experimental and numerical investigations of borehole ballooning in roughfractures[J].SPE Drilling&Completion,2009,24(2):256-265)：

式中：b——当天然裂缝内流体压力为p时天然裂缝的宽度，m；

b_r——天然裂缝的初始宽度，m；

p——天然裂缝内流体压力，Pa；

p_r——地层压力，Pa；

K_n——天然裂缝的法向刚度，Pa/m。

3)当流体在天然裂缝中流动时，不考虑流体沿天然裂缝壁面的滤失。根据物质平衡原理，流体流动的连续性方程可表示为(李颖川.采油工程[M].北京:石油工业出版社,2009:226)：

其中，q＝u×H₁×b、A＝H₁×b，并且H₁为定值，因此连续性方程可化简为：

式中：q——天然裂缝中x断面处流体的流量，m³/s；

A——天然裂缝中x断面处裂缝(长方形)的横截面积，m²；

u——天然裂缝中x断面处流体的流速，m/s；

H₁——天然裂缝的高度，m；

b——天然裂缝中x断面处裂缝的宽度，m。

4)将式(1)、式(2)带入式(4)则可得到如下方程：

首先，上式是连续方程，为了求解得到在各个时间节点、各单元体中的压力和天然裂缝宽度，需要对该方程进行隐式有限差分：

式中：——在第k个时间节点第i个单元体中的压力，Pa；特别地，当i＝0时表示天然裂缝入口处的压力，其值由步骤(B)给出；当i＝N+1时表示天然裂缝出口处的压力，其值为地层压力；当k＝0时表示初始时刻的压力，在初始时刻天然裂缝各位置处压力均为地层压力。

μ——压裂液的黏度，Pa·s；

K_n——天然裂缝的法向刚度，Pa/m；

Δx——单元体的长度(即L/N)，m；

Δt——相邻时间节点的间隔时间(即T/M)，s。

其次，式(6)中和可采用调和平均计算方法得到：

式中：——在第k个时间节点第i个单元体中天然裂缝的宽度，m；特别地，当i＝1时表示天然裂缝入口处的宽度，为待求的未知量，为保持符号一致性直接用表示；同理，当i＝N时表示天然裂缝出口处的宽度，也直接用表示。

最后，将式(7)、式(8)带入式(6)则可得到如下公式：

所述步骤(D)中，计算在第k个时间节点压裂液通过天然裂缝的滤失速度所采用的公式为：

式中：——在第k个时间节点压裂液通过天然裂缝的滤失速度，m³/s；

H₁——天然裂缝的高度，m；

——在第k个时间节点天然裂缝入口处的宽度，m；

——在第k个时间节点第一个单元体中的压力，Pa；

——在第k个时间节点天然裂缝入口处的压力，Pa；

μ——压裂液的黏度，Pa·s；

Δx——单元体的长度(即L/N)，m。

该公式的推导过程如下：

1)当通过步骤(C)求解得到天然裂缝入口处的压力第一个单元体中的压力以及天然裂缝入口处的宽度后，根据公式(1)可直接求出压裂液在天然裂缝入口端的流动速度：

2)根据流动速度和天然裂缝入口端的横截面积可得到压裂液通过天然裂缝的滤失速度：

式中：——在第k个时间节点压裂液通过天然裂缝的滤失速度，m³/s；

H₁——天然裂缝的高度，m；

——在第k个时间节点天然裂缝入口处的宽度，m；

——在第k个时间节点第一个单元体中的压力，Pa；

——在第k个时间节点天然裂缝入口处的压力，Pa；

μ——压裂液的黏度，Pa·s；

Δx——单元体的长度(即L/N)，m。

所述步骤(E)中，计算在第k个时间节点天然裂缝入口处水力裂缝的宽度w^k所采用的公式为：

式中：w^k——在第k个时间节点天然裂缝入口处水力裂缝的宽度，m；

μ——压裂液的黏度，Pa·s；

Q——压裂过程中总的注入流量，m³/s；

——在第k个时间节点压裂液通过天然裂缝的滤失速度，m³/s；

——在第k个时间节点水力裂缝与天然裂缝相交位置之后水力裂缝中的流量，m³/s；

——在第k个时间节点水力裂缝与天然裂缝相交位置之后水力裂缝的长度，m；特别的，当k＝0时，其值为0；

H₂——水力裂缝的高度，m；

Δt——相邻时间节点的间隔时间(即T/M)，s；

G——地层岩石的剪切模量，Pa；

E——地层岩石的杨氏模量，Pa；

ν——地层岩石的泊松比，无量纲。

首先推导宽度计算公式，具体过程如下：

1)基于弹性力学理论，水力裂缝张开的宽度方程可表示为(England A H,Green AE.Some two-dimensional punch and crack problems in classical elasticity[J].Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society,1963,59(2):489-500)：

式中：w^k——在第k个时间节点天然裂缝入口处水力裂缝的宽度，m；

H₂——水力裂缝的高度，m；

——在第k个时间节点天然裂缝入口处的压力，Pa；

G——地层岩石的剪切模量，Pa；

ν——地层岩石的泊松比，无量纲；

σ_h——地层最小水平主应力，Pa。

2)将公式(1)所表示的立方定律应用于水力裂缝中，则可以得到压裂液在水力裂缝中流动时的压降梯度：

而流速u可表示为则上式可转化为：

式中：Q——压裂过程中总的注入流量，m³/s；

——在第k个时间节点水力裂缝与天然裂缝相交位置之后水力裂缝中的流量，m³/s；

——在第k个时间节点压裂液通过天然裂缝的滤失速度，m³/s；

w^k——在第k个时间节点天然裂缝入口处水力裂缝的宽度，m；

H₂——水力裂缝的高度，m；

μ——压裂液的黏度，Pa·s。

式(15)是将水力裂缝中的流动截面视为长方形时压降梯度的表达形式，而一般水力裂缝的流动截面为椭圆形。Lamb的工作指出，椭圆管上的压降为平行板的16/3π倍(王鸿勋.水力压裂原理[M].北京:石油工业出版社,1987:97)，因此最终的压降梯度表达式为：

3)对式(16)进行定积分有：

式中：——在第k个时间节点天然裂缝入口处的压力计算值；

σ_h——地层最小水平主应力，Pa；

——在第k个时间节点水力裂缝与天然裂缝相交位置之后水力裂缝的长度，m；特别的，当k＝0时，其值为0；

——在第k个时间节点水力裂缝与天然裂缝相交位置之后水力裂缝中的流量，m³/s；

w^k——在第k个时间节点天然裂缝入口处水力裂缝的宽度，m；

H₂——水力裂缝的高度，m；

μ——压裂液的黏度，Pa·s。

将式(13)带入式(17)，并求解定积分可得：

再将式(18)回带入式(13)即可得宽度计算公式：

可以注意到，利用式(19)并不能直接求出缝宽w^k，式中仍含有未知数因此接下来将进一步推导的计算公式：

1)在第k-1个时间节点和第k个时间节点的间隔时间Δt内，注入水力裂缝与天然裂缝相交位置之后水力裂缝中的流体将使该段裂缝的体积增加，具体可表示为：

其中，V^k表示在第k个时间节点水力裂缝与天然裂缝相交位置之后水力裂缝的体积，V^k-1的含义也类似。

2)将水力裂缝与天然裂缝相交位置之后的水力裂缝视为半椭球体，其三个半轴长分别为w/2、L_S、H₂/2，则V^k和V^k-1分可表示为：

将式(21)与式(22)带入式(20)则可得到的计算公式：

3)特别的，当k＝0时水力裂缝刚与天然裂缝相交，此时水力裂缝与天然裂缝相交位置之后水力裂缝的长度为0，由此即可逐一计算出k＝1,2,···,M时的值。

同样可以注意到，利用公式(23)并不能直接求出的值，因其中含有未知数w^k，但将式(19)与式(23)联立求解即可计算得到w^k与的值。

所述步骤(F)中，确定第k个时间节点天然裂缝入口处的压力计算值所采用的公式为：

式中：——在第k个时间节点天然裂缝入口处的压力计算值，Pa；

w^k——在第k个时间节点天然裂缝入口处水力裂缝的宽度，m；

σ_h——地层最小水平主应力，Pa；

H₂——水力裂缝的高度，m；

G——地层岩石的剪切模量，Pa；

ν——地层岩石的泊松比，无量纲。

该公式的推导过程较为简单，当通过步骤(E)计算得到第k个时间节点天然裂缝入口处水力裂缝的宽度w^k后，将w^k带入式(13)表示的缝宽方程中，即可得到天然裂缝入口处的压力计算值

具体实施方式：

一种考虑天然裂缝的压裂液滤失速度计算方法，包括以下步骤：

(A)将缝长为L的天然裂缝划分为长度相等的N个单元体，每个单元体的长度为L/N；同时将总计算时间T划分为间隔相同的M个时间节点，相邻时间节点的间隔时间为T/M；

(B)假设在第k个时间节点(k＝1,2,···,M)，水力裂缝与天然裂缝相交位置处(天然裂缝入口处)的压力估计值为

(C)基于步骤(A)的划分结果和步骤(B)的假设，计算在第k个时间节点第i个单元体中的压力和天然裂缝的宽度

(D)基于步骤(C)的结果，计算在第k个时间节点压裂液通过天然裂缝的滤失速度

(E)基于步骤(D)的结果，计算在第k个时间节点天然裂缝入口处水力裂缝的宽度w^k；

(F)基于步骤(E)的结果，确定在第k个时间节点天然裂缝入口处的压力计算值

(G)设定求解精度ε，并用以下公式计算求解误差α：

若α≤ε，步骤(D)计算得到的即为第k个时间节点压裂液通过天然裂缝的滤失速度；

若α＞ε，则用压力计算值代替压力估计值重复步骤(B)～(G)，直至α≤ε。

Claims (7)

1.一种考虑天然裂缝的压裂液滤失速度计算方法，依次包括以下步骤：

(A)将缝长为L的天然裂缝划分为长度相等的N个单元体，每个单元体的长度为L/N；同时将总计算时间T划分为间隔相同的M个时间节点，相邻时间节点的间隔时间为T/M；

(B)假设在第k个时间节点(k＝1,2,…,M)，水力裂缝与天然裂缝相交位置处，即天然裂缝入口处，其压力估计值为

(C)基于步骤(A)的划分结果和步骤(B)的假设，计算在第k个时间节点第i个单元体中的压力(i＝1,2,…,N)和天然裂缝的宽度(i＝1,2,…,N)；

(D)基于步骤(C)的结果，计算在第k个时间节点压裂液通过天然裂缝的滤失速度

(E)基于步骤(D)的结果，计算在第k个时间节点天然裂缝入口处水力裂缝的宽度w^k；

(F)基于步骤(E)的结果，确定在第k个时间节点天然裂缝入口处的压力计算值

(G)设定求解精度ε，并用以下公式计算求解误差α：

$\mathrm{\α}=\frac{\left|{\hat{p}}_0^k-p_0^k\right|}{p_0^k}$

若α≤ε，步骤(D)计算得到的即为第k个时间节点压裂液通过天然裂缝的滤失速度；

若α＞ε，则用压力计算值代替压力估计值重复步骤(B)～(G)，直至α≤ε。

2.如权利要求1所述的一种考虑天然裂缝的压裂液滤失速度计算方法，其特征在于，所述步骤(B)中，第k个时间节点(k＝1,2,…,M)天然裂缝入口处的压力估计值采用如下方法：

$\left\{\begin{array}{cc}{p}_0^k=p_r& (k=0)\\ p_0^k=1.2p_0^{k-1}& (k\≥1)\end{array}\right.$

其中，p_r表示地层压力。

3.如权利要求1所述的一种考虑天然裂缝的压裂液滤失速度计算方法，其特征在于，所述步骤(C)中，计算在第k个时间节点第i个单元体中的压力和天然裂缝的宽度采用的公式为：

$\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{12\mathrm{\μ}}\[{\left(\frac{2b_{i+1}^k\·b_i^k}{b_{i+1}^k+b_i^k}\right)}^3\·\frac{p_{i+1}^k-p_i^k}{{\left(\mathrm{\Δ}x\right)}^2}-{\left(b_{i-1}^k\right)}^3\·\frac{p_i^k-p_{i-1}^k}{{\left(\mathrm{\Δ}x\right)}^2/2}\]=\frac{1}{K_n}\·\frac{p_i^k-p_i^{k-1}}{\mathrm{\Δ}t}& (i=1;k=1,2,...,M)\\ \frac{1}{12\mathrm{\μ}}\[{\left(\frac{2b_{i+1}^k\·b_i^k}{b_{i+1}^k+b_i^k}\right)}^3\·\frac{p_{i+1}^k-p_i^k}{{\left(\mathrm{\Δ}x\right)}^2}-{\left(\frac{2b_i^k\·b_{i-1}^k}{b_i^k+b_{i-1}^k}\right)}^3\·\frac{p_i^k-p_{i-1}^k}{{\left(\mathrm{\Δ}x\right)}^2}\]=\frac{1}{K_n}\·\frac{p_i^k-p_i^{k-1}}{\mathrm{\Δ}t}& \left(\begin{array}{c}i=2,3,...,N-1\\ k=1,2,...,M\end{array}\right)\\ \frac{1}{12\mathrm{\μ}}\[{\left(b_{i+1}^k\right)}^3\·\frac{p_{i+1}^k-p_i^k}{{\left(\mathrm{\Δ}x\right)}^2/2}-{\left(\frac{2b_i^k\·b_{i-1}^k}{b_i^k+b_{i-1}^k}\right)}^3\·\frac{p_i^k-p_{i-1}^k}{{\left(\mathrm{\Δ}x\right)}^2}\]=\frac{1}{K_n}\·\frac{p_i^k-p_i^{k-1}}{\mathrm{\Δ}t}& (i=N;k=1,2,...,M)\end{array}\right.$

$b_i^k=b_r+(p_i^k-p_r)/K_n,(i=0,1,...,N+1;k=1,2,...,M)$

式中：μ——压裂液的黏度，Pa·s；

Δx——单元体的长度，m；

Δt——相邻时间节点的间隔时间，s；

K_n——天然裂缝法向刚度，Pa/m；

b_r——天然裂缝的初始宽度，m；

p_r——地层压力，Pa。

4.如权利要求1所述的一种考虑天然裂缝的压裂液滤失速度计算方法，其特征在于，所述步骤(D)中，计算在第k个时间节点压裂液通过天然裂缝的滤失速度采用的公式为：

$Q_F^k=\frac{H_1{\left(b_0^k\right)}^3(p_0^k-p_1^k)}{6\mathrm{\μ}\mathrm{\Δ}x}$

式中：H₁——天然裂缝的高度，m；

——在第k个时间节点天然裂缝入口处的宽度，m；

——在第k个时间节点第一个单元体中的压力，Pa；

——在第k个时间节点天然裂缝入口处的压力，Pa；

μ——压裂液的黏度，Pa·s；

Δx——单元体的长度，m。

5.如权利要求1所述的一种考虑天然裂缝的压裂液滤失速度计算方法，其特征在于，所述步骤(E)中，计算在第k个时间节点天然裂缝入口处水力裂缝的宽度w^k采用的公式为：

$w^k=4{\[\frac{(1-\mathrm{\ν}){\mathrm{\μQ}}_S^k{L}_S^k}{\mathrm{\π}G}\]}^{\frac{1}{4}}$

$L_S^k=\frac{6Q_S^k\mathrm{\Δ}t}{{\mathrm{\πw}}^k{H}_2}+L_S^{k-1}$

$Q_S^k=Q-Q_F^k$

$G=\frac{E}{2(1+v)}$

式中：μ——压裂液的黏度，Pa·s；

Q——压裂过程中总的注入流量，m³/s；

——在第k个时间节点压裂液通过天然裂缝的滤失速度，m³/s；

——在第k个时间节点水力裂缝与天然裂缝相交位置之后水力裂缝中的流量，m³/s；

——在第k个时间节点水力裂缝与天然裂缝相交位置之后水力裂缝的长度，m；

H₂——水力裂缝的高度，m；

Δt——相邻时间节点的间隔时间，s；

G——地层岩石的剪切模量，Pa；

E——地层岩石的杨氏模量，Pa；

ν——地层岩石的泊松比，无量纲。

6.如权利要求1所述的一种考虑天然裂缝的压裂液滤失速度计算方法，其特征在于，所述步骤(F)中，确定第k个时间节点天然裂缝入口处的压力计算值采用的公式为：

${\hat{p}}_0^k=\frac{w^{k}G}{(1-v)H_2}+{\mathrm{\σ}}_h$

式中：w^k——在第k个时间节点天然裂缝入口处水力裂缝的宽度，m；

σ_h——地层最小水平主应力，Pa；

H₂——水力裂缝的高度，m；

G——地层岩石的剪切模量，Pa；

ν——地层岩石的泊松比，无量纲。

7.如权利要求3所述的一种考虑天然裂缝的压裂液滤失速度计算方法，其特征在于，在第k个时间节点第i个单元体中的压力当i＝0时表示天然裂缝入口处的压力，当i＝N+1时表示天然裂缝出口处的压力，其值为地层压力，当k＝0时表示初始时刻的压力，在初始时刻天然裂缝各位置处压力均为地层压力；在第k个时间节点第i个单元体中的天然裂缝的宽度当i＝0时表示天然裂缝入口处的宽度，当i＝N+1时表示天然裂缝出口处的宽度。