CN106712949A - 一种基于Montgomery的分段计算标量乘方法 - Google Patents

一种基于Montgomery的分段计算标量乘方法 Download PDF

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Abstract

本发明涉及一种基于Montgomery的分段计算标量乘方法。在一个实施例中，所述方法包括：根据椭圆曲线标量bP，得到二分段椭圆曲线双标量kP+lQ；根据从左到右二进制表示的k和l的取值，同时计算双标量kP+lQ，并在循环过程点加和倍点运算中，仅计算双标量kP+lQ的x坐标，循环结束后恢复双标量kP+lQ的y坐标；根据边信道原子化方法在双标量kP+lQ循环过程点加和倍点运算中，进行调度并引入伪操作，使循环过程中运算模式相同。本发明在Montgomery算法的基础上进行分段，并采用边缘信道原子化和同时求逆的方法，在保证安全性的同时提高了运算效率。

Description

一种基于Montgomery的分段计算标量乘方法
技术领域
本发明涉及椭圆曲线密码领域，尤其涉及一种基于Montgomery的分段计算标量乘方法。
背景技术
1985年Koblitz和Miller分别独立提出了椭圆曲线密码体制(ECC)，使用定义在有限域上的椭圆曲线上的点群来实现基于离散对数问题的密码体制。由于其上的密钥长度要比其他密码体制的短，ECC逐渐被人们重视和应用。标量乘算法是ECC中最基本和最为耗费时间的算法,所以标量乘的计算效率直接影响到ECC的效率。
1987年Montgomery提出一种能够抵抗SPA攻击的计算椭圆曲线标量乘bP的快速算法。其基本思想是：将整数b二进制展开从左到右进行循环运算，在每一次循环中，进行一次点加和倍点运算。由于每次循环中运算模式与代价相同，算法能够抵抗SPA攻击，而每次点加和倍点运算仅需要计算x坐标，这使得其计算效率大大提升。1999年，Lopez J和Dahab R基于Montgomery的思想在二进制域上提出一种计算椭圆曲线标量乘的新算法。通过使用一组新的点加和倍点计算公式，每次循环仅需要计算点的x坐标，而在算法的最后恢复y坐标。
现在，二进制域上标量乘算法，主流的软件实现(如OpenSSL)都是使用Lopez J和Dahab R提出的思想进行椭圆曲线标量乘算法，占用存储空间大、安全性较差。因此，本发明提出一种基于Montgomery的分段安全计算标量乘的方法。
发明内容
本发明的目的是针对现有技术的不足，提供了一种基于Montgomery分段安全的计算标量乘方法，在Montgomery思想的基础上进行二分段，并使用边信道原子化和同时求逆，在保证安全性的同时提高了运算效率
为实现上述目的，本发明提供了一种基于Montgomery的分段计算标量乘方法，该方法包括以下步骤：
根据椭圆曲线标量bP，得到二分段椭圆曲线双标量kP+lQ；
根据从左到右二进制表示的k和l的取值，同时计算双标量kP+lQ，并在循环过程点加和倍点运算中，仅计算双标量kP+lQ的x坐标，循环结束后恢复双标量kP+lQ的y坐标；
根据边信道原子化方法在所述双标量kP+lQ循环过程点加和倍点运算中，进行调度并引入伪操作，使循环过程中运算模式相同。
优选地，椭圆曲线标量bP的二分段处理具体包括：
设标量b为b＝(bn-1,bn-2,…,b0)2，若n为偶数，令m＝n/2；若n为奇数，令m＝(n+1)/2，并在b的最高位补零，即令bn＝0。则此时b表示为b＝(b2m-1,b2m-2,…,bm,…,b0)2，将b分为等长的两段，前m位赋给l，后m位赋给k，则l＝(lm-1,lm-2,…,l0)2＝(b2m-1,b2m-2,…,bm)2，k＝(km-1,km-2,…,k0)2＝(bm-1,bm-2,…,b0)2。
椭圆曲线标量bP可转化为：
bP＝b2m-1*22m-1P+b2m-2*22m-2P+…+b0*20P
＝(lm-1*2m-1+…+l0*20)2mP+(km-1*2m-1+…+k0*20)P
＝kP+lQ
其中，Q＝2mP。
优选地，得到二分段椭圆曲线双标量kP+lQ还包括：在点P固定的情况下，预计算Q、P+Q、P-Q存放在存储器中，用于提高计算速度。
优选地，双标量kP+lQ循环过程中，将计算T0，T1，T2的公式进行归纳的简化，根据(ki,li,ki-1,li-1)的取值循环计算T[i]，得到T0[1],T1[1],T2[1]。
优选地，边信道原子化方法具体包括：每次边信道原子化循环后，使用同时进行求逆运算的技巧减少二进制域中求逆运算，用于提高算法效率。
本发明实施例实现了一种基于Montgomery的分段计算标量乘方法，在二进制域上计算椭圆曲线标量乘bP时，对标量b的二进制表示进行等长二分段，将计算标量乘bP转化为计算双标量乘kP+lQ的形式，并在原子化计算kP+lQ每次循环中的操作，进行合理的调度、适当的引入伪操作。本发明通过牺牲少量存储空间，提高了标量乘算法的运算效率，采用原子化思想合理调度和伪操作的应用，保证算法的安全性，使其能够抵抗简单能量分析攻击。
附图说明
图1为本发明实施例提供的一种基于Montgomery的分段计算标量乘方法流程图；
图2为本发明实施例提供的一种基于Montgomery的分段计算标量乘方法示意图；
图3为本发明实施例提供的标量分段方法流程图；
图4为本发明实施例提供的计算双标量kP+lQ方法流程图；
图5为本发明实施例提供的循环中运算模式调度方法示意图。
具体实施方式
下面通过附图和实施例，对本发明的技术方案做进一步的详细描述。
图1为本发明实施例提供的一种基于Montgomery的分段计算标量乘方法流程图。如图1所示，该方法包括：
S101、根据椭圆曲线标量bP，得到二分段椭圆曲线双标量kP+lQ；
具体地，椭圆曲线标量bP的二分段处理具体包括：设标量b为b＝(bn-1,bn-2,…,b0)2，若n为偶数，令m＝n/2；若n为奇数，令m＝(n+1)/2，并在b的最高位补零，即令bn＝0。则此时b表示为b＝(b2m-1,b2m-2,…,bm,…,b0)2，将b分为等长的两段，前m位赋给l，后m位赋给k，则l＝(lm-1,lm-2,…,l0)2＝(b2m-1,b2m-2,…,bm)2，k＝(km-1,km-2,…,k0)2＝(bm-1,bm-2,…,b0)2。
椭圆曲线标量bP可转化为：
bP＝b2m-1*22m-1P+b2m-2*22m-2P+…+b0*20P
＝(lm-1*2m-1+…+l0*20)2mP+(km-1*2m-1+…+k0*20)P
＝kP+lQ
其中，Q＝2mP。
进一步地，在点P固定的情况下，预计算Q、P+Q、P-Q存放在存储器中，用于提高计算速度。
S102、根据从左到右二进制表示的k和l的取值，同时计算双标量kP+lQ，并在循环过程点加和倍点运算中，仅计算双标量kP+lQ的x坐标，循环结束后恢复双标量kP+lQ的y坐标；
具体地，双标量kP+lQ循环过程中，将计算T0，T1，T2的公式进行归纳的简化，根据(ki,li,ki-1,li-1)的取值循环计算T[i]，得到T0[1],T1[1],T2[1]。
S103、根据边信道原子化方法在双标量kP+lQ循环过程点加和倍点运算中，进行调度并引入伪操作，使循环过程中运算模式相同。
具体地，每次边信道原子化循环后，使用同时进行求逆运算的技巧减少二进制域中求逆运算，用于提高算法效率。
图2为本发明实施例提供的一种基于Montgomery的分段计算标量乘方法示意图。如图2所示，开始计算，输入输入标量b，b＝(bn-1,bn-2,…,b0)2输入椭圆曲线上点P∈EM。如图3所示，设标量b为b＝(bn-1,bn-2,…,b0)2，若n为偶数，令m＝n/2；若n为奇数，令m＝(n+1)/2，并在b的最高位补零即令bn＝0。则此时b可表示为b＝(b2m-1,b2m-2,…,bm,…,b0)2。
将b分为等长的两段，前m位赋给l，后m位赋给k：
l＝(lm-1,lm-2,…,l0)2＝(b2m-1,b2m-2,…,bm)2，k＝(km-1,km-2,…，k0)2＝(bm-1,bm-2,…,b0)2。
所以计算标量乘bP可转化为：
bP＝b2m-1*22m-1P+b2m-2*22m-2P+…+b0*20P
＝(lm-1*2m-1+…+l0*20)2mP+(km-1*2m-1+…+k0*20)P
＝kP+lQ(Q＝2mP)
至此，将计算标量乘bP转化为计算双标量乘kP+lQ(Q＝2mP)。在点P固定的情况下，可以预计算Q、P+Q、P-Q存放在存储器中以提高计算速度。
在计算kP+lQ时参考了Toru提出的同时计算kP+lQ的方法，并对算法进行了相应的改进。在算法的最后增加点V(V＝W+Q)的计算为恢复W的y坐标做准备；同时对循环中计算T0,T1,T2的公式进行了归纳的简化表示，将原来循环中16种情况，以(ki,ki-1)的不同归纳为4种，简化了算法的表示。
详细的算法表述如下：
首先令mi＝(kn-1…ki)2,ni＝(ln-1…li)2，定义数组T[i]形式如下：
公式中减号表示去掉某一项的含义，即将miP+niQ，miP+(ni+1)Q，(mi+1)P+niQ，(mi+1)P+(ni+1)Q四项中去掉某一项(mi+1-ki-1)P+(ni+1-li-1)Q后剩余三项按顺序依次赋给T0[i],T1[i],T2[i]。
可以证明当(ki,li,ki-1,li-1)取不同值，T[i]中的每一项值都可以从T[i+1]中计算得出。例如当(ki,li,ki-1,li-1)＝(0,0,0,0)时:T0[i]＝2T0[i+1]；T1[i]＝T1[i+1]+T0[i+1]；T2[i]＝T2[i+1]+T0[i+1]。
因此由(kn-1,ln-1)的值初始化T[i]后，i取值从n-1减少到1，根据(ki,li,ki-1,li-1)的取值循环计算T[i]，求出T0[1],T1[1],T2[1]。最后根据(k0,l0)的取值计算T0[0]即m0P+n0Q＝kP+lQ。如图4所示，图中形如Tc[i]＝Ta+Tb(R)表达式表示Tc[i]＝Ta[i+1]+Tb[i+1]且Ta[i+1]-Tb[i+1]＝R。
从算法中可以看出，循环中计算点加时，两个点的差值均为已知点(P、Q、P+Q或P-Q)。因此循环中可以利用Lopez J和Dahab R提出的仅计算x坐标的公式计算，在算法最后一步恢复y坐标。
在仿射坐标系下令P0＝(x0,y0)和P1＝(x1,y1)为椭圆曲线上点，P2＝(x2,y2)＝P1+P0P＝(x,y)＝P1-P0。则Lopez J和Dahab R提出的点加和倍点计算公式如下：
点加：P2＝(x2,y2)＝P1+P0(P1≠P0)
倍点：P2＝(x2,y2)＝2P0
恢复y坐标的公式为：
y0＝(x0+x){(x0+x)(x1+x)+x2+y}/x+y
使用边信道原子化的方法，对上述算法中每次循环中点加和倍点运算步骤进行合理的调度并适当的引入伪操作(dummy)使点加和倍点运算模式相同，达到能够抵抗SPA攻击的目的。使用同时求逆运算的技巧减少算法的求逆过程，即将计算a-1,b-1,c-1转化为a-1＝(abc)-1·bc,b-1＝(abc)-1·ac,c-1＝(abc)-1·ab。这样就将原来域运算中的3次求逆转化为1次求逆和7次点乘，减少了算法中求逆运算。当I>3.5M时，此方法较直接计算a-1,b-1,c-1有更高的效率。
图5为本发明实施例提供的循环中运算模式调度方法示意图。如图5所示，计算分段后得到的双标量乘kP+lQ每次循环中都要进行三次点加(3A)或两次点加一次倍点(2A+D)的运算。因此二进制域中，使用边信道原子化方法和同时求逆运算技巧统一3A和2A+D运算模式的调度方法。
最后分析本发明一种基于Montgomery的分段计算标量乘方法时间复杂度(用M表示乘法运算，S表示平方运算，I表示求逆运算)。在一个例子中，算法第3步循环每次运算所用的时间为是I+10M+4S，算法2、4、5步所用时间共为4I+6M+4S故此算法总的时间为：(m-1)(I+10M+4S)+(4I+6M+4S)。而使用Montgomery算法二进制域仿射坐标系下直接计算bP所用的时间是：4m(I+M+S)+(I+4M+2S)。当选用域乘法效率不是特别低的情况下，I/M>8。这里使用一种通用假设S/M＝0.8，I/M＝8，使用本发明方法计算比常用Montgomery方法计算的时间减少了约45％。并且由于循环中每次计算模式相同，故可以抵抗SPA攻击，保证算法安全性。
本发明一种基于Montgomery的分段计算标量乘方法，在二进制域上计算椭圆曲线标量乘bP时，对大数标量b的二进制表示进行等长二分段，将计算标量乘bP转化为计算双标量乘kP+lQ的形式；计算双标量乘kP+lQ时，采用基于Montgomery思想的同时计算kP和lQ的方法，预计算点Q、P+Q和P-Q，将k和l进行二进制表示，采用从左到右的方法，根据k和l每一位的取值同时计算kP+lQ，循环中仿照Montgomery思想每次点加和倍点运算仅需要计算点x坐标，算法的最后恢复y坐标，保证方法的快速性；原子化计算kP+lQ每次循环中的操作，进行合理的调度并适当的引入伪操作，使得每次循环中运算模式相同，进一步使用同时求逆运算减少二进制域中求逆运算，在保证可以抵抗简单能量分析攻击(SPA)的同时进一步提高方法的效率。
以上所述的具体实施方式，对本发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施方式而已，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种基于Montgomery的分段计算标量乘方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：
根据椭圆曲线标量bP，得到二分段椭圆曲线双标量kP+lQ；
根据从左到右二进制表示的k和l的取值，同时计算所述双标量kP+lQ，并在循环过程点加和倍点运算中，仅计算所述双标量kP+lQ的x坐标，所述循环结束后恢复所述双标量kP+lQ的y坐标；
根据边信道原子化方法在所述双标量kP+lQ循环过程点加和倍点运算中，进行调度并引入伪操作，使循环过程中运算模式相同。
2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述椭圆曲线标量bP的二分段处理具体包括：
设标量b为b＝(bn-1,bn-2,…,b0)2，若n为偶数，令m＝n/2；若n为奇数，令m＝(n+1)/2，并在b的最高位补零，即令bn＝0。则此时b表示为b＝(b2m-1,b2m-2,…,bm,…,b0)2，将b分为等长的两段，前m位赋给l，后m位赋给k，则l＝(lm-1,lm-2,…,l0)2＝(b2m-1,b2m-2,…,bm)2，k＝(km-1,km-2,…,k0)2＝(bm-1,bm-2,…,b0)2。
所述椭圆曲线标量bP可转化为：
bP＝b2m-1*22m-1P+b2m-2*22m-2P+…+b0*20P
＝(lm-1*2m-1+…+l0*20)2mP+(km-1*2m-1+…+k0*20)P
＝kP+lQ
其中，Q＝2mP。
3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述得到二分段椭圆曲线双标量kP+lQ还包括：在点P固定的情况下，预计算Q、P+Q、P-Q存放在存储器中，用于提高计算速度。
4.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述双标量kP+lQ循环过程中，将计算T0，T1，T2的公式进行归纳的简化，根据(ki,li,ki-1,li-1)的取值循环计算T[i]，得到T0[1],T1[1],T2[1]。
5.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述边信道原子化方法具体包括：每次边信道原子化循环后，使用同时进行求逆运算的技巧减少二进制域中求逆运算，用于提高算法效率。
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