CN106709123A - 一种巷道离层型顶板锚杆支护的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种巷道离层型顶板锚杆支护的设计方法，包括以下步骤：对离层型顶板进行界定，通过岩性及力学模型计算判断出顶板是否会发生离层；离层单独作用下锚杆的荷载计算；锚杆支护参数设计。该方法建立力学模型，得出离层型顶板的锚杆荷载分布规律，并通过系统锚杆荷载求解，对锚杆直径、间排距及锚固长度进行设计。

Description

一种巷道离层型顶板锚杆支护的设计方法

技术领域

本发明属于煤矿技术领域，涉及一种顶板锚杆支护的设计方法，具体地说，涉及一种巷道离层型顶板锚杆支护的设计方法。

背景技术

锚杆在作用过程中，锚固系统作用机理是极其复杂的，尤其当围岩出现离层时，离层对杆体产生附加的应力，并改变了原有的应力分布，在离层处会出现应力集中，荷载增大的现象，离层对杆体的不利影响会造成安全隐患。目前现有技术中急需一种巷道离层型顶板锚杆支护的设计方法。

发明内容

本发明的目的在于提供一种巷道离层型顶板锚杆支护的设计方法，该方法建立力学模型，得出离层型顶板的锚杆荷载分布规律，并通过系统锚杆荷载求解，对锚杆直径、间排距及锚固长度进行设计。

其具体技术方案为：

一种巷道离层型顶板锚杆支护的设计方法，包括以下步骤：

步骤1、对离层型顶板进行界定，通过岩性及力学模型计算判断出顶板是否会发生离层：

煤矿覆岩所特有的沉积环境形成的层状岩体，岩层层面多为岩体结构中的弱面，岩层层面的拉裂、剪切滑移都易发生离层，离层位置及离层值的确定是锚杆支护设计的基础；

基于关键层理论及组合梁荷载计算公式，判断离层可能发生的位置：

当(q_n+1)₁＜(q_n)₁，(q_n)₁为该组第n层对第1层的载荷，就说明第n+1层岩层对第1层岩层施加不到载荷了，此时认为第n分层与第n+1分层之间是具备发生离层条件的位置。

将顶板岩梁模型简化为简支梁受均布荷载作用，计算岩层的挠度：

式中，E_i为第i个关键岩层的弹性模量；q_i为作用在第i个关键岩层的荷载，根据式(1)求得；L＝B+2B₀，B为巷道宽度，B₀为附加跨度；I_i为惯性矩，I_i＝h_i ³/12，h_i为第i个关键岩层的高度；

根据普氏理论，侧壁处与破裂面的夹角为求得附加跨度：

式中，H为巷道高度，为巷帮岩体的内摩擦角。

离层值b应为两个相邻层组之间的挠度差：

b＝w_i-w_i+1 (4)

步骤2、离层单独作用下锚杆的荷载计算

全长锚固锚杆长度L，x为距离巷道表面的距离，x₀为离层发生位置，锚固体直径(即孔径)D，锚杆直径为d，锚杆弹性模量E_b，浆体弹性模量E_g，复合弹性模量锚杆界面剪应力为τ(x)，轴力为P(x)，剪切位移为u(x)。根据岩层移动时拉拔荷载对锚杆的作用机理，建立理论模型，采用二阶段线性剪切滑移模型，对离层作用荷载进行弹塑性分析；

结合式(5)、(6)有：

弹性状态时，接触面上剪应力与剪切位移成比例变化，K为剪切刚度系数，主要与围岩和注浆材料有关，锚固体界面剪应力表示为：

τ(u)＝Ku

(8)

将式(8)代入式(7)，得到：

令解微分方程：

u(x)＝C₁e^βx+C₂e^-βx (10)

根据式(5)可以求得：

离层会对锚杆产生拉拔作用，基于拉拔荷载对锚杆的作用机理，假设离层处产生的外荷载为P₀，代入边界条件：离层左侧锚固段始端P(x)|_x＝0＝0，离层右侧锚固段锚固段P(x)|_x＝L＝0，分别求出系数C₁、C₂，得到离层左右两侧锚固体剪切位移、剪应力和轴力的分布：

临空面到离层段：

离层到岩体内部：

弹性状态下，离层值b就等于离层左右两侧锚固体界面相对剪切位移之和：

令ω＝[ct h(βx₀)+ct h[β(L-x₀)]]，由(18)式得：

锚杆在拉拔荷载P作用下，根据式(11)，代入边界条件：锚固段始端P(x)|_x＝0＝P，锚固段末端P(x)|_x＝L＝0，可求出C₁、C₂，将C₁、C₂代入式(10)得：

相应的，锚固体轴力及与围岩界面剪应力分布公式为：

当荷载相对较大时，锚固段始端剪应力达到界面抗剪强度，界面会发生脱粘破坏，孔壁周围的岩体将进入塑性阶段，第二阶段的剪应力与位移关系曲线可得：

τ(u)＝τ_s (23)

将式(23)代入式(7)得到塑性部分位移：

如果不考虑界面脱粘情况，按照锚固体与围岩体完全粘结情况获得的剪应力沿锚杆分布，实际情况中，当界面剪应力超过界面抗剪强度时，就会发生滑移，剪应力沿锚杆轴向会发生重新分布，峰值点会向锚杆后部移动，相应滑移段上的剪应力为界面的残余强度，考虑界面脱粘情况的剪应力分布；

设离层左右两侧剪应力大于界面抗剪强度的锚固段长度分别为L₀，依据另滑移前曲线在0～L₀范围下的面积等于滑移后曲线0～L_s范围下的面积，计算出滑移范围L_s，

根据式(26)可以求得：

弹、塑性转折点处根据式(22)得P′＝P-πDτ_sL_s，代入式(27)求出C₃。

根据式(12)，此时弹性部分位移：

弹性部分锚固体轴力及与围岩界面剪应力分布公式为：

当x＝L_s时，u_塑(x)＝u_弹(x)，结合式(3.36)、(3.37)推导出C₄，代入C₃、C₄得：

离层对锚杆作用荷载的弹塑性分析，临空面到离层段：

离层到岩体内部：

根据上节理论推断，改变边界条件，可得离层左右两侧弹、塑性剪切位移：

临空面到离层段：

离层到岩体内部：

式中，P′＝P₀-πDτ_sL_s1；P″＝P₀-πDτ_sL_s2。

由此得到在不考虑锚杆外端托盘影响时，界面处于弹塑性状态下锚固体的剪应力及轴力分布；

临空面到离层段-塑性：

τ_1塑(x)＝τ_s (41)

P_1塑(x)＝P₀+πDτ_s(x-x₀) (42)

离层到岩体内部-塑性：

τ_2塑(x)＝τ_s (43)

P_2塑(x)＝P₀-πDτ_s(x-x₀) (44)

临空面到离层段-弹性：

离层到岩体内部-弹性：

式中，P_e1、P_e2分别为离层左右两侧处于临界滑动状态时的极限拉拔力，

考虑界面脱粘情况，离层值b的表达式如下：

①x₀在锚杆左侧(靠近临空面)，当P_e1＜P₀＜P_e2时，即离层左侧锚固体界面开始滑移，进入弹塑性阶段，右侧仍为弹性阶段：

当P₀＞P_e2时(x₀≠L_s1)，离层左右两侧锚固体界面均进入弹塑性阶段：

当x₀＝L_s1时，即左侧全部进入塑性阶段，根据式(32)令L_s＝L_s1+L_s2，可推断出离层值为：

②x₀在锚杆右侧(靠近岩体内部)，当P_e2＜P₀＜P_e1时，即离层右侧锚固体界面开始滑移，进入弹塑性阶段，左侧仍为弹性阶段：

当P₀＞P_e1时，离层左右两侧锚固体界面均进入滑移阶段：b₂′＝b₂(L-x₀≠L_s2)。当L-x₀＝L_s2时，即右侧全部进入塑性阶段，离层值为：

当离层值确定时，通过公式(49)～(53)可以确定出离层处锚杆轴力P₀。

局部锚固锚杆都要施加一定的预紧力，无离层条件下，杆体受到预紧力作用的同时还受到围岩变形的相互作用；当岩体中出现离层后，随着离层的扩展，离层对杆体的影响会越来越大，考虑主要因素对杆体的影响，理论模型分为两部分：局部锚固锚杆施加预紧力和锚杆受离层单独作用模型，r₀为圆形巷道半径，Q为施加在锚杆上的预紧力；

τ＝τ′±τ_1，2 (54)

P＝πD∫|τ|dx (55)

式中，τ′为无离层情况下锚杆的剪应力；τ_1，2为离层产生的附加应力，下标1，2表示离层左右两侧。系统剪应力与离层产生的剪应力方向一致时，取正号；反之，取负号。

计算出P₀，代入公式(14)和(18)，结合公式(54)剪应力按照弹性方法叠加，叠加后的剪应力大于抗剪强度时，进入弹塑性阶段，再根据式(24)～(27)计算出离层左右两侧的滑移范围L_s1、L_s2；

步骤3、锚杆支护参数设计

巷道高H，半跨宽a，按照塑性区范围和冒落拱高度计算锚杆有效长度，两者取较大值：

等效圆半径r₀为：

则不支护时煤巷内部最大非弹性区半径R_p为：

顶部非弹性区深度：l₂＝R_p-H/2 (58)

冒落拱高度：

基于悬吊理论，锚杆承载力设计值应不小于冒落拱内围岩的重量：

N＝k·b_m·a₁·a₂·γ (60)

式中，k为安全系数，取1.5；γ为巷道顶部围岩容重；a₁、a₂为锚杆间排距，通常取a₁＝a₂＝a；N为锚杆承载力设计值。

锚杆间排距：

锚杆直径：

锚杆的锚固长度：

锚杆的设计长度为：

式中，P_max为锚杆承受的最大轴力；N为锚杆承载力设计值；[σ]为锚杆的允许抗拉强度；q_r为锚固体与岩石孔壁间的粘结强度设计值；b为冒落拱高度；k为安全系数，取1.5～2.0；L_外为锚杆外端长度，一般取0.1m。

进一步，步骤3中，当外荷载增大时，锚杆的支护参数均有所调整，为确保支护设计的安全性，应增加锚杆的直径和锚固长度；在锚杆所受荷载超过设计锚固力时，应减小锚杆的间排距，离层条件下杆体的外荷载明显增加，将离层的作用荷载考虑到系统锚杆支护设计中，根据公式(54)和(55)确定锚杆荷载。

与现有技术相比，本发明的有益效果为：传统的支护设计方法并没有考虑离层的不利影响，离层在发展过程中会对锚杆产生拉力作用，此时锚杆所承受的荷载值增大，界面很容易发生脱粘滑移，会给生产带来安全隐患。本发明在传统支护设计方法的基础上，考虑了离层产生的不利影响，通过所给公式可以计算出系统锚杆的荷载值，以此为依据设计锚杆参数，该方法更加安全可靠。

附图说明

图1是本发明巷道离层型顶板锚杆支护的设计方法的流程图；

图2是离层下锚杆锚固段作用机理；

图3是剪切滑移模型；

图4是锚杆微段的静力平衡，其中图4(a)为离层左侧锚固体微段，图4(b)为离层右侧锚固体微段；

图5是离层引起的锚固体剪应力及轴力分布；

图6是锚固体剪应力调整模式，其中图6(a)为不考虑界面脱粘情况，图6(b)为考虑界面脱粘情况；

图7是锚杆系统分析模型，其中图7(a)为考虑离层的锚杆系统模型，图7(b)为无离层情况，图7(c)为离层单独作用于锚杆。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明的技术方案作进一步详细地说明。

如图1所示，一种巷道离层型顶板锚杆支护的设计方法，包括以下步骤：

步骤1、对离层型顶板进行界定，通过岩性及力学模型计算判断出顶板是否会发生离层：

煤矿覆岩所特有的沉积环境形成的层状岩体，岩层层面多为岩体结构中的弱面，岩层层面的拉裂、剪切滑移都易发生离层，离层位置及离层值的确定是锚杆支护设计的基础；

基于关键层理论及组合梁荷载计算公式，判断离层可能发生的位置：

当(q_n+1)₁＜(q_n)₁，(q_n)₁为该组第n层对第1层的载荷，就说明第n+1层岩层对第1层岩层施加不到载荷了，此时认为第n分层与第n+1分层之间是具备发生离层条件的位置。

将顶板岩梁模型简化为简支梁受均布荷载作用，计算岩层的挠度：

式中，E_i为第i个关键岩层的弹性模量；q_i为作用在第i个关键岩层的荷载，根据式(1)求得；L＝B+2B₀，B为巷道宽度，B₀为附加跨度；I_i为惯性矩，I_i＝h_i ³/12，h_i为第i个关键岩层的高度；

根据普氏理论，侧壁处与破裂面的夹角为求得附加跨度：

式中，H为巷道高度，为巷帮岩体的内摩擦角。

离层值b应为两个相邻层组之间的挠度差：

b＝w_i-w_i+1 (4)

步骤2、离层单独作用下锚杆的荷载计算

全长锚固锚杆长度L，x为距离巷道表面的距离，x₀为离层发生位置，锚固体直径(即孔径)D，锚杆直径为d，锚杆弹性模量E_b，浆体弹性模量E_g，复合弹性模量锚杆界面剪应力为τ(x)，轴力为P(x)，剪切位移为u(x)。根据岩层移动时拉拔荷载对锚杆的作用机理，建立理论模型，采用二阶段线性剪切滑移模型，对离层作用荷载进行弹塑性分析；如图2至图4所示。

结合式(5)、(6)有：

弹性状态时，接触面上剪应力与剪切位移成比例变化，K为剪切刚度系数，主要与围岩和注浆材料有关，锚固体界面剪应力表示为：

τ(u)＝Ku

(8)

将式(8)代入式(7)，得到：

令解微分方程：

u(x)＝C₁e^βx+C₂e^-βx (10)

根据式(5)可以求得：

离层会对锚杆产生拉拔作用，基于拉拔荷载对锚杆的作用机理，假设离层处产生的外荷载为P₀，代入边界条件：离层左侧锚固段始端P(x)|_x＝0＝0，离层右侧锚固段锚固段P(x)|_x＝L＝0，分别求出系数C₁、C₂，得到离层左右两侧锚固体剪切位移、剪应力和轴力的分布：

临空面到离层段：

离层到岩体内部：

弹性状态下，离层值b就等于离层左右两侧锚固体界面相对剪切位移之和：

令ω＝[ct h(βx₀)+ct h[β(L-x₀)]]，由(18)式得：

锚杆在拉拔荷载P作用下，根据式(11)，代入边界条件：锚固段始端P(x)|_x＝0＝P，锚固段末端P(x)|_x＝L＝0，可求出C₁、C₂，将C₁、C₂代入式(10)得：

相应的，锚固体轴力及与围岩界面剪应力分布公式为：

当荷载相对较大时，锚固段始端剪应力达到界面抗剪强度，界面会发生脱粘破坏，孔壁周围的岩体将进入塑性阶段，第二阶段的剪应力与位移关系曲线可得：

τ(u)＝τ_s (23)

将式(23)代入式(7)得到塑性部分位移：

如果不考虑界面脱粘情况，按照锚固体与围岩体完全粘结情况获得的剪应力沿锚杆分布见图5(a)。但实际情况中，当界面剪应力超过界面抗剪强度时，就会发生滑移，剪应力沿锚杆轴向会发生重新分布，峰值点会向锚杆后部移动，相应滑移段上的剪应力为界面的残余强度。考虑界面脱粘情况的剪应力分布，如图5(b)所示。

根据图5(a)所示，设离层左右两侧剪应力大于界面抗剪强度的锚固段长度分别为L0，依据图5(a)、(b)中阴影部分面积相等条件，可以计算出滑移范围Ls。

根据式(26)可以求得：

弹、塑性转折点处根据式(22)得P′＝P-πDτ_sL_s，代入式(27)求出C₃。

根据式(12)，此时弹性部分位移：

弹性部分锚固体轴力及与围岩界面剪应力分布公式为：

当x＝L_s时，u_塑(x)＝u_弹(x)，结合式(3.36)、(3.37)推导出C₄，代入C₃、C₄得：

离层对锚杆作用荷载的弹塑性分析，临空面到离层段：

离层到岩体内部：

根据上节理论推断，改变边界条件，可得离层左右两侧弹、塑性剪切位移：

临空面到离层段：

离层到岩体内部：

式中，P′＝P₀-πDτ_sL_s1；P″＝P₀-πDτ_sL_s2。

由此得到在不考虑锚杆外端托盘影响时，界面处于弹塑性状态下锚固体的剪应力及轴力分布；如图6所示。

临空面到离层段-塑性：

τ_1塑(x)＝τ_s (41)

P_1塑(x)＝P₀+πDτ_s(x-x₀) (42)

离层到岩体内部-塑性：

τ_2塑(x)＝τ_s (43)

P_2塑(x)＝P₀-πDτ_s(x-x₀) (44)

临空面到离层段-弹性：

离层到岩体内部-弹性：

式中，P_e1、P_e2分别为离层左右两侧处于临界滑动状态时的极限拉拔力，

考虑界面脱粘情况，离层值b的表达式如下：

①x₀在锚杆左侧(靠近临空面)，当P_e1＜P₀＜P_e2时，即离层左侧锚固体界面开始滑移，进入弹塑性阶段，右侧仍为弹性阶段：

当P₀＞P_e2时(x₀≠L_s1)，离层左右两侧锚固体界面均进入弹塑性阶段：

当x₀＝L_s1时，即左侧全部进入塑性阶段，根据式(32)令L_s＝L_s1+L_s2，可推断出离层值为：

②x₀在锚杆右侧(靠近岩体内部)，当P_e2＜P₀＜P_e1时，即离层右侧锚固体界面开始滑移，进入弹塑性阶段，左侧仍为弹性阶段：

当P₀＞P_e1时，离层左右两侧锚固体界面均进入滑移阶段：b₂′＝b₂(L-x₀≠L_s2)。当L-x₀＝L_s2时，即右侧全部进入塑性阶段，离层值为：

当离层值确定时，通过公式(49)～(53)可以确定出离层处锚杆轴力P₀。

局部锚固锚杆都要施加一定的预紧力，无离层条件下，杆体受到预紧力作用的同时还受到围岩变形的相互作用；当岩体中出现离层后，随着离层的扩展，离层对杆体的影响会越来越大，考虑主要因素对杆体的影响，理论模型分为两部分：局部锚固锚杆施加预紧力(图7b)和锚杆受离层单独作用模型(图7c)。图7中r₀为圆形巷道半径，Q为施加在锚杆上的预紧力。

τ＝τ′±τ_1，2 (54)

P＝πD∫|τ|dx (55)

式中，τ′为无离层情况下锚杆的剪应力；τ_1，2为离层产生的附加应力，下标1，2表示离层左右两侧。系统剪应力与离层产生的剪应力方向一致时，取正号；反之，取负号。

计算出P₀，代入公式(14)和(18)，结合公式(54)剪应力按照弹性方法叠加，叠加后的剪应力大于抗剪强度时，进入弹塑性阶段，再根据式(24)～(27)计算出离层左右两侧的滑移范围L_s1、L_s2；

步骤3、锚杆支护参数设计

巷道高H，半跨宽a，按照塑性区范围和冒落拱高度计算锚杆有效长度，两者取较大值：

等效圆半径r₀为：

则不支护时煤巷内部最大非弹性区半径R_p为：

顶部非弹性区深度：l₂＝R_p-H/2 (58)

冒落拱高度：

基于悬吊理论，锚杆承载力设计值应不小于冒落拱内围岩的重量：

N＝k·b_m·a₁·a₂·γ (60)

式中，k为安全系数，取1.5；γ为巷道顶部围岩容重；a₁、a₂为锚杆间排距，通常取a₁＝a₂＝a；N为锚杆承载力设计值。

锚杆间排距：

锚杆直径：

锚杆的锚固长度：

锚杆的设计长度为：

L_顶＝l₂+L_d+L_外 (64)

式中，P_max为锚杆承受的最大轴力；N为锚杆承载力设计值；[σ]为锚杆的允许抗拉强度；q_r为锚固体与岩石孔壁间的粘结强度设计值；b为冒落拱高度；k为安全系数，取1.5～2.0；L_外为锚杆外端长度，一般取0.1m。

进一步，步骤3中，当外荷载增大时，锚杆的支护参数均有所调整，为确保支护设计的安全性，应增加锚杆的直径和锚固长度；在锚杆所受荷载超过设计锚固力时，应减小锚杆的间排距，离层条件下杆体的外荷载明显增加，将离层的作用荷载考虑到系统锚杆支护设计中，根据公式(54)和(55)确定锚杆荷载。

以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，本发明的保护范围不限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明披露的技术范围内，可显而易见地得到的技术方案的简单变化或等效替换均落入本发明的保护范围内。

Claims (2)

1.一种巷道离层型顶板锚杆支护的设计方法，其特征在于，包括以下步骤：包括以下步骤：

步骤1、对离层型顶板进行界定，通过岩性及力学模型计算判断出顶板是否会发生离层：

煤矿覆岩所特有的沉积环境形成的层状岩体，岩层层面多为岩体结构中的弱面，岩层层面的拉裂、剪切滑移都易发生离层，离层位置及离层值的确定是锚杆支护设计的基础；

基于关键层理论及组合梁荷载计算公式，判断离层可能发生的位置：

${\left(q_n\right)}_1=\frac{E_1{h}_1^3({\mathrm{\γ}}_1{h}_1+{\mathrm{\γ}}_2{h}_2+\mathrm{...}+{\mathrm{\γ}}_n{h}_n)}{E_1{h}_1^3+E_2{h}_2^3+\mathrm{...}+E_n{h}_n^3}---\left(1\right)$

当(q_n+1)₁＜(q_n)₁，(q_n)₁为该组第n层对第1层的载荷，就说明第n+1层岩层对第1层岩层施加不到载荷了，此时认为第n分层与第n+1分层之间是具备发生离层条件的位置；

将顶板岩梁模型简化为简支梁受均布荷载作用，计算岩层的挠度：

$w_i=\frac{5q_i{L}^4}{384E_i{I}_i}---\left(2\right)$

式中，E_i为第i个关键岩层的弹性模量；q_i为作用在第i个关键岩层的荷载，根据式(1)求得；L＝B+2B₀，B为巷道宽度，B₀为附加跨度；I_i为惯性矩，I_i＝h_i ³/12，h_i为第i个关键岩层的高度；

根据普氏理论，侧壁处与破裂面的夹角为求得附加跨度：

式中，H为巷道高度，为巷帮岩体的内摩擦角；

离层值b应为两个相邻层组之间的挠度差：

b＝w_i-w_i+1 (4)

步骤2、离层单独作用下锚杆的荷载计算

全长锚固锚杆长度L，x为距离巷道表面的距离，x₀为离层发生位置，锚固体直径D，锚杆直径为d，锚杆弹性模量E_b，浆体弹性模量E_g，复合弹性模量锚杆界面剪应力为τ(x)，轴力为P(x)，剪切位移为u(x)；根据岩层移动时拉拔荷载对锚杆的作用机理，建立理论模型，采用二阶段线性剪切滑移模型，对离层作用荷载进行弹塑性分析；

$\frac{du\left(x\right)}{dx}=-\frac{4P\left(x\right)}{{\mathrm{\πD}}^2{E}_a}---\left(5\right)$

$\frac{dP\left(x\right)}{dx}=-\mathrm{\π}D\mathrm{\τ}\left(x\right)---\left(6\right)$

结合式(5)、(6)有：

$\frac{d^{2}u}{{\mathrm{dx}}^2}-\frac{4\mathrm{\τ}\left(u\right)}{{\mathrm{DE}}_a}=0---\left(7\right)$

弹性状态时，接触面上剪应力与剪切位移成比例变化，K为剪切刚度系数，主要与围岩和注浆材料有关，锚固体界面剪应力表示为：

τ(u)＝Ku

(8)

将式(8)代入式(7)，得到：

$\frac{d^{2}u}{{\mathrm{dx}}^2}-\frac{4Ku}{{\mathrm{DE}}_{\mathrm{\α}}}=0---\left(9\right)$

令解微分方程：

u(x)＝C₁e^βx+C₂e^-βx (10)

根据式(5)可以求得：

$P\left(x\right)=\frac{{\mathrm{\πD}}^2{E}_a\mathrm{\β}}{4}(C_2{e}^{-\mathrm{\β}x}-C_1{e}^{\mathrm{\β}x})---\left(11\right)$

离层会对锚杆产生拉拔作用，基于拉拔荷载对锚杆的作用机理，假设离层处产生的外荷载为P₀，代入边界条件：离层左侧锚固段始端P(x)|_x＝0＝0，离层右侧锚固段锚固段P(x)|_x＝L＝0，分别求出系数C₁、C₂，得到离层左右两侧锚固体剪切位移、剪应力和轴力的分布：

临空面到离层段：

$u_1\left(x\right)=\frac{4P_0}{{\mathrm{\πD}}^2{\mathrm{\βE}}_a}\·\frac{ch\left(\mathrm{\β}x\right)}{sh\left({\mathrm{\βx}}_0\right)}---\left(12\right)$

$P_1\left(x\right)=\frac{P_{0}sh\left(\mathrm{\β}x\right)}{sh\left({\mathrm{\βx}}_0\right)}---\left(13\right)$

${\mathrm{\τ}}_1\left(x\right)=\frac{{\mathrm{\βP}}_{0}ch\left(\mathrm{\β}x\right)}{\mathrm{\π}Dsh\left({\mathrm{\βx}}_0\right)}---\left(14\right)$

离层到岩体内部：

$u_2\left(x\right)=\frac{4P_0}{{\mathrm{\πD}}^2{\mathrm{\βE}}_a}\·\frac{ch\[\mathrm{\β}(L-x)\]}{sh\[\mathrm{\β}(L-x_0)\]}---\left(15\right)$

$P_2\left(x\right)=\frac{P_{0}sh\[\mathrm{\β}(L-x)\]}{sh\[\mathrm{\β}(L-x_0)\]}---\left(16\right)$

${\mathrm{\τ}}_2\left(x\right)=\frac{{\mathrm{\βP}}_{0}ch\[\mathrm{\β}(L-x)\]}{\mathrm{\π}Dsh\[\mathrm{\β}(L-x_0)\]}---\left(17\right)$

弹性状态下，离层值b就等于离层左右两侧锚固体界面相对剪切位移之和：

$b=u\left(x\right)=u_1\left(x_0\right)+u_2\left(x_0\right)=\frac{4P_0}{{\mathrm{\πD}}^2{\mathrm{\βE}}_a}\[cth\left({\mathrm{\βx}}_0\right)+cth\[\mathrm{\β}(L-x_0)\]\]---\left(18\right)$

令ω＝|ct h(βx₀)+ct h[β(L-x₀)]]，由(18)式得：

$P_0=\frac{{\mathrm{\πD}}^2{\mathrm{\βE}}_{a}b}{4\mathrm{\ω}}---\left(19\right)$

锚杆在拉拔荷载P作用下，根据式(11)，代入边界条件：锚固段始端P(x)|_x＝0＝P，锚固段末端P(x)|_x＝L＝0，可求出C₁、C₂，将C₁、C₂代入式(10)得：

$u\left(x\right)=\frac{4P}{{\mathrm{\πD}}^2{\mathrm{\βE}}_a}\·\frac{ch\[\mathrm{\β}(L-x)\]}{sh\left(\mathrm{\β}L\right)}---\left(20\right)$

相应的，锚固体轴力及与围岩界面剪应力分布公式为：

$P\left(x\right)=\frac{Psh\[\mathrm{\β}(L-x)\]}{sh\left(\mathrm{\β}L\right)}---\left(21\right)$

$\mathrm{\τ}\left(x\right)=\frac{\mathrm{\β}Pch\[\mathrm{\β}(L-x)\]}{\mathrm{\π}Dsh\left(\mathrm{\β}L\right)}---\left(22\right)$

当荷载相对较大时，锚固段始端剪应力达到界面抗剪强度，界面会发生脱粘破坏，孔壁周围的岩体将进入塑性阶段，第二阶段的剪应力与位移关系曲线可得：

τ(u)＝τ_s (23)

将式(23)代入式(7)得到塑性部分位移：

$\frac{d^{2}u}{{\mathrm{dx}}^2}-\frac{2{\mathrm{\τ}}_s}{{\mathrm{DE}}_{\mathrm{\α}}}=0---\left(24\right)$

如果不考虑界面脱粘情况，按照锚固体与围岩体完全粘结情况获得的剪应力沿锚杆分布，实际情况中，当界面剪应力超过界面抗剪强度时，就会发生滑移，剪应力沿锚杆轴向会发生重新分布，峰值点会向锚杆后部移动，相应滑移段上的剪应力为界面的残余强度，考虑界面脱粘情况的剪应力分布；

设离层左右两侧剪应力大于界面抗剪强度的锚固段长度分别为L₀，依据另滑移前曲线在0～L₀范围下的面积等于滑移后曲线0～L_s范围下的面积，计算出滑移范围L_s，

$L_0=L-\frac{1}{\mathrm{\β}}arcch\[\frac{{\mathrm{\πD\τ}}_e}{\mathrm{\β}P}sh\left(\mathrm{\β}L\right)\]---\left(26\right)$

$L_s=\frac{P}{{\mathrm{\πD\τ}}_s}\[1-\frac{sh\[\mathrm{\β}(L-L_0)\]}{sh\left(\mathrm{\β}L\right)}\]---\left(27\right)$

根据式(26)可以求得：

弹、塑性转折点处根据式(22)得P′＝P-πDτ_sL_s，代入式(27)求出C₃；

根据式(12)，此时弹性部分位移：

弹性部分锚固体轴力及与围岩界面剪应力分布公式为：

当x＝L_s时，u_塑(x)＝u_弹(x)，结合式(3.36)、(3.37)推导出C₄，代入C₃、C₄得：

离层对锚杆作用荷载的弹塑性分析，临空面到离层段：

$L_{01}=x_0-\frac{1}{\mathrm{\β}}arcch\[\frac{{\mathrm{\πD\τ}}_e}{{\mathrm{\βP}}_0}sh\left({\mathrm{\βx}}_0\right)\]---\left(33\right)$

$L_{s1}=\frac{P_0}{{\mathrm{\πD\τ}}_s}\[1-\frac{sh\[\mathrm{\β}(x_0-L_{01})\]}{sh\left({\mathrm{\βx}}_0\right)}\]---\left(34\right)$

离层到岩体内部：

$L_{02}=L-x_0-\frac{1}{\mathrm{\β}}arch\[\frac{{\mathrm{\πD\τ}}_e}{{\mathrm{\βP}}_0}sh\[\mathrm{\β}(L-x_0)\]\]---\left(35\right)$

$L_{s2}=\frac{P_0}{{\mathrm{\πD\τ}}_s}\[1-\frac{sh\[\mathrm{\β}(L-x_0-L_{02})\]}{sh\[\mathrm{\β}(L-x_0)\]}\]---\left(36\right)$

根据上节理论推断，改变边界条件，可得离层左右两侧弹、塑性剪切位移：

临空面到离层段：

离层到岩体内部：

式中，P′＝P₀-πDτ_sL_s1；P″＝P₀-πDτ_sL_s2；

由此得到在不考虑锚杆外端托盘影响时，界面处于弹塑性状态下锚固体的剪应力及轴力分布；

临空面到离层段-塑性：

τ_1塑(x)＝τ_s (41)

P_1塑(x)＝P₀+πDτ_s(x-x₀) (42)

离层到岩体内部-塑性：

τ_2塑(x)＝τ_s (43)

P_2塑(x)＝P₀-πDτ_s(x-x₀) (44)

临空面到离层段-弹性：

离层到岩体内部-弹性：

式中，P_e1、P_e2分别为离层左右两侧处于临界滑动状态时的极限拉拔力，

考虑界面脱粘情况，离层值b的表达式如下：

①x₀在锚杆左侧，当P_e1＜P₀＜P_e2时，即离层左侧锚固体界面开始滑移，进入弹塑性阶段，右侧仍为弹性阶段：

当P₀＞P_e2时(x₀≠L_s1)，离层左右两侧锚固体界面均进入弹塑性阶段：

当x₀＝L_s1时，即左侧全部进入塑性阶段，根据式(32)令L_s＝L_s1+L_s2，可推断出离层值为：

②x₀在锚杆右侧，当P_e2＜P₀＜P_e1时，即离层右侧锚固体界面开始滑移，进入弹塑性阶段，左侧仍为弹性阶段：

当P₀＞P_e1时，离层左右两侧锚固体界面均进入滑移阶段：b₂′＝b₂(L-x₀≠L_s2)；当L-x₀＝L_s2时，即右侧全部进入塑性阶段，离层值为：

当离层值确定时，通过公式(49)～(53)可以确定出离层处锚杆轴力P₀；

局部锚固锚杆都要施加一定的预紧力，无离层条件下，杆体受到预紧力作用的同时还受到围岩变形的相互作用；当岩体中出现离层后，随着离层的扩展，离层对杆体的影响会越来越大，考虑主要因素对杆体的影响，理论模型分为两部分：局部锚固锚杆施加预紧力和锚杆受离层单独作用模型，r₀为圆形巷道半径，Q为施加在锚杆上的预紧力；

τ＝τ′±τ_1，2 (54)P＝πD∫|τ|dx (55)

式中，τ′为无离层情况下锚杆的剪应力；τ_1，2为离层产生的附加应力，下标1，2表示离层左右两侧；系统剪应力与离层产生的剪应力方向一致时，取正号；反之，取负号；

计算出P₀，代入公式(14)和(18)，结合公式(54)剪应力按照弹性方法叠加，叠加后的剪应力大于抗剪强度时，进入弹塑性阶段，再根据式(24)～(27)计算出离层左右两侧的滑移范围L_s1、L_s2；

步骤3、锚杆支护参数设计

巷道高H，半跨宽a，按照塑性区范围和冒落拱高度计算锚杆有效长度，两者取较大值：

等效圆半径r₀为：

$r_0=\sqrt{a^2+{(H/2)}^2}---\left(56\right)$

则不支护时煤巷内部最大非弹性区半径R_p为：

顶部非弹性区深度：l₂＝R_p-H/2 (58)

冒落拱高度：

基于悬吊理论，锚杆承载力设计值应不小于冒落拱内围岩的重量：

N＝k·b_m·a₁·a₂·γ (60)

式中，k为安全系数，取1.5；γ为巷道顶部围岩容重；a₁、a₂为锚杆间排距，通常取a₁＝a₂＝a；N为锚杆承载力设计值；

锚杆间排距：

$a=\sqrt{\frac{N}{kb\mathrm{\γ}}}---\left(61\right)$

锚杆直径：

$d=\sqrt{\frac{4N}{\mathrm{\π}\[\mathrm{\σ}\]}}---\left(62\right)$

锚杆的锚固长度：

$L_d=\frac{kN}{{\mathrm{\πDq}}_r}---\left(63\right)$

锚杆的设计长度为：

L_顶＝l₂+L_d+L_外 (64)

式中，P_max为锚杆承受的最大轴力；N为锚杆承载力设计值；[σ]为锚杆的允许抗拉强度；q_r为锚固体与岩石孔壁间的粘结强度设计值；b为冒落拱高度；k为安全系数，取1.5～2.0；L_外为锚杆外端长度，一般取0.1m。

2.根据权利要求1所述的巷道离层型顶板锚杆支护的设计方法，其特征在于，步步骤3中，当外荷载增大时，锚杆的支护参数均有所调整，为确保支护设计的安全性，应增加锚杆的直径和锚固长度；在锚杆所受荷载超过设计锚固力时，应减小锚杆的间排距，离层条件下杆体的外荷载明显增加，将离层的作用荷载考虑到系统锚杆支护设计中，根据公式(54)和(55)确定锚杆荷载。