CN106682615A - 一种水下弱小目标检测方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种水下弱小目标检测方法，涉及信号处理领域，利用特征层信息融合方法将特征量映射到同一高维空间中，实现分类，通过分类结果进行检测，本发明利用了混沌理论准确描述和实现目标信号和环境噪声中的非线性成分的特征提取，有效避免环境噪声中随机成分的干扰，利用信号中的混沌特征进行信号检测可明显降低最低检测信噪比、提高检测概率，随机共振方法将随机噪声能量转化为信号能量，提高对弱小目标的探测能力，同时也能将信号中含有的非线性成分突显出来，融合中心的分类办法能将单个节点中产生的虚惊、漏检等与正确检测结果分离开，进一步提高检测概率，提高海上弱小目标探测的有效性和可靠性。

Description

一种水下弱小目标检测方法

技术领域

本发明涉及信号处理领域，尤其是一种目标检测方法。

背景技术

水下航行器航行时辐射噪声级较小，属于小目标，现代潜艇在水下航行时辐射噪声级低于三级海况噪声级，属于声学弱目标，且由于海洋环境的复杂性和多样性，对海上弱小目标的探测技术发展较慢且难于满足实际需要。

对水中远距离目标的检测通过提取目标辐射噪声中的特征来实现，目标辐射噪声频谱具有特殊的线谱和连续谱，通过提取其中特征可实现目标检测，线谱是目标辐射噪声谱中的一个重要特征，利用线谱进行舰船辐射噪声检测的相关研究取得了一定的成果。李启虎等从理论方法和数值分析角度分别探讨了自相关检测、快速傅里叶变换方法、自适应线谱增强等几种方法的优劣，相比之下分段快速傅里叶变换线谱检测具有较好的效果，且对频率漂移现象有较好的宽容性。Antoni Jerome等提出利用循环频率分析方法提取线谱频率，并进行了理论推导分析，以上方法均要求线谱频率等参数已知，无此先验信息时，结果会受到很大影响。

连续谱是目标辐射噪声频谱的另一重要特征和组成部分，具有单独的谱峰。张晓勇等从频率与能量分布的角度出发，在顺势频率方差检测器的基础上，推导出了窄带信号和宽带信号同时满足的瞬时频率分布与能量分布的表达式，从而利用目标辐射噪声连续谱分量存在一个能量相对集中的频率中心这一特性，利用瞬时频率分析进行描述，实现了利用舰船辐射噪声连续谱进行目标检测，然而，这种基于能量的检测方法，在远距离下结果会受到较大影响。

发明内容

为了克服现有技术的不足，针对水中弱小目标在低信噪比条件下探测难的问题，结合复杂海洋环境下的非线性特征表征的需要，本发明提供一种更低信噪比下水下弱小目标检测方法。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案包括具体步骤如下：

第一步：提取目标辐射噪声中的Lyapunov指数矩阵

每得到一个重构维数m并确定对应延迟时间τ，均可得到一个m×1的Lyapunov向量，将Lyapunov向量分别组成具有m列的矩阵，利用最小二乘方法得到目标辐射噪声中的Lyapunov指数特征量，详细步骤如下：

首先，根据Takens重构定理，根据G-P算法取不同的重构维数和延迟时间，得到信号在不同重构空间中的表征：

x(i)＝[x(i),x(i+τ),...,x(i+(m-1)τ)]^T,i＝1,...,n (1)

其中x(i)表示信号，τ为延迟时间，[]^T表示转置，n为信号长度，m为重构维数；

其次，分别采集e种1至5级海况下相同区域相同时间的海洋环境噪声，分别采集f种远海备选区域下相同海况相同时间的海洋环境噪声，分别采集g种3、6、9、12月各时间差异下相同海况相同海域下的海洋环境噪声，得到三个分别是m×e,m×f,m×g阶的Lyapunov指数矩阵；

采集h种航速海况、区域、时间相同的水中各目标辐射噪声和k种水文环境航速相同的水中各目标辐射噪声，分别得到p种目标的m×h,m×k阶Lyapunov指数矩阵；

将e、f、g种原始海洋环境噪声数据的任意一种数据，分别按照0.1、0.5、1和2的权重加入到h、k种中任意一种目标辐射噪声数据中，分别计算Lyapunov指数，每一个重构维数m对应一个Lyapunov指数，得到m×1维向量，形成h和k种数据组合，从而得到四种含有海洋环境噪声和各目标辐射噪声的m×h,m×k阶Lyapunov指数矩阵，利用最小二乘法得到基于Lyapunov指数的特征量；

第二步：提取目标辐射噪声及海洋环境噪声中的关联维数，利用神经网络的方法，建立m(m-1)/2个隐层，提取包含在各隐层的关联维数，得到基于关联维数的特征量；

具体步骤为：

利用式(2)计算关联积分C_n(r)：

其中n为信号长度，θ为Heaviside单位函数，r表示距离，y_i、y_j为不同轨道的信号幅度，可得关联维数D：

建立m(m-1)/2个隐层，在预处理层通过G-P算法得到目标辐射噪声的时间延迟τ和重构维数m，得到目标辐射噪声的m列，n-(m-1)τ行重构矩阵Γ，重构矩阵Γ是由关联维数构成的特征量；

第三步：对Duffing振子系统在输入目标辐射噪声时的系统运动状态变化进行表征

Duffing振子系统表示为：

其中，x′为振动幅度，表示x′的导数，y′为x′的导数，fcos(ωt)为内策动力，f为内策动力幅度，F(x′)为输入信号，k′＝0.5，α＝1，β＝1，ω＝1；

分别将海洋环境噪声和各目标辐射噪声输入Duffing振子系统中，以0和1分别表征系统处于混沌状态或非混沌状态，得到基于混沌系统通过特性的特征向量；

第四步：利用C₀算法进行系统复杂度分析

C₀算法描述为：

其中C₀(r,n)为系统复杂度，x(i)为原始数据，为原始数据通过FFT变换方法得到的原始数据的非规则部分，n为序列长度，r为到x(i)的距离，即

根据公式(5)分别计算海洋环境噪声和各目标辐射噪声的系统复杂度值，得到基于系统复杂度的特征量；

第五步：采用时域平均法、相关检测和高阶统计量，分别获得实录海洋环境噪声和多类目标辐射噪声的目标特征；

第六步：利用小波分析、小波包分析及经验模态分解的多分辨特性，得到0～1000Hz频段的目标辐射噪声信号的线谱数目，构成线谱数目特征；

第七步：构造优化测度指标

建立以信噪比与信噪比增益为指标的最优测度计算方法，得到测度特征，具体步骤如下：

信噪比与信噪比增益表述为在待测周期信号频率处，输出信号与背景嗓声的功率谱之比SNR(signal and noise racial)表迖式为：

其中：S(ω)表示信号功率谱密度，S_N(Ω)为噪声在周期信号频率处的强度，ω为信号角频率，Ω为模拟信号频率；

第八步：特征层信息融合方法

利用核主成分分析(KPCA)从特征向量区分出主特征，通过非线性映射φ将原始向量X(X∈R^N)映射到一个高维的特征空间F＝{φ(X):X∈R^N}，在F＝{φ(X):X∈R^N}上进行PCA分析，将在输入空间无法线性分类的数据变换到特征空间中；

第一步至第七步得到的特征量包括Lyapunov指数特征、关联维数特征、混沌信息通过特性、系统复杂度特征、时域平均法、相关检测、高阶统计量特征、测度特征以及线谱数目特征，其中线谱数目特征即原始向量X(X∈R^N)，利用特征层信息融合方法将这些特征映射到同一高维空间中，实现分类；

利用单类SVM学习数据样本，构造模型以检测目标信号，给定Z个没有标签的数据点，通过非线性映射Φ:X→H；x→Φ(x)，x∈X将样本从输入空间X映射到特征空间H中，映射通过核函数间接定义：

k(x_i，x_j)＝<Φ(x_i)，Φ(x_j)> (8)

One-class SVM在特征空间中构造一个球，该球包含大部分样本的像作为正常数据，由于噪声的存在，存在少部分非正常样本在球外面，非正常数据也称为新颖数据，球通过下面的原始问题实现：

s.t.||φ(x_j)-a||²≤R²+ξ_j

ξ_j≥0

其中R是球半径，C为惩罚参数，a是球心坐标向量，ξ_j是允许数据点在球外引入的松弛变量，引入凸优化里Lagrangian乘子法求解：

单类SVM基于结构风险最小化原理，C对球的最小体积与正确分类取得折中，β_j≥0和μ_j≥0为Lagrange乘子，根据Fletcher的KKT的互补条件得到

ξ_jμ_j＝0 (11)

(R²+ξ_j-||φ(x_j)-a||²)β_j＝0 (12)

利用公式(11)和(12)和凸优化将原始问题转换为求取对偶问题的解，得到以下形式：

0≤β_j≤C

构造核函数，本发明为高斯核，样本点x到构造的超球面的半径为R＝d(x_i)，d＝||φ(x_i)-a||，x_i为支持向量；

第十步，检测

通过第九步中的分类结果，若高维空间中超球面一侧的样本点超过80％，则检测结果就和超过80％一侧的结果一致。

本发明有益效果为混沌理论可以准确描述和实现目标信号和环境噪声中的非线性成分的特征提取，目标信号和环境噪声中的非线性成分总是存在，随着距离的增加由于衰减减弱，但是比起信号幅度等能量特征，衰减速度慢且总是明显存在，且混沌理论具有良好的抗干扰特性，可以有效避免环境噪声中随机成分的干扰，因此，利用信号中的混沌特征进行信号检测可明显降低最低检测信噪比、提高检测概率；其次随机共振方法能够将随机噪声能量转化为信号能量，提高对弱小目标的探测能力，同时也能将信号中含有的非线性成分突显出来；再次，融合中心的分类办法能将单个节点中产生的虚惊、漏检等与正确检测结果分离开，进一步提高检测概率；上述理论方法可以有效的提高检测概率、降低最低检测信噪比，提高海上弱小目标探测的有效性和可靠性。

附图说明

图1是本发明的目标辐射噪声相空间1。

图2是本发明的目标辐射噪声相空间2。

图3是本发明的级联随机共振系统。

图4是本发明的核主成分分析流程。

图5是本发明的总体技术路线。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。

第一步：提取目标辐射噪声中的Lyapunov指数矩阵

每得到一个重构维数m并确定对应延迟时间τ，均可得到一个m×1的Lyapunov向量，将海况、区域、季节等环境差异下得到的Lyapunov向量分别组成具有m列的矩阵，利用最小二乘方法得到目标辐射噪声中的Lyapunov指数特征量，详细步骤如下：

首先，根据Takens重构定理，根据G-P算法取不同的重构维数和延迟时间，得到信号在不同重构空间中的表征：

x(i)＝[x(i),x(i+τ),...,x(i+(m-1)τ)]^T,i＝1,...,n (1)

其中x(i)表示信号，τ为延迟时间，[]^T表示转置，n为信号长度，m为重构维数；

其次，由于海洋环境处于变化中，分别采集e种1至5级海况下相同区域相同时间的海洋环境噪声，e在本发明中取值为5，分别采集f种远海备选区域(每个备选区域相隔10海里以上)下相同海况相同时间的海洋环境噪声，f取值为5-10，分别采集g种3、6、9、12月各时间差异下相同海况相同海域下的海洋环境噪声，g取值5-10，得到三个分别是m×e,m×f,m×g阶的Lyapunov指数矩阵；

采集h种航速海况、区域、时间相同的水中各目标辐射噪声和k种水文环境航速相同的水中各目标辐射噪声，h和k取值5-10，分别得到p种目标的m×h,m×k阶Lyapunov指数矩阵，将e、f、g种原始海洋环境噪声数据的任意一种数据，分别按照0.1、0.5、1和2的权重加入到h、k种中任意一种目标辐射噪声数据中，分别计算Lyapunov指数，每一个重构维数m对应一个Lyapunov指数，得到m×1维向量，形成h和k种数据组合，从而得到四种含有海洋环境噪声和各目标辐射噪声的m×h,m×k阶Lyapunov指数矩阵，利用最小二乘法得到基于Lyapunov指数的特征量；

第二步：提取目标辐射噪声及海洋环境噪声中的关联维数，利用神经网络的方法，建立m(m-1)/2个隐层，提取包含在各隐层的关联维数，得到基于关联维数的特征量；

具体步骤为：

由重构理论可知，通过相空间重构，可以重现出复杂系统中不同吸引子特性，针对目标辐射噪声，得到不同时间延迟下的同一舰船辐射噪声的相空间；

从相空间图可以明显看出，不同时间延迟下，相空间表征的系统特性不同，进而其关联维数也不同，利用式(2)计算关联积分C_n(r)：

其中n为信号长度，θ为Heaviside单位函数，r表示距离，y_i、y_j为不同轨道的信号幅度，可得关联维数D：

在此基础上，通过选取时间延迟、重构维数，分别得到表征海洋环境噪声、水下目标辐射噪声的分形信息，而这些信息都是隐藏在海洋环境噪声和水下目标辐射噪声对应系统中的，借助神经网络方法中构造隐层的理论并以关联维数作为量化信息，得到基于关联维数的特征量。

建立m(m-1)/2个隐层，在预处理层通过G-P算法得到目标辐射噪声的时间延迟τ和重构维数m，得到目标辐射噪声的m列，n-(m-1)τ行重构矩阵Γ，重构矩阵Γ是由关联维数构成的特征量；；

第三步：对Duffing振子系统在输入目标辐射噪声时的系统运动状态变化进行表征

Duffing振子系统表示为：

其中，x′为振动幅度，表示x′的导数，y′为x′的导数，fcos(ωt)为内策动力，f为内策动力幅度，F(x′)为输入信号，k′＝0.5，α＝1，β＝1，ω＝1；

分别将海洋环境噪声和各目标辐射噪声输入Duffing振子系统中，以0和1分别表征系统处于混沌状态或非混沌状态，得到基于混沌系统通过特性的特征向量；

第四步：利用C₀算法进行系统复杂度分析

C₀算法描述为：

其中C₀(r,n)为系统复杂度，x(i)为原始数据，为原始数据通过FFT变换方法得到的原始数据的非规则部分，n为序列长度，r为到x(i)的距离，即

根据公式(5)分别计算海洋环境噪声和各目标辐射噪声的系统复杂度值，得到基于系统复杂度的特征量；

第五步：采用时域平均法(同步积累法)、相关检测和高阶统计量，分别获得实录海洋环境噪声和多类目标辐射噪声的目标特征；

第六步：利用小波分析、小波包分析以及经验模态分解的多分辨特性，得到0～1000Hz频段的目标辐射噪声信号的线谱数目，构成线谱数目特征；

第七步：构造优化测度指标

建立以信噪比与信噪比增益为指标的最优测度计算方法，得到测度特征，具体步骤如下：

信噪比与信噪比增益表述为在待测周期信号频率处，输出信号与背景嗓声的功率谱之比SNR(signal and noise racial)表迖式为：

其中：S(ω)表示信号功率谱密度，S_N(Ω)为噪声在周期信号频率处的强度，ω为信号角频率，Ω为模拟信号频率；

第八步：特征层信息融合方法

利用核主成分分析(KPCA)从特征向量区分出主特征，通过非线性映射φ将原始向量X(X∈R^N)映射到一个高维的特征空间F＝{φ(X):X∈R^N}，在F＝{φ(X):X∈R^N}上进行PCA分析，将在输入空间无法线性分类的数据变换到特征空间中；

第一步至第七步得到的特征量包括Lyapunov指数特征、关联维数特征、混沌信息通过特性、系统复杂度特征、时域平均法、(同步积累法)、相关检测、高阶统计量特征、测度特征以及线谱数目特征，其中线谱数目特征即原始向量X(X∈R^N)，这些特征汇聚到最终的融合中心后，无法进行嵌入式的线性分类，有些甚至不在同一维度，利用特征层信息融合方法将这些特征映射到同一高维空间中，可实现分类，由于每个节点传到融合中心的数据是对应节点的检测结果，只是带有一定的虚惊或漏检，通过分类可以将这些虚惊和漏检祛除，达到最终高效率检测的目的；

利用单类SVM学习数据样本，构造模型以检测目标信号，给定Z个没有标签的数据点，通过非线性映射Φ:X→H；x→Φ(x)，x∈X将样本从输入空间X映射到特征空间H中，映射通过核函数间接定义：

k(x_i，x_j)＝<Φ(x_i)，Φ(x_j)> (8)

One-class SVM在特征空间中构造一个球，该球包含大部分样本的像作为正常数据，由于噪声的存在，存在少部分非正常样本在球外面，非正常数据也称为新颖数据，球通过下面的原始问题实现：

s.t.||φ(x_j)-a||²≤R²+ξ_j

ξ_j≥0

其中R是球半径，C为惩罚参数，a是球心坐标向量，ξ_j是允许数据点在球外引入的松弛变量，引入凸优化里Lagrangian乘子法求解：

单类SVM基于结构风险最小化原理，C对球的最小体积与正确分类取得折中，β_j≥0和μ_j≥0为Lagrange乘子，根据Fletcher的KKT的互补条件得到

ξ_jμ_j＝0 (11)

(R²+ξ_j-||φ(x_j)-a||²)β_j＝0 (12)

利用公式(11)和(12)和凸优化将原始问题转换为求取对偶问题的解，得到以下形式：

0≤β_j≤C

构造核函数，本发明为高斯核，样本点x到构造的超球面的半径为R＝d(x_i)，d＝||φ(x_i)-a||，x_i为支持向量；

第十步，检测

通过第九步中的分类结果，若高维空间中超球面一侧的样本点超过80％，则检测结果就和超过80％一侧的结果一致。

Claims (1)

1.一种水下弱小目标检测方法，其特征在于包括下述步骤：

第一步：提取目标辐射噪声中的Lyapunov指数矩阵

每得到一个重构维数m并确定对应延迟时间τ，均可得到一个m×1的Lyapunov向量，将Lyapunov向量分别组成具有m列的矩阵，利用最小二乘方法得到目标辐射噪声中的Lyapunov指数特征量，详细步骤如下：

首先，根据Takens重构定理，根据G-P算法取不同的重构维数和延迟时间，得到信号在不同重构空间中的表征：

x(i)＝[x(i),x(i+τ),...,x(i+(m-1)τ)]^T,i＝1,...,n (1)

其中x(i)表示信号，τ为延迟时间，[]^T表示转置，n为信号长度，m为重构维数；

其次，分别采集e种1至5级海况下相同区域相同时间的海洋环境噪声，分别采集f种远海备选区域下相同海况相同时间的海洋环境噪声，分别采集g种3、6、9、12月各时间差异下相同海况相同海域下的海洋环境噪声，得到三个分别是m×e,m×f,m×g阶的Lyapunov指数矩阵；

采集h种航速海况、区域、时间相同的水中各目标辐射噪声和k种水文环境航速相同的水中各目标辐射噪声，分别得到p种目标的m×h,m×k阶Lyapunov指数矩阵；

将e、f、g种原始海洋环境噪声数据的任意一种数据，分别按照0.1、0.5、1和2的权重加入到h、k种中任意一种目标辐射噪声数据中，分别计算Lyapunov指数，每一个重构维数m对应一个Lyapunov指数，得到m×1维向量，形成h和k种数据组合，从而得到四种含有海洋环境噪声和各目标辐射噪声的m×h,m×k阶Lyapunov指数矩阵，利用最小二乘法得到基于Lyapunov指数的特征量；

第二步：提取目标辐射噪声及海洋环境噪声中的关联维数，利用神经网络的方法，建立m(m-1)/2个隐层，提取包含在各隐层的关联维数，得到基于关联维数的特征量；

具体步骤为：

利用式(2)计算关联积分C_n(r)：

$C_n\left(r\right)=\frac{1}{n^2}\underset{i,j=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}\mathrm{\&theta;}(r-|y_i-y_j\left|\right)---\left(2\right)$

其中n为信号长度，θ为Heaviside单位函数，r表示距离，y_i、y_j为不同轨道的信号幅度，可得关联维数D：

$D=\frac{\ln C_n\left(r\right)}{\ln r}---\left(3\right)$

建立m(m-1)/2个隐层，在预处理层通过G-P算法得到目标辐射噪声的时间延迟τ和重构维数m，得到目标辐射噪声的m列，n-(m-1)τ行重构矩阵Γ，重构矩阵Γ是由关联维数构成的特征量；

第三步：对Duffing振子系统在输入目标辐射噪声时的系统运动状态变化进行表征

Duffing振子系统表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^{\&prime;}=y^{\&prime;}\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{y}}^{\&prime;}=-k^{\&prime;}{y}^{\&prime;}+{\mathrm{\&alpha;x}}^{\&prime;}-{\mathrm{\&beta;x}}^{\&prime;3}+fcos\left(\mathrm{\&omega;}t\right)+F\left(x^{\&prime;}\right)\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，x′为振动幅度，表示x′的导数，y′为x′的导数，f cos(ωt)为内策动力，f为内策动力幅度，F(x′)为输入信号，k′＝0.5，α＝1，β＝1，ω＝1；

分别将海洋环境噪声和各目标辐射噪声输入Duffing振子系统中，以0和1分别表征系统处于混沌状态或非混沌状态，得到基于混沌系统通过特性的特征向量；

第四步：利用C₀算法进行系统复杂度分析

C₀算法描述为：

$C_0(r,n)=\underset{i=0}{\overset{n-1}{\&Sigma;}}|x\left(i\right)-\tilde{x}\left(i\right){|}^2/\underset{i=0}{\overset{n-1}{\&Sigma;}}|x\left(i\right){|}^2---\left(5\right)$

其中C₀(r,n)为系统复杂度，x(i)为原始数据，为原始数据通过FFT变换方法得到的原始数据的非规则部分，n为序列长度，r为到x(i)的距离，即

根据公式(5)分别计算海洋环境噪声和各目标辐射噪声的系统复杂度值，得到基于系统复杂度的特征量；

第五步：采用时域平均法、相关检测和高阶统计量，分别获得实录海洋环境噪声和多类目标辐射噪声的目标特征；

第六步：利用小波分析、小波包分析及经验模态分解的多分辨特性，得到0～1000Hz频段的目标辐射噪声信号的线谱数目，构成线谱数目特征；

第七步：构造优化测度指标

建立以信噪比与信噪比增益为指标的最优测度计算方法，得到测度特征，具体步骤如下：

信噪比与信噪比增益表述为在待测周期信号频率处，输出信号与背景嗓声的功率谱之比SNR(signal and noise racial)表迖式为：

$SNR=2\&lsqb;\underset{\mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&omega;}\&RightArrow;0}{\lim }{\&Integral;}_{\mathrm{\&Omega;}-\mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&omega;}}^{\mathrm{\&Omega;}+\mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&omega;}}S\left(\mathrm{\&omega;}\right)d\mathrm{\&omega;}\&rsqb;/S_N\left(\mathrm{\&Omega;}\right)---\left(6\right)$

其中：S(ω)表示信号功率谱密度，S_N(Ω)为噪声在周期信号频率处的强度，ω为信号角频率，Ω为模拟信号频率；

第八步：特征层信息融合方法

利用核主成分分析(KPCA)从特征向量区分出主特征，通过非线性映射φ将原始向量X(X∈R^N)映射到一个高维的特征空间F＝{φ(X):X∈R^N}，在F＝{φ(X):X∈R^N}上进行PCA分析，将在输入空间无法线性分类的数据变换到特征空间中；

第一步至第七步得到的特征量包括Lyapunov指数特征、关联维数特征、混沌信息通过特性、系统复杂度特征、时域平均法、相关检测、高阶统计量特征、测度特征以及线谱数目特征，其中线谱数目特征即原始向量X(X∈R^N)，利用特征层信息融合方法将这些特征映射到同一高维空间中，实现分类；

利用单类SVM学习数据样本，构造模型以检测目标信号，给定个没有标签的数据点，通过非线性映射Φ:X→H；x→Φ(x)，x∈X将样本从输入空间X映射到特征空间H中，映射通过核函数间接定义：

k(x_i，x_j）＝<Φ(x_i)，Φ(x_j)> (8)

One-class SVM在特征空间中构造一个球，该球包含大部分样本的像作为正常数据，由于噪声的存在，存在少部分非正常样本在球外面，非正常数据也称为新颖数据，球通过下面的原始问题实现：

$min(R^2+C\underset{j}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&xi;}}_j)---\left(9\right)$

s.t.||φ(x_j)-a||²≤R²+ξ_j

ξ_j≥0

其中R是球半径，C为惩罚参数，a是球心坐标向量，ξ_j是允许数据点在球外引入的松弛变量，引入凸优化里Lagrangian乘子法求解：

$L(R,a,\mathrm{\&xi;})=R^2-\underset{j}{\&Sigma;}(R^2+{\mathrm{\&xi;}}_j-|\left|\mathrm{\&phi;}\right(x_j)-a|{|}^2){\mathrm{\&beta;}}_j-\underset{j}{\&Sigma;}{\mathrm{\&xi;}}_j{\mathrm{\&mu;}}_j+C\underset{j}{\&Sigma;}{\mathrm{\&xi;}}_j---\left(10\right)$

单类SVM基于结构风险最小化原理，C对球的最小体积与正确分类取得折中，β_j≥0和μ_j≥0为Lagrange乘子，根据Fletcher的KKT的互补条件得到

ξ_jμ_j＝0 (11)

(R²+ξ_j-||φ(x_j)-a||²)β_j＝0 (12)

利用公式(11)和(12)和凸优化将原始问题转换为求取对偶问题的解，得到以下形式：

$\max W\left(\mathrm{\&beta;}\right)=\underset{j}{\mathrm{\&Sigma;}}k\left(x_j,x_j\right){\mathrm{\&beta;}}_j-\underset{i,j}{\&Sigma;}{\mathrm{\&beta;}}_i{\mathrm{\&beta;}}_{j}k(x_i,x_j)---\left(13\right)$

$s.t.\underset{j}{\&Sigma;}{\mathrm{\&beta;}}_j=1$

0≤β_j≤C

构造核函数，本发明为高斯核，样本点x到构造的超球面的半径为R＝d(x_i)，d＝||φ(x_i)-a||，x_i为支持向量；

第十步，检测

通过第九步中的分类结果，若高维空间中超球面一侧的样本点超过80％，则检测结果就和超过80％一侧的结果一致。