CN106681154A - 针对不确定质心和未知输入饱和的电动车自适应控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明针对不确定质心和未知输入饱和的电动车自适应控制方法，包括步骤：一、建立包含不确定质心和纵滑/侧滑的电动车系统的数学模型，二、用光滑的函数逼近执行器饱和，并考虑到执行器故障，应用到状态空间表达式中；三、设计输出受限的鲁棒自适应控制器对电动车运动轨迹进行控制。本发明能够应对电动车质心不确定所带来的不确定性影响，并且能够解决质心不确定性带来的控制难题，能够巧妙处理未知的执行器非线性饱特性，解决非对称饱和带来的控制难题，能够在执行器发生故障时，依然使电动车按照预期轨迹运行，能够限制电动车几何中心位置运行轨迹在事先给定的轨迹范围内，同时其简化了控制器设计步骤，使得控制器属于用户友好型。

Description

针对不确定质心和未知输入饱和的电动车自适应控制方法

技术领域

本发明涉及电动车自主行驶控制技术领域，特别涉及一种含有不确定质心和未知输入饱和的电动车鲁棒自适应控制方法。

背景技术

现存的电动车自主行驶路线控制设计研究大多数是基于运行过程中质心确定且不会变化的假设条件之上的。但是实际应用中，因为受到外界因素的影响(如：负载的重量的增加、减少；车体机械臂负载的转动等)，电动车的质心位置很难确定且质心很可能会滑动。因此，为了更加真实地反应电动车的实际运行情况，建立能够反应电动车质心变化的数学模型是必要且有意义的；同时，由于增加了不确定项，使得自主行驶控制器的设计变得更具有挑战性。

其次，由于执行器自身的物理结构特性，执行器输出的范围受到限制；然而，到目前为止，在几乎所有的研究中，所设计的控制器都要求执行器的非线性特性是已知的，然而这是一个非常严格克刻的条件，因为根据这个要求，在设计控制器时，需要测试执行器的物理性能，这一测试增加了控制器设计的工作量。

另外，由于执行器使用过程中的磨损消耗，执行器的故障问题会不可避免的出现在电动车运行的过程中。考虑到安全因素，在执行器发生故障损耗时(未来得及更换)，能保证电动车按照预期轨迹自主行驶的控制器的设计研究具有实际意义，尤其是在故障的参数未知情况下。然而，现有的控制技术几乎没有解决这个有挑战意义的问题。

同等重要的是，轨迹输出限制的研究可以避免不必要的碰撞事故，因为输出限制可以把电动车的运动轨迹限定在要求的区域内，达到安全行驶的要求。然而，几乎所有现存的研究工作和控制方法均没有给出很好的解决方案。

发明内容

有鉴于此，为了解决以上描述的现存问题，本发明的目的是提供一种针对不确定质心和未知输入饱和的电动车自适应控制方法，实现控制器能处理未知的执行器非对称饱和问题，未知的执行器故障问题，使电动车的运行轨迹被限制在要求的范围内，克服纵滑侧滑摩擦等来自外界的不确定非线性影响。

本发明针对不确定质心和未知输入饱和的电动车自适应控制方法，包括以下步骤：

步骤一、建立包含不确定质心和纵滑/侧滑的电动车系统的数学模型，包括：

第一步，建立电动车运动学模型

考虑到电动车的纵滑和侧滑影响，得到如下三个等式：

其中，(x_o,y_o)是电动车驱动轴中心在X-Y平面上的坐标位置，r是电动车驱动轮的半径，b是电动车驱动轴长度的一半，φ是电动车的方向角；θ₁和θ₂分别是左右轮的角位移；μ代表侧向滑移不确定性；ζ₁和ζ₂代表左右轮的纵向滑移不确定性；

从等式(1)-(3)可得到等式(4)：

在等式(4)中，q_o＝[x_o,y_o,θ₁,θ₂]^T

其中c是一个常数等于r/2b；另外，根据等式(1)-(3)之间的变形化简，得到电动车的运动学方程式(7)：

其中，

另外，对等式(7)两边求导得到等式(8)：

第二步，建立电动车的动力学方程

由拉格朗日函数得到电动车系统的总能量为

由于电动车在平面上运动，因此系统的能量仅仅包含动能，而没有势能；因此有：

式中，m＝m₁+m₂+2m_w，m₁是电动车的车体质量；m₂是其负载的质量；m_w是轮子的质量；(f₁,f₂)是负载的质心在车体中的位置坐标；I₁表示车体围绕驱动轴中心的转动惯量；I₂是负载的自身的转动惯量；I_w是车轮的转动惯量；

根据拉格朗日方程定理，得到如等式(13)所示的拉格朗日方程

其中，M(q_o)是对称正定矩阵，是向心力矩阵，d₁是不确定扰动，E(q_o)是输入转换矩阵，λ₁₂是表示限制力矢量，用S(q_o)^T与等式(13)相乘，然后将等式(7)带入相乘之后的结果，得到等式(14)：

其中， 并且有

考虑执行器饱和情况，并根据坐标之间的关系求得移动电动车中心的状态空间表达式(15)：

式中x₁＝[x₁₁,x₁₂]^T是电动车的中心的坐标，J是坐标转换之后得到的已知可逆矩阵；B(τ)表示执行器饱和；d(·)是整合后的不确定性；

步骤二、用光滑的函数逼近执行器饱和，并考虑到执行器故障，应用到状态空间表达式中；

为了处理饱和非线性，引入以下的函数：

式中，与分别表示输入饱和的上下界限，并且α_si是一个常数；b_i(τ_i)＝w_i(τ_i)+δ_i(τ_i)，式中δ_i(τ_i)是b_i(τ_i)和w_i(τ_i)之间的差值，且其是有界的；用中值定理可以进一步得到

在其中，τ_i ^λ＝λτ_i+(1-λ)τ_i0，当τ_i0＝0，上式可以被写为

那么移动电动车中心的状态空间表达式(15)可以被写为

表达式(16)中，G是由g₁₁(·)＞0和g₁₂(·)＞0组成的对角阵；

当执行器发生故障时，实际的输入τ_i不再等于所设计的控制输入τ_di，τ_i和τ_di之间存在如下的数学关系：

τ_i＝ψ_i(t)τ_di+δ_fi(t)，其中ψ_i(t)是执行器的有效控制率，δ_fi(t)是时变不可测量的变量；

因此考虑到执行器故障，电动车系统中心的状态空间表达式(16)可以写成如下形式：

等式(17)中G＝G₁ψ，ψ是由ψ₁和ψ₂组成的对角阵，L(·)＝L₁(·)+M₂ ^-1(J^T)^-1G₁δ_f(t)+d(·)其中δ_f＝[δ_f1,δ_f2]^T；

步骤三、设计输出受限的鲁棒自适应控制器对电动车运动轨迹进行控制，其包括：

第一步，利用期望轨迹轨迹与系统输出得到跟踪误差，结合正切函数的性质引入一个行向量s₂；

第二步，根据第一部引入的行向量，构建李雅普诺夫函数的第一部分随后构造一个虚拟控制变量式中k₁是设计参数，x^*是期望轨迹；

第三步，将第二步引入的虚拟控制变量，带入李雅普诺夫函数的第一部分，并且构建李雅普诺夫函数的第二部分V₂₂＝V₂₁+z₂ ^TM₂z₂，其中z₂＝x₂-α₁；将电动车系统中心的状态空间表达式(17)代入李雅普诺夫函数的第二部分，利用杨氏不等式，得到一个核函数F₂₂，当x₁与x₂是有界的此核函数是已知且有界的；

第四步，使李雅普诺夫函数的第二部分加上一项便于稳定性的证明，也就是加上是虚拟参数w₂₂的估计误差，用估计值来补偿抵消李雅普诺夫函数第二部分中的不确定项，确保系统的稳定性；

第五步，将控制器计算出的控制信号发送给移动电动车系统的执行器，实现跟踪期望轨迹在一定范围内的目标；k₂和ρ₂是设计参数，并且自适应律为

本发明的有益效果：

1、本发明针对不确定质心和未知输入饱和的电动车自适应控制方法，能够应对电动车质心不确定所带来的不确定性影响，并且能够解决质心不确定性带来的控制难题。

2、本发明针对不确定质心和未知输入饱和的电动车自适应控制方法，能够巧妙处理未知的执行器非线性饱特性，解决非对称饱和带来的控制难题。

3、本发明针对不确定质心和未知输入饱和的电动车自适应控制方法，能够在执行器发生故障时，依然使电动车按照预期轨迹运行。

4、本发明中控制器技术的实现，是通过提取核心函数的方法去处理非线性不确定性，简化了控制器设计步骤，使得控制器属于用户友好型。

5、本发明针对不确定质心和未知输入饱和的电动车自适应控制方法，能够限制电动车几何中心位置运行轨迹在事先给定的轨迹范围内。

附图说明

图1为在直角坐标系中的电动车示意图，图中1-负载质心，2-电动车几何中心，3-驱动轮，4-从动轮；图中(f₁,f₂)是负载的质心在车体中的位置坐标；h是电动车车体中心到驱动轴中心位置的距离；r是电动车驱动轮的半径；b是电动车驱动轴长度的一半；

图2为执行器饱和的三种情况及其被引入光滑函数逼近后的示意图；图中模型1子图中和表示两个间断点；模型2子图中和表示两个间断点；模型3子图中和表示两个间断点，m_1i和m_2i表示饱和死区的分断点；

图3为本发明的控制结构图及鲁棒自适应控制器的设计原理图；

图4为本发明的控制结构图；

图5为电动车质心在车体坐标系中变化的轨迹曲线图；

图6为执行器有效率曲线图；

图7为跟踪期望轨迹误差曲线图；

图8为电动车跟踪期望轨迹2维响应图；

图9为设计的控制器产生的控制信号随时间变化曲线图；

图10为执行器输出的控制信号曲线图；

图11为输出信号受限图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步描述。

本实施例针对不确定质心和未知输入饱和的电动车自适应控制方法，包括以下步骤：

步骤一、建立包含不确定质心和纵滑/侧滑的电动车系统的数学模型，包括：

第一步，建立电动车运动学模型

考虑到电动车的纵滑和侧滑影响，得到如下三个等式：

其中，(x_o,y_o)是电动车驱动轴中心在X-Y平面上的坐标位置，r是电动车驱动轮的半径，b是电动车驱动轴长度的一半，φ是电动车的方向角；θ₁和θ₂分别是左右轮的角位移；μ代表侧向滑移不确定性；ζ₁和ζ₂代表左右轮的纵向滑移不确定性；

从等式(1)-(3)可得到等式(4)：

在等式(4)中,q_o＝[x_o,y_o,θ₁,θ₂]^T，并且

其中c是一个常数等于r/2b；另外，根据等式(1)-(3)之间的变形化简，得到电动车的运动学方程式(7)：

其中，

另外，对等式(7)两边求导得到等式(8)：

第二步，建立电动车的动力学方程

由拉格朗日函数得到电动车系统的总能量为

由于电动车在平面上运动，因此系统的能量仅仅包含动能，而没有势能；因此，有

式中，m＝m₁+m₂+2m_w，m₁是电动车的车体质量；m₂是其负载的质量；m_w是轮子的质量；(f₁,f₂)是负载的质心在车体中的位置坐标；I₁表示车体围绕驱动轴中心的转动惯量；I₂是负载的自身的转动惯量；I_w是车轮的转动惯量；

根据拉格朗日方程定理，得到如等式(13)所示的拉格朗日方程

其中，M(q_o)是对称正定矩阵，是向心力矩阵，d₁是不确定扰动，E(q_o)是输入转换矩阵，λ₁₂是表示限制力矢量，用S(q_o)^T与等式(13)相乘，然后将等式(7)带入相乘之后的结果，得到等式(14)：

其中， 并且有

和表示出了与原模型的不同之处，反应了负载的位置和质量变化给系统模型带来的影响，也是本发明所建立模型的创新之处；

考虑执行器饱和情况，并根据坐标之间的关系求得移动电动车中心的状态空间表达式(15)：

式中x₁＝[x₁₁,x₁₂]^T是电动车的中心的坐标，J是坐标转换之后得到的已知可逆矩阵；B(τ)表示执行器饱和；d(·)是整合后的不确定性；

步骤二、用光滑的函数逼近执行器饱和，并考虑到执行器故障，应用到状态空间表达式中；

本实施例考虑到了如图2所示的三种执行器饱和的模型，为了处理饱和非线性，引入以下的函数：

式中，与分别表示输入饱和的上下界限，并且α_si是一个常数；根据图2所示的接近特性，得到b_i(τ_i)＝w_i(τ_i)+δ_i(τ_i)，式中δ_i(τ_i)是b_i(τ_i)和w_i(τ_i)之间的差值，且其是有界的；用中值定理可以进一步得到

在其中，τ_i ^λ＝λτ_i+(1-λ)τ_i0，当τ_i0＝0，上式可以被写为

那么移动电动车中心的状态空间表达式(15)可以被写为

表达式(16)中，G是由g₁₁(·)＞0和g₁₂(·)＞0组成的对角阵；

当执行器发生故障时，实际的输入τ_i不再等于所设计的控制输入τ_di，τ_i和τ_di之间存在如下的数学关系：

τ_i＝ψ_i(t)τ_di+δ_fi(t)，其中ψ_i(t)是执行器的有效控制率，δ_fi(t)是时变不可测量的变量；

因此考虑到执行器故障，电动车系统中心的状态空间表达式(16)可以写成如下形式：

等式(17)中G＝G₁ψ，ψ是由ψ₁和ψ₂组成的对角阵，L(·)＝L₁(·)+M₂ ^-1(J^T)^-1G₁δ_f(t)+d(·)其中δ_f＝[δ_f1,δ_f2]^T；

步骤三、设计输出受限的鲁棒自适应控制器对电动车运动轨迹进行控制，其包括：

第一步，利用期望轨迹轨迹与系统输出得到跟踪误差，结合正切函数的性质引入一个行向量s₂；

第二步，根据第一部引入的行向量，构建李雅普诺夫函数的第一部分随后构造一个虚拟控制变量式中k₁是设计参数，x^*是期望轨迹；

第三步，将第二步引入的虚拟控制变量，带入李雅普诺夫函数的第一部分，并且构建李雅普诺夫函数的第二部分V₂₂＝V₂₁+z₂ ^TM₂z₂，其中，z₂＝x₂-α₁；将电动车系统中心的状态空间表达式(17)代入李雅普诺夫函数的第二部分，利用杨氏不等式，得到一个核函数F₂₂，当x₁与x₂是有界的此核函数是已知且有界的；

第四步，使李雅普诺夫函数的第二部分加上一项便于稳定性的证明，也就是加上是虚拟参数w₂₂的估计误差，用估计值来补偿抵消李雅普诺夫函数第二部分中的不确定项，确保系统的稳定性；

第五步，将控制器计算出的控制信号发送给移动电动车系统的执行器，实现跟踪期望轨迹在一定范围内的目标；k₂和ρ₂是设计参数，并且自适应律为

下面对本实施例针对不确定质心和未知输入饱和的电动车自适应控制方法进行仿真验证：

为了验证本实施例中所设计的控制器的可行性及其性能，采取如下的仿真参数：m₁＝10,m₂＝6+3sin(t),m_w＝1,I₁＝2.5,I₂＝0.4+0.1sin(t),I_w＝0.02，r＝0.1,b＝0.5,h＝0.5,f₁＝0.5sin(t),f₂＝0.5cos(t)+0.4,μ＝0.01，ζ＝[0.001sin(t),0.002cos(t)]^T，且饱和非线性中间的函数取为1；期望的轨迹选择为x*＝[2sin(t),3cos(t)]^T，轨迹输出应满足|x₁₁|＜2.3并且|x₁₂|＜3.05，选取控制器参数：k₁＝3,k₂＝5,ρ₂＝0.5,σ₂＝0.2；电动车系统的初始状态参数值取为x₁＝[x_p,y_p]^T＝[0.1,3.0]^T，θ＝[θ₁,θ₂]^T＝[0,0]T；m₁是电动车的车体质量；m₂是其负载的质量；m_w是轮子的质量；f₁,f₂是负载的质心在车体中的位置坐标；h是机器人车体中心到驱动轴中心位置的距离；r是驱动轮的半径；I₁表示车体围绕驱动轴中心的转动惯量；I₂是负载的自身的转动惯量；I_w是车轮的转动惯量；b是驱动轴长度的一半。

最终得到仿真结果如图5-11所示。从图5可以看出质心变化的轨迹，(c₁,c₂)是质心在车体中的坐标值；图6显示了执行器的有效率；图7显示跟踪误差保持在小的范围内；图8可以看出用所设计的控制算法具有好的跟踪性能；图9表示所设计的控制输入信号，图10表示饱和的控制信号，从图9-10可以看出控制信号是连续且有界的。根据图11可以看出电动车中心的轨迹输出始终满足输出受限的性能要求。综上所述，仿真结果证明了在外界扰动、未知执行器故障、未知执行器饱和、及执行不确定的影响下，所设计的控制器能够保证电动车按照所要求的性能运行。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (1)

1.一种针对不确定质心和未知输入饱和的电动车自适应控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、建立包含不确定质心和纵滑/侧滑的电动车系统的数学模型，包括：

第一步，建立电动车运动学模型

考虑到电动车的纵滑和侧滑影响，得到如下三个等式：

${\stackrel{\·}{y}}_{o}cos\mathrm{\φ}-{\stackrel{\·}{x}}_{o}sin\mathrm{\φ}=\mathrm{\μ}---\left(1\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_{o}cos\mathrm{\φ}+{\stackrel{\·}{y}}_{o}sin\mathrm{\φ}+b\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}=r({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_1)---\left(2\right)$

${\stackrel{\·}{x}}_{o}cos\mathrm{\φ}+{\stackrel{\·}{y}}_{o}sin\mathrm{\φ}-b\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}=r({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2-{\stackrel{\·}{\mathrm{\ζ}}}_2)---\left(3\right)$

其中，(x_o,y_o)是电动车驱动轴中心在X-Y平面上的坐标位置，r是电动车驱动轮的半径，b是电动车驱动轴长度的一半，φ是电动车的方向角；θ₁和θ₂分别是左右轮的角位移；μ代表侧向滑移不确定性；ζ₁和ζ₂代表左右轮的纵向滑移不确定性；

从等式(1)-(3)可得到等式(4)：

$A\left(q_o\right){\stackrel{\·}{q}}_o=\mathrm{\ξ}---\left(4\right)$

在等式(4)中,q_o＝[x_o,y_o,θ₁,θ₂]^T；

$A\left(q_o\right)=\left[\begin{array}{cccc}-\sin \mathrm{\φ}& cos\mathrm{\φ}& 0& 0\\ -cos\mathrm{\φ}& -sin\mathrm{\φ}& cb& cb\end{array}\right],\mathrm{\ξ}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\μ}\\ cb({\mathrm{\ζ}}_1+{\mathrm{\ζ}}_2)\end{array}\right]$

其中c是一个常数等于r/2b；另外，根据等式(1)-(3)之间的变形化简，得到电动车的运动学方程式(7)：

其中，

另外，对等式(7)两边求导得到等式(8)：

第二步，建立电动车的动力学方程

由拉格朗日函数得到电动车系统的总能量为由于电动车在平面上运动，因此系统的能量仅仅包含动能，而没有势能；因此有：

$\begin{array}{c}K=\frac{1}{2}m{\stackrel{\·}{x}}_o^2+\frac{1}{2}m{\stackrel{\·}{y}}_o^2+\frac{1}{2}I{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}^2+\frac{1}{2}{I}_w({{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1}^2+{{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_2}^2)+m_2\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}(f_1{\stackrel{\·}{f}}_2-{\stackrel{\·}{f}}_1{f}_2)\\ +m_2{\stackrel{\·}{x}}_o\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}(-f_2\sin \mathrm{\φ}+f_1\cos \mathrm{\φ}+{\stackrel{\·}{f}}_1\sin \mathrm{\φ}+{\stackrel{\·}{f}}_2\cos \mathrm{\φ})+{{\stackrel{\·}{f}}_1}^2\\ +m_2{\stackrel{\·}{y}}_o\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}(f_2\cos \mathrm{\φ}+f_1\sin \mathrm{\φ}-{\stackrel{\·}{f}}_1\cos \mathrm{\φ}+{\stackrel{\·}{f}}_2\sin \mathrm{\φ})+{{\stackrel{\·}{f}}_2}^2\end{array}$

式中，m＝m₁+m₂+2m_w，I＝I₁+I₂+m₂(f₁ ²+f₂ ²)+2I_w+2m_wb²，m₁是电动车的车体质量；m₂是其负载的质量；m_w是轮子的质量；(f₁,f₂)是负载的质心在车体中的位置坐标；I₁表示车体围绕驱动轴中心的转动惯量；I₂是负载的自身的转动惯量；I_w是车轮的转动惯量；

根据拉格朗日方程定理，得到如等式(13)所示的拉格朗日方程

$M\left(q_o\right){\stackrel{\·\·}{q}}_o+V_m(q_o,{\stackrel{\·}{q}}_o){\stackrel{\·}{q}}_o+d_1(\·)=E\left(q_o\right){\mathrm{\τ}}_o-A{\left(q_o\right)}^T{\mathrm{\λ}}_{12}---\left(13\right)$

其中，M(q_o)是对称正定矩阵，是向心力矩阵，d₁是不确定扰动，E(q_o)是输入转换矩阵，λ₁₂是表示限制力矢量，用S(q_o)^T与等式(13)相乘，然后将等式(7)带入相乘之后的结果，得到等式(14)：

其中， 并且有

$\stackrel{\‾}{M}=\left[\begin{array}{cc}{\stackrel{\‾}{m}}_{11}& {\mathrm{mc}}^2{b}^2-{\mathrm{Ic}}^2\\ {\mathrm{mc}}^2{b}^2-{\mathrm{Ic}}^2& {\stackrel{\‾}{m}}_{22}\end{array}\right],\stackrel{\‾}{V}=\left[\begin{array}{cc}0& 2m_2{c}^2{\mathrm{bf}}_2\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}\\ -2m_2{c}^2{\mathrm{bf}}_2\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}& 0\end{array}\right]$

${\stackrel{\‾}{m}}_{11}={\mathrm{mc}}^2{b}^2+2m_2{c}^2{\mathrm{bf}}_1+{\mathrm{Ic}}^2+I_w,{\stackrel{\‾}{m}}_{22}={\mathrm{mc}}^2{b}^2-2m_2{c}^2{\mathrm{bf}}_1+{\mathrm{Ic}}^2+I_w;$

考虑执行器饱和情况，并根据坐标之间的关系求得移动电动车中心的状态空间表达式(15)：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=J{\stackrel{\‾}{M}}^{-1}B\left(\mathrm{\τ}\right)+\stackrel{\·}{J}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+d(\·)\end{array}\right.---\left(15\right)$

式中x₁＝[x₁₁,x₁₂]^T是电动车的中心的坐标，J是坐标转换之后得到的已知可逆矩阵；B(τ)表示执行器饱和；d(·)是整合后的不确定性；

步骤二、用光滑的函数逼近执行器饱和，并考虑到执行器故障，应用到状态空间表达式中；

为了处理饱和非线性，引入以下的函数：

$w_i\left({\mathrm{\τ}}_i\right)=\frac{\stackrel{\‾}{{\mathrm{\δ}}_i}{e}^{({\mathrm{\ϵ}}_{si}+{\mathrm{\α}}_{si}{\mathrm{\τ}}_i)}-{\underset{\‾}{\mathrm{\δ}}}_i{e}^{-({\mathrm{\ϵ}}_{si}+{\mathrm{\α}}_{si}{\mathrm{\τ}}_i)}}{e^{({\mathrm{\ϵ}}_{si}+{\mathrm{\α}}_{si}{\mathrm{\τ}}_i)}+e^{-({\mathrm{\ϵ}}_{si}+{\mathrm{\α}}_{si}{\mathrm{\τ}}_i)}}$

式中， 与δ _i分别表示输入饱和的上下界限，并且α_si是一个常数；b_i(τ_i)＝w_i(τ_i)+δ_i(τ_i)，式中δ_i(τ_i)是b_i(τ_i)和w_i(τ_i)之间的差值，且其是有界的；用中值定理可以进一步得到

$w_i\left({\mathrm{\τ}}_i\right)=w_i\left({\mathrm{\τ}}_{i0}\right)+\frac{\∂w_i\left({\mathrm{\τ}}_i\right)}{\∂{\mathrm{\τ}}_i}{|}_{{\mathrm{\τ}}_i={\mathrm{\τ}}_i^{\mathrm{\λ}}}({\mathrm{\τ}}_i-{\mathrm{\τ}}_{i0})$

在其中，τ_i ^λ＝λτ_i+(1-λ)τ_i0，当τ_i0＝0，上式可以被写为

$w_i\left({\mathrm{\τ}}_i\right)=\frac{\∂w_i\left({\mathrm{\τ}}_i\right)}{\∂{\mathrm{\τ}}_i}{|}_{{\mathrm{\τ}}_i={\mathrm{\τ}}_i^{\mathrm{\λ}}}{\mathrm{\τ}}_i=g_{1i}(\·){\mathrm{\τ}}_i$

那么移动电动车中心的状态空间表达式(15)可以被写为

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2={M_2}^{-1}{\left(J^T\right)}^{-1}{G}_1\mathrm{\τ}+\stackrel{\·}{J}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+L_1(\·)\end{array}\right.---\left(16\right)$

表达式(16)中，τ＝[τ₁,τ₂]^T、G是由g₁₁(·)＞0和g₁₂(·)＞0组成的对角阵；

当执行器发生故障时，实际的输入τ_i不再等于所设计的控制输入τ_di，τ_i和τ_di之间存在如下的数学关系：

τ_i＝ψ_i(t)τ_di+δ_fi(t)，其中ψ_i(t)是执行器的有效控制率，δ_fi(t)是时变不可测量的变量；

因此考虑到执行器故障，电动车系统中心的状态空间表达式(16)可以写成如下形式：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2={M_2}^{-1}{\left(J^T\right)}^{-1}{\mathrm{G\τ}}_d+\stackrel{\·}{J}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+L(\·)\end{array}\right.---\left(17\right)$

等式(17)中G＝G₁ψ，ψ是由ψ₁和ψ₂组成的对角阵，L(·)＝L₁(·)+M₂ ^-1(J^T)^-1G₁δ_f(t)+d(·)其中δ_f＝[δ_f1,δ_f2]^T；

步骤三、设计输出受限的鲁棒自适应控制器对电动车运动轨迹进行控制，其包括：

第一步，利用期望轨迹轨迹与系统输出得到跟踪误差，结合正切函数的性质引入一个行向量s₂；

第二步，根据第一部引入的行向量，构建李雅普诺夫函数的第一部分随后构造一个虚拟控制变量式中k₁是设计参数，x^*是期望轨迹；

第三步，将第二步引入的虚拟控制变量，带入李雅普诺夫函数的第一部分，并且构建李雅普诺夫函数的第二部分V₂₂＝V₂₁+z₂ ^TM₂z₂，其中，z₂＝x₂-α₁；将电动车系统中心的状态空间表达式(17)代入李雅普诺夫函数的第二部分，利用杨氏不等式，得到一个核函数F₂₂，当x₁与x₂是有界的此核函数是已知且有界的；

第四步，使李雅普诺夫函数的第二部分加上一项便于稳定性的证明，也就是加上 是虚拟参数w₂₂的估计误差，用估计值来补偿抵消李雅普诺夫函数第二部分中的不确定项，确保系统的稳定性；

第五步，将控制器计算出的控制信号发送给移动电动车系统的执行器，实现跟踪期望轨迹在一定范围内的目标；k₂和ρ₂是设计参数，并且自适应律为