CN106649921A - 一种t形梁抗扭断面设计的优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种T形结构抗扭断面设计的优化方法，本方法首先求得T形梁的扭转变形势能和动能，进而利用能量变分法获得T形结构扭转振动的控制微分方程和自然边界条件，基于此得到简支T形梁固有频率计算公式。最后以T形梁扭转振动频率值为判据，即固有频率值大，结构扭转变形势能小，T形梁抗扭断面尺寸优，且该类结构的静力学分析进一步证明了本发明的有效性。由于本方法力学分析准确，因而优化后的T形结构抗扭性能更好，有利于避免因扭转而产生的梁体开裂、刚度降低和屈曲等不良病害。本方法力学概念清晰、计算简单，具有良好的应用价值，因而为土木结构或机械工程的抗扭设计提供了理论和技术支持。

Description

一种T形梁抗扭断面设计的优化方法

技术领域

本发明涉及T形梁抗扭断面设计的优化方法，属于结构工程技术领域。

背景技术

由于T形结构具有良好的力学性能，因而在中小跨径桥梁、房屋结构以及机械工程中得到广泛应用，但是该类结构在偏心荷载或曲梁状态下都将受到扭转的影响。因而，其合理抗扭断面尺寸的选择，将使T形结构具有良好的力学性能，这不仅可以减少结构材料用量和降低维修费用等，而且还将进一步提高该类工程结构的耐久性。因而，该方面发明具有一定的理论意义和工程实用价值。

现阶段，处于扭转状态下，运营中的很多T形土木工程结构或机械发生了严重病害，如土木结构刚度降低、翼板和腹板开裂，以及机械工程中T形梁的屈曲破坏等，这些都将严重威胁整体结构的安全性。但是，由于相关设计理论的局限性，现阶段并未对T形结构抗扭断面尺寸的优化进行深入研究，这将造成T形梁断面尺寸设计的不合理。那么，在满足结构使用功能的前提下，如何适应其力学特点，筛选出抗扭力学性能优良的T形结构成为研究者不懈努力的目标。因为合理抗扭断面形式，不仅可以改善结构的力学性能，而且将有效提高该类结构的耐久性。因而，T形梁抗扭断面优化设计的研究、发明更具理论意义和工程实用价值。

发明内容

本发明目的是：针对上述问题，本发明提出T形梁抗扭断面设计的优化方法，该方法综合考虑了T形梁的力学特点，通过合理的断面尺寸选择，使T形梁处于良好的抗扭力学状态。

本发明的技术方案是：T形梁抗扭断面设计的优化方法，其特征在于该方法为：

首先推导出关于θ(x)的新微分方程

进而，构建下列方程式

最后，根据简支边界条件获得T形梁扭转振动的固有频率计算公式

式中：

x,z,y分别为通过T形梁截面剪心的轴向、竖向和横向坐标；θ(x)为T形梁绕剪切中心的扭转角；i为虚数单位；α₁,β₁为关于θ(x)特征方程解的系数；sin为正弦函数；cos为余弦函数；ρ为T形梁材料的质量密度；J_k为扭转常数；I_ρ为相对于剪心的惯性矩；G为材料的剪切弹性模量；m_x为作用于T形梁均布扭矩；ω为T形梁振动频率；l为T形梁跨径长；π为圆周率；c₁；c₂为常系数，可以根据T形梁相关边界条件求解；

根据方程(12)，求得简支边界条件T形梁扭转振动的固有频率值，且以其固有频率值为判据，可以优化T形梁断面尺寸b,t_w,t,h；进而，通过T形梁断面尺寸b,t_w,t,h的合理选择，以期改善T形结构的抗扭力学性能；

其中，b为T形梁翼板长度的一半；t_w为T形梁腹板厚度；t为T形梁翼板厚度；h为T形梁高度。

本发明的优点是：本方法首先求得T形梁的扭转变形势能和动能，进而利用能量变分法获取T形结构扭转振动的控制微分方程和自然边界条件，基于此求得简支T形梁固有频率计算公式。最后以T形梁扭转振动频率值为判据，即固有频率值大，结构扭转变形势能小，T形梁抗扭断面尺寸优，且该类结构的静力学分析进一步证明了本发明的有效性。由于本方法力学分析准确，因而优化后的T形结构抗扭性能更好，有利于避免因扭转而产生的梁体开裂、刚度降低和屈曲破坏等不良病害。本方法力学概念清晰、计算简单，具有良好的应用价值，是对现行T形结构抗扭断面设计理论的有益补充。

附图说明

为了更清楚地阐明本发明实施例的技术方案，下面将对实施例描述中所需要使用的附图作简单地介绍，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其它的附图。

图1为本发明实施例中T形结构断面及坐标系图，在该图中，O表示剪心，O1表示质心；

图2为本发明算例中边界条件及坐标系图。

具体实施方式：

以下结合具体实施例对上述方案做进一步说明。应理解，这些实施例是用于说明本发明而并非限制本发明的范围。实施例中采用的实施条件可以根据具体施工和设计单位的条件做进一步调整，未注明的实施条件通常为常规实验中的条件。

具体实施例方式：

1、T形结构扭转振动的控制微分方程和边界条件

1.1力学参数的设置

对图1所示T形梁结构，若结构跨度为L，当结构处于扭转状态时，令其动扭转角为θ(x,t)。那么，T形梁稳态扭转振动时，其各项势能为：

T形梁荷载势能U_m为

T形梁扭转的动应变能U_x为

总势能为

U＝U_m+U_x(3)

结构扭转动能T为

式中：x,y,z为通过截面剪心的轴向、竖向和横向坐标；θ(x,t)为T形梁绕剪切中心的动扭转角；J_k为扭转常数；I_ρ为相对于剪心的惯性矩；G为材料的剪切弹性模量；m(x,t)为均布动扭矩；ρ为材料的质量密度；T_x(x,t)为x截面动扭矩。1.2T形梁扭转振动的微分方程及边界条件的获得

由哈密顿原理可推导出T形结构的动力控制微分方程及自然边界条件为

式(5)～(6)中，符号“.”和“′”分别表示对时间t和对坐标x求偏导数。

2、T形结构扭转振动微分方程的求解

若T形结构的振动频率为ω，那么可以令：和由方程(5)可得微分方程为

对方程(7)进行分析可知，其特征方程解可为下列形式：

r_1,2＝±(α₁+β₁i)

故方程(7)的通解为

其中c₁；c₂为常系数，可依据相关边界条件求解；i为虚数单位；α₁,β₁则为关于θ(x)特征方程解的系数；sin为正弦函数；cos为余弦函数；ω为T形梁振动频率。当m_x＝0时，可对T形结构扭转自振特性进行分析。

3、T形结构的自然边界条件

根据微分方程(6)，T形结构常用自然边界条件可以简化为

(1)简支T形结构位移和力学边界条件为

A、简谐均布力

B、简谐集中力

对于简支T形结构，若跨间所受力为简谐集中扭矩，且集中扭矩左右相邻边界距离为L₁和L₂。如图2所示，那么k点处还须引入下列连续边界条件为

4、T形梁扭转的静力学特性分析

对于方程(5)，当时，该方程组为静力学分析时方程，对其求解可以得到：

经分析，T形结构静动力边界条件相同，且静力学分析时常系数可以根据相应边界条件求得。

5、T形结构扭转自振特性的求解

将方程(8)代入相应边界条件，可得T形梁扭转振动的自振频率。对于简支T形结构，将方程(8)代入可得：

6、T形结构抗扭断面尺寸的优化

T形梁的能量由形变势能和动能组成，且一定力学条件下其为定值，同一结构系统中动能大则形变势能小。本发明通过不同断面形式T形梁扭转振动自振频率的求解，即自振频率值大，形变势能小，那么T形梁变形必然小，当然其力学性能更好。该发明以T形结构扭转振动固有频率值为判据，基于此，T形梁抗扭断面尺寸得以优化。(注：当一定跨径T形梁桥质量一定时，其断面积必为定值。基于此，该筛选方法的适用条件为：无论该T形梁断面尺寸如何变化，其截面积相等。)

注：b为T形梁上翼板长度的一半；t_w为T形梁腹板厚度；t为T翼板厚度；h为T形梁高度。

实际应用及效果验证：

现选用3组T形截面梁,其材料参数和几何参数分别为：(1)ρ＝2500kg/m³；G＝1.5×10⁴MPa；t_w＝0.25m；t＝0.15m；b＝0.625m，梁高为h＝1.25m。(2)ρ＝2500kg/m³；G＝1.5×10⁴MPa；t_w＝0.24m；t＝0.15m；b＝0.78m，梁高为h＝1.1m。

(3)ρ＝2500kg/m³；G＝1.5×10⁴MPa；t_w＝0.2m；t＝0.11m；b＝0.9m，梁高为h＝1.5m。根据本文推导公式，可计算出边界条件为简支T形梁扭转振动的自振频率，且据此筛选出抗扭力学性能优良的T形截面结构。

表1简支T形梁扭转振动的固有频率(L＝15m)(单位:Hz)

表1显示，T形梁扭转振动固有频率值的大小排序为第1组、第2组、第3组。基于此，T形梁抗扭力学性能的优劣排序亦应为第1组、第2组、第3组。即第1组T形梁抗扭力学性能为3组T形梁中最优者，在满足其它设计条件的前提下，本组T形梁应为抗扭设计中的首选项。

对于上述选用的3组T形截面梁，其材料参数和几何参数如上述，且均布扭矩为m_x＝100N·m/m。则根据简支边界条件，对简支T形梁跨中截面力学特性进行分析，且以此证明以自振频率为标准T形梁抗扭断面筛选方法的有效性。

表2简支T形梁跨中最大剪应力(L＝15m)(单位:pa)

通过简支T形梁扭转静力学特性分析，同样可以得出T形梁抗扭力学性能的优劣排序为第1组、第2组和第3组。且该结论与依据T形结构扭转自振频率值的判断相一致，因而静力学分析进一步证明了本发明方法的有效性。

当然，上述实施例只为说明本发明的技术构思及特点，其目的在于让人们能够了解本发明的内容并据以实施，并不能以此限制本发明的保护范围。凡根据本发明主要技术方案的精神实质所做的等效变换或修饰，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.基于动力特性T形梁抗扭断面设计的优化方法，其特征在于该方法为：

首先推导出关于θ(x)的新微分方程

${\mathrm{\θ}}^{\′\′}+\frac{{\mathrm{\ρI}}_{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{\ω}}^2}{{\mathrm{GJ}}_k}\mathrm{\θ}+\frac{m_x}{{\mathrm{GJ}}_k}=0---\left(7\right)$

进而，求得下列方程式

$\mathrm{\θ}\left(x\right)=c_{1}cos({\mathrm{\β}}_1-{\mathrm{\α}}_{1}i)x+c_{2}sin({\mathrm{\β}}_1-{\mathrm{\α}}_{1}i)x-\frac{m_x}{{\mathrm{\ρI}}_{\mathrm{\ρ}}{\mathrm{\ω}}^2}---\left(8\right)$

最后，根据简支边界条件获得T形梁扭转振动固有频率计算公式

$\begin{array}{cc}\mathrm{\ω}=\frac{1}{l}\sqrt{\frac{{\mathrm{GJ}}_k}{{\mathrm{\ρI}}_{\mathrm{\ρ}}}}n\mathrm{\π}& (n=1,2,3,...,\mathrm{\∞})\end{array}---\left(12\right)$

式中：

x,z,y分别为通过T形梁截面剪心的轴向、竖向和横向坐标；θ(x)为T形截面梁绕剪切中心的扭转角；i为虚数单位；α₁,β₁为关于θ(x)特征方程解的系数；sin为正弦函数；cos为余弦函数；ρ为T形梁材料的质量密度；J_k为扭转常数；I_ρ为相对于剪心的惯性矩；G为材料的剪切弹性模量；m_x为作用于T形梁均布扭矩；ω为T形梁振动频率；l为T形梁跨径长；π为圆周率；c₁；c₂为常系数，可以根据T形梁相关边界条件求解；

根据方程(12)，求得简支边界条件下T形梁扭转振动的固有频率值，以其固有频率值为判据，进而优化T形梁断面尺寸b,t_w,t,h；最后通过T形梁断面尺寸b,t_w,t,h的合理选择，以期改善T形结构的抗扭力学性能；

其中，b为T形梁翼板长度的一半；t_w为T形梁腹板厚度；t为T形梁翼板厚度；h为T形梁高度。