CN106558887B - 降低电网谐波影响的单相自适应锁频系统 - Google Patents

Abstract

本发明涉及新能源发电并网系统，为提出单相自适应锁频系统，提高频率自适应系统的稳定性；同时所构造的系统具有响应速度快、运算量小、鲁棒性强的特点，使其适用于电网电压出现严重畸变的电网同步系统中。本发明采用的技术方案是，降低电网谐波影响的单相自适应锁频系统，两个正交信号发生器级联产生两组正交信号，频率自适应控制器将两组正交信号通过组合运算，构造出频率自适应系统。本发明主要应用于新能源发电并网场合。

Description

降低电网谐波影响的单相自适应锁频系统

技术领域

本发明涉及新能源发电并网系统，尤其涉及一种新型的可以降低电网谐波影响的单相电网同步技术。具体讲,涉及降低电网谐波影响的单相自适应锁频系统。

背景技术

随着智能电网的不断发展，太阳能、风能等越来越多的清洁能源通过可靠的方式产生电能。分布式电源与环境相融合，发电方式灵活等特点给当代的电力系统带来了巨大变化。为了确保分布式电源向电网提供可靠的电能，性能优越的并网控制策略是必不可少的环节。在并网控制策略的具体实现中，通过电网同步技术准确获取电网电压的频率成为关键性的基本问题。

在实际电网环境下，电网故障和非线性负载的变化通常会导致电网电压出现严重的谐波畸变以及频率波动。因此，在实际电网出现谐波畸变和频率突变的应用场合下，采用准确可靠的电网同步方案是保证逆变器有效并网的可靠前提。

近年来很多适用于单相并网逆变器的同步方案被相继提出。其中，基于同步旋转坐标变换的锁相环法虽然可以准确捕获输入电压基波分量的频率和相位，但是该方法并不适用于单相系统；由于过零点检测锁相环法在一个电网电压周期内只能检测出两个过零点，并且当电网电压波形发生严重畸变时，电压过零点通常会产生漂移，所以该方法会明显降低锁相环的输出精度和响应速度；瞬时无功控制锁相法通过构建电网电压的正弦量，再进行正交变换来获取电网相位信息。传统的基于瞬时无功理论的单相锁相环是在三相锁相环的基础上改进得来，其算法本身具有较慢的响应速度。因此，在实际电网中，为了确保分布式电源向电网提供可靠的电能，需要有一个算法简单、滤波性能强、响应速度快的频率自适应系统。本发明中提到的单相自适应锁频系统具备以下优势：该系统结构简单、运算量较小、动态响应速度快；当电网电压出现严重畸变时，该系统可以准确地估量出基波电压信号的频率以及幅值，从而为新能源发电系统中单相并网同步技术提供重要的实际应用价值和理论指导意义。

发明内容

为克服现有技术的不足，本发明旨在提出单相自适应锁频系统，提高频率自适应系统的稳定性；同时所构造的系统具有响应速度快、运算量小、鲁棒性强的特点，使其适用于电网电压出现严重畸变的电网同步系统中。本发明采用的技术方案是，降低电网谐波影响的单相自适应锁频系统，两个正交信号发生器级联产生两组正交信号，频率自适应控制器将两组正交信号通过组合运算，构造出频率自适应系统。

正交信号发生器由加法器1、放大器2、加法器3、放大器4、积分器5、积分器6和放大器7组成，其中，加法器1的一个输入端作为正交信号发生器的输入端，输入信号为a；积分器5的输出分为三路：第一路直接作为正交信号发生器的第一输出端，输出信号为b；第二路将输出信号b取负值作为加法器1的另一个输入端的输入量；第三路直接与积分器6的输入端连接；放大器7的输出分为两路：第一路直接作为正交信号发生器的第二个输出端，输出信号c；第二路将输出信号c取负值作为加法器3的另一个输入端的输入量。

前级正交信号发生器由加法器11、放大器12、加法器13、放大器14、积分器15、积分器16和放大器17组成；后级正交信号发生器由加法器18、放大器19、加法器20、放大器21、积分器22、积分器23和放大器24组成；频率自适应控制器由乘法器25、乘法器26、加法器27、放大器28、积分器29组成；在前级正交信号发生器中，加法器11的一端输入信号v作为单相自适应锁频系统的输入端，放大器17的输出分为两路：第一路作为后级正交信号发生器的输入信号qv'，直接与加法器18的一端连接；第二路将信号取负值作为加法器13的另一个输入端的输入量；在后级正交信号发生器中，积分器22的输出信号为v＂，放大器24的输出信号为qv＂；在频率自适应控制器中，放大器17的输出信号qv'与放大器24的输出信号qv＂作为乘法器25的输入信号，积分器15的输出信号v'与积分器22的输出信号v＂作为乘法器26的输入信号，乘法器25的输出与加法器27的一个输入端连接，乘法器26的输出取负值与加法器27的另一个输入端连接，积分器29的输出分为五路：第一路信号连接放大器14，作为放大器14的放大系数；第二路信号连接放大器17，作为放大器17的放大系数；第三路信号连接放大器21，作为放大器21的放大系数；第四路信号连接放大器24，作为放大器24的放大系数，第五路信号作为频率自适应控制器的输出。

正交信号发生器的传递函数为：

式中，s为复变量，a(s)为输入信号a的拉普拉斯变换，b(s)为输出信号b的拉普拉斯变换，c(s)为输出信号c的拉普拉斯变换，D(s)为b(s)和a(s)之间的传递函数，Q(s)为c(s)和a(s)之间的传递函数；k表示正交信号发生器的增益系数；ω₀表示正交信号发生器的中心角频率，当k取不同的值，在中心角频率ω₀处：输出信号b不存在相位偏移，而输出信号c滞后输入信号90°，输出信号b、c的幅值与输入信号a的幅值之间不存在幅值衰减的现象，正交信号发生器的滤波性能与增益系数k的取值有关，正交信号发生器响应的整定时间t_s可计算如下

因此k的取值需要同时考虑正交信号发生器的响应时间与滤波特性。

前级正交信号发生器中放大器17的输出信号qv'连接到后级正交信号发生器中加法器18，作为后期正交信号发生器的输入信号，在前级正交信号发生器中，输出信号v'、qv'与输入信号v之间的传递函数如下：

式(4)中，v(s)为输入变量v的拉普拉斯变换，v'(s)为输出变量v'的拉普拉斯变换，qv'(s)为输出变量qv'的拉普拉斯变换，D'(s)为v'(s)和v(s)之间的传递函数，Q'(s)为qv'(s)和v(s)之间的传递函数；

在后级正交信号发生器中，输出信号v”、qv”与输入信号qv'之间的传递函数写为如下：

式(5)中，qv'(s)为输入变量qv'的拉普拉斯变换，v”(s)为输出变量v”的拉普拉斯变换，qv”(s)为输出变量qv”的拉普拉斯变换，D”(s)为v”(s)和qv'(s)之间的传递函数，Q”(s)为qv”(s)和qv'(s)之间的传递函数；

观察式(4)、式(5)与式(1)、(2)得出：D(s)、D'(s)、D”(s)的表达式一致；Q(s)、Q'(s)、Q”(s)的表达式一致；

设含有谐波的电网电压如下：

式(6)中V为基波电压幅值，ω为电网电压角频率，a_n为电网电压n次谐波所占百分比，t为时间变量，sinωt和sin(nωt)为正弦三角函数；

式(1)和式(2)所描述的频域传递函数的幅相特性分别为如下的式(7)、式(8)：

式(7)、式(8)中，L_a和L_b为相应的幅值增益系数，P_a和P_b为相应的相位偏移度，为反正切三角函数；

在单相自适应锁频系统中，设含有谐波的电网电压v_g作为系统的输入信号v。v_g经过前级正交信号发生器，其输出信号v'、qv'表达式分别为如下的式(9)、式(10)：

此时，再经过后级正交信号发生器，其输出信号v”、qv″表达式分别为如下的式(11)、式(12)：

结合式(9)～(12)，将以上四个输出信号分别单位归一化，定义频率自适应控制律如下：

式(13)中，为中心角频率ω₀的导数，σ为频率调整因子，当ω₀无线趋近于ω时，结合式(8)，式(13)的频率自适应控制律可化简为如下：

因此单相自适应锁频系统的简单表述形式为：

式(15)有唯一的局部平衡点，且有当ω>ω₀时当ω<ω₀时因此通过式(15)即可保证ω₀总是朝着减小频率检测误差的方向运动，即式(13)定义的频率自适应控制律能够实现对单相电网电压频率的跟踪。

本发明的特点及有益效果是：

本发明提出的单相自适应锁频系统具有良好的滤波性能，可以应用在电网电压严重畸变的单相并网系统中。所提出的系统可以在电网电压严重畸变的情况下快速跟踪实际的电网频率。所提出的方案不受电网基波幅值的影响，系统具有较强的鲁棒性。此外，该单相自适应锁频系统的运算量较小，降低了硬件实验电路搭建的难度，非常适用于新能源发电单相并网系统中。

附图说明：

图1是本发明中的正交信号发生器结构框图。

图2是本发明的单相自适应锁频系统框图。

图3是本发明中传递函数D(s)的bode图。

图4是本发明中传递函数Q(s)的bode图。

图5是本发明中通过级联正交信号发生器的输入输出波形图。

图6是本发明中系统对输入信号幅值准确估量的波形图。

图7是本发明中系统对输入信号频率波动及进行频率跟踪的波形图。

a是本发明中系统输入信号频率波动的波形图。

b是本发明中系统对输入信号进行频率跟踪的波形图。

具体实施方式

针对在新能源单相并网同步系统中，频率自适应系统的响应速度慢、滤波性能差、算法复杂等问题，本发明利用一种带有滤波功能的正交信号发生器，通过将正交信号发生器级联产生两组正交信号。将两组正交信号通过组合运算，构造出频率自适应系统。该系统具有较强的滤波性能，因此大大提高了频率自适应系统的稳定性；同时所构造的频率自适应系统具有响应速度快、运算量小、鲁棒性强的特点，使其适用于电网电压出现严重畸变的电网同步系统中。

具体地：

(1)正交信号发生器结构

本发明利用的正交信号发生器如图1所示。该正交信号发生器由加法器1、放大器2、加法器3、放大器4、积分器5、积分器6和放大器7组成。其中，加法器1的一个输入端作为正交信号发生器的输入端，输入信号为a。积分器5的输出分为三路：第一路直接作为正交信号发生器的第一输出端，输出信号为b；第二路将输出信号b取负值作为加法器1的另一个输入端的输入量；第三路直接与积分器6的输入端连接。放大器7的输出分为两路：第一路直接作为正交信号发生器的第二个输出端，输出信号c；第二路将输出信号c取负值作为加法器3的另一个输入端的输入量。

(2)单相自适应锁频系统结构

图2为通过前级正交信号发生器、后级正交信号发生器和频率自适应控制器构成的单相自适应锁频系统。图2中前级正交信号发生器、后级正交信号发生器的内部结构与图1中介绍的正交信号发生器一致。前级正交信号发生器由加法器11、放大器12、加法器13、放大器14、积分器15、积分器16和放大器17组成。后级正交信号发生器由加法器18、放大器19、加法器20、放大器21、积分器22、积分器23和放大器24组成。频率自适应控制器由乘法器25、乘法器26、加法器27、放大器28、积分器29组成。在前级正交信号发生器中，加法器11的一端输入信号v作为单相自适应锁频系统的输入端，在实际应用中，输入信号v为电网电压。放大器17的输出分为两路：第一路作为后级正交信号发生器的输入信号qv'，直接与加法器18的一端连接；第二路将信号取负值作为加法器13的另一个输入端的输入量。在后级正交信号发生器中，积分器22的输出信号为v＂，放大器24的输出信号为qv＂。在频率自适应控制器中，放大器17的输出信号qv'与放大器24的输出信号qv＂作为乘法器25的输入信号，积分器15的输出信号v'与积分器22的输出信号v＂作为乘法器26的输入信号。乘法器25的输出与加法器27的一个输入端连接，乘法器26的输出取负值与加法器27的另一个输入端连接。积分器29的输出分为五路：第一路信号连接放大器14，作为放大器14的放大系数；第二路信号连接放大器17，作为放大器17的放大系数；第三路信号连接放大器21，作为放大器21的放大系数；第四路信号连接放大器24，作为放大器24的放大系数。第五路信号作为频率自适应控制器的输出。在实际应用中，积分器29的输出值为单相自适应锁频系统测量的电网电压基波频率。

(3)正交信号发生器工作特性

在单相自适应锁频系统中，图1所示的正交信号发生器是组成单相自适应锁频系统的基础。图1所示的正交信号发生器可以将单相输入信号a转换成两相正交输出信号b、c，同时可以有效滤除输入信号中的谐波分量。图1中k和ω₀分别为正交信号发生器的增益系数和中心角频率，增益系数k用来控制系统的滤波性能与响应速度。根据图1，正交信号发生器的传递函数可以写为：

式中，s为复变量，a(s)为输入变量a的拉普拉斯变换，b(s)为输出变量b的拉普拉斯变换，c(s)为输出变量c的拉普拉斯变换，D(s)为b(s)和a(s)之间的传递函数，Q(s)为c(s)和a(s)之间的传递函数；k表示正交信号发生器的增益系数；ω₀表示正交信号发生器的中心角频率，实际应用中ω₀表示电网基波频率。当k取不同的值，ω₀＝314rad/s(50Hz)时传递函数D(s)和Q(s)的bode图分别如图3、图4所示。根据图3和图4，D(s)和Q(s)分别呈现出带通滤波和低通滤波的作用。在中心角频率ω₀处：输出信号b不存在相位偏移，而输出信号c滞后输入信号90°，输出信号b、c的幅值与输入信号a的幅值之间不存在幅值衰减的现象。正交信号发生器的滤波性能与增益系数k的取值有关。从图3和图4中可以看出k的取值越大，滤波性能越差。但正交信号发生器的响应速度同样依赖于k值。正交信号发生器响应的整定时间t_s可计算如下

因此k的取值需要同时考虑正交信号发生器的响应时间与滤波特性。在该系统中当ω₀＝314rad/s(50Hz)，增益系数时系统整定时间t_s约为20ms。

(4)单相自适应锁频系统工作原理

图2为本发明提出的单相自适应锁频系统。该系统由前级正交信号发生器、后级正交信号发生器和频率自适应控制器组成。前级正交信号发生器、后级正交信号发生器的结构和工作特性与图1所示的正交信号发生器一致，两者通过级联的方式连接在一起，即前级正交信号发生器中放大器17的输出信号qv'连接到后级正交信号发生器中加法器18，作为后期正交信号发生器的输入信号。在前级正交信号发生器中，输出信号v'、qv'与输入信号v之间的传递函数写为如下：

式(4)中，v(s)为输入变量v的拉普拉斯变换，v'(s)为输出变量v'的拉普拉斯变换，qv'(s)为输出变量qv'的拉普拉斯变换，D'(s)为v'(s)和v(s)之间的传递函数，Q'(s)为qv'(s)和v(s)之间的传递函数；

在后级正交信号发生器中，输出信号v”、qv”与输入信号qv'之间的传递函数写为如下：

式(5)中，qv'(s)为输入变量qv'的拉普拉斯变换，v”(s)为输出变量v”的拉普拉斯变换，qv”(s)为输出变量qv”的拉普拉斯变换，D”(s)为v”(s)和qv'(s)之间的传递函数，Q”(s)为qv”(s)和qv'(s)之间的传递函数；

观察式(4)、式(5)与式(1)、(2)得出：D(s)、D'(s)、D”(s)的表达式一致；Q(s)、Q'(s)、Q”(s)的表达式一致。

设含有谐波的电网电压如下：

式(6)中V为基波电压幅值，ω为电网电压角频率，a_n为电网电压n次谐波所占百分比，t为时间变量，sinωt和sin(nωt)为正弦三角函数。

式(1)和式(2)所描述的频域传递函数的幅相特性分别为如下的式(7)、式(8)：

式(7)、式(8)中，L_a和L_b为相应的幅值增益系数，P_a和P_b为相应的相位偏移度。

在单相自适应锁频系统中，设含有谐波的电网电压v_g作为系统的输入信号v。v_g经过前级正交信号发生器，其输出信号v'、qv'表达式分别为如下的式(9)、式(10)：

此时，再经过后级正交信号发生器，其输出信号v”、qv”表达式分别为如下的式(11)、式(12)：

结合式(9)～(12)，将以上四个输出信号分别单位归一化，定义频率自适应控制律如下：

式(13)中，为中心角频率ω₀的导数，σ为频率调整因子。当ω₀无线趋近于ω时，结合式(8)，式(13)的频率自适应控制律可化简为如下：

因此，本发明构成的单相自适应锁频系统的简单表述形式为：

式(15)有唯一的局部平衡点，且有当ω>ω₀时当ω<ω₀时因此通过式(15)即可保证ω₀总是朝着减小频率检测误差的方向运动。即式(13)定义的频率自适应控制律能够实现对单相电网电压频率的跟踪。单相自适应锁频系统的时间常数τ＝(kω₀)/(2σ)，实际电网频率可在(-0.7，0.5)Hz范围内波动，电网电压频率严重波动的范围为±3Hz，因为对时间常数τ而言，实际的电网频率波动对τ的影响很小，所以本发明设计的单相锁频自适应系统的响应速度基本不受实际电网电压频率波动的影响。以上思路设计出的方案即为图2所示的单相自适应锁频系统。

下面结合附图和实施过程对本发明的一种单相自适应锁频系统作出详细的说明。

设单相自适应锁频系统输入信号v的基波幅值为频率为50Hz，输入信号中含有的多次谐波如表1所示。该表给出了通过前级正交信号发生器、后级正交信号发生器后得到的各个信号中所含谐波的百分比与THD值。

表1单相自适应锁频系统的输入、输出信号对比

从表1中可以看出：系统的输入信号v通过级联正交信号发生器后，各个输出信号中的谐波含量得到明显降低。

设单相自适应锁频系统的输入信号v的参数如表1所示，其中基波电压频率为50Hz、幅值为图5为输入信号v通过单相自适应锁频系统中的级联正交信号发生器后输出信号v＂和qv＂的仿真波形。从图5中可以看出：输出信号v＂和qv＂分别滞后输入信号v的相角为90°和180°，通过该单相自适应锁频系统可以准确地从严重畸变的信号中提取出基波信号。

设单相自适应锁频系统的输入信号v的参数如表1所示，其中基波电压频率为50Hz、幅值为图6为输入信号v的幅值在0.06s时从降到20V，级联正交信号发生器的输出信号v＂和qv＂的波形。图中输入、输出信号上方的直线是输入基波信号幅值标定线。从图6中可以看出：随着输入信号的改变，级联正交信号发生器的输出信号在0.06s时产生波动，在0.1s左右通过级联正交信号发生器可以准确地估量到一组与输入基波信号幅值相等的输出信号v＂和qv＂，v＂和qv＂的相角差为90°。即通过该单相自适应锁频系统可以准确估量单相电网电压幅值。

设单相自适应锁频系统的输入信号v的参数如表1所示，其中基波电压频率为50Hz、幅值为单相自适应锁频系统中的增益系数k取值为设时间常数τ中的ω₀＝314rad/s，取σ＝88799.2，计算出单相锁频自适应系统的时间常数τ≈2.5ms，频率响应时间为(3-5)τ，即在10ms左右。在图7(a)中，原输入信号v在0.06s时基波幅值从降到20V；在0.1s时其频率从50Hz降到48Hz。图7b为单相自适应锁频系统的响应过程。从图7(b)中可以看出：在0.6s时刻基波幅值改变时，单相自适应锁频系统无波动；在0.1s基波频率从50Hz变为48Hz时，所提出的单相自适应锁频系统在10ms左右的时间内对其进行频率跟踪，仿真结果与理论计算值相符。验证了所提出的单相自适应锁频系统不受基波幅值改变的影响，具有很好的鲁棒性；同时可以快速、准确的跟踪基波频率。

综上所述，所提出的单相自适应锁频系统具有良好的滤波性能，该系统可以准确跟踪实际的电网频率，该系统的响应时间为10ms。该系统不受电网基波幅值的影响，系统具有较强的鲁棒性。因此，所提出的单相自适应锁频系统可以应用在电网电压严重畸变的单相并网系统中。

Claims (4)

1.一种降低电网谐波影响的单相自适应锁频系统，其特征是，两个正交信号发生器级联产生两组正交信号，频率自适应控制器将两组正交信号通过组合运算，构造出频率自适应系统；其中，前级正交信号发生器由加法器11、放大器12、加法器13、放大器14、积分器15、积分器16和放大器17组成；后级正交信号发生器由加法器18、放大器19、加法器20、放大器21、积分器22、积分器23和放大器24组成；频率自适应控制器由乘法器25、乘法器26、加法器27、放大器28、积分器29组成；在前级正交信号发生器中，加法器11的一端输入信号v作为单相自适应锁频系统的输入端，放大器17的输出分为两路：第一路作为后级正交信号发生器的输入信号qv'，直接与加法器18的一端连接；第二路将信号取负值作为加法器13的另一个输入端的输入量；在后级正交信号发生器中，积分器22的输出信号为v＂，放大器24的输出信号为qv＂；在频率自适应控制器中，放大器17的输出信号qv'与放大器24的输出信号qv＂作为乘法器25的输入信号，积分器15的输出信号v'与积分器22的输出信号v＂作为乘法器26的输入信号，乘法器25的输出与加法器27的一个输入端连接，乘法器26的输出取负值与加法器27的另一个输入端连接，积分器29的输出分为五路：第一路信号连接放大器14，作为放大器14的放大系数；第二路信号连接放大器17，作为放大器17的放大系数；第三路信号连接放大器21，作为放大器21的放大系数；第四路信号连接放大器24，作为放大器24的放大系数，第五路信号作为频率自适应控制器的输出。

2.如权利要求1所述的降低电网谐波影响的单相自适应锁频系统，其特征是，正交信号发生器由加法器1、放大器2、加法器3、放大器4、积分器5、积分器6和放大器7组成，其中，加法器1的一个输入端作为正交信号发生器的输入端，输入信号为a；积分器5的输出分为三路：第一路直接作为正交信号发生器的第一输出端，输出信号为b；第二路将输出信号b取负值作为加法器1的另一个输入端的输入量；第三路直接与积分器6的输入端连接；放大器7的输出分为两路：第一路直接作为正交信号发生器的第二个输出端，输出信号c；第二路将输出信号c取负值作为加法器3的另一个输入端的输入量。

3.如权利要求1所述的降低电网谐波影响的单相自适应锁频系统，其特征是，正交信号发生器的传递函数为：

式中，s为复变量，a(s)为输入信号a的拉普拉斯变换，b(s)为输出信号b的拉普拉斯变换，c(s)为输出信号c的拉普拉斯变换，D(s)为b(s)和a(s)之间的传递函数，Q(s)为c(s)和a(s)之间的传递函数；k表示正交信号发生器的增益系数；ω₀表示正交信号发生器的中心角频率，当k取不同的值，在中心角频率ω₀处：输出信号b不存在相位偏移，而输出信号c滞后输入信号90°，输出信号b、c的幅值与输入信号a的幅值之间不存在幅值衰减的现象，正交信号发生器的滤波性能与增益系数k的取值有关，正交信号发生器响应的整定时间t_s可计算如下

因此k的取值需要同时考虑正交信号发生器的响应时间与滤波特性。

4.如权利要求1所述的降低电网谐波影响的单相自适应锁频系统，其特征是，前级正交信号发生器中放大器17的输出信号qv'连接到后级正交信号发生器中加法器18，作为后期正交信号发生器的输入信号，在前级正交信号发生器中，输出信号v'、qv'与输入信号v之间的传递函数如下：

式(4)中，v(s)为输入变量v的拉普拉斯变换，v'(s)为输出变量v'的拉普拉斯变换，qv'(s)为输出变量qv'的拉普拉斯变换，D'(s)为v'(s)和v(s)之间的传递函数，Q'(s)为qv'(s)和v(s)之间的传递函数；

在后级正交信号发生器中，输出信号v”、qv”与输入信号qv'之间的传递函数写为如下：

式(5)中，qv'(s)为输入变量qv'的拉普拉斯变换，v”(s)为输出变量v”的拉普拉斯变换，qv”(s)为输出变量qv”的拉普拉斯变换，D”(s)为v”(s)和qv'(s)之间的传递函数，Q”(s)为qv”(s)和qv'(s)之间的传递函数；

观察式(4)、式(5)与式(1)、(2)得出：D(s)、D'(s)、D”(s)的表达式一致；Q(s)、Q'(s)、Q”(s)的表达式一致；

设含有谐波的电网电压如下：

式(6)中V为基波电压幅值，ω为电网电压角频率，a_n为电网电压n次谐波所占百分比，t为时间变量，sinωt和sin(nωt)为正弦三角函数；

式(1)和式(2)所描述的频域传递函数的幅相特性分别为如下的式(7)、式(8)：

式(7)、式(8)中，L_a和L_b为相应的幅值增益系数，P_a和P_b为相应的相位偏移度，为反正切三角函数；

在单相自适应锁频系统中，设含有谐波的电网电压v_g作为系统的输入信号v， v_g经过前级正交信号发生器，其输出信号v'、qv'表达式分别为如下的式(9)、式(10)：

此时，再经过后级正交信号发生器，其输出信号v”、qv”表达式分别为如下的式(11)、式(12)：

结合式(9)～(12)，将以上四个输出信号分别单位归一化，定义频率自适应控制律如下：

式(13)中，为中心角频率ω₀的导数，σ为频率调整因子，当ω₀无线趋近于ω时，结合式(8)，式(13)的频率自适应控制律可化简为如下：

因此单相自适应锁频系统的简单表述形式为：

式(15)有唯一的局部平衡点，且有当ω>ω₀时当ω<ω₀时因此通过式(15)即可保证ω₀总是朝着减小频率检测误差的方向运动，即式(13)定义的频率自适应控制律能够实现对单相电网电压频率的跟踪。