CN106547975B - 一种基于led阵列的漫反射自由曲面离轴设计方法 - Google Patents

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Abstract

本发明提供了一种漫反射自由曲面的离轴设计方法，其能够根据各种形状不同的LED阵列，求出相应的离轴自由曲面，在提升照度均匀度的同时也提升了效率。通过建立一个由朗伯体发光特性的LED组成的阵列与漫反射自由曲面的数学模型，以及能量守恒公式，得出一系列方程，求解方程组数值解得出一系列离散坐标点，再拟合所得坐标点得出离轴自由曲面。最后，通过离轴设计方法所得的自由曲面具有一定的容错性和稳定性，在变换LED阵列、目标照明面的大小或者与距离的情况下，离轴的照明效果相较于传统的半球面和旋转对称设计方法都有着明显的优势，适用于实验、生产、生活各种场合的照明，用途广泛。

Description

一种基于LED阵列的漫反射自由曲面离轴设计方法
技术领域
本发明属于光学技术与照明技术领域，具体涉及一种用于多种LED阵列实现均匀高效率照明的离轴漫反射自由曲面设计。
背景技术
LED是新一代光源，具有节能环保、寿命长、效能高等优点，但其照明效果还有待提高，为了改善LED的照明效果，需要对其进行二次配光，传统配光器主要有反射镜和透射镜，其原理是利用Snell定律，对入射光线进行点对点的计算，从而实现对出射光线的二次配光，但是反射镜或者折射镜对加工工艺要求高，成本高，且受外界因素的影响较大，容易产生形变，往往导致照明效果不尽人意，甚至会产生眩光、均匀度底下等问题。相对于传统的反射镜和透射镜，漫反射配光器具有着加工方便、工艺要求较低、取材广、低成本等优点，为了解决以上问题并降低成本，本发明是基于LED阵列的漫反射自由曲面设计。传统的漫反射自由曲面直接采用半球面，或者采用单条二维曲线通过旋转求出一个旋转对称的漫反射自由曲面，这种方法不仅有较高的照度均匀度，也能有较好的光照效率，但对LED阵列形状要求较高，很难满足一般LED阵列照明需求。本发明提供了一种漫反射自由曲面的离轴设计方法，其能够根据各种不同形状的LED阵列，求出相应的不规则自由曲面，在提升照度均匀度的同时也提升了效率，拓宽了漫反射自由曲面的适用范围。
发明内容
本发明是为了克服现有漫反射自由曲面技术的局限性，提出一种能够适用于多种LED阵列的离轴漫反射自由曲面设计方法，旨在实现高均匀度和高效率的照明效果，通过如下技术方案实现。
(1)建立一个基于LED阵列的照度数学模型。
(2) 定义一个垂直于XOY面的平面，在平面上建立一个用于LED阵列二次配光的离轴漫反射自由曲面二维曲线数学模型。联立方程组，利用Matlab数值解出该曲线上离散点的坐标。
(3)按照角度旋转LED阵列，得到新的LED阵列坐标，建立新的LED阵列照度数学模型，定义一个新的垂直于XOY面的平面，新的平面与前一个平面的夹角等于LED阵列旋转的角度，在此平面上建立一个用于LED阵列二次配光的离轴漫反射自由曲面二维曲线数学模型。联立方程组，利用Matlab数值解出该曲线上离散点的坐标。
(4)重复第三个步骤，直至LED阵列旋转360度，得出若干各个方向上二维曲线。
(5)将所得二维曲线带入建模软件Solidworks进行闭合放样，得出离轴漫反射自由曲面。
图1展示了本发明所述的离轴漫反射LED照明系统系统模型图，整个照明系统放置于在立体直角坐标系中，LED阵列位于XOY平面中心位置，离轴漫反射自由曲面放置于LED阵列正上方，即放置于Z正半轴，目标照明面放置于LED阵列正下方，即放置于Z负半轴。
本发明中LED阵列由若干朗伯体发光特性的LED芯片构成，LED阵列朝Z轴正方向发出光线，照射到阵列正上方离轴漫反射自由曲面内表面，经内表面漫反射后光线均匀的布撒到位于阵列下方的目标照明面上，在目标照明面上实现高均匀度、高效率的照明光斑。
图2为本发明所述的几种LED阵列及其相应的离轴漫反射自由曲面示意图，其中用于二次配光的离轴漫反射自由曲面呈不规则形状，具体形状根据LED阵列的形状计算得出，离轴漫反射自由曲面由若干不同平面内二维曲线经闭合放样而成，所述二维曲线求解过程如下。
1、首先建立一个基于LED阵列的照度数学模型，常见的LED芯片半径一般都在1mm~3mm之间，整个系统尺寸大于LED芯片半径5倍，因此单个LED芯片在整个漫反射照明系统中可以近似成一个点光源。理想情况下，LED点光源光强分布可以表示为。
Figure 287975DEST_PATH_IMAGE001
(1)
Figure 532142DEST_PATH_IMAGE002
表示LED光源任意方向上的光强，
Figure 821660DEST_PATH_IMAGE003
表示光线与轴向光线之间的夹角,
Figure 216870DEST_PATH_IMAGE004
表示LED芯片轴向光强，m大小与LED发光半角
Figure 615531DEST_PATH_IMAGE005
有关，当光线与轴向光线夹角等于发光半角
Figure 437994DEST_PATH_IMAGE005
时，该角度上的光强等于轴向光强的一半，根据不同的需求，LED的发光半角
Figure 705027DEST_PATH_IMAGE005
也不同，若LED芯片辐照分布为朗伯体分布，m可以近似看成1，若LED芯片辐照分布未知，可以由厂商提供的发光半角
Figure 381085DEST_PATH_IMAGE005
来求出m值。
Figure 49964DEST_PATH_IMAGE006
(2)
由于LED芯片轴向照度
Figure 896126DEST_PATH_IMAGE007
等于LED轴向光强
Figure 650455DEST_PATH_IMAGE008
与LED芯片到漫反射内表面的距离d的平方的比值。
Figure 127274DEST_PATH_IMAGE009
(3)
将公式(3)代入公式(1)中，可得LED光源的照度分布。
Figure 650660DEST_PATH_IMAGE010
(4)
在漫反射照明系统中，采用直角坐标系来表示LED阵列排布以及漫反射自由曲面的离散点坐标。
Figure 169188DEST_PATH_IMAGE011
(5)
2、
Figure 410813DEST_PATH_IMAGE012
表示单个LED芯片在漫反射自由曲面上的照度，
Figure 685937DEST_PATH_IMAGE013
表示漫反射自由曲面的离散点坐标，
Figure 69215DEST_PATH_IMAGE014
表示LED阵列中单个LED芯片的坐标，
Figure 404381DEST_PATH_IMAGE015
表示自由曲面上一条曲线在XOY面投影与X轴正方向夹角。每个LED芯片的Z’等于0，阵列中LED芯片的数量为n。考虑到LED阵列中每个LED芯片的独立性，所以整个LED阵列总照度
Figure 133303DEST_PATH_IMAGE016
为单个LED芯片照度
Figure 32293DEST_PATH_IMAGE017
的叠加。
Figure 530270DEST_PATH_IMAGE018
(6)
对于非圆形阵列，必须求出多个不同平面的二维曲线。不同平面与X轴正方向夹角
Figure 811698DEST_PATH_IMAGE015
不同，曲线位置相对于LED阵列的位置关系也不同，需要考虑角度
Figure 762336DEST_PATH_IMAGE015
。设定二维曲线所在面为
Figure 229131DEST_PATH_IMAGE019
面，垂直于XOY面，与XOZ面夹角为
Figure 581615DEST_PATH_IMAGE020
。在一个垂直于XOY面的平面内，可以求出离轴漫反射自由曲面在该平面内的二维曲线，(5)式可以变换为。
Figure 524163DEST_PATH_IMAGE021
(7)
3、
Figure 206300DEST_PATH_IMAGE022
可以理解为LED阵列顺时针旋转了
Figure 626917DEST_PATH_IMAGE023
角度后，其在X轴上的LED芯片与原点的距离。求出自由曲面在
Figure 185241DEST_PATH_IMAGE024
面的二维曲线，出射光线相量
Figure 298690DEST_PATH_IMAGE025
，其中
Figure 223921DEST_PATH_IMAGE026
为出射光线照射到目标照明面上点与零点距离，R为入射光线在自由曲面入射点距离Z轴的距离，D为LED阵列到目标照明面的距离，曲面出射点的法线相量
Figure 188036DEST_PATH_IMAGE027
，则出射光线向量
Figure 249533DEST_PATH_IMAGE028
与出射点的法线向量
Figure 622568DEST_PATH_IMAGE029
夹角
Figure 35095DEST_PATH_IMAGE030
可以求出。
Figure 63093DEST_PATH_IMAGE031
(8)
则漫反射自由曲面光强分布为。
Figure 984483DEST_PATH_IMAGE032
(9)
其中
Figure 174156DEST_PATH_IMAGE033
为漫反射自由曲面的轴向光强，由于漫反射自由曲面的朗伯体性质，m=1。此时可以将漫反射自由曲面看成具有许多朗伯体点光源组成的发光面，光线照射到目标照明面，求出目标照明面的任意一点照度。
Figure 661198DEST_PATH_IMAGE034
(10)
Figure 227309DEST_PATH_IMAGE035
表示目标照明面与自由曲面任意一点的距离。BRDF为双向反射分布函数，用于表示自由曲面漫反射特性，将目标照明面分成许多单元，
Figure 528977DEST_PATH_IMAGE036
表示单个目标照明面单元的光通量。
Figure 632288DEST_PATH_IMAGE037
(11)
Figure 19407DEST_PATH_IMAGE038
(12)
对(10)式进行离散化，将设定的
Figure 973498DEST_PATH_IMAGE039
角度代入到(7)式中，再将(7)式代入(13)式中，得出目标照明面上单个离散点的照度。
Figure 864094DEST_PATH_IMAGE040
(13)
N表示自由曲面与该平面内二维曲线上离散点的数量，
Figure 661148DEST_PATH_IMAGE041
表示
Figure 514186DEST_PATH_IMAGE042
面上第i个点到原点距离，
Figure 687678DEST_PATH_IMAGE043
表示第i个在
Figure 698360DEST_PATH_IMAGE042
面上二维曲线离散点的Z坐标，
Figure 752070DEST_PATH_IMAGE044
表示在
Figure 848202DEST_PATH_IMAGE042
面上第i个离散点的照度。
Figure 559806DEST_PATH_IMAGE045
表示第h个目标照明面上的离散点到原点的距离。在
Figure 666266DEST_PATH_IMAGE042
面内目标照明线上取N个离散点，根据能量守恒，目标照明面在
Figure 805123DEST_PATH_IMAGE042
面上总照度应等于
Figure 388551DEST_PATH_IMAGE042
面内二维曲线上总照度。再根据照度均匀原则，目标照明面上任意离散点的照度都应相等。
Figure 225486DEST_PATH_IMAGE046
(14)
不同平面与X轴正方向夹角
Figure 210760DEST_PATH_IMAGE047
不同，曲线位置相对于LED阵列的位置关系也发生变化。设定新的二维曲线所在面为
Figure 520518DEST_PATH_IMAGE048
面，与
Figure 331050DEST_PATH_IMAGE042
相同，
Figure 384456DEST_PATH_IMAGE048
垂直于XOY面，与XOZ面夹角为
Figure 224236DEST_PATH_IMAGE049
，(3)式可以变换为。
Figure 292116DEST_PATH_IMAGE050
(15)
依照第一个二维曲线的求解方法，将设定的
Figure 584557DEST_PATH_IMAGE049
代入到(5)式中，再将(5)式代入(16)式中，得出
Figure 441654DEST_PATH_IMAGE048
面在XOY面上任意离散点的照度。
Figure 878678DEST_PATH_IMAGE051
(16)
Figure 530239DEST_PATH_IMAGE041
表示
Figure 575555DEST_PATH_IMAGE048
面上第i个点到原点距离，通过(15)式可以转换为相应的XY坐标。
Figure 56519DEST_PATH_IMAGE052
表示第i个在
Figure 605312DEST_PATH_IMAGE053
面上二维曲线离散点的Z坐标，
Figure 436090DEST_PATH_IMAGE054
表示第i个点的照度。与
Figure 703124DEST_PATH_IMAGE055
对应，
Figure 902024DEST_PATH_IMAGE056
表示第h个目标照明面上的离散点到原点的距离。在
Figure 391078DEST_PATH_IMAGE053
面内目标照明线上取N个离散点，根据能量守恒，目标照明面在
Figure 650021DEST_PATH_IMAGE053
面上总照度应等于
Figure 404350DEST_PATH_IMAGE053
面内二维曲线上总照度。再根据照度均匀原则，目标照明面上任意离散点的照度都应相等。
Figure 898946DEST_PATH_IMAGE057
(17)
所求二维曲线越多，最终得出的曲面越精确。对于六边形阵列，在第一象限中，将
Figure 422331DEST_PATH_IMAGE058
等分成M份，求出第
Figure 852175DEST_PATH_IMAGE059
面与XOZ面夹角
Figure 789342DEST_PATH_IMAGE060
。
Figure 330045DEST_PATH_IMAGE061
(18)
目标面的总照度等于6*M个照度总和。
Figure 973516DEST_PATH_IMAGE062
(19)
因为目标照明面的离散点数为6*M*N，求出目标照明面上的平均照度。
Figure 406079DEST_PATH_IMAGE063
(20)
根据目标照度均匀度的要求。
Figure 135001DEST_PATH_IMAGE064
(21)
4、利用MATLAB数值解出方程组，引入最小二乘法将求解出的二维曲线进行拟合，得出最后的曲线，详细过程如下。
(1)为求出一系列二维曲线离散点坐标，需设置一个初始离散点，定义一个初始离散点坐标，坐标应位于该二维曲线所在平面内，其坐标值与步长决定了最终离轴漫反射自由曲面的大小。
(2)将初始点的坐标值带入方程组，设定所求离散点的数量，并确定步长，离散点的X坐标为已知，Y坐标为0，Z坐标为所求量，利用数学运算软件Matlab迭代算法，根据初始点坐标和所求离散点的X坐标迭代求出其Z坐标。
(3)对所求得的一系列离散点进行修正，剔除掉误差较大的离散点。
(4)引入最小二乘法对所求的曲线离散点进行拟合，最终得出一条光滑的二维曲线，并导出拟合之后的离散点坐标。
本发明需通过建模软件Solidworks得出最终的漫反射自由曲面，具体过程如下。
(1)利用matlab数值解出方程组的解，即二维曲线的离散点坐标，经拟合后将这些离散点坐标导入至txt文件中保存。
(2)如图4，依次将各个方向平面内二维曲线的离散点坐标文件导入至Solidworks中，得到各个方向上二维曲线集合。
(3) 图5展示了将多个二维曲线闭合放样后得出离轴漫反射自由曲面示意图，利用建模软件Solidworks中“闭合放样”功能，对若干二维曲线进行闭合放样处理，得出最终离轴漫反射自由曲面面型。
本发明提供了一种适用于多种形状LED阵列的离轴漫反射自由曲面设计方法，用于均匀照明和高效率照明。对于一般非圆形的LED阵列，本发明提供的离轴自由曲面设计方法相对于其他三种方法无论在照度均匀度和效率上都有着明显的优势，旋转对称的设计方法可以理解为离轴设计方法在圆形LED阵列中的一个特例。离轴设计方法可以满足许多LED阵列形状，降低了漫反射照明系统对于LED阵列的要求。在近场照明和远场照明下，我们的方法在照度均匀度和效率上都具有明显的优势，并没有因为距离和目标面大小的变化而丧失优势，具有一定的容错性和稳定性，在实际应用中，有效的拓宽了间接照明的发展前景。
附图说明
图1为本发明所述的离轴漫反射LED照明系统系统模型图。
图2为本发明所述的几种常见LED阵列的离轴漫反射自由曲面透视图。
图3为本发明中求解单个平面内二维曲线的原理图。
图4为本发明中求解的多个二维曲线位置关系图。
图5为本发明中将多个二维曲线闭合放样后得出离轴漫反射自由曲面示意图。
图6为LED阵列光线经离轴漫反射自由曲面配光后照射在目标照明面上照度分布仿真图。
具体实施方式
以下结合附图对本发明的具体实施作详细叙述。
如图1所示，离轴漫反射自由曲面照明系统包含以下三个部分：为了提高照明效率，本实施方式采用稀疏正六边形LED阵列，由12颗半径为2mm，轴向光强为4.18cd的LED圆形芯片构成，每个LED的发光半角
Figure 213815DEST_PATH_IMAGE065
=
Figure 310257DEST_PATH_IMAGE066
，所以m=1，12颗LED芯片位于同一平面XOY面。目标照明面呈圆形，半径为200mm，置于LED阵列下方，其与LED阵列的距离为D=500mm，LED阵列发出的光线经离轴漫反射自由曲面反射至目标照明面上，在目标照明面上形成一个照明光斑，用于检测照度均匀度和照明效率。离轴漫反射自由曲面置于LED阵列正上方，位于Z正半轴，其内表面具有高漫反射率，漫反射率为
Figure 275981DEST_PATH_IMAGE067
。其中离轴漫反射自由曲面面型由如下方法计算得出。
本实施方式将离轴漫反射自由曲面照明系统置于一个立体直角坐标系之中，六边形LED阵列的中心为原点，以阵列所在平面为XOY面。根据正六边形阵列的形状，利用6个垂直于XOY面的不同方向的平面将XOY面等分为6份，根据LED阵列漫反射数学模型，先求出离轴漫反射自由曲面在其中一个平面
Figure 492199DEST_PATH_IMAGE024
内的二维曲线，二维曲线求解原理如图3所示，在平面
Figure 992807DEST_PATH_IMAGE024
内，LED芯片的出射光线与离轴漫反射自由曲面内表面相交于点
Figure 345291DEST_PATH_IMAGE068
(
Figure 287839DEST_PATH_IMAGE055
,0,
Figure 916920DEST_PATH_IMAGE069
)，经漫反射后的出射光线与目标照明面相交于点p(
Figure 337538DEST_PATH_IMAGE070
,0,-D)。
在平面
Figure 696719DEST_PATH_IMAGE024
内单个LED芯片的照度为。
Figure 661228DEST_PATH_IMAGE071
(22)
则正六边形LED阵列的总照度为。
Figure 204561DEST_PATH_IMAGE072
(23)
本实施方式中，LED阵列发出的光线入射到离轴漫反射自由曲面上，此时由于其内表面的BRDF双向反射分布函数，离轴漫反射自由曲面内表面的每一个离散点都可以看成是一个朗伯体光源，在平面
Figure 428869DEST_PATH_IMAGE024
内，目标照明面上点p(
Figure 947092DEST_PATH_IMAGE045
,0,-D)的照度可以表示为。
Figure 231443DEST_PATH_IMAGE040
(24)
在本实施方式中，平面
Figure 530582DEST_PATH_IMAGE024
内目标照明面的离散点设为63个，同时离轴漫反射自由曲面在平面
Figure 293001DEST_PATH_IMAGE024
内的离散点也设为63个，根据照度均匀原则，目标照明面上任意离散点的照度都应相等。
Figure 474584DEST_PATH_IMAGE073
(25)
如此构建了一组离散点坐标(X,0,Z)为未知量的非线性方程组。利用Matlab数学软件通过迭代算法，设定一个初始坐标，数值求解出离散点坐标，再经最小二乘法对所求的离散点坐标进行拟合，获得一条平面
Figure 120983DEST_PATH_IMAGE024
平滑的二维曲线，本实施方式中，设置初始点为(40,0,0)，按照上述方法，得到离轴漫反射自由曲面在平面
Figure 20806DEST_PATH_IMAGE024
内离散点坐标值：(39.8,0,0)，(38.9,0,0.7)，(38.1,0,1.4)，(37.2,0,2.1)，……，(-2.4,0,43.3)。利用同样的方法，求出平面
Figure 586916DEST_PATH_IMAGE053
、
Figure 623006DEST_PATH_IMAGE074
、
Figure 116530DEST_PATH_IMAGE075
、
Figure 503649DEST_PATH_IMAGE076
、
Figure 607871DEST_PATH_IMAGE077
内的二维曲线，由于阵列呈正六边形，具有一定的对称性，在利用6个平面分割XOY平面时，必然导致其中3个平面内所求二维曲线完全相等，另外三个平面的二维曲线也相等，所以，本实施方式中，平面
Figure 744408DEST_PATH_IMAGE024
和平面
Figure 541462DEST_PATH_IMAGE074
、平面
Figure 150298DEST_PATH_IMAGE076
二维曲线是可以重合的，因而其在平面内离散点的坐标也相等。同理，平面
Figure 421187DEST_PATH_IMAGE053
和平面
Figure 431869DEST_PATH_IMAGE075
、平面
Figure 399825DEST_PATH_IMAGE077
二维曲线是可以重合的，因而其在平面内的离散点坐标也相等，在平面
Figure 476319DEST_PATH_IMAGE053
内，同样设定初始点为(40,0,0)，求出离散点坐标值为：(40.1,0,0)，(39.1,0,0.5)，(38,0,1)，(37.1,0,1.6)，……，(-2.2,0,32.5)。本实施方式中，将所得若干二维曲线通过建模软件Solidworks进行闭合放样，得出离轴漫反射自由曲面面型。
本发明将所得的离轴漫反射自由曲面导入至光学仿真软件TracePro中，放置六边形LED阵列于XOY平面内，在Z负半轴上距离阵列500mm处放置半径为200mm目标照明面，进行光学仿真，仿真结果如图6所示。在本实施方式中，目标照明面的照度均匀度达到84.93%相比于传统的旋转对称自由曲面的80.66%和半球面的82.29%有了明显提高，而在远场照明中，本实施方式在目标照明面的照明效率可达70.86%，相比于旋转对称自由曲面的64.73%和半球面的65.39%有着明显提高，实现了照度均匀度和照明效率明显提升的效果。

Claims (1)

1.一种针对不同LED阵列优化照明的离轴漫反射自由曲面设计方法，其特征在于：
（1）建立单个LED芯片的照明数学模型，在空间直角坐标下，得到单个LED芯片的照度分布，以此建立由多个LED芯片组成的LED阵列照度数学模型，以LED阵列所在平面为XOY平面，离轴漫反射自由曲面在XOY平面上方，其竖轴坐标大于0，目标照明面放置于XOY面下方；
（2）对LED阵列的照度数学模型进行二维处理，搭建离轴漫反射自由曲面在该平面内的照度数学模型，在该平面上，LED阵列出射光线入射到离轴漫反射自由曲面，依据双向反射分布函数，入射光线经漫反射后，被均匀反射到不同方向并布撒在目标照明面；
（3）引入能量守恒定律，求解出离轴自由曲面在该平面内的二维曲线，LED阵列绕坐标原点顺时针旋转一定角度，得到新的阵列坐标，在此搭建一个新的LED阵列数学模型和新的离轴漫反射自由曲面数学模型，在新的平面上求解出二维曲线；
（4）重复步骤(3)，旋转LED阵列，直至旋转至360度，得出自由曲面在各个方向的平面内的二维曲线，再通过建模软件Solidworks，对各方向上的二维曲线进行闭合放样，得出离轴漫反射自由曲面；
首先建立单个LED芯片的照度分布数学模型，转换为立体直角坐标表示为：
Figure 551068DEST_PATH_IMAGE002
(1)
上式为LED阵列照度数学模型，
Figure 405891DEST_PATH_IMAGE004
是单个LED芯片在漫反射自由曲面上的照度，
Figure 982366DEST_PATH_IMAGE006
表示漫反射自由曲面的离散点坐标，
Figure 954739DEST_PATH_IMAGE008
是LED阵列中单个LED芯片的坐标，
Figure 706794DEST_PATH_IMAGE009
是自由曲面上一条曲线在XOY面投影与X轴正方向夹角；每个LED芯片的Z’等于0，阵列中LED芯片的数量为n，考虑到LED阵列中每个LED芯片的独立性，所以整个LED阵列总照度
Figure 325994DEST_PATH_IMAGE011
为单个LED芯片照度
Figure 530711DEST_PATH_IMAGE013
的叠加：
Figure 897320DEST_PATH_IMAGE015
(2)
离轴漫反射自由曲面在该平面内的照度数学模型中，对于非圆形阵列，必须求出多个不同平面的二维曲线；不同平面与X轴正方向夹角
Figure 238303DEST_PATH_IMAGE009
不同，曲线位置相对于LED阵列的位置关系也不同，需要考虑角度
Figure 169350DEST_PATH_IMAGE009
，设定二维曲线所在面为
Figure 595783DEST_PATH_IMAGE017
面，垂直于XOY面，与XOZ面夹角为
Figure 769013DEST_PATH_IMAGE019
，在一个垂直于XOY面的平面内，可以求出离轴漫反射自由曲面在该平面内的二维曲线，(3)式可以变换为
Figure 230081DEST_PATH_IMAGE021
(3)
Figure 456663DEST_PATH_IMAGE023
理解为LED阵列顺时针旋转了
Figure 370393DEST_PATH_IMAGE019
角度后，其在X轴上的LED芯片与原点的距离，求出自由曲面在
Figure 317620DEST_PATH_IMAGE017
面的二维曲线，出射光线向量
Figure 400239DEST_PATH_IMAGE025
，其中
Figure 407509DEST_PATH_IMAGE027
为出射光线照射到目标照明面上点与零点距离，R为入射光线在自由曲面入射点距离Z轴的距离，D为LED阵列到目标照明面的距离，曲面出射点的法线向量
Figure 933169DEST_PATH_IMAGE029
，则出射光线向量
Figure 684087DEST_PATH_IMAGE031
与出射点的法线向量
Figure 119748DEST_PATH_IMAGE032
夹角
Figure 62034DEST_PATH_IMAGE033
可以求出：
Figure 950355DEST_PATH_IMAGE035
(4)
则漫反射自由曲面光强分布为：
Figure 504964DEST_PATH_IMAGE037
(5)
其中
Figure 795131DEST_PATH_IMAGE039
为漫反射自由曲面的轴向光强，由于漫反射自由曲面的朗伯体性质，m=1；此时可以将漫反射自由曲面看成具有许多朗伯体点光源组成的发光面，光线照射到目标照明面，求出目标照明面的任意一点照度：
Figure 534417DEST_PATH_IMAGE041
(6)
Figure 928324DEST_PATH_IMAGE044
表示目标照明面与自由曲面上任意一点的距离；BRDF为双向反射分布函数，用于表示自由曲面漫反射特性，将目标照明面分成许多单元，
Figure 338576DEST_PATH_IMAGE045
表示单个目标照明面单元的光通量；
Figure 248763DEST_PATH_IMAGE047
(7)
Figure 344633DEST_PATH_IMAGE049
(8)
对(8)式进行离散化，将设定的
Figure 506624DEST_PATH_IMAGE009
角度代入到(5)式中，再将(5)式代入(11)式中，得出目标照明面上单个离散点的照度：
Figure 505804DEST_PATH_IMAGE051
(9)
N表示自由曲面与该平面的截线上离散点的数量，
Figure 727838DEST_PATH_IMAGE052
表示
Figure 579513DEST_PATH_IMAGE054
面上第i个点到原点距离，
Figure 279616DEST_PATH_IMAGE055
表示第i个在
Figure 398881DEST_PATH_IMAGE054
面上二维曲线离散点的Z坐标，
Figure 260658DEST_PATH_IMAGE057
表示在
Figure 596699DEST_PATH_IMAGE054
面上第i个离散点的照度，
Figure 959548DEST_PATH_IMAGE059
表示第h个目标照明面上的离散点到原点的距离，在
Figure 198899DEST_PATH_IMAGE061
面内目标照明线上取N个离散点，根据能量守恒，目标照明面在
Figure 231577DEST_PATH_IMAGE054
面上总照度应等于
Figure 290800DEST_PATH_IMAGE063
面内二维曲线上总照度，根据照度均匀原则，目标照明面上任意离散点的照度都应相等；
Figure 828311DEST_PATH_IMAGE065
(10)
自由曲面在各方向上的平面内的二维曲线，不同平面与X轴正方向夹角
Figure 515644DEST_PATH_IMAGE009
不同，曲线位置相对于LED阵列的位置关系也发生变化，设定新的二维曲线所在面为
Figure 984803DEST_PATH_IMAGE067
面，与
Figure 265742DEST_PATH_IMAGE063
相同，
Figure 111339DEST_PATH_IMAGE069
垂直于XOY面，与XOZ面夹角为
Figure 918758DEST_PATH_IMAGE071
，根据能量守恒定律，得出同样的二维曲线求解方程组；所求二维曲线越多，最终得出的曲面越精确，根据六边形对称性，在第一卦限中，将
Figure 57353DEST_PATH_IMAGE073
等分成M份，求出第
Figure 91168DEST_PATH_IMAGE075
面与XOZ面夹角
Figure 474876DEST_PATH_IMAGE076
：
Figure 277747DEST_PATH_IMAGE078
(11)
目标面的总照度等于6*M个照度总和：
Figure 590173DEST_PATH_IMAGE080
(12)
因为目标照明面的离散点数为6*M*N，求出目标照明面上的平均照度；
Figure 970338DEST_PATH_IMAGE082
Figure 892158DEST_PATH_IMAGE084
(13)
根据目标照度均匀度的要求：
Figure 815115DEST_PATH_IMAGE086
(14)
对各方向上的二维曲线进行闭合放样，利用MATLAB数值解出方程组，引入最小二乘法将求解出的二维曲线进行拟合，得出若干不同平面上的二维曲线；其特征在于依次将转换直角坐标后的多条二维曲线导入到Solidworks建模软件，采用闭合放样，得出离轴自由曲面。
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