CN106547023B

CN106547023B - 一种精度高、计算稳定的复杂介质地震波场延拓方法

Info

Publication number: CN106547023B
Application number: CN201710032205.1A
Authority: CN
Inventors: 方刚; 巴晶
Original assignee: Qingdao Institute of Marine Geology
Current assignee: Qingdao Institute of Marine Geology
Priority date: 2017-01-16
Filing date: 2017-01-16
Publication date: 2017-11-28
Anticipated expiration: 2037-01-16
Also published as: CN106547023A

Abstract

本发明涉及一种精度高、计算稳定的复杂介质地震波场延拓方法，包括通过傅里叶积分算子和有限差分算子相结合建立空间‑波数域的计算格式，通过拆分之后再结合辛算法建立时间域上的计算格式；具体步骤为构建空间‑波数混合域的积分算子以提高复杂介质的适用性；拆分所述空间‑波数混合域积分算子以降低混合域的计算量；在空间方向构建有限差分计算格式、离散求解地震波场延拓中的空间偏导数以提高计算精度：在时间方向上构建辛格式傅里叶有限差分计算格式以实现精度高、计算稳定的地震波场延拓。本发明可用于对地震正演、地震成像(逆时偏移)和地震反演等地震勘探技术的升级，对于复杂油气储层的高精度地震勘探具有要实际意义和应用价值。

Description

一种精度高、计算稳定的复杂介质地震波场延拓方法

技术领域

本发明属于勘探地球物理学领域，具体地涉及一种采用辛格式傅里叶有限差分方法进行的地震波场延拓方法。

背景技术

地震波场延拓是地震正演、地震成像(逆时偏移)和地震反演的基础。谱方法是最常用的地震波场延拓方法之一，具有精度高、数值频散小的特点。考虑介质速度在空间上的变化，谱算子可以写为空间-波数混合域上的一个傅里叶型积分，直接求解这个积分算子计算量约为O(N²)，其中N表示计算区域的网格点数，这样大的计算量在地震勘探中是难以承受。对此研究者们发展了多种近似求解的方法，根据对混合域算子处理方式的不同可以分为三类：①级数展开法，其思想是将此傅里叶型积分视为泛函，对其做泰勒级数展开或者是切比雪夫级数展开；②数据插值法，借鉴“相移加插值”的思想，仅在少数参考速度点上计算傅里叶积分，其他点上的波场通过数据插值得到；③算子插值法，根据稀疏矩阵近似表示理论，将非均匀介质上的算子表示为均匀介质算子的线性插值，只需要较少次数的傅里叶积分计算即可实现对非均匀介质算子的波场计算。

上述方法在空间上具有较高的计算精度，但时间上大多采用二阶有限差分格式，是非保结构的算法，当大时间步长、长时间计算时，时间上的误差累积明显，会导致计算不稳定。地震波在地球介质中的传播是一个保守无耗散的过程，冯康等学者研究认为，对于这种保守系统的离散求解应该采用辛格式的算法，从而在时间迭代过程中保持系统的辛结构不变。因此研究辛格式的地震波场延拓谱方法，能从根本上提高波场延拓过程中数值求解的精度和长时间计算过程的稳定性，具有重要实际意义和应用价值。但是现有的辛格式方法虽然采用了保结构的算法，提高了时间算子的稳定性，但是空间算子的精度较低，当时间步长较大时，易出现数值频散。另外，现有的方法无法很好的处理存在强速度变化和各向异性的复杂介质。

发明内容

为了解决复杂介质条件下大时间步长波场延拓中出现的计算不稳定、精度低而产生的地震正演模拟失效、地震成像结果失真等问题，本发明提出了一种精度高、计算稳定的适用于复杂介质地震波场延拓方法—辛格式傅里叶有限差分法，通过采用辛算法实现时间偏导数的离散求解提高计算稳定性，通过在空间-波数混合域将傅里叶积分算子和有限差分算子相结合实现空间偏导数的离散求解提高计算精度和对复杂介质的适用性，最终实现精度高、计算稳定的地震波场延拓，可以提高地震勘探中正演模拟技术的稳定性，提升复杂地质构造地震成像的精度。

为实现上述目的，本发明的技术方案如下：

一种精度高、计算稳定的复杂介质地震波场延拓方法，所述方法包括通过傅里叶积分算子和有限差分算子相结合建立空间-波数混合域的计算格式，之后再结合辛算法建立时间域上的计算格式，具体步骤如下：

步骤1.构建空间-波数混合域的积分算子以提高复杂介质的适用性：对声波方程进行哈密顿化，根据哈密顿化后的正则方程，针对各向同性介质和各向异性介质的不同情况，分别构建空间-波数混合域的积分算子，以提高复杂介质的适用性；

步骤2.拆分所述空间-波数混合域积分算子以降低混合域的计算量：

步骤2.1将所得到的各向同性介质空间-波数混合域积分算子和各向异性介质空间-波数混合域积分算子分别拆分为傅里叶积分算子和有限差分算子两部分，采用分别计算的方式降低混合域算子的计算量；

步骤2.2.针对各向同性介质和各向异性介质情况，计算所述的傅里叶积分算子：针对各向同性介质和各向异性介质情况，利用快速傅里叶变换进行波场在空间域和波数域之间的转换，通过在波数域对波场作用伪拉普拉斯算子，计算傅里叶积分算子；

步骤2.3.针对各向同性介质和各向异性介质情况，求取差分系数：针对各向同性介质和各向异性介质情况，对得到的有限差分算子做泰勒展开，分别求取对应的差分系数；

步骤3.在空间方向构建有限差分计算格式、离散求解地震波场延拓中的空间偏导数以提高计算精度：在空间方向上结合傅里叶积分算子，构建有限差分计算格式，离散求解地震波场延拓中的空间偏导数；以提高计算精度；

步骤4.在时间方向上构建辛格式傅里叶有限差分计算格式以实现精度高、计算稳定的地震波场延拓：基于声波方程哈密顿正则方程，在时间方向上构建辛格式，用辛格式计算时间偏导数，用所述傅里叶算子和所述有限差分算子计算空间偏导数，以实现精度高、计算稳定的地震波场延拓。

有益效果

地震正演、地震成像和地震反演是地震勘探中的三项重要技术，这三项技术都以地震波场延拓为基础。相对于现有地震波场延拓技术，本发明在辛算法理论下数值求解波动方程，能够严格保持系统的辛结构特性在计算过程中不变，可提高大时间步长地震波场延拓的稳定性，结合傅里叶积分算子和有限差分算子计算空间偏导数，可提高强速度变化以及各向异性介质地震波场延拓的计算精度，可以很好的处理存在强速度变化和各向异性的复杂介质地震波场延拓；数值测试结果表明，得到的地震波场无数值频散，精度高，计算稳定性好，适用于各向异性介质的波场模拟，无伪S波干扰，能够准确刻画地震波传播过程中的运动学和动力学特征，可应用于复杂地质体的地震波场模拟、地震偏移成像和地震波形反演等技术。

附图说明

图1是本发明的流程图。

图2-1是各向同性介质中采用常规辛格式方法得到的时间外推计算600步得到的波场。

图2-2是各向同性介质中采用常规辛格式方法时间外推计算1000步得到的波场。

图3-1是各向同性介质中采用非辛格式谱方法时间外推计算600步得到的波场。

图3-2是各向同性介质中采用非辛格式谱方法时间外推计算1000步得到的波场。

图4-1是各向同性介质中采用本发明的辛格式傅里叶有限差分方法时间外推计算600步得到的波场。

图4-2是各向同性介质中采用本发明的辛格式傅里叶有限差分方法时间外推计算1000步得到的波场。

图5是各向异性介质中采用本发明的辛格式傅里叶有限差分方法的外推波场。

具体实施方式

如图1所示为本发明的流程图，一种精度高、计算稳定的复杂介质地震波场延拓方法，包括通过傅里叶积分算子和有限差分算子相结合建立空间-波数混合域的计算格式，之后再结合辛算法建立时间域上的计算格式；具体步骤如下：

对于常密度各向同性介质下的声波方程：

其中，p＝p(x,t)表示压力波场，x＝(x,y,z)表示空间位置，c(x)表示介质中波场传播的速度，表示拉普拉斯算子。

对于常密度各向同性介质下的声波方程的两步时间迭代计算格式为

p(x,t+Δt)+p(x,t-Δt)＝2F^-1[(cos(|k|c(x)Δt)F[p(x,t)]], (2)

其中F[·]表示空间傅里叶正变换，F^-1[·]表示空间傅里叶逆变换，k为波数矢量，c(x)为介质的速度，c₀为参考速度，通常取为均方根速度，k为波数，Δt为波场延拓的时间步长。

对方程两端同时减去2倍的波场p(x,t)并同除以Δt²，可得

将方程右端算子记为

式构建出了一个空间-波数混合域的傅里叶积分算子，即为各向同性介质的傅里叶积分算子；

此时，方程可以等价的写为：

各项同性介质情况下，傅里叶积分算子的核函数是介质波速c和空间波数k的函数，而在各向异性介质情况下，核函数变为介质波速c、空间波数k和各向异性参数η的函数，此函数为

其中c₁是平行于对称平面的P波相速度，c₂是垂直于对称平面的P波相速度，η是各向异性弹性参数，η和常用的汤姆森参数ε和δ之间存在如下关系：

公式中和所表示的波数定义在按对称轴方向旋转后的坐标系上，其和原始坐系内定义的波数k₁、k₂以及倾角θ之间存在如下关系，

根据上述关系，对核函数进行替换，得到异性介质的条件下的空间-波数混合域傅里叶积分算子如下式：

步骤2.1将所得到的各向同性介质空间-波数混合域积分算子和各向异性介质空间-波数混合域积分算子分别拆分为傅里叶积分算子和有限差分算子两部分，采用分别计算的方式降低混合域的计算量；

在步骤1中得到式和式算子的计算量为O(N²)，其中N表示计算的网格点数；由于式和式构建的算子Φ是混合域的，即其中的cos(|k|c(x)Δt)和cos(f(c,η)Δt)既依赖于空间位置x又依赖于波数k，其计算量巨大，在地震勘探的实际应用之中，无法承受如此巨大的计算量。因此，本发明将其分解为傅里叶积分算子和有限差分算子分别计算的策略，以降低计算量。

具体过程如下：

各向同性介质情况下，考虑积分算子式中的核函数cos(|k|c(x)Δt)有

其中c₀为参考速度，通常可以取为均方根速度。式中[cos(|k|c₀Δt)-1]即傅里叶积分算子的核函数，计算中仅需一次傅里叶正反变换，可视为有限差分算子，可由有限差分近似求得。

对于各向异性介质，对式中的核函数cos(f(c,η)Δt)-1类似的有

其中c₀和η₀分别为参考速度和参考各向异性弹性参数，通常可以取为均方根速度和均方根各向异性弹性参数。类似各向同性的情况，式中傅里叶积分算子的核函数为有限差分算子为

步骤2.2针对各向同性介质和各向异性介质情况，计算所述的傅里叶积分算子：针对各向同性介质和各向异性介质情况，利用快速傅里叶变换进行波场在空间域和波数域之间的转换，通过在波数域对波场作用伪拉普拉斯算子，计算傅里叶积分算子；

各向同性介质情况下，式中的傅里叶积分算子的核函数[cos(|k|c₀Δt)-1]仅依赖于波数k，通过一次傅里叶变化就可以求解，计算步骤如下：

①对时刻t的波场p(x,t)做空间域快速傅里叶变换，得

②在波数域对乘上2cos(c₀|k|Δt-1)得到

③对做空间傅里叶逆变换，

各向异性介质情况下，式中的傅里叶积分算子的核函数仅依赖于波数k，通过一次傅里叶变化就可以求解，计算步骤如下：

①对时刻t的波场p(x,t)做空间域快速傅里叶变换，得

②在波数域对乘上2(cos(|f(c₀,η₀)Δt)-1)/|k|²得到

③对做空间傅里叶逆变换，

步骤2.3针对各向同性介质和各向异性介质情况，求取差分系数：针对各向同性介质和各向异性介质情况，对得到的有限差分算子做泰勒展开，分别求取对应的差分系数；

对于各向同性介质情况，步骤2.1中式给出的有限差分算子可以由下式近似计算

这里a_n,(n＝1,2)为有限差分系数，通过对公式在k＝0处的泰勒展开得到有限差分系数a_n,(n＝1,2)，计算公式如下

对于各向异性介质情况，步骤2.1中式给出的有限差分算子可以由下式近似计算

这里a_n,(n＝1,2,3,4,5)为有限差分系数，i,j＝1,2，i≠j。通过对公式在k＝0处的泰勒展开得到有限差分系数a_n(n＝1,2)，具体计算式如下，

a₀＝-2a₁-2a₂-4a₃-2a₄-2a₅

其中

步骤3.在空间方向构建有限差分计算格式、离散求解地震波场延拓中的空间偏导数以提高计算精度：在空间方向上结合傅里叶积分算子，构建有限差分计算格式，离散求解地震波场延拓中的空间偏导数，以提高计算精度；

在步骤1中得到的式和式实际上就是各向同性和各向异性介质情况下对应的空间偏导数算子，在上述的步骤2.1、步骤2.2中已给出的计算方法，该空间偏导数算子关于参考速度的部分已经通过傅里叶变换计算完成；而关于扰动速度场的计算部分则通过构建有限差分格式进行计算，利用步骤2.3中计算给出的有限差分系数，可构建如下有限差分计算格式：

对于各向同性介质情况

这里的p′(x,t)为步骤2.2中计算得到的波场，计算完式，即可完成各向同性介质空间偏导数算子Φ的计算。

对于各向异性介质情况

这里的p′(x,t)为步骤2.2中计算得到的波场，计算完式，即可完成各向异性介质空间偏导数算子的计算。

为了用辛算法求解声波方程，需要将声波方程描述为哈密顿形式。对于声波方程，定义为广义动量，将p视为广义坐标，则波场可以用相点z′＝(Q,p)^T表示，声波方程可以哈密顿化为

其中

方程就是描述声波波场随时间演化的哈密顿正则方程。

对声波方程进行空间上的离散，利用步骤3中式或式给出的求解空间偏导数的算子Φ或代替方程中的拉普拉斯算子，以Φ为例有

采用辛蛙跳格式离散化方程，其计算格式为

其中Φ由步骤2.1、2.2、2.3、3中给出的方法计算，对于各向异性介质，只需将方程中的Φ替换为即可。方程给出的计算格式用辛格式计算时间偏导数，用傅里叶算子和有限差分算子计算空间偏导数，该计算格式即为辛格式傅里叶有限差分方法。

如图2-1和图2-2所示，为常规辛格式算法计算得到的外推波场，图2-1为时间外推600步时的波场；图2-2为时间外推1000步时的波场；可以看到常规方法有严重的数值频散。

如图3-1和图3-2所示，为非辛格式谱算法计算得到的外推波场，图3-1为时间外推600步时的波场；图3-2为时间外推1000步时的波场；可以看到非辛格式的谱方法虽然具有较高的计算精度，没有数值频散，但是随着时间外推在图3-2右下方出现了振幅异常，计算不稳定。

如图4-1和图4-2所示，为本发明提出的辛格式傅里叶有限差分方法计算得到的外推波场，图4-1为时间外推600步时的波场；图4-2为时间外推1000步时的波场；可以看到本发明的方法计算精度高，没有频散，同时随着计算时间的推移能保持计算稳定，无异常振幅，计算稳定。

通过现有的两种方法与本发明方法进行对比，可以明显看出在各向同性介质中，采用本发明方法的计算精度和稳定性具有明显的优势。

相比于现有计算方法不适用于各向异性介质地震波场的情况，如图5所示，为采用本发明提出的辛格式傅里叶有限差分方法计算得到的各向异性介质外推波场，可以看出本发明提出的方法同样适用于各向异性介质的波场延拓，计算无频散，能够有效的压制伪S波干扰，具有较高的计算精度。

本发明采用辛格式傅里叶有限差分方法对地震波场进行延拓，有效的解决了大时间步长、长时间计算时，时间上的误差累积明显，计算精度低、不稳定的问题；提高了波场延拓过程中数值计算的精度、稳定性和复杂地质条件的适用性，有助于地震正演、地震成像(逆时偏移)和地震反演等地震勘探技术的升级，对于复杂油气储层的高精度地震勘探具有要实际意义和应用价值。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非是对本发明作其它形式的限制，任何熟悉本专业的技术人员可能利用上述揭示的技术内容加以变更或改型为等同变化的等效实施例应用于其它领域，但是凡是未脱离本发明技术方案内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与改型，仍属于本发明技术方案的保护范围。

Claims

1.一种精度高、计算稳定的复杂介质地震波场延拓方法，其特征在于：所述方法包括通过傅里叶积分算子和有限差分算子相结合建立空间-波数混合域的计算格式，之后再结合辛算法建立时间域上的计算格式；具体步骤如下：

2.根据权利要求1所述一种精度高、计算稳定的复杂介质地震波场延拓方法，其特征在于，针对各向同性介质和各向异性介质情况，所述步骤1中的空间-波数混合域的积分算子表达式如下：

(1)各向同性介质情况下，空间-波数混合域算子为

<mrow> <mi>&Phi;</mi> <mo>&lsqb;</mo> <mo>&CenterDot;</mo> <mo>&rsqb;</mo> <mo>&equiv;</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>F</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>&lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>c</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <msup> <mi>&Delta;t</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mi>F</mi> <mo>&lsqb;</mo> <mo>&CenterDot;</mo> <mo>&rsqb;</mo> <mo>&rsqb;</mo> <mo>,</mo> </mrow>

其中F[·]表示空间傅里叶正变换，F^-1[·]表示空间傅里叶逆变换，k为波数矢量，c(x)为介质的速度；

(2)各向异性介质情况下，空间-波数混合域算子为

<mrow> <mover> <mi>&Phi;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&lsqb;</mo> <mo>&CenterDot;</mo> <mo>&rsqb;</mo> <mo>&equiv;</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>F</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>&lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>,</mo> <mi>&eta;</mi> <mo>)</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <msup> <mi>&Delta;t</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mi>F</mi> <mo>&lsqb;</mo> <mo>&CenterDot;</mo> <mo>&rsqb;</mo> <mo>&rsqb;</mo> <mo>.</mo> </mrow>

其中

这里c₁是平行于对称平面的P波相速度，c₂是垂直于对称平面的P波相速度，η是各向异性弹性参数，η和常用的汤姆森参数ε和δ之间存在关系为

<mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>&delta;</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>&epsiv;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>&eta;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>

和所表示的波数定义在按对称轴方向旋转后的坐标系上，其和原始坐系内定义的波数k₁、k₂以及倾角θ之间存在如下关系，

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>cos</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>cos</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>.</mo> </mrow>

3.根据权利要求1所述一种精度高、计算稳定的复杂介质地震波场延拓方法，其特征在于，针对各向同性介质和各向异性介质情况，将步骤2.1中空间-波数混合域积分算子拆分为傅里叶积分算子和有限差分算子的表达式如下：

(1)各向同性介质情况下，积分算子Φ中的核函数cos(|k|c(x)Δt)可分解为：

<mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>c</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>&rsqb;</mo> <mo>=</mo> <mo>&lsqb;</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>&Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>&rsqb;</mo> <mo>&lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>c</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>&Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> </mrow>

其中c₀为参考速度，[cos(|k|c₀Δt)-1]为傅里叶积分算子核函数，为有限差分算子；

(2)对于各向异性介质，积分算子中的核函数可分解为：

<mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>,</mo> <mi>&eta;</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>&rsqb;</mo> <mo>=</mo> <mo>&lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>,</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> <mo>&lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>,</mo> <mi>&eta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>,</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>&rsqb;</mo> </mrow>

其中c₀和η₀分别为参考速度和参考各向异性弹性参数为傅里叶积分算子核函数，为有限差分算子。

4.根据权利要求1所述一种精度高、计算稳定的复杂介质地震波场延拓方法，其特征在于，针对各向同性介质和各向异性介质情况，步骤2.2中计算傅里叶积分算子：

对各向同性介质，计算步骤如下：

①对时刻t的波场p(x,t)做空间域快速傅里叶变换，得

②在波数域对乘上2cos(c₀|k|Δt-1)得到

<mrow> <msup> <mover> <mi>p</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>&lsqb;</mo> <mn>2</mn> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> <mover> <mi>p</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow>

③对做空间傅里叶逆变换，

对各向异性介质，计算步骤如下：

①对时刻t的波场p(x,t)做空间域快速傅里叶变换，得

②在波数域对乘上得到

<mrow> <msup> <mover> <mi>p</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>&lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>,</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> <mover> <mi>p</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow>

③对做空间傅里叶逆变换，

5.根据权利要求1所述一种精度高、计算稳定的复杂介质地震波场延拓方法，其特征在于，针对各向同性介质和各向异性介质情况，步骤2.3中分别求取对应的差分系数，表达式为：

对于各向同性介质情况，对

<mrow> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>c</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>&Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> <mo>&ap;</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mi>n</mi> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>n</mi> </msub> <msub> <mi>&Delta;x</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>

在k＝0处进行泰勒展开，得到有限差分系数a_n,(n＝1,2)的计算公式如下

<mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msubsup> <mi>c</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>&lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>&Delta;t</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>c</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msup> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>6</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msup> <mi>&Delta;x</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msup> <mi>&Delta;z</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>c</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mn>12</mn> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&Delta;x</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>c</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>c</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mn>12</mn> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&Delta;z</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>c</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>;</mo> </mrow>

对于各向异性介质情况，对

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>,</mo> <mi>&eta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>,</mo> <msub> <mi>&eta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> <mo>|</mo> <mover> <mi>k</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>|</mo> <mo>&ap;</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </munderover> <mo>&lsqb;</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>n</mi> </msub> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>n</mi> </msub> <msub> <mi>&Delta;x</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>k</mi> <mi>n</mi> </msub> <msub> <mi>&Delta;x</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> <mo>+</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>2</mn> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&lsqb;</mo> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&Delta;x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>j</mi> </msub> <msub> <mi>&Delta;x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&Delta;x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>j</mi> </msub> <msub> <mi>&Delta;x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

在k＝0处进行泰勒展开，得到有限差分系数a_n,(n＝1,2,3,4,5)，i,j＝1,2，i≠j，计算式如下，

a₀＝-2a₁-2a₂-4a₃-2a₄-2a₅

<mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <mn>4</mn> <msub> <mi>a</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>h</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <mi>&Delta;x</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>w</mi> <msub> <mn>1</mn> <mn>0</mn> </msub> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>h</mi> <msub> <mn>1</mn> <mn>0</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <mn>4</mn> <msub> <mi>a</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>h</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <mi>&Delta;z</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>w</mi> <msub> <mn>2</mn> <mn>0</mn> </msub> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>h</mi> <msub> <mn>2</mn> <mn>0</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow>

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>4</mn> </msub> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>&Delta;x</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mi>&Delta;z</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>5</mn> </msub> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>&Delta;z</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mi>&Delta;x</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>12</mn> <msup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&lsqb;</mo> <msup> <mi>&Delta;t</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>w</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>h</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>&Delta;x</mi> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>h</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>w</mi> <msub> <mn>1</mn> <mn>0</mn> </msub> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>h</mi> <msub> <mn>1</mn> <mn>0</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msup> <mi>&Delta;z</mi> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>h</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>w</mi> <msub> <mn>2</mn> <mn>0</mn> </msub> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>h</mi> <msub> <mn>2</mn> <mn>0</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msup> <mi>&Delta;t</mi> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>w</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>h</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>w</mi> <msub> <mn>3</mn> <mn>0</mn> </msub> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>h</mi> <msub> <mn>3</mn> <mn>0</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

<mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>h</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>&lsqb;</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>&Delta;x</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>&Delta;t</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>h</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mn>24</mn> <msup> <mi>&Delta;x</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>w</mi> <msub> <mn>1</mn> <mn>0</mn> </msub> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>h</mi> <msub> <mn>1</mn> <mn>0</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> 3

<mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>h</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>&lsqb;</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>&Delta;z</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>&Delta;t</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>h</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mn>24</mn> <msup> <mi>&Delta;z</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>w</mi> <msub> <mn>2</mn> <mn>0</mn> </msub> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>h</mi> <msub> <mn>2</mn> <mn>0</mn> </msub> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>

其中

<mrow> <msub> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mi>cos</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mi>sin</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>&theta;</mi> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mi>cos</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mi>sin</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>&theta;</mi> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>w</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mn>2</mn> <mi>&theta;</mi> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>h</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <msubsup> <mi>w</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>8</mn> <msubsup> <mi>&eta;v</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mi>cos</mi> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mi>&theta;sin</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>&theta;</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>&eta;</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>h</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <msubsup> <mi>w</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>8</mn> <msubsup> <mi>&eta;v</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mi>cos</mi> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mi>&theta;sin</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>&theta;</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>&eta;</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>h</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <mfrac> <msubsup> <mi>w</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mn>4</mn> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>&eta;v</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mi>cos</mi> <mn>2</mn> </msup> <mn>2</mn> <mi>&theta;</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>&eta;</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </msqrt> <mo>.</mo> </mrow>

6.根据权利要求1所述一种精度高、计算稳定的复杂介质地震波场延拓方法，其特征在于，针对各向同性介质和各向异性介质情况，步骤3中构建的有限差分计算格式如下：

对于各向同性介质情况，空间偏导数算子中有限差分计算格式为:

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&Phi;</mi> <mo>&lsqb;</mo> <mi>p</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>p</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>p</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msup> <mi>p</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>p</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msup> <mi>p</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

其中p′(x,t)为步骤2.2中计算傅里叶积分算子时得到的各向同性介质波场；

对于各向异性介质情况，空间偏导数算子中有限差分计算格式为:

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>&Phi;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&lsqb;</mo> <mi>p</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>p</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>p</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msup> <mi>p</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>p</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msup> <mi>p</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>4</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>p</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>&Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msup> <mi>p</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>&Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>5</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>p</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>&Delta;</mi> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msup> <mi>p</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>&Delta;</mi> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>p</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>p</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>p</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>p</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

其中p′(x,t)为步骤2.2中计算傅里叶积分算子时得到的各向异性介质波场。

7.根据权利要求1所述一种精度高、计算稳定的复杂介质地震波场延拓方法，其特征在于，步骤4中的辛格式时间偏导数计算方法如下：

用空间偏导数的算子Φ代替声波方程中的拉普拉斯算子，可得

定义为广义动量，将p视为广义坐标，将上式可以哈密顿化为

采用辛蛙跳格式离散方程，辛格式傅里叶有限差分方法其计算格式为

<mrow> <msup> <mi>Q</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>Q</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>6</mn> </mfrac> <mi>&Delta;</mi> <mi>t</mi> <mi>&Phi;</mi> <mo>&lsqb;</mo> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>&rsqb;</mo> </mrow>

<mrow> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>&Delta;tQ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow>

<mrow> <msup> <mi>Q</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>2</mn> <mn>3</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>Q</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>2</mn> <mn>3</mn> </mfrac> <mi>&Delta;</mi> <mi>t</mi> <mi>&Phi;</mi> <mo>&lsqb;</mo> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>&rsqb;</mo> </mrow>

<mrow> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>Q</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>&Delta;tp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>2</mn> <mn>3</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow>

<mrow> <msup> <mi>Q</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>Q</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>2</mn> <mn>3</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>6</mn> </mfrac> <mi>&Delta;</mi> <mi>t</mi> <mi>&Phi;</mi> <mo>&lsqb;</mo> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>&rsqb;</mo> </mrow>

对于各向异性介质，将上述方程中的Φ替换为即可，其中Φ和按照步骤2.1、步骤2.2、步骤2.3、步骤3中给出的方法计算。