CN106503327A - 应用于惠更斯面的带修正因子的时空插值方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于电磁场计算技术领域，为提出将惠更斯面用于FDTD吸收边界条件时，能得到更好的吸收效果，得到更小的电磁波反射系数的方法。本发明采用的技术方案是，应用于惠更斯面的带修正因子的时空插值方法，惠更斯面通过产生与入射波方向相反的场来抵消入射波的场，以达到吸收边界的效果，在最外层截断边界采用穆尔Mur一阶吸收边界进一步吸收残留波，电磁波的两个垂直x轴的分量E_y和H_z沿x轴方向传播，在k处放置惠更斯面，采用带修正因子的时空插值算子进行计算。本发明主要应用于电磁场计算场合。

Description

应用于惠更斯面的带修正因子的时空插值方法

技术领域

本发明涉及一种时域有限差分(FDTD)算法计算电磁场时的惠更斯吸收边界，具体讲,涉及应用于惠更斯面的带修正因子的时空插值方法。

背景技术

由于计算机容量的限制，FDTD计算只能在有限区域进行。为了能模拟开域电磁过程，在计算区域的截断边界处必须给出吸收边界条件。惠更斯吸收边界通过建立一个虚拟面，将此面上的等效电磁流来辐射与外向行波幅度相同但符号相反的场来抵消激励源的辐射。这个面被统称为惠更斯面。惠更斯面可以和其他的吸收边界条件相结合来达到更好的吸收效果。但在实际情况中很难得到严格意义上的惠更斯面，因为此面上的等效电磁流是根据线性算子或者其他算子估算出来的，因此对外向行波的抵消并不是很完美。

发明内容

为克服现有技术的不足，本发明旨在提出将惠更斯面用于FDTD吸收边界条件时，能得到更好的吸收效果，得到更小的电磁波反射系数的方法。本发明采用的技术方案是，应用于惠更斯面的带修正因子的时空插值方法，惠更斯面通过产生与入射波方向相反的场来抵消入射波的场，以达到吸收边界的效果，在最外层截断边界采用穆尔Mur一阶吸收边界进一步吸收残留波，电磁波的两个垂直x轴的分量E_y和H_z沿x轴方向传播，在k处放置惠更斯面，惠更斯面处的节点电场和磁场的表达式如下：

其中：E_y为y轴方向的电场；H_z为z轴方向的磁场；k为离散取样坐标；n为时间步；Δt为时间间隔；Δx为取样间隔；ε为介质介电常数；μ为磁导系数，和为惠更斯面产生的等效反向电场和磁场；惠更斯面的残留波表达式如下：

其中U代表电场E或磁场H，x₀为插入点坐标，t为时间步，采用带修正因子的时空插值算子计算出令其中Ψ＝ψ+δ，ψ＝K(-Δx)Z(-Δt)，δ为时空插值算子的修正因子：

δ＝2[K(-Δx)-K(-2Δx)Z(-Δt)]-[K(-2Δx)-K(-3Δx)Z(-Δt)] (3)

所以得

将上式展开为二阶精度的泰勒公式展开式：

K(-Δx)是位置位移算子，Z(-Δt)是时间位移算子，即用前一时间步前一个节点的值来代替惠更斯面上的值，得残留波趋近于零。

采用一维时域有限差分FDTD进行仿真，分别将Mur一阶吸收边界、Mur一阶吸收边界结合时空插值算子法惠更斯吸收边界、Mur一阶吸收边界结合带修正因子的时空插值算子法惠更斯吸收边界来进行仿真，验证上述带修正因子的时空插值算子的有效性。

本发明的特点及有益效果是：

由仿真结果，反射系数越小，吸收效果越好。因此本发明带修正因子的时空插值算子惠更斯吸收边界在吸收性能上优于其他两种吸收边界。

附图说明：

图1一维FDTD截断边界示意图。图中，电磁波的两个垂直x轴的分量E_y和H_z沿x轴方向传播。其中：E_y为y轴方向的电场；H_z为z轴方向的磁场。

图2惠更斯吸收边界原理图。

图3一维FDTD仿真的激励源S和接收点R的坐标示意图。

图4接收点R处的入射输波形。

图5三种不同的吸收边界的接收点R处的反射波波形。

具体实施方式

(一)、FDTD离散表达式

FDTD方法通过对电磁场E、H分量在空间和时间上采取交替抽样的离散方式，将麦克斯韦旋度方程进行差分离散从而得到一组时域推进公式。麦克斯韦旋度方程为：

其中：E为电场强度，单位为伏特/米(V/m)；D为电通量密度，单位为库仑/米²(C/m²)；

H为磁场强度，单位为安培/米(A/m)；B为磁通量密度，单位为韦伯/米²(Wb/m²)；

J为电流密度，单位为安培/米²(A/m²)；J_m为磁流密度，单位为伏特/米²(V/m²)；

在一维情况下，设波沿x轴方向传播，一维FDTD的示意图如图1所示，介质参数和场量均与y，z无关。即于是上式的一维FDTD离散简化式为：

(二)、穆尔Mur吸收边界

为了计算模拟截断边界以内的区域，即相当于以有限空间实验室内的散射实验来模拟自由空间中的散射过程。这时会在实验室墙壁上敷以吸波材料，使波在此界面无反射，形成微波暗室。相应地在计算过程中给截断边界处设置吸收边界条件就起着吸收入射波的作用。

在截断边界附近通常没有激励源。一维TEM波的截断边界条件假设截断边界为图1中的E_x节点，对于此右截断边界处，可以应用一阶近似式的一维形式，即：

其中c为截断边界处波的传播速度；

(三)、惠更斯吸收边界

在电磁学中，等效原理指出包围激励源的虚拟面上的等效电流和等效磁流可以由公式(1)得到。

其中J为等效电流，J_m为等效磁流，为面的外法向，H_i、E_i为面外的磁场和电场，i为惠更斯面所在位置。如图1所示，假设波沿x方向传播，节点k处n时刻的

惠更斯面上的等效电流与等效磁流可以确定面外的场H_i、E_i。在FDTD计算离散空间时，惠更斯面上的H_i、E_i是由线性算子估计出来的。

如图2所示，惠更斯面通过产生与入射波方向相反的场来抵消入射波的场，以达到吸收边界的效果，在最外层截断边界采用Mur一阶吸收边界进一步吸收残留波。其表达式如下：

其中U即可代表电场E，也可代表磁场H。在理想条件下即完全没有残留的透射波。但是实际上的值通常会用时空插值算子ψ估计出来。

K(-Δx)是位置位移算子，Z(-Δt)是时间位移算子。即用前一时间步前一个节点的值来代替惠更斯面上的值。惠更斯面处的节点电场和磁场的表达式如下：

实际上任何算子估计的惠更斯面上的值都不是准确的，会存在误差。为了降低时空插值算子的估计误差，本专利提出带修正因子的时空插值算子：Ψ＝ψ+δ，δ为时空插值算子的修正因子。

δ＝2[K(-Δx)-K(-2Δx)Z(-Δt)]-[K(-2Δx)-K(-3Δx)Z(-Δt)] (12)

所以可得

将上式展开为二阶精度的泰勒公式展开式：

在二阶精度展开式下估计的场更加近似入射波的场。

所以残留波趋近于零。所以相比时空插值算子在理论上估计更加准确，效果更好。

(四)、实验验证

为验证上述带修正因子的时空插值算子的有效性，采用一维FDTD进行仿真。分别将Mur一阶吸收边界、Mur一阶吸收边界结合时空插值算子法惠更斯吸收边界、Mur一阶吸收边界结合带修正因子的时空插值算子法惠更斯吸收边界来进行仿真。仿真示意图如图3，在S放置激励源，R点为测试点。仿真波频率为10GHz，Δx为波长的十六分之一，Δt＝Δx/(3×c)，c为波速。图4为测试点R处的脉冲激励源波形，图5为测试点R处的反射波波形，应用三种吸收边界的R处反射波的振幅可以看出带修正因子的时空插值算子法惠更斯吸收边界的反射波最小。由此计算得到的反射系数如下表1。

表1一维FDTD反射系数

吸收边界条件	反射系数
		Mur一阶	-17.8613dB
时空插值法惠更斯面+Mur一阶	-19.5749dB
		修正因子时空插值法惠更斯面+Mur一阶	-24.6891dB

反射系数越小，吸收效果越好。因此带修正因子的时空插值算子惠更斯吸收边界在吸收性能上优于其他两种吸收边界。

Claims (2)

1.一种应用于惠更斯面的带修正因子的时空插值方法，其特征是，惠更斯面通过产生与入射波方向相反的场来抵消入射波的场，以达到吸收边界的效果，在最外层截断边界采用穆尔Mur一阶吸收边界进一步吸收残留波，电磁波的两个垂直x轴的分量E_y和H_z沿x轴方向传播，在k处放置惠更斯面，惠更斯面处的节点电场和磁场的表达式如下：

$\begin{array}{c}{E}_y^{n+1}\left(k\right)=E_y^n\left(k\right)-\frac{\mathrm{\Δ}t}{\mathrm{\ϵ}\mathrm{\Δ}x}\[H_z^{n+1/2}(k+\frac{1}{2})-H_z^{n+1/2}(k-\frac{1}{2})\]-\frac{\mathrm{\Δ}t}{\mathrm{\ϵ}\mathrm{\Δ}x}\×{\stackrel{\‾}{H}}_z^{n-1/2}(k-\frac{1}{2})\\ H_z^{n+1/2}(k+\frac{1}{2})=H_z^{n-1/2}(k+\frac{1}{2})-\frac{\mathrm{\Δ}t}{\mathrm{\μ}\mathrm{\Δ}x}\[E_y^n(k+1)-E_y^n\left(k\right)\]-\frac{\mathrm{\Δ}t}{\mathrm{\μ}\mathrm{\Δ}x}\×{\stackrel{\‾}{E}}_y^{n-1}(k-1)\end{array}---\left(1\right)$

其中：E_y为y轴方向的电场；H_z为z轴方向的磁场；k为离散取样坐标；n为时间步；Δt为时间间隔；Δx为取样间隔；ε为介质介电常数；μ为磁导系数，和为惠更斯面产生的等效反向电场和磁场；惠更斯面的残留波表达式如下：

$U_t(x_0,t)=U_i(x_0,t)-\tilde{U}(x_0,t)---\left(2\right)$

其中U代表电场E或磁场H，x₀为插入点坐标，t为时间步，采用带修正因子的时空插值算子计算出令其中Ψ＝ψ+δ，ψ＝K(-Δx)Z(-Δt)，δ为时空插值算子的修正因子：

δ＝2[K(-Δx)-K(-2Δx)Z(-Δt)]-[K(-2Δx)-K(-3Δx)Z(-Δt)] (3)

所以得

$\begin{array}{c}\tilde{U}(x_0,t)=U_i(x_0-\mathrm{\Δ}x,t-\mathrm{\Δ}t)+2U_i(x_0-\mathrm{\Δ}x)-2U_i(x_0-2\mathrm{\Δ}x,t-\mathrm{\Δ}t)\\ -U_i(x_0-\mathrm{\Δ}x)+U_i(x_0-3\mathrm{\Δ}x,t-\mathrm{\Δ}t)\end{array}---\left(4\right)$

将上式展开为二阶精度的泰勒公式展开式：

$\begin{array}{c}\tilde{U}(x_0,t)=U_i(x_0,t)-\frac{\∂U_i(x_0,t)}{\∂x}\mathrm{\Δ}x-\frac{\∂U_i(x_0,t)}{\∂t}\mathrm{\Δ}t+\frac{1}{2}\frac{{\∂}^2{U}_i(x_0,t)}{\∂x^2}{\mathrm{\Δx}}^2+\frac{1}{2}\frac{{\∂}^2{U}_i(x_0,t)}{\∂t^2}{\mathrm{\Δt}}^2\\ +\frac{{\∂}^2{U}_i(x_0,t)}{\∂x\∂t}\mathrm{\Δ}x\mathrm{\Δ}t+2U_i(x_0,t)-2\frac{\∂U_i(x_0,t)}{\∂x}\mathrm{\Δ}x+\frac{{\∂}^2{U}_i(x_0,t)}{\∂x^2}{\mathrm{\Δx}}^2\\ -2U_i(x_0,t)+4\frac{\∂U_i(x_0,t)}{\∂x}\mathrm{\Δ}x+2\frac{\∂U_i(x_0,t)}{\∂t}\mathrm{\Δ}t-4\frac{{\∂}^2{U}_i(x_0,t)}{\∂x^2}{\mathrm{\Δx}}^2-\frac{{\∂}^2{U}_i(x_0,t)}{\∂t^2}{\mathrm{\Δt}}^2\\ -4\frac{{\∂}^2{U}_i(x_0,t)}{\∂x\∂t}\mathrm{\Δ}x\mathrm{\Δ}t-U_i(x_0,t)+2\frac{\∂U_i(x_0,t)}{\∂x}\mathrm{\Δ}x-2\frac{{\∂}^2{U}_i(x_0,t)}{\∂x^2}{\mathrm{\Δx}}^2\\ +U_i(x_0,t)-3\frac{\∂U_i(x_0,t)}{\∂x}\mathrm{\Δ}x-\frac{\∂U_i(x_0,t)}{\∂t}\mathrm{\Δ}t+\frac{9}{2}\frac{{\∂}^2{U}_i(x_0,t)}{\∂x^2}{\mathrm{\Δx}}^2+\frac{1}{2}\frac{{\∂}^2{U}_i(x_0,t)}{\∂t^2}{\mathrm{\Δt}}^2\\ +3\frac{{\∂}^2{U}_i(x_0,t)}{\∂x\∂t}\mathrm{\Δ}x\mathrm{\Δ}t=U_i(x_0,t)\end{array}$

K(-Δx)是位置位移算子，Z(-Δt)是时间位移算子，即用前一时间步前一个节点的值来代替惠更斯面上的值，得残留波趋近于零。

2.如权利要求1所述的应用于惠更斯面的带修正因子的时空插值方法，其特征是，采用一维时域有限差分FDTD进行仿真，分别将Mur一阶吸收边界、Mur一阶吸收边界结合时空插值算子法惠更斯吸收边界、Mur一阶吸收边界结合带修正因子的时空插值算子法惠更斯吸收边界来进行仿真，验证上述带修正因子的时空插值算子的有效性。