CN106485035A - 基于随机有限元分析的红外诱饵弹气动特性建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于随机有限元分析的红外诱饵弹气动特性建模方法，包括以下步骤：红外诱饵弹工作流场的分析与简化，诱饵弹流场的有限单元剖分，单元插值基函数的确定，有限单元分析，建立总体随机有限元方程，诱饵弹运动方程的建立与仿真等。本发明通过分析诱饵弹的工作机理和运行状态，提出了基于随机有限元分析方法建立诱饵弹的温度流场分布和随机空气阻力运动特性模型。该方法不仅能为红外诱饵弹的设计和红外制导算法的研究提供依据，也对红外视景仿真系统的搭建具有重要指导意义。

Description

基于随机有限元分析的红外诱饵弹气动特性建模方法

技术领域

本发明涉及一种基于随机有限元分析的红外诱饵弹气动特性建模方法，属于红外诱饵弹模型和仿真系统研制领域。

背景技术

目前，国外相关机构已经在红外诱饵弹模型和仿真系统的研制方面展开工作。如美国的Naval Air Warfare Center建立的红外成像仿真实验室，美国的CSA实验中心(Computer Scienceand Application Inc)设计开发的红外镜像模拟系统IRSP等，都已经得到实际应用，并发挥了巨大的作用。尽管国外相关机构和科研单位已经对红外目标虚拟视景仿真系统进行了大量的研究，但针对仿真目标，特别是红外诱饵弹的自身特性研究比较少，现有的仿真系统多是使用简化仿真模型对其运动和辐射特性进行仿真，使得仿真系统的可信度有所降低。

国内对红外诱饵弹的特性也有一定的研究。在诱饵弹特性建模方面，空军工程大学、西北工业大学和东北电子技术研究所等高等院校和科研机构，对诱饵弹的运动规律和辐射特性进行了研究和仿真。但国内各单位在诱饵弹虚拟视景仿真技术的研究上仍处于起步阶段，特别是诱饵弹精确模型的建立方面，与国外先进水平仍有很大的差距。因此，有必要对诱饵弹虚拟视景仿真技术进行更深入的研究，以适应制导武器的发展需求。

发明内容

基于上述技术问题，本发明提供一种基于随机有限元分析的红外诱饵弹气动特性建模方法。

本发明所采用的技术解决方案是：

一种基于随机有限元分析的红外诱饵弹气动特性建模方法，包括以下步骤：

a红外诱饵弹气动特性分析

a1红外诱饵弹工作流场的分析与简化

根据空气动力学基础理论，诱饵弹运动时，周围空气流场的分布满足流体力学基本方程组：

其中，ρ为气体密度；v为气体流场；e为气体内能；p为压力张量；q_R为气体辐射热；F为气体所受外力；μ为气体粘性系数；

a2对流体力学基本方程组进行化简，忽略连续性方程中的外力和时间导数，上式可表示为：

a3在直角坐标系中，无粘性气体的欧拉运动方程如下式所示：

该方程可以缩写成公式的形式：

根据声速公式c²＝dp/dρ，可推导出：

将上式代入公式(2)，可以得出诱饵弹无粘性流动区域中流速所满足的微分方程：

a4在无旋场中引入速度势函数使其满足以下条件：

将上式代入微分方程，整理得到用速度势函数表示的流场运动方程：

由于诱饵弹的轴向对称性，将上式中Z轴方向的分量消去，得到诱饵弹流场的二维运动方程：

式中，项是由于取X轴为对称轴而引入的；

b基于随机有限元分析建立诱饵弹流场模型

b1诱饵弹流场的有限单元剖分

b2单元插值基函数的确定

借助标准等边四边形的基函数选取方法，再通过变换得到任意四边形单元的基函数表达式；

b3有限单元分析

将公式(3)进行积分，得出诱饵弹流场势函数的单元积分表达式：

式中：Ω为子单元的求解域；为子单元的近似解；插值函数φ_i和结点值的线性组合表示子单元的解如下式所示：

将上式代入单元积分表达式，并把实际坐标系中的积分变量(x,y)替换成标准坐标系中的(η,ξ)，得到带有系数矩阵的近似解方程：

式中：H_ij(η,ξ)和G_ij(η,ξ)的表示式为：

记：

则公式可以表示为：

式中，为有限单元积分方程的系数矩阵，上标e表示是第e个单元的系数矩阵，e＝0,1,2,…,N-1，N为结点总数；将坐标变换关系式代入公式，得到优先单元系数矩阵的最终形式；

b4建立总体随机有限元方程

在求出每个单元的系数矩阵之后，通过总体合成，求出整个求解区域所对应的总体系数矩阵A_ij，然后，以所有结点值为未知量，建立求解区域的总体有限元方程：

c诱饵弹运动方程的建立与仿真

根据牛顿运动定律建立诱饵弹的运动方程组，首先建立诱饵弹受力分析的笛卡尔坐标系：以地面上某定点为参考点，令X轴与地面平行，指向观测方向，Y轴竖直向上，Z轴与X,Y轴满足右手定则；诱饵弹在该坐标系内受力分析如下：

f_d(v)为空气阻力，v方向与速度相反，mg为重力，方向竖直向下；不放设诱饵弹与地面参考系的俯仰角为θ，偏航角为将阻力向坐标系的三个坐标轴投影，根据牛顿运动定律，得到诱饵弹价速度的分量表示形式：

将微分方程转化为差分方程，根据运动学定律得到诱饵弹运动方程组：

取合适的仿真步长Δt，通过迭代计算得到诱饵弹每一时刻的速度和位置，进而建立起红外诱饵弹的气动特性模型。

上述步骤b1中：以诱饵弹表面为内边界，以弹体直径5倍长度为半径的空心圆柱区域，子单元为任意四边形，对诱饵弹流场解算区域进行有限单元剖分。

上述步骤b2中，变换过程如下：在实际坐标系XOY中，取任意一个四边形ABCD，其结点坐标分别为A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，C(x₃,y₃)，D(x₄,y₄)；建立一个与之对应的标准坐标系ηOξ，将四边形ABCD映射成一个标准的等边四边形A’B’C’D’，各结点坐标为A’(-1,1)，B’(-1,-1)，C’(1,-1)，D’(1,1)；那么这两个坐标系之间的变换关系如下式所示：

其中，各系数满足如下关系：

取线性插值基函数，其形式如下式所示：

根据以上公式得到标准基函数对的导数：

其中各系数满足以下关系：

将标准坐标系下的基函数及其导数的表达式代入到有限差分计算方程中，求得标准坐标系下的基于随机变分原理的有限差分解计算结果，然后坐标变换，得到实际坐标系中的计算结果。

上述步骤b4中：假设某一子单元e，其结点i,j对应的总体结点序号为m,n，在总体合成时按如下规则进行：

在求解域中任取两个相邻单元e₁、e₂，其总体结点序号为单元e₁的结点i₁、i₂、i₃、i₄分别对应总体结点n₁、n₂、n₃、n₄，单元e₂的结点i₁、i₂、i₃、i₄分别对应总体结点n₄、n₃、n₆、n₅，根据公式，得到两个单元进行总体合成以后的系数矩阵A_nm，如下式所示：

最终的总体随机有限元方程是一个含有有限个未知数的线性方程组。

本发明的有益技术效果是：

本发明通过分析诱饵弹的工作机理和运行状态，提出了基于随机有限元分析方法建立诱饵弹的温度流场分布和随机空气阻力运动特性模型。该方法不仅能为红外诱饵弹的设计和红外制导算法的研究提供依据，也对红外视景仿真系统的搭建具有重要指导意义。

附图说明

下面结合附图与具体实施方式对本发明作进一步说明：

图1示出获得任意四边形单元的基函数表达式的变换过程；

图2为两节点合成示意图；

图3为诱饵弹受力分析示意图；

图4示出诱饵弹运动模型仿真结果，其中图4a示出不同初始条件下速度仿真结果，图4b示出不同初始条件下位置仿真结果。

具体实施方式

针对红外诱饵弹虚拟视景仿真技术和红外制导技术研究的迫切需要，本发明对诱饵弹的流场分布及运动规律等进行研究，并提出基于随机变分原理的有限差分方法，进而建立起诱饵弹空气动力特性模型。

本发明所基于的基本原理是：随机有限元分析方法是一种用于求解微分方程组或积分方程组数值解的数值技术。这一解法基于完全消除微分方程，即将微分方程转化为代数方程组(稳定情形)；或将偏微分方程(组)改写为常微分方程(组)的逼近，这样可以用标准的数值技术(例如欧拉法，龙格－库塔法等)求解。

在解偏微分方程的过程中，主要的难点是如何构造一个方程来逼近原本研究的方程，并且该过程还需要保持数值稳定性。同时，在某些具体实际问题中，输入因子的随机性，以及外部边界条件的随机性都给传统变分原理带来了挑战，也就是不能完全采用确定性的分析方法。因此，务必根据随机变量的特性，建立随机有限元分析方法来处理具有随机变量的红外诱饵弹气动特性模型。

下面对本发明作详细说明。

一种基于随机有限元分析的红外诱饵弹气动特性建模方法，包括以下步骤：

a红外诱饵弹气动特性分析

a1红外诱饵弹工作流场的分析与简化

诱饵弹工作时，内部燃料迅速燃烧，产生大量的高温燃气，喷射到弹体周围。这一特性使得诱饵弹周围流场的分布变得十分复杂，不同于一般弹丸运行时周围流场的匀直流情况。根据空气动力学基础理论，诱饵弹运动时，周围空气流场的分布满足流体力学基本方程组。

其中，ρ为气体密度；v为气体流场；e为气体内能；p为压力张量；q_R为气体辐射热；F为气体所受外力；μ为气体粘性系数。

自然流区和燃气扰动区的流场有相同性质：首先，流场的粘性可忽略，整个流场为无旋场。其次，流场的参数不随时间变化，是定常流场。最后，流场中气体的外力很小(主要是重力)，可忽略不计。因此，可以对流场的基本方程进行化简，忽略连续性方程中的外力和时间导数，上式可表示为：

在直角坐标系中，无粘性气体的欧拉运动方程如下式所示。

该方程可以缩写成公式的形式：

根据声速公式c²＝dp/dρ，可推导出：

将上式代入公式(2)，可以得出诱饵弹无粘性流动区域中流速所满足的微分方程：

由前面的讨论可知诱饵弹流场是无旋场，根据场论的有关知识，在无旋场中可以引入速度势函数使其满足以下条件：

将上式代入微分方程，整理可得用速度势函数表示的流场运动方程：

由于诱饵弹的轴向对称性，可以将上式中Z轴方向的分量消去，从而得到诱饵弹流场的二维运动方程：

式中，项是由于取X轴为对称轴而引入的。至此，已推导出诱饵弹流场关于势函数的运动方程，只要求出势函数就能利用式(3)的约束条件求出流场中的流速，然后再利用理想气体方程求出压强、温度等其他气动函数。

b基于随机有限元分析的诱饵弹流场模型建立

用速度势函数表示的流场运动方程本质上依然是二阶非线性微分方程，求解起来有很大难度。为了求解流场运动方程，本发明引入了随机有限元分析建模方法。

b1诱饵弹流场的有限单元剖分

本发明求解区域是以诱饵弹表面为内边界，以弹体直径5倍长度为半径的空心圆柱区域，子单元为任意四边形。对诱饵弹流场解算区域进行有限单元剖分。

b2单元插值基函数的确定

借助标准等边四边形的基函数选取方法，再通过变换得到任意四边形单元的基函数表达式。变换过程如图1所示。

根据图1，在实际坐标系XOY中，取任意一个四边形ABCD，其结点坐标分别为A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，C(x₃,y₃)，D(x₄,y₄)。建立一个与之对应的标准坐标系ηOξ，将四边形ABCD映射成一个标准的等边四边形A’B’C’D’，各结点坐标为A’(-1,1)，B’(-1,-1)，C’(1,-1)，D’(1,1)。那么这两个坐标系之间的变换关系如下式所示：

其中，各系数满足如下关系。

在标准坐标系中，等边四边形的插值基函数有多种取法，只要是相互正交的函数即可。这里取最为常用的线性插值基函数，其形式如下式所示：

根据以上公式可以得到标准基函数对的导数：

其中各系数满足以下关系：

将标准坐标系下的基函数及其导数的表达式代入到有限差分计算方程中，便可以求得标准坐标系下的基于随机变分原理的有限差分解计算结果，然后坐标变换，即可得到实际坐标系中的计算结果。

b3有限单元分析

将公式(3)进行积分，可以得出诱饵弹流场势函数的单元积分表达式：

式中：Ω为子单元的求解域；为子单元的近似解。插值函数φ_i和结点值的线性组合表示子单元的解如下式所示：

将上式代入单元积分表达式，并把实际坐标系中的积分变量(x,y)替换成标准坐标系中的(η,ξ)，可以得到带有系数矩阵的近似解方程：

式中：H_ij(η,ξ)和G_ij(η,ξ)的表示式为：

记：

则公式可以表示为：

式中，为有限单元积分方程的系数矩阵，上标e表示是第e个单元的系数矩阵，e＝0,1,2,…,N-1，N为结点总数。将坐标变换关系式代入公式，可以得到优先单元系数矩阵的最终形式。

b4总体随机有限元方程的建立

在求出每个单元的系数矩阵之后，要通过总体合成，求出整个求解区域所对应的总体系数矩阵A_ij，然后，以所有结点值为未知量，建立求解区域的总体有限元方程：

假设某一子单元e，其结点i,j对应的总体结点序号为m,n，在总体合成时按如下规则进行：

在求解域中任取两个相邻单元e₁、e₂，其总体结点序号为单元e₁的结点i₁、i₂、i₃、i₄分别对应总体结点n₁、n₂、n₃、n₄，单元e₂的结点i₁、i₂、i₃、i₄分别对应总体结点n₄、n₃、n₆、n₅，具体结构如图2所示。

根据公式，可以得到两个单元进行总体合成以后的系数矩阵A_nm，如下式所示：

最终的总体随机有限元方程是一个含有有限个未知数的线性方程组。对于诱饵弹的工作环境来讲，影响其流场分布的主要边界条件有两个：一是诱饵弹的运动速度，一是燃气出口状态。在不同边界条件下，通过编程求解总体方程，可以得到流场速度势函数在每个节点的值，根据上式对势函数求导，便可以求出流场的速度分布v(x,y)。从实验结果明显可以看出，诱饵弹流场速度分布是不均匀的，氮气前后表面有很大的速度差，这是诱饵弹释放的燃气与自然流空气相互扰动而引起的。诱饵弹的流场分布情况直接影响其运动特性。

c诱饵弹运动方程的建立及仿真

已知诱饵弹所受空气阻力f_d(v)，因此阻力为时变运行速度函数，必然属于随机变量。根据牛顿运动定律建立诱饵弹的运动方程组，首先建立诱饵弹受力分析的笛卡尔坐标系：以地面上某定点为参考点，令X轴与地面平行，指向观测方向，Y轴竖直向上，Z轴与X,Y轴满足右手定则。诱饵弹在该坐标系内受力分析如图3所示。

其中，f_d(v)为空气阻力，v方向与速度相反，mg为重力，方向竖直向下。不放设诱饵弹与地面参考系的俯仰角为θ，偏航角为将阻力向坐标系的三个坐标轴投影，根据牛顿运动定律，可以得到诱饵弹价速度的分量表示形式：

将微分方程转化为差分方程，便可根据运动学定律得到诱饵弹运动方程组：

取合适的仿真步长Δt，通过迭代计算可以得到诱饵弹每一时刻的速度和位置，进而建立起红外诱饵弹的气动特性模型。

Claims (4)

1.一种基于随机有限元分析的红外诱饵弹气动特性建模方法，其特征在于包括以下步骤：

a红外诱饵弹气动特性分析

a1红外诱饵弹工作流场的分析与简化

根据空气动力学基础理论，诱饵弹运动时，周围空气流场的分布满足流体力学基本方程组：

$\begin{array}{c}\frac{\∂\mathrm{\ρ}}{\∂t}+\▿\·\mathrm{\ρ}v=0\\ \frac{\∂e}{\∂t}+p\·\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\mathrm{\ρ}}\right)=q_R\\ \mathrm{\ρ}\frac{\∂v}{\∂t}=\mathrm{\ρ}F-\▿p+\mathrm{\μ}{\▿}^{2}v\end{array}---\left(1\right)$

其中，ρ为气体密度；v为气体流场；e为气体内能；p为压力张量；q_R为气体辐射热；F为气体所受外力；μ为气体粘性系数；

a2对流体力学基本方程组进行化简，忽略连续性方程中的外力和时间导数，上式可表示为：

$\frac{\∂}{\∂x}\left({\mathrm{\ρv}}_x\right)+\frac{\∂}{\∂y}\left({\mathrm{\ρv}}_y\right)+\frac{\∂}{\∂z}\left({\mathrm{\ρv}}_z\right)=0---\left(2\right)$

a3在直角坐标系中，无粘性气体的欧拉运动方程如下式所示：

$\left\{\begin{array}{c}{v}_x\frac{\∂v_x}{\∂x}+v_y\frac{\∂v_x}{\∂y}+v_z\frac{\∂v_x}{\∂z}=-\frac{1}{\mathrm{\ρ}}\frac{\∂p}{\∂x}\\ v_x\frac{\∂v_y}{\∂x}+v_y\frac{\∂v_y}{\∂y}+v_z\frac{\∂v_y}{\∂z}=-\frac{1}{\mathrm{\ρ}}\frac{\∂p}{\∂y}\\ v_x\frac{\∂v_z}{\∂x}+v_y\frac{\∂v_z}{\∂y}+v_z\frac{\∂v_z}{\∂z}=-\frac{1}{\mathrm{\ρ}}\frac{\∂p}{\∂z}\end{array}\right.$

该方程可以缩写成公式的形式：

$(v\·\▿)v=-\frac{1}{\mathrm{\ρ}}\▿p$

根据声速公式c²＝dp/dρ，可推导出：

$\frac{1}{\mathrm{\ρ}}(v\·\▿)\mathrm{\ρ}=v\·\frac{1}{\mathrm{\ρ}}\·\▿p=\frac{1}{c^2}v\·\▿p=-\frac{1}{c^2}v\·(v\·\▿)v$

将上式代入公式(2)，可以得出诱饵弹无粘性流动区域中流速所满足的微分方程：

$(1-\frac{v_x^2}{c^2})\frac{\∂v_x}{\∂x}+(1-\frac{v_y^2}{c^2})\frac{\∂v_y}{\∂y}+(1-\frac{v_z^2}{c^2})\frac{\∂v_z}{\∂z}-\frac{v_x{v}_y}{c^2}(\frac{\∂v_x}{\∂y}+\frac{\∂v_y}{\∂x})-\frac{v_y{v}_z}{c^2}(\frac{\∂v_z}{\∂y}+\frac{\∂v_y}{\∂z})-\frac{v_z{v}_x}{c^2}(\frac{\∂v_x}{\∂z}+\frac{\∂v_z}{\∂x})=0$

a4在无旋场中引入速度势函数使其满足以下条件：

将上式代入微分方程，整理得到用速度势函数表示的流场运动方程：

由于诱饵弹的轴向对称性，将上式中Z轴方向的分量消去，得到诱饵弹流场的二维运动方程：

式中，项是由于取X轴为对称轴而引入的；

b基于随机有限元分析建立诱饵弹流场模型

b1诱饵弹流场的有限单元剖分

b2单元插值基函数的确定

借助标准等边四边形的基函数选取方法，再通过变换得到任意四边形单元的基函数表达式；

b3有限单元分析

将公式(3)进行积分，得出诱饵弹流场势函数的单元积分表达式：

式中：Ω为子单元的求解域；为子单元的近似解；插值函数φ_i和结点值的线性组合表示子单元的解如下式所示：

将上式代入单元积分表达式，并把实际坐标系中的积分变量(x,y)替换成标准坐标系中的(η,ξ)，得到带有系数矩阵的近似解方程：

式中：H_ij(η,ξ)和G_ij(η,ξ)的表示式为：

$\left\{\begin{array}{c}{H}_{ij}(\mathrm{\η},\mathrm{\ξ})=\frac{{\mathrm{\φ}}_i}{y}\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_i}{\∂y}+\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_i}{\∂x}\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_j}{\∂x}+\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_i}{\∂y}\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_j}{\∂y}\\ G_{ij}(\mathrm{\η},\mathrm{\ξ})={\left(\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_i}{\∂x}\right)}^3\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_j}{\∂x}+{\left(\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_i}{\∂y}\right)}^3\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_j}{\∂y}+2{\left(\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_i}{\∂x}\right)}^3\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_j}{\∂y}\end{array}\right.$

记：

$F_{ij}(\mathrm{\η},\mathrm{\ξ})=H_{ij}(\mathrm{\η},\mathrm{\ξ})-\frac{1}{c^2}{G}_{ij}(\mathrm{\η},\mathrm{\ξ})$

$A_{ij}^e=2\mathrm{\π}{\∫}_{-1}^1{\∫}_{-1}^1{F}_{ij}(\mathrm{\η},\mathrm{\ξ})yd\mathrm{\η}d\mathrm{\ξ}$

则公式可以表示为：

式中，为有限单元积分方程的系数矩阵，上标e表示是第e个单元的系数矩阵，e＝0,1,2,…,N-1，N为结点总数；将坐标变换关系式代入公式，得到优先单元系数矩阵的最终形式；

b4建立总体随机有限元方程

在求出每个单元的系数矩阵之后，通过总体合成，求出整个求解区域所对应的总体系数矩阵A_ij，然后，以所有结点值为未知量，建立求解区域的总体有限元方程：

c诱饵弹运动方程的建立与仿真

根据牛顿运动定律建立诱饵弹的运动方程组，首先建立诱饵弹受力分析的笛卡尔坐标系：以地面上某定点为参考点，令X轴与地面平行，指向观测方向，Y轴竖直向上，Z轴与X,Y轴满足右手定则；诱饵弹在该坐标系内受力分析如下：

f_d(v)为空气阻力，v方向与速度相反，mg为重力，方向竖直向下；不放设诱饵弹与地面参考系的俯仰角为θ，偏航角为将阻力向坐标系的三个坐标轴投影，根据牛顿运动定律，得到诱饵弹价速度的分量表示形式：

将微分方程转化为差分方程，根据运动学定律得到诱饵弹运动方程组：

取合适的仿真步长Δt，通过迭代计算得到诱饵弹每一时刻的速度和位置，进而建立起红外诱饵弹的气动特性模型。

2.根据权利要求1所述的一种基于随机有限元分析的红外诱饵弹气动特性建模方法，其特征在于，步骤b1中：以诱饵弹表面为内边界，以弹体直径5倍长度为半径的空心圆柱区域，子单元为任意四边形，对诱饵弹流场解算区域进行有限单元剖分。

3.根据权利要求1所述的一种基于随机有限元分析的红外诱饵弹气动特性建模方法，其特征在于，步骤b2中，变换过程如下：在实际坐标系XOY中，取任意一个四边形ABCD，其结点坐标分别为A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，C(x₃,y₃)，D(x₄,y₄)；建立一个与之对应的标准坐标系ηOξ，将四边形ABCD映射成一个标准的等边四边形A’B’C’D’，各结点坐标为A’(-1,1)，B’(-1,-1)，C’(1,-1)，D’(1,1)；那么这两个坐标系之间的变换关系如下式所示：

$\left\{\begin{array}{c}x=(a_1+b_1\mathrm{\ξ}+c_1\mathrm{\η}+d_1\mathrm{\ξ}\mathrm{\η})/4\\ y=(a_2+b_2\mathrm{\ξ}+c_2\mathrm{\η}+d_2\mathrm{\ξ}\mathrm{\η})/4\end{array}\right.$

其中，各系数满足如下关系：

$\left\{\begin{array}{c}{a}_1=x_1+x_2+x_3+x_4\\ b_1=-x_1+x_2+x_3-x_4\\ c_1=-x_1-x_2+x_3+x_4\\ d_1=x_1-x_2+x_3-x_4\\ a_2=y_1+y_2+y_3+y_4\\ b_2=-y_1+y_2+y_3-y_4\\ c_2=-y_1-y_2+y_3+y_4\\ d_2=y_1-y_2+y_3-y_4\end{array}\right.$

取线性插值基函数，其形式如下式所示：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\φ}}_1=(1-\mathrm{\ξ})(1-\mathrm{\η})/4\\ {\mathrm{\φ}}_2=(1+\mathrm{\ξ})(1-\mathrm{\η})/4\\ {\mathrm{\φ}}_3=(1+\mathrm{\ξ})(1+\mathrm{\η})/4\\ {\mathrm{\φ}}_4=(1-\mathrm{\ξ})(1+\mathrm{\η})/4\end{array}\right.$

根据以上公式得到标准基函数对的导数：

$\left\{\begin{array}{cc}\frac{\∂{\mathrm{\φ}}_i}{\∂x}=(A_{xi}+B_{xi}\mathrm{\ξ}+C_{xi}\mathrm{\η})/8\left|J\right|& i=1,2,3,4\\ \frac{\∂{\mathrm{\φ}}_i}{\∂y}=(A_{yi}+B_{yi}\mathrm{\ξ}+C_{yi}\mathrm{\η})/8\left|J\right|& i=1,2,3,4\end{array}\right.$

其中各系数满足以下关系：

$\left[\begin{array}{c}{A}_{xi}\\ B_{xi}\\ C_{xi}\\ A_{yi}\\ B_{yi}\\ C_{yi}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{y}_2-y_4& y_3-y_1& y_4-y_2& y_1-y_3\\ y_4-y_3& y_3-y_4& y_1-y_2& y_2-y_1\\ y_3-y_2& y_1-y_4& y_4-y_1& y_2-y_3\\ x_4-x_2& x_1-x_3& x_2-x_3& x_3-x_1\\ x_3-x_4& x_4-x_3& x_2-x_1& x_1-x_2\\ x_2-x_3& x_4-x_1& x_1-x_4& x_3-x_2\end{array}\right]$

将标准坐标系下的基函数及其导数的表达式代入到有限差分计算方程中，求得标准坐标系下的基于随机变分原理的有限差分解计算结果，然后坐标变换，得到实际坐标系中的计算结果。

4.根据权利要求1所述的一种基于随机有限元分析的红外诱饵弹气动特性建模方法，其特征在于，步骤b4中：假设某一子单元e，其结点i,j对应的总体结点序号为m,n，在总体合成时按如下规则进行：

$A_{nm}=A_{nm}+A_{ij}^e$

在求解域中任取两个相邻单元e₁、e₂，其总体结点序号为单元e₁的结点i₁、i₂、i₃、i₄分别对应总体结点n₁、n₂、n₃、n₄，单元e₂的结点i₁、i₂、i₃、i₄分别对应总体结点n₄、n₃、n₆、n₅，根据公式，得到两个单元进行总体合成以后的系数矩阵A_nm，如下式所示：

$\begin{array}{c}{A}_{nm}=\left[\begin{array}{cccccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}& A_{14}& A_{15}& A_{16}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}& A_{24}& A_{25}& A_{16}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}& A_{34}& A_{35}& A_{16}\\ A_{41}& A_{42}& A_{43}& A_{44}& A_{45}& A_{16}\\ A_{51}& A_{52}& A_{53}& A_{54}& A_{55}& A_{16}\\ A_{61}& A_{62}& A_{63}& A_{64}& A_{65}& A_{16}\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{cccccc}{A}_{11}^{\left(1\right)}& A_{12}^{\left(1\right)}& A_{13}^{\left(1\right)}& A_{14}^{\left(1\right)}& 0& 0\\ A_{21}^{\left(1\right)}& A_{22}^{\left(1\right)}& A_{23}^{\left(1\right)}& A_{11}^{\left(1\right)}& 0& 0\\ A_{31}^{\left(1\right)}& A_{32}^{\left(1\right)}& A_{33}^{\left(1\right)}+A_{22}^{\left(2\right)}& A_{34}^{\left(1\right)}+A_{21}^{\left(2\right)}& A_{24}^{\left(2\right)}& A_{26}^{\left(2\right)}\\ A_{41}^{\left(1\right)}& A_{42}^{\left(1\right)}& A_{43}^{\left(1\right)}+A_{12}^{\left(2\right)}& A_{44}^{\left(1\right)}+A_{11}^{\left(2\right)}& A_{14}^{\left(2\right)}& A_{16}^{\left(2\right)}\\ 0& 0& A_{42}^{\left(2\right)}& A_{41}^{\left(2\right)}& A_{44}^{\left(2\right)}& A_{43}^{\left(2\right)}\\ 0& 0& A_{32}^{\left(2\right)}& A_{31}^{\left(2\right)}& A_{34}^{\left(2\right)}& A_{33}^{\left(2\right)}\end{array}\right]\end{array}$

最终的总体随机有限元方程是一个含有有限个未知数的线性方程组。