CN106290974A - 一种采用双热电偶测量流体速度的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种采用双热电偶测量流体速度的方法，属于流体热工测量技术领域。所述方法的测量元件采用两个大小相同但材料不同、空间位置接近的热电偶，利用数据采集卡对两个热电偶的测量温度值进行采集。考虑测量噪声干扰和测量分辨率问题，基于集总参数法和样条拟合方法，对热电偶表面对流换热系数进行拟合；得到对流换热系数后基于量纲经验关系式得到流速与对应的对流换热系数之间的关系，从而得到流场的流速信息。本发明可以测量出流场中的温度信息频率响应；可以依据量纲关系式得到流体速度信息。本发明由于只涉及安装两个热电偶，安装简单，可以得到复杂流场定性的速度分布；既可以应用在可压流中，也可以应用在不可压流中。

Description

一种采用双热电偶测量流体速度的方法

技术领域

本发明提供了一种基于双热电偶测量流体速度的方法，属于流体热工测量技术领域。

背景技术

人们对流动信息的关心由来已久。湍流问题被认为是经典物理学唯一没有解决的问题,最为主要的原因是描述流动问题著名的N-S方程的求解在数学上有很大的困难,目前尚没有看到直接彻底解决的希望,所以从根本上说,目前流体力学仍然是一门实验科学,许多问题的解决和实际流动模型的改进都依赖高质量实验结果的获得。研究流体力学的人都知道,流体的流动速度是流场最为基本的物理量,对流动特征的认识很大程度上取决于速度场的获得。大多数描述流场的导出量都直接和速度参量建立联系，如环量、涡量、流函数等等。而流体速度的测试方法也很多，如机械式风速仪、热线风速仪、激光测速、PIV测速等。

机械式风速仪通过测量叶轮机械的旋转角速度来测速，但精度不够高。热线风速仪是将一根通电加热的细金属丝(称热线)置于气流中，热线在气流中的散热量与流速有关，而散热量导致热线温度变化而引起电阻变化，流速信号即转变成电信号。该方式是测试处于通电状态下传感器因风而冷却时产生的电阻变化，由此测试风速。不能得出风向的信息。除携带容易方便外，成本性能比高。激光测速的原理是：静止的激光光源发射的激光照射到随流体运动的粒子上时，粒子将接收到的光波向外散射，散射光频率与激光光波频率之差与运动粒子的速度成正比。这个差值就叫做多普勒频移。测量这个频差就可知运动粒子的速度，也即知道了流体的流速。激光测速是非接触式测速，对流场无干扰，动态响应较快，但应用较困难，且价格昂贵，性价比不高。PIV测速是一种瞬态、多点、无接触式的流体力学测速方法，PIV测速超出了单点测速技术(如LDA)的局限性，能在同一瞬态记录下大量空间点上的速度分布信息，并可提供丰富的流场空间结构以及流动特性，其测量精度高，可以进行两相流测速，但同样的造价昂贵。

对于有温度变化的流热交互的流场来说，其流速与对流换热系数有关，通过测量流场中的对流换热系数即可得到流场的流速信息。测量对流换热系数的方法主要包括稳态法和瞬态法。稳态法对试验条件要求苛刻，试验周期长，误差大；瞬态法(见参考文献[1]：丁水汀,姜祖岗,徐国强,罗翔.对流换热系数的瞬态测量技术.北京航空航天大学学报.2010.08)由于试验周期短，误差小，近年来被广泛的应用在对流换热系数测量试验中。通常所说的瞬态法是通过瞬时提高来流温度或者壁面温度来达到温度阶跃，测量窄幅热色液晶显色时间，通过求解一维半无限大平板非稳态导热方程得到测量表面的对流换热系数。试验中要求达到的温度阶跃通常不容易实现，只能是近似阶跃，需要进行逐级阶跃或者指数函数进行修正。但是如果试验中存在涡流，采取突然提高来流温度的方法，并不能确定涡流温度随时间的变换曲线，引入了较大的误差。应用集总参数法(见参考文献[2]：张荣华,聂恒敬.对流换热系数测定的一种新方法.能源研究与信息.2000.)同样可以用来测量对流换热系数，此方法是以传热学中非稳态导热求解法中的数学分析法集总参数分析法为基础设计的特定环境下的对流换热系数测定方法，此方法中采用铂电阻作为测温元件。

对于一些复杂结构，如航空发动机的空气系统中，传统的测速方法由于布置困难和造价等方面因素而难以实现，因此需要一种新型的、高性价比、易于布置的测速方法来应用在这些特殊的复杂结构中。

发明内容

为了解决现有技术中存在的问题，本发明提供一种采用双热电偶测量流体速度的方法，测量元件采用两个大小相同但材料不同、空间位置接近的热电偶，利用数据采集卡对两个热电偶的测量温度值进行采集。考虑测量噪声干扰和测量分辨率问题，基于集总参数法和样条拟合方法，对热电偶表面对流换热系数进行拟合；得到对流换热系数后基于量纲经验关系式得到流速与对应的对流换热系数关系式，从而得到流场的流速信息。

本发明提供的所述采用双热电偶测量流体速度的方法，包括如下步骤：

步骤一：选取两个热电偶；

选取指标是几何尺寸相同，材料属性不同；所述的材料属性包括密度和比热容；

步骤二：对选取的热电偶进行校准，确定热电势和温度对应关系；

步骤三：制作双热电偶测速装置，选取对应的数据采集装置采集双热电偶的测量温度；

步骤四：在试验环境中布置双热电偶测速装置；

步骤五：利用双热电偶测速装置对流场进行实时测量，通过数据采集装置采集两个热电偶的电势信号，并通过数模转化为对应的温度数字信号，即得到每一时刻τ的温度测量值t₁(τ)和t₂(τ)，对温度测量值进行后处理得到所测点的实时动态速度变化；

步骤六：热电偶在实际测量过程中，当出现测温异常点时，若是热电偶坏死则更换新的热电偶，并重复步骤二至步骤五；若是流体后处理存在问题，确定其是否满足后处理反推条件，若不满足则去除异常点，此热电偶装置仍可应用于接下来的流体动态速度测量中。

本发明所述的采用双热电偶测量流体速度的方法，具有如下优点：

(1)可以测量出流场中的温度信息频率响应；

(2)可以依据量纲关系式得到流体速度信息。对于一些复杂结构的复杂流动，尤其是对于旋转件来说，其速度测量较困难，本发明由于只涉及安装两个热电偶，安装简单，可以得到复杂流场定性的速度分布；

(3)本发明既可以应用在可压流中，也可以应用在不可压流中；

(4)本方法结构简单，成本低廉，易于实现，精度水平符合测量要求。但由于本发明所涉及的流速测量仅从数值上考虑，对流速的方向无法得到，因此对于需求得到流速方向信息的测量需求无法满足。

附图说明

图1为本发明中两个热电偶装置示意图；

图2为双热电偶法测量流体速度后处理程序逻辑图；

图3为实施例中试验系统简图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进行详细说明。

本发明提供一种采用双热电偶测量流体速度的方法，所述方法的原理包括双热电偶测量流体速度原理和数据后处理拟合原理。

双热电偶测量流体速度原理：通过两个相同尺寸大小，但不同材料(即密度、比热容、导热系数等不同)的热电偶测量同一空间点的温度值，其安装结构示意图如图1所示，热电偶A1和热电偶B2大小相同，材料不同，其空间距离足够近，且不会相互影响，或影响较小，认为其测量的是空间同一点的温度值。两个热电偶之间的间距L与热电偶直径D相关，其适用关系式为L/D＝1.0～3.0，布置时正对来流方向。基于所述的两个热电偶，通过建立零维传热模型，基于集总参数法，实现对动态速度的测量。对于一般的热电偶，由于其结点尺寸较小，满足集总参数法的判据，即Bi≤0.033，Bi数为毕渥数，表征固体内部单位导热面积上的导热热阻与单位表面积上的换热热阻之比。热电偶内部的导热热阻可以忽略不计，又热电偶的几何尺寸一致，流体流过热电偶表面，其努赛尔数Nu可以认为相同，故而两个热电偶表面的对流换热系数相同。

非稳态、有内热源的热电偶导热微分方程式为：

$\frac{\∂t}{\∂\mathrm{\τ}}=a{\▿}^{2}t+\frac{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}{\mathrm{\ρ}c}---\left(1\right)$

其中，t为温度，τ为时间，a为导热系数，为内热源，ρ为热电偶的密度，c为热电偶的比热容。

由于热电偶内部热阻可以忽略，温度与空间坐标无关，故温度的二阶导数为0，公式(1)可化简为：

$\frac{dt}{d\mathrm{\τ}}=\frac{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}{\mathrm{\ρ}c}---\left(2\right)$

其中内热源为广义热源，边界界面上交换的热量折算为整个热电偶的体积热源：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}V=-Ah(t-t_{\mathrm{\∞}})---\left(3\right)$

其中，V为热电偶体积，A为热电偶表面积，h为热电偶表面对流换热系数，t为热电偶内部温度，t_∞为流体温度。

将式(3)带入简化的微分方程(2)有：

$\mathrm{\ρ}cV\frac{dt}{d\mathrm{\τ}}=-hA(t-t_{\mathrm{\∞}})---\left(4\right)$

在τ时刻，处于加热状态时，采用双热电偶测单点温度，有：

${\mathrm{\ρ}}_1{c}_1{V}_1\frac{{\mathrm{dt}}_1}{d\mathrm{\τ}}=h_1\left(\mathrm{\τ}\right)A_1\left({\mathrm{Tf}}_1\right(\mathrm{\τ})-t_1(\mathrm{\τ}\left)\right)---\left(5\right)$

${\mathrm{\ρ}}_2{c}_2{V}_2\frac{{\mathrm{dt}}_2}{d\mathrm{\τ}}=h_2\left(\mathrm{\τ}\right)A_2\left({\mathrm{Tf}}_2\right(\mathrm{\τ})-t_2(\mathrm{\τ}\left)\right)---\left(6\right)$

其中Tf₁(τ)、Tf₂(τ)分别为τ时刻两个热电偶周围的流体温度，t₁(τ)、t₂(τ)分别为τ时刻两个热电偶的测量温度；V₁、V₂分别为两个热电偶的体积，并有V＝V₁＝V₂；A₁和A₂分别为两个热电偶的表面积，并有A₁＝A₂＝A；h₁(τ)和h₂(τ)分别为两个热电偶表面的对流换热系数，并有h₁(τ)＝h₂(τ)＝h(τ)；ρ₁、ρ₂分别为两个热电偶的密度，c₁、c₂分别为两个热电偶的比热容。

由于两个热电偶距离足够近，可以视为测量同一点的温度，其流体温度可以看作一致，即Tf₁(τ)＝Tf₂(τ)，将上述两式(5)和式(6)作差值可以得到：

ρ₁c₁Vdt₁/dτ-ρ₂c₂Vdt₂/dτ＝h(τ)At₂(τ)-h(τ)At₁(τ) (7)

化简得到：

$h\left(\mathrm{\τ}\right)=\frac{V}{A}\frac{{\mathrm{\ρ}}_1{c}_1{\mathrm{dt}}_1/d\mathrm{\τ}-{\mathrm{\ρ}}_2{c}_2{\mathrm{dt}}_2/d\mathrm{\τ}}{t_2\left(\mathrm{\τ}\right)-t_1\left(\mathrm{\τ}\right)}---\left(8\right)$

由于假设热电偶为常物性参数，上式中ρ₁、ρ₂、c₁、c₂均已知，t₁、t₂为两个热电偶的测量温度，dt₁/dτ、dt₂/dτ为所测τ时刻的温度随时间的变化率，可通过差分方法求得，通过此式(8)可以求得修正后的流体实时的对流换热系数h(τ)。

由于上述公式推导中引入了一些假设，如热电偶物性参数为常物性、忽略了热电偶内部的导热热阻等。在实际测量中，会在后处理程序中给出此种假设的补偿项，如对于物性参数为常物性，给出所给热电偶材料在不同温度下物性参数的变化曲线带入到后处理程序中。

数据后处理拟合原理：由公式(8)可以知道两个热电偶的对流换热系数受各自的温度变化率dt₁/dτ、dt₂/dτ影响，由于测量误差的存在，采样数据是具有一定频率(即每秒取若干个时刻的温度值)的散点，如果直接采用采样温度带入计算会存在较大的偏差，因此需要先对采样温度进行平滑化处理，得到连续的温度随时间的变化率曲线。本发明基于样条拟合方法，对于含误差的测量温度沿时域的变化曲线，选取若干控制点，控制点之间采用样条方式拟合得到每一时刻经平滑化处理的拟合温度值，并求出拟合值和测量值的误差，采用最小二乘法使误差最小。通过本后处理程序，可以同时得到实际流体的流场温度和热电偶所在空间点的对流换热系数随时间的变化趋势。通过数据后处理程序得到了热电偶的对流换热系数信息，结合流体外掠圆球的平均对流换热系数经验关联式(见参考文献[3]：Whitaker S.Forced convection heat transfer correlations for flow in pipes,past flat plates,single cylinders,single spheres,and flow in packed bids andtube bundles[J].AIChE J,1972,18:361-372.)：

$Nu=2+(0.4{\mathrm{Re}}^{1/2}+0.06{\mathrm{Re}}^{2/3}){\mathrm{Pr}}^{0.4}{\left(\frac{{\mathrm{\η}}_{\mathrm{\∞}}}{{\mathrm{\η}}_w}\right)}^{1/4}---\left(9\right)$

其中雷诺数Re＝u_∞D/ν_∞，其中u_∞为来流的流体速度，ν_∞为运动学粘性系数；努赛尔数Nu＝hD/k_∞，其中h为对流换热系数，D为热电偶直径，k_∞为流体的导热系数，定性温度为流体温度T_∞，Pr为普朗克数，表明温度边界层和流动边界层的关系，反映流体物理性质对对流传热过程的影响，η_∞和η_w分别为流体和热电偶固体壁面的粘性系数。式(9)适用范围为0.71＜Pr＜380，3.5＜Re＜7.6×10⁴，

对流换热是流体的导热和热对流两种基本传热方式共同作用的结果，其影响因素主要有以下五个方面：(1)流动起因；(2)流动状态；(3)流体有无相变；(4)换热表面的几何因素；(5)流体的物理性质。通过控制其他方面影响因素不变，仅改变流动状态，可以将对流换热系数和流体的流速建立一一对应关系。

将Re数和Nu数带入经验关系式(9)中，得到流体的流速与对流换热系数的关系式为：

u_∞＝f(h,D,k_∞,v_∞,Pr,η_∞,η_w) (10)

其中对流换热系数h经双热电偶测量得到，D为热电偶直径，k_∞,v_∞,Pr,η_∞,η_w等参数可认为是定值，经查表(工程常用物质的热物性性质手册)得出，故而对应于随时间变化的对流换热系数h，可得到相对应的流体速度值，从而可以得到流体速度在所测空间点随时间的变化趋势。

基于上述的原理，本发明提供的双热电偶法测量瞬变流体速度的方法，具体步骤如下：

步骤一：选取合适的两个热电偶。

选取指标是几何尺寸相同，材料属性(即热电偶密度和比热容之积)相差较大，相差越大，其反推流体温度与真实流体温度更接近，同时，针对具体的测试环境，如高温环境，要选取可以耐受环境温度的热电偶。

步骤二：对选取的热电偶进行校准，确定热电势和温度对应关系。

步骤三：制作双热电偶测速装置，选取对应的数据采集装置。制作双热电偶的原则是两个热电偶尽可能的接近，但不能互相接触和影响流体流动，如图1所示，经数值验证，两个热电偶之间的适用间距L与热电偶的直径D相关，适用范围为L/D＝1.0～3.0。选取的数据采集装置根据采样要求和需求频带来选取。

步骤四：在试验环境中布置双热电偶测速装置，尽量选取对流场影响较小的布置形式，如测点的选取，导线的布置，结点的位置等。

步骤五：利用双热电偶测速装置对流场进行实时测量，通过数据采集装置采集两个热电偶的电势信号，并通过数模转化为对应的温度数字信号，即得到每一时刻τ的温度测量值t₁(τ)和t₂(τ)，然后导入到双热电偶法测速后处理程序中，其后处理逻辑示意图如图2所示，从而消除测量误差的影响，得到所测点的对流换热系数随时间的变化。依据得到的对流换热系数随时间的变化和相应的经验公式，得出所测点的实时动态速度变化。

所述的后处理程序具体为：

将数据采集装置采集到的两个热电偶测量温度(记为图2中的TC1和TC2)的采样结果导入到双热电偶法测量流体温度的后处理程序中，分别对将两个热电偶测量温度随时间变化的时序图上选取若干个控制点(控制点的时间间隔大于采样间隔)，控制点的初值t₁(τ)和t₂(τ)选取τ时刻的测量值TC1和TC2，采用三次样条的拟合方法对控制点进行拟合，得到每一时刻的TC1和TC2的拟合值，计算拟合值和测量值的差值，分别用RMS_1和RMS_2表示。基于离散牛顿法(参考文献[3]：颜庆津.数值分析[M],第四版,北京航空航天大学出版社.2012:92)控制所述差值RMS_1和RMS_2取最小值，得到经平滑处理后的温度TC1和TC2。离散牛顿法主要是用来求解可以使得所述差值最小的非线性方程组的解，其具体的MATLAB算法如下所示(对应于参考文献[3]：颜庆津.数值分析[M],第四版,北京航空航天大学出版社.2012:92中的算法步骤)：

以其中一个热电偶的测量温度TC1为例，TC2的拟合与TC1相同。

每次拟合对k＝1,2,…,M执行(其中k为迭代次数，M为迭代最大步数)

1、对热电偶测量温度随时间变化的时序图上取控制点，控制点初始值为对应时刻的测量值TC1，对控制点进行三次样条曲线拟合，得到热电偶测量温度TC1随时间变化的连续曲线，即为TC1拟合值。对每一时刻的TC1拟合值和测量值求均方差之和，得到初始误差，记为RMS⁽⁰⁾；

2、求出某一个控制点分别加上一个步长和两个步长时，同样对控制点采用三次样条曲线拟合方法拟合，得到热电偶温度TC1的拟合值和测量值的均方差之和，记为RMS^(k)，并求出F(x^(k))矩阵的值和J(x^(k),h^(k))矩阵的主对角线值。

3、求出某两个控制点分别加上一个步长时，经样条拟合后的两个热电偶温度的数值解和测量值的均方差之和，记为RMS_P^(k)，并求出J(x^(k),h^(k))矩阵的非对角线数值；

4、根据求出的F(x^(k))和J(x^(k),h^(k))矩阵求解delt_TC1^(k)，即参考文献[3]中的Δx^(k)；

5、若||delt_TC1^(k)||/||TC1^(k)||<err，则取输出值为TC1＝TC1^k)，并停止计算；否则转第6步；

6、计算TC1^(k+1)＝TC1^(k)+delt_TC1^(k)；

7、若t<M，则继续下一循环；否则输出M次迭代不成功的信息，并停止计算。

通过经平滑化处理后的热电偶测量温度TC1和TC2，得到对应时刻的温度随时间的变化率dt₁/dτ、dt₂/dτ，带入公式(8)中即可得到对流换热系数随时间的变化曲线，通过经验公式和查表得到后的流速和对流换热系数对应关系式(10)，最终可以得到每一时刻对应的流体速度。

步骤六：由于热电偶在实际测量过程中存在着一定的坏死率，因此当出现测温异常点时要综合考虑是热电偶坏死还是流体后处理时出现误差较大的点，若是热电偶坏死则更换新的热电偶，并重复步骤二至步骤五；若是流体后处理存在问题，确定其是否满足后处理反推条件，若不满足则去除误差较大点，此热电偶装置仍可应用于接下来的流体动态速度测量中。

为了研究换热对容腔瞬态响应规律的影响，本发明还设计了一个容腔换热试验，试验装置示意图如图3所示，气源与容腔之间的管路上依次设置有电磁阀、流量计、压力表和热电偶，容腔出口设置另一个电磁阀用于控制容腔内气体的排出；在所述容腔壁上设置有四个压力表；电磁阀控制气源通路的开闭，流量计和压力表分别用于测量容腔进口的流量和对应位置的压力。容腔外的热电偶测量进气口的温度，不需要较快响应，因此采用常规热电偶即可；容腔内需求测量强瞬变过程中的温度和速度变化，因而采用本发明提供的双热电偶装置。通过空压机将气源中气体压缩至所需气压，加热容腔壁面，直至壁面温度分布均匀且与容腔内气体温度一致为止，读取容腔内气体状态参数(腔内气体温度、腔内气体压力、腔内气体流速)及壁面温度作为初始状态。快速开启进气阀门，进气阀门由与气源相连的电磁阀控制，制造阶跃压力边界，测试进口气流参数(压力、温度、流量)、腔内气体状态参数(压力、温度、流速)随时间演化规律，最后根据试验结果校准对应的CFD数值计算模型。

本试验中采用双热电偶装置测量需求测试点的温度和流速信息，两个热电偶的直径D为1mm，其中一个热电偶为K型铝镍合金热电偶，其密度为8600kg/m³，比热容为523.25J/(kg·K)，另一个热电偶为R型铂铑铂热电偶，其密度为21450kg/m³，比热容为133.952J/(kg·K)。两个热电偶之间间距L与直径D之间的关系为L/D＝1。测点选择在容腔中心，双热电偶装置正对来流方向，支撑管较细，对流场影响小。数据采集装置采用研华Adam4118和4520模块采集和导入到电脑中，经后处理程序处理，得到所测点的速度随时间的变化规律。双热电偶方法一方面可以得到容腔内某空间点的瞬态流体温度信息，另一方面，基于经验公式可以得到空间点上的流速信息，从而定性的校验CFD模型。本发明提供的双热电偶方法布置简单，可测点多，对流场干扰小，具有很好的应用性，测量结果基本符合预期。

Claims (5)

1.一种采用双热电偶测量流体速度的方法，其特征在于：包括如下步骤，

步骤一：选取两个热电偶；

选取指标是几何尺寸相同，材料属性不同；所述的材料属性包括密度和比热容；

步骤二：对选取的热电偶进行校准，确定热电势和温度对应关系；

步骤三：制作双热电偶测速装置，选取对应的数据采集装置采集双热电偶的测量温度；

步骤四：在试验环境中布置双热电偶测速装置；

步骤五：利用双热电偶测速装置对流场进行实时测量，通过数据采集装置采集两个热电偶的电势信号，并通过数模转化为对应的温度数字信号，即得到每一时刻τ的温度测量值t₁(τ)和t₂(τ)，对温度测量值进行后处理得到所测点的实时动态速度变化；

步骤六：热电偶在实际测量过程中，当出现测温异常点时，若是热电偶坏死则更换新的热电偶，并重复步骤二至步骤五；若是流体后处理存在问题，确定其是否满足后处理反推条件，若不满足则去除异常点，此热电偶装置仍可应用于接下来的流体动态速度测量中。

2.根据权利要求1所述的一种采用双热电偶测量流体速度的方法，其特征在于：所述的两个热电偶之间的间距L与热电偶的直径D满足L/D＝1.0～3.0。

3.根据权利要求1所述的一种采用双热电偶测量流体速度的方法，其特征在于：所述的对温度测量值进行后处理，具体为：

在两个热电偶测量温度随时间变化的时序图上选取若干个控制点，控制点的初值t₁(τ)和t₂(τ)选取τ时刻的测量值TC1和TC2，采用三次样条的拟合方法对控制点进行拟合，得到每一时刻的TC1和TC2的拟合值，计算拟合值和测量值的差值，分别用RMS_1和RMS_2表示；基于离散牛顿法控制所述差值RMS_1和RMS_2取最小值，得到经平滑处理后的温度TC1和TC2，进而得到对应时刻的温度随时间的变化率dt₁/dτ、dt₂/dτ，根据对流换热系数方程得到对流换热系数随时间的变化曲线，通过经验公式和查表得到后的流速和对流换热系数对应关系式，最终得到每一时刻对应的流体速度。

4.根据权利要求3所述的一种采用双热电偶测量流体速度的方法，其特征在于：所述的流速与对流换热系数对应的关系式为：

u_∞＝f(h,D,k_∞,v_∞,Pr,η_∞,η_w)

其中对流换热系数h经双热电偶测量得到，D为热电偶直径，k_∞,v_∞,Pr,η_∞,η_w参数认为是定值，经查表得出，故而对应于随时间变化的对流换热系数h，得到相对应的流体速度值，从而得到流体速度在所测空间点随时间的变化趋势。

5.根据权利要求1所述的一种采用双热电偶测量流体速度的方法，其特征在于：所述的对流换热系数通过如下方式获得：

非稳态、有内热源的热电偶导热微分方程式为：

$\frac{\&part;t}{\&part;\mathrm{\&tau;}}=a{\&dtri;}^{2}t+\frac{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&phi;}}}{\mathrm{\&rho;}c}---\left(1\right)$

其中，t为温度，τ为时间，a为导热系数，为内热源，ρ为热电偶的密度，c为热电偶的比热容；

忽略热电偶内部热阻，故温度的二阶导数为0，公式(1)化简为：

$\frac{dt}{d\mathrm{\&tau;}}=\frac{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&phi;}}}{\mathrm{\&rho;}c}---\left(2\right)$

其中内热源为广义热源，边界界面上交换的热量折算为整个热电偶的体积热源：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&phi;}}V=-Ah(t-t_{\mathrm{\&infin;}})---\left(3\right)$

其中，V为热电偶体积，A为热电偶表面积，h为热电偶表面对流换热系数，t为热电偶内部温度，t_∞为流体温度；

将式(3)带入简化的微分方程(2)有：

$\mathrm{\&rho;}cV\frac{dt}{d\mathrm{\&tau;}}=-hA(t-t_{\mathrm{\&infin;}})---\left(4\right)$

在τ时刻，处于加热状态时，采用双热电偶测单点温度，有：

${\mathrm{\&rho;}}_1{c}_1{V}_1\frac{{\mathrm{dt}}_1}{d\mathrm{\&tau;}}=h_1\left(\mathrm{\&tau;}\right)A_1\left({\mathrm{Tf}}_1\right(\mathrm{\&tau;})-t_1(\mathrm{\&tau;}\left)\right)---\left(5\right)$

${\mathrm{\&rho;}}_2{c}_2{V}_2\frac{{\mathrm{dt}}_2}{d\mathrm{\&tau;}}=h_2\left(\mathrm{\&tau;}\right)A_2\left({\mathrm{Tf}}_2\right(\mathrm{\&tau;})-t_2(\mathrm{\&tau;}\left)\right)---\left(6\right)$

其中Tf₁(τ)、Tf₂(τ)分别为τ时刻两个热电偶周围的流体温度，t₁(τ)、t₂(τ)分别为τ时刻两个热电偶的测量温度；V₁、V₂分别为两个热电偶的体积，并有V＝V₁＝V₂；A₁和A₂分别为两个热电偶的表面积，并有A₁＝A₂＝A；h₁(τ)和h₂(τ)分别为两个热电偶表面的对流换热系数，并有h₁(τ)＝h₂(τ)＝h(τ)；ρ₁、ρ₂分别为两个热电偶的密度，c₁、c₂分别为两个热电偶的比热容；

由于两个热电偶距离足够近，视为测量同一点的温度，其流体温度看作一致，即Tf₁(τ)＝Tf₂(τ)，将上述两式(5)和式(6)作差值得到：

${\mathrm{\&rho;}}_1{c}_1{\mathrm{Vdt}}_1/d\mathrm{\&tau;}-{\mathrm{\&rho;}}_2{c}_2{\mathrm{Vdt}}_2/d\mathrm{\&tau;}=h\left(\mathrm{\&tau;}\right){\mathrm{At}}_2\left(\mathrm{\&tau;}\right)-h\left(\mathrm{\&tau;}\right){\mathrm{At}}_1\left(\mathrm{\&tau;}\right)---\left(7\right)$

化简得到：

$h\left(\mathrm{\&tau;}\right)=\frac{V}{A}\frac{{\mathrm{\&rho;}}_1{c}_1{\mathrm{dt}}_1/d\mathrm{\&tau;}-{\mathrm{\&rho;}}_2{c}_2{\mathrm{dt}}_2/d\mathrm{\&tau;}}{t_2\left(\mathrm{\&tau;}\right)-t_1\left(\mathrm{\&tau;}\right)}---\left(8\right)$

假设热电偶为常物性参数，上式中ρ₁、ρ₂、c₁、c₂均已知，t₁、t₂为两个热电偶的测量温度，dt₁/dτ、dt₂/dτ为所测τ时刻的温度变化率，通过差分方法求得，通过此式(8)求得修正后的流体实时的对流换热系数h(τ)。