CN106124078A - 一种采用双热电偶测量强瞬变流体温度的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种采用双热电偶测量强瞬变流体温度的方法，属于流体热工测量技术领域。所述方法选择两个相同尺寸大小，但不同材料的热电偶测量同一空间点的温度值，并对选取的热电偶进行校准，确定热电势和温度对应关系；基于样条拟合方法，对于流体温度沿时域的变化曲线，选取若干控制点，控制点之间采用样条方式拟合，采用局部平均对流换热系数，通过控制方程得到两个热电偶的数值解，并求出数值解和测量值的误差，采用离散牛顿法使误差最小，此时对应的流体温度作为最终的输出。本发明的测量方法应用范围极为广泛，对于动态温度的测量尤其是有着较大频响要求的温度测量具有应用价值。

Description

一种采用双热电偶测量强瞬变流体温度的方法

技术领域

本发明提供了一种基于双热电偶测量强瞬变流体温度的方法，属于流体热工测量技术领域。

背景技术

温度测量是热工测量中比较常见的一种测量需求，而热电偶以其尺寸小、测温范围广、性能稳定、响应快等优点而在温度测量中得到广泛的应用。

热电偶在测量稳态温度时，测量准确，精确度高，但是在测量瞬态温度时，由于温度变化速度快，利用热电偶测温会出现比较严重的滞后现象，为了解决动态测量的问题，需要对热电偶进行动态标定和动态补偿。热电偶的动态标定不论是在国内还是在国外都处于发展阶段，没有相应的标准出台，很多的研究工作都是探索性的，并且大多都是为了直接获得热电偶的时间常数，如投入试验法、激光法、瞬时电加热法、热风洞法、激波管法等。

双热电偶法测量瞬态温度前人已有研究。在国内，佘芬英、董必琅(参考文献[1]：佘芬英,董必琅.用热电偶丝测量柴油机排气温度波[J].内燃机车，1981年第四期)等采用双热电偶丝方法测量柴油机排气温度波，他们采用两个材料相同但大小不同的热电偶丝进行测量，但在数据处理过程中，采用了对流换热系数与偶丝直径和雷诺数的经验关系式，其可靠程度未知，引入了较大的误差。在国外，Tagawa和Ohta(参考文献[2]：M.TAGAWA andY.OHTA.Two-Thermocouple Probe for Fluctuating Temperature Measurement inCombustion--Rational Estimation of Mean and Fluctuating Time Constants)等利用相同材料不同直径双热电偶的测量，采用时域估计方法、频域估计方法等对时间常数进行了估计，主要是为了得到热电偶的时间常数，且这些方法容易受到干扰、对瞬态尤其是变时间常数的温度测试应用效果不明显。

流体的瞬态测试一直是一个难题，尤其是强瞬态温度测试。目前国内掌握的热电偶测温的频率响应在1Hz左右，对于需求频率响应较大的温度变化无法测量。航空发动机的空气系统是发动机的重要组成部分，其内部流体的流动换热的研究对于涡轮叶片的冷却，提高发动机效率具有非常重要的作用，但由于温度测试手段不够，现阶段在空气系统的瞬态试验研究迟迟无法开展，因此迫切需求研发出一种可以应用在复杂结构中的强瞬态测温方式。

目前的热电偶测量流体瞬变温度，由于其频率响应相对较低，迟滞性强，无法捕捉到需求频带范围内的温度变化，因此迫切的需求一种可靠、精度高、响应快、可用于强瞬态流体温度测量的测试方法。

发明内容

为了解决现有技术中存在的问题，本发明提供一种采用双热电偶测量强瞬变流体温度的方法，所述方法采用两个大小相同但材料不同，空间位置接近的热电偶，利用数据采集卡对两个热电偶的测量温度进行采集；综合考虑测量噪声干扰和测量分辨率问题，基于样条拟合方法，对流体温度进行拟合，从而得到更接近真实流体温度的测量结果。

本发明提供的采用双热电偶测量强瞬变流体温度的方法，包括如下步骤：

步骤一：选取热电偶；

选取指标是几何尺寸相同，材料属性不同；

所述的材料属性包括热电偶密度和比热容；

步骤二：对选取的热电偶进行校准，确定热电势和温度对应关系；

步骤三：制作双热电偶测量装置，选取对应的数据采集装置；

制作双热电偶的原则是两个热电偶尽可能的接近，但不能接触和影响流体流动；

步骤四：在试验环境中布置双热电偶测量装置；

步骤五：利用双热电偶装置对流场进行实时测量，通过数据采集装置采集两个热电偶的电势信号，并通过数模转化为对应的温度数字信号，即得到τ时刻的温度测量值t₁(τ)和t₂(τ)，然后导入到双热电偶法瞬态测温后处理程序中，从而得到所测点的流体温度随时间的变化，实时更新流体动态温度变化；

步骤六：实际测量过程中，当出现测温异常点时，若是热电偶坏死则更换新的热电偶，并重复步骤二至步骤五；若是流体后处理存在问题，确定其是否满足后处理反推条件，若不满足则去除异常点，此热电偶装置仍应用到接下来的流体温度动态测量中。

本发明所述的双热电偶方法测量强瞬态流体温度的方法，其优点和有益效果在于：

(1)可以提高测量流体温度的频率响应，降低热电偶测温滞后性的影响；

(2)可以实时的拟合出实际流体的温度曲线，消除白噪声和测量精度的干扰，而不需要测量完成后对大量的数据进行处理；

(3)本方法的实现结构简单，成本低廉，易于实现，精度水平符合测量要求。

附图说明

图1为本发明中采用的两个热电偶装置示意图。

图2为数值验证中阶跃情况下热电偶反推流体温度拟合结果示意图。

图3为本发明中双热电偶测量强瞬态流体温度的方法流程图。

图4为验证试验装置简图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进行详细说明。

本发明提供一种采用双热电偶测量强瞬变流体温度的方法，所述方法基于双热电偶测量瞬变流体温度原理和数据后处理拟合原理。

双热电偶测量瞬变流体温度原理：通过两个相同尺寸大小，但不同材料(即密度、比热容、导热系数等不同)的热电偶测量同一空间点的温度值，其结构示意图如图1所示，热电偶1和热电偶2空间距离足够近，且不会相互影响，或影响较小，认为其测量的是空间同一点的温度值。所述两个热电偶的直径D和空间距离L之间满足L/D＝1～3，布置时正对来流方向。通过建立零维传热模型，基于集总参数法，实现对动态温度的测量。对于一般的热电偶，由于其结点尺寸较小，满足集总参数法的判据，即Bi≤0.033，Bi为毕渥数，表征固体内部单位导热面积上的导热热阻与单位表面积上的换热热阻之比。热电偶内部的导热热阻可以忽略不计，又热电偶的几何尺寸一致，流体流过热电偶表面，其努赛尔数Nu可以认为相同，故而两个热电偶表面的对流换热系数相同。

非稳态、有内热源的热电偶导热微分方程式为：

$\frac{\∂t}{\∂\mathrm{\τ}}=a{\▿}^{2}t+\frac{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}{\mathrm{\ρ}c}---\left(1\right)$

其中，t为热电偶的测量温度，τ为测温时刻，a为导热系数，为内热源，ρ为热电偶的密度，c为热电偶的比热容。

由于热电偶内部导热热阻可以忽略，温度与空间坐标无关，故温度的二阶导数为0，公式(1)可化简为：

$\frac{dt}{d\mathrm{\τ}}=\frac{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}{\mathrm{\ρ}c}---\left(2\right)$

其中热电偶的内热源为广义热源，边界界面上交换的热量折算为整个热电偶的体积热源，有：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}V=-Ah(t-t_{\mathrm{\∞}})---\left(3\right)$

其中，V为热电偶体积，A为热电偶表面积，h为热电偶表面对流换热系数，t为热电偶测量温度，t_∞为流体温度。

将上式(3)带入简化的微分方程(2)有：

$\mathrm{\ρ}cV\frac{dt}{d\mathrm{\τ}}=-hA(t-t_{\mathrm{\∞}})---\left(4\right)$

在τ时刻，处于加热状态时，采用双热电偶测量单点温度，有：

${\mathrm{\ρ}}_1{c}_1{V}_1\frac{{\mathrm{dt}}_1}{d\mathrm{\τ}}=h_1{A}_1\left(t_0\right(\mathrm{\τ})-t_1(\mathrm{\τ}\left)\right)---\left(5\right)$

${\mathrm{\ρ}}_2{c}_2{V}_2\frac{{\mathrm{dt}}_2}{d\mathrm{\τ}}=h_2{A}_2\left(t_0\right(\mathrm{\τ})-t_2(\mathrm{\τ}\left)\right)---\left(6\right)$

其中t₀(τ)为τ时刻的流体温度，t₁(τ)、t₂(τ)为τ时刻两个热电偶的测量温度。dt₁/dτ和dt₂/dτ分别为两个热电偶在τ时刻的温度随时间的变化率，V₁、V₂分别为两个热电偶的体积，并有V＝V₁＝V₂；A₁和A₂分别为两个热电偶的表面积，并有A₁＝A₂＝A；h₁和h₂分别为两个热电偶表面的对流换热系数；ρ₁、ρ₂分别为两个热电偶的密度，c₁、c₂分别为两个热电偶的比热容。

由于两个热电偶上的努赛尔数Nu相同，其对流换热系数也相同，即h₁＝h₂＝h，将上述两式(5)和式(6)作比值可以得到：

$\frac{{\mathrm{\ρ}}_1{c}_1}{{\mathrm{\ρ}}_2{c}_2}\·\frac{V_1}{V_2}\·\frac{{\mathrm{dt}}_1/d\mathrm{\τ}}{{\mathrm{dt}}_2/d\mathrm{\τ}}=\frac{h_1}{h_2}\·\frac{A_1}{A_2}\·\frac{t_0\left(\mathrm{\τ}\right)-t_1\left(\mathrm{\τ}\right)}{t_0\left(\mathrm{\τ}\right)-t_2\left(\mathrm{\τ}\right)}---\left(7\right)$

化简得到：

$t_0\left(\mathrm{\τ}\right)=\frac{{\mathrm{\ρ}}_2{c}_2{\mathrm{dt}}_2/{\mathrm{d\τt}}_1\left(\mathrm{\τ}\right)-{\mathrm{\ρ}}_1{c}_1{\mathrm{dt}}_1/{\mathrm{d\τt}}_2\left(\mathrm{\τ}\right)}{{\mathrm{\ρ}}_2{c}_2{\mathrm{dt}}_2/d\mathrm{\τ}-{\mathrm{\ρ}}_1{c}_1{\mathrm{dt}}_1/d\mathrm{\τ}}---\left(8\right)$

由于假设热电偶为常物性参数，上式(8)中ρ₁、ρ₂、c₁、c₂均已知，t₁(τ)、t₂(τ)为热电偶的测量温度，dt₁/dτ、dt₂/dτ为所测时刻的温度变化率，可通过差分方法求得，通过此式(8)可以求得修正后的流体温度。

图2为基于ANSYS CFX数值计算出来的双热电偶在第三类边界(对两个热电偶给予从300K到700K的温度阶跃)情况下热电偶的中心温度和反推流体温度随时间变化的示意图。将热电偶中心温度作为测量温度，将反推温度与给定的温度阶跃边界做比较，来验证双热电偶方法可以提高瞬态响应。对于阶跃情况，明显有反推流体温度更快的达到稳定温度状态。

由于上述公式推导中引入了一些假设，如物性参数为常物性、忽略了内部的导热热阻等。在实际测量中，会在后处理程序中给出此种假设的补偿项，如对于物性参数为常物性，给出所给热电偶材料在不同温度下物性参数的变化曲线(比热容和温度的关系曲线)带入到后处理程序中。

数据后处理拟合原理：本发明基于样条拟合方法，对于流体温度沿时域的变化曲线，选取若干控制点，控制点之间采用样条方式拟合，采用局部平均对流换热系数，通过控制方程得到两个热电偶的数值解，并求出计算值(数值解)和测量值的误差，采用最小二乘法使误差最小。

步骤一：选取合适的热电偶。

选取指标是几何尺寸相同，材料属性(即热电偶密度和比热容之积)相差较大，相差越大，其反推流体温度与真实流体温度更接近，同时，针对具体的测试环境，如高温环境，要选取可以耐受环境温度的热电偶。

步骤二：对选取的热电偶进行校准，确定热电势和温度对应关系。

步骤三：制作双热电偶，选取对应的数据采集装置。制作双热电偶的原则是两个热电偶尽可能的接近，但不能接触和影响流体流动，双热电偶传感器示意图如图1所示。经数值验证，两个热电偶之间的适用间距L与热电偶的直径D相关，适用范围为L/D＝1.0～3.0。选取的数据采集装置根据采样要求和需求频带来选取。

步骤四：在试验环境中布置双热电偶测量装置，尽量选取对流场影响较小的布置形式。如测点的选取、导线的布置、结点的位置等。

步骤五：利用双热电偶装置对流场进行实时测量，通过数据采集装置采集两个热电偶的电势信号，并通过数模转化为对应的温度数字信号，即得到τ时刻的温度测量值t₁(τ)和t₂(τ)，然后导入到双热电偶法瞬态测温后处理程序中，其后处理程序逻辑示意图如图3所示，从而得到所测点的流体温度随时间的变化，实时更新流体动态温度变化。

所述的后处理程序具体为：

流体温度初始化，选择拟合方法和控制点，即在流体温度随时间变化的时序曲线图上选取一系列的控制点，对每一个流体温度控制点t(τ)选取初值t(τ)_init，初值的选择取t₁(τ)和t₂(τ)的平均值，即t(τ)_init＝0.5[t₁(τ)+t₂(τ)]。采用三次样条拟合的方法对所选控制点进行样条拟合，得到τ时刻的流体温度值t₀(τ)，基于Runge-Kutta方法(参考文献[3]：颜庆津.数值分析[M],第四版,北京航空航天大学出版社.2012:183)求解热电偶的导热微分控制方程(5)和(6)，可以得到两个热电偶TC1和TC2测量温度的数值解，其中对流换热系数采用局部平均对流换热系数，分别计算两个热电偶的数值解和测量结果之间的偏差e₁和e₂，基于牛顿离散法(参考文献[3]：颜庆津.数值分析[M],第四版,北京航空航天大学出版社.2012:92)控制偏差e₁和e₂取最小值，此时偏差e₁和e₂小于偏差参数(根据误差需求设置)，即满足偏差要求，则将此时的流体温度控制点拟合出来的每时刻的流体温度作为流体温度输出。牛顿离散法主要是用来求解可以使得偏差最小的非线性离散方程组的解，其具体的MATLAB算法如下所示(对应于参考文献[3]：颜庆津.数值分析[M],第四版,北京航空航天大学出版社.2012:92中的算法步骤)：

每次拟合对k＝1,2,…,M执行(其中k为迭代次数，M为迭代最大步数)

1、对流体温度初始控制点进行样条拟合，得到每个取样点的样条拟合流体温度，利用Runge-Kutta方法解常微分控制方程，对每个拟合流体温度求解，得到两个热电偶的数值解，并对数值解和测量值求均方差之和，得到初始误差，记为RMS_0；

2、求出某一个控制点分别加上一个步长和两个步长时，经样条拟合后的两个热电偶温度的数值解和测量值的均方差之和，记为RMS，并求出F(x^(k))矩阵的值和J(x^(k),h^(k))矩阵的主对角线值。

3、求出某两个点分别加上一个步长时，经样条拟合后的两个热电偶温度的数值解和测量值的均方差之和，记为RMS_P，并求出J(x^(k),h^(k))矩阵的非对角线数值；

4、根据求出的F(x^(k))和J(x^(k),h^(k))矩阵求解delt_Tf^(k)，即参考文献[3]中的Δx^(k)；

5、若||delt_Tf^(k)||/||Tf^(k)||<err，则取输出值为Tf_final＝Tf^(k)，并停止计算；否则转第6步；

6、计算Tf^(k+1)＝Tf^(k)+delt_Tf^(k)；

7、若t<M，则继续下一循环；否则输出M次迭代不成功的信息，并停止计算。

步骤六：由于热电偶在实际测量过程中存在着一定的坏死率，因此当出现测温异常点时要综合考虑是热电偶坏死还是流体后处理时出现误差较大的点，若是热电偶坏死则更换新的热电偶，并重复步骤二至步骤五；若是流体后处理存在问题，确定其是否满足后处理反推条件，若不满足则去除误差较大的异常点，此热电偶装置仍可应用到接下来的流体温度动态测量中。

本发明的测量方法应用范围极为广泛，对于动态温度的测量尤其是有着较大频响要求的温度测量具有应用价值，实施例如下所示：

为了验证双热电偶法测量强瞬变流体温度的可行性，本发明设计了一个瞬态测试试验。

试验设备如图4所示，试验一、二采用同一个设备，仅热电偶的布置位置不同。试验的器材主要包括220V-20A轴流式风机1台、直径20mm的节流阀1个、电热丝若干、FY3200S信号发生器、热电偶若干(包括标准热电偶和制作的双热电偶设备)、热电偶点焊机(或者直流电源)一台、数据采集卡采用研华Adam4118和4520模块两个、直径20mm长为3m的圆柱管型塑料通道两个。

本试验通过轴流式风机产生轴向气流建立流场环境，再将产生的气流通过两个尺寸大小相同的塑料圆形通道内，为保证流场内达到稳定的湍流，所述塑料圆形通道所采用的圆管的长度取3m，在上方的圆管内布置一个节流阀，通过节流阀控制上下两个管道的压力差，压力差不至于太大使得薄膜破裂，也不能太小，使得热电偶刺破薄膜的时候气流逆流，影响阶跃温度场。下方通道内布置电热丝，并通过信号发生器控制电热丝的温度变化方式。两条圆管型通道内布置一个小孔并用强度一定的薄膜覆盖。

本验证试验可以分成两个试验，如图4中试验一和试验二所示。试验一是先验证双热电偶方法可以用来测量流体的实际温度，并验证其测量效果好于同尺寸的单热电偶；试验二是验证双热电偶测量强瞬变温度的可行性，若双热电偶方法可以比较准确的测量给定的阶跃信号，则此方法可以应用到测量任意变化规律的温度测量中。

试验一先在下方带有标准热电偶的圆形通道内进行，在同一位置布置两大一小的三个热电偶，用直径较小的标准热电偶测得的温度值作为标定值，用另外两个较大的直径相同但材料不同的双热电偶装置测得的温度反推流体实际温度，并与标定温度进行对比，从而验证双热电偶方法测量流体温度的可行性。改变电热丝的变化频率和变化方式，验证在各种变化情况下双热电偶方法的可行性。

试验二在两个通道内进行，利用两个布置在轴对称位置的标准热电偶测量稳定状态下的管道温度值，两个大小相等，材料不同，布置在小孔附近的热电偶在某一时刻刺破薄膜，进入热流体中，完成温度场的阶跃温升。通过温度反推公式反推出流体的阶跃温升过程，从而验证双热电偶方法测量强瞬变温度的可行性。通过改变热电偶的种类和阶跃温升的变化，验证不同状况下双热电偶方法的影响因素。

经试验测定，利用双热电偶方法可以实现瞬态尤其是强瞬态测温，在不知道对流换热系数的情况下也能较为准确的拟合出实际流体温度曲线，在阶跃情况下，反推流体温度的频率响应的时间常数可以达到0.01s，反推流体温度精度满足测试要求，经本试验验证了本发明所述双热电偶方法可以提高热电偶瞬态测温时的频率响应。

Claims (4)

1.一种采用双热电偶测量强瞬变流体温度的方法，其特征在于：

步骤一：选取热电偶；

选取指标是几何尺寸相同，材料属性不同；

所述的材料属性包括热电偶密度和比热容；

步骤二：对选取的热电偶进行校准，确定热电势和温度对应关系；

步骤三：制作双热电偶测量装置，选取对应的数据采集装置；

制作双热电偶的原则是两个热电偶尽可能的接近，但不能接触和影响流体流动；

步骤四：在试验环境中布置双热电偶测量装置；

步骤五：利用双热电偶装置对流场进行实时测量，通过数据采集装置采集两个热电偶的电势信号，并通过数模转化为对应的温度数字信号，即得到τ时刻的温度测量值t₁(τ)和t₂(τ)，然后导入到双热电偶法瞬态测温后处理程序中，从而得到所测点的流体温度随时间的变化，实时更新流体动态温度变化；

步骤六：实际测量过程中，当出现测温异常点时，若是热电偶坏死则更换新的热电偶，并重复步骤二至步骤五；若是流体后处理存在问题，确定其是否满足后处理反推条件，若不满足则去除异常点，此热电偶装置仍应用到接下来的流体温度动态测量中。

2.根据权利要求1所述的一种采用双热电偶测量强瞬变流体温度的方法，其特征在于：步骤三中所述的两个热电偶之间的间距L与热电偶的直径D，满足L/D＝1.0～3.0。

3.根据权利要求1所述的一种采用双热电偶测量强瞬变流体温度的方法，其特征在于：所述的后处理程序基于样条拟合方法，对于流体温度沿时域的变化曲线，选取若干控制点，控制点之间采用样条方式拟合，采用局部平均对流换热系数，通过求解热电偶的导热微分控制方程得到两个热电偶的数值解，并求出数值解和测量值的误差，采用离散牛顿法使误差最小，则误差最小时的流体温度控制点拟合出来的每时刻的流体温度作为流体温度输出。

4.根据权利要求3所述的一种采用双热电偶测量强瞬变流体温度的方法，其特征在于：所述的数值解通过如下方式获得，

非稳态、有内热源的热电偶导热微分方程式为：

$\frac{\&part;t}{\&part;\mathrm{\&tau;}}=a{\&dtri;}^{2}t+\frac{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&phi;}}}{\mathrm{\&rho;}c}---\left(1\right)$

其中，t为热电偶的测量温度，τ为测温时刻，a为导热系数，为内热源，ρ为热电偶的密度，c为热电偶的比热容；

热电偶内部导热热阻忽略，温度与空间坐标无关，故温度的二阶导数为0，公式(1)化简为：

$\frac{dt}{d\mathrm{\&tau;}}=\frac{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&phi;}}}{\mathrm{\&rho;}c}---\left(2\right)$

其中热电偶的内热源为广义热源，边界界面上交换的热量折算为整个热电偶的体积热源，有：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&phi;}}V=-Ah(t-t_{\mathrm{\&infin;}})---\left(3\right)$

其中，V为热电偶体积，A为热电偶表面积，h为热电偶表面对流换热系数，t为热电偶测量温度，t_∞为流体温度；

将上式(3)带入简化的微分方程(2)有：

$\mathrm{\&rho;}cV\frac{dt}{d\mathrm{\&tau;}}=-hA(t-t_{\mathrm{\&infin;}})---\left(4\right)$

在τ时刻，处于加热状态时，采用双热电偶测量单点温度，有：

${\mathrm{\&rho;}}_1{c}_1{V}_1\frac{{\mathrm{dt}}_1}{d\mathrm{\&tau;}}=h_1{A}_1\left(t_0\right(\mathrm{\&tau;})-t_1(\mathrm{\&tau;}\left)\right)---\left(5\right)$

${\mathrm{\&rho;}}_2{c}_2{V}_2\frac{{\mathrm{dt}}_2}{d\mathrm{\&tau;}}=h_2{A}_2\left(t_0\right(\mathrm{\&tau;})-t_2(\mathrm{\&tau;}\left)\right)---\left(6\right)$

其中t₀(τ)为τ时刻的流体温度，t₁(τ)、t₂(τ)为τ时刻两个热电偶的测量温度；dt₁/dτ和dt₂/dτ分别为两个热电偶在τ时刻的温度随时间的变化率，V₁、V₂分别为两个热电偶的体积，并有V＝V₁＝V₂；A₁和A₂分别为两个热电偶的表面积，并有A₁＝A₂＝A；h₁和h₂分别为两个热电偶表面的对流换热系数；ρ₁、ρ₂分别为两个热电偶的密度，c₁、c₂分别为两个热电偶的比热容；

由于两个热电偶上的努赛尔数Nu相同，其对流换热系数也相同，即h₁＝h₂＝h，将上述两式(5)和式(6)作比值得到：

$\frac{{\mathrm{\&rho;}}_1{c}_1}{{\mathrm{\&rho;}}_2{c}_2}\&CenterDot;\frac{V_1}{V_2}\&CenterDot;\frac{{\mathrm{dt}}_1/d\mathrm{\&tau;}}{{\mathrm{dt}}_2/d\mathrm{\&tau;}}=\frac{h_1}{h_2}\&CenterDot;\frac{A_1}{A_2}\&CenterDot;\frac{t_0\left(\mathrm{\&tau;}\right)-t_1\left(\mathrm{\&tau;}\right)}{t_0\left(\mathrm{\&tau;}\right)-t_2\left(\mathrm{\&tau;}\right)}---\left(7\right)$

化简得到：

$t_0\left(\mathrm{\&tau;}\right)=\frac{{\mathrm{\&rho;}}_2{c}_2{\mathrm{dt}}_2/{\mathrm{d\&tau;t}}_1\left(\mathrm{\&tau;}\right)-{\mathrm{\&rho;}}_1{c}_1{\mathrm{dt}}_1/{\mathrm{d\&tau;t}}_2\left(\mathrm{\&tau;}\right)}{{\mathrm{\&rho;}}_2{c}_2{\mathrm{dt}}_2/d\mathrm{\&tau;}-{\mathrm{\&rho;}}_1{c}_1{\mathrm{dt}}_1/d\mathrm{\&tau;}}---\left(8\right)$

由于假设热电偶为常物性参数，上式(8)中ρ₁、ρ₂、c₁、c₂均已知，t₁(τ)、t₂(τ)为热电偶的测量温度，dt₁/dτ、dt₂/dτ为所测时刻的温度变化率，可通过差分方法求得，通过此式(8)求得修正后的流体温度，即所述的数值解。