CN106164942B - 在Clifford+T基础上的“重复直到成功”电路的有效合成 - Google Patents

在Clifford+T基础上的“重复直到成功”电路的有效合成 Download PDF

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Abstract

通过选择目标旋转的适合的割圆整数近似，在Clifford+T基础上编译重复直到成功(RUS)电路，使得旋转在预定精度内近似。随机地修改割圆整数近似，直到经修改的值可以通过求解一个或多个准则方程而被扩展为单量子比特幺正矩阵。该矩阵然后被扩展为特殊形式的双量子比特幺正矩阵，其然后分解为优化的双量子比特Clifford+T电路。然后，基于后者的分解，获得使用主要量子比特和辅助量子比特的双量子比特RUS电路。公开了使用最多3个附加辅助量子比特保持所导出的电路的总T深度小的备选的实施例。利用RUS电路实现在8阶单位根的割圆域上定义的任意幺正矩阵。

Description

在Clifford+T基础上的“重复直到成功”电路的有效合成
技术领域
本公开内容涉及在Clifford+T基础上的量子电路的分解。
背景技术
用于量子计算的编译系统的一个目标是将任何所求的单量子比特幺正操作分解成可以实现任意单量子比特单一操作的门的集合。通常，提供故障容限的门集是优选的。已经被标识的一个门集被称为包括Hadamard门和T门的{H,T}门。该门集对于单量子比特幺正是通用的(可以将任意单量子比特幺正操作实现为所要求的精度)并且是容错的。
{H,T}门集已经用于实现电路，但是历史所得的电路具有过高的成本。在降低成本方面在过去两年中已经做出重大的进步，但是存在足够的改进空间。已经示出向门集添加(多个)辅助量子比特、双量子比特门(例如，CNOT或CZ)以及测量操作可以导致较低的成本计算。一种方法基于所谓的重复直到成功(RUS)电路，其中可以使用对辅助量子比特的测量和Clifford+T门的序列来标识预期输出状态，其中Clifford+T门集包括双量子比特CNOT门(或CZ门)、Hadamard 门和T门。Paetznick和Svore在http://arxiv.org/abs/1311.1074处的 "Repeat-Until-Success:Non-deterministic decomposition of single-qubitunitaries"描述了用于结合测量和经典反馈使用Clifford+T门实现旋转的方法。RUS方法实现优越的计算成本。然而，这些方法基于穷举搜索并且要求指数运行时间。因此，这些方法限于可实现的精度和适用性。
发明内容
提供该发明内容以引入以在详细描述中下文进一步描述的简化形式的概念的选择。该发明内容不旨在标识所主张的主题的关键特征或基本特征，其也不旨在用于限制所主张的主题的范围。
公开了允许使用一个或多个辅助量子比特将量子计算电路(诸如旋转门)分解为一系列Clifford+T门的方法和装置。通常，通过找到割圆整数z获得单量子比特幺正，使得z*/z是旋转的并且对应于期望精度内的所选择的旋转。然后，对割圆整数z进行修改以便求解准则方程，并且z的修改或缩放值用于定义Clifford+T基础上的单量子比特幺正。该中间单量子比特幺正然后被扩展成较大的双量子比特幺正，其用作电路设计的基础。该双量子比特幺正的Clifford+T分解被布置为重复直到成功(RUS)电路，其中测量与辅助量子比特相关联的状态以确定预期电路操作是否已经实现在主要量子比特上。如果不是的话，则主要量子比特被恢复到初始状态，并且重复RUS电路操作。
参考附图进行的以下详细描述，本发明的前述和其他特征和优点从以下详细描述将变得明显。
附图说明
图1是在用于对精度ε>0实施轴向旋转Rz(θ)的Clifford+T基础上合成重复直到成功(RUS)电路的编译方法的框图。
图2图示了用于获得单量子比特幺正矩阵的值的随机搜索方法。
图3图示了获得在Clifford+T基础上可实现的幺正矩阵的方法。
图4图示了代表性RUS电路。
图5图示了获得双量子比特幺正矩阵的方法。
图6示出了针对随机地选自区间(0,π/2)的1000个目标旋转角度的T计数统计。
图7示出了针对形式π/2，k＝2,...,41的40个旋转角度的T计数统计。
图8图示了产生多个量子比特RUS电路的代表性方法。
图9是其中可以实现所公开的方法的代表性计算环境的框图。
图10是包括经典和量子处理的代表性计算环境的框图。
图11图示了用于使用具有等于旋转U的电路深度的总电路深度的2个辅助物实现RUS电路的方法。
图12图示了用于使用最多2个辅助利用超过割圆旋转Q(ω)的域上的系数实现任意幺正变换的方法。
具体实施方式
如该申请和权利要求书中所使用的，除非上下文另外清楚指定，否则“一”、“一种”和“该”包括复数形式。此外，术语“包括”意指“包含”。而且，术语“结合”不排除结合项之间的中间元件的存在。
本文所描述的系统、装置和方法不应当被解释为以任何方式限制。相反，本公开涉及单独并且以各种组合和相互子组合的各种所公开的实施例的所有新颖并且非显而易见的特征和方面。所公开的系统、方法和装置不限于任何特定方面或特征或其组合，所公开的系统、方法和装置也不要求任何一个或多个特定优点存在或问题被解决。操作的任何理论将促进解释，但是所公开的系统、方法和装置不限于操作的这样的理论。
虽然为了方便呈现，以特定顺序次序描述了所公开的方法中的一些方法的操作，但是应当理解，除非通过下文阐述的特定语言要求特定排序，否则描述的该方式包含重新布置。例如，在一些情况下，可以并发地重新布置或执行顺序描述的操作。而且，出于简单的缘故，附图可能未示出可以结合其他系统、方法和装置使用所公开的系统、方法和装置的各种方式。此外，描述有时使用像“产生”和“提供”的术语来描述所公开的方法。这些术语是被执行的实际操作的高层抽象。对应于这些术语的实际操作将取决于特定实施方式而变化并且容易由本领域的普通技术人员可识别。
在一些示例中，值、流程或装置被称为“最低的”、“最好的”、“最小的”等。将理解到，这样的描述旨在指示可以在许多使用的功能备选方案之间做出选择，并且这样的选择不需要对于其他选择是更好、更小或优选的。
在一些示例中，术语“幺正(unitary)”或“幺正矩阵(unitary matrix)”用于指代由可以以各种方式实现的量子电路执行的功能。在以下描述中，为了方便描述，这样的矩阵也被称为电路。对应于单量子比特算符S、X、Y和Z的一些常用量子门可以被表达为：
将高级量子算法编译成低级容错电路是量子计算的关键部件。单容错通用量子基础(被称为Clifford+T基础)包括双量子比特受控非门(CNOT)、两个单量子比特门、Hadamard门(H)和T门T。这些门的操作可以写成：
以及
可以组合这些电路来实现任意幺正操作。单量子比特算符可以被表达为具有复杂元素的幺正2×2矩阵：
其中a和b是复数，并且符号“x*”指示x的复共轭。这样的幺正2x2 矩阵U具有以下特性：
其中
幺正矩阵U的伴随矩阵是幺正U的复共轭转置并且是U的逆，表示U-l。
虽然可以使用Clifford+T基础编译电路，但是如在Paetznick和 Svore中使用常规技术的编译可能要求穷举搜索和指数传统运行时间。本文中公开了基于Clifford+T基础的备选的编译方法、装置和相关联的电路。在下文所描述的典型示例中，连同纯幺正电路使用若干辅助量子比特和若干测量操作。
当且仅当幺正操作通过形式的幺正矩阵表示时，幺正操作由Clifford+T电路可表示，其中U是具有来自的元件的矩阵，并且k是非负整数。顺序8的割圆整数的环，并且包括形式 aω3+bω2+cω+d的所有数，其中a、b、c、d是任意整数且ω＝eiπ/4。针对的基础的一个选择是{ω3,ω2,ω,1}。为了成为幺正，＝2kId，其中Id是单位矩阵。这样的形式的矩阵可以被表示为使用最多两个辅助量子比特的非对称最佳Clifford+T电路。在其他表示中，针对单量子比特对象幺正或当时不要求辅助量子比特。 {H,T}基础上的任何单量子比特电路可以被表达为形式T-kHTk,k∈□和至多一个附加单量子比特Clifford门的音节的序列。根据U的欧拉角分解，可以将任何单量子比特幺正操作U分解为轴向旋转U＝Rz(α) Rx(β)Rz(γ)的序列。因此，可以使用本文呈现的技术来分解任何单量子比特幺正操作。
T-门比Clifford门中的任一个以容错的方式更难以执行。在大多数架构中，T-门要求所谓的容错“魔术状态”，其超过比容错Hadamard 门H更难以提取传统的量子纠错码的数量级。T-门可以高达比CNOT 门或Pauli门中的任一个更难以执行的两个数量级。因此，对于 Clifford+T电路(T-计数)的成本度量是电路中的T-门的数目和以下描述中使用的该成本度量。
参考图1，提供了在用于对精度ε>0实施轴向旋转Rz(θ)的 Clifford+T基础上合成重复直到成功(RUS)电路的编译方法100。在102处，选择旋转角度和精度。在104处，利用单峰割圆旋转(即，利用形式z*/z的代数数，其中)来近似相位因子eiθ。以下讨论了基于求解整数相关问题的适合的近似流程。定义z的值直到任意实值因子。一般而言，所选择的z值可以不可包括在确切地在 Clifford+T基础上可表示的以下形式的幺正矩阵中：
在106处，在r的搜索中执行若干轮随机修改使得(a)准则方程|y|2＝2L-|rz|2对于而言是可解的，并且(b) 一轮成功率|rz|2/2L足以接近1。以下描述了适合的过程。在108处，修改z的值，并且在110处，定义对应的单量子比特电路。在112处，定义基于单量子比特电路的双量子比特RUS矩阵。在114处，合成在Clifford+T基础上的期望的双量子比特RUS电路，其实现成功时的Rz(θ)旋转和失败时的容易地可校正的Clifford门。虽然基于Clifford 门的电路对于校正操作的实施方式而言是方便的，但是校正电路也可以包括T-门。在116处，输出针对旋转Rz(θ)的电路规范。下文更详细地描述这些步骤的示例实施方式。
割圆有理近似
如在图1中所示，在104处，获得eiθ的初始近似使得其中，z是割圆整数。对于所选择的实数θ和割圆整数而言，当且仅当：时，|z*/z-eiθ|＜ε。因此，只要ε|z|＝0，eiθ就是确切地可表示的。如果ε|z|很小，那么|z*/z-eiθ|也很小。整数关系算法可以被用于找到实数 x1...,xn的集合和由整数a1，……an(非全部零)的集合定义的候选向量之间的关系，使得：
a1x1+...+anxn＝0。
最常见地，整数关系算法进行迭代尝试以找到整数关系，直到候选向量a1，……an的大小超过特定预设限制或a1x1+...+anxn下降到所选择的分辨率级以下。这样的算法可以用于将a1x1+...+anxn的大小降低到任意小值。
在一个示例中，所谓的PSLQ关系算法用于找到之间的整数关系并且当且仅当|z*/z-eiθ|＜ε时终止。(在例如Helaman R.P. Ferguson和David H.Bailey,"APolynomial Time,Numerically Stable Integer Relation Algorithm,"RNR TechnicalReport RNR-91-032(1992 年7月14日)中描述了PSLG算法，其通过引用并入本文)。在终止时，算法还提供满足整数关系的整数关系候选向量{a,b,c,d}。然后， z＝aω3+bω2+cω+d是期望的割圆整数。
对幺正提升相位近似：随机化搜索
在找到割圆整数z时，z的值将包括在以下形式的幺正矩阵中：
其中另外，|z|2/2L的合理大值与最后的RUS电路的一轮成功率相关联并且因此是优选的。不清楚z的特定值可以包括在上文所示的幺正矩阵中。需要满足准则方程(|y|2+|z|2)/2L＝1或备选地 |y|2＝2L-|z|2的的值。
为了求解以上准则方程，方便指出从eiθ的割圆有理近似获得的割圆整数z不是唯一的但是被定义直到任意实值因子对于任何这样的r而言，(rz)*/(rz)与z*/z相同，但是准则方程|y|2＝2L-|rz|2剧烈地改变。因此，如果r的适合的值在内是合理密集的，可以选择r的随机值直到准则方程|y|2＝2L-|rz|2是可求解的。对y的特定值的选择(和特定幺正矩阵)可以基于电路复杂性的比例(例如，T-计数) 和电路成功率，其中电路成功率可以被表达为p(r)＝|rz|2/2L。因此，可以找到r的适合的值和经修改的z的值使得利用z的该修改，可以通过求解准则方程和定义的单量子比特幺正获得z,a y 值。
参考图2，定义幺正的方法200包括接收割圆整数 z＝aω3+bω2+cω+d使得并且在202处接收待评价的r的样本的数目sz。在204处，从其将随机地选择r值的样本空间SM被定义为其中M是采样半径。可以使用其他形状的样本空间，但是样本半径M是方便的。在206处，在没有来自样本空间SM的替换的情况下，随机地选择r的值，并且在208处，与L的相关联的值被确定为Lr←jlog2(|rz|2)k，其中jfk是具有等于的最小整数(其大于f)的值的上限函数。在210处，对准则方程进行评价，以确定其对于r的所选择的值是否是容易可求解的。如果准则方程不是容易可求解的，则方法200确定附加样本是否将在220处被评价。如果容易可求解的，在212处获得y的值并且在214处评价优质函数，以确定y的该值对于先前获得的值是否是优选的。代表性优质函数tc是电路T-计数(Tcount)对成功率p的比率，即，
在214处，在计算优质函数tc时，在216处，将计算值与关联于 y的先前估计的值相比较。如果优质函数的值小于与先前估计相关联的值，则在218处更新r和y的存储值和相关联的优质函数值。然后，在220处确定r的附加样本是否将被尝试。如果在216处尚未降低找到的优质函数，那么确定r的附加样本将在220处被尝试。如果因此附加样本将被评价，则在206处获得r的附加随机值，并且利用r的该值重复处理步骤。否则，在222处输出r和y的值。在一些实例中，未找到r的适合的值，并且相反在222处输出缺少适合的值。通常，如果未找到值(即Y＝none)，则通过降低精度的值(例如，通过降低值2倍)重复过程。
特定优质函数用在图2的示例中并且基于函数：
如上文所示的幺正的多个T-门(即，电路T-计数)的确定和/或估计的方法是众所周知的。然而，基于T-计数、成功率或其他因素中的一个或多个，可以使用其他类型的优质函数。在例如Bocharov和Svore 在http://arxiv.org/abs/1206.3223处可用的"A Depth-Optimal Canonical Form for Single-Qubit Quantum Circuits"和Gossett等人在http://arxiv.org/abs/1308.4134处可用的"An algorithm for the T-count," 中描述了T-计数函数。在用于以下表1-2的程序随机标准化 (RAND-NORMALIZATION)的伪代码中更详细地示出了与图2的方法类似的方法。
表1随机标准化(z,sz,M)
下文在表2中示出了备选的程序。在该备选程序中，连同z的所选择的值和采样半径M输入最小成功概率pmin。功能卡(SM)是集合SM的基数。
表2随机标准化(z,pmin,M)
单量子比特电路合成
图3图示了方法300，其中在302处基于输入的所选择的旋转角度θ、精度ε、迭代数sz和采样半径M定义单量子比特电路。在304 处，重新分配精度值，并且在306处，初始化用于找到对于对应的幺正矩阵的参数的程序。在308处，找到适合的割圆整数，并且在310 处，实现随机搜索/准则方程方案程序(诸如表1-2的那些)。如果找到Y＝{r,y}的适合的值，则在314处计算L的值，并且在316处定义所要求的幺正矩阵。下文在表3中示出了用于这样的方法的伪代码。
表3单量子比特电路确定
重复直到成功幺正电路合成
利用以上方法，以以下形式找到Clifford+T基础上的旋转R(θ) 的单量子比特幺正矩阵：
其中可以使用由Kliuchnikov等人在"Fast and efficientexact synthesis of single qubit unitaries generated by Clifford and T gates"arXiv:12065236v4(2013年2月27日)所描述的程序，将幺正矩阵V表示为单量子比特Clifford+T基础上的无辅助电路，其通过引用并入本文。也可以通过其他方法分解幺正矩阵V。为了找到双量子比特(RUS)电路(即，具有辅助)，定义双量子比特幺正
该双量子比特幺正可以被并入到具有一个辅助的RUS电路，以便在成功时执行主要量子比特上的旋转和在失败时执行Pauli Z 操作。U中所包括的幺正矩阵V可以被并入到具有一个辅助量子比特的双量子比特重复直到成功(RUS)电路，使得电路在成功时执行并且在失败时执行Pauli Z操作，其中例如对于双量子比特设计而言，其中量子比特1是主要量子比特，并且量子比特 2是利用|0>初始化的辅助量子比特，如果|ψ>＝a|0>+b|1>是主要量子比特上的输入状态，那么与za|00>-y*a|01>+z*b|10>+y*b|11> 成比例。因此，在测量辅助量子比特时，如果测量结果是0，那么输出状态等于a|0>+(z*/z)b|1>(即成功)，并且如果测量结果是1，那么输出状态等于a|0>-b|1>(即失败)。
在图4中图示了具有辅助量子比特402的代表性RUS电路400。辅助量子比特402被初始化在状态|0>中并且连同状态|ψ>＝a|0>+b|1>中的主要量子比特404被结合到RUS电路406。在408处，测量辅助量子比特408的输出状态。如果辅助量子比特402的测量结果是0，那么主要量子比特的输出状态对应于与所选择的旋转相关联的 a|0>+(z*/z)b|1>(被称为“成功”)。如果辅助量子比特的输出状态是1，那么主要量子比特404的输出状态是a|0>-b|1>，其不对应于预期旋转算符(被称为“失败”)。在这种情况下，主要量子比特404 被结合到具有被初始化状态|0>的辅助量子比特409的后续双量子比特电路414。主要量子比特404被结合到Z门412，其产生与RUS电路406的原始输入状态相同的状态|ψ>＝a|0>+b|1>，使得Z门412使 RUS电路406的操作反转。可以重复双量子比特电路414的处理操作直到实现成功。在418处测量时，第二RUS电路416提供与RUS电路406处的类似的结果。可以提供附加类似级(诸如电路420)来增加成功的可能性。
双量子比特幺正U可以被实现为一系列Clifford+T门，但是其中电路T-计数与对应的优化单量子比特电路的T-计数相同或仅稍微大于对应的优化单向量电路的T-计数的实施方式是优选的。如果V和W 是二者由相同最小T-计数t的无单量子比特辅助Clifford+T电路可表示的单量子比特幺正，那么双量子比特幺正由最多t+9处的T-计数的Clifford+T电路确切地并且有益地可表示。通常，给定相同T-计数的两个单量子比特Clifford+T电路，任一个可以通过Pauli 门的插入和删除连同最多两个非Pauli Clifford门的添加由另一个制造。后两个门负责所有潜在的T-计数增加，同时将V,W对提升到期望的双量子比特电路。
为了方便，T码被定义为由T H和H音节生成的电路。如果c 是T码，那么Hc-1H是T码。修饰的T码是由形式PT±lQH的音节生成的电路，其中P,Q∈{Id,X,Y,Z}，并且Id是身份算符。如果可以通过移除Pauli门的所有明确发生从c2获得c1，则修饰的T码C2被称为T 码c1的修饰。可以以g1cg2形式有益地重写无单量子比特辅助 Clifford+T电路，其中，c是T码，并且g1,g2是单量子比特Clifford 门。
以下恒等式也可以是有用的：
YTH＝T↑ HYω
ZTH＝THX
规范<T,H>电路被定义为可表示为TH和HTH音节的任意组成并且以TH音节开始的电路。对于任何T码c1而言，相同T计数的任何单量子比特无辅助Clifford+T电路c2可以有益地重写为g3c1′g4，其中c’1是c1的修饰，并且g3,g4是Clifford门。如果c1和c2是相同T计数t的单量子比特Clifford+T电路，可以找到T码c3、其修饰c4之一和 Clifford门g1,g2,g3,g4，使得c1＝g1c3g2并且c2＝g3c4g4。
定义将修饰的T码转换成两个量子比特电路的提升过程。对于任何Pauli门P而言，Lift(P)＝Λ(P)，其中，Λ(P)指示受控-P门。对于任何其他门而言，给定单量子比特Clifford+T电路c＝ gl…gr，其中Lift(c)＝Lift(g1)...Lift(gr)。通俗地，直到Clifford门包装器，经由T码修饰使任何两个单量子比特Clifford+T电路相关。
如果单量子比特幺正U被表示为Hc1，其中c1是T-计数t的T码，那么双量子比特幺正
通过t或t+1的T-计数的双量子比特Clifford+T电路有益地表示。幺正矩阵可以被分解成Hc2ωk,k∈□，其中c2是电路c1的修饰。由于 (Hc1)-1＝(c1)-1H是跟随有T码的H，因而期望的分解是 Lift(Hc2)的T-计数是t，并且的T-计数是0或者1。
更一般地，如果V,W是二者由相同最小T-计数t的单量子比特无辅助Clifford+T电路可表示的单量子比特幺正，那么双量子比特幺正
由最多t+9处的T-计数的Clifford+T电路确切地并且有益地可表示。幺正W可以有益地表示为g3g1c′g2g4，其中，c’是c的修饰，并且g3、 g4是Clifford门。定义c”＝Lift(c')，U可以被表示为受控Clifford门的每次发生使T-计数增加最多5。通过应用适合的目标相位，Λ(g3)的T-计数是至多4。对于任何 Clifford门g而言，受控门Λ(g)可以被表示为Clifford门和确切形式Λ(h) 的一个门的乘积，其中h∈{Id,ω-1S,H,ω-1SH,ω-1HS}。
在图5中示出了基于单个输入幺正V获得双量子比特幺正的代表性方法。在502处，单量子比特幺正V是输入。在504处，V被表示为乘积g1cg2，并且在506处，被表示为乘积g3c′g4，其中g1,g2,g3,g4是 Clifford门，c是T码，并且c'是c的修饰。在508处，基于在V和的乘积表示中使用的Clifford门，获得附加的Clifford门。在510 处，适合的两个量子比特幺正被返回为下文在表3中找到该方法的伪代码。
表3用于确定具有主要量子比特和辅助量子比特的双量子比特幺正的伪代码。
示例
下文针对目标旋转Rz(π/64)和10-11的精度描述了确定对于代表性旋转的Clifford+T基础RUS电路。找到近似eiπ/64的比率z*/z。在该示例中，z＝1167ω3-218ω2-798ω-359，并且相关联的精度是大约3×10-12，比10-11的目标精度更好。接下来，使用随机化搜索修改z的值来找到可解的准则方程，使得z＝18390ω3-4226ω2-11614ω-1814并且一轮成功概率是0.9885。电路合成然后生成RUS电路设计Λ(ω-1SH)coreΛ(ω-1SH)，
其中
以上S-门对应于T-门的平方。Λ(ω-1SH)操作具有4的T-计数，并且 T-门中测量的RUS电路的总成本是58。期望的T-成本是58/0.9885< 58.7。该电路实现关于成功的z-旋转和关于失败的Pauli Z门操作，其是Pauli可校正的。Rz(π/64)与由RUS实现的旋转之间的最后的轨迹距离是比所要求的精度更好的1.056×10-12。该电路的另一版本是其具有54.6的期望的T-成本、执行关于成功的相同z-旋转和关于失败的相位门S。相位门S的应用是Clifford可校正的。
图6-7示出了跨越针对每个精度的第二测试集合中的每个目标旋转算法地生成的RUS电路的期望的T-计数值的集合的平均和标准偏差。图6示出了针对随机地选自区间(0,π/2)的1000个目标旋转角度的T-计数统计。在目标精度ε∈{10-11,...,10-35}的25层处评价目标轴向旋转的该集合。对于T-计数的回归公式是 3.817log10(1/ε)+9.2＝1.149log2(1/ε)+9.2。图7示出了形式π/2k的40个旋转角度的T-计数统计,k＝2,...,41。在目标精度ε∈{10-11,...,10-40}的30 层处评价目标旋转角度(被称为傅里叶角度)的集合。对于T-计数的回归公式是3.59log10(1/ε)+17.5＝1.08log2(1/ε)+17.5。
N个量子比特RUS电路
考虑形式的n量子比特幺正，其中和V是上的 2n×2n矩阵。可以通过具有最多n+2量子比特Clifford+T RUS实现该幺正。在图8中示出了用于找到这样的幺正的方法800。在802处，选择整数L以及使得准则方程|y|2＝2L-|rZ|2对于是可求解的，在804处定义2n+1×2n矩阵以完成到跟随以下所描述的过程的2n+1×2n+1幺正矩阵：Kliuchnikov等人"Fast and efficient exactsynthesis of single qubit unitaries generated by Clifford and T gates,"arXiv:12065236v4(2013年2月27日)。在806处，通过使用在Brett Giles和PeterSelinger"Exact synthesis of multi-qubit Clifford+T circuits,"Phys.Rev.A(2012年)中描述的过程合成的 Clifford+T电路c，矩阵W的2n列被降低到半基础，使得：
其跟随c-1评价补充半方波矩阵W的2n+1×2n+1幺正矩阵。电路c-1可以间歇地使用辅助量子比特执行T-类型的双层主要幺正。在任何情况下，c-1是期望的RUS电路并且在810处被输出。实际上，
目标运算符是的单一化，并且的单一化是Id。因此，当测量顶部量子比特时，对于0测量结果返回并且对于1测量结果返回Id。对于该电路的一轮成功率是|rZ|2/2L，因此，接近标记的L的值是优选的。
减少RUS设计中的涉及的数目
如本文所公开的合成的RUS电路可以包括大量的受控Pauli门。在一些情况下，RUS电路设计可以包含2t个受控Pauli门，其中t是电路T-计数。虽然受控Pauli门具有零T-计数，但是在一些示例中，减少受控Pauli门的数目是优选的。可以使用签名保存重写规则的集合从T-奇数<T,H,Pauli>-电路有益地消除多达电路中的Pauli门的一半。对于形式的单量子比特Clifford+T电路而言，其中g0,gr是Clifford门，并且对于i＝1,...,r-1而言，其中， gi∈{Id,X,Y,Z,H,XH,YH,ZH,HX,HY,HZ}，整数序列{k1,...,kr}被称为电路的签名。幺正可以被表示为表示V的电路c的Pauli修饰c’，使得c和c’的签名是相同的。仅Pauli修饰电路的签名值得关注，并且任何等效变换可以应用于修饰，只要那些变换保存签名。如果修饰的 T码c的T-计数是t，那么可以以形式重写电路，其中c'是在具有不超过t+1个Pauli门的等效修饰的T码和与c具有相同的签名。在一些情况下，使用以下重写规则中的一个或多个：
基于交换法则XH＝HZ；YH＝-YH；和ZH＝XH，形式PQH的任何项 (其中，P、Q是Pauli门)可以降低到其中，P'是Pauli 门。
计算环境
图9和以下讨论旨在提供其中可以实现所公开的技术的示例性计算环境的简单一般描述。虽然未被要求，但是在计算机可执行指令(诸如程序模块)由个人计算机(PC)运行的一般上下文中描述了所公开的技术。通常，程序模块包括例程、程序、对象、组件、数据结构等，其执行特定任务或实现特定抽象数据类型。而且，可以利用其他计算机系统配置实现所公开的技术，包括手持式设备、多处理器系统、基于微处理器或可编程消费者电子产品、网络PC、小型计算机、大型计算机等。还可以在其中通过通信网络链接的远程处理设备执行任务的分布式计算环境中实践所公开的技术。在分布式计算环境中，程序模块可以位于本地存储器存储设备和远程存储器存储设备二者中。
参考图9，用于实现所公开的技术的示例性系统包括以示例性常规PC 900的形式的通用计算设备，其包括一个或多个处理单元902、系统存储器904和将包括系统存储器904的各种系统耦合到一个或多个处理单元902的系统总线906。系统总线906可以是若干类型的总线结构中的任一种，其包括存储器总线或者存储器控制器、外围总线和使用各种总线架构中的任一种的本地总线。示例性系统存储器904 包括只读存储器(ROM)908和随机存取存储器(RAM)910。基本输入/输出系统(BIOS)912被存储在ROM 908中，所述基本输入/ 输出系统(BIOS)912包含帮助PC 900内的元件之间的信息的传送的基本例程。
如图9中所示，针对RUS合成的计算机可执行指令被存储在存储器部件916，并且其包括用于例如求解整数方程、评价和求解准则方程和针对r值的确定的随机采样的指令。另外，存储器部分918存储使用所公开的方法获得的RUS电路定义。还存储用于接收旋转角度和精度以及通信电路定义的计算机可执行指令。
示例性PC 900还包括一个或多个存储设备930诸如用于读取和写入到硬盘的硬盘驱动器、用于读取或写入到可移除磁盘的磁盘驱动器和用于读取或写入到可移除光盘(诸如CD-ROM或其他光学媒体) 的光盘驱动器。这样的存储设备可以通过硬盘驱动器接口、磁盘驱动器接口和光学驱动器接口分别连接到系统总线906。驱动器和其相关联的计算机可读媒体提供计算机可读指令、数据结构、程序模块和针对PC 900的其他数据的非易失性存储。其他类型的计算机可读媒体也可以使用在示例性操作环境中，所述计算机可读媒体可以存储由 PC(诸如磁带盒、闪存卡、数字视频光盘、CD、DVD、RAM、ROM 等)可访问的数据。
多个程序模块可以被存储在存储设备930中，所述存储设备930 包括操作系统、一个或多个应用程序、其他程序模块和程序数据。用于获得这样的合成的量子合成和指令的存储可以被存储在存储设备 930以及或者附加到存储器904中。用户可以通过一个或多个输入设备940(诸如键盘)和指点设备(诸如鼠标)将命令和信息输入到PC 900中。其他输入设备可以包括数字照相机、麦克风、操纵杆、游戏板、卫星盘、扫描器等。这些和其他输入设备常常通过耦合到系统总线906的串行端口接口连接到一个或多个处理单元902，但是可以通过其他接口(诸如并行端口、游戏端口或者通用串行总线(USB)) 连接。监视器946或者其他类型的显示设备还经由诸如视频适配器的接口连接到系统总线906。可以包括其他外围输出设备，诸如扬声器和打印机(未示出)。在一些情况下，显示用户界面使得用户可以输入用于合成的电路并且验证成功的合成。
PC 900可以使用对一个或多个远程计算机(诸如远程计算机960) 的逻辑连接在网络化环境中操作。在一些示例中，包括一个或多个网络或通信连接950。远程计算机960可以是另一PC、服务器、路由器、网络PC或对等设备或其他公共网络节点，并且通常地包括上文相对于PC 900描述的元件的许多或全部元件，虽然在图9中仅已经图示存储器存储设备962。个人计算机900和/或远程计算机960可以连接到逻辑局域网(LAN)和广域网(WAN)。这样的网络环境在办公室、企业计算机网络、内联网和因特网中是常见的。
当使用在LAN联网环境中时，PC 900通过网络接口连接到LAN。当使用在WAN网络环境中时，PC 900通常包括调制解调器或用于建立WAN(诸如因特网)上的通信的其他装置。在网络化环境中，相对于个人计算机900或其部分描绘的程序模块可以被存储在远程存储器存储设备中或LAN或WAN上的其他位置。所示的网络连接是示例性的，并且可以使用在计算机之间建立通信链路的其他方式。
参考图10，用于实现所公开的技术的示例性系统包括计算环境 1000，其中到双绞线模型电路中的编译与消耗编译电路的量子处理分离。该环境包括量子处理单元1002和一个或多个监测/测量设备1046。量子处理器执行通过利用一个或多个经典处理器1010的经典编译器单元1020预编译的量子电路。预编译的量子电路(诸如RUS电路1003) 经由量子总线1006下载到量子处理单元中。
参考图10，编译是将量子算法的高级描述转译为量子电路的序列的过程。根据具体情况，这样的高级描述可以被存储在利用一个或多个存储器和/或(多个)存储设备1062的计算环境1000外部的一个或多个(多个)外部计算机1060上，然后根据需要经由一个或多个通信连接1050下载到计算环境1000中。备选地，经典的编译器单元1020 耦合到经典处理器1010和包含实现上文所描述的方法必要的一些或全部程序的RUS编译器程序库1021以及存储编译电路的RUS电路库1003。
参考所图示的实施例已经描述和图示了我们的发明的原理，将理解到，在不脱离这样的原理的情况下，可以在布置和细节方面修改所图示的实施例。例如，可以以硬件实现以软件所示的所图示的实施例的元件，并且反之亦然。而且，来自任何示例的技术可以与其他示例的任何一个或多个中所描述的技术进行组合。在这些章节中特别地提出的备选方案仅是示例性的并且不构成所有可能。
图11图示了实现形式
的双量子比特幺正变换的备选电路1100，其中U是单量子比特幺正 1130，取决于(由量子比特1121建立的)标记比特b的值，电路1100 实现由U或给定的量子比特1122的输入状态的变换。在输出1155 处获得所得状态，其中，输出状态未与所有其他量子比特相缠。单量子比特幺正U 1130具有形式Rz(θ)Rx(β)Rz(-θ)，其中θ和β是实数。电路1100使用在0状态初始化的两个辅助量子比特1123、1124。
电路1100包括产生Einstein-Podolsky-Rosen(EPR)状态|00>+|11> 的初始准备电路1110，其然后经过量子路由电路1115和1140，其取决于比特b的值置换量子比特1122的EPR状态和输入状态的一部分。在“b＝0”分支中，量子比特1122的输入状态通过U经历演变并且剩余的状态|00>+|11是具有U的张量积算符的本征值1的本征态。在“b＝1”分支中，量子比特1122的输入状态通过经历演变并且剩余的状态|00>-|11是具有U的张量积算符U的本征值1的本征态。
电路1100的总体效果是在输出1155处实现在b＝0的情况下对应于U并且在b＝1的情况下对应于的输入的变换。在任一情况下，在0状态中再次返回2个辅助量子比特1123、1124。由于可以并行执行核心电路1130，因而除归因于EPR准备1110和其计算的恒定添加开销以及量子路由电路1115、1140的路由操作之外，电路1100具有其总体电路深度不大于U的电路深度的特征。
参考图12，公开了使用最多2个附加辅助量子比特的割圆域Q(ω) 上的辅助幺正变换的电路分解方法1200。在1202处，幺正是可以对一个、两个、三个或更多个量子比特起作用的输入，并且不限于对单量子比特起作用。在1206处，所选择的幺正U被嵌入到以下形式的较大的大小的幺正W：
在1204处确定整数系数α,β,γ,δ的一个常规方法是基于适于割圆域上的任意矩阵U的整数的四平方分解的方法。备选地，可以使用在割圆数域和子域上求解准则方程的方法，并且在一些示例中，适合的方法基于所选择的U的特定性质。一旦在1206处获得嵌入的矩阵W，在1208处就使用用于Q(ω)的整数环上的幺正矩阵的分解的方法获得Clifford+T因式分解。
在其他示例中，通过获得整数的四个元组定义量子电路，使得在割圆域上的给定的旋转矩阵U可以被嵌入到割圆整数环上的幺正W 中。旋转矩阵U被嵌入到幺正W中，并且使用适合的门集(诸如 Clifford+T门)分解W。在一些示例中，初始RUS电路基于多个辅助量子比特而被定义，并且随后重新合成以便仅利用2个辅助量子比特可实现。
在其他示例中，量子电路被定义为包括两个辅助量子比特和控制量子比特，以便实现针对具有等于定义块U的电路深度的电路深度的轴向旋转的RUS矩阵，其中，与RUS矩阵相关联的变换与基于控制量子比特的值的U或相关联。受控路径选择操作被布置为将输入状态结合到实现U或者的幺正操作，并且受控准备操作取决于是要求U与自身的张量积还是U与其逆的张量积的本征态，创建两个可用的EPR状态之一。U的电路分解被提升为提供针对U和的并行执行的电路并且具有与U的单个应用相同的T深度。
在一些示例中，量子电路(诸如双量子比特电路)基于选自与任意单量子比特旋转矩阵U相关联所选择的Hadamard门、CNOT门和T门组的多个门，其中矩阵U的项是实数或复数，并且U对应于轴向旋转的序列，使得U＝Rz(α)Rx(β)Rz(γ)，其中Rz表示关于z轴的旋转并且Rx表示关于x轴的旋转，其中α,β,γ是欧拉角。辅助量子比特和主要量子比特被结合到多个门，使得第一辅助量子比特的第一输出状态的产生与关联于旋转Rz(a)的主要量子比特的输出状态相关联，第二辅助量子比特的第二输出状态与关联于旋转Rx(β)的主要量子比特的输出状态相关联，并且第三辅助量子比特的第三输出状态与关联于旋转Rz(γ)的主要量子比特的输出状态相关联。在一些示例中，针对旋转Rx(β)和第二辅助量子比特和第三辅助量子比特中的至少一个的产生重新使用第一辅助量子比特和主要量子比特，并且针对旋转Rz(γ)的乘积重新使用主要量子比特。在其他示例中，将U分解成轴向旋转的序列基于给定旋转。
已经参考所图示的实施例描述和图示了所公开的原理，将理解到，在不脱离这样的原理的情况下，可以在布置和细节方面修改所描述的实施例。例如，可以以硬件实现以软件所示的所图示的实施例的元件，并且反之亦然。而且，来自任何示例的技术可以与其他示例的任何一个或多个中所描述的技术组合。将理解到，可以以单个硬件或软件模块实现过程和功能(诸如参考所图示的示例所描述的那些过程和功能) 或可以提供分离的模块。为了方便说明，提供了以上特定布置，并且可以使用其他布置。

Claims (20)

1.一种定义量子电路的方法，包括：
建立目标单量子比特幺正向所请求精度的有理割圆近似；
将所述有理割圆近似扩展成多量子比特幺正，所述多量子比特幺正在成功测量时实现所述目标单量子比特幺正；
将所述多量子比特幺正分解成Clifford+T电路；以及
基于所述分解来定义重复直到成功RUS电路。
2.根据权利要求1所述的方法，还包括：
建立所述目标单量子比特幺正的所述有理割圆近似，以便求解要求的准则方程；以及
基于所述有理割圆近似来定义所述多量子比特幺正。
3.根据权利要求1所述的方法，其中所述多量子比特幺正是关于至少一个辅助量子比特和主要量子比特而被定义的多量子比特幺正。
4.根据权利要求2所述的方法，其中所述目标单量子比特幺正是轴向旋转并且通过z*/z被近似，其中z是割圆整数，并且：
通过随机地选择中的至少一个值来修改z，使得所述准则方程对于由rz替换的z是可求解的。
5.根据权利要求4所述的方法，其中由y、z和r定义的单量子比特矩阵具有形式并且所述准则方程是|y|2＝2L-|rz|2，其中L是正整数。
6.根据权利要求5所述的方法，其中r中的至少一个值被选择以便提高RUS电路的一轮成功率p(r)＝|rz|2/2L。
7.根据权利要求6所述的方法，其中所述成功率与r和z的积的大小的平方成比例。
8.根据权利要求5所述的方法，还包括基于所述单量子比特矩阵来定义所述多量子比特幺正。
9.根据权利要求8所述的方法，还包括：将对应于所述目标单量子比特幺正的所述单量子比特矩阵扩展成多量子比特幺正，通过标识用于实现所述RUS电路所要求的缠绕的双量子比特门来将所述多量子比特幺正定义为Clifford+T幺正。
10.根据权利要求9所述的方法，还包括：将对应于所述目标单量子比特幺正的所述单量子比特矩阵分解成轴向旋转的积，并且将对应于每个轴向旋转的所述多量子比特幺正实现为从积g3c′g4获得的Clifford+T电路，其中g1,g2,g3,g4是Clifford门，c是T码，并且c’是c的修饰，并且将所述双量子比特幺正定义为其中Lift表示将修饰的T码转换成两个量子比特电路的过程，Id是单位矩阵，g5是基于g1和g3获得的值，以及g6是基于g2和g4获得的值。
11.根据权利要求10所述的方法，其中辅助量子比特或与所述轴向旋转相关联的多个量子比特针对至少一个附加RUS电路的实现而被重新使用。
12.根据权利要求10所述的方法，还包括分解对应于所述目标单量子比特幺正的所述单量子比特矩阵，其中所述目标单量子比特幺正执行围绕x-y平面中的轴线的旋转；
利用从受控路径选择操作获得的电路实现对应于围绕所述x-y平面中的轴线的所述旋转的所述多量子比特幺正，其中所述受控路径选择操作将输入状态引导到实现U或者的幺正操作并且准备至少两个辅助量子比特上的两个可能的EPR状态之一，其中是幺正U的复共轭转置。
13.根据权利要求3所述的方法，其中所述多量子比特幺正被定义以便被结合到所述辅助量子比特和所述主要量子比特，使得对所述辅助量子比特的测量能够与所述多量子比特电路的成功或失败相关联，以产生对应于所述目标单量子比特幺正的主要量子比特状态。
14.根据权利要求13所述的方法，还包括定义恢复电路，如果所述辅助量子比特指示所述多量子比特电路的失败，则所述恢复电路将所述主要量子比特的输出状态返回到所述主要量子比特的输入状态。
15.根据权利要求1所述的方法，还包括接收旋转角度θ和精度，并且所述割圆近似与相位因子eiθ相关联。
16.根据权利要求15所述的方法，其中割圆整数z被选择使得使得|z*/z-eiθ|<ε，其中ε是精度并且z*/z是割圆有理，并且eiθ是相位因子。
17.根据权利要求16所述的方法，其中所述RUS电路包括至少一个辅助量子比特以及耦合到多个门的主要量子比特，使得所述至少一个辅助量子比特的第一输出状态的产生与所述主要量子比特的、与所述旋转角度θ相关联的输出状态相关联。
18.根据权利要求17所述的方法，其中所述至少一个辅助量子比特的第二输出状态与所述主要量子比特的、与所述旋转角度θ不关联的输出状态相关联。
19.根据权利要求18所述的方法，其中所述RUS电路包括恢复电路，所述恢复电路被置于在所述辅助量子比特被测量为处于所述第二输出状态的情况下被应用到所述的主要量子比特。
20.一种用于定义量子电路的编译器，包括：
处理器；以及
至少一个计算机可读存储介质，其具有用于根据权利要求1所述的方法的计算机可执行指令。
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Optimal ancilla-free Clifford+T approximation of z-rotations;Neil J. Ross等;《http://arxiv.org/pdf/1403.2975v1.pdf》;20140312;全文
Repeat-Until-Success: Non-deterministic decomposition of single-qubit unitaries;Adam Paetznick等;《http://arxiv.org/pdf/1311.1074v1.pdf》;20131105;第1-24页

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