CN106096814A - 基于粗糙集理论的产品服务系统方案优选方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于粗糙集理论的产品服务系统方案优选方法，用于解决现有产品服务系统方案优选方法效率低的技术问题。技术方案是在指标权重确定阶段，使用MATLAB简化粗糙数的计算步骤并利用判断矩阵的特征向量计算各指标的权重，减少了计算的复杂程度；在方案排序阶段，构建粗糙群决策矩阵后，首先根据指标特性对其进行标准化，再计算各方案与正负理想解的距离，有效地提高了效率。

Description

基于粗糙集理论的产品服务系统方案优选方法

技术领域

本发明涉及一种产品服务系统方案优选方法，特别涉及一种基于粗糙集理论的产品服务系统方案优选方法。

背景技术

如何选择适合的评估指标、明确指标权重，并降低专家打分时的不确定性对优选结果的影响，是产品服务系统方案优选问题的难点。文献“W.Song,X.Ming,Z.Wu,Anintegrated rough number-based approach to design concept evaluation undersubjective environments,Journal of Engineering Design,2013，Vol.24(3)，p320-341”公开了一种基于粗糙数的产品设计方案优选的方法，包括两个步骤：计算指标权重及选定最佳方案。该方法使用粗糙层次分析法确定指标权重，使用粗糙逼近理想解法对备选方案进行排序。但是，在指标权重确定阶段，将专家打分转化为粗糙数的计算步骤繁琐，耗时长；在方案排序阶段，需针对每个指标逐一确定正负理想解，效率不高。

发明内容

为了克服现有产品服务系统方案优选方法效率低的不足，本发明提供一种基于粗糙集理论的产品服务系统方案优选方法。该方法在指标权重确定阶段，使用MATLAB简化粗糙数的计算步骤并利用判断矩阵的特征向量计算各指标的权重，可以减少计算的复杂程度；在方案排序阶段，构建粗糙群决策矩阵后，首先根据指标特性对其进行标准化，再计算各方案与正负理想解的距离，可以有效提高效率。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案：一种基于粗糙集理论的产品服务系统方案优选方法，其特点是包括以下步骤：

步骤一、确定评估指标，并根据指标属性将指标分为盈利性指标及成本性指标。对盈利性指标而言，值越大越好；对成本性指标而言，值越小越好。

步骤二、使用粗糙层次分析法确定各指标的权重。

步骤2.1、构建产品服务系统评估指标体系；

步骤2.2、假定有m个指标，l个决策者，采用九级评分制，建立成对比较矩阵A_i：

代表专家k认为指标j相对指标i的重要程度；显然，

通过如下方法检验矩阵的一致性：

CI＝(λ_max-m)/(m-1)

CR＝CI/RI

λ_max是成对比较矩阵A_i的最大特征值；m为其阶数。

获取随机一致性指标RI的值。

表1随机一致性指标RI(m).

若CR≤0.1，矩阵通过一致性检验；否则需对其进行调整并重新检验一致性。

步骤2.3、构建粗糙群决策矩阵A^*，计算矩阵中每个指标的粗糙值。

是专家k认为指标j对指标i的重要程度，获取矩阵中各元素的值。

$RN\left(x_{12}^k\right)=\[x_{12}^{k-},x_{12}^{k+\]}$

是的粗糙数，分别代表粗糙数的下限和上限，k∈[1,l]。因而，

平均粗糙区间

$x_{12}^{-}=(x_{12}^{1-}+x_{12}^{2-}+...+x_{12}^{l-})/l,$

$x_{12}^{+}=(x_{12}^{1+}+x_{12}^{2+}+...+x_{12}^{l+})/l.$

步骤2.4构建粗糙成对比较矩阵。

即为粗糙数，分别代表粗糙数的下限与上限。

步骤2.5、计算每个指标的权重。

将X分为粗糙下限矩阵X^-和粗糙上限矩阵X⁺。

借助MATLAB软件，计算其特征向量，分别是：

$W^{-}={\[w_1^{-},w_2^{-},...,w_m^{-}\]}^T,W^{+}={\[w_1^{+},w_2^{+},...,w_m^{+}\]}^T$

通过下式获取归一化权重：

$f_i^{-}=w_i^{-}/\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{w}_i^{-},f_i^{+}=w_i^{+}/\underset{i=1}{\overset{m}{\Σ}}{w}_i^{+},$

指标C_i的权重f(C_i)采用下式获得：

步骤2.6、为便于比较，根据指标的特性将其分为不同的维度，利用下式获取各指标的合成权重：

f*(ω_i)＝f(D_i)×f(C_i)

f*(ω_i),f(D_i)分别代表指标的合成权重以及指标C_i所属维度D_i的权重。

步骤三、使用粗糙逼近理想解法对设计方案进行比较和排序。

步骤3.1、建立PSS评估矩阵。

假设有m个评估指标C_p，p＝1,2,…,m，n个PSS备选方案A_q，q＝1,2,…,n，l个决策者。决策者首先采用传统的九级评分制针对每个指标给出对于备选方案的排序，构建多指标决策矩阵D：

代表专家k针对指标p给第q个备选方案的评分。

步骤3.2、将群决策矩阵D中的精确值转换为粗糙数，并构建粗糙群决策矩阵D^*：

其中，

粗糙数采用下式获得：

$RN\left(y_{pq}^k\right)=\[y_{pq}^{k-},y_{pq}^{k+}\],k\∈\[1,l\].$

分别代表粗糙数的下限值和上限值。

因此，粗糙数

平均粗糙数 分别是粗糙数RN(Y_pq)的下限及上限值。

由此，得到粗糙群决策矩阵。

步骤3.3、粗糙群决策矩阵标准化。

针对盈利性指标，

针对成本性指标，

分别代表标准化区间的下限值和上限值。

步骤3.4、计算加权标准化决策矩阵。

$W_{pq}^{-}=f^{*}\left({\mathrm{\ω}}_p\right)\×y_{pq}^{\′-},p=1,2,...,m;q=1,2,...,n.$

$W_{pq}^{+}=f^{*}\left({\mathrm{\ω}}_p\right)\×y_{pq}^{\′+},p=1,2,...,m;q=1,2,...,n.$

步骤3.5、计算正理想解S⁺(p)及负理想解S^-(p)。

$S^{+}\left(p\right)={\max }_{q=1}^n\left(W_{pq}^{+}\right);S^{-}\left(p\right)={\min }_{q=1}^n\left(W_{pq}^{-}\right)$

S⁺(p),S^-(p)分别代表针对指标p的正理想解和负理想解。

步骤3.6、计算每个方案与正、负理想解的距离。

$d_q^{+}=\sqrt{\frac{1}{2}\underset{p=1}{\overset{m}{\Σ}}\[{(W_{pq}^{-}-S_p^{+})}^2+{(W_{pq}^{+}-S_p^{+})}^2\]},p=1,2,...,m;q=1,2,...n.$

$d_q^{-}=\sqrt{\frac{1}{2}\underset{p=1}{\overset{m}{\Σ}}\[{(W_{pq}^{-}-S_p^{-})}^2+{(W_{pq}^{+}-S_p^{-})}^2\]},p=1,2,...,m;q=1,2,...n.$

分别代表方案与正、负理想解的距离。

贴近度(CC_q)由下式获得：

根据各个方案的贴近度大小进行排序。贴近度越大，方案越优。

本发明的有益效果是：本发明提供了一种基于粗糙集理论的产品服务系统方案优选方法，帮助决策者克服评价过程中的主观性和不确定性，对备选方案进行排序。评估指标确定后，使用粗糙层次分析法，对评估指标进行成对比较，构建粗糙群决策矩阵，利用MATLAB计算矩阵中每个指标的粗糙值；以此为依据，构建粗糙成对比较矩阵，并计算其特征向量，得到每个指标的相对权重，结合指标所在维度的权重，最终确定各指标的合成权重，可以有效减少计算的复杂程度。

然后使用粗糙逼近理想解法对不同的备选方案进行比较和排序。首先建立PSS群决策矩阵，将其中的精确值转化为粗糙数，构建粗糙群决策矩阵；对粗糙群决策矩阵进行标准化，结合各指标的合成权重，得到加权标准化决策矩阵，并求得针对各指标的正理想解与负理想解；计算各备选方案与正负理想解的距离，根据贴近度大小进行排序。贴近度越大，表示该方案越优，有效提高了计算的效率。

下面结合附图和具体实施方式对本发明作详细说明。

附图说明

图1是本发明基于粗糙集理论的产品服务系统方案优选方法的流程图。

图2是本发明方法具体实施方式部分进行敏感度分析实验的结果。

具体实施方式

参照图1-2。本发明基于粗糙集理论的产品服务系统方案优选方法具体步骤如下：

以汽车共享服务系统方案优选为例。

步骤一、确定评估指标。

参照表2，确定用于评估汽车共享服务系统的24个指标，并根据指标的特性，将其分为四大维度：经济、环境、系统和社会。每个维度包括6个指标。其中，指标1-3和14-24属于盈利性指标，其值越高，方案越优。指标4-13属于成本性指标，其值越低，方案越优。

表2汽车共享服务系统指标体系

步骤二、用粗糙层次分析法确定指标权重。

步骤1、参照表2，构建PSS评估指标体系。

步骤2、建立成对比较矩阵A_i。假设有五位决策者参与评价，对于经济维度下的6个指标，可构建如下成对比较矩阵：

检验

以上矩阵的一致性。

CR₁＝0.084＜0.1,CR₂＝0.052＜0.1,CR₃＝0.061＜0.1,CR₄＝0.098＜0.1,CR₅＝0.056＜0.1矩阵通过一致性检验。

步骤3、构建粗糙群决策矩阵，并计算每个指标的粗糙值。

就而言，可用如下方法计算值“5”的粗糙数：

$X_{12}^{*}=\{6,6,5,7,5\}$

$\underset{\‾}{Lim}\left(5\right)=\[R\left(x_{12}^3\right)+R\left(x_{12}^5\right)\]/2=(5+5)/2=5.000$

$\stackrel{\‾}{Lim}\left(5\right)=\[R\left(x_{12}^1\right)+R\left(x_{12}^2\right)+R\left(x_{12}^3\right)+R\left(x_{12}^4\right)+R\left(x_{12}^5\right)\]/5=(6+6+5+7+5)/5=5.800$

由此，

粗糙数

同理可得，

$RN\left(6\right)=\[\underset{\‾}{Lim}\left(6\right),\stackrel{\‾}{Lim}\left(6\right)\]=\[5.500,6.333\]$

$RN\left(7\right)=\[\underset{\‾}{Lim}\left(7\right),\stackrel{\‾}{Lim}\left(7\right)\]=\[5.800,7.000\]$

因此，的平均粗糙区间RN(X₁₂)＝[5.360,6.253]

借助MATLAB，以上步骤可以简化为：

A＝[6,6,5,7,5]

$\begin{array}{c}RN\left(X_{12}^{-}\right)=\left(sun\right(A\left(A<=6\right))/sun(A<=6\left)\right)+sun\left(A\left(A<=6\right)\right)/sun(A<=6)+sun\left(A\right(A<=5\left)\right)/sum(A<\\ =5)+sum\left(A\right(A<=7\left)\right)/sum(A<=7)+sum\left(A\right(A<=5\left)\right)/sum(A<=5))/5=5.360\end{array}$

$\begin{array}{c}RN\left(X_{12}^{+}\right)=\left(sun\right(A\left(A>=6\right))/sun(A>=6\left)\right)+sun\left(A\left(A>=6\right)\right)/sun(A>=6)+sun\left(A\right(A>=5\left)\right)/sum(A>\\ =5)+sum\left(A\right(A>=7\left)\right)/sum(A>=7)+sum\left(A\right(A>=5\left)\right)/sum(A>=5))/5=6.253\end{array}$

步骤4、构建粗糙成对比较矩阵。

$X_1=\left[\begin{array}{cccccc}\&lsqb;1.000,1.000\&rsqb;& \&lsqb;5.360,6.253\&rsqb;& \&lsqb;2.170,3.060\&rsqb;& \&lsqb;5.900,8.000\&rsqb;& \&lsqb;2.360,3.253\&rsqb;& \&lsqb;3.747,5.080\&rsqb;\\ \&lsqb;0.162,0.188\&rsqb;& \&lsqb;1.000,1.000\&rsqb;& \&lsqb;0.128,0.172\&rsqb;& \&lsqb;2.170,3.060\&rsqb;& \&lsqb;0.211,0.348\&rsqb;& \&lsqb;0.393,0.473\&rsqb;\\ \&lsqb;0.358,0.475\&rsqb;& \&lsqb;6.000,8.000\&rsqb;& \&lsqb;1.000,1.000\&rsqb;& \&lsqb;5.000,7.000\&rsqb;& \&lsqb;2.400,3.667\&rsqb;& \&lsqb;2.920,4.253\&rsqb;\\ \&lsqb;0.129,0.185\&rsqb;& \&lsqb;0.358,0.475\&rsqb;& \&lsqb;0.148,0.210\&rsqb;& \&lsqb;1.000,1.000\&rsqb;& \&lsqb;0.166,0.247\&rsqb;& \&lsqb;0.326,0.427\&rsqb;\\ \&lsqb;0.326,0.443\&rsqb;& \&lsqb;3.323,5.040\&rsqb;& \&lsqb;0.305,0.441\&rsqb;& \&lsqb;4.480,6.213\&rsqb;& \&lsqb;1.000,1.000\&rsqb;& \&lsqb;2.747,4.080\&rsqb;\\ \&lsqb;0.205,0.277\&rsqb;& \&lsqb;2.160,2.640\&rsqb;& \&lsqb;0.246,0.378\&rsqb;& \&lsqb;2.360,3.253\&rsqb;& \&lsqb;0.261,0.391\&rsqb;& \&lsqb;1.000,1.000\&rsqb;\end{array}\right]$

步骤5、计算每个指标的权重。

首先将X₁分为粗糙下限矩阵和粗糙上限矩阵

$X_1^{-}=\left[\begin{array}{cccccc}1.000& 5.360& 2.170& 5.900& 2.360& 3.747\\ 0.162& 1.000& 0.128& 2.170& 0.211& 0.393\\ 0.358& 6.000& 1.000& 5.000& 2.400& 2.920\\ 0.129& 0.358& 0.148& 1.000& 0.166& 0.326\\ 0.326& 3.323& 0.305& 4.480& 1.000& 2.747\\ 0.205& 2.160& 0.246& 2.360& 0.261& 1.000\end{array}\right]$

$X_1^{+}=\left[\begin{array}{cccccc}1.000& 6.253& 3.060& 8.000& 3.253& 5.080\\ 0.188& 1.000& 0.172& 3.060& 0.348& 0.473\\ 0.475& 8.000& 1.000& 7.000& 3.667& 4.253\\ 0.185& 0.475& 0.210& 1.000& 0.247& 0.427\\ 0.443& 5.040& 0.441& 6.213& 1.000& 4.080\\ 0.277& 2.640& 0.378& 3.253& 0.391& 1.000\end{array}\right]$

使用MATLAB计算其特征向量：

矩阵的特征向量

矩阵的特征向量

计算归一化权重

$\&lsqb;f_1^{-},f_2^{-},f_3^{-},f_4^{-},f_5^{-},f_6^{-}\&rsqb;=\&lsqb;0.3869,0.0524,0.2749,0.0355,0.1667,0.0836\&rsqb;$

$\&lsqb;f_1^{+},f_2^{+},f_3^{+},f_4^{+},f_5^{+},f_6^{+}\&rsqb;=\&lsqb;0.3785,0.0508,0.2815,0.0358,0.1714,0.0820\&rsqb;$

因此，指标1的权重为

同理可得其他指标的权重。

步骤6、参照表3，结合维度权重，获得所有指标的最终粗糙权重值。本例假定四个维度权重相同，均为0.25。

f^*(ω₁)＝0.25×0.3827＝0.0957

参照附件A，构建经济、环境、系统、社会四个维度的决策矩阵。

步骤三、用模糊逼近理想解法对各方案进行排序

步骤1、参照附件B，构建PSS评估矩阵。

步骤2、参照表4，建立粗糙群决策矩阵。

表3 24个指标(C₁-C₂₄)的权重

步骤3、对粗糙群决策矩阵进行标准化。举例而言，方案A₁针对盈利性指标C₁评分值的标准化过程如下：

$y_{11}^{\&prime;-}=\frac{y_{11}^{-}}{{\max }_{q=1}^3(y_{1q}^{-},y_{1q}^{+})}=\frac{5.360}{7.080}=0.757;y_{11}^{\&prime;+}=\frac{y_{11}^{\&prime;+}}{{\max }_{q=1}^3(y_{1q}^{-},y_{1q}^{+})}=\frac{6.253}{7.080}=0.883$

方案A₁针对成本性指标C₄评分值的标准化过程如下：

$y_{41}^{\&prime;-}=\frac{{\min }_{q=1}^3(y_{4q}^{-},y_{4q}^{+})}{y_{41}^{+}}=\frac{2.747}{6.253}=0.439;y_{41}^{\&prime;+}=\frac{{\min }_{q=1}^3(y_{4q}^{-},y_{4q}^{+})}{y_{41}^{-}}=\frac{2.747}{5.360}=0.513$

参照表5，可得三个备选方案针对其他指标粗糙标准化的评分值。

表4汽车共享服务系统的粗糙评估矩阵

表5汽车共享服务系统的粗糙标准化评估矩阵

步骤4、利用表5中的粗糙标准值与表3中指标的复合权重，构建粗糙加权标准化决策矩阵。如指标C₁的粗糙加权标准值可按下式获得：

参照表6，可得各备选方案针对其他指标的粗糙加权标准值。

表6汽车共享服务系统的粗糙加权标准值

步骤5、参照表6，计算正、负理想解。

步骤6、计算每个方案与正负理想解的距离。

例如，方案A₁针对指标C₁而言，

$d_1^{+}=\sqrt{\frac{1}{2}\&lsqb;{(W_{11}^{-}-S_1^{+})}^2+{(W_{11}^{+}-S_1^{+})}^2\&rsqb;}=\sqrt{\frac{1}{2}\&lsqb;{(0.072-0.096)}^2+{(0.085-0.096)}^2\&rsqb;}=0.018$

$d_1^{-}=\sqrt{\frac{1}{2}\&lsqb;{(W_{11}^{-}-S_1^{-})}^2+{(W_{11}^{+}-S_1^{-})}^2\&rsqb;}=\sqrt{\frac{1}{2}\&lsqb;{(0.072-0.051)}^2+{(0.085-0.051)}^2\&rsqb;}=0.028$

参照表7，可得各备选方案针对其他指标正、负理想解的距离。

表7各备选方案与正负理想解的距离

例如，对指标C_1-24而言，方案A₁与正、负理想解的距离分别是：

$\begin{array}{c}{d}_1^{+}=\sqrt{\frac{1}{2}\&lsqb;{(0.072-0.096)}^2+{(0.085-0.096)}^2}+\sqrt{\frac{1}{2}\&lsqb;{(0.011-0.013)}^2+{(0.013-0.013)}^2}\\ +\mathrm{...}+\sqrt{\frac{1}{2}{(0.075-0.097)}^2+{(0.092-0.097)}^2}=0.302\end{array}$

$\begin{array}{c}{d}_1^{-}==\sqrt{\frac{1}{2}\&lsqb;{(0.072-0.051)}^2+{(0.085-0.051)}^2}+\sqrt{\frac{1}{2}\&lsqb;{(0.011-0.003)}^2+{(0.013-0.003)}^2}\\ +\mathrm{...}+\sqrt{\frac{1}{2}{(0.075-0.057)}^2+{(0.092-0.057)}^2}=0.333\end{array}$

方案A₁的贴近度

参照表8，计算方案A₂，A₃的贴近度并根据贴近度大小对各方案进行排序。

A₂＞A₁＞A₃，方案A₂的贴近度最大，是最好的汽车共享服务模式。

表8三个备选方案的贴近度(CC_q)

敏感度分析。

参照表9，开展敏感度分析实验，以便分析指标权重的变化对方案排序产生的影响。附图2说明了敏感度分析实验的结果。前五个实验中，设置所有指标权重相等，分别为1,3,5,7,9。实验6-29中，某个指标的权重依次设为最高，取值9，其他指标权重设为最低，取值1。实验30中将盈利性指标权重设为最高，成本性指标权重设为最低。实验31中将盈利性指标权重设为最低，成本性指标权重设为最高。在全部31个实验中，方案2有21次获得最高贴近度，占全部实验的67.74％；方案1贴近度高于方案3的比率为77.42％。因而，可以得出如下结论：方案2是最好的汽车共享模式。

表9敏感度分析实验

附件A.24个指标的成对比较矩阵

附件B.三个方案针对各指标的评分值

Claims (1)

1.一种基于粗糙集理论的产品服务系统方案优选方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤一、确定评估指标，并根据指标属性将指标分为盈利性指标及成本性指标；对盈利性指标而言，值越大越好；对成本性指标而言，值越小越好；

步骤二、使用粗糙层次分析法确定各指标的权重；

步骤2.1、构建产品服务系统评估指标体系；

步骤2.2、假定有m个指标，l个决策者，采用九级评分制，建立成对比较矩阵A_i：

代表专家k认为指标j相对指标i的重要程度；显然，

通过如下方法检验矩阵的一致性：

CI＝(λ_max-m)/(m-1)

CR＝CI/RI

λ_max是成对比较矩阵A_i的最大特征值；m为其阶数；

获取随机一致性指标RI的值；

表1随机一致性指标RI(m).

若CR≤0.1，矩阵通过一致性检验；否则需对其进行调整并重新检验一致性；

步骤2.3、构建粗糙群决策矩阵A^*，计算矩阵中每个指标的粗糙值；

是专家k认为指标j对指标i的重要程度，获取矩阵中各元素的值；

$RN\left(x_{12}^k\right)=\&lsqb;x_{12}^{k-},x_{12}^{k+\&rsqb;}$

是的粗糙数，分别代表粗糙数的下限和上限，k∈[1,l]；因而，

平均粗糙区间

$x_{12}^{-}=(x_{12}^{1-}+x_{12}^{2-}+...+x_{12}^{l-})/l,$

$x_{12}^{+}=(x_{12}^{1+}+x_{12}^{2+}+...+x_{12}^{l+})/l.$

步骤2.4构建粗糙成对比较矩阵；

即为粗糙数，分别代表粗糙数的下限与上限；

步骤2.5、计算每个指标的权重；

将X分为粗糙下限矩阵X^-和粗糙上限矩阵X⁺；

借助MATLAB软件，计算其特征向量，分别是：

$W^{-}={\&lsqb;w_1^{-},w_2^{-},...,w_m^{-}\&rsqb;}^T,W^{+}={\&lsqb;w_1^{+},w_2^{+},...,w_m^{+}\&rsqb;}^T$

通过下式获取归一化权重：

$f_i^{-}=w_i^{-}/\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{w}_i^{-},f_i^{+}=w_i^{+}/\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{w}_i^{+},$

指标C_i的权重f(C_i)采用下式获得：

步骤2.6、为便于比较，根据指标的特性将其分为不同的维度，利用下式获取各指标的合成权重：

f^*(ω_i)＝f(D_i)×f(C_i)

f^*(ω_i),f(D_i)分别代表指标的合成权重以及指标C_i所属维度D_i的权重；

步骤三、使用粗糙逼近理想解法对设计方案进行比较和排序；

步骤3.1、建立PSS评估矩阵；

假设有m个评估指标C_p，p＝1,2,…,m，n个PSS备选方案A_q，q＝1,2,…,n，l个决策者；决策者首先采用传统的九级评分制针对每个指标给出对于备选方案的排序，构建多指标决策矩阵D：

代表专家k针对指标p给第q个备选方案的评分；

步骤3.2、将群决策矩阵D中的精确值转换为粗糙数，并构建粗糙群决策矩阵D^*：

其中，

粗糙数采用下式获得：

$RN\left(y_{pq}^k\right)=\&lsqb;y_{pq}^{k-},y_{pq}^{k+}\&rsqb;,k\&Element;\&lsqb;1,l\&rsqb;;$

分别代表粗糙数的下限值和上限值；

因此，粗糙数

平均粗糙数

分别是粗糙数RN(Y_pq)的下限及上限值；

由此，得到粗糙群决策矩阵；

步骤3.3、粗糙群决策矩阵标准化；

针对盈利性指标，

针对成本性指标，

分别代表标准化区间的下限值和上限值；

步骤3.4、计算加权标准化决策矩阵；

$W_{pq}^{-}=f^{*}\left({\mathrm{\&omega;}}_p\right)\&times;y_{pq}^{\&prime;-},p=1,2,...,m;q=1,2,...,n.$

$W_{pq}^{+}=f^{*}\left({\mathrm{\&omega;}}_p\right)\&times;y_{pq}^{\&prime;+},p=1,2,...,m;q=1,2,...,n.$

步骤3.5、计算正理想解S⁺(p)及负理想解S^-(p)；

$S^{+}\left(p\right)={\max }_{q=1}^n\left(W_{pq}^{+}\right);S^{-}\left(p\right)={\min }_{q=1}^n\left(W_{pq}^{-}\right)$

S⁺(p),S^-(p)分别代表针对指标p的正理想解和负理想解；

步骤3.6、计算每个方案与正、负理想解的距离；

$d_q^{+}=\sqrt{\frac{1}{2}\underset{p=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}\&lsqb;{(W_{pq}^{-}-S_p^{+})}^2+{(W_{pq}^{+}-S_p^{+})}^2\&rsqb;},p=1,2,...,m;q=1,2,...n.$

$d_q^{-}=\sqrt{\frac{1}{2}\underset{p=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}\&lsqb;{(W_{pq}^{-}-S_p^{-})}^2+{(W_{pq}^{+}-S_p^{-})}^2\&rsqb;},p=1,2,...,m;q=1,2,...n.$

分别代表方案与正、负理想解的距离；

贴近度(CC_q)由下式获得：q＝1,2,…,n

根据各个方案的贴近度大小进行排序；贴近度越大，方案越优。