CN106096098A - 一种涡轮叶片减振分析优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种涡轮叶片减振分析优化方法，振动响应计算程序读入已知参数，计算局部滑动状态下的最大阻尼力和最大位移；从外激励频率下限开始在每一个确定频率下，调用ANSYS软件生成有限元模型；对模型进行谐响应振动分析，计算无阻尼时系统的振动响应；调用频域分析模式下计算刚度阻尼子程序，计算等效刚度和等效阻尼。调用ANSYS软件计算有阻尼时系统的振动响应，得到叶尖处振幅值大小，直到频率上限下的激振频率。运用新的干摩擦模型对带屋顶型阻尼片涡轮叶片进行振动特性分析，结果对干摩擦阻尼器的设计具有一定的工程指导意义；同时本文的方法对干摩擦系统的计算分析也有一定的理论意义。

Description

一种涡轮叶片减振分析优化方法

技术领域

本发明属于航空发动机技术领域，具体涉及一种涡轮叶片减振分析优化方法，是涡轮叶片在减振分析方面的方法研究。

背景技术

航空发动机叶片在大的振动应力下常常发生疲劳失效或故障断裂，对于航空发动机的安全运行影响重大。在叶片叶根处设置减振阻尼器，可以有效地解决叶片振动过大问题。

叶片与阻尼器之间的摩擦属于干摩擦，在干摩擦模型的研究方面，目前常用的摩擦模型包括整体滑动模型、局部滑动模型和整体—局部统一滑动模型。整体滑动模型是针对某些特殊接触条件提出的简化模型，它适用于接触面尺寸或所受法向载荷不大的应力、应变场是均匀分布的，但是这种模型相对简单和理想化，不能准确地描述真实的摩擦过程。局部滑动模型将接触区离散成多个接触点，分别考虑各接触点的正压力和相对位移，并判断各点的运动状态，但是它也使求解的计算量大大增加。整体-局部统一滑动模型将滑动分为粘滞和完全滑动两个状态，阻尼片根据不同的情况表现出时变的弹性特征和阻尼特性，该模型更加贴近工程实际，得到的响应结果也更加精准，但是该模型还局限于平板式阻尼器，对复杂一些的多面接触式阻尼器还需进一步研究。

阻尼器的模型上国内的研究还是集中在平板式阻尼片，对于其他复杂一点的模型基本没有涉及。

发明内容

发明目的：为了克服现有技术中存在的不足，本发明提供一种涡轮叶片减振分析优化方法，为了从模型上改进平板式阻尼器，从干摩擦界面模型上改进涡轮叶片的减振分析方法，本发明设计了屋顶型阻尼器，并在原有的整体—局部统一滑动模型的基础上重新推导了干摩擦界面模型。运用新的干摩擦模型对带屋顶型阻尼片涡轮叶片进行振动特性分析，结果对干摩擦阻尼器的设计具有一定的工程指导意义；同时本文的方法对干摩擦系统的计算分析也有一定的理论意义。

技术方案：为实现上述目的，本发明采用的技术方案为：

一种涡轮叶片减振分析优化方法，具体步骤如下：

(1)确定阻尼器的形状数据，给定叶片所受激励的幅值，确定所述阻尼器与叶片之间的接触正压力载荷系数q；

(2)对叶片进行模态分析，得到一阶固有频率，确定振动分析过程中激振频率的上下限ω₁、ω₂；

(3)计算阻尼片滑移区域扩充到整个右侧时的最大阻尼力F_rlim和阻尼片最大位移u_rlim，计算阻尼片滑移区域由右侧扩充到左侧直至整个阻尼片时的最大阻尼F_llim和阻尼片最大位移u_llim；激振频率设置从下限ω₂开始，在每一个确定频率下进行以下步骤；

(4)在ANSYSY中建立叶片有限元模型，计算无阻尼时的振动响应，获得无阻尼时叶尖处的振幅值S和与阻尼片接触位置的位移U；

(5)将得到的位移U与所述u_rlim,u_llim进行对比，判断阻尼片滑动区域扩展到哪一部分，计算对应的等效阻尼c_eq、等效刚度k_eq；

(6)在原有的叶片有限元模型中添加MATRIX27刚度和阻尼单元，其中刚度值和阻尼值取(5)中计算得到的等效阻尼c_eq、等效刚度k_eq，，计算有阻尼时叶片的振动响应，获得叶尖处的振幅值S₁和与阻尼片接触位置的位移U₁；

(7)将新得到的位移重复步骤(5)、(6)，直到上一次的振幅与下一次振幅的差值达到误差范围内，最后一次求得的有阻尼振幅S₁即为该频率下的叶尖处的振幅值，得到相对共振幅值，判断减振效果；

(8)重复步骤(4)～(6)，计算下一个激振频率下的无阻尼振幅值S和有阻尼振幅值S₁；直到达到激振频率的上限值ω₁。所述阻尼器的形状为屋顶型阻尼器。

进一步的，所述步骤(1)中阻尼器的形状数据包括：阻尼片宽度l，角度α，摩擦系数μ，横截面面积A，弹性模量E。

进一步的，所述步骤(3)中的具体计算方法为：计算阻尼片滑移区域扩充到整个右侧时的最大阻尼力为F_rlim＝μql和阻尼片最大位移u_rlim＝μql²/2EA，计算阻尼片滑移区域由右侧扩充到左侧直至整个阻尼片时的最大阻尼力F_llim＝μql(1+1/cosα)和阻尼片最大位移u_llim＝μql²(cosα+1+1/cosα)/2EA。

进一步的，所述步骤(5)中将得到的位移U与所述u_rlim,u_llim进行对比，判断阻尼片滑动区域扩展到哪一部分，计算对应的等效阻尼c_eq＝(ω,U)、等效刚度K_eq＝(ω,U)，具体的判断方法为：

(a)若U≥u_llim，则发生了整体滑移；

(b)若u_rlim≤U≤u_llim，则滑移从右边扩展到左边；

(c)若U≤u_rlim，则滑移只发生在右边。

进一步的，所述(a)种情况下的具体计算方法为：

若U≥u_llim，则发生了整体滑移，通过以下公式计算相应的等效阻尼c_eq＝(ω,U)、等效刚度K_eq＝(ω,U)：

$W\left(U\right)=\frac{2{\mathrm{\μ}}^2{q}^2{l}^3}{EA}(\frac{2}{3}+cos\mathrm{\α}+\frac{1}{\cos \mathrm{\α}})+4\mathrm{\μ}N(U-u_a)$

$\begin{array}{cc}{c}_{eq}=\frac{W\left(U\right)}{{\mathrm{\π\ωU}}^2}& K_{eq}=\frac{K_d}{\mathrm{\π}}(\mathrm{\β}-\frac{1}{2}sin2\mathrm{\β})\end{array}$

其中：W(U)为阻尼功，u_a为阻尼块发生整体滑动时的临界位移，且u_a＝u_llim；

$\mathrm{\β}={\cos }^{-1}\left(\frac{U-2u_a}{U}\right),$

为发生整体滑动时的临界刚度，

为发生整体滑动时的临界阻尼。

进一步的，所述(b)种情况下的具体计算方法为：

若u_rlim≤U≤u_llim，则滑移从右边扩展到左边，通过以下公式计算相应的等效阻尼c_eq＝(ω,U)、等效刚度K_eq＝(ω,U)：

首先，通过以下公式反推出左边滑动区域的长度δ_l：

$U=u_l\left({\mathrm{\δ}}_l\right)=\frac{\mathrm{\μ}q}{2EA}({\mathrm{\δ}}_l^2\·cos\mathrm{\α}+l^2+\frac{2{\mathrm{\δ}}_l\·l}{cos\mathrm{\α}});$

其次，由公式求得F_l；

最后得到等效阻尼、等效刚度为：

$c_{eq}=\frac{8EA}{3\mathrm{\π}\mathrm{\ω}}\·\frac{l^3+{{\mathrm{\δ}}_l}^3+3{\mathrm{\δ}}_l^{2}cos\mathrm{\α}l+\frac{2{\mathrm{\δ}}_l{l}^2}{cos\mathrm{\α}}}{{({\mathrm{\δ}}_l^{2}cos\mathrm{\α}+l^2+\frac{2{\mathrm{\δ}}_{l}l}{cos\mathrm{\α}})}^2}$

$k_{eq}=\sqrt{{\left(\frac{F_l}{u_l}\right)}^2-{\left({\mathrm{\ωc}}_{eq}\right)}^2}.$

进一步的，所述(c)种情况下的具体计算方法为：

若U≤u_rlim，则滑移只发生在右边，通过公式反推出右边滑动区域长度δ_r，由公式F_r(δ_r)＝μqδ_r求得F_r，最后求出等效阻尼、等效刚度：

$c_{eq}=\frac{8EA}{3{\mathrm{\π\ω\δ}}_r},k_{eq}=\sqrt{{\left(\frac{F_r}{u_r}\right)}^2-{\left({\mathrm{\ωc}}_{eq}\right)}^2}.$

进一步的，所述步骤(7)中通过公式ΔS＝(S-S₁)/S求得相对共振幅值，直接从数值上判断减振效果。

进一步的，所述步骤(7)中所述的误差范围为不超过10^-6。依据：叶尖处有阻尼和无阻尼情况下振幅值的数量级一般都是10^-4，为了保证所得有阻尼振幅值的准确度，节约计算空间和时间，将迭代的前后两次计算差值设为10^-6。

有益效果：本发明提供的涡轮叶片减振分析优化方法的有益效果表现在：

(1)干摩擦界面模型的改进：在原有的平板式阻尼器整体—局部统一滑动模型的基础上推导出新的的屋顶型阻尼片干摩擦界面模型。

(2)本发明设计的阻尼器相对于平板式阻尼器来说减振效果更好。

(3)本发明对干摩擦阻尼器的设计具有一定的工程指导意义，例如屋顶角度、阻尼片厚度、阻尼片材料等。

附图说明

图1为屋顶型阻尼器的实体模型示意图；

图2为屋顶型阻尼器摩擦表面的局部滑动模型示意图；

图3为叶片有限元简化模型示意图；

图4为屋顶型阻尼片振动响应计算程序流程图；

图5为对带屋顶型阻尼器叶片组进行振动分析的实验系统图；

图6为激振力为5N时，不同厚度下相对共振幅值随正压力变化的仿真计算结果；

图7为激振力为5N时，不同厚度下相对共振幅值随正压力变化的试验结果；

图8为激振力为10N时，不同厚度下相对共振幅值随正压力变化的仿真计算结果；

图9为激振力为10N时，不同厚度下相对共振幅值随正压力变化的试验结果；

图10为激振力为20N时，不同厚度下相对共振幅值随正压力变化的仿真计算结果；

图11为激振力为20N时，不同厚度下相对共振幅值随正压力变化的试验结果。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作更进一步的说明。

如图1所示为一种屋顶型阻尼器的实体模型示意图，图2为屋顶型阻尼器摩擦表面的局部滑动模型，屋顶型阻尼片分为Right段和Left段(以下简称R段和L段)，R段和L段有一个β夹角，在力F的作用下与接触面产生相对滑动，阻尼片承受法向线载荷，密度为q。图3为叶片有限元简化模型示意图。

一种涡轮叶片的减振分析优化方法，如图4所示的屋顶型阻尼片振动响应计算程序流程图。首先是振动响应计算程序读入已知参数：屋顶阻尼片的角度、厚度、泊松比、外激励幅值、作用在接触面上正压力的载荷系数、频率上下限。计算局部滑动状态下的最大阻尼力和最大位移。从外激励频率下限开始，在每一个确定频率下，调用ANSYS软件，由APDL语言生成有限元模型。对模型进行谐响应振动分析，计算无阻尼时系统的振动响应。调用频域分析模式下计算刚度阻尼子程序，计算等效刚度和等效阻尼。调用ANSYS软件计算有阻尼时系统的振动响应，得到叶尖处振幅值大小，比较前后两次振幅是否小于给定误差，如果大于误差，就重新进行振动响应分析，直到两次振幅小于给定误差，保存对应频率下的振幅。重复上述过程，计算下一个激振频率下的振幅，直到频率上限下的激振频率。

实施例

涡轮叶片减振分析优化方法，具体步骤如下：

(1)阻尼片实体模型如图1所示，确定屋顶型阻尼器的形状数据如：阻尼片宽度为25mm，角度10度，厚度为3mm，长度为50mm，弹性模量为2×10¹¹N/m²×10¹¹N/m²。摩擦系数0.3，给定叶片所受激励的幅值，确定阻尼器与叶片之间的接触正压力载荷系数4000N/m；

(2)在ANSYSY中建立叶片有限元模型如图2所示，对叶片进行模态分析，得到一阶固有频率为168Hz，确定振动分析过程中激振频率的上限160Hz、下限为210Hz；

(3)计算阻尼片滑移区域扩充到整个右侧时的最大阻尼力F_rlim＝μql＝30N和阻尼片最大位移：u_rlim＝μql²/2EA，计算阻尼片滑移区域由右侧扩充到左侧直至整个阻尼片时的最大阻尼力：F_llim＝μql(1+1/cosα)，和阻尼片的最大位移：u_llim＝μql²(cosα+1+1/cosα)/2EA；

(4)激振频率为160Hz、激振力为10N、正压力为25N时，计算无阻尼时的振动响应，获得无阻尼时叶尖处的振幅值为S＝0.000696783314m和与阻尼片接触位置的位移U＝-0.000013288+0.00000087i；

(5)将得到的位移U与u_rlim,u_llim进行对比，判断阻尼片滑动区域扩展到哪一部分，具体如下：

(a)若U≤u_rlim，则滑移只发生在右边，通过公式反推出右边滑动区域长度δ_r，由公式F_r(δ_r)＝μqδ_r求得F_r，最后求出等效阻尼、等效刚度：

$c_{eq}=\frac{8EA}{3{\mathrm{\π\ω\δ}}_r},k_{eq}=\sqrt{{\left(\frac{F_r}{u_r}\right)}^2-{\left({\mathrm{\ωc}}_{eq}\right)}^2}$

(b)若u_rlim≤U≤u_llim，则滑移从右边扩展到左边，通过公式

$U=u_l\left({\mathrm{\δ}}_l\right)=\frac{\mathrm{\μ}q}{2EA}({\mathrm{\δ}}_l^2\·cos\mathrm{\α}+l^2+\frac{2{\mathrm{\δ}}_l\·l}{cos\mathrm{\α}})$

反推出左边滑动区域长度δ_l，由公式求得F_l，最后求出等效阻尼、等效刚度：

$c_{eq}=\frac{8EA}{3\mathrm{\π}\mathrm{\ω}}\·\frac{l^3+{{\mathrm{\δ}}_{al}}^3+3{\mathrm{\δ}}_l^{2}cos\mathrm{\α}l+\frac{2{\mathrm{\δ}}_l{l}^2}{cos\mathrm{\α}}}{{({\mathrm{\δ}}_l^2\cos \mathrm{\α}+l^2+\frac{2{\mathrm{\δ}}_{l}l}{cos\mathrm{\α}})}^2}$

$k_{eq}=\sqrt{{\left(\frac{F_l}{u_l}\right)}^2-{\left({\mathrm{\ωc}}_{eq}\right)}^2}$

(c)若U≥u_llim，则发生了整体滑移，计算等效阻尼、等效刚度：

$W\left(U\right)=\frac{2{\mathrm{\μ}}^2{q}^2{l}^3}{EA}(\frac{2}{3}+cos\mathrm{\α}+\frac{1}{\cos \mathrm{\α}})+4\mathrm{\μ}N(U-u_a)$

$c_{eq}=\frac{W\left(U\right)}{{\mathrm{\π\ωU}}^2}$

$K_{eq}=\frac{K_d}{\mathrm{\π}}(\mathrm{\β}-\frac{1}{2}sin2\mathrm{\β})$

其中：

$\begin{array}{cc}\mathrm{\β}={\cos }^{-1}\left(\frac{U-2u_a}{U}\right)& K_d=\sqrt{{\left(\frac{F_{l\lim }}{u_{l\lim }}\right)}^2-{\left({\mathrm{\ωc}}_{eq}\right)}^2}\end{array}$

(6)在原有的叶片有限元模型中添MATRIX27刚度和阻尼单元，其中刚度值和阻尼值代入(5)中计算得到的值，计算有阻尼时叶片的振动响应，获得叶尖处的振幅值S₁和与阻尼片接触位置的位移U₁；

(7)将新得到的位移重复步骤(5)、(6)，直到上一次的振幅与下一次振幅的差值达到误差范围内，最后一次求得的有阻尼振幅S₁即为该频率下的叶尖处的振幅值；在激振频率为160Hz时，计算循环迭代了19次，最后一次求得振幅为0.000666410802m；

(8)重复步骤(4)-(6)计算下一个激振频率下的无阻尼振幅值S和有阻尼振幅值S₁，一直将此循环计算到激振频率为210Hz。

为了探索屋顶型阻尼片的减振特性，验证新的干摩擦理论模型的正确性，验证改进的叶片减振分析方法的可靠性，辅以实验研究。针对三种厚度2mm、3mm、4mm的屋顶型阻尼片及能够与之相配平板式叶片，搭建了如图5所示的实验系统。

现将实验结果与仿真结果进行比较

1)激振力为5N时，相对共振幅值随正压力变化的仿真计算结果和试验结果如图6、图7、表1。

表1 激振力为5N时，不同厚度下的相对共振幅值表

2)激振力为10N时，相对共振幅值随正压力变化的仿真计算结果和试验结果如图8、图9、表2。

表2 激振力为10N时，不同厚度下的相对共振幅值表

3)激振力为20N时，相对共振幅值随正压力变化的仿真计算结果和试验结果如图10、图11、表3。

表3 激振力为20N时，不同厚度下的相对共振幅值表

对上述多组图表进行分析，可以得到如下结论：

(1)不同厚度时的仿真结果与试验结果趋势相同，通过仿真计算得到的结果在相同激振力和相同正压力时相差较小，但是这种微小差异的变化规律与试验结果相同。存在差异的原因是因为模型计算采用的正压力是均匀线性载荷，而试验采用的是集中拉力，同时，模型计算未考虑激振力沿阻尼片法向的分力。由于理论建模的假设导致结果出现差异，但可以通过趋势性规律来揭示屋顶型阻尼片的一般性规律。

(2)尽管理论模型存在理想化假设，但是趋势性规律与试验结果基本一致，证明了屋顶型阻尼片一维整体-局部统一滑动模型干摩擦理论的正确性。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (9)

1.一种涡轮叶片减振分析优化方法，其特征在于：具体步骤如下：

(1)确定阻尼器的形状数据，给定叶片所受激励的幅值，确定所述阻尼器与叶片之间的接触正压力载荷系数q；

(2)对叶片进行模态分析，得到一阶固有频率，确定振动分析过程中激振频率的上下限ω₁、ω₂；

(3)计算阻尼片滑移区域扩充到整个右侧时的最大阻尼力F_rlim和阻尼片最大位移u_rlim，计算阻尼片滑移区域由右侧扩充到左侧直至整个阻尼片时的最大阻尼F_llim和阻尼片最大位移u_llim；激振频率设置从下限ω₂开始，在每一个确定频率下进行以下步骤；

(4)在ANSYSY中建立叶片有限元模型计算无阻尼时的振动响应，获得无阻尼时叶尖处的振幅值S和与阻尼片接触位置的位移U；

(5)将得到的位移U与所述u_rlim,u_llim进行对比，判断阻尼片滑动区域扩展到哪一部分，调用频域分析模式下计算刚度阻尼的子程序，计算对应的等效阻尼c_eq、等效刚度k_eq；

(6)在原有的叶片有限元模型中添加MATRIX27刚度和阻尼单元，其中刚度值和阻尼值取(5)中计算得到的等效阻尼c_eq、等效刚度k_eq，计算有阻尼时叶片的振动响应，获得叶尖处的振幅值S₁和与阻尼片接触位置的位移U₁；

(7)将新得到的位移重复步骤(5)、(6)，直到上一次的振幅与下一次振幅的差值达到误差范围内，最后一次求得的有阻尼振幅S₁即为该频率下的叶尖处的振幅值，得到相对共振幅值，判断减振效果；

(8)重复步骤(4)～(6)，计算下一个激振频率下的无阻尼振幅值S和有阻尼振幅值S₁；直到达到激振频率的上限值ω₁；

所述阻尼器的形状为屋顶型阻尼器。

2.根据权利要求1所述的涡轮叶片减振分析优化方法，其特征在于：所述步骤(1)中阻尼器的形状数据包括：阻尼片宽度l，角度α，摩擦系数μ，横截面面积A，弹性模量E。

3.根据权利要求1所述的涡轮叶片减振分析优化方法，其特征在于：所述步骤(3)中的具体计算方法为：计算阻尼片滑移区域扩充到整个右侧时的最大阻尼力为F_rlim＝μql和阻尼片最大位移u_rlim＝μql²/2EA，计算阻尼片滑移区域由右侧扩充到左侧直至整个阻尼片时的最大阻尼力F_llim＝μql(1+1/cosα)和阻尼片最大位移u_llim＝μql²(cosα+1+1/cosα)/2EA。

4.根据权利要求1所述的涡轮叶片减振分析优化方法，其特征在于：所述步骤(5)中将得到的位移U与所述u_rlim,u_llim进行对比，判断阻尼片滑动区域扩展到哪一部分，计算对应的等效阻尼c_eq＝(ω,U)、等效刚度K_eq＝(ω,U)，具体的判断方法为：

(a)若U≥u_llim，则发生了整体滑移；

(b)若u_rlim≤U≤u_llim，则滑移从右边扩展到左边；

(c)若U≤u_rlim，则滑移只发生在右边。

5.根据权利要求4所述的涡轮叶片减振分析优化方法，其特征在于：所述(a)种情况下的具体计算方法为：

若U≥u_llim，则发生了整体滑移，通过以下公式计算相应的等效阻尼c_eq＝(ω,U)、等效刚度K_eq＝(ω,U)：

$W\left(U\right)=\frac{2{\mathrm{\μ}}^2{q}^2{l}^3}{EA}(\frac{2}{3}+cos\mathrm{\α}+\frac{1}{\cos \mathrm{\α}})+4\mathrm{\μ}N(U-u_a)$

$\begin{array}{cc}{c}_{eq}=\frac{W\left(U\right)}{{\mathrm{\π\ωU}}^2}& K_{eq}=\frac{K_d}{\mathrm{\π}}(\mathrm{\β}-\frac{1}{2}sin2\mathrm{\β})\end{array}$

其中：W(U)为阻尼功，u_a为阻尼块发生整体滑动时的临界位移，且u_a＝u_llim；

$\mathrm{\β}={\cos }^{-1}\left(\frac{U-2u_a}{U}\right),$

为发生整体滑动时的临界刚度，

为发生整体滑动时的临界阻尼。

6.根据权利要求4所述的涡轮叶片减振分析优化方法，其特征在于：所述(b)种情况下的具体计算方法为：

若u_rlim≤U≤u_llim，则滑移从右边扩展到左边，通过以下公式计算相应的等效阻尼c_eq＝(ω,U)、等效刚度K_eq＝(ω,U)：

首先，通过以下公式反推出左边滑动区域的长度δ_l：

$U=u_l\left({\mathrm{\δ}}_l\right)=\frac{\mathrm{\μ}q}{2EA}({\mathrm{\δ}}_l^2\·cos\mathrm{\α}+l^2+\frac{2{\mathrm{\δ}}_l\·l}{cos\mathrm{\α}});$

其次，由公式求得F_l；

最后得到等效阻尼、等效刚度为：

$c_{eq}=\frac{8EA}{3\mathrm{\π}\mathrm{\ω}}\·\frac{l^3+{{\mathrm{\δ}}_l}^3+3{\mathrm{\δ}}_l^{2}cos\mathrm{\α}l+\frac{2{\mathrm{\δ}}_l{l}^2}{cos\mathrm{\α}}}{{({\mathrm{\δ}}_l^{2}cos\mathrm{\α}+l^2+\frac{2{\mathrm{\δ}}_{l}l}{cos\mathrm{\α}})}^2}$

$k_{eq}=\sqrt{{\left(\frac{F_l}{u_l}\right)}^2-{\left({\mathrm{\ωc}}_{eq}\right)}^2}.$

7.根据权利要求4所述的涡轮叶片减振分析优化方法，其特征在于：所述(c)种情况下的具体计算方法为：

若U≤u_rlim，则滑移只发生在右边，通过公式反推出右边滑移区域的长度δ_r，由公式F_r(δ_r)＝μqδ_r求得F_r，最后求出等效阻尼、等效刚度：

$c_{eq}=\frac{8EA}{3{\mathrm{\π\ω\δ}}_r},k_{eq}=\sqrt{{\left(\frac{F_r}{u_r}\right)}^2-{\left({\mathrm{\ωc}}_{eq}\right)}^2}.$

8.根据权利要求1所述的涡轮叶片减振分析优化方法，其特征在于：所述步骤(7)中通过公式ΔS＝(S-S₁)/S求得相对共振幅值，直接从数值上判断减振效果。

9.根据权利要求1所述的涡轮叶片在减振分析优化方法，其特征在于：所述步骤(7)中所述的误差范围为：不超过10^-6。