CN106021641A - 一种基于Hammerstein模型的交叉耦合动力学建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种于Hammerstein模型的压电陶瓷纳米定位平台的交叉耦合动力学建模方法，该方法具体包括下面几个步骤：首先根据Hammerstein模型把交叉耦合系统分解为一个非线性模块N(u_k)和线性模块G(z)，并分别选取一组非线性基和一组有理正交基，然后分别选取一组非线性基和一组线性的有理正交基就可以得出交叉耦合系统的耦合输入与耦合输出的关系，最后对关系式进行等价变形，提取出系数矩阵并变形得到块矩阵并进行SVD奇异值分解并基于最小二乘法则即可分离出非线性基的系数矩阵和线性基的系数矩阵。按照本发明实现的建模方法，能够准确地描述压电陶瓷纳米定位平台交叉耦合系统的动力学特性，为提高压电陶瓷纳米定位平台的精度提高提供准确的模型支撑。

Description

一种基于Hammerstein模型的交叉耦合动力学建模方法

技术领域

本发明属于精密制造技术领域，更具体地，涉及一种压电陶瓷纳米定位平台双轴同时运动时交叉耦合动力学建模方法。

背景技术

随着纳米技术在精密制造技术中的快速发展，精密定位技术中的纳米运动的精度要求也越来越高，传统的定位方式已经无法满足要求。由此针对传统的定位方式而设计的具有高带宽，大驱动力，短响应时间，高分辨度的压电陶瓷纳米定位平台在精密定位技术以及柔性制造中得到了广泛的运用。但作为一种极性材料的压电陶瓷具有蠕变，迟滞，等非线性特性，特别地，压电陶瓷纳米定位平台双轴同时运动时，两轴之间的运动会相互影响，我们称作双轴间的交叉耦合，这种现象会对压电陶瓷纳米定位平台的定位精度产生极大的影响，也就是说，当其中一轴运动时，另一轴的运动会对运动轴的运动产生干扰，在运动轴原有的运动轨迹上产生扰动，从而产生定位误差影响了定位精度。应对这种情况，现有技术中提出了很多控制策略，例如模型预测控制，前馈控制等，但是，这些控制策略都是要基于系统模型才能展开设计，因此如何对交叉耦合动力学模型进行建模从而进一步抑制交叉耦合以提高压电陶瓷纳米定位平台的运动精度，是当前研究的一大难题。

发明内容

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种，其目的在于提供一种，由此解决使用的技术问题。

为实现上述目的，按照本发明的一个方面，提供了一种基于Hammerstein模型的交叉耦合动力学建模方法，包括如下步骤：

(1)根据Hammerstein模型把所述交叉耦合系统分解为一个串联叠加的非线性模块N(u_k)和线性模块G(z)；

(2)通过一组非线性基和一组线性的有理正交基获得所述交叉耦合系统的耦合输入与耦合输出的关系；

(3)获得所述非线性基和所述线性基的系数矩阵由此实现建模。

进一步地，所述Hammerstein模型结构为：其中N(u_k)为非线性模块的结构，u_k为交叉耦合系统的耦合输入信号，G(z)为线性时不变模块的结构，v_k为噪声信号，y_k为耦合输出信号。

进一步地，所述交叉耦合系统的输入输出关系为：

y_k＝G(q)N(u_k)+v_k，其中，f_i(u_k)∈Rⁿ(i＝1,2…,n)是非线性模块N(u_k)的一组n维非线性基，a_i∈R^n×1(i＝1,2,…,n)是其系数矩阵的未知参数，g_j(q)(j＝1,2,…m)是线性时不变模块G(z)的一组线性有理正交基，b_j∈R^m×1(j＝1,2,…,m)是其系数矩阵的未知参数；

令θ＝[b₁a₁,…,b₁a_n,…,b_ma₁,…,b_ma_n]^T，

φ_k＝[g₁(q)f₁(u_k),…,g₁(q)f_n(u_k),…,g_m(q)f₁(u_k),…,g_m(q)f₁(u_k)]^T，

将所述输入输出关系表达为：y_k＝θ^Tφ_k+v_k。

进一步地，所述获取系数矩阵的过程为：

(3-1)对所述输入输出信号进行采样值代入，获得：Y_N＝Φ_N ^Tθ+V_N，其中，Y_N＝[y₁,y₂,…,y_N]^T，Φ_N＝[φ₁,φ₂,…,φ_N]，V_N＝[v₁,v₂,…,v_N]^T，N为采样点数值；

(3-2)定义估计误差其中是系数矩阵估计值，根据最小二乘准则，满足估计误差ε_N最小，此时由此求出系数矩阵估计值

(3-3)将非线性模块的基和线性时不变模块的基代入并对交叉耦合系统的输入输出关系进行展开以得出，将系数矩阵估计值

$\widehat{\mathrm{\θ}}={\[{\hat{b}}_1{\hat{a}}_1,...,{\hat{b}}_1{\hat{a}}_n,...,{\hat{b}}_m{\hat{a}}_1,...,{\hat{b}}_m{\hat{a}}_n\]}^T$

提出并进行结构变形成为系数块矩阵，估计值

(3-4)对所述系数矩阵块矩阵估计值进行奇异值分解(SVD)可以得出按照最小二乘法则：

其中U₁∈R^n×1,V₁∈R^m×1，从而可以求出非线性模块的系数矩阵估计值和线性模块的系数矩阵估计值分别为

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，能够取得下列有益效果：

(1)准确地把握压电陶瓷纳米定位平台的交叉耦合动力学特性，将其分解为一个线性模块和一个非线性模块；

(2)描述了压电陶瓷纳米定位平台交叉耦合的现象，并对交叉耦合系统进行了动力学模型的建立。

附图说明

图1为交叉耦合系统实验平台示意图；

图2为Hammerstein模型结构框图；

图3为实验过程中的SIMULINK图形程序；

图4为交叉耦合系统实际输出与模型输出的拟合效果；

图5为交叉耦合系统实际输出与模型输出的误差曲线；

图中各标号的含义如下：

1.Dspace控制器；2.显示屏；3.工控机；4.压电陶瓷纳米定位平台；5.驱动器；6.模数转化接口ADC；7.数模转换接口DAC。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

本发明首先提供了一种采集交叉耦合系统的耦合输入信号和耦合输出信号的实验平台，其包括Dspace控制器1、显示器2、工控机3、，压电陶瓷纳米定位平台4，驱动器5，模数转化接口ADC6，数模转换接口DAC7。其中：显示器2和工控机3作为上位机与Dspace控制器1相连；Dspace控制器1连接模数转化接口ADC6与数模转换接口DAC7，通过模数转化接口ADC6输出耦合输入信号u_k；压电陶瓷驱动器5用于驱动压电陶瓷纳米定位平台4；压电陶瓷纳米定位平台4根据接收到的激励信号u_k发生运动，并反馈耦合输出信号y_k，通过数模转换接口DAC7接收耦合输出信号y_k至Dspace控制器1。

上述Dspace控制器1中的信号采集以及激励信号产生是基于Matlab/Dspace的开发环境，在Matlab的Simulink模块中搭建如图3所示的实验的图形程序，图中所示SignalGenerator模块合a模块用于发生激励信号，控制其中一轴的运动；图中所示的kaiguan模块和Product模块起开关的作用，用于控制实验进行，并能在实验出错时及时停止，保护实验装置；图中所示的Saturatio模块是饱和模块，它可以限制激励信号的最大值和最小值，以此来确保实验平台不会因为激励信号的突变遭到不可逆的损坏；图中所示的a1模块用于微调单轴的振动位置；图中所示的Gain模块和Xout模块是增益模块，因为Dspace控制器对输入信号会放大10倍，对输出信号则会缩小10倍，所以图示的增益模块可以对这种特性进行合理换算。图中所示DS1103DAC_C1模块，输出耦合输入信号u_k；图中所示DS1103ADC_C18模块，接收耦合输出信号y_k；图中所示的Scope1模块，是观测器，起到观测输出信号的作用，当然，上述的系统是为了对信号产生采集，以及输入输出等进行说明，具体的建模过程是基于上述对输入输出信号的采集之后进行处理的过程。

其中压电陶瓷驱动器5有两个作用，如图1所示：一是接收来自Dspace控制器1通过接口板上的数模转换接口DAC7输出的耦合输入信号u_k，并将电压信号转变为驱动压电陶瓷纳米定位平台4的驱动信号；二是接收从压电陶瓷纳米定位平台4电容传感器反馈回的电压信号，并将电信号通过接口板上的模数转换接口ADC6将耦合输出信号y_k输入给Dspace控制器1，完成数据的采集。

其中压电陶瓷纳米定位平台4为P-561多轴平移台，其运动平台双轴采取的是整体设计，因此当单轴方向产生形变时，会在另外一轴的方向也产生微小形变，然而这种微小形变是会造成运动误差，不可忽略的，进一步说就是，当双轴同时运动时，两轴之间会相互干扰，从而产生了交叉耦合现象。当然，本实施例是举出了一种具体应用于压电陶瓷纳米定位平台的交叉耦合动力学的建模，具体来说，本方法适合应用于具有滞环特性的非线性系统，并不仅仅限定为压电陶瓷纳米定位平台，在此不再赘述。

压电陶瓷纳米定位平台同时具有蠕变迟滞的非线性环节以及存在谐振频率这种线性环节，因此本发明技术方案产生的思路就是将压电陶瓷纳米定位平台的动力学模型定义成一种将静态非线性环节和动态线性时变环节串联起来的结构，按照本发明实现的建模步骤具体如下：

本发明所涉及的Hammerstein模型结构为：其中N(u_k)为非线性模块的结构，u_k为交叉耦合系统的耦合输入信号，G(z)为线性时不变模块的结构，v_k为噪声信号，y_k为耦合输出信号，压电陶瓷纳米定位平台的Hammerstein多变量结构如图2所示，为一非线性模块和一线性时不变模块的集成，基于此来进行交叉耦合动力学的建模。

本发明涉及一种基于Hammerstein模型的压电陶瓷纳米定位平台的交叉耦合动力学建模方法，包括如下步骤：

(1)耦合输入信号u_k(Y轴输出)经过非线性模块N(u_k)过滤后，再经过线性时不变模块G(z)并与噪声信号v_k叠加后得到耦合输出信号y_k(X轴输出)，故交叉耦合系统的输入输出关系可表示为：y_k＝G(q)N(u_k)+v_k；

接下来对G(q)和N(u_k)进行定义。

(2)因为交叉耦合系统是一个SISO(单输入单输出)系统，所以非线性模块其中，f_i(u_k)∈Rⁿ(i＝1,2…,n)是一组n维非线性基，a_i∈R^n×1(i＝1,2,…,n)是非线性模块系数矩阵的未知参数。对于线性模块其中，g_j(q)(j＝1,2,…m)是一组有理正交基，b_j∈R^m×1(j＝1,2,…,m)是线性时不变模块系数矩阵的未知参数；

(3)根据步骤(1)所示的输入输出关系，代入第(2)步中的N(u_k)与G(q)，可以得到交叉耦合系统耦合输入与耦合输出方程如下：

$y_k=\left(\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}{b}_j{g}_j\right(q\left)\right)\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{a}_i{f}_i\right(u_k\left)\right)+v_k=\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{b}_j{a}_i{g}_j\left(q\right)f_i\left(u_k\right)+v_k$

(4)将其进行简化，令θ＝[b₁a₁,…,b₁a_n,…,b_ma₁,…,b_ma_n]^Tφ_k＝[g₁(q)f₁(u_k),…,g₁(q)f_n(u_k),…,g_m(q)f₁(u_k),…,g_m(q)f₁(u_k)]^T，则将步骤(3)中的方程表达为耦合输出y_k＝θ^Tφ_k+v_k；

(5)对于全部的输入输出信号进行采样，获得采样点有耦合输出序列Y_N＝[y₁,y₂,…,y_N]^T以及Φ_N＝[φ₁,φ₂,…,φ_N]，噪声信号序列V_N＝[v₁,v₂,…,v_N]^T，所以有耦合输出序列Y_N＝Φ_N ^Tθ+V_N；

(6)定义估计误差其中是系数矩阵估计值，根据最小二乘准则，满足估计误差ε_N最小，此时由此求出系数矩阵估计值其中N为采样点数，由于代表输入输出的采样值都是已知的，由此可由上述采样值求出；

(7)根据步骤(5)中的定义，非线性模块的系数矩阵估计值

线性模块的系数矩阵估计值所以有

对进行整理，使其变成系数矩阵估计值块矩阵可以得出

(8)从系数矩阵估计值块矩阵中分离出非线性模块的系数矩阵估计值和线性模块的系数矩阵估计值对系数矩阵估计值块矩阵进行奇异值分解(SVD)可以得出 已知，对其进行奇异值分解之后的矩阵也已知，进一步，按照最小二乘法则：

$<\begin{array}{cc}\hat{a}& \hat{b}\end{array}>=\underset{a,b}{\arg \min }\left\{\right||{\widehat{\mathrm{\&Theta;}}}_{ab}-{\mathrm{ab}}^T|{|}_2^2\}=<U_1,V_1{\mathrm{\&Sigma;}}_1>$

，其中U₁∈R^n×1,V₁∈R^m×1，从而可以求出非线性模块的系数矩阵估计值和线性模块的系数矩阵估计值分别获得：

如图4所示，其中横轴表示采样点，纵轴表示单轴在有耦合输入情况下的耦合输出，其中带有噪声信号的周期信号是采集的双轴交叉耦合系统的实际输出，圆滑的拟合周期信号是通过本专利提出的方法所辨识出的模型输出曲线，可以看出，拟合曲线很好的拟合了真实输出，为了更明显的看出效果，在图5中给出了模型输出与实际输出的误差可以很明显的看出在每一个采样点的位置，误差都被控制到了接近0的范围。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种基于Hammerstein模型的交叉耦合动力学建模方法，包括如下步骤：

(1)根据Hammerstein模型把所述交叉耦合系统分解为一个串联叠加的非线性模块N(u_k)和线性模块G(z)；

(2)通过一组非线性基和一组线性的有理正交基获得所述交叉耦合系统的耦合输入与耦合输出的关系；

(3)获得所述非线性基和所述线性基的系数矩阵由此实现建模。

2.如权利要求1所述的交叉耦合动力学建模方法，其特征在于，所述Hammerstein模型结构为：其中N(u_k)为非线性模块的结构，u_k为交叉耦合系统的耦合输入信号，G(z)为线性时不变模块的结构，v_k为噪声信号，y_k为耦合输出信号。

3.如权利要求2所述的交叉耦合动力学建模方法，其特征在于，所述交叉耦合系统的输入输出关系为：

y_k＝G(q)N(u_k)+v_k，其中，f_i(u_k)∈Rⁿ(i＝1,2…,n)是非线性模块N(u_k)的一组n维非线性基，a_i∈R^n×1(i＝1,2,…,n)是其系数矩阵的未知参数，g_j(q)(j＝1,2,…m)是线性时不变模块G(z)的一组线性有理正交基，b_j∈R^m×1(j＝1,2,…,m)是其系数矩阵的未知参数；

令θ＝[b₁a₁,…,b₁a_n,…,b_ma₁,…,b_ma_n]^T，

φ_k＝[g₁(q)f₁(u_k),…,g₁(q)f_n(u_k),…,g_m(q)f₁(u_k),…,g_m(q)f₁(u_k)]^T，

将所述输入输出关系表达为：y_k＝θ^Tφ_k+v_k。

4.如权利要求3所述的交叉耦合动力学建模方法，其特征在于，所述获取系数矩阵的过程为：

(3-1)对所述输入输出信号进行采样值代入，获得：Y_N＝Φ_N ^Tθ+V_N，其中，Y_N＝[y₁,y₂,…,y_N]^T，Φ_N＝[φ₁,φ₂,…,φ_N]，V_N＝[v₁,v₂,…,v_N]^T，N为采样点数值；

(3-2)定义估计误差其中是系数矩阵估计值，根据最小二乘准则，满足估计误差ε_N最小，此时由此求出系数矩阵估计值

(3-3)将非线性模块的基和线性时不变模块的基代入并对交叉耦合系统的输入输出关系进行展开以得出，将系数矩阵估计值

提出并进行结构变形成为系数块矩阵，估计值

(3-4)对所述系数矩阵块矩阵估计值进行奇异值分解(SVD)

可以得出按照最小二乘法则：

其中U₁∈R^n×1,V₁∈R^m×1，从而可以求出非线性模块的系数矩阵估计值和线性模块的系数矩阵估计值分别为