CN106018552A - 一种用于平板减薄缺陷定量化检测的无参考sh导波方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种用于平板减薄缺陷定量化检测的无参考SH导波方法，利用无参考SH导波对平板进行缺陷重构，并给出缺陷具体位置以及形状，该方法包括：对总场进行模态分离，求解出所需SH导波模态的反射系数：求解无缺陷平板中格林函数，并给出远场的近似解：求解边界积分方程无参考的重构出平板中缺陷形状。本发明涉及定量化检测技术，本发明不需要事先参考缺陷大概位置，从理论出发直接推导出缺陷表达式，达到一次性检测整个构件，为超声导波定量化检测提供高效、精确的方案，在工程中有着重要应用价值，可一次性检测整个结构；可不去除涂装和绝缘层进行检测；无需复杂的旋转和走行装置；对缺陷有较高的敏感度和精度；低耗能和经济性。

Description

一种用于平板减薄缺陷定量化检测的无参考SH导波方法

技术领域

本发明属于无损检测技术领域，尤其涉及一种用于平板减薄缺陷定量化检测的无参考SH导波方法。

背景技术

随着科学技术发展，在机械、建筑和航天航空业中对缺陷检测和评估要求越来越高，不再仅仅满足于缺陷位置和模糊形状的检测，而需要定量的给出缺陷准确位置和具体形状。

工业中的常规无损检测与评估方法包括磁粉检测、射线检测、涡流检测、超声波检测等，其中超声波无损检测是一种应用广泛的检测方法。由于超声波频率高、波长短，可与结构中的微小特征——如缺陷、裂纹、脱层等——相互作用。然而，传统的超声波检测技术多是利用布置在结构表面的超声换能器收发体波，对材料内部或与接触面相邻的近表面进行缺陷检测，覆盖范围极为有限。对于大型构件，往往需要完整的栅格扫描来获得全面的信息，费时费力。且对于一些无法到达的区域一般无法实现检测。

发明内容

本发明的目的在于提供一种用于平板减薄缺陷定量化检测的无参考SH导波方法，旨在解决目前对缺陷检测和评估中不能定量的给出缺陷准确位置和具体形状的问题。

本发明是这样实现的，一种用于平板减薄缺陷定量化检测的无参考SH导波方法，利用无参考SH导波对平板进行缺陷重构，并给出缺陷具体位置以及形状，该方法包括以下步骤：

对总场进行模态分离，求解出所需SH导波模态的反射系数：利用弹性波不同模态之间的正交性，对总场进行模态分离，求解出所需SH导波模态的反射波位移的幅值，将反射波幅值比入射波幅值得到反射系数；

求解无缺陷平板中格林函数，并给出远场的近似解：结合平板上下边界牵引力自由边界条件和波动方程，求解无缺陷平板中格林函数，并给出格林函数远场的近似解；

求解边界积分方程无参考的重构出平板中缺陷形状，由动力学互易定理和格林函数远场的近似解，结合提取的反射系数，重构出边界积分方程，再根据高斯定理求解出缺陷表达式。

进一步，所述对总场进行模态分离，求解出所需SH导波模态的反射系数方法为：

首先求解出无缺陷平板中SH导波的位移表达式，质点的位移u沿反平面方向(x₃)，建立波动方程结合平板上下界面牵引力自由的边界条件，解出平板中SH导波位移表达式：其中 是传播方向的波数，b为半板厚，ω为圆频率，其中μ为剪切模量，ρ为材料密度，n＝0，2，4...为对称模态，n＝1，3，5...为反对称模态，省略了时间的简谐项e^iωt；

其次，根据导波不同模态具有正交性，取平板中SH导波的两种模态，分别记为和可以得，

$({\mathrm{\ξ}}_j^{*}-{\mathrm{\ξ}}_i){\∫}_{-b}^{+b}({\tilde{u}}_i{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_j^{*}-{\tilde{u}}_j^{*}{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_i){\mathrm{dx}}_2=0,$

其中“*”是共轭符号，检测缺陷时，传感器接受的是总场信息

$({\tilde{u}}^{tot}={\Σ}_i{A}_i{\tilde{u}}_i,{\widetilde{\mathrm{\τ}}}^{tot}={\Σ}_i{A}_i{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_i),$

对包含各种模态难以直接利用的要依据模态正交性提取所需模态的幅值(A_i)，结合上述公式

$A_i=\frac{{\∫}_{-b}^{+b}({\tilde{u}}^{tot}{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_i^{*}-{\tilde{u}}_i^{*}{\widetilde{\mathrm{\τ}}}^{tot}){\mathrm{dx}}_2}{{\∫}_{-b}^{+b}({\tilde{u}}_i{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_i^{*}-{\tilde{u}}_i^{*}{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_i){\mathrm{dx}}_2},$

A_i就是所需模态的幅值；

最后定义反射系数，按照平板中SH导波位移表达式形式：

波沿x₁负轴方向传播，则入射波位移表达式：

${\tilde{u}}^{inc}=A_n^{inc}{f}_n\left({\mathrm{\β}}_n{x}_2\right)e^{{\mathrm{i\ξ}}_n{x}_1},$

反射波位移表达式：

${\tilde{u}}^{ref}=A_n^{ref}{f}_n\left({\mathrm{\β}}_n{x}_2\right)e^{-{\mathrm{i\ξ}}_n{x}_1},$

记反射系数为

$C^{ref}=A_n^{ref}/A_n^{inc}$

是一个关于频率的函数。

进一步，定义反射系数方法为：采用模态激发法，用单一模态的SH导波入射含减薄缺陷的平板，结合有限元计算出反射信号，并采用模态正交性计算与入射导波同样模态的反射信号幅值，最后确定相应模态的反射系数C^ref。

进一步，所述求解无缺陷平板中格林函数，并给出远场的近似解方法为：

首先建立格林函数满足的波动方程:

${\▿}^2\tilde{U}(x,X)+k^2\tilde{U}(x,X)=-\mathrm{\δ}(x-X)/\mathrm{\μ},$

和上下边界(x₂＝±b)牵引力自由边界条件：

其中场点x＝(x₁，x₂)，源点X＝(X₁，X₂)，k＝ω/V_S是剪切波波数，

平板中的格林函数分为两部分：一种是波动方程

${\▿}^2\tilde{U}(x,X)+k^2\tilde{U}(x,X)=-\mathrm{\δ}(x-X)/\mathrm{\μ}$

的特解，物理含义是指在外激励(δ(x-X)e^iωt)作用下在全平面上产生的柱波

另一种是由边界条件得到的解，其物理含义是指当柱波遇到上下边界时产生的反射波

求解弹性波的格林函数采用傅里叶变换和留数定理等数学方法，得

$\begin{array}{c}\tilde{U}(x,X)={\tilde{U}}^{inc}(x,X)+{\tilde{U}}^{ref}(x,X)=\frac{1}{4\mathrm{\π}\mathrm{\μ}}{\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}\frac{e^{-R|x_2-X_2|}}{R}{e}^{-i\mathrm{\ξ}(x_1-X_1)}d\mathrm{\ξ}+\\ \frac{1}{4\mathrm{\π}\mathrm{\μ}}{\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}(A^{+}{e}^{-{\mathrm{Rx}}_2}+A^{-}{e}^{{\mathrm{Rx}}_2})e^{-i\mathrm{\ξ}(x_1-X_1)}d\mathrm{\ξ}\end{array},$

其中或A⁺，A^-分别代表下界面和上界面产生反射波的幅值，通过边界条件求出具体表达式；

因为弹性波的格林函数基本解的形式比较复杂，不方便直接用来构建边界积分方程，同时在实际检测中入射波和缺陷作用会生产衰减很快的体波和不衰减的波，而缺陷和传感器的距离一般比较远，所以传感器只接受到不衰减的部分，从而对于远场的格林函数可以采用近似解

进一步，缺陷重构除了要求解正问题中的反射系数，还要知道无缺陷平板中格林函数基本解，无缺陷平板中格林函数是指，在平板内任意位置(简称源点X)作用一个时间简谐的反平面体力(δ(x-X)e^iωt)，在信号接收位置或传感器位置(简称场点x)得到的位移响应当然这里的解是指稳态解。

进一步，所述求解边界积分方程无参考的重构出平板中缺陷形状方法为：

通过动力学互易定理构建出两种状态下牵引力和位移之间的关系：

其中是散射场位移，是总场位移(实际位移)，和就是格林函数在远场近似位移和牵引力，S(X)是缺陷边界，

在总场中缺陷边界(S(X))牵引力自由，即边界积分方程可以化简，

${\tilde{u}}^{sca}\left(x\right)={\∫}_S\[{\tilde{u}}^{tot}\left(X\right)\tilde{T}(x,X)\]dS\left(X\right)={\∫}_S\[{\tilde{u}}^{tot}\left(X\right)\mathrm{\μ}\frac{\∂\tilde{U}(x,X)}{\∂n\left(X\right)}\]dS\left(X\right),$

在超声导波的无损检测中缺陷尺寸相比样件本身很小，散射场相对于入射场很弱，采用波恩近似，将缺陷上的总场近似为入射场

$({\tilde{u}}^{tot}={\tilde{u}}^{inc}),$

积分方程写成：

再应用高斯定理将边界积分S(X)转化为整个缺陷上的积分V(X)，

将入射波和反射波的位移表达式代入，

$C^{ref}=\frac{A_n^{ref}}{A_n^{inc}}=\frac{i}{2b}{\∫}_V\frac{{\mathrm{\ξ}}_n^2+k^2\cos \left(2{\mathrm{\β}}_n{X}_2\right)}{{\mathrm{\ξ}}_n}{e}^{2{\mathrm{i\ξ}}_n{X}_1}dV\left(X\right),$

对X₂方向(板厚)积分取[-b，-b+d(X₁)]，其中缺陷深度d(X₁)＜＜b，X₁方向只需要取[x_1L，x_1R]，缺陷位置只在这个范围内，其它位置的d(X₁)≡0，X₁方向即导波传播方向；

最后得到

并进行傅里叶逆变换就可以求出d(X₁)表达式。

本发明涉及定量化检测技术，不需要事先参考缺陷大概位置，从理论出发直接推导出缺陷表达式，达到一次性检测整个构件的目的，可以通过数值仿真进一步验证。

进一步，利用上述推导出的分别对“V”字形缺陷、半正弦缺陷以及双半椭圆缺陷进行重构。将一段已测得反射信号C^ref(对应不同缺陷结构会有不同的数值，具体如何测得已在上述过程中详细给出)代入方程求出d(X₁)，将d(X₁)绘制成图像(横坐标X₁代表薄板的表面，纵坐标d(X₁)表示缺陷数值)。通过数值仿真对比证明，采用SH导波的零阶对称模态能够重构出精度较高的缺陷形状，并能够给出缺陷最深处的精确位置，同时能重构出含双半椭圆缺陷的薄板结构。参考数值仿真结果，说明本发明能为平板减薄结构的定量化检测提供高效、精确的方案。

本发明的无参考SH导波无损检测评估方法具有以下优点：(1)可一次性检测整个结构；(2)可不去除涂装和绝缘层进行检测；(3)无需复杂的旋转和走行装置；(4)对缺陷有较高的敏感度和精度；(5)低耗能和经济性。

附图说明

图1是本发明实施例提供的用于平板减薄缺陷定量化检测的无参考SH导波方法流程图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

下面结合附图及具体实施例对本发明的应用原理作进一步描述。

一种用于平板减薄缺陷定量化检测的无参考SH导波方法，利用无参考SH导波对平板进行缺陷重构，并给出缺陷具体位置以及形状，该方法包括以下步骤：

S101：对总场进行模态分离，求解出所需SH导波模态的反射系数：利用弹性波不同模态之间的正交性，对总场进行模态分离，求解出所需SH导波模态的反射波位移的幅值，将反射波幅值比入射波幅值得到反射系数；

S102：求解无缺陷平板中格林函数，并给出远场的近似解：结合平板上下边界牵引力自由边界条件和波动方程，求解无缺陷平板中格林函数，并给出格林函数远场的近似解；

S103：求解边界积分方程无参考的重构出平板中缺陷形状，由动力学互易定理和格林函数远场的近似解，结合提取的反射系数，重构出边界积分方程，再根据高斯定理求解出缺陷表达式。

进一步，所述对总场进行模态分离，求解出所需SH导波模态的反射系数方法为：

首先求解出无缺陷平板中SH导波的位移表达式，质点的位移u沿反平面方向(x₃)，建立波动方程结合平板上下界面牵引力自由的边界条件，解出平板中SH导波位移表达式：其中 是传播方向的波数，b为半板厚，ω为圆频率，其中μ为剪切模量，ρ为材料密度，n＝0，2，4...为对称模态，n＝1，3，5...为反对称模态，省略了时间的简谐项e^iωt；

其次，根据导波不同模态具有正交性，取平板中SH导波的两种模态，分别记为和可以得，

$({\mathrm{\ξ}}_j^{*}-{\mathrm{\ξ}}_i){\∫}_{-b}^{+b}({\tilde{u}}_i{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_j^{*}-{\tilde{u}}_j^{*}{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_i){\mathrm{dx}}_2=0,$

其中“*”是共轭符号，检测缺陷时，传感器接受的是总场信息

$({\tilde{u}}^{tot}={\mathrm{\Σ}}_i{A}_i{\tilde{u}}_i,{\widetilde{\mathrm{\τ}}}^{tot}={\mathrm{\Σ}}_i{A}_i{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_i),$

对包含各种模态难以直接利用的要依据模态正交性提取所需模态的幅值(A_i)，结合上述公式

$A_i=\frac{{\∫}_{-b}^{+b}({\tilde{u}}^{tot}{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_i^{*}-{\tilde{u}}_i^{*}{\widetilde{\mathrm{\τ}}}^{tot}){\mathrm{dx}}_2}{{\∫}_{-b}^{+b}({\tilde{u}}_i{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_i^{*}-{\tilde{u}}_i^{*}{\widetilde{\mathrm{\τ}}}_i){\mathrm{dx}}_2},$

A_i就是所需模态的幅值；

最后定义反射系数，按照平板中SH导波位移表达式形式：

波沿x₁负轴方向传播，则入射波位移表达式：

${\tilde{u}}^{inc}=A_n^{inc}{f}_n\left({\mathrm{\β}}_n{x}_2\right)e^{{\mathrm{i\ξ}}_n{x}_1},$

反射波位移表达式：

${\tilde{u}}^{ref}=A_n^{ref}{f}_n\left({\mathrm{\β}}_n{x}_2\right)e^{-{\mathrm{i\ξ}}_n{x}_1},$

记反射系数为

$C^{ref}=A_n^{ref}/A_n^{inc}$

是一个关于频率的函数。

进一步，定义反射系数方法为：采用模态激发法，用单一模态的SH导波入射含减薄缺陷的平板，结合有限元计算出反射信号，并采用模态正交性计算与入射导波同样模态的反射信号幅值，最后确定相应模态的反射系数C^ref。

进一步，所述求解无缺陷平板中格林函数，并给出远场的近似解方法为：

首先建立格林函数满足的波动方程:

${\▿}^2\tilde{U}(x,X)+k^2\tilde{U}(x,X)=-\mathrm{\δ}(x-X)/\mathrm{\μ},$

和上下边界(x₂＝±b)牵引力自由边界条件：

其中场点x＝(x₁，x₂)，源点X＝(X₁，X₂)，k＝ω/V_S是剪切波波数，

平板中的格林函数分为两部分：一种是波动方程

${\▿}^2\tilde{U}(x,X)+k^2\tilde{U}(x,X)=-\mathrm{\δ}(x-X)/\mathrm{\μ}$

的特解，物理含义是指在外激励(δ(x-X)e^iωt)作用下在全平面上产生的柱波

另一种是由边界条件得到的解，其物理含义是指当柱波遇到上下边界时产生的反射波

求解弹性波的格林函数采用傅里叶变换和留数定理等数学方法，得

$\begin{array}{c}\tilde{U}(x,X)={\tilde{U}}^{inc}(x,X)+{\tilde{U}}^{ref}(x,X)=\frac{1}{4\mathrm{\π}\mathrm{\μ}}{\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}\frac{e^{-R|x_2-X_2|}}{R}{e}^{-i\mathrm{\ξ}(x_1-X_1)}d\mathrm{\ξ}+\\ \frac{1}{4\mathrm{\π}\mathrm{\μ}}{\∫}_{-\mathrm{\∞}}^{+\mathrm{\∞}}(A^{+}{e}^{-{\mathrm{Rx}}_2}+A^{-}{e}^{{\mathrm{Rx}}_2})e^{-i\mathrm{\ξ}(x_1-X_1)}d\mathrm{\ξ}\end{array},$

其中或A⁺，A^-分别代表下界面和上界面产生反射波的幅值，通过边界条件求出具体表达式；

因为弹性波的格林函数基本解的形式比较复杂，不方便直接用来构建边界积分方程，同时在实际检测中入射波和缺陷作用会生产衰减很快的体波和不衰减的波，而缺陷和传感器的距离一般比较远，所以传感器只接受到不衰减的部分，从而对于远场的格林函数可以采用近似解

进一步，缺陷重构除了要求解正问题中的反射系数，还要知道无缺陷平板中格林函数基本解，无缺陷平板中格林函数是指，在平板内任意位置(简称源点X)作用一个时间简谐的反平面体力(δ(x-X)e^iωt)，在信号接收位置或传感器位置(简称场点x)得到的位移响应当然这里的解是指稳态解。

进一步，所述求解边界积分方程无参考的重构出平板中缺陷形状方法为：

通过动力学互易定理构建出两种状态下牵引力和位移之间的关系：

其中是散射场位移，是总场位移(实际位移)，和就是格林函数在远场近似位移和牵引力，S(X)是缺陷边界，

在总场中缺陷边界(S(X))牵引力自由，即边界积分方程可以化简，

${\tilde{u}}^{sca}\left(x\right)={\∫}_S\[{\tilde{u}}^{tot}\left(X\right)\tilde{T}(x,X)\]dS\left(X\right)={\∫}_S\[{\tilde{u}}^{tot}\left(X\right)\mathrm{\μ}\frac{\∂\tilde{U}(x,X)}{\∂n\left(X\right)}\]dS\left(X\right),$

在超声导波的无损检测中缺陷尺寸相比样件本身很小，散射场相对于入射场很弱，采用波恩近似，将缺陷上的总场近似为入射场

$({\tilde{u}}^{tot}={\tilde{u}}^{inc}),$

积分方程写成：

再应用高斯定理将边界积分S(X)转化为整个缺陷上的积分V(X)，

将入射波和反射波的位移表达式代入，

$C^{ref}=\frac{A_n^{ref}}{A_n^{inc}}=\frac{i}{2b}{\∫}_V\frac{{\mathrm{\ξ}}_n^2+k^2\cos \left(2{\mathrm{\β}}_n{X}_2\right)}{{\mathrm{\ξ}}_n}{e}^{2{\mathrm{i\ξ}}_n{X}_1}dV\left(X\right),$

对X₂方向(板厚)积分取[-b，-b+d(X₁)]，其中缺陷深度d(X₁)＜＜b，X₁方向只需要取[x_1L，x_1R]，缺陷位置只在这个范围内，其它位置的d(X₁)≡0，X₁方向即导波传播方向；

最后得到

并进行傅里叶逆变换就可以求出d(X₁)表达式。

本发明涉及定量化检测技术，本发明方法不需要事先参考缺陷大概位置，从理论出发直接推导出缺陷表达式，达到一次性检测整个构件的目的，为超声导波定量化检测提供高效、精确的方案，在工程中有着重要应用价值。

本发明的无参考SH导波无损检测评估方法具有以下优点：(1)可一次性检测整个结构；(2)可不去除涂装和绝缘层进行检测；(3)无需复杂的旋转和走行装置；(4)对缺陷有较高的敏感度和精度；(5)低耗能和经济性。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1.一种用于平板减薄缺陷定量化检测的无参考SH导波方法，利用无参考SH导波对平板进行缺陷重构，并给出缺陷具体位置以及形状，其特征在于，该用于平板减薄缺陷定量化检测的无参考SH导波方法包括以下步骤：

对总场进行模态分离，求解出所需SH导波模态的反射系数：利用弹性波不同模态之间的正交性，对总场进行模态分离，求解出所需SH导波模态的反射波位移的幅值，将反射波幅值比入射波幅值得到反射系数；

求解无缺陷平板中格林函数，并给出远场的近似解：结合平板上下边界牵引力自由边界条件和波动方程，求解无缺陷平板中格林函数，并给出格林函数远场的近似解；

求解边界积分方程无参考的重构出平板中缺陷形状：由动力学互易定理和格林函数远场的近似解，结合提取的反射系数，重构出边界积分方程，再根据高斯定理求解出缺陷表达式。

2.如权利要求1所述的用于平板减薄缺陷定量化检测的无参考SH导波方法，其特征在于，所述对总场进行模态分离，求解出所需SH导波模态的反射系数方法为：

首先求解出无缺陷平板中SH导波的位移表达式，质点的位移u沿反平面方向(x₃)，建立波动方程：

结合平板上下界面牵引力自由的边界条件，解出平板中SH导波位移表达式：

其中

是传播方向的波数，b为半板厚，ω为圆频率，其中μ为剪切模量，ρ为材料密度，n＝0，2，4...为对称模态，n＝1，3，5...为反对称模态；

其次，根据导波不同模态具有正交性，取平板中SH导波的两种模态，分别 记为和得：

其中*是共轭符号，检测缺陷时，传感器接受的是总场信息：

对包含各种模态难以直接利用的要依据模态正交性提取所需模态的幅值(A_i)，结合上述公式：

A_i就是所需模态的幅值；

最后定义反射系数，按照平板中SH导波位移表达式形式：

波沿x₁负轴方向传播，则入射波位移表达式：

反射波位移表达式：

记反射系数为：

是一个关于频率的函数。

3.如权利要求2所述的用于平板减薄缺陷定量化检测的无参考SH导波方法，其特征在于，定义反射系数方法为：采用模态激发法，用单一模态的SH导波入射含减薄缺陷的平板，结合有限元计算出反射信号，并采用模态正交性计算与入射导波同样模态的反射信号幅值，最后确定相应模态的反射系数C^ref。

4.如权利要求1所述的用于平板减薄缺陷定量化检测的无参考SH导波方法，其特征在于，求解无缺陷平板中格林函数，并给出远场的近似解方法为：

首先建立格林函数满足的波动方程:

和上下边界(x₂＝±b)牵引力自由边界条件：

其中场点x＝(x₁，x₂)，源点X＝(X₁，X₂)，k＝ω/V_S是剪切波波数，

平板中的格林函数分为两部分：一种是波动方程：

的特解，物理含义是指在外激励(δ(x-X)e^iωt)作用下在全平面上产生的柱波

另一种是由边界条件得到的解，其物理含义是指当柱波遇到上下边界时产生的反射波

求解弹性波的格林函数采用傅里叶变换和留数定理等数学方法，得：

其中或A⁺，A^-分别代表下界面和上界面产生反射波的幅值，通过边界条件求出具体表达式。

5.如权利要求1所述的用于平板减薄缺陷定量化检测的无参考SH导波方法，其特征在于，弹性波的格林函数基本解的形式在实际检测中入射波和缺陷作用生产衰减很快的体波和不衰减的波，缺陷和传感器的距离比较远，传感器只接受到不衰减的部分，对于远场的格林函数采用近似解

6.如权利要求1所述的用于平板减薄缺陷定量化检测的无参考SH导波方法，其特征在于，无缺陷平板中格林函数为：在平板内任意位置作用一个时间简谐的反平面体力，在信号接收位置或传感器位置得到的位移响应反平面体力为δ(x-X)e^iωt。

7.如权利要求1所述的用于平板减薄缺陷定量化检测的无参考SH导波方法，其特征在于，所述求解边界积分方程无参考的重构出平板中缺陷形状方法为：

通过动力学互易定理构建出两种状态下牵引力和位移之间的关系：

其中是散射场位移，是总场位移，和就是格林函数在远场近似位移和牵引力，S(X)是缺陷边界，

在总场中缺陷边界(S(X))牵引力自由，即：

边界积分方程化简：

采用波恩近似，将缺陷上的总场近似为入射场：

积分方程写成：

再应用高斯定理将边界积分S(X)转化为整个缺陷上的积分V(X)，

将入射波和反射波的位移表达式代入：

对X₂方向积分取[-b，-b+d(X₁)]，其中缺陷深度d(X₁)＜＜b，X₁方向只需要取[x_1L，x_1R]，其它位置的d(X₁)≡0，X₁方向即导波传播方向；

最后得到

并进行傅里叶逆变换就求出d(X₁)表达式。