CN105974413B - 多基地外辐射源雷达成像系统的自聚焦方法 - Google Patents

多基地外辐射源雷达成像系统的自聚焦方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种多基地外辐射源雷达成像系统的自聚焦方法，主要解决传统的压缩感知算法不考虑相位误差直接恢复目标场景，造成图像散焦的问题。其实现过程为：1)选取外辐射源信号，构建观测模型；2)将相位误差初始化为0，获取目标回波向量；3)对目标回波向量应用压缩感知算法估算目标反射系数向量，根据相邻两次迭代中估算的目标反射系数向量构建目标场景的重构误差；4)通过目标场景的重构误差的极小化条件，计算相位误差；5)计算相位误差是否满足迭代停止条件，如果满足，迭代停止，得到相位误差；否则，更新目标回波向量后，返回执行3)。本发明提高了成像的分辨率，可用于对多基地外辐射源雷达成像系统进行高分辨率成像。

Description

多基地外辐射源雷达成像系统的自聚焦方法
技术领域
本发明属于雷达技术领域，更进一步涉及一种自聚焦方法，可用于实现多基地外辐射源雷达成像系统的高分辨率成像。
背景技术
外辐射源雷达是指利用直播电视卫星，导航，通信台站，电视，广播等非合作的第三方辐射信号作为发射源的雷达系统，其自身并不发射信号。该类型雷达具有生存能力强，，抗干扰性能好，可探测隐身目标以及探测低空目标等特点。因此，多基地外辐射源雷达系统被广泛应用于目标检测和跟踪。由于兼具成像的功能，多基地外辐射源雷达系统的目标识别能力将被大大提升，并且有效的扩宽了其实际应用性。近年来，越来越多的研究重点旨在提升多基地外辐射源雷达成像系统的性能。
由于外辐射源带宽窄，数目少，且分布不均匀，实际情况下不能利用多个外辐射源对目标成像。针对单个外辐射源，可以通过部署多个接收站的方式来等效合成孔径对目标成像，但是性能并不像传统的SAR/ISAR那么好。此外，外辐射源、接收机和目标的位置的不准确测量，会导致目标回波的相位误差和图像质量的进一步恶化。为了提高多基地外辐射源雷达成像系统的性能，提出了基于压缩感知原理的成像算法。由于目标散射点相对于成像场景是稀疏的，压缩感知算法被拓展到多基地外辐射源雷达系统中以获得高分辨率的图像。然而，由于各种原因，观测模型的误差是不可避免的，例如跟踪系统错误估计了目标轨迹。由于系统测量的不精确性或传播过程中受大气干扰造成的相位误差会污染目标回波，导致成像质量下降。为了补偿这种相位误差，多种文献研究了SAR/ISAR自聚焦问题，提出了自聚焦技术。但由于窄带宽信号成像系统的距离分辨率差，常规的自聚焦技术应用于窄带宽信号成像系统中时图像分辨率低，无法实现高分辨成像。
发明内容
本发明目的是针对上述现有技术的不足，提出一种多基地外辐射源雷达成像系统的自聚焦方法，以提高窄带宽成像系统中的成像分辨率。
为实现上述目的，本发明的技术方案包括如下：
(1)选取频率为680MHz的外辐射源并使其位于x轴正半轴上，再以成像目标的中心为原点，在目标周围均匀分布12个接收站，构建出二维平面上的观测模型；
(2)根据观测模型，获取无相位误差条件下的目标回波信号：
设目标上共P个散射点，其任一散射点p的坐标为xp＝(xp,yp)T，设第a个接收机接收目标回波信号为：其中a＝1,...,A，A＝12，σ(xp)是散射点p的反射系数，s(t)是外辐射源的传输波形，外辐射源信号为单频信号，τa(xp)是从外辐射源到散射点p再返回给第a个接收机的传播延时；
(3)对目标回波信号Ga(t)进行解调和基带处理，得到目标回波向量：G＝Bσ，其中B为字典矩阵，σ为没有被相位误差污染的理想目标反射系数向量；
(4)对目标回波向量应用压缩感知算法，估算目标反射系数向量：
其中为估算的包含相位误差的目标反射系数向量，||σ||0为σ的零范数，s.t.为约束条件符号；
(5)构造相位误差分量表达式：
5a)设观测模型相位误差为φ＝[φ1,1,φ1,2,...,φ1,L,...,φa,l,...,φA,L]T，将包含相位误差的目标回波向量表示为：
其中，Γ＝diag(exp(jφ1,1),exp(jφ1,2),...,exp(jφ1,L),...,exp(jφa,l),...,exp(jφA,L))代表以相位误差为主对角线元素的方阵；
5b)由估算的包含相位误差的目标反射系数向量和理想的目标反射系数向量σ，得到目标场景的重构误差：
其中，为任意向量x的2范数；
5c)根据目标场景的重构误差，求解相位误差分量：
5c1)将目标场景的重构误差转化成如下方程：
D(φ)＝||ΓBσ-G||2＝∑a,l||exp(jφa,l)B(a*l,:)σ-Ga(kl)||2，
其中D(φ)为目标场景的重构误差的简化计算式；
5c2)将D(φ)作为极小化必要条件，即根据求解相位误差分量：
φa,l＝∠σHBH(a*l,:)Ga(kl)，a＝1,...,A，l＝1,...,L，：
其中∠σHBH(a*l,:)Ga(kl)为第a个接收站第l次采样的相位误差分量，B(a*l,:)为字典矩阵B的第a*l行元素，Ga(kl)为第a个接收站的第l次采样的目标回波数据；
(6)通过定点迭代算法求解相位误差：
6a)初始化第一次迭代的观测模型相位误差φ为0；
6b)由公式估算包含相位误差的目标反射系数向量，得到第i次迭代估算的包含相位误差的目标反射系数向量为
6c)计算相位误差φi；
6d)更新目标回波向量，即由得到第i+1次迭代后的目标回波向量；
6e)对比第i次与第i+1次迭代的相位误差，若满足：
则迭代停止，否则转入6b)继续执行第i+1次迭代，直到满足精度阈值μ＝0.01。
本发明与现有技术相比具有以下优点：
1)本发明通过定点迭代算法，补偿了由测量系统不精确或信号传播过程受大气干扰造成的相位误差的影响，克服了现有技术不考虑回波相位误差而导致的图像散焦问题，提高了外辐射源雷达成像系统的图像分辨率；
2)本发明应用压缩感知算法估算目标反射系数向量，实现了超分辨成像。
附图说明
图1为本发明的实现流程图；
图2为本发明中构建的观测模型图；
图3为用本发明处理图像前后的对比结果图；
图4为本发明补偿目标回波相位误差后，图像对比度随迭代次数的变化图；
图5为本发明补偿目标回波相位误差后，真实相位误差与估算相位误差的对比结果图。
具体实施方式
以下参照附图对本发明作进一步详细描述。
参照图1，本发明是在多基地外辐射源雷达成像系统下的自聚焦方法，其实现步骤如下：
步骤1：选取外辐射源并构建观测模型。
选取一个频率为680MHz的外辐射源并使其位于x轴正半轴上，再以成像目标的中心为原点，在目标周围均匀分布12个接收站，构建出二维平面上的观测模型，如图2，其中β为双基地角，A＝12，a＝1,...,A，p为选取目标上的一个散射点。
步骤2：根据观测模型，获取无相位误差条件下的目标回波信号。
设目标上共有P个散射点，其任一散射点p的坐标为xp＝(xp,yp)T，设第a个接收机接收目标回波信号为：其中，σ(xp)是散射点p的反射系数，s(t)是外辐射源的传输波形，外辐射源信号为单频信号，τa(xp)是从外辐射源到散射点p再返回给第a个接收机的传播延时。
步骤3：对目标回波信号Ga(t)进行解调和基带处理，求解目标回波向量G。
3a)处理目标回波信号得到其傅里叶采样空间的表示式。
对目标回波信号Ga(t)进行解调和基带处理，基带处理即是对目标回波信号进行下变频，使载频频率降低为0，此处理降低了AD采样的采样率，整理后可得去除载频后的第a个接收机的目标回波信号在傅里叶采样空间的表示式为：
其中，k为傅里叶采样空间中的一次采样；
3b)所有接收站接收的目标回波信号组合成目标回波向量，其矩阵表达式为：
G＝Bσ，
其中G＝[G1,G2,...,Ga,...,GA]T，Ga＝[Ga(k1),Ga(k2),...,Ga(kl),...,Ga(kL)]T为第a个接收站接收的目标回波向量，l＝1,...,L，L为每个接收机在傅里叶采样空间接收回波信号的采样次数，Ga(kl)为第a个接收站在第l次采样的目标回波数据；
σ＝[σ1,1,σ1,2,...,σ1,N,...,σm,n,...,σM,N]T为目标反射系数向量，M，N分别为成像场景划分后，横、纵坐标的分辨单元总数，σm,n表示位于(xm,yn)处的目标散射点的目标反射系数；
B为字典矩阵，共A*L行，A＝12，其第a*l行元素为B(a*l,:)＝[ba,l(1,1),ba,l(1,2),...,ba,l(1,N),...,ba,l(m,n),...,ba,l(M,1),...,ba,l(M,N)]，其中a*l行表示第a个接收站第l次采样，为字典矩阵元素，其中λ为外辐射源波长，βa,l为第a个接收站的第l次采样的等效双基地角。
步骤4：估算目标反射系数向量。
现有的估算目标反射系数向量的算法有直接傅里叶变换算法DFT，极坐标格式算法PFA,压缩感知算法CSA等比较成熟的算法，本发明采用压缩感知算法估算目标反射系数，即将目标反射系数向量的重建转化为解决l0范数的优化问题：
其中为估算的包含相位误差的目标反射系数向量，||σ||0为σ零范数，s.t.为约束条件符号。
步骤5：获得目标回波向量的相位误差分量表达式。
现有的求解目标回波向量的相位误差分量表达式的方法有图像对比度算法、图像熵算法等方法，本发明通过以下步骤获取求解目标回波向量的相位误差分量表达式：
5a)建立观测模型相位误差，获取包含相位误差的目标回波向量：
设观测模型相位误差为φ＝[φ1,1,φ1,2,...,φ1,L,...,φa,l,...,φA,L]T，包含相位误差的目标回波向量为：
其中，Γ＝diag(exp(jφ1,1),exp(jφ1,2),...,exp(jφ1,L),...,exp(jφa,l),...,exp(jφA,L))代表以相位误差为主对角线元素的方阵；
5b)获取目标场景反射系数的重构误差：
由估算的包含相位误差的目标反射系数向量和理想的目标反射系数向量σ，得到目标场景反射系数的重构误差：
其中，为任意向量x的2范数；
5c)根据目标场景的重构误差，求解相位误差分量：
5c1)简化目标场景的重构误差：
根据包含相位误差的目标回波向量和无相位误差的的目标回波向量G＝Bσ，将目标场景的重构误差转化成如下方程：
D(φ)＝||ΓBσ-G||2＝∑a,l||exp(jφa,l)B(a*l,:)σ-Ga(kl)||2，
其中D(φ)为目标场景的重构误差的简化计算式；
5c2)求解相位误差分量，即将D(φ)作为极小化必要条件，根据求解相位误差分量：φa,l＝∠σHBH(a*l,:)Ga(kl)，a＝1,...,A，l＝1,...,L，
其中∠σHBH(a*l,:)Ga(kl)为第a个接收站第l次采样的相位误差分量，B(a*l,:)为字典矩阵B的第a*l行元素，Ga(kl)为第a个接收站的第l次采样的目标回波数据。
步骤6：通过定点迭代算法求解相位误差。
相位误差分量表达式是关于参数φa,l的隐函数，包含相位误差的目标反射系数向量是未知的，因此不能直接求解相位误差，可通过定点迭代算法得到，其步骤如下：
6a)初始化第一次迭代的观测模型相位误差φ为0；
6b)由公式估算包含相位误差的目标反射系数向量，得到第i次迭代估算的包含相位误差的目标反射系数向量为
6c)计算相位误差φi：
6c1)获取第i次迭代的目标场景的重构误差：
根据第i次迭代估算的包含相位误差的目标反射系数向量和第i-1次迭代估算的包含相位误差的目标反射系数向量得到第i次迭代的目标场景的重构误差：其中
6c2)简化第i次迭代的目标场景的重构误差：
根据第i次迭代过程中包含相位误差的目标回波向量和第i-1次迭代后观测到的包含相位误差的的目标回波向量将第i次迭代的目标场景的重构误差转化成如下方程：
其中Di(φi)为第i次迭代过程中目标场景的重构误差的简化计算式，为第i次迭代过程中目标回波向量，为第i次迭代中第a个接收机的目标回波向量，为第i次迭代的以相位误差为主对角线元素的方阵，为第i次迭代的相位误差，
6c3)求解第i次迭代的相位误差分量：
将Di(φi)作为极小化必要条件，即根据求解第i次迭代的相位误差分量：
其中为相位误差，为第i-1次迭代后观测到的第a个接收站第l次采样的目标回波数据；
6c4)由得第i次迭代后的相位误差φi；
6d)更新目标回波向量，即由得到第i次迭代后的目标回波向量；
6e)对比第i次与第i+1次迭代的相位误差，若满足：
则迭代停止，得到目标回波向量的相位误差，否则，转入6b)继续执行第i+1次迭代，直到满足精度阈值μ＝0.01。
本发明的效果可通过以下仿真进一步说明：
1)实验条件
本发明实验中的观测模型如图2所示，12个接收机均匀分布在目标周围，外辐射源位于x轴正半轴上，采用的外辐射源信号的频率为680MHz。假定目标是由4个各向同性的散射点组成，其位置坐标如图3(a)所示，C(-2.121,2.121)，D(2.121,2.121)，E(-2.121,-2.121)，F(2.121,-2.121)，其反射系数均为1。由接收机形成的等效合成孔径的角度等于2π。
2)实验内容及结果
实验1，用压缩感知算法直接处理无相位误差的目标回波向量，恢复目标场景，得到目标散射点的等高线图，实验结果如图3(b)，其中，C(-2.119,2.194)，D(2.153,2.23)，E(-2.122,-2.049)，F(2.122,-2.049)。
由图3(b)与图3(a)对比可知在无相位误差条件下，应用压缩感知算法处理目标回波向量，所恢复的目标散射点坐标几乎和选取的目标散射点坐标相匹配，其成像性能好。
实验2，用压缩感知算法直接处理包含相位误差的目标回波向量，恢复目标场景，得到目标散射点的等高线图，在实验中，相位误差为服从高斯分布的随机相位误差，实验结果如图3(c)，其中，C(-2.157,2.157)，D(2.121,2.121)，E(-2.121,-2.121)，F(2.121,-2.121)。
由图3(c)可知，该图像的性能很差，在真实散射点周围分布着许多虚假散射点，影响了图像性能。在实际应用中，相位误差不可避免，因此压缩感知算法在外辐射源雷达成像系统中的应用比较差，无法实现高分辨率的图像。
实验3，用本发明处理包含无相位误差的目标回波向量，恢复目标场景，得到目标散射点的等高线图，在实验中，相位误差为服从高斯分布的随机相位误差，实验结果如图3(d)，其中，C(-2.121,2.121)，D(2.119,2.194)，E(-2.192,-2.192)，F(2.121,-2.121)。
由图3(d)可知，用本发明处理包含无相位误差的目标回波向量，可以提高图像的分辨率，改善图像质量。
实验4，在实验3中，以图像对比度为纵坐标，以迭代次数为横坐标，计算每次迭代中的图像对比度，结果如图4。
由图4可知，图像的对比度经过5次迭代迅速达到其最大值，继续迭代，其值几乎保持不变，由此知本发明的自聚焦方法是收敛的。
实验5，对实验3迭代停止后得到的估算相位误差，以相位误差为纵坐标，以采样次数为横坐标，估算相位误差与真实相位误差进行对比，结果如图5。
由图5可知真实相位误差与用本发明处理目标回波后得到的估算相位误差基本一致，验证了本发明所提出的自聚焦方法有效性。

Claims (3)

1.一种多基地外辐射源雷达成像系统的自聚焦方法，包括：
(1)选取频率为680MHz的外辐射源并使其位于x轴正半轴上，再以成像目标的中心为原点，在目标周围均匀分布12个接收站，构建出二维平面上的观测模型；
(2)根据观测模型，获取无相位误差条件下的目标回波信号：
设目标上共P个散射点，其任一散射点p的坐标为xp＝(xp,yp)T，设第a个接收机接收目标回波信号为：其中a＝1,...,A，A＝12，σ(xp)是散射点p的反射系数，s(t)是外辐射源的传输波形，外辐射源信号为单频信号，τa(xp)是从外辐射源到散射点p再返回给第a个接收机的传播延时；
(3)对目标回波信号Ga(t)进行解调和基带处理，得到目标回波向量：G＝Bσ，其中B为字典矩阵，σ为没有被相位误差污染的理想目标反射系数向量；
(4)对目标回波向量应用压缩感知算法，估算目标反射系数向量：
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其中为估算的包含相位误差的目标反射系数向量，||σ||0为σ的零范数，s.t.为约束条件符号；
(5)构造相位误差分量表达式：
5a)设观测模型相位误差为φ＝[φ1,1,φ1,2,...,φ1,L,...,φa,l,...,φA,L]T，将包含相位误差的目标回波向量表示为：
<mrow> <mover> <mi>G</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mi>B</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>=</mo> <mi>B</mi> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
其中，Γ＝diag(exp(jφ1,1),exp(jφ1,2),...,exp(jφ1,L),...,exp(jφa,l),...,exp(jφA,L))代表以相位误差为主对角线元素的方阵；
5b)由估算的包含相位误差的目标反射系数向量和理想的目标反射系数向量σ，得到目标场景的重构误差：
<mrow> <mi>C</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>,</mo> </mrow>
其中，为任意向量x的2范数；
5c)根据目标场景的重构误差，求解相位误差分量：
5c1)将目标场景的重构误差转化成如下方程：
D(φ)＝||ΓBσ-G||2＝∑a,l||exp(jφa,l)B(a*l,:)σ-Ga(kl)||2，
其中D(φ)为目标场景的重构误差的简化计算式；
5c2)将D(φ)作为极小化必要条件，即根据求解相位误差分量：
φa,l＝∠σHBH(a*l,:)Ga(kl)，a＝1,...,A，l＝1,...,L，：
其中∠σHBH(a*l,:)Ga(kl)为第a个接收站第l次采样的相位误差分量，B(a*l,:)为字典矩阵B的第a*l行元素，Ga(kl)为第a个接收站的第l次采样的目标回波数据；
(6)通过定点迭代算法求解相位误差：
6a)初始化第一次迭代的观测模型相位误差φ为0；
6b)由公式估算包含相位误差的目标反射系数向量，得到第i次迭代估算的包含相位误差的目标反射系数向量为
6c)计算相位误差φi；
6d)更新目标回波向量，即由得到第i次迭代后的目标回波向量；
6e)对比第i次与第i+1次迭代的相位误差，若满足：
<mrow> <munderover> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>L</mi> <mo>)</mo> </mrow> </munderover> <mo>{</mo> <mo>|</mo> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>j&amp;phi;</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>j&amp;phi;</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>}</mo> <mo>&amp;le;</mo> <mi>&amp;mu;</mi> <mo>,</mo> </mrow>
则迭代停止，否则转入6b)继续执行第i+1次迭代，直到满足精度阈值μ＝0.01。
2.根据权利要求1所述的一种多基地外辐射源雷达成像系统的自聚焦方法，其中步骤(3)中得到目标回波向量G＝Bσ，按如下步骤进行：
(3a)对目标回波信号Ga(t)进行解调和基带处理，得到去除载频后的第a个接收机的目标回波信号在傅里叶采样空间的表示式为：
<mrow> <msub> <mi>G</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>P</mi> </munderover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;pi;kx</mi> <mi>p</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>
其中，k为傅里叶采样空间中的一次采样；
(3b)所有接收站接收的目标回波信号组合成目标回波向量，其矩阵表达式为：
G＝Bσ，
其中G＝[G1,G2,...,Ga,...,GA]T，Ga＝[Ga(k1),Ga(k2),...,Ga(kl),...,Ga(kL)]T为第a个接收站接收的目标回波向量，l＝1,...,L，L为每个接收机在傅里叶采样空间接收回波信号的采样次数，Ga(kl)为第a个接收站在第l次采样的目标回波数据；
σ＝[σ1,1,σ1,2,...,σ1,N,...,σm,n,...,σM,N]T为目标反射系数向量，M，N分别为成像场景划分后，横、纵坐标的分辨单元总数，σm,n表示位于(xm,yn)处的目标散射点的目标反射系数；
B(a*l,:)＝[ba,l(1,1),ba,l(1,2),...,ba,l(1,N),...,ba,l(m,n),...,ba,l(M,1),...,ba,l(M,N)]，其中a*l行表示第a个接收站第l次采样，为字典矩阵元素，λ为外辐射源波长，βa,l为第a个接收站的第l次采样的等效双基地角。
3.根据权利要求1所述的一种多基地外辐射源雷达成像系统的自聚焦方法，其中步骤6c)中计算相位误差φi，按如下步骤进行：
6c1)根据第i次迭代估算的包含相位误差的目标反射系数向量和第i-1次迭代估算的包含相位误差的目标反射系数向量得到第i次迭代的目标场景的重构误差：
6c2)将第i次迭代的目标场景的重构误差转化成如下方程：
<mrow> <msub> <mi>D</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>i</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>B</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>B</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>j&amp;phi;</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>*</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mo>:</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>-</mo> <mi>exp</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>j&amp;phi;</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>*</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mo>:</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>,</mo> </mrow>
其中Di(φ)为第i次迭代的目标场景的重构误差的简化计算式，为第i次迭代的以相位误差为主对角线元素的方阵，为第i次迭代的相位误差，
6c3)将Di(φi)作为极小化必要条件，即根据求解第i次迭代的相位误差分量：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;phi;</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>&amp;angle;</mo> <msup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mi>B</mi> <mi>H</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>*</mo> <mi>l</mi> <mo>,</mo> <mo>:</mo> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>G</mi> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>L</mi> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
其中为相位误差，为第i-1次迭代后观测到的第a个接收站第l次采样的目标回波数据；
6c4)由得第i次迭代后的相位误差φi。
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