CN105955034A - 受扰高超声速飞行器的无静差轨迹跟踪预测控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种受扰高超声速飞行器的无静差轨迹跟踪预测控制方法，其包括以下步骤：首先建立高超声速飞行器的受扰非线性模型，其中，考虑的扰动信号中包括外部干扰(包含不匹配干扰)和参数不确定干扰；其次设计了非线性干扰观测器估计其受到的复合干扰；最后，基于干扰估计和给定参考信号，设计了双模预测控制器，并证明了输出对参考信号的无静差跟踪特性。本发明提出的双模预测控制方案可以实现对高超声速飞行器的实时控制，且可以消除干扰对输出的影响，具有很强的抗干扰能力。

Description

受扰高超声速飞行器的无静差轨迹跟踪预测控制方法

技术领域

本发明涉及一种受扰高超声速飞行器的无静差轨迹跟踪预测控制方法。

背景技术

高超声速飞行器具有速度快、巡航高度高、机动能力强等优点，在军事和民用领域均具有特殊的战略意义，因此已成为各国航空航天领域的研究热点。但是由于快时变、强非线性、多约束及不确定性等特点，使得其控制器设计面临着诸多挑战。

近年来，高超声速飞行器的制导与控制吸引了大量海内外学者的广泛关注。许多先进控制方法，如鲁棒控制，自适应控制，自适应滑模控制，反步控制，参考输出控制和保代价控制等均有涉及。这些方法在标称情况或小干扰条件下可以得到良好的跟踪性能。然而，当系统受到较大的干扰时，不能得到满意的控制性能。

近年来，为了增强控制方法的鲁棒性，基于干扰观测器的控制方法，如基于干扰观测器的鲁棒飞行控制，基于高阶扩张状态观测器的控制和基于非线性干扰观测器的有限时间控制等被应用于高超声速飞行器，目的在于改进不同干扰条件下的速度和高度跟踪性能。这些方法可以获得满意的鲁棒性和抗干扰能力。然而，它们均没有考虑控制和状态的约束条件限制。通常，可以通过调节给定参考信号或者通过调节控制器的参数来保证控制和状态在给定约束条件内。但是，这些均是以牺牲控制性能为代价的，且参数调节没有规律可循，一般是通过试凑法得到的。

预测控制在设计控制器时就考虑控制和状态的约束，是非常有效的处理多变量、受约束系统的控制方法。该方法可以在保证状态和控制约束的同时，保证良好的闭环控制性能。考虑高超声速飞行器受到的约束条件限制和受到的外部干扰和参数不确定性，我们提出了基于非线性干扰观测器的模型预测控制。采用该方法可以保证控制和状态在给定约束范围内，且可以消除扰动和参数不确定对速度和高度的影响。然而，由于在每个采样时刻，需要在线优化得到模型预测控制律，需要花费较多的在线计算时间，不能实现对高超声速飞行器的实时控制。因此，本发明将反馈增益和多面体不变集事先离线计算，极大地减少在线计算时间，从而实现对高超声速飞行器的实时控制。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的缺点，提供一种受扰高超声速飞行器的实时的无静差轨迹跟踪预测控制方法。

为解决上述技术问题，本发明采用了以下技术措施：

一种受扰高超声速飞行器的无静差轨迹跟踪预测控制方法，其包括以下步骤：

S1，将高超声速飞行器的标称非线性模型转化为状态相关系数的状态空间模型；

S2，基于所述动态非线性模型，离线计算反馈增益K和多面体不变集；

S3，设计非线性干扰观测器估计高超声速飞行器受到的复合干扰d_s；

S4，根据给定的参考信号和干扰估计值计算期望目标点(x_s,u_s)，其中，假定干扰估计值渐进地趋近于复合干扰d_s；

S5，将所述动态非线性模型转化为平移状态空间模型；

S6，在线优化式得到自由变量c；

S7，得到双模预测控制律；

S8，返回步骤S3，从而获得实时的双模预测控制律。

进一步优选的，步骤S1中将高超声速飞行器的标称非线性模型转化为状态相关系数的状态空间模型：

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=\stackrel{\‾}{f}\left(x\right)x+g_1\left(x\right)u\\ y=Cx\end{array}& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(9\right)$

其中，

$\begin{array}{c}\stackrel{\‾}{f}\left(x\right)=\\ \left[\begin{array}{ccccc}-\frac{0.5\mathrm{\ρ}VS\·0.003772}{m}& \frac{\mathrm{\μ}}{r^2}& 0& \frac{QS(0.645\mathrm{\α}+0.0043378)}{m}& 0\\ \frac{\cos \mathrm{\γ}}{r}& 0& -\frac{\mathrm{\μ}\cos \mathrm{\γ}}{{\mathrm{Vr}}^{2}h}& \frac{0.5\mathrm{\ρ}VS\·0.6203}{m}& 0\\ 0& V& 0& 0& 0\\ -\frac{\cos \mathrm{\γ}}{r}& 0& \frac{\mathrm{\μ}\cos \mathrm{\γ}}{{\mathrm{Vr}}^{2}h}& \frac{0.5\mathrm{\ρ}VS\·0.6203}{m}& 1\\ \frac{0.5\mathrm{\ρ}VS\stackrel{\‾}{c}\·5.3261\×{10}^{-6}}{I_{yy}}& 0& 0& \frac{QS\stackrel{\‾}{c}(-0.0035\mathrm{\α}+0.036617-c_e)}{I_{yy}}& \frac{0.5\mathrm{\ρ}V\stackrel{\‾}{S}{c}^2(-6.796{\mathrm{\α}}^2+0.3015\mathrm{\α}-0.2829)}{2I_{yy}}\end{array}\right]\end{array}$

Q＝0.5ρV²表示动压。

进一步优选的，步骤S2中的反馈增益和多面体不变集分别是通过离线LQR方法和优化得到的。

进一步优选的，将扰动对输出的影响转移到平移设定值(x_s,u_s)上：

$\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{c}{x}_s\\ u_s\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}\stackrel{\‾}{f}& g_1\\ C& 0\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}-\hat{d}\\ y_r\end{array}\right]& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(12\right)$

进一步优选的，得到的双模预测控制律为：

进一步优选的，所述自由变量c通过公式计算获得，式中，W_c＝diag(W,…,W)，W＝B^TMB+R，M-ξ^TMξ＝Q+K^TRK，ξ＝A-BK。

本发明提供的受扰高超声速飞行器的无静差轨迹跟踪预测控制方法具有以下优点：与一般的模型预测控制不同，双模预测控制离线计算反馈控制增益和多面体不变集，可以极大地减少在线计算时间。因此，可以实现高超声速飞行器的实时控制。通过设计干扰观测器和使用直接反馈补偿，证明了受扰系统被控输出的无静差跟踪特性。仿真结果验证了所提出方法的有效性。

附图说明

图1为本发明提供的受扰高超声速飞行器的无静差轨迹跟踪预测控制方法的流程图。

图2为外部干扰情况下的速度跟踪曲线。

图3为外部干扰条件下的高度跟踪曲线。

图4为外部干扰条件下的攻角响应曲线。

图5为外部干扰条件下的节流阀设定值。

图6为外部干扰条件下的升降舵偏转角。

图7为负的参数不确定情况下的速度跟踪曲线。

图8为负的参数不确定情况下的高度跟踪曲线。

图9为负的参数不确定情况下的攻角响应曲线。

图10为负的参数不确定情况下的节流阀设定值。

图11为负的参数不确定情况下的升降舵偏转角。

图12为正的参数不确定情况下的速度跟踪曲线。

图13为正的参数不确定情况下的高度跟踪曲线。

图14为正的参数不确定情况下的攻角响应曲线。

图15为正的参数不确定情况下的节流阀设定值。

图16为正的参数不确定情况下的升降舵偏角。

具体实施方式

下面结合附图与具体实施方式对本发明作进一步详细描述。

1.高超声速飞行器的纵向模型

请参照图1，高超声速飞行器纵向模型为美国NASALangley研究中心公开的高超声速飞行器纵向模型：

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V}=\frac{(T\cos \mathrm{\α}-D)}{m}-\frac{\mathrm{\μ}\sin \mathrm{\γ}}{r^2}+d_1\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}=\frac{L+T\sin \mathrm{\α}}{mV}-\frac{(\mathrm{\μ}-V^{2}r)\cos \mathrm{\γ}}{{\mathrm{Vr}}^2}+d_2\\ \stackrel{\·}{h}=V\sin \mathrm{\γ}+d_3\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\α}}=q-\stackrel{\·}{\mathrm{\γ}}+d_4\\ \stackrel{\·}{q}=\frac{M_{yy}}{I_{yy}}+d_5\end{array}& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(1\right)$

式中，V代表速度，γ代表弹道倾角，h代表飞行高度，α代表攻角，q代表俯仰角速率。m，μ和I_yy分别代表质量、引力常量和转动惯量。d_i(i＝1,…,5)表示系统受到的未知外部干扰。L＝0.5ρV²SC_L，D＝0.5ρV²SC_D，T＝0.5ρV²SC_T，和r＝h+R分别表示升力、阻力、推力、俯仰力矩和飞行器距地心的距离。C_L，C_D和C_T表示升力、阻力和推力系数。C_M(α)，C_M(δ_e)，C_M(q)分别表示与攻角、升降舵偏转角和俯仰角速率相关的俯仰力矩系数。飞行器的这些空气动力系数是与飞行条件相关的。为了研究方便，将飞行动力系数沿着标称巡航飞行进行简化。标称飞行条件为：V＝15060ft/s,h＝110000ft,γ＝0rad，q＝0rad/s。研究中考虑各种参数不确定性，我们将参数不确定性看作是系统的加性干扰。该条件下的空气动力系数为：

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}{C}_L=0.6203\mathrm{\&alpha;}\\ C_D=0.645{\mathrm{\&alpha;}}^2+0.0043378\mathrm{\&alpha;}+0.003772\\ C_T=\left\{\begin{array}{cc}0.02576\mathrm{\&beta;}& \mathrm{\&beta;}<1\\ 0.0224+0.00336\mathrm{\&beta;}& \mathrm{\&beta;}>1\end{array}\right.\\ C_M\left(\mathrm{\&alpha;}\right)=-0.035{\mathrm{\&alpha;}}^2+0.036617(1+{\mathrm{\&Delta;C}}_{M\mathrm{\&alpha;}})\mathrm{\&alpha;}+5.3261\&times;{10}^{-6}\\ C_M\left(q\right)=(\stackrel{\&OverBar;}{c}/2V)q(-6.796{\mathrm{\&alpha;}}^2+0.3015\mathrm{\&alpha;}-0.2289)\\ C_M\left({\mathrm{\&delta;}}_e\right)=c_e({\mathrm{\&delta;}}_e-\mathrm{\&alpha;})\\ m=m_0(1+\mathrm{\&Delta;}m)\\ I_{yy}=I_0(1+\mathrm{\&Delta;}I)\\ S=S_0(1+\mathrm{\&Delta;}S)\\ \stackrel{\&OverBar;}{c}={\stackrel{\&OverBar;}{c}}_0(1+\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&OverBar;}{c})\\ \mathrm{\&rho;}={\mathrm{\&rho;}}_0(1+\mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&rho;})\\ c_e=0.0292(1+{\mathrm{\&Delta;c}}_e)\end{array}& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(2\right)$

式中，β是节流阀设定值，m₀，I₀，S₀，μ₀，ρ₀和R₀表示参数的标称值。Δm，ΔI，ΔS，Δρ，Δc_e，ΔC_Mα表示相关的参数不确定性。在仿真中，将参数不确定的最大值设置为25％。

考虑外部干扰和参数不确定性，高超声速飞行器动态非线性模型可以转换为向量形式：

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}=f(x,u)+\mathrm{\&Delta;}f+d\\ y=Cx\end{array}& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(3\right)$

式中，u＝[β,δ_e]^T，x＝[V,γ,h,α,q]^T，y＝[V,h]^T分别代表控制向量、状态向量和输出向量。d＝[d₁,d₂,d₃,d₄,d₅]^T，Δf分别代表外部干扰和参数不确定干扰。是输出矩阵，将参数不确定和外部干扰当作复合干扰，可以等价为：

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}=f(x,u)+d_s\\ y=Cx\end{array}& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(4\right)$

式中，d_s＝Δf+d表示系统受到的复合干扰。

可以看到控制只出现在推力和俯仰力矩中，而外部干扰在每一个通道均出现。也就是说，本发明所考虑的干扰包括匹配干扰和不匹配干扰。另外，为了突出本发明的贡献，我们考虑控制和攻角的约束条件

为了表明我们所提出方法的无静差特性，假设给定的参考信号是定常的。我们的输出是速度V和高度h，期望的指令信号为V_r和h_r，我们的目标是设计一个控制器，使得系统在受到各种干扰条件下，输出跟踪上给定参考指令信号的同时，保证控制和攻角在给定约束范围内。

2非线性干扰观测器

为了消除稳态情况下干扰信号对输出的影响，我们应该准确地估计干扰信号。

对于系统，设计如下的非线性干扰信号估计复合干扰d_s。

$\begin{array}{cc}\left\{\begin{array}{c}\hat{d}=z+p\left(x\right)\\ \stackrel{\&CenterDot;}{z}=-l\left(x\right)(\hat{d}+f(x,u\left)\right)\end{array}\right.& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(6\right)$

式中，和z分别是干扰估计值和非线性干扰观测器的内部状态，p(x)是待设计的非线性向量值函数。非线性观测器增益l(x)定义为

$\begin{array}{cc}l\left(x\right)=\frac{\&part;p\left(x\right)}{\&part;x}& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(7\right)$

假设1：系统受到的复合干扰d_s是慢时变的，即

在假设条件1下，如果选取合适的p(x)使得对于所有x∈Rⁿ全局稳定，则干扰估计值渐进地趋近于d_s，其中估计误差定义为

$\begin{array}{cc}e=d_s-\hat{d}& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(8\right)$

因此，我们可以通过选取合适的l(x)保证估计误差的渐进收敛特性。

3模型转化

3.1转化为状态空间模型

首先，离线设计标称情况下的反馈控制增益。因为非线性模型是强非线性耦合的，基于非线性模型的预测控制器设计很复杂，限制了它在真实系统的应用。因此，采用伪线性化方法将标称模型转化为线性时变系统。

考虑非线性模型(4)，忽略干扰d_s，由于在巡航飞行时，弹道倾角γ很小，因此有sinγ≈γ。在稳态时，节流阀设定值小于1，因此我们只考虑β＜1时的推力系数。将非线性模型转化为状态相关系数的状态空间方程。

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}=\stackrel{\&OverBar;}{f}\left(x\right)x+g_1\left(x\right)u\\ y=Cx\end{array}& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(9\right)$

其中，

$\begin{array}{c}\stackrel{\&OverBar;}{f}\left(x\right)=\\ \left[\begin{array}{ccccc}-\frac{0.5\mathrm{\&rho;}VS\&CenterDot;0.003772}{m}& -\frac{\mathrm{\&mu;}}{r^2}& 0& -\frac{QS(0.645\mathrm{\&alpha;}+0.0043378)}{m}& 0\\ \frac{\cos \mathrm{\&gamma;}}{r}& 0& -\frac{\mathrm{\&mu;}\cos \mathrm{\&gamma;}}{{\mathrm{Vr}}^{2}h}& \frac{0.5\mathrm{\&rho;}VS\&CenterDot;0.6203}{m}& 0\\ 0& V& 0& 0& 0\\ -\frac{\cos \mathrm{\&gamma;}}{r}& 0& \frac{\mathrm{\&mu;}\cos \mathrm{\&gamma;}}{{\mathrm{Vr}}^{2}h}& -\frac{0.5\mathrm{\&rho;}VS\&CenterDot;0.6203}{m}& 1\\ \frac{0.5\mathrm{\&rho;}VS\stackrel{\&OverBar;}{c}\&CenterDot;5.3261\&times;{10}^{-6}}{I_{yy}}& 0& 0& \frac{QS\stackrel{\&OverBar;}{c}(-0.0035\mathrm{\&alpha;}+0.036617-c_e)}{I_{yy}}& \frac{0.5\mathrm{\&rho;}VS{\stackrel{\&OverBar;}{c}}^2(-6.796{\mathrm{\&alpha;}}^2+0.3015\mathrm{\&alpha;}-0.2289)}{2I_{yy}}\end{array}\right]\end{array}$

$g_1\left(x\right)=\left[\begin{array}{cc}\frac{QS\&CenterDot;0.02576\cos \mathrm{\&alpha;}}{m}& 0\\ \frac{QS\&CenterDot;0.02576\sin \mathrm{\&alpha;}}{mV}& 0\\ 0& 0\\ -\frac{QS\&CenterDot;0.02576\sin \mathrm{\&alpha;}}{mV}& 0\\ 0& \frac{QS\stackrel{\&OverBar;}{c}{c}_e}{I_{yy}}\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\end{array}\right]$

其中，Q＝0.5ρV²表示动压。

注1：伪线性化可以得到多种不同形式的模型，但是必须保证得到的系统模型是可控的。从方程(9)可以看到，和g₁(x)均与当前时刻状态相关。因此，根据不同的转化，可以得到不同的矩阵模型，即：方程中的矩阵和g₁(x)不是唯一的。为了书写方便，下文中，我们采用代替

3.2计算平移设定值

为了实现输出对参考信号的无静差跟踪，我们应该根据给定的参考信号和干扰估计值计算期望目标点(x_s,u_s)。

根据(4)(9)，有

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}=\stackrel{\&OverBar;}{f}x+g_{1}u+d_s\\ y=Cx\end{array}& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(10\right)$

当系统达到稳态时，满足条件因此，我们有

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\stackrel{\&OverBar;}{f}{x}_s+g_1{u}_s+d_s=0\\ {\mathrm{Cx}}_s=y_r\end{array}& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(11\right)$

方程(11)中，整体复合干扰d_s是未知的，我们采用其估计值代替它。因此，(x_s,u_s)可以通过下式计算得到。

$\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{c}{x}_s\\ u_s\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}\stackrel{\&OverBar;}{f}& g_1\\ C& 0\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}-\hat{d}\\ y_r\end{array}\right]& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(12\right)$

3.3转化为平移状态空间模型

可以在每个采样时间通过离散化(10)得到预测模型，将离散化后的预测模型表示为：

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}{x}_{k+1}={\mathrm{Ax}}_k+{\mathrm{Bu}}_k+E{\hat{d}}_k\\ y_k={\mathrm{Cx}}_k\end{array}& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(13\right)$

对于离散化模型(13)，当系统在稳态时，有

$\begin{array}{cc}{x}_s={\mathrm{Ax}}_s+{\mathrm{Bu}}_s+E\hat{d}& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(14\right)$

定义

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}w=u-u_s\\ v=x-x_s\end{array}& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(15\right)$

由(14)，模型(13)可以转化为平移状态空间模型:

v_k+1＝Av_k+Bw_k \*MERGEFORMAT(16)

4设计双模模型预测控制律

为了实现高超声速飞行器的实时控制，控制器设计分为两部分：离线设计和在线设计。离线设计只考虑标称模型，而在线设计将干扰对系统的影响转移到平移设定点(x_s,u_s)。

4.1离线设计反馈控制增益和多面体不变集

攻角和控制的约束条件(5)可以转化为

w_min≤w_k≤w_max,v_min≤v_k≤v_max,k＝1,…,∞\*MERGEFORMAT(17)

设计一个双模预测控制律使得系统满足约束条件，且可以保证系统的稳定性。

首先，定义无穷时域二次目标函数

$\begin{array}{cc}J=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\&infin;}}{\mathrm{\&Sigma;}}}{v}_k^T{\mathrm{Qv}}_k+w_k^T{\mathrm{Rw}}_k& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(18\right)$

式中，Q，R分别为状态和控制的加权矩阵。双模预测控制律为

$\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}{w}_k={\mathrm{Kv}}_k+c_k& k=0,\mathrm{...},n_c-1\\ w_k={\mathrm{Kv}}_k& k\&GreaterEqual;n_c\end{array}& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(19\right)$

式中，K为无约束最优控制增益，我们可以使用线性二次调节器(LQR)来设计。c_k,k＝0,…,n_c-1为待优化的用于处理约束条件的自由变量，需在线优化设计得到。

为了方便地描述基于多面体不变集的双模模型预测控制，引入如下两个关于集合的概念。

定义1(最大允许集合)：最大允许集合指该区域内状态和控制及其预测值均满足约束条件。表示为

S₀＝{v:M₀v≤d₀} \*MERGEFORMAT(20)

定义2(最大控制允许集合)：最大控制允许集合是指在控制规则的作用下，控制和状态及其未来时刻的预测值均满足约束条件。表示为

为了计算多面体不变集，我们进行如下等价变换

将控制律(19)代入(16)，得到闭环系统

v_k+1＝(A-BK)v_k+Bc_k \*MERGEFORMAT(22)

方程(22)可以等价转换为如下的自治状态空间模型

$z_{k+1}={\mathrm{\&Psi;z}}_k,z\&Element;R^{n+{\mathrm{mn}}_c}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{\&Psi;}=\left[\begin{array}{cc}A-BK& \left[\begin{array}{cccc}B& 0& ...& 0\end{array}\right]\\ 0& M\end{array}\right]& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(23\right)$

式中，

对于自治系统(23)，其多面体不变集可以通过数学规划计算得到。计算得到的多面体不变集即为最大控制允许集合(23)，该集合即为我们在线优化需要用到的多面体不变集。

注2：为了实现对高超声速飞行器的实时控制，我们必须离线计算无约束反馈增益K和多面体不变集。如上所述，矩阵A,B与当前时刻状态相关，因此我们无法离线得到预测模型，那么我们就无法离线计算反馈增益和多面体不变集。但是由于我们考虑的是高超声速飞行器的巡航飞行，因此在整个飞行过程中，矩阵A,B的元素变化很小。综上，我们可以采用平衡点处的状态空间模型来代替每一时刻的状态相关模型。

4.2在线设计优化自由变量和反馈补偿策略

为了计算自由变量c，将式(19)代入(18)，得到

J＝c^TW_cc+p \*MERGEFORMAT(24)

式中，

W_c＝diag(W,…,W)，W＝B^TMB+R，M-ξ^TMξ＝Q+K^TRK，ξ＝A-BK。由于p与自由变量c_k,k＝0,…,n_c-1无关，因此可以省略。目标函数为：

J＝c^TW_cc \*MERGEFORMAT(25)

因此，在每个采用时刻，执行如下最小优化问题

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\underset{c}{\min }{c}^T{W}_{c}c\\ s.t.M_0{v}_k+N_{0}c\&le;d_0\end{array}& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(26\right)$

优化得到c，取其第一个元素作为控制律中的控制自由变量。如果满足条件v∈S₀，则c＝0，无需优化。

由(15)(19)得到作用于非线性系统的控制律为

u_k＝K(x_k-x_s)+c_k+u_s \*MERGEFORMAT(27)

式中，K是无约束反馈增益，(x_s,u_s)是由方程计算得到的平移设定值，c_k是由式优化得到的自由变量的第一个元素。

从式(12)(27)可以看到控制的补偿策略已经包含在设定点(x_s,u_s)中。也就是说，采用本发明提出的方法，我们无需设计其他补偿策略，因此我们将其称之为直接反馈补偿(DFC)。

注3：离线设计的反馈增益和多面体不变集是与x相关的，而式(26)的优化却是与v相关的。根据式(15)，在线优化(26)时，使用x-x_s代替x。

4.3无静差跟踪特性

定理1：受扰非线性系统满足假设条件1，选择合适的l(x)使得观测器稳定。所提出的直接反馈补偿双模预测控制律可以消除干扰对系统输出的影响，即在受到干扰条件时，系统输出可以实现对给定参考信号的无静差跟踪。

证明：将(27)式代入方程(10)，有：

$\begin{array}{cc}\stackrel{\&CenterDot;}{x}=\stackrel{\&OverBar;}{f}x+g_1\left(K\right(x-x_s)+c+u_s)+d_s& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(28\right)$

因此，我们得到

$\begin{array}{cc}x={(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}(\stackrel{\&CenterDot;}{x}-g_1(u_s-{\mathrm{Kx}}_s+c)-d_s)& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(29\right)$

因此，输出为

$\begin{array}{cc}y=C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}(\stackrel{\&CenterDot;}{x}-g_1(u_s-{\mathrm{Kx}}_s+c)-d_s)& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(30\right)$

使用分块矩阵的求逆公式

$\begin{array}{cc}{\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}+A^{-1}B{(D-{\mathrm{CA}}^{-1}B)}^{-1}{\mathrm{CA}}^{-1}& -A^{-1}B{(D-{\mathrm{CA}}^{-1}B)}^{-1}\\ -{(D-{\mathrm{CA}}^{-1}B)}^{-1}{\mathrm{CA}}^{-1}& {(D-{\mathrm{CA}}^{-1}B)}^{-1}\end{array}\right]& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(31\right)$

由方程(12)，我们得到

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}{x}_s=({\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1{\left(C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1\right)}^{-1}C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}-{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1})\hat{d}+{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1{\left(C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1\right)}^{-1}{y}_r\\ u_s=-{\left(C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1\right)}^{-1}C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}\hat{d}-{\left(C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1\right)}^{-1}{y}_r\end{array}& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(32\right)$

将(32)代入(30)，有：

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}y=C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}\stackrel{\&CenterDot;}{x}+C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}{g}_1({\left(C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1\right)}^{-1}+K{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1{\left(C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1\right)}^{-1})y_r\\ +C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}{g}_1\left(\right(I+K{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1){\left(C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1\right)}^{-1}C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}-K{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1})\hat{d}\\ -C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}(d_s+g_{1}c)\end{array}& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(33\right)$

对于(33)中的第三项，有：

$\begin{array}{c}C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}{g}_1\left(\right(I+K{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1){\left(C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1\right)}^{-1}C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}-K{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1})\hat{d}\\ =C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}{g}_1(I+K{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1){\left(C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1\right)}^{-1}C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}\hat{d}-C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}{g}_{1}K{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}\hat{d}\\ =C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}(I+g_{1}K{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1})g_1{\left(C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1\right)}^{-1}C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}\hat{d}-C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}{g}_{1}K{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}\hat{d}\\ =C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K){\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1{\left(C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1\right)}^{-1}C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}\hat{d}-C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}{g}_{1}K{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}\hat{d}\\ =C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1{\left(C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1\right)}^{-1}C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}\hat{d}-C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}{g}_{1}K{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}\hat{d}\\ =C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}\hat{d}-C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}{g}_{1}K{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}\hat{d}\\ =C(I-{\left(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K\right)}^{-1}{g}_{1}K){\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}\hat{d}\\ =C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K-g_{1}K){\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}\hat{d}\\ =C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}\hat{d}\end{array}$

由方程(8)得到

$\begin{array}{c}y=C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}\stackrel{\&CenterDot;}{x}+C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}{g}_1({\left(C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1\right)}^{-1}+K{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1{\left(C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1\right)}^{-1})y_r\\ +C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}\hat{d}-C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}(d_s+g_{1}c)\\ =C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}\stackrel{\&CenterDot;}{x}+C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}{g}_1({\left(C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1\right)}^{-1}+K{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1{\left(C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1\right)}^{-1})y_r\\ -C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}e-C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}{g}_{1}c\end{array}$

稳态时，满足条件c＝0，因此，有

$\begin{array}{c}y=C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}{g}_1({\left(C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1\right)}^{-1}+K{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1{\left(C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1\right)}^{-1})y_r\\ =C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}{g}_1(I+K{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1){\left(C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1\right)}^{-1}{y}_r\\ =C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}(I+g_{1}K{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1})g_1{\left(C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1\right)}^{-1}{y}_r\\ =C{(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K)}^{-1}(\stackrel{\&OverBar;}{f}+g_{1}K){\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1{\left(C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1\right)}^{-1}{y}_r\\ =C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1{\left(C{\stackrel{\&OverBar;}{f}}^{-1}{g}_1\right)}^{-1}{y}_r\\ =y_r\end{array}$

因此，稳态时扰动对系统输出的影响被完全消除。

5仿真结果与分析

为了验证提出的DFC方法的有效性，我们在系统受到外部干扰和参数不确定条件下分别进行仿真。假定给定的速度和高度参考信号分别为100ft/s和100ft的常值信号。控制和攻角的约束条件如式(5)所示。

设计时LQR的加权矩阵取为Q＝I，R＝I，非线性干扰观测器的增益l(x)＝50I，自由变量的维数为n_c＝2，仿真步长设置为0.01s。

5.1持续外部干扰

仿真中，考虑t＝10s时受到持续外部干扰d₁＝-5,d₃＝30，t＝25s时d₂＝0.001sin(0.2πt)，d₄＝0.05，d₅＝0.2+0.1sin(0.3πt+π)，部分仿真结果如图2-6所示。

采用DCG方法，仿真时间为383.46303s，而采用本发明提出的方法，离线花费50.261886s计算多面体不变集，而在线仿真仅需大约13s。从图2-6可以看出两种方法均可以消除扰动对输出的影响，实现对给定参考信号的无静差跟踪。但是本发明提出的方法需要更长的调节时间和更大的控制信号，即提出的方法是以控制性能为代价换取计算时间的。

5.2参数不确定性

为了测试所提方法的鲁棒性，考虑各种参数不确定性如式(2)所示。

首先，考虑不确定参数为负的最大值情况，即：Δ＝-0.25，部分仿真结果如图7-11所示。由于多面体不变集是基于标称模型离线设计的，因此用于计算多面体不变集的时间与受到持续外部干扰时是一致的。在这种情况下，在40s的仿真飞行中，采用DCG方法需花费229.093588s，而采用本发明的方法仅需要大约7s的时间。从图7，8可以看出，在如此严重的参数不确定条件下，两种方法均能实现对输出参考信号的无静差跟踪。从图9-11可以看出，攻角和控制均在给定约束范围内。

将所有的参数不确定设置为正的最大值，即：Δ＝0.25，部分仿真结果如图12-16所示。在这种情况，采用DCG方法，需花费206.4s的仿真时间，而采用所提出方法，仅需花费大约6s。从图中可以看出，输出能无静差地跟踪给定参考信号，攻角和控制在给定约束范围内。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明保护的范围之内。

Claims (6)

1.一种受扰高超声速飞行器的无静差轨迹跟踪预测控制方法，其包括以下步骤：

S1，将高超声速飞行器的标称非线性模型转化为状态相关系数的状态空间模型；

S2，基于所述动态非线性模型，离线计算反馈增益K和多面体不变集；

S3，设计非线性干扰观测器估计高超声速飞行器受到的复合干扰d_s；

S4，根据给定的参考信号和干扰估计值计算期望目标点(x_s,u_s)，其中，假定干扰估计值渐进地趋近于复合干扰d_s；

S5，将所述动态非线性模型转化为平移状态空间模型；

S6，在线优化式得到自由变量c；

S7，得到双模预测控制律；

S8，返回步骤S3，从而获得实时的双模预测控制律。

2.根据权利要求1所述的控制方法，其特征在于：步骤S1中将高超声速飞行器的标称非线性模型转化为状态相关系数的状态空间模型

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}=\stackrel{\&OverBar;}{f}\left(x\right)x+g_1\left(x\right)u\\ y=Cx\end{array}& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(9\right)$

其中，

Q＝0.5ρV²表示动压。

3.根据权利要求1所述的控制方法，其特征在于：步骤S2中的反馈增益和多面体不变集分别是通过离线LQR方法和优化得到的。

4.根据权利要求1所述的控制方法，其特征在于：将扰动对输出的影响转移到平移设定值(x_s,u_s)上：

$\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{c}{x}_s\\ u_s\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}\stackrel{\&OverBar;}{f}& g_1\\ C& 0\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}-\hat{d}\\ y_r\end{array}\right]& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(12\right).$

5.根据权利要求1所述的控制方法，其特征在于：得到的双模预测控制律为：

$\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}{w}_k={\mathrm{Kv}}_k+c_k& k=0,...,n_c-1\\ w_k={\mathrm{Kv}}_k& k\&GreaterEqual;n_c\end{array}& \backslash *MERGEFORMAT\end{array}---\left(19\right).$

6.根据权利要求1所述的控制方法，其特征在于：所述自由变量c通过公式计算获得，式中，W_c＝diag(W,...,W)，W＝B^TMB+R，M-ξ^TMξ＝Q+K^TRK，ξ＝A-BK。