CN105867360A - 一种机电控制系统的初值预估迭代学习故障诊断算法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种机电控制系统的初值预估迭代学习故障诊断算法。首先建立执行器单元发生故障的机电控制系统模型；构建执行器故障机电控制系统的离散状态空间方程；然后设计迭代学习故障诊断算法；进一步分析故障诊断算法的收敛性和阈值选择条件；最后在迭代学习故障诊断算法中加入初值预估算法，实现对机电控制系统执行器单元的实时故障诊断。其优点是：初值预估迭代学习故障诊断算法可以减小诊断过程中前面离散采样点故障的估计误差对后续离散采样点故障诊断的影响，从而有效减少迭代次数,提高故障诊断效率；故障算法结构简单，不仅可以检测和重构机电控制系统的各类型执行器故障，而且易于工程实现，便于实时在线诊断。

Description

一种机电控制系统的初值预估迭代学习故障诊断算法

技术领域

本发明涉及一种机电控制系统的初值预估迭代学习故障诊断算法，属于故障诊断领域。

背景技术

随着计算机网络、自动化、机械制造和传感器等高新技术的迅速发展，机电一体化已实现了广泛的技术融合，在各行各业的应用也越来越广泛，使得人类生产力水平获得了大幅度提升。但不可忽视的是，现代机电控制系统的结构日趋复杂，机电控制的工程设备具有很高的集成度。若设备运行过程中出现故障且不能及时排查，将有可能影响生产效率并造成系统整体崩溃。因此，故障诊断技术作为机电控制系统安全和稳定运行的重要保障值得引起广泛重视。

目前，机电控制系统通常是与数字计算机、单片机和可编程逻辑控制器等其他设备一起使用，因此实际控制工程中的机电控制系统就会呈现数据采样特性，其本质上为离散采样系统。针对离散采样系统的故障检测与诊断技术近年来发展迅速，目前主要有基于部分可观Petri网结构信息的故障诊断方法，基于扩展卡尔曼粒子滤波的离散状态估计故障诊断方法，基于自动建模机的主动故障诊断方法和具有协同机制的非高斯分布式离散采样系统故障诊断算法等。

将迭代学习算法运用于系统故障诊断是基于模型故障诊断方法的一个重要分支。迭代学习故障诊断算法可以利用系统的残差幅值，变化趋势和残差累积量调节虚拟故障使其逼近系统故障；通过将扩张状态观测器与迭代学习算法结合可以利用残差比例和相邻批次残差的差分信息调节虚拟故障；利用向量空间角度关系对故障诊断滤波器的迭代学习律进行修正则可以改善故障诊断算法的收敛速度。但是，目前这些迭代学习故障诊断方法基本都是针对连续系统。现有针对离散系统的迭代学习故障诊断算法仅仅是将连续系统的迭代学习算法或观测器简单替换成对应的离散形式，并没有根据机电控制系统这一类离散采样系统本身的周期运行特性进行设计，也没有对迭代学习故障诊断算法的迭代效率进行相应优化。现有的迭代学习故障诊断方法通常都是先将待估计的虚拟故障初值设为零，然后再利用残差反复对其值进行修正，使虚拟故障逐渐接近实际故障，最后用虚拟故障的值反映系统实际发生的故障。这样虽然可以诊断出故障，但是整个故障诊断过程的效率并不高，原因是当某个离散采样点的故障还没有被精确估计时，其估计误差会被带入之后离散采样点故障的诊断，使得之后离散采样点的残差不能够准确反映其对应故障的估计误差，从而增加故障诊断过程中故障估计的迭代次数。因此，只有当一个采样点的故障被较准确估计时，其后采样点的故障估计才会更加准确。

发明内容

本发明的目的是解决一种机电控制系统的初值预估迭代学习故障诊断问题。针对一类执行器单元发生故障的离散采样机电控制系统，设计离散迭代学习故障跟踪估计器，通过交换诊断过程的时域和迭代域次序，使故障跟踪估计器可以按采样顺序逐点诊断和估计出故障信号函数，并在此基础上提出一种基于滑动平均滤波原理的虚拟故障初值预估算法，该故障诊断算法可以检测和估计出各种不同类型的执行器故障，并有效减少诊断过程的迭代次数，提高故障诊断效率。

根据本发明提供的技术方案，所述一种机电控制系统的初值预估迭代学习故障诊断算法包括如下步骤：

第一步：建立执行器单元发生故障的机电控制系统模型

考虑到机电控制系统在实际应用过程中会受到扰动的影响，因此执行器单元发生故障的机电控制系统模型可以描述为：

$\left\{\begin{array}{c}{R}_a{i}_a\left(t\right)+L_a\frac{{\mathrm{di}}_a\left(t\right)}{dt}+C_e\mathrm{\ω}\left(t\right)=e\left(t\right)+w_1\left(t\right)\\ J\frac{d\mathrm{\ω}\left(t\right)}{dt}+C_f\mathrm{\ω}\left(t\right)+f\left(t\right)=C_M{i}_a\left(t\right)+w_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中R_a为电枢电阻，J为转子转动惯量，L_a为电枢电感，C_e为反电动势系数，C_f为电机轴机械阻尼系数，C_M为转矩系数，ω(t)为电动机转速，i_a(t)为电枢电流，e(t)为输入电压，f(t)为执行器单元发生的故障，故障信号在电动机运行过程中通常表现为一类非线性函数，w₁(t)和w₂(t)分别为电动机运行过程中受到的扰动。

第二步：构建执行器故障机电控制系统的离散状态空间方程

利用电动机的电枢电流和转速定义状态变量x(t)＝[i_a(t) ω(t)]^T，利用输入电压定义系统输入变量u(t)＝e(t)，定义扰动变量w(t)＝[w₁(t) w₂(t)]^T，则式(1)所示的一种机电控制系统可描述为：

$\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=\left[\begin{array}{cc}-\frac{R_a}{L_a}& -\frac{C_e}{L_a}\\ \frac{C_M}{J}& -\frac{C_f}{J}\end{array}\right]x\left(t\right)+\left[\begin{array}{c}\frac{1}{L_a}\\ 0\end{array}\right]u\left(t\right)+\left[\begin{array}{c}0\\ -\frac{1}{J}\end{array}\right]f\left(t\right)+\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{L_a}& 0\\ 0& \frac{1}{J}\end{array}\right]w\left(t\right)---\left(2\right)$

显然式(2)为连续系统模型，因此需要对式(2)进行离散化，选取满足香农采样定理的采样周期T_s，并将电动机转速作为输出，同时考虑传感器检测电动机转速过程中受到的扰动影响，进一步可以得到执行器故障机电控制系统的离散状态空间模型：

$\begin{array}{c}x(i+1)=Ax\left(i\right)+B_{f}f\left(i\right)+Bu\left(i\right)+B_{w}w\left(i\right)\\ y\left(i\right)=Cx\left(i\right)+D_{v}v\left(i\right)\end{array}---\left(3\right)$

式中i为对机电控制系统(2)离散化后的采样时刻；u(i)，y(i)和x(i)分别是机电控制系统在各个离散采样时刻的输入，输出和状态向量。f(i)为待诊断的执行器故障在各个采样时刻的信号；w(i)，v(i)分别表示式(3)离散采样系统的状态和传感器输出部分在采样时刻受到的有限能量扰动，即||v(i)||＜d_v，||w(i)||＜d_w；A，B，C，B_f，B_w和D_v为离散采样系统(3)中的矩阵；矩阵对(C,A)可观测且系统运行的初始状态x(0)＝x₀。

第三步：设计迭代学习故障诊断算法

针对式(3)设计如下形式的迭代学习故障跟踪估计器：

$\begin{array}{c}{\hat{x}}_k(i+1)=A{\hat{x}}_k\left(i\right)+B_f{\hat{f}}_k\left(i\right)+Bu\left(i\right)+L\left(y\right(i)-{\hat{y}}_k(i\left)\right)\\ {\hat{y}}_k\left(i\right)=C{\hat{x}}_k\left(i\right)\end{array}---\left(4\right)$

其中分别为迭代学习故障跟踪估计器的离散输出和状态向量，下标k表示故障跟踪估计器在每个离散采样点的迭代估计次数，故障跟踪估计器的初始状态矩阵L是预先设计的增益矩阵，保证矩阵(A-LC)的特征根位于单位圆内；为故障跟踪估计器在第i个离散采样点经第k次迭代学习调节后的虚拟故障信号。

结合式(3)和式(4)的输出信号定义离散采样系统的残差：

$r_k\left(i\right)=y\left(i\right)-{\hat{y}}_k\left(i\right)---\left(5\right)$

迭代学习故障诊断算法中的虚拟故障估计算法设计为：

$\left\{\begin{array}{cc}{\hat{f}}_{k+1}\left(i\right)={\hat{f}}_k\left(i\right)+{\mathrm{\Γr}}_k\left(i+1\right),& \left|\right|r_k\left(i+1\right)\left|\right|>\mathrm{\δ}\left(i\right)\\ {\hat{f}}_{k+1}\left(i\right)={\hat{f}}_k\left(i\right)& \left|\right|r_k\left(i+1\right)\left|\right|\≤\mathrm{\δ}\left(i\right)\end{array}\right.---\left(6\right)$

式(6)中虚拟故障估计算法的启动条件：

$\left|\right|y\left(i\right)-{\hat{y}}_0\left(i\right)\left|\right|>\mathrm{\δ}\left(i\right)---\left(7\right)$

式中r_k(i)是在第i个采样点进行的第k次故障迭代估计后系统(3)的实际输出和故障跟踪估计器(4)输出之间的残差信号。虚拟故障估计的过程就是不断利用残差r_k(i)来更新虚拟故障Γ为所选取的迭代学习参数，δ(i)是判定式(3)的采样点是否发生故障的阈值。本发明的故障诊断算法利用故障跟踪估计器(4)对离散采样系统(3)的输出进行跟踪，反复更新故障跟踪估计器(4)中的虚拟故障(6)使其逐渐接近系统实际故障从而达到故障估计的目的。首先根据顺序依次将离散系统输出和故障跟踪估计器输出作比较得到残差信号，若其残差信号在阈值限定范围内则判定该点无故障发生，否则判定为发生故障并启动迭代学习故障估计算法，然后利用残差信号调节虚拟故障的值并再次比较，反复执行此步骤直到残差值收敛到阈值范围内，则故障诊断过程结束并将此时得到的虚拟故障作为实际故障的估计值，然后再利用同样方法进行下一个采样点的故障诊断。

第四步：分析迭代学习故障诊断算法的收敛性和阈值选择条件

定义采样点经第k次迭代学习诊断后的状态误差为：

$e_k\left(i\right)=x\left(i\right)-{\hat{x}}_k\left(i\right)---\left(8\right)$

虚拟故障的估计误差为：

${\mathrm{\Δf}}_k\left(i\right)=f\left(i\right)-{\hat{f}}_k\left(i\right)---\left(9\right)$

由式(8)、(9)和式(3)、(4)可得误差系统的状态方程为：

$\begin{array}{c}{e}_k\left(i+1\right)=\left(A-LC\right)e_k\left(i\right)+B_f{\mathrm{\Δf}}_k\left(i\right)+B_{w}w\left(i\right)-{\mathrm{LD}}_{v}v\left(i\right)\\ r_k\left(i\right)={\mathrm{Ce}}_k\left(i\right)+D_{v}v\left(i\right)\end{array}---\left(10\right)$

由式(10)可得

$e_k(i+1)=\mathrm{\Φ}(i,0)e_k\left(0\right)+\underset{s=0}{\overset{i}{\Σ}}\mathrm{\Φ}(i,s+1)\left(B_f\mathrm{\Δ}f\right(s)+B_{w}w(s)-{\mathrm{LD}}_{v}v(s\left)\right)---\left(11\right)$

其中Φ(·)是式(10)的状态转移矩阵，对式(11)两边取范数后可得

$\left|\right|e_k(i+1)\left|\right|\≤\left|\right|\mathrm{\Φ}(i,0)e_k\left(0\right)\left|\right|+\underset{s=0}{\overset{i}{\Σ}}\left|\right|\mathrm{\Φ}(i,s+1)B_f\mathrm{\Δ}f\left(s\right)\left|\right|+\underset{s=0}{\overset{i}{\Σ}}\left|\right|\mathrm{\Φ}(i,s+1)\left(B_{w}w\right(s)-{\mathrm{LD}}_{v}v(s\left)\right)\left|\right|---\left(12\right)$

又由式(10)可得

r_k(i)≤||C||||e_k(i)||+||D_vv(i)||＝c||e_k(i)||+d₁ (13)

其中c＝||C||，结合式(12)可得

r_k(i)≤cβ+c(a₁+a₂)+d₁＝δ(i) (14)

其中为系统状态干扰的累积量,代表系统输出部分传感器受到的干扰累积量,是前面虚拟故障估计误差的累积量。因为算法是按照采样顺序逐点诊断故障，所以每个采样点都要进行故障判定，即每个点都需要有其对应的阈值，阈值大小由系统干扰和故障误差确定，而故障估计误差的范围又是通过干扰确定的，所以阈值实际上是由干扰和系统参数决定，只要获取系统参数值和干扰范围就可以计算出各采样点的阈值大小。

针对式(3)设计的迭代学习故障跟踪估计器(4)，若其参数满足||I-ΓCB_f||＜1的条件，则当迭代学习次数k→∞时,在范数意义下迭代学习故障跟踪估计器的最终输出逼近离散采样系统的实际采样输出y(i)，虚拟故障逼近采样时刻的实际故障f(i)。本发明的迭代学习故障诊断算法交换了故障诊断过程中时域和迭代域的次序，因而能够根据采样顺序逐点诊断故障，进而减小前面采样点故障在诊断过程中的估计误差对后续采样点的影响，更重要的是为后续加入故障初值预估算法提供了条件。由于需要对每个采样点进行收敛性分析，常规的λ范数分析法不再适用，所里利用递推法进行收敛性分析。

由式(10)可得

r_k(i+1)＝C(A-LC)e_k(i)+CB_fΔf_k(i)+CB_ww(i)-CLD_vv(i)+D_vv(i) (15)

进一步由式(6)和式(9)可得

Δf_k+1(i)＝Δf_k(i)-Γr_k(i+1) (16)

将式(15)带入式(16)后可以得到

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Δf}}_{k+1}\left(i\right)={\mathrm{\Δf}}_k\left(i\right)-{\mathrm{\ΓCB}}_f{\mathrm{\Δf}}_k\left(i\right)-\mathrm{\Γ}C\left(A-LC\right)e_k\left(i\right)-{\mathrm{\ΓCB}}_{w}w\left(i\right)-\mathrm{\Γ}\left(CL-I\right)D_{v}v\left(i\right)\\ =\left(I-{\mathrm{\ΓCB}}_f\right){\mathrm{\Δf}}_k\left(i\right)-\mathrm{\Γ}C\left(A-LC\right)e_k\left(i\right)-{\mathrm{\ΓCB}}_{w}w\left(i\right)-\mathrm{\Γ}\left(CL-I\right)D_{v}v\left(i\right)\end{array}---\left(17\right)$

再将式(10)带入式(17)后可得

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Δf}}_{k+1}\left(i\right)=\left(I-{\mathrm{\ΓCB}}_f\right){\mathrm{\Δf}}_k\left(i\right)-{\mathrm{\ΓCB}}_{w}w\left(i\right)-\mathrm{\Γ}\left(CL-I\right)D_{v}v\left(i\right)-\\ \mathrm{\Γ}C(A-LC)\underset{s=0}{\overset{i-1}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\Φ}\left(i,s+1\right)\left(B_f\mathrm{\Δ}f\right(s)+B_{w}w(s)-{\mathrm{LD}}_{v}v(s\left)\right)\end{array}---\left(18\right)$

当i＝0时

Δf_k+1(0)＝(I-ΓCB_f)Δf_k(0)-ΓCB_ww(0)-Γ(CL-I)D_vv(0) (19)

对式(19)两边取范数可得

$\begin{array}{c}\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_{k+1}\left(0\right)\left|\right|\≤\left|\right|I-{\mathrm{\ΓCB}}_f\left|\right|\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_k\left(0\right)\left|\right|+\left|\right|{\mathrm{\ΓCB}}_{w}w\left(0\right)\left|\right|+\left|\right|\mathrm{\Γ}\left(CL-I\right)D_{v}v\left(0\right)\left|\right|\\ \≤\mathrm{\ρ}\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_k\left(0\right)\left|\right|+a_3\end{array}---\left(20\right)$

其中ρ＝||I-ΓCB_f||,进一步可得

$\begin{array}{c}\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_{k+1}\left(1\right)\left|\right|\≤\mathrm{\ρ}\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_k\left(0\right)\left|\right|+a_3\≤{\mathrm{\ρ}}^2\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_{k-1}\left(0\right)\left|\right|+{\mathrm{\ρa}}_3+a_3\\ \≤{\mathrm{\ρ}}^3\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_{k-2}\left(0\right)\left|\right|+{\mathrm{\ρ}}^2{a}_3+{\mathrm{\ρa}}_3+a_3\≤...\≤{\mathrm{\ρ}}^k\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_1\left(0\right)\left|\right|+{\mathrm{\ρ}}^{k-1}{a}_3+...+{\mathrm{\ρ}}^2{a}_3+{\mathrm{\ρa}}_3+a_3\\ ={\mathrm{\ρ}}^k\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_1\left(0\right)\left|\right|+\frac{1-{\mathrm{\ρ}}^k}{1-\mathrm{\ρ}}{a}_3\end{array}---\left(21\right)$

由于0＜ρ＜1,则

$\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_k\left(0\right)\left|\right|\→\frac{1-{\mathrm{\ρ}}^k}{1-\mathrm{\ρ}}{a}_3,k\→\mathrm{\∞}---\left(22\right)$

必然存在0＜K(0)＜∞,ε＞0使得k＝K(0)，同时

$\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_k\left(0\right)\left|\right|\≤\frac{1-{\mathrm{\ρ}}^k}{1-\mathrm{\ρ}}{a}_3+\mathrm{\ϵ}=\mathrm{\α}\left(0\right)+\mathrm{\η}\left(0\right)\mathrm{\ϵ}=\mathrm{\Δ}F\left(0\right)---\left(23\right)$

其中η(0)＝1，由式(10)可得

e_K(0)(1)＝Φ(1,1)(B_fΔf_K(0)(0)+B_ww(0)-LD_vv(0)) (24)

对式(24)两边取范数后进一步得到

其中θ(1)＝a₄+bα(0)，b＝||B_f||，而且

其中γ(1)＝cθ(1)+d₁,R(1)为此时的残差最大值。

当i＝1时

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Δf}}_{k+1}\left(1\right)=\left(I-{\mathrm{\ΓCB}}_f\right){\mathrm{\Δf}}_k\left(1\right)-\mathrm{\Γ}C\left(A-LC\right)e_k\left(1\right)\\ -{\mathrm{\ΓCB}}_{w}w\left(i\right)-\mathrm{\Γ}\left(CL-I\right)D_{v}v\left(i\right)\end{array}---\left(27\right)$

对式(27)两边取范数后得到

$\begin{array}{c}\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_{k+1}\left(1\right)\left|\right|\≤\left|\right|I-{\mathrm{\ΓCB}}_f\left|\right|\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_k\left(1\right)\left|\right|+\left|\right|\mathrm{\Γ}C\left(A-LC\right)e_{K\left(0\right)}\left(1\right)\left|\right|\\ +\left|\right|{\mathrm{\ΓCB}}_{w}w\left(1\right)\left|\right|+\left|\right|\mathrm{\Γ}\left(CL-I\right)D_{v}v\left(1\right)\left|\right|\\ \≤\mathrm{\ρ}\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_k\left(1\right)\left|\right|+a_3+lE\left(1\right)\end{array}---\left(28\right)$

其中l＝||Γ(i)C(A-LC)||,则

$\begin{array}{c}\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_{k+1}\left(1\right)\left|\right|\≤\mathrm{\ρ}\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_k\left(1\right)\left|\right|+a_1+lE\left(1\right)\≤{\mathrm{\ρ}}^2\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_{k-1}\left(1\right)\left|\right|+\mathrm{\ρ}\left(a_1+lE\left(1\right)\right)+a_1+lE\left(1\right)\\ \≤{\mathrm{\ρ}}^3\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_{k-2}\left(1\right)\left|\right|+\left({\mathrm{\ρ}}^2+\mathrm{\ρ}+1\right)\left(a_1+lE\left(1\right)\right)\≤...\≤{\mathrm{\ρ}}^k\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_1\left(1\right)\left|\right|+\left({\mathrm{\ρ}}^{k-1}+...+{\mathrm{\ρ}}^2+\mathrm{\ρ}+1\right)\left(a_1+lE\left(1\right)\right)\\ ={\mathrm{\ρ}}^k\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_1\left(1\right)\left|\right|+\frac{1-{\mathrm{\ρ}}^k}{1-\mathrm{\ρ}}{a}_1+\frac{1-{\mathrm{\ρ}}^k}{1-\mathrm{\ρ}}lE\left(1\right)\end{array}---\left(29\right)$

由于ρ＜1,因此

$\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_k\left(1\right)\left|\right|\→\frac{1-{\mathrm{\ρ}}^k}{1-\mathrm{\ρ}}{a}_1+\frac{1-{\mathrm{\ρ}}^k}{1-\mathrm{\ρ}}lE\left(1\right),k\→\mathrm{\∞}---\left(30\right)$

此时存在0＜K(1)＜∞，ε＞0使得k＝K(1)，并且

其中由式(15)可得

$e_{K\left(1\right)}\left(2\right)=\underset{s=0}{\overset{1}{\Σ}}\mathrm{\Φ}(2,s+1)\left(B_f{\mathrm{\Δf}}_{K\left(s\right)}\right(s)+B_{w}w(s)-{\mathrm{LD}}_{v}v(s\left)\right)---\left(32\right)$

对式(32)两边取范数后得到

其中则

其中γ(2)＝cθ(2)+d₁，R(2)为此时的残差最大值。以此递推，当i＝n-1时

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Δf}}_{k+1}\left(n-1\right)=\left(I-{\mathrm{\ΓCB}}_f\right){\mathrm{\Δf}}_k\left(n-1\right)-{\mathrm{\ΓCB}}_{w}w\left(n-1\right)\\ -\mathrm{\Γ}C\left(A-LC\right)e_{K\left(n\right)}\left(n-1\right)-\mathrm{\Γ}\left(CL-I\right)D_{v}v\left(n-1\right)\end{array}---\left(35\right)$

同样对式(35)两边取范数后可得

$\begin{array}{c}\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_{k+1}\left(n-1\right)\left|\right|\≤\left|\right|I-{\mathrm{\ΓCB}}_f\left|\right|\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_k\left(n-1\right)\left|\right|+\left|\right|\mathrm{\Γ}C\left(A-LC\right)\left|\right|\left|\right|e_{K\left(n-1\right)}\left(n-1\right)\left|\right|\\ +\left|\right|{\mathrm{\ΓCB}}_{w}w\left(n-1\right)\left|\right|+\left|\right|\mathrm{\Γ}\left(CL-I\right)D_{v}v\left(n-1\right)\left|\right|\≤\mathrm{\ρ}\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_k\left(n-1\right)\left|\right|+a_3+lE\left(n-1\right)\end{array}---\left(36\right)$

进一步展开后得到

$\begin{array}{c}\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_{k+1}\left(n-1\right)\left|\right|\≤\mathrm{\ρ}\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_k\left(n-1\right)\left|\right|+a_3+lE\left(n-1\right)\\ \≤{\mathrm{\ρ}}^2\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_{k-1}\left(n-1\right)\left|\right|+\mathrm{\ρ}\left(a_3+lE\left(n-1\right)\right)+a_3+lE\left(n-1\right)\\ \≤{\mathrm{\ρ}}^3\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_{k-2}\left(n-1\right)\left|\right|+\left({\mathrm{\ρ}}^2+\mathrm{\ρ}+1\right)\left(a_3+lE\left(n-1\right)\right)\\ \≤...\\ \≤{\mathrm{\ρ}}^k\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_1\left(n-1\right)\left|\right|+\left({\mathrm{\ρ}}^{k-1}+...+{\mathrm{\ρ}}^2+\mathrm{\ρ}+1\right)\left(a_3+lE\left(n-1\right)\right)\\ ={\mathrm{\ρ}}^k\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_1\left(n-1\right)\left|\right|+\frac{1-{\mathrm{\ρ}}^k}{1-\mathrm{\ρ}}\left(a_3+lE\left(n-1\right)\right)\end{array}---\left(37\right)$

由于0＜ρ＜1,则

$\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_k(n-1)\left|\right|\→\frac{1-{\mathrm{\ρ}}^k}{1-\mathrm{\ρ}}(a_3+lE(n-1\left)\right),k\→\mathrm{\∞}---\left(38\right)$

此时必然存在0＜K(n-1)＜∞，ε＞0使得k＝K(n-1)，而且

$\left|\right|{\mathrm{\Δf}}_k(n-1)\left|\right|\≤\frac{1-{\mathrm{\ρ}}^k}{1-\mathrm{\ρ}}(a_3+lE(n-1\left)\right)+\mathrm{\ϵ}=\mathrm{\α}(n-1)+\mathrm{\η}(n-1)\mathrm{\ϵ}=\mathrm{\Δ}F(n-1)---\left(39\right)$

其中结合式(15)可得

$e_{K(n-1)}\left(n\right)=\underset{s=0}{\overset{n-1}{\Σ}}\mathrm{\Φ}(n,s+1)\left(B_f{\mathrm{\Δf}}_{K\left(s\right)}\right(s)+B_{w}w(s)-{\mathrm{LD}}_{v}v(s\left)\right)---\left(40\right)$

对式(40)两边取范数后得到

其中此时系统的残差为

其中γ(n)＝cθ(n)+d₁，R(n)是最终的残差值。因此，最终系统的故障估计误差收敛于序列ΔF(0)，ΔF(1)，...，ΔF(n-1)，输出误差收敛于序列R(1)，R(2)，…R(n)，若ε→0，则ΔF(i)→{α(n)}，R(i)→{γ(n)}，i＝0,1,2…n。在收敛性分析里加入ε项，是为了给故障诊断过程设定一个平衡诊断时间和精度的指标，从而使诊断算法更加灵活。通常阈值范围若选取得比较小，在诊断过程中就会出现迭代次数过多导致诊断时间较长的情况，此时如果更侧重诊断的快速性则可以将ε值适当增大以减小故障诊断的时间代价。

第五步：在迭代学习故障诊断算法中加入初值预估算法

本发明基于离散采样点设计迭代学习故障诊断算法，可以根据采样顺序逐点诊断出故障，因此在诊断某采样点故障时不必将虚拟故障初值设置为零，可以充分利用该采样点前面已估计出的故障信息对该点故障进行预估，并将估计值作为其虚拟故障的初值。这样选取虚拟故障初值使得故障预估值会尽量接近实际故障值，最好的情况是预估值和故障实际值误差在所要求范围内，表明此预估值足以反映故障实际值，则此采样点的故障诊断结束，所需迭代次数为0，当然这种情况可能不会经常发生，多数情况下故障预估值和实际故障值有较大偏差。同时由于故障模型未知，所以在预估算法选择上，不能直接利用所有已估计出的故障点。本发明根据滑动平均滤波原理提出一种滑动故障初值预估方法，只选取采样点之前距离最近一个时段内的故障信息对该点的故障进行预测估计。设计初值预估算法如下：

$Pn\left(i\right)=polyfit\left(p_H\right(i),{\hat{f}}_H(i),n)---\left(43\right)$

${\hat{f}}_0\left(i\right)=polyval\left(Pn\right(i),i)---\left(44\right)$

式中p_Η(i)＝[i-Η,…,i-1]是第i个采样点之前的H个采样时间点向量，H是滑动窗口长度，为相对应的H个已估计出的故障值，Pn(i)＝[p_n(i),…,p₀(i)]为第i个采样点之前的由H个采样点故障估计值线性拟合得到的多项式系数向量，n是所用拟合多项式的次数，是第i个采样点的故障初值预估值。因此，本发明进一步将线性拟合与滑动平均滤波方法中滑动窗口的思想相结合，在诊断某一采样点的故障之前，首先对其之前已估计出的H个故障点进行线性拟合，利用拟合出的多项式函数求得第i个故障点的故障值即为第i个采样点的故障初值预估值，然后采用前面算法对该采样点进行故障诊断。此采样点诊断结束后，诊断结果又会作为已知值来预估下一个采样点的故障值，此时滑动窗口加入同时丢掉使窗口长度仍为H。由此可知，窗口将始终保持固定长度，并沿着离散采样序列滑动，当向前滑动一步时，窗口前面将进入一个新的数据，后面会丢弃一个旧数据，滑动窗口中始终存放着与待诊断采样点距离最近的故障估计值。

本发明的优点是：以机电控制系统这类在工业中广泛应用的工业设备为研究对象，利用其在实际应用过程中的离散采样特性进行故障诊断。本发明的初值预估迭代学习故障诊断算法可以减小诊断过程中前面离散采样点故障的估计误差对后续离散采样点故障诊断的影响，从而有效减少迭代次数,提高故障诊断效率；故障算法结构简单，不仅可以检测和重构机电控制系统的各类型执行器故障，而且易于工程实现，便于实时在线诊断故障。可进一步推广应用于机械臂，磁盘驱动读取系统等实际工程对象。

附图说明

图1为机电控制系统的迭代学习故障诊断结构图

图2为机电控制系统突变信号故障的诊断结果(不带预估算法)

图3为机电控制系统突变信号故障的诊断残差(不带预估算法)

图4为机电控制系统突变信号故障诊断的采样点迭代次数(不带预估算法)

图5为机电控制系统渐变信号故障的诊断结果(不带预估算法)

图6为机电控制系统渐变信号故障的诊断残差(不带预估算法)

图7为机电控制系统渐变信号故障诊断的采样点迭代次数(不带预估算法)

图8为机电控制系统突变信号故障的诊断结果(带预估算法)

图9为机电控制系统突变信号故障的诊断残差(带预估算法)

图10为机电控制系统突变信号故障诊断的采样点迭代次数(带预估算法)

图11为机电控制系统渐变信号故障的诊断结果(带预估算法)

图12为机电控制系统渐变信号故障的诊断残差(带预估算法)

图13为机电控制系统渐变信号故障诊断的采样点迭代次数(带预估算法)

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式做进一步说明。

针对式(1)形式的一种执行器单元故障的机电控制系统，当电枢电阻R_a＝2.1Ω，转子转动惯量J＝1kgm²，电枢电感L_a＝800mH，反电动势系数C_e＝0.18V/(rad/s)，电机轴机械阻尼系数C_f＝1.07×10^-3Nm/(rad/s)，转矩系数C_M＝0.646Nm/A时，利用电枢电流、电动机转速和输入电压构建如式(2)形式的机电控制系统离散状态空间方程，然后根据香农采样定理选取采样周期T_s＝0.2s，同时采用零阶保持法对机电控制系统进行离散化，可以得到如式(3)形式的离散状态空间方程，各个参数矩阵为：

$\left\{\begin{array}{c}A=\left[\begin{array}{cc}0.589& -0.035\\ 0.100& 0.997\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0.194\\ 0.013\end{array}\right],B_f=\left[\begin{array}{c}0.005\\ -0.250\end{array}\right]\\ B_w=\left[\begin{array}{cc}0.194& -0.005\\ 0.013& 0.250\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right],D_v=1\end{array}\right.$

显然离散采样系统满足可观测性条件，当系统的状态初值x₀＝[0.1 0.2]^T，测试输入电压u(i)＝48V时，机电控制系统在运行过程中电枢电流和电动机转速分别受到能量为0.02的白噪声扰动w(i)和v(i)的影响。根据本发明方法设计如式(4)形式的迭代学习故障跟踪估计器，并选取增益矩阵L＝[1 1]^T，进一步设计如式(6)形式的虚拟故障估计算法，迭代增益选为Γ＝0.6，故障诊断方法中的算法启动阈值为0.08，选取式(43)和(44)的预估拟合多项式次数n＝2，初值预估算法(44)的滑动窗口长度H＝5，进而利用所设计的初值预估迭代学习故障诊断算法检测和估计执行器故障。故障诊断结构图如图1所示。由于机电系统运行过程中会出现的机械轴卡死或电压源异常等突变信号故障f₁(t)，以及执行机构疲劳和磨损或制动器长时间作业老化和磨损导致的性能降低所表现出的渐变信号故障f₂(t)

图2-图7是分别对突变信号故障f₁(t)，渐变信号故障f₂(t)通过不带故障初值预估算法进行故障诊断后虚拟故障估计和诊断残差的结果。图8-图13则是本发明中带故障初值预估迭代学习故障诊断算法后的诊断结果。可见无论是否加入初值预估算法，本发明的迭代学习故障诊断方法都可以检测故障的发生并对故障进行较准确的估计，而且对不同类型的故障有一定的适应性。由于初值偏差和随机扰动的影响，执行器故障估计的起始误差和残差信号较大，但随时间推移都会逐渐减小，最终收敛到阈值限定的范围内。另外由于本发明的迭代学习故障诊断算法交换了时间和迭代次序，所以算法会对每个离散采样点的故障进行迭代估计，各离散采样点的迭代过程是独立进行的。比较图4和图10、图7和图13可以看出，每个采样点的迭代次数是不同的。将各个离散采样点的迭代次数相加定义为离散迭代次数总和，用离散迭代总和表示算法的诊断效率。在诊断效果大致相同的情况下，对于突变信号故障，不带初值预估的故障诊断算法迭代总次数为364次，带初值预估的故障诊断算法迭代总次数为89次；对于渐变信号故障，不带初值预估的故障诊断算法迭代总次数为372次，带初值预估的故障诊断算法迭代总次数为175次。可见加入虚拟故障初值预估算法可以非常有效减少迭代次数，从而提高故障诊断的效率，进而提高故障诊断结果的实时性。

上述实施例仅仅是为清楚地说明本发明所作的实施举例，而并非是对本发明的实施方式的限定，对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动。

Claims (1)

1.一种机电控制系统的初值预估迭代学习故障诊断算法，其特征包括：建立执行器单元发生故障的机电控制系统模型；构建执行器故障机电控制系统的离散状态空间方程；设计迭代学习故障诊断算法；分析迭代学习故障诊断算法的收敛性和阈值选择条件；在迭代学习故障诊断算法中加入初值预估算法，实现机电控制系统的实时故障诊断；

第一步：建立执行器单元发生故障的机电控制系统模型

考虑到机电控制系统在实际应用过程中会受到扰动的影响，因此执行器单元发生故障的机电控制系统模型可以描述为：

$\left\{\begin{array}{c}{R}_a{i}_a\left(t\right)+L_a\frac{{\mathrm{di}}_a\left(t\right)}{dt}+C_e\mathrm{\ω}\left(t\right)=e\left(t\right)+w_1\left(t\right)\\ J\frac{d\mathrm{\ω}\left(t\right)}{dt}+C_f\mathrm{\ω}\left(t\right)+f\left(t\right)=C_M{i}_a\left(t\right)+w_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中R_a为电枢电阻，J为转子转动惯量，L_a为电枢电感，C_e为反电动势系数，C_f为电机轴机械阻尼系数，C_M为转矩系数，ω(t)为电动机转速，i_a(t)为电枢电流，e(t)为输入电压，f(t)为执行器单元发生的故障，故障信号在电动机运行过程中通常表现为一类非线性函数，w₁(t)和w₂(t)分别为电动机运行过程中受到的扰动；

第二步：构建执行器故障机电控制系统的离散状态空间方程

利用电动机的电枢电流和转速定义状态变量x(t)＝[i_a(t) ω(t)]^T，利用输入电压定义系统输入变量u(t)＝e(t)，定义扰动变量w(t)＝[w₁(t) w₂(t)]^T，则式(1)所示的一种机电控制系统可描述为：

$\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=\left[\begin{array}{cc}-\frac{R_a}{L_a}& -\frac{C_e}{L_a}\\ \frac{C_M}{J}& -\frac{C_f}{J}\end{array}\right]x\left(t\right)+\left[\begin{array}{c}\frac{1}{L_a}\\ 0\end{array}\right]u\left(t\right)+\left[\begin{array}{c}0\\ -\frac{1}{J}\end{array}\right]f\left(t\right)+\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{L_a}& 0\\ 0& \frac{1}{J}\end{array}\right]w\left(t\right)---\left(2\right)$

显然式(2)为连续系统模型，因此需要对式(2)进行离散化，选取满足香农采样定理的采样周期T_s，并将电动机转速作为输出，同时考虑传感器检测电动机转速过程中受到的扰动影响，进一步可以得到执行器故障机电控制系统的离散状态空间模型：

$\begin{array}{c}x(i+1)+Ax\left(i\right)+B_{f}f\left(i\right)+Bu\left(i\right)+B_{w}w\left(i\right)\\ y\left(i\right)=Cx\left(i\right)+D_{v}v\left(i\right)\end{array}---\left(3\right)$

式中i为对机电控制系统(2)离散化后的采样时刻；u(i)，y(i)和x(i)分别是机电控制系统在各个离散采样时刻的输入，输出和状态向量；f(i)为待诊断的执行器故障在各个采样时刻的信号；w(i)，v(i)分别表示式(3)离散采样系统的状态和传感器输出部分在采样时刻受到的有限能量扰动，即||v(i)||＜d_v，||w(i)||＜d_w；A，B，C，B_f，B_w和D_v为离散采样系统(3)中的矩阵；矩阵对(C,A)可观测且系统运行的初始状态x(0)＝x₀；

第三步：设计迭代学习故障诊断算法

针对式(3)设计如下形式的迭代学习故障跟踪估计器：

$\begin{array}{c}{\hat{x}}_k(i+1)=A{\hat{x}}_k\left(i\right)+B_f{\hat{f}}_k\left(i\right)+Bu\left(i\right)+L\left(y\right(i)-\hat{y}(i\left)\right)\\ {\hat{y}}_k\left(i\right)=C\hat{x}\left(i\right)\end{array}---\left(4\right)$

其中分别为迭代学习故障跟踪估计器的离散输出和状态向量，下标k表示故障跟踪估计器在每个离散采样点的迭代估计次数，故障跟踪估计器的初始状态矩阵L是预先设计的增益矩阵，保证矩阵(A-LC)的特征根位于单位圆内；为故障跟踪估计器在第i个离散采样点经第k次迭代学习调节后的虚拟故障信号；

结合式(3)和式(4)的输出信号定义离散采样系统的残差：

$r_k\left(i\right)=y\left(i\right)-{\hat{y}}_k\left(i\right)---\left(5\right)$

迭代学习故障诊断算法中的虚拟故障估计算法设计为：

$\{\begin{array}{cc}{\hat{f}}_{k+1}\left(i\right)={\hat{f}}_k\left(i\right)+{\mathrm{\Γr}}_k(i+1,)& ||r_k(i+1)||>\mathrm{\δ}\left(i\right)\\ {\hat{f}}_{k+1}\left(i\right)={\hat{f}}_k\left(i\right)& ||r_k(i+1)||\≤\mathrm{\δ}\left(i\right)\end{array}---\left(6\right)$

式(6)中虚拟故障估计算法的启动条件：

$||y\left(i\right)-{\hat{y}}_0\left(i\right)||>\mathrm{\δ}\left(i\right)---\left(7\right)$

式中r_k(i)是在第i个采样点进行的第k次故障迭代估计后系统(3)的实际输出和故障跟踪估计器(4)输出之间的残差信号；虚拟故障估计的过程就是不断利用残差r_k(i)来更新虚拟故障Γ为所选取的迭代学习参数，δ(i)是判定式(3)的采样点是否发生故障的阈值；本发明的故障诊断算法利用故障跟踪估计器(4)对离散采样系统(3)的输出进行跟踪，反复更新故障跟踪估计器(4)中的虚拟故障(6)使其逐渐接近系统实际故障从而达到故障估计的目的；首先根据顺序依次将离散系统输出和故障跟踪估计器输出作比较得到残差信号，若其残差信号在阈值限定范围内则判定该点无故障发生，否则判定为发生故障并启动迭代学习故障估计算法，然后利用残差信号调节虚拟故障的值并再次比较，反复执行此步骤直到残差值收敛到阈值范围内，则故障诊断过程结束并将此时得到的虚拟故障作为实际故障的估计值，然后再利用同样方法进行下一个采样点的故障诊断；

第四步：分析迭代学习故障诊断算法的收敛性和阈值选择条件

定义采样点经第k次迭代学习诊断后的状态误差为：

$e_k\left(i\right)=x\left(i\right)-{\hat{x}}_k\left(i\right)---\left(8\right)$

虚拟故障的估计误差为：

${\mathrm{\Δf}}_k\left(i\right)=f\left(i\right)-\hat{f}\left(i\right)---\left(9\right)$

由式(8)、(9)和式(3)、(4)可得误差系统的状态方程为：

$\begin{array}{c}{e}_k(i+1)=(A-LC)e_k\left(i\right)+B_f{\mathrm{\Δf}}_k\left(i\right)+B_{w}w\left(i\right)-{\mathrm{LD}}_{v}v\left(i\right)\\ r_k\left(i\right)={\mathrm{Ce}}_k\left(i\right)+D_{v}v\left(i\right)\end{array}---\left(10\right)$

由式(10)可得

$e_k(i+1)=\mathrm{\Φ}(i,0)e_k\left(0\right)+\underset{s=0}{\overset{i}{\Σ}}\mathrm{\Φ}(i,s+1)\left(B_f\mathrm{\Δ}f\right(s)+B_{w}w(s)-{\mathrm{LD}}_{v}v\left(s\right))---\left(11\right)$

其中Φ(·)是式(10)的状态转移矩阵，对式(11)两边取范数后可得

$||e_k(i+1)||\≤||\mathrm{\Φ}(i,0)e_k\left(0\right)||+\underset{s=0}{\overset{i}{\Σ}}||\mathrm{\Φ}(i,s+1)B_f\mathrm{\Δ}f\left(s\right)||+\underset{s=0}{\overset{i}{\Σ}}||\mathrm{\Φ}(i,s+1)\left(B_{w}w\right(s)-{\mathrm{LD}}_{v}v(s\left)\right)||---\left(12\right)$

又由式(10)可得

r_k(i)≤||C||||e_k(i)||+||D_vv(i)||＝c||e_k(i)||+d₁ (13)

其中c＝||C||，结合式(12)可得

r_k(i)≤cβ+c(a₁+a₂)+d₁＝δ(i) (14)

其中为系统状态干扰的累积量,代表系统输出部分传感器受到的干扰累积量,是前面虚拟故障估计误差的累积量；因为算法是按照采样顺序逐点诊断故障，所以每个采样点都要进行故障判定，即每个点都需要有其对应的阈值，阈值大小由系统干扰和故障误差确定，而故障估计误差的范围又是通过干扰确定的，所以阈值实际上是由干扰和系统参数决定，只要获取系统参数值和干扰范围就可以计算出各采样点的阈值大小；

针对式(3)设计的迭代学习故障跟踪估计器(4)，若其参数满足||I-ΓCB_f||＜1的条件，则当迭代学习次数k→∞时,在范数意义下迭代学习故障跟踪估计器的最终输出逼近离散采样系统的实际采样输出y(i)，虚拟故障逼近采样时刻的实际故障f(i)；本发明的迭代学习故障诊断算法交换了故障诊断过程中时域和迭代域的次序，因而能够根据采样顺序逐点诊断故障，进而减小前面采样点故障在诊断过程中的估计误差对后续采样点的影响，更重要的是为后续加入故障初值预估算法提供了条件；由于需要对每个采样点进行收敛性分析，常规的λ范数分析法不再适用，所里利用递推法进行收敛性分析；

由式(10)可得

r_k(i+1)＝C(A-LC)e_k(i)+CB_fΔf_k(i)+CB_ww(i)-CLD_vv(i)+D_vv(i) (15)

进一步由式(6)和式(9)可得

Δf_k+1(i)＝Δf_k(i)-Γr_k(i+1) (16)

将式(15)带入式(16)后可以得到

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Δf}}_{k+1}\left(i\right)={\mathrm{\Δf}}_k\left(i\right)-{\mathrm{\ΓCB}}_f{\mathrm{\Δf}}_k\left(i\right)-\mathrm{\Γ}C(A-LC)e_k\left(i\right)-{\mathrm{\ΓCB}}_{w}w\left(i\right)-\mathrm{\Γ}(CL-I)D_{v}v\left(i\right)\\ =(I-{\mathrm{\ΓCB}}_f){\mathrm{\Δf}}_k\left(i\right)-\mathrm{\Γ}C(A-LC)e_k\left(i\right)-{\mathrm{\ΓCB}}_{w}w\left(i\right)-\mathrm{\Γ}(CL-I)D_{v}v\left(i\right)\end{array}---\left(17\right)$

再将式(10)带入式(17)后可得

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Δf}}_{k+1}\left(i\right)=(I-{\mathrm{\ΓCB}}_f){\mathrm{\Δf}}_k\left(i\right)-{\mathrm{\ΓCB}}_{w}w\left(i\right)-\mathrm{\Γ}(CL-I)D_{v}v\left(i\right)-\\ \mathrm{\Γ}C(A-LC)\underset{s=0}{\overset{i-1}{\Σ}}\mathrm{\Φ}(i,s+1)\left(B_f\mathrm{\Δ}f\right(s)+B_{w}w(s)-{\mathrm{LD}}_{v}v(s\left)\right)\end{array}---\left(18\right)$

当i＝0时

Δf_k+1(0)＝(I-ΓCB_f)Δf_k(0)-ΓCB_ww(0)-Γ(CL-I)D_vv(0) (19)

对式(19)两边取范数可得

$\begin{array}{c}||{\mathrm{\Δf}}_{k+1}\left(0\right)||\≤||I-{\mathrm{\ΓCB}}_f||||{\mathrm{\Δf}}_k\left(0\right)||+||{\mathrm{\ΓCB}}_{w}w\left(0\right)||+||\mathrm{\Γ}(CL-I)D_{v}v\left(0\right)||\\ \≤\mathrm{\ρ}||{\mathrm{\Δf}}_k\left(0\right)||+a_3\end{array}---\left(20\right)$

其中ρ＝||I-ΓCB_f||,进一步可得

$\begin{array}{c}||{\mathrm{\Δf}}_{k+1}\left(1\right)||\≤\mathrm{\ρ}||{\mathrm{\Δf}}_k\left(0\right)||+a_3\≤{\mathrm{\ρ}}^2||{\mathrm{\Δf}}_{k-1}\left(0\right)||+{\mathrm{\ρa}}_3+a_3\\ \≤{\mathrm{\ρ}}^3||{\mathrm{\Δf}}_{k-2}\left(0\right)||+{\mathrm{\ρ}}^2{a}_3+{\mathrm{\ρa}}_3+a_3\≤\mathrm{...}\≤{\mathrm{\ρ}}^k||{\mathrm{\Δf}}_1\left(0\right)||+{\mathrm{\ρ}}^{k-1}{a}_3+\mathrm{...}+{\mathrm{\ρ}}^2{a}_3+{\mathrm{\ρa}}_3+a_3\\ ={\mathrm{\ρ}}^k||{\mathrm{\Δf}}_1\left(0\right)||+\frac{1-{\mathrm{\ρ}}^k}{1-\mathrm{\ρ}}{a}_3\end{array}---\left(21\right)$

由于0＜ρ＜1,则

$||{\mathrm{\Δf}}_k\left(0\right)||\→\frac{1-{\mathrm{\ρ}}^k}{1-\mathrm{\ρ}}{a}_3,k\→\mathrm{\∞}---\left(22\right)$

必然存在0＜K(0)＜∞,ε＞0使得k＝K(0)，同时

$||{\mathrm{\Δf}}_k\left(0\right)||\≤\frac{1-{\mathrm{\ρ}}^k}{1-\mathrm{\ρ}}{a}_3+\mathrm{\ϵ}=\mathrm{\α}\left(0\right)+\mathrm{\η}\left(0\right)\mathrm{\ϵ}=\mathrm{\Δ}F\left(0\right)---\left(23\right)$

其中η(0)＝1，由式(10)可得

e_K(0)(1)＝Φ(1,1)(B_fΔf_K(0)(0)+B_ww(0)-LD_vv(0)) (24)

对式(24)两边取范数后进一步得到

其中θ(1)＝a₄+bα(0)，b＝||B_f||，而且

其中γ(1)＝cθ(1)+d₁,R(1)为此时的残差最大值；

当i＝1时

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Δf}}_{k+1}\left(1\right)=(I-{\mathrm{\ΓCB}}_f){\mathrm{\Δf}}_k\left(1\right)-\mathrm{\Γ}C(A-LC)e_k\left(1\right)\\ -{\mathrm{\ΓCB}}_{w}w\left(i\right)-\mathrm{\Γ}(CL-I)D_{v}v\left(i\right)\end{array}---\left(27\right)$

对式(27)两边取范数后得到

$\begin{array}{c}||{\mathrm{\Δf}}_{k+1}\left(1\right)||\≤||I-{\mathrm{\ΓCB}}_f||||{\mathrm{\Δf}}_k\left(1\right)||+||\mathrm{\Γ}C(A-LC)e_{K\left(0\right)}\left(1\right)||\\ +||{\mathrm{\ΓCB}}_{w}w\left(1\right)||+||\mathrm{\Γ}(CL-I)D_{v}v\left(1\right)||\\ \≤\mathrm{\ρ}||{\mathrm{\Δf}}_k\left(1\right)||+a_3+lE\left(1\right)\end{array}---\left(28\right)$

其中l＝||Γ(i)C(A-LC)||,则

$\begin{array}{c}||{\mathrm{\Δf}}_{k+1}\left(1\right)||\≤\mathrm{\ρ}||{\mathrm{\Δf}}_k\left(1\right)||+a_1+lE\left(1\right)\≤{\mathrm{\ρ}}^2||{\mathrm{\Δf}}_{k-1}\left(1\right)||+\mathrm{\ρ}(a_1+lE(1\left)\right)+a_1+lE\left(1\right)\\ \≤{\mathrm{\ρ}}^3||{\mathrm{\Δf}}_{k-2}\left(1\right)||+({\mathrm{\ρ}}^2+\mathrm{\ρ}+1)(a_1+lE(1\left)\right)\≤\mathrm{...}\≤{\mathrm{\ρ}}^k||{\mathrm{\Δf}}_1\left(1\right)||+({\mathrm{\ρ}}^{k-1}+\mathrm{...}+{\mathrm{\ρ}}^2+\mathrm{\ρ}+1)(a_1+lE(1\left)\right)\\ ={\mathrm{\ρ}}^k||{\mathrm{\Δf}}_1\left(1\right)||+\frac{1-{\mathrm{\ρ}}^k}{1-\mathrm{\ρ}}{a}_1+\frac{1-{\mathrm{\ρ}}^k}{1-\mathrm{\ρ}}lE\left(1\right)\end{array}---\left(29\right)$

由于ρ＜1,因此

$||{\mathrm{\Δf}}_k\left(1\right)||\→\frac{1-{\mathrm{\ρ}}^k}{1-\mathrm{\ρ}}{a}_1+\frac{1-{\mathrm{\ρ}}^k}{1-\mathrm{\ρ}}lE\left(1\right),k\→\mathrm{\∞}---\left(30\right)$

此时存在0＜K(1)＜∞，ε＞0使得k＝K(1)，并且

其中由式(15)可得

$e_{K\left(1\right)}\left(2\right)=\underset{s=0}{\overset{1}{\Σ}}\mathrm{\Φ}(2,s+1)\left(B_f{\mathrm{\Δf}}_{K\left(s\right)}\right(s)+B_{w}w(s)-{\mathrm{LD}}_{v}v(s\left)\right)---\left(32\right)$

对式(32)两边取范数后得到

其中则

其中γ(2)＝cθ(2)+d₁，R(2)为此时的残差最大值；以此递推，当i＝n-1时

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Δf}}_{k+1}(n-1)=(I-{\mathrm{\ΓCB}}_f){\mathrm{\Δf}}_k(n-1)-{\mathrm{\ΓCB}}_{w}w(n-1)\\ -\mathrm{\Γ}C(A-LC)e_{K\left(n\right)}(n-1)-\mathrm{\Γ}(CL-I)D_{v}v(n-1)\end{array}---\left(35\right)$

同样对式(35)两边取范数后可得

$\begin{array}{c}||{\mathrm{\Δf}}_{k+1}(n-1)||\≤||I-{\mathrm{\ΓCB}}_f||||{\mathrm{\Δf}}_k(n-1)||+||\mathrm{\Γ}C(A-LC)||||e_{K(n-1)}(n-1)||\\ +||{\mathrm{\ΓCB}}_{w}w(n-1)||+||\mathrm{\Γ}(CL-I)D_{v}v(n-1)||\≤\mathrm{\ρ}||{\mathrm{\Δf}}_k(n-1)||+a_3+lE(n-1)\end{array}---\left(36\right)$

进一步展开后得到

$\begin{array}{c}||{\mathrm{\Δf}}_{k+1}(n-1)||\≤\mathrm{\ρ}||{\mathrm{\Δf}}_k(n-1)||+a_3+lE(n-1)\\ \≤{\mathrm{\ρ}}^2||{\mathrm{\Δf}}_{k-1}(n-1)||+\mathrm{\ρ}(a_3+lE(n-1\left)\right)+a_3+lE(n-1)\\ \≤{\mathrm{\ρ}}^3||{\mathrm{\Δf}}_{k-2}(n-1)||+({\mathrm{\ρ}}^2+\mathrm{\ρ}+1)(a_3+lE(n-1\left)\right)\\ \≤\mathrm{...}\\ \≤{\mathrm{\ρ}}^k||{\mathrm{\Δf}}_1(n-1)||+({\mathrm{\ρ}}^{k+1}+\mathrm{...}+{\mathrm{\ρ}}^2+\mathrm{\ρ}+1)(a_3+lE(n-1\left)\right)\\ ={\mathrm{\ρ}}^k||{\mathrm{\Δf}}_1(n-1)||+\frac{1-{\mathrm{\ρ}}^k}{1-\mathrm{\ρ}}(a_3+lE(n-1\left)\right)\end{array}---\left(37\right)$

由于0＜ρ＜1,则

$||{\mathrm{\Δf}}_k(n-1)||\→\frac{1-{\mathrm{\ρ}}^k}{1-\mathrm{\ρ}}(a_3+lE(n-1\left)\right),k\→\mathrm{\∞}---\left(38\right)$

此时必然存在0＜K(n-1)＜∞，ε＞0使得k＝K(n-1)，而且

$||{\mathrm{\Δf}}_k(n-1)||\≤\frac{1-{\mathrm{\ρ}}^k}{1-\mathrm{\ρ}}(a_3+lE(n-1\left)\right)+\mathrm{\ϵ}=\mathrm{\α}(n-1)+\mathrm{\η}(n-1)\mathrm{\ϵ}=\mathrm{\Δ}F(n-1)---\left(39\right)$

其中结合式(15)可得

$e_{K(n-1)}\left(n\right)=\underset{s=0}{\overset{n-1}{\Σ}}\mathrm{\Φ}(n,s+1)\left(B_f{\mathrm{\Δf}}_{K\left(s\right)}\right(s)+B_{w}w(s)-{\mathrm{LD}}_{v}v(s\left)\right)---\left(40\right)$

对式(40)两边取范数后得到

其中此时系统的残差为

其中γ(n)＝cθ(n)+d₁，R(n)是最终的残差值；因此，最终系统的故障估计误差收敛于序列ΔF(0)，ΔF(1)，...，ΔF(n-1)，输出误差收敛于序列R(1)，R(2)，...R(n)，若ε→0，则ΔF(i)→{α(n)}，R(i)→{γ(n)}，i＝0,1,2…n；在收敛性分析里加入ε项，是为了给故障诊断过程设定一个平衡诊断时间和精度的指标，从而使诊断算法更加灵活；通常阈值范围若选取得比较小，在诊断过程中就会出现迭代次数过多导致诊断时间较长的情况，此时如果更侧重诊断的快速性则可以将ε值适当增大以减小故障诊断的时间代价；

第五步：在迭代学习故障诊断算法中加入初值预估算法

本发明基于离散采样点设计迭代学习故障诊断算法，可以根据采样顺序逐点诊断出故障，因此在诊断某采样点故障时不必将虚拟故障初值设置为零，可以充分利用该采样点前面已估计出的故障信息对该点故障进行预估，并将估计值作为其虚拟故障的初值；这样选取虚拟故障初值使得故障预估值会尽量接近实际故障值，最好的情况是预估值和故障实际值误差在所要求范围内，表明此预估值足以反映故障实际值，则此采样点的故障诊断结束，所需迭代次数为0，当然这种情况可能不会经常发生，多数情况下故障预估值和实际故障值有较大偏差；同时由于故障模型未知，所以在预估算法选择上，不能直接利用所有已估计出的故障点；本发明根据滑动平均滤波原理提出一种滑动故障初值预估方法，只选取采样点之前距离最近一个时段内的故障信息对该点的故障进行预测估计；设计初值预估算法如下：

$Pn\left(i\right)=polyfit\left(p_H\right(i),{\hat{f}}_H(i),n)---\left(43\right)$

${\hat{f}}_0\left(i\right)=polyval\left(Pn\right(i),i)---\left(44\right)$

式中p_H(i)＝[i-H,…,i-1]是第i个采样点之前的H个采样时间点向量，H是滑动窗口长度，为相对应的H个已估计出的故障值，Pn(i)＝[p_n(i),…,p₀(i)]为第i个采样点之前的由H个采样点故障估计值线性拟合得到的多项式系数向量，n是所用拟合多项式的次数，是第i个采样点的故障初值预估值；因此，本发明进一步将线性拟合与滑动平均滤波方法中滑动窗口的思想相结合，在诊断某一采样点的故障之前，首先对其之前已估计出的H个故障点进行线性拟合，利用拟合出的多项式函数求得第i个故障点的故障值即为第i个采样点的故障初值预估值，然后采用前面算法对该采样点进行故障诊断；此采样点诊断结束后，诊断结果又会作为已知值来预估下一个采样点的故障值，此时滑动窗口加入同时丢掉使窗口长度仍为H；由此可知，窗口将始终保持固定长度，并沿着离散采样序列滑动，当向前滑动一步时，窗口前面将进入一个新的数据，后面会丢弃一个旧数据，滑动窗口中始终存放着与待诊断采样点距离最近的故障估计值；

本发明的优点是：以机电控制系统这类在工业中广泛应用的工业设备为研究对象，利用其在实际应用过程中的离散采样特性进行故障诊断；本发明的初值预估迭代学习故障诊断算法可以减小诊断过程中前面离散采样点故障的估计误差对后续离散采样点故障诊断的影响，从而有效减少迭代次数,提高故障诊断效率；故障算法结构简单，不仅可以检测和重构机电控制系统的各类型执行器故障，而且易于工程实现，便于实时在线诊断故障；可进一步推广应用于机械臂，磁盘驱动读取系统等实际工程对象。