CN105861811B - 一种振动时效效果的在线定量化评价系统及方法 - Google Patents
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Abstract
振动时效效果的在线定量化评价系统，包括上位机系统、信号发生器、驱动器、激振器、加速度传感器、电荷放大器、示波器、支撑装置；工件与激振器固定连接；信号发生器输出正弦激振信号；上位机系统包括激振频率、激振时间、电压波形获取模块，电压提取模块，振级转换模块，激振幅值转换模块，无量纲处理模块，以及振动时效效果与无量纲工艺参数之间的相互关系设置模块。振动时效效果的在线定量化评价方法包括上位机系统自动获取激振频率、激振幅值、激振时间；上位机系统自动根据振动时效效果与无量纲工艺参数之间的相互关系对振动时效效果进行在线定量化评价。本发明具有能够对振动时效效果进行在线定量化评价的优点。
Description
技术领域
本发明涉及振动时效技术领域，特指一种振动时效效果的在线定量化评价系统及方法。
技术背景
振动时效效果的评价是振动时效技术领域研究的关键问题之一，所谓振动时效效果是指振动时效消除残余应力的效果。目前振动时效效果的评价方法主要包括：参数曲线法、残余应力测量法和精度稳定性检测法。
(1)参数曲线法：参数曲线法是根据振动时效过程中参数发生有规律的变化现象总结出来的，能够对振动时效技术的效果进行在线定性评价，所用的评价准则主要包括：振动时效处理后扫频曲线的共振峰值比振动时效处理前升高；振动时效处理后扫频曲线的共振频率比振动时效处理前降低；振动时效处理后扫频曲线的带宽比振动时效处理前变窄。参数曲线法虽然是一种在线、直观、快速便捷的方法，但是这种方法只能对振动时效的效果进行定性的描述，而不能给出定量化的评价结果。(2)残余应力测量法：为了准确的评价振动时效技术消除残余应力的效果，就需要准确地评估构件振动时效前后的残余应力，然而构件内部的残余应力分布情况，特别是一些复杂构件内部残余应力的分布状态，很难采用理论计算的方法进行分析求解，所以采用实验测量的方法评估构件内部的残余应力具有非常重要的现实意义。目前残余应力的实验测量方法主要包括无损的物理测量法和有损的机械测量法，能够离线的评估构件振动时效处理前后的残余应力。残余应力测量法属于离线的评价方法，只能在振动时效过程结束后对振动时效效果进行评价。(3)精度稳定性检测法：精度稳定性检测法是通过检测构件振动时效处理后的精度来评价振动时效技术的效果，能够对振动时效技术的效果进行离线定性的评价，主要包括长期放置精度法、加动载荷后精度法等。长期放置精度法是将经过振动时效处理后的构件长期放置并且定期检测构件的尺寸稳定性，具体操作流程是在放置15天时第一次检测，以后每隔30天检测一次，总的放置时间应该在半年以上；加动载荷后精度法是检测经过振动时效处理后的构件在动载荷作用后的尺寸精度的变化量。精度稳定性检测法也属于离线、定性的评价方法，并且这种方法需要的评估周期很长。综上所述，我们不难发现这些方法虽然能够对振动时效的效果进行定性或定量的评价，但是都无法对振动时效的效果进行在线定量化评价。
发明内容
为了克服现有振动时效效果的评价方法无法实现振动时效效果在线定量化评价的不足，本发明提出一种振动时效效果的在线定量化评价系统及方法。
振动时效效果的在线定量化评价系统，包括上位机系统、信号发生器、驱动器、激振器、加速度传感器、电荷放大器、示波器、支撑装置；工件与激振器固定连接，并且采用具有弹性的支撑装置对工件进行支撑；上位机系统控制信号发生器输出幅值和频率均独立且连续可调的正弦激振信号；信号发生器输出的正弦激振信号经由驱动器输入激振器，从而驱动激振器产生振动；加速度传感器安装在工件上，加速度传感器的输出端与电荷放大器的输入通道连接，电荷放大器的输出通道与示波器连接，示波器与上位机系统连接。
上位机系统包括获取振动时效的激振频率f(kHz)的激振频率f获取模块，获取振动时效的激振时间t(min)的激振时间t获取模块，获取示波器显示的电压波形的电压波形获取模块，从电压波形中获取电压峰值U(V)的电压提取模块，将电压峰值转换为输出的加速度振级a(ms-2)的振级a转换模块，将输出的加速度振级a转换为振动时效的激振幅值A(μm)的激振幅值A转换模块，将激振频率f、激振幅值A、激振时间t进行无量纲处理的无量纲处理模块，以及振动时效效果F与无量纲激振频率无量纲激振幅值无量纲激振时间之间的相互关系设置模块。
振级转换模块中预设有加速度传感器的灵敏度值s(pC/ms-2)，电荷放大器输入通道的灵敏度系数S(pC/Unit)，放大系数K(Unit/V)；输出的加速度振级与电压峰值之间的转换关系为：输出的加速度振级与激振幅值之间的转换关系为：无量纲处理模块中预设有激振频率f与无量纲激振频率之间的转换关系激振幅值A与无量纲激振幅值之间的转换关系以及激振时间t与无量纲激振时间之间的转换关系其中f0为1kHz，A0为1μm、t0为1min。
进一步，加速度传感器为压电式加速度传感器。
进一步，支撑装置为弹性元件。
振动时效效果的在线定量化评价方法包括以下步骤：
(1)、将工件与激振器固定连接；采用支撑装置对工件进行支撑，以便激振器对工件进行激振；接通上位机系统与信号发生器之间的信号连线；接通信号发生器与驱动器之间的信号连线；接通驱动器与激振器之间的信号连线；接通上位机系统与示波器之间的信号连线；接通示波器与电荷放大器之间的信号连线；接通电荷放大器与加速度传感器之间的信号连线；接通上位机系统、信号发生器、驱动器、激振器、示波器、电荷放大器的电源。
(2)、在振级转换模块中设置加速度传感器的灵敏度值s(pC/ms-2)；电荷放大器输入通道的灵敏度系数S(pC/Unit)，放大系数K(Unit/V)。
(3)、激振频率获取模块获取振动时效的激振频率f(kHz)；激振时间获取模块获取振动时效的激振时间t(min)；电压波形获取模块获取示波器显示的电压波形；电压提取模块从电压波形中获取电压峰值U(V)；振级转换模块中输出的加速度振级与电压峰值之间的转换关系为激振幅值转换模块中输出的激振幅值与加速度振级之间的转换关系为
(4)、无量纲处理模块对激振频率f、激振幅值A以及激振时间t进行无量纲处理，具体的激振频率f与无量纲激振频率之间的转换关系为激振幅值A与无量纲激振幅值之间的转换关系为以及激振时间t与无量纲激振时间之间的转换关系为其中f0为1kHz，A0为1μm、t0为1min。
(5)、在振动时效效果F与无量纲激振频率无量纲激振幅值无量纲激振时间之间的相互关系设置模块中设置F与之间的相互关系为F(f,A,t)，并将步骤(4)中实时获取的无量纲激振频率无量纲激振幅值以及无量纲激振时间代入F(f,A,t)中即可以对振动时效效果进行在线定量化的评价。
步骤(5)中，获取振动时效效果F与无量纲激振频率无量纲激振幅值无量纲激振时间之间的相互关系的表达式F(f,A,t)包括以下步骤：
(5.1)、振动时效效果F与无量纲激振频率无量纲激振幅值无量纲激振时间之间的相互关系的表达式F(f,A,t)可以用如下的多项式进行逼近：式中：a1、a2、…、a11为实系数，其中a11为方程的常数项。
(5.2)、当工件未经振动时效处理时，即三个工艺参数的取值均为0时，工件的残余应力消除效果应为0，所以常数项a11＝0。因此，F(f,A,t)可以进一步表示为：
(5.3)、将10组不同的无量纲工艺参数组合以及它们所对应的振动时效效果F代入F(f,A,t)可以得到关于待定系数a1、a2、…、a10的10元1次方程组，通过求解此方程组即可以求解出这10个待定系数的数值。这10元1次方程组采用矩阵的形式可以表示为：
可以进一步表示为：Ga＝F。
式中：为无量纲工艺参数组合矩阵，该矩阵中的第i行表示第i次振动时效处理时的无量纲工艺参数的组合多项式；F＝[Fi]为振动时效的效果矩阵；a＝[ai]为待定系数矩阵。
(5.4)、为了求解出10个待定系数，至少需要10组不同的实验数据，为了使得步骤(5.3)中的矩阵方程有唯一的解，则无量纲工艺参数组合矩阵G的秩应满足r(G)＝10，即无量纲工艺参数组合矩阵应为满秩矩阵。因此，待定系数可以通过如下的矩阵方程求解得到：
将求解出的10个待定系数代入步骤(5.2)中的表达式F(f,A,t)，即可以建立振动时效效果F与无量纲激振频率无量纲激振幅值无量纲激振时间之间的相互关系的表达式F(f,A,t)。
本发明的技术构思是：由上位机系统、信号发生器、驱动器、激振器、加速度传感器、电荷放大器以及示波器构成振动时效效果的在线定量化评价系统；将工件与激振器固定连接；采用支撑装置对工件进行支撑，以便激振器对工件进行激振；在振动时效效果F与无量纲激振频率无量纲激振幅值无量纲激振时间之间的相互关系设置模块中设置F与之间的相互关系为F(f,A,t)；上位机系统实时获取无量纲激振频率无量纲激振幅值以及无量纲激振时间并代入表达式F(f,A,t)中即可以对振动时效效果进行在线定量化的评价。
本发明的有益效果是:
1、能够将加速度传感器输出的电荷信号转换为加速度振级，进而将加速度振级转换为激振幅值，实时、准确地获知作用在工件上的激振幅值。
2、能够建立振动时效效果F与无量纲激振频率无量纲激振幅值以及无量纲激振时间之间的定量化函数关系，能够实现对振动时效效果进行在线定量化的评价。
3、上位机系统能够自动获取无量纲激振频率无量纲激振幅值以及无量纲激振时间实现对振动时效效果进行在线定量化的评价，无需手动操作，减少了工作量，提高了工作效率。
附图说明
图1振动时效效果的在线定量化评价系统
图2Cr12MoV钢试样的尺寸示意图
具体实施方式
参照附图，进一步说明本发明：
振动时效效果的在线定量化评价系统，包括上位机系统、信号发生器、驱动器、激振器1、加速度传感器2、电荷放大器、示波器、支撑装置4；工件3与激振器1固定连接，并且采用具有弹性的支撑装置4对工件3进行支撑；上位机系统控制信号发生器输出幅值和频率均独立且连续可调的正弦激振信号；信号发生器输出的正弦激振信号经由驱动器输入激振器1，从而驱动激振器1产生振动；加速度传感器2安装在工件3上，加速度传感器2的输出端与电荷放大器的输入通道连接，电荷放大器的输出通道与示波器连接，示波器与上位机系统连接。
上位机系统包括获取振动时效的激振频率f(kHz)的激振频率f获取模块，获取振动时效的激振时间t(min)的激振时间t获取模块，获取示波器显示的电压波形的电压波形获取模块，从电压波形中获取电压峰值U(V)的电压提取模块，将电压峰值转换为输出的加速度振级a(ms-2)的振级a转换模块，将输出的加速度振级a转换为振动时效的激振幅值A(μm)的激振幅值A转换模块，将激振频率f、激振幅值A、激振时间t进行无量纲处理的无量纲处理模块，以及振动时效效果F与无量纲激振频率无量纲激振幅值无量纲激振时间之间的相互关系设置模块。
振级转换模块中预设有加速度传感器2的灵敏度值s(pC/ms-2)，电荷放大器输入通道的灵敏度系数S(pC/Unit)，放大系数K(Unit/V)；输出的加速度振级与电压峰值之间的转换关系为：输出的加速度振级与激振幅值之间的转换关系为：无量纲处理模块中预设有激振频率f与无量纲激振频率之间的转换关系激振幅值A与无量纲激振幅值之间的转换关系以及激振时间t与无量纲激振时间之间的转换关系其中f0为1kHz，A0为1μm、t0为1min。
进一步，加速度传感器2为压电式加速度传感器。
进一步，支撑装置4为弹性元件。
振动时效效果的在线定量化评价方法包括以下步骤：
(1)、将工件3与激振器1固定连接；采用支撑装置4对工件3进行支撑，以便激振器1对工件3进行激振；接通上位机系统与信号发生器之间的信号连线；接通信号发生器与驱动器之间的信号连线；接通驱动器与激振器1之间的信号连线；接通上位机系统与示波器之间的信号连线；接通示波器与电荷放大器之间的信号连线；接通电荷放大器与加速度传感器2之间的信号连线；接通上位机系统、信号发生器、驱动器、激振器1、示波器、电荷放大器的电源。
(2)、在振级转换模块中设置加速度传感器2的灵敏度值s(pC/ms-2)；电荷放大器输入通道的灵敏度系数S(pC/Unit)，放大系数K(Unit/V)。
(3)、激振频率获取模块获取振动时效的激振频率f(kHz)；激振时间获取模块获取振动时效的激振时间t(min)；电压波形获取模块获取示波器显示的电压波形；电压提取模块从电压波形中获取电压峰值U(V)；振级转换模块中输出的加速度振级与电压峰值之间的转换关系为激振幅值转换模块中输出的激振幅值与加速度振级之间的转换关系为
(4)、无量纲处理模块对激振频率f、激振幅值A以及激振时间t进行无量纲处理，具体的激振频率f与无量纲激振频率之间的转换关系为激振幅值A与无量纲激振幅值之间的转换关系为以及激振时间t与无量纲激振时间之间的转换关系为其中f0为1kHz，A0为1μm、t0为1min。
(5)、在振动时效效果F与无量纲激振频率无量纲激振幅值无量纲激振时间之间的相互关系设置模块中设置F与之间的相互关系为F(f,A,t)，并将步骤(4)中实时获取的无量纲激振频率无量纲激振幅值以及无量纲激振时间代入F(f,A,t)中即可以对振动时效效果进行在线定量化的评价。
步骤(5)中，获取振动时效效果F与无量纲激振频率无量纲激振幅值无量纲激振时间之间的相互关系的表达式F(f,A,t)包括以下步骤：
(5.1)、振动时效效果F与无量纲激振频率无量纲激振幅值无量纲激振时间之间的相互关系的表达式F(f,A,t)可以用如下的多项式进行逼近：式中：a1、a2、…、a11为实系数，其中a11为方程的常数项。
(5.2)、当工件3未经振动时效处理时，即三个工艺参数的取值均为0时，工件3的残余应力消除效果应为0，所以常数项a11＝0。因此，F(f,A,t)可以进一步表示为：
(5.3)、将10组不同的无量纲工艺参数组合以及它们所对应的振动时效效果F代入F(f,A,t)可以得到关于待定系数a1、a2、…、a10的10元1次方程组，通过求解此方程组即可以求解出这10个待定系数的数值。这10元1次方程组采用矩阵的形式可以表示为：
可以进一步表示为：Ga＝F。
式中：为无量纲工艺参数组合矩阵，该矩阵中的第i行表示第i次振动时效处理时的无量纲工艺参数的组合多项式；F＝[Fi]为振动时效的效果矩阵；a＝[ai]为待定系数矩阵。
(5.4)、为了求解出10个待定系数，至少需要10组不同的实验数据，为了使得步骤(5.3)中的矩阵方程有唯一的解，则无量纲工艺参数组合矩阵G的秩应满足r(G)＝10，即无量纲工艺参数组合矩阵应为满秩矩阵。因此，待定系数可以通过如下的矩阵方程求解得到：
将求解出的10个待定系数代入步骤(5.2)中的表达式F(f,A,t)，即可以建立振动时效效果F与无量纲激振频率无量纲激振幅值无量纲激振时间之间的相互关系的表达式F(f,A,t)。
获取振动时效效果F与无量纲激振频率无量纲激振幅值无量纲激振时间之间的相互关系的表达式的具体实施细节为：假设函数F(f,A,t)的定义域为有界闭区域D，且在该区域D内是实值连续函数。P1(f,A,t)、P2(f,A,t)、…、Pk(f,A,t)是定义于D上的k个线性无关的实值连续函数(通常取为多元多项式函数)，其中把由P1(f,A,t)、P2(f,A,t)、…、Pk(f,A,t)组合做成的线性空间P称为线性插值空间，则P中任意的函数可以表示为：P(f,A,t)＝α1P1(f,A,t)+α2P2(f,A,t)+…+αkPk(f,A,t)，式中：α1、α2、…、αk为实系数。根据Weierstrass逼近定理可知，若函数P(f,A,t)可以用来逼近函数F(f,A,t)，则对于任意给定的ε，有|F(f,A,t)-P(f,A,t)|＜ε，其中f,A,t∈D。因此，本发明旨在通过无量纲激振频率无量纲激振幅值和无量纲激振时间t这三个工艺参数组成的多元多项式函数，采用多元函数逼近理论逼近建立出振动时效效果F与无量纲激振频率无量纲激振幅值无量纲激振时间之间的相互关系的表达式F(f,A,t)。
为了获取建立表达式F(f,A,t)所需的实验数据，对图2所示的试样进行振动时效处理。为了能够求解出步骤(5.2)建立的表达式F(f,A,t)中的10个待定系数，需要选择10组不同的实验数据，且无量纲工艺参数组合矩阵必须为满秩矩阵，即无量纲工艺参数组合矩阵的秩为10。考虑到实验数据测试过程中存在一定的误差，为了提高建立的表达式F(f,A,t)具有更高的可靠性和普遍性，选取11组实验数据用于建立表达式F(f,A,t)，见表1。依次从11组实验数据中选取其中的10组用于构造无量纲工艺参数组合矩阵G，并规定rj(G)为去掉11组实验数据中的第j组数据后，所构造出的无量纲工艺参数组合矩阵G的秩，j＝1～11。采用Matlab软件中的rank函数依次计算所构造出的无量纲工艺参数组合矩阵G的秩，若求解结果满足r1(G)＝r2(G)＝…＝r11(G)＝10，则说明选取的实验数据可以用于求解出11组待定系数，若求解结果不满足r1(G)＝r2(G)＝…＝r11(G)＝10这个条件时，则需要重新选择实验数据。
表1用于计算待定系数矩阵的无量纲工艺参数及时效效果
求解10个待定系数的过程中，首先每次从11组实验数据中选取其中的10组构造无量纲工艺参数组合矩阵G；其次采用Matlab软件中的inv函数求解出无量纲工艺参数组合矩阵G的逆矩阵G-1，并在Matlab软件中将矩阵G-1与振动时效的效果矩阵F相乘即可以求解出待定系数矩阵，这样可以获得11组不同的待定系数；然后将这11组待定系数分别取其平均值作为表达式F(f,A,t)的待定系数；最后将这些待定系数的均值代入步骤(5.2)建立的表达式F(f,A,t)即可以得到振动时效效果F与无量纲激振频率无量纲激振幅值无量纲激振时间之间的相互关系的表达式F(f,A,t)。
表2求解出的各组待定系数的数值
表2为求解出的11组待定系数。表2的最后一列为11组待定系数的均值，将这些待定系数的均值代入步骤(5.2)建立的表达式F(f,A,t)，则最终建立的振动时效效果F与无量纲激振频率无量纲激振幅值无量纲激振时间之间的相互关系的表达式F(f,A,t)可以表示为：
本说明书实施例所述的内容仅仅是对发明构思的实现形式的列举，本发明的保护范围不应当被视为仅限于实施例所陈述的具体形式，本发明的保护范围也及于本领域技术人员根据本发明构思所能够想到的等同技术手段。
Claims (5)
1.振动时效效果的在线定量化评价系统，包括上位机系统、信号发生器、驱动器、激振器、加速度传感器、电荷放大器、示波器、支撑装置；工件与激振器固定连接，并且采用具有弹性的支撑装置对工件进行支撑；上位机系统控制信号发生器输出幅值和频率均独立且连续可调的正弦激振信号；信号发生器输出的正弦激振信号经由驱动器输入激振器，从而驱动激振器产生振动；加速度传感器安装在工件上，加速度传感器的输出端与电荷放大器的输入通道连接，电荷放大器的输出通道与示波器连接，示波器与上位机系统连接；
上位机系统包括获取振动时效的激振频率f(kHz)的激振频率f获取模块，获取振动时效的激振时间t(min)的激振时间t获取模块，获取示波器显示的电压波形的电压波形获取模块，从电压波形中获取电压峰值U(V)的电压提取模块，将电压峰值转换为输出的加速度振级a(ms-2)的振级a转换模块，将输出的加速度振级a转换为振动时效的激振幅值A(μm)的激振幅值A转换模块，将激振频率f、激振幅值A、激振时间t进行无量纲处理的无量纲处理模块，以及振动时效效果F与无量纲激振频率无量纲激振幅值无量纲激振时间之间的相互关系设置模块；
振级转换模块中预设有加速度传感器的灵敏度值s(pC/ms-2)，电荷放大器输入通道的灵敏度系数S(pC/Unit)，放大系数K(Unit/V)；输出的加速度振级与电压峰值之间的转换关系为：输出的加速度振级与激振幅值之间的转换关系为：无量纲处理模块中预设有激振频率f与无量纲激振频率之间的转换关系激振幅值A与无量纲激振幅值之间的转换关系以及激振时间t与无量纲激振时间之间的转换关系其中f0为1kHz，A0为1μm、t0为1min。
2.如权利要求1所述的振动时效效果的在线定量化评价系统，其特征在于：加速度传感器为压电式加速度传感器。
3.如权利要求2所述的振动时效效果的在线定量化评价系统，其特征在于：支撑装置为弹性元件。
4.使用如权利要求1-3之一所述的振动时效效果的在线定量化评价系统进行振动时效效果的在线定量化评价方法包括以下步骤：
(1)、将工件与激振器固定连接；采用支撑装置对工件进行支撑，以便激振器对工件进行激振；接通上位机系统与信号发生器之间的信号连线；接通信号发生器与驱动器之间的信号连线；接通驱动器与激振器之间的信号连线；接通上位机系统与示波器之间的信号连线；接通示波器与电荷放大器之间的信号连线；接通电荷放大器与加速度传感器之间的信号连线；接通上位机系统、信号发生器、驱动器、激振器、示波器、电荷放大器的电源；
(2)、在振级转换模块中设置加速度传感器的灵敏度值s(pC/ms-2)；电荷放大器输入通道的灵敏度系数S(pC/Unit)，放大系数K(Unit/V)；
(3)、激振频率获取模块获取振动时效的激振频率f(kHz)；激振时间获取模块获取振动时效的激振时间t(min)；电压波形获取模块获取示波器显示的电压波形；电压提取模块从电压波形中获取电压峰值U(V)；振级转换模块中输出的加速度振级与电压峰值之间的转换关系为激振幅值转换模块中输出的激振幅值与加速度振级之间的转换关系为
(4)、无量纲处理模块对激振频率f、激振幅值A以及激振时间t进行无量纲处理，具体的激振频率f与无量纲激振频率之间的转换关系为激振幅值A与无量纲激振幅值之间的转换关系为以及激振时间t与无量纲激振时间之间的转换关系为其中f0为1kHz，A0为1μm、t0为1min；
(5)、在振动时效效果F与无量纲激振频率无量纲激振幅值无量纲激振时间之间的相互关系设置模块中设置F与之间的相互关系为F(f,A,t)，并将步骤(4)中实时获取的无量纲激振频率无量纲激振幅值以及无量纲激振时间代入F(f,A,t)中即可以对振动时效效果进行在线定量化的评价。
5.如权利要求4所述的振动时效效果的在线定量化评价方法，其特征在于：步骤(5)中，获取振动时效效果F与无量纲激振频率无量纲激振幅值无量纲激振时间之间的相互关系的表达式F(f,A,t)包括以下步骤：
(5.1)、振动时效效果F与无量纲激振频率无量纲激振幅值无量纲激振时间之间的相互关系的表达式F(f,A,t)用如下的多项式进行逼近：式中：a1、a2、…、a11为实系数，其中a11为方程的常数项；
(5.2)、当工件未经振动时效处理时，即三个工艺参数的取值均为0时，工件的残余应力消除效果应为0，所以常数项a11＝0，因此，F(f,A,t)进一步表示为：
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>F</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>f</mi>
<mo>,</mo>
<mi>A</mi>
<mo>,</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>a</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mover>
<mi>f</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>a</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mover>
<mi>A</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>a</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mover>
<mi>t</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>a</mi>
<mn>4</mn>
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(5.3)、将10组不同的无量纲工艺参数组合以及它们所对应的振动时效效果F代入F(f,A,t)可以得到关于待定系数a1、a2、…、a10的10元1次方程组，通过求解此方程组即可以求解出这10个待定系数的数值，这10元1次方程组采用矩阵的形式表示为：
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进一步表示为：Ga＝F，
式中：为无量纲工艺参数组合矩阵，i＝1～10，该矩阵中的第i行表示第i次振动时效处理时的无量纲工艺参数的组合多项式；F＝[Fi]为振动时效的效果矩阵；a＝[ai]为待定系数矩阵；
(5.4)、为了求解出10个待定系数，至少需要10组不同的实验数据，为了使得步骤(5.3)中的矩阵方程有唯一的解，则无量纲工艺参数组合矩阵G的秩应满足r(G)＝10，即无量纲工艺参数组合矩阵应为满秩矩阵，因此，待定系数通过如下的矩阵方程求解得到：
将求解出的10个待定系数代入步骤(5.2)中的表达式F(f,A,t)，即建立振动时效效果F与无量纲激振频率无量纲激振幅值无量纲激振时间之间的相互关系的表达式F(f,A,t)。
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