CN105843997B - 一种基于分形理论的水文模型升尺度方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于分形理论的水文模型升尺度方法，依次包括以下步骤：不同尺度下变量代换、连续方程升尺度、时间与空间尺度下异质性转换、基于分形思想的连续方程闭合形式，动量方程升尺度并进行相应简化，最终实现水文尺度本构方程的构建。本发明实现了模型尺度与模拟尺度的匹配，尺度本构方程在不同尺度下的应用可以充分考虑空间异质性的影响，有效降低了分布式水文模型在不同尺度下的模拟中水文响应的差异，降低了模型应用中对于有效参数率定过程的依赖，也提升了模型在无资料地区的适用性。

Description

一种基于分形理论的水文模型升尺度方法

技术领域

本发明属于水文研究领域，具体涉及一种基于分形理论的水文模型升尺度方法。

背景技术

大多具有物理机理的水文模型是采用基于质量、动量和能量等守恒原理得到微分方程来描述水循环运动规律，该方程本专利中称之为点尺度方程。实际应用中，受到计算效率、数据精度等因素限制，我们往往将点尺度上关系直接外延，而忽略了模型非线性和空间异质性导致的大尺度下水文响应呈现出的新的特性，这就导致模型的水文响应会在不同尺度下存在差异。传统的解决思路是采用有效参数法(或等效参数法)。有效参数认为可以不改变模型形式，而是通过模型参数的变化来体现尺度的影响。但用某一个尺度下获取的方程形式来解释其它尺度下的现象，本身也并不一定合理。同时，模型的有效参数也将是尺度依赖的，需要通过历史资料率定来获取，不仅加重了对模型率定的负担，也使模型参数失去了原有的物理意义，且实际应用中不可能率定出尺度与等效参数间的关系。

流体力学中采用时间脉动平均或概率平均的方法由N-S方程得到雷诺方程，还是基于点尺度下的微分方程，对其求解时，还是需要依照本专利所提出的方法建立与尺度相关联的尺度本构方程才能很好的应用于大尺度，因此雷诺方程平均的方法与本专利所提出的方法存在着本质差别。

发明内容

发明目的：本发明的目的在于解决现有技术中存在的不足，提供一种基于分形理论的水文模型升尺度方法，本发明充分考虑不同尺度下时空异质性影响，构建与模拟尺度相匹配的尺度本构方程，从而消除模型在不同尺度下的水文响应差异。

技术方案：本发明的一种基于分形理论的水文模型升尺度方法，包括以下步骤：

(1)不同尺度下变量代换，进行如下变换，即将基于点尺度构建的水文模型中的水位和流量等变量φ转化为大尺度下均值和小尺度下波动量φ'之和，构建变量在大尺度下均值与小尺度间异质性的联系；

例如，对于连续方程(其中，q_s为净通量)，进行尺度变量代换后有如下形式

(2)连续方程升尺度：通过变量代换方式，将子网格异质性信息引入连续方程，同时对其在模拟尺度上进行空间积分，从而构造与模拟尺度相匹配的方程形式，以运动波方程为例，其具有如下形式：

式中，u为流速，h为水位，q_s为源汇项，L为模拟尺度；

(3)时间与空间尺度下异质性转换：基于特征线原理，将连续方程中界面处由于水位、流速等在时步长内时间异质性影响带来的通量校正项转化为模拟尺度内空间异质性的函数，实现时间与空间尺度下异质性的转换，转换关系如下：

式中，K为比例系数，为积分尺度内流速方差，Δt为时步长；

(4)基于分形思想的连续方程闭合形式：为使方程可以闭合求解，对尺度内方差做如下两点假定:1)假定该变量满足分形特性,即不同尺度下尺度内方差的期望满足如下关系，式中l为任意尺度，θ为分形维数；2)假定未知的尺度内方差与可以通过统计方式得到的尺度外方差成正比例关系，且其比例系数与尺度大小相关，即有式中K为尺度转换因子；

(5)动量方程升尺度：采用如步骤(1)所示的变量代换方法对动量方程进行形式转化，同时将式中的非线性项采用泰勒展开，同时忽略高阶项，可以得到升尺度的动量方程形式。

有益效果：本发明通过水文尺度本构方程的构建实现模型尺度与模拟尺度的匹配，模型在不同尺度下的应用可以充分考虑空间异质性的影响，不但有效降低模型在不同尺度下水文响应的偏差，还降低模型应用中对于有效参数率定过程的依赖，也提升了模型在无资料地区的适用性。

附图说明

图1为本发明的处理流程图；

图2为实施例中求解时空域及特征曲线示意图。

具体实施方式

下面对本发明技术方案进行详细说明，但是本发明的保护范围不局限于所述实施例。

如图1所示，本实施例的基于分形理论的水文模型升尺度方法，以坡面一维水流连续方程为实验场景，具体包括以下过程：

(1)不同尺度下变量代换：以水位h、流速u为因变量的坡面一维运动波方程为例，有如下形式：

式中，q_s为净通量，S₀为坡度，S_f为摩阻比降。

将其中流速、水位以及坡度进行如下形式的转换，以建立大尺度下均值与小尺度间因变量间的关系(源汇项与糙率的异质性在这里不予考虑)：

式(2)中，为大尺度网格对应的平均流速，u为小尺度网格对应流速，u′为小尺度网格对应于大尺度平均流速的波动量，为大尺度网格对应水位，h为小尺度网格对应水位，h′为小尺度网格对应于大尺度平均水位的波动量，为大尺度网格对应的平均坡度，S₀为小尺度网格对应坡度，S'₀为小尺度网格对应于大尺度平均坡度的波动量。

(2)连续方程升尺度：通过步骤(1)所述的变量代换方式，将(2)式带入连续方程中：

同时对式(3)进行模拟尺度上进行空间积分，从而构造与模拟尺度相匹配的模型形式，并由波动项均值为0，即和升尺度后的守恒方程有如下形式：

(3)时间空间尺度下异质性转换，对于升尺度后的守恒方程，考虑如图2所示的计算域，i和i+1为两相邻断面，n和n+1为两相邻时间段，L为大尺度下的栅格长度，Δt为计算时步长。由式(4)可知，对于任意时刻的水位变化率取决于i和i+1处的界面通量以及在界面处的异质性u'h'的影响而对于整个计算时段Δt，水位变化则决定于Δt时段内的界面通量和异质性影响u'h'，即：

根据特征线原理，Δt时段内边界i+1处的水位、流速受控于n时刻i和i+1断面水位与流速的传播，则可认为∫_Δtu'h'dt受控于网格内空间异质性的影响，但由于计算时步长与空间步长不一定匹配，则可近似认为其比例关系可由计算时步长Δt与水流传播L距离所需时间τ的比值大小决定：

式中K为比例系数。

此时由于网格内波动项的引入，需要补充新的方程对此项进行求解。由点尺度下水位与流速波动项关系，假定，则可表达为：其中，L为大尺度下的网格长度。至此，流速与水位波动的相关关系表达为流速波动的函数，为了对模型求解，需要对方程进一步简化；为了避免对子网格的求解，对于速度波动项，近似认为子网格尺度内速度波动项在大尺度网格内保持不变，则有：式中为子网格内的流速方差。

(4)基于分形思想的连续方程闭合形式：至此，上述式(6)中的网格内波动影响转化为网格内流速方差的函数。若子网格内均一，流速、水位在子网格尺度内不存在波动，即流速方差则方程形式与点尺度的运动波方程一致；若不均一，则仍需要对子网格方差进行计算。为避免对子网格的求解，本发明中假定网格内流速方差满足标度不变性，则不同尺度下尺度内方差的期望满足如下关系：

若l为流域尺度，则将尺度内方差与全流域尺度下的方差建立了关联。对于一个流域，在给定坡面流空间分布时，理论上应为常量，不随模拟尺度的变化而变化，但由于不同尺度下尺度内流速波动并不清楚，得到尺度外的流速统计方差与的偏差会随着尺度的增大而增大；为了在不同尺度下合理估计本发明认为其正比于尺度外流速方差且其比例系数与尺度大小相关。因此，假定尺度内方差可转化为尺度外方差以及子网格尺度的函数：

式中，K称为尺度转换因子，其大小与模拟尺度的大小相关。

将式(8)带入式(7)，可得：

式中S为一与尺度相关的比例常数。

将式(9)带入式(5)，即可得到具有闭合形式的升尺度后的连续方程：

式中，式中α为一不随尺度变化的常系数。

(5)动量方程升尺度：

本实施例以曼宁公式为例，对动量方程的升尺度形式进行讨论，则式(1)中的动量方程可表达为：

式中，S₀为坡度，n为坡面糙率。

将式(2)中异质性信息代入动量方程，并在大尺度下积分均化，本发明仅考虑坡度的空间异质性，而假定糙率的空间分布相对均一，则大尺度下的动量方程有如下形式：

本实施例中不考虑地形与水位间的相关关系，且近似认为 代表了大尺度网格中地形异质性的影响，其值对于每个大尺度网格都不同，由于是非线性项形式，对其采用泰勒展开：

同时忽略式(13)中的高阶项，并代入式(12)，可以得到大尺度下运动波动量方程形式：

式中

式(10)及(14)即构成了运动波的尺度本构方程，实现了模型尺度与模型尺度的匹配，该模型在不同尺度下的模拟中均可以有效考虑空间异质性的影响，有效消除分布式水文模型在不同尺度下水文响应的差异。

Claims (1)

1.一种基于分形理论的水文模型升尺度方法，其特征在于：依次包括以下步骤：

(1)不同尺度下变量代换：采用如下形式将基于点尺度构建的水文模型中的相应变量φ转化为大尺度下均值和小尺度下波动量φ'之和，构建变量在大尺度下均值与小尺度间异质性的联系；

(2)连续方程升尺度：通过变量代换方式，将子网格异质性信息引入连续方程，同时对其在模拟尺度上进行空间积分，从而构造与模拟尺度相匹配的方程形式；

(3)时间与空间尺度下异质性转换：基于特征线原理，将连续方程中界面处由于相应变量时步长内时间异质性影响带来的通量校正项转化为模拟尺度内空间异质性的函数，实现时间与空间尺度下异质性的转换；

(4)基于分形思想的连续方程闭合形式：为使方程可以闭合求解，对尺度内方差做如下两点假定：1)假定该变量满足分形特性,即不同尺度下尺度内方差和的期望满足如下关系，式中l、L表征模拟尺度的大小，θ为分形维数；2)假定未知的尺度内方差与可以通过统计方式得到的尺度外方差成正比例关系，且其比例系数与尺度大小相关，即有式中K为尺度转换因子，K受地形、尺度等因素的影响，根据实测流量过程而定；

(5)动量方程升尺度及简化：采用如步骤(1)所示的变量代换方法对动量方程进行尺度转化，同时将式中的非线性项采用泰勒展开，同时忽略高阶项，构建不同尺度下的变量联系，即可以得到升尺度的动量方程形式。