CN105835090A - 一种平面二自由度七连杆机构分支识别方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种平面二自由度七连杆机构分支识别方法，将平面二自由度七连杆机构看作由两个五连环A ₀ AEBB ₀ A ₀和B ₀ BDCC ₀ B ₀组成，通过奇异曲线是判定机构是否处于奇异位置的边界条件来判断平面二自由度七连杆机构的可动性。该方法利用机构基本环方程实现对分支（回路）识别，识别更精确、直观、高效，有助于机械设计、并联操作器及并联机器人设计等，具有很高的使用价值，同时本发明提供的方法能嵌入到各种机械设计类商业软件中，具有良好的社会价值和经济价值。

Description

一种平面二自由度七连杆机构分支识别方法

技术领域

本发明涉及一种多连杆机构分支识别方法，具体涉及一种平面二自由度七连杆机构分支识别方法。分支(回路或装配方式)指的是连杆机构的一种装配形式或构形空间，即在不拆开机构的情况下其连续运动所能到达的所有可能的位置。利用此方法，平面二自由度七连杆的分支能很快识别出来，为机构设计提供了新的辅助方法。

背景技术

对于连杆机构来说，平面二自由度七连杆机构是比较复杂的连杆机构，它可以实现一些特殊的运动。在工业上可以作为机器人手臂，用于精密操作；也可以作为运动模拟器或对接器用于军事、航空和航海等领域；此外，还可以用来构造混联机构，在混联机床和混联机器人中有着广泛的应用前景。可动性指机构的活动性能，包括分支缺陷、子分支缺陷、全旋转问题和运动顺序问题等，准确的判断出平面二自由度七连杆机构可动性显得尤为重要，但这些都有赖于分支的识别。如果一个机构有几个不连续的运动空间，则每个空间包含一个独立的分支。在同一分支里，机构构形能从一个位置转换到另一位置而不需破坏其物理连接。机构可以在同一个分支里连续的从一个构形(或位置)变换到另外一个构形(或位置)，但不同分支中的构型不能相互变换。因此，在机构设计或操作器设计中，必须保证其在同一分支里连续运动，否则，设计出来的机构或操作器是无用的。在分支识别与研究的过程中，从20世纪90年代中期国外开始对多自由度多环平面连杆机构的可动性进行研究，目前，国内外已有多个学者对连杆机构进行研究，Kwun-Lon Ting教授等人提出了平面单自由度双环机构的可动性分析，这种方法可以用来分析更复杂机构的可动性；国内，郭晓宁教授和褚金奎教授通过把Stephenson六杆机构看作一个基础四连杆和双杆组机构，对Stephenson六杆机构的可动性进行了判别。然而，笔者通过对二自由度七连杆机构的研究发现，上述方法的研究对象相对单一，并不能对二自由度七连杆机构的简单有效地识别出分支，因此根据已有的可动性研究内容，提出一种简单可行的方法将输入、输出的两个关节相结合，得到输入、输出角的相关方程，和分支的判断与识别方法，从而对平面二自由度七连杆机构的可动性进行判别。

平面二自由度七连杆机构有多种不同的拓扑结构，此处主要研究的七连杆机构如图1所示，它是由两个五环组成的。

图1所示的平面二自由度七连杆机构由两个五连环A₀AEBB₀A₀和B₀BDCC₀B₀组成。七连杆机构的分支不仅受单个环的影响，而且也受环之间的相互影响。相对于单个五连杆环，七连杆机构的可动性分析的复杂程度大大增加。在研究七连杆机构时，奇异曲线是判定机构是否处于奇异位置的边界条件。若连杆机构处于奇异结构，连杆将会不稳定，不可控，机构特性差。

有鉴于此，由于可动性指机构的活动性能，包括分支缺陷、子分支缺陷、全旋转问题和运动顺序问题等。分支定义为在不拆开机构的情况下其所能实现一系列可能的位置；如果一个机构有几个不连续的运动范围，则每个范围包含一个独立的分支。在机构的位置综合中，如果其设计位置位于不同的分支，那么机构必须重新装配才能实现设计位置的运动，则说明机构存在分支缺陷，所以研究分支就是研究机构连续运动的问题。

发明内容

为了解决上述技术问题，本发明提供了一种对平面二自由度七连杆机构分支进行自动识别新的方法，利用机构基本环方程实现对分支(回路)识别，其具体技术方案是：

一种平面二自由度七连杆机构分支识别方法，其特征在于，将平面二自由度七连杆机构看作由两个五连环A₀AEBB₀A₀和B₀BDCC₀B₀组成，通过奇异曲线是判定机构是否处于奇异位置的边界条件来判断平面二自由度七连杆机构的可动性。

作为优选，所述一种平面二自由度七连杆机构分支识别方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，平面二自由度七连杆分支理论计算：

由于机构的分支问题与输入副和固定杆的选择无关，利用这个机构特性，选择这两个五连杆运动链的公共关节来分析机构的分支情况，选取关节B、B₀作为研究对象，当A₀A和AE共线或者重合时，五连杆可视为退化的四连杆，二自由度七连杆机构退化成单自由度六连杆机构，机构出现奇异性，此时A₀AEBB₀A₀五连杆环在奇异位置退化成四连杆环的方程可分别写为：

$a_1{e}^{i\mathrm{\α}}+a_5{e}^{{\mathrm{i\θ}}_5}+a_4{e}^{i({\mathrm{\θ}}_4+\mathrm{\π}-\mathrm{\β}-\mathrm{\η})}=(a_2+a_3)e^{{\mathrm{i\θ}}_2}---\left(1\right)$

$a_1{e}^{i\mathrm{\α}}+a_5{e}^{{\mathrm{i\θ}}_5}+a_4{e}^{i({\mathrm{\θ}}_4+\mathrm{\π}-\mathrm{\β}-\mathrm{\η})}=|a_2-a_3|e^{{\mathrm{i\θ}}_2}---\left(2\right)$

其中，α为杆a₁与a₁₀的夹角、θ_i(i＝1,2,3…)分别为连杆与水平方向夹角,β、η分别为连杆a₁₁、a₄和a₁₁、a₆所形成的夹角，i为虚数单位，a_i(i＝1,2,3…)，e为自然对数的底；

当A₀A和AE共线时B₀BEAA₀B₀五连杆环退化为一个四连杆环，我们将其命名为fL₁，其四杆尺寸分别为a₅,a₄,a₁和a₂+a₃；当A₀A和AE重合时形成的四连杆环被命名为fL₂，其四杆尺寸分别为a₅,a₄,a₁和|a₂-a₃|；消去方程(1)和方程(2)可分别写成：

$\begin{array}{c}{\mathrm{fL}}_1={\[a_{1}cos\mathrm{\α}+a_5{\mathrm{cos\θ}}_5+a_{4}cos({\mathrm{\θ}}_4+\mathrm{\π}-\mathrm{\β}-\mathrm{\η})\]}^2\\ +{\[a_1\sin \mathrm{\α}+a_5{\mathrm{sin\θ}}_5+a_4\sin ({\mathrm{\θ}}_4+\mathrm{\π}-\mathrm{\β}-\mathrm{\η})\]}^2-{\left(a_2+a_3\right)}^2=0\end{array}---\left(3\right)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{fL}}_2={\[a_{1}cos\mathrm{\α}+a_5{\mathrm{cos\θ}}_5+a_{4}cos({\mathrm{\θ}}_4+\mathrm{\π}-\mathrm{\β}-\mathrm{\η})\]}^2\\ +{\[a_1\sin \mathrm{\α}+a_5{\mathrm{sin\θ}}_5+a_4\sin ({\mathrm{\θ}}_4+\mathrm{\π}-\mathrm{\β}-\mathrm{\η})\]}^2-{\left(a_2-a_3\right)}^2=0\end{array}---\left(4\right)$

同理，当C₀C和CD共线时，B₀BDCC₀B₀五连杆环退化为一个四连杆环，将其命名为fR₁，其四杆尺寸分别为a₅、a₆、a₉和a₇+a₈；当C₀C和CD重合时形成的四连杆环被命名为fR₂，其四杆尺寸分别为a₅、a₆、a₉和|a₇-a₈|；

B₀BDCC₀B₀五连杆环在奇异位置退化为四连杆环的方程可分别写为：

$a_5{e}^{{\mathrm{i\θ}}_5}+a_6{e}^{{\mathrm{\θ}}_4}+a_9{e}^{i(\mathrm{\π}-\mathrm{\γ})}=(a_7+a_8)e^{{\mathrm{i\θ}}_8}---\left(5\right)$

$a_5{e}^{{\mathrm{i\θ}}_5}+a_6{e}^{{\mathrm{\θ}}_4}+a_9{e}^{i(\mathrm{\π}-\mathrm{\γ})}=|a_7-a_8|e^{{\mathrm{i\θ}}_8}---\left(6\right)$

γ为连杆a₉与a₁₀的夹角，消去方程(5)和方程(6)可写成：

$\begin{array}{c}{\mathrm{fR}}_1={\[a_5{\mathrm{cos\θ}}_5+a_6{\mathrm{cos\θ}}_4+a_{9}cos(\mathrm{\π}-\mathrm{\γ})\]}^2\\ +{\[a_5{\mathrm{sin\θ}}_5+a_6{\mathrm{sin\θ}}_4+a_9\sin (\mathrm{\π}-\mathrm{\γ})\]}^2-{\left(a_7+a_8\right)}^2=0\end{array}---\left(7\right)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{fR}}_2={\[a_5{\mathrm{cos\θ}}_5+a_6{\mathrm{cos\θ}}_4+a_{9}cos(\mathrm{\π}-\mathrm{\γ})\]}^2\\ +{\[a_5{\mathrm{sin\θ}}_5+a_6{\mathrm{sin\θ}}_4+a_9\sin (\mathrm{\π}-\mathrm{\γ})\]}^2-{\left(a_7-a_8\right)}^2=0\end{array}---\left(8\right)$

从上面公式可以看出：A₀AEBB₀A₀五连杆运动链的所有输入变量的范围由方程(3)和方程(4)确定，这种所有输入变量的范围称为关节旋转空间，将A₀AEBB₀A₀五连杆环的关节旋转空间命名为fL，方程(3)和方程(4)代表了五连杆环的奇异曲线，即为关节旋转空间fL的边界，此五连杆环必须保持在由方程(3)和方程(4)所形成的奇异曲线之间，因此，在A₀AEBB₀A₀五连杆环的关节旋转空间可写为下列关系：

fL＝fL₁·fL₂≤0 (9)

相同地，B₀BDCC₀B₀五连杆环的关节旋转空间是由方程(7)和方程(8)形成的，将B₀BDCC₀B₀五连杆环的关节旋转空间命名为fR，在关节旋转空间结构中，必须满足下列关系：

fR＝fR₁·fR₂≤0 (10)

fL相当于是A₀AEBB₀A₀五连杆环的可装配区域；fR就相当于是B₀BDCC₀B₀五连杆环的可装配区域；因二自由度七连杆机构是由此两个五连杆环机构组成的，故可得出：在fL和fR相交的公共区域即公共的关节旋转空间，也就是两个五连杆环都可以运动的区域或能装配起来的区域，此公共区域即为二自由度七连杆机构的分支，相应的关系可写为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{fL}}_1\·{\mathrm{fL}}_2\≤0\\ {\mathrm{fR}}_1\·{\mathrm{fR}}_2\≤0\end{array}\right.---\left(11\right)$

公式(11)即为平面七连杆机构分支的数学表达式，在每个分支中，连杆机构必须满足公式(11)，奇异曲线之间的交点称为分支点，分支点也是机构的死点或奇异点，它能够通过求解每两个不同的五连杆环方程得到，也就是说通过求解式(3)与(7)或(8)、(4)与(7)或(8)可得，当μ₁和μ₂为0或者π时，机构处于分支点的位置，即两个五连杆环同时处于死点位置；

因机构不能连续地从一个分支运动到另一个分支中，二自由度七杆机构的公共且不连续的关节旋转空间即为此机构的不同分支，下文将分类说明分支的具体识别方式；

步骤2，七连杆的分支识别：

二自由度七连杆分支由两个五连杆环的奇异曲线所包含的公共关节旋转空间所组成，分支的边线称为分支曲线，七连杆环分支的识别是通过识别这些分支曲线来区别不同分支，而这些分支曲线又只是五连杆环奇异曲线的一部分，故奇异曲线是分支识别的基础，奇异曲线是由奇异方程(3)、方程(4)、方程(7)和方程(8)决定，为了叙述的方便，这里用A，B，C和D分别代表上述奇异方程(3)、方程(4)、方程(7)和方程(8)，如果奇异曲线A，B，C，D上存在分支曲线，则用A_i，B_i，C_i和D_i(i＝1,2,3…)表示一条奇异曲线上不同的分支曲线，分支由每个五连杆环之间的相互影响确定，两个五连杆环的奇异曲线相交的点为分支点，它们也都是奇异点；

当七连杆处在奇异位置时，该机构一般存在两种情况：

①不存在分支点的情况，当分支点不存在时：方程(3)和方程(7)，方程(3)和方程(8)，方程(4)和方程(7)，方程(4)和方程(8)无解，如图2中区域f₁，其中一个五连杆环的关节旋转空间在另一个五连杆环的关节旋转空间里，它组成了七连杆机构的分支；

②分支点存在的情况，当分支点存在时，并不是所有分支曲线都有分支点，可分为两种情况：所有的分支曲线都存在分支点；一部分分支曲线存在分支点；

其中fL、fR表示关节旋转空间；A_i、B_i、C_i、D_i(i＝1,2,3…)表示分支曲线；m1,m2…mi(i＝1,2,3…)表示死点；1,2…i(i＝1,2,3…)表示分支点，用黑色“十”字线标明；f_i(i＝1,2,3…)表示分支；

步骤2.1，分支点不存在的七连杆机构分支识别：

步骤2.1.1，关节旋转空间的识别：

当处在奇异位置时，通过方程(3)和方程(4)，方程(7)和方程(8)能够得到两个五连杆环的奇异曲线，这些奇异曲线组成的区域即关节旋转空间应各自满足方程(9)或方程(10)；

步骤2.1.2，分支曲线的识别：

因为不存在分支点，退化成四连杆环的五连杆环fL₁或fL₂在fR内部的奇异曲线都是分支曲线，同样地，fR₁或者fR₂在fL内部的奇异曲线都是分支曲线，关节旋转空间fL和fR的边界曲线形成奇异曲线，fR区域中，死点一、死点二、死点五、死点六是满足方程(7)的死点，死点三、死点四、死点七、死点八是满足方程(8)的死点；C₁上的死点一、死点二和D₁上的死点三、死点四同时可以满足方程(9)，因此，fR在fL之中形成的奇异曲线C₁和D₁称为分支曲线，连杆的运动范围也被固定在死点一和死点二之间；死点五、死点六、死点七、死点八不在公共的关节旋转空间内，故其所在的曲线不是分支曲线，同时，退化成四连杆环的五连杆环如fL₁和另外一个五连杆环可以看作是一个Stephenson六连杆机构，识别出来的分支曲线可以用来对二自由度七连杆机构的分支进行识别；

步骤2.1.3，利用分支曲线进行分支识别：

每一个分支的点都必须在旋转空间内部，并满足方程(9)或方程(10)，由这些分支曲线围成的关节旋转空间代表七连杆的分支，七连杆不存在分支点的情况的分支曲线C₁和D₁所围成的区域称为分支，即区域f₁；因为此分支区域可以存在于另一个五连杆环的两种装配位置，故每一关节旋转空间内的分支代表七连杆的两个分支，即区域f₁中包含两个分支；根据μ₁或μ₂是在(0，π)或(π，2π)内变化，决定了五连杆环关节旋转空间属于是哪种装配方式；

步骤2.2，分支点存在的七连杆机构分支识别：

步骤2.2.1，确定分支点：

在此种类型的七连杆分支中，分支点是存在的，通过解方程(3)和方程(7)，方程(3)和方程(8)，方程(4)和方程(7)，方程(4)和方程(8)就能够知道分支点和它们所在的相应奇异曲线，这种情况中并不是所有分支曲线都有分支点，但一定有部分分支曲线存在分支点；

步骤2.2.2，识别关节旋转空间：

通过方程(3)和方程(4)，方程(7)和方程(8)能够得到两个五连杆环的奇异曲线，奇异曲线的内部结构组成关节旋转空间，在图3和图4中，fL和fR所示区域分别表示两个五连杆环路的关节旋转空间；

步骤2.2.3，分支曲线的识别：

分支曲线实际上是奇异曲线的一部分，奇异曲线相互交叉，把奇异曲线划分成了几段，由这些小段的奇异曲线就组成了分支曲线；同时，fL所形成的奇异曲线在fR内部或fR在fL内部的奇异曲线都是分支曲线；

步骤2.2.4，用分支曲线来进行分支识别：

每一个由两个五连杆环共同组成的公共关节旋转空间的封闭区域就代表一个七连杆的分支，如果存在分支点，公共分支点会把分支曲线相连在一起，因此，这些分支曲线形成一些相隔离的区域，它们构成二自由度七连杆的分支，分支为C₁-A₁-B₁-D₁，A₂-C₃-B₂-C₂和A₃-D₂-B₃-C₄，即f₁，f₂，f₃区域；但部分分支曲线有分支点的情况下，分支点并不存在于每一条分支曲线上，分支曲线D₁上没有分支点，但C₁与A₁相交于分支点一、分支点二，用黑色十字线标出；D₁上的死点三、死点四和C₁上的死点五以及分支点一、分支点二共同约束分支形成的区域，从而A₁，C₁，D₁围成的区域形成了分支，即f₁区域；

步骤2.2.5，确定机构的具体位置

对于给定的连杆结构属于哪个分支，可以用在给定结构位置的一点画一条横线和一条纵线的方法确定，如果结构在某条分支，那么这两条线首先和相应的分支曲线相交，因此，结构能被定位到相应的分支。

本发明专利的有益效果：

1)本发明方法提出了一种对平面二自由度七连杆机构分支进行自动识别新的方法，该方法利用机构基本环方程实现对分支(回路)识别，识别更精确、直观、高效。

2)本发明提供的方法便于开发计算机数学软件进行模拟仿真，有助于机械设计、并联操作器及并联机器人设计等，具有很高的使用价值。

3)本发明提供的方法能嵌入到各种机械设计类商业软件中，具有良好的社会价值和经济价值。

附图说明

图1二自由度平面七连杆机构；

图2七连杆不存在分支点的情况；

图3分支曲线都有分支点的情况；

图4部分分支曲线有分支点的情况；

图5七连杆分支不存在分支点的具体识别流程图；

图6分支点存在的七连杆分支识别具体流程图。

附图标记，1-分支点一，2-分支点二，3-分支点三，4-分支点四，5-分支点五，6-分支点六，7-分支点七，8-分支点八，9-分支点九，10-分支点十，11-分支点十一，12-分支点十二，m1-死点一，m2-死点二，m3-死点三，m4-死点四，m5-死点五，m6-死点六，m7-死点七，m8-死点八。

具体实施方式

下面结合附图对本发明进行举例说明。

本实施例提供一种平面二自由度七连杆机构分支识别方法，将平面二自由度七连杆机构看作由两个五连环A₀AEBB₀A₀和B₀BDCC₀B₀组成，通过奇异曲线是判定机构是否处于奇异位置的边界条件来判断平面二自由度七连杆机构的可动性。

A₀AEBB₀A₀和B₀BDCC₀B₀组成本发明专利提出一种基于七连杆机构输入角输出角关系的计算方法，推断出七连杆环路计算方程，结合六杆分析方法，对七连杆机构的分支，以及涉及到分支概念的奇异曲线、分支曲线、分支点提炼出了一套完整的分析识别方法。

1平面二自由度七连杆分支理论计算

由于机构的分支问题与输入副和固定杆的选择无关，利用这个机构特性，选择这两个五连杆运动链的公共关节来分析机构的分支情况。选取关节B、B₀作为研究对象，当当A₀A和AE共线或者重合时，五连杆可视为退化的四连杆，二自由度七连杆机构退化成单自由度六连杆机构，机构出现奇异性。

在图1中，A₀AEBB₀A₀五连杆环在奇异位置退化成四连杆环的方程可分别写为：

$a_1{e}^{i\mathrm{\α}}+a_5{e}^{{\mathrm{i\θ}}_5}+a_4{e}^{i({\mathrm{\θ}}_4+\mathrm{\π}-\mathrm{\β}-\mathrm{\η})}=(a_2+a_3)e^{{\mathrm{i\θ}}_2}---\left(1\right)$

$a_1{e}^{i\mathrm{\α}}+a_5{e}^{{\mathrm{i\θ}}_5}+a_4{e}^{i({\mathrm{\θ}}_4+\mathrm{\π}-\mathrm{\β}-\mathrm{\η})}=|a_2-a_3|e^{{\mathrm{i\θ}}_2}---\left(2\right)$

其中，α为杆a₁与a₁₀的夹角、θ_i(i＝1,2,3…)分别为连杆与水平方向夹角,β、η分别为连杆a₁₁、a₄和a₁₁、a₆所形成的夹角，i为虚数单位，a_i(i＝1,2,3…)，e为自然对数的底；

当A₀A和AE共线时B₀BEAA₀B₀五连杆环退化为一个四连杆环，将其命名为fL₁，其四杆尺寸分别为a₅,a₄,a₁和a₂+a₃；当A₀A和AE重合时形成的四连杆环被命名为fL₂，其四杆尺寸分别为a₅,a₄,a₁和|a₂-a₃|；消去方程(1)和方程(2)可分别写成：

$\begin{array}{c}{\mathrm{fL}}_1={\[a_{1}cos\mathrm{\α}+a_5{\mathrm{cos\θ}}_5+a_{4}cos({\mathrm{\θ}}_4+\mathrm{\π}-\mathrm{\β}-\mathrm{\η})\]}^2\\ +{\[a_1\sin \mathrm{\α}+a_5{\mathrm{sin\θ}}_5+a_4\sin ({\mathrm{\θ}}_4+\mathrm{\π}-\mathrm{\β}-\mathrm{\η})\]}^2-{\left(a_2+a_3\right)}^2=0\end{array}---\left(3\right)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{fL}}_2={\[a_{1}cos\mathrm{\α}+a_5{\mathrm{cos\θ}}_5+a_{4}cos({\mathrm{\θ}}_4+\mathrm{\π}-\mathrm{\β}-\mathrm{\η})\]}^2\\ +{\[a_1\sin \mathrm{\α}+a_5{\mathrm{sin\θ}}_5+a_4\sin ({\mathrm{\θ}}_4+\mathrm{\π}-\mathrm{\β}-\mathrm{\η})\]}^2-{\left(a_2-a_3\right)}^2=0\end{array}---\left(4\right)$

同理，当C₀C和CD共线时，B₀BDCC₀B₀五连杆环退化为一个四连杆环，将其命名为fR₁，其四杆尺寸分别为a₅、a₆、a₉和a₇+a₈；当C₀C和CD重合时形成的四连杆环被命名为fR₂，其四杆尺寸分别为a₅、a₆、a₉和|a₇-a₈|。

B₀BDCC₀B₀五连杆环在奇异位置退化为四连杆环的方程可分别写为：

$a_5{e}^{{\mathrm{i\θ}}_5}+a_6{e}^{{\mathrm{\θ}}_4}+a_9{e}^{i(\mathrm{\π}-\mathrm{\γ})}=(a_7+a_8)e^{{\mathrm{i\θ}}_8}---\left(5\right)$

$a_5{e}^{{\mathrm{i\θ}}_5}+a_6{e}^{{\mathrm{\θ}}_4}+a_9{e}^{i(\mathrm{\π}-\mathrm{\γ})}=|a_7-a_8|e^{{\mathrm{i\θ}}_8}---\left(6\right)$

γ为连杆a₉与a₁₀的夹角，消去方程(5)和方程(6)可写成：

$\begin{array}{c}{\mathrm{fR}}_1={\[a_5{\mathrm{cos\θ}}_5+a_6{\mathrm{cos\θ}}_4+a_{9}cos(\mathrm{\π}-\mathrm{\γ})\]}^2\\ +{\[a_5{\mathrm{sin\θ}}_5+a_6{\mathrm{sin\θ}}_4+a_9\sin (\mathrm{\π}-\mathrm{\γ})\]}^2-{\left(a_7+a_8\right)}^2=0\end{array}---\left(7\right)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{fR}}_2={\[a_5{\mathrm{cos\θ}}_5+a_6{\mathrm{cos\θ}}_4+a_{9}cos(\mathrm{\π}-\mathrm{\γ})\]}^2\\ +{\[a_5{\mathrm{sin\θ}}_5+a_6{\mathrm{sin\θ}}_4+a_9\sin (\mathrm{\π}-\mathrm{\γ})\]}^2-{\left(a_7-a_8\right)}^2=0\end{array}---\left(8\right)$

从上面公式可以看出：A₀AEBB₀A₀五连杆运动链的所有输入变量的范围由方程(3)和方程(4)确定，这种所有输入变量的范围称为关节旋转空间，将A₀AEBB₀A₀五连杆环的关节旋转空间命名为fL。方程(3)和方程(4)代表了五连杆环的奇异曲线，即为关节旋转空间fL的边界。此五连杆环必须保持在由方程(3)和方程(4)所形成的奇异曲线之间，因此，在A₀AEBB₀A₀五连杆环的关节旋转空间可写为下列关系：

fL＝fL₁·fL₂≤0 (9)

相同地，B₀BDCC₀B₀五连杆环的关节旋转空间是由方程(7)和方程(8)形成的，将B₀BDCC₀B₀五连杆环的关节旋转空间命名为fR。在关节旋转空间结构中，必须满足下列关系：

fR＝fR₁·fR₂≤0 (10)

fL相当于是A₀AEBB₀A₀五连杆环的可装配区域；fR就相当于是B₀BDCC₀B₀五连杆环的可装配区域。因二自由度七连杆机构是由此两个五连杆环机构组成的，故可得出：在fL和fR相交的公共区域即公共的关节旋转空间，也就是两个五连杆环都可以运动的区域或能装配起来的区域，此公共区域即为二自由度七连杆机构的分支，相应的关系可写为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{fL}}_1\·{\mathrm{fL}}_2\≤0\\ {\mathrm{fR}}_1\·{\mathrm{fR}}_2\≤0\end{array}\right.---\left(11\right)$

公式(11)即为平面七连杆机构分支的数学表达式。在每个分支中，连杆机构必须满足公式(11)。奇异曲线之间的交点称为分支点，分支点也是机构的死点或奇异点，它能够通过求解每两个不同的五连杆环方程得到，也就是说通过求解式(3)与(7)或(8)、(4)与(7)或(8)可得。当μ₁和μ₂为0或者π时，机构处于分支点的位置，即两个五连杆环同时处于死点位置。

因机构不能连续地从一个分支运动到另一个分支中，二自由度七杆机构的公共且不连续的关节旋转空间即为此机构的不同分支，下文将分类说明分支的具体识别方式。

2七连杆的分支识别

二自由度七连杆分支由两个五连杆环的奇异曲线所包含的公共关节旋转空间所组成，分支的边线称为分支曲线。七连杆环分支的识别是通过识别这些分支曲线来区别不同分支。而这些分支曲线又只是五连杆环奇异曲线的一部分，故奇异曲线是分支识别的基础。奇异曲线是由奇异方程(3)、方程(4)、方程(7)和方程(8)决定，为了叙述的方便，这里用A，B，C和D分别代表上述奇异方程。如果奇异曲线A，B，C，D上存在分支曲线，则用A_i，B_i，C_i和D_i(i＝1,2,3…)表示一条奇异曲线上不同的分支曲线。分支由每个五连杆环之间的相互影响确定，两个五连杆环的奇异曲线相交的点为分支点，它们也都是奇异点。

当七连杆处在奇异位置时，该机构一般存在两种情况：

①不存在分支点的情况，当分支点不存在时：方程(3)和方程(7)，方程(3)和方程(8)，方程(4)和方程(7)，方程(4)和方程(8)无解，如图2中区域f₁，其中一个五连杆环的关节旋转空间在另一个五连杆环的关节旋转空间里，它组成了七连杆机构的分支；

②分支点存在的情况，当分支点存在时，并不是所有分支曲线都有分支点，可分为两种情况：所有的分支曲线都存在分支点，如图3所示；一部分分支曲线存在分支点，如图4所示。

图中fL、fR表示关节旋转空间；A_i、B_i、C_i、D_i(i＝1,2,3…)表示分支曲线；m1,m2…mi(i＝1,2,3…)表示死点；1,2…i(i＝1,2,3…)表示分支点，用黑色十字线标明；f_i(i＝1,2,3…)表示分支。

2.1分支点不存在的七连杆机构分支识别

2.1.1关节旋转空间的识别

当处在奇异位置时，通过方程(3)和方程(4)，方程(7)和方程(8)能够得到两个五连杆环的奇异曲线，这些奇异曲线组成的区域即关节旋转空间应各自满足方程(9)或方程(10)。

2.1.2分支曲线的识别

因为不存在分支点，退化成四连杆环的五连杆环fL₁(或fL₂)在fR内部的奇异曲线都是分支曲线。同样地，fR₁(或者fR₂)在fL内部的奇异曲线都是分支曲线。如图2所示，关节旋转空间fL和fR的边界曲线形成奇异曲线，fR区域中，死点一m1、死点二m2、死点五m5、死点六m6是满足方程(7)的死点，死点三m3、死点四m4、死点七m7、死点八m8是满足方程(8)的死点。C₁上的死点一m1、死点二m2和D₁上的死点三m3、死点四m4同时可以满足方程(9)，因此，fR在fL之中形成的奇异曲线C₁和D₁称为分支曲线，连杆的运动范围也被固定在死点一m1和死点二m2之间。死点五m5、死点六m6、死点七m7、死点八m8不在公共的关节旋转空间内，故其所在的曲线不是分支曲线。同时，退化成四连杆环的五连杆环如fL₁和另外一个五连杆环可以看作是一个Stephenson六连杆机构，识别出来的分支曲线可以用来对二自由度七连杆机构的分支进行识别。

2.1.3利用分支曲线进行分支识别

每一个分支的点都必须在旋转空间内部，并满足方程(9)或方程(10)，由这些分支曲线围成的关节旋转空间代表七连杆的分支，图2中分支曲线C₁和D₁所围成的区域称为分支，即区域f₁。因为此分支区域可以存在于另一个五连杆环的两种装配位置，故每一关节旋转空间内的分支代表七连杆的两个分支，即区域f₁中包含两个分支。根据图1，μ₁(或μ₂)是在(0，π)或(π，2π)内变化，决定了五连杆环关节旋转空间属于是哪种装配方式。

七连杆分支不存在分支点的具体识别流程图如图5所示。

对于不存在的七连杆机构分支识别，用下面的例子来进行分析：

例1：结合图1给出七连杆机构的杆长尺寸：a₁＝3.69,a₂＝3.3,a₃＝1.85,a₄＝2.25,a₅＝3.35,a₆＝2.33,a₇＝0.85,a₈＝0.55,a₉＝3.45,α＝25.0°,β＝15.0°。根据上面所给的尺寸，图2中的七连杆分支能够用如下的方法识别。

a.分支点：方程(3)和(7)，(3)和(8)，(4)和(7)，(4)和(8)没有各自的解。所以没有分支点存在。

b.两个五连杆环的关节旋转空间：在图2中灰色的区域即关节旋转的边界，此边界由方程(3)和(4)决定，并且fL内的位置应该满足方程(9)。相似地，浅灰色的区域即fR的界限由方程(7)和(8)决定，并且fR内的结构应该满足方程(10)。

c.分支曲线的识别：奇异曲线方程(3)，(4)，(7)，(8)和五连杆的关节旋转空间一起被看作是Stephenson六连杆，这些方程作为四连杆的输入输出曲线，在图2中fL内部的分支曲线C₁和D₁能够被识别。由方程(7)得到的死点一m1-(5.8°，293.5°)，死点二m2-(82.1°，305.6°)，死点五m5-(-135.9°，0.8°)和死点六m6-(-59.6°，13.3°)。由方程(8)得到的死点三m3-(32.5°，291.7°)，死点四m4-(48.7°，294.9°)，死点五m5-(-86.9°，14.6°)和死点六m6-(-102.4°，11.3°)，这些死点在图2中标出。θ₄的运动范围是死点一m1和死点二m2之间。

d.七连杆的分支：因为拥有分支曲线C₁和D₁的fR在fL内部，因此f₁是图2中公共关节旋转空间，同时也是此类平面二自由度七连杆机构的分支。七连杆的有两个分支，通过判断角μ₁(或μ₂)是否在(0，π)或者(π，2π)变化，可以识别出两个分支，分支结构必须满足方程(11)。

2.2分支点存在的七连杆机构分支识别

2.2.1确定分支点

在此种类型的七连杆分支中，分支点是存在的，如图3和图4中黑色十字线标记点。通过解方程(3)和方程(7)，方程(3)和方程(8)，方程(4)和方程(7)，方程(4)和方程(8)就能够知道分支点和它们所在的相应奇异曲线，这种情况中并不是所有分支曲线都有分支点。

2.2.2识别关节旋转空间

通过方程(3)和方程(4)，方程(7)和方程(8)能够得到两个五连杆环的奇异曲线。奇异曲线的内部结构组成关节旋转空间，图3和图4中的fL和fR分别表示两个五连杆环路的关节旋转空间。

2.2.3分支曲线的识别

分支曲线实际上是奇异曲线的一部分，奇异曲线相互交叉，把奇异曲线划分成了几段，由这些小段的奇异曲线就组成了分支曲线，如图3中A_i，B_i，C_i和D_i(i＝1,2,3…)。同时，fL所形成的奇异曲线在fR内部或fR在fL内部的奇异曲线都是分支曲线，如图4中分支曲线D₁。

2.2.4用分支曲线来进行分支识别

每一个由两个五连杆环共同组成的公共关节旋转空间的封闭区域就代表一个七连杆的分支。如果存在分支点，公共分支点会把分支曲线相连在一起。因此，这些分支曲线形成一些相隔离的区域，它们构成二自由度七连杆的分支。如图3所示，分支为C₁-A₁-B₁-D₁，A₂-C₃-B₂-C₂和A₃-D₂-B₃-C₄，即f₁，f₂，f₃区域。但图4中，分支点并不存在于每一条分支曲线上，分支曲线D₁上没有分支点，但C₁与A₁相交于分支点一1、分支点二2，用黑色十字线标出。D₁上的死点三m3、死点四m4和C₁上的死点五(m5)以及分支点一1、分支点二2共同约束分支形成的区域，从而A₁，C₁，D₁围成的区域形成了分支，即f₁区域。

2.2.5确定机构的具体位置

对于给定的连杆结构属于哪个分支，可以用在给定结构位置的一点画一条横线和一条纵线的方法确定。如果结构在某条分支，那么这两条线首先和相应的分支曲线相交。因此，结构能被定位到相应的分支。

分支点存在的七连杆分支识别具体流程图如图6所示。

例2：结合图1给出七连杆机构的杆长尺寸，识别连杆的分支：a₁＝4.95,a₂＝2.9,a₃＝0.55,a₄＝3.69,a₅＝3.05,a₆＝3.69,a₇＝1.75,a₈＝3.3,a₉＝3.2,α＝-25.0°,β＝20.0°

根据上面所给的尺寸，像图3中的七连杆分支能够用如下的方法识别。

a.分支点：通过解方程(3)和(7)，(3)和(8)，(4)和(7)，(4)和(8)可以获得12个分支点，它们在表一中列出。

表1.七连杆分支点和分支曲线

分支点	角度(θ4，θ5)	分支曲线
			1	(-55.7，156.9)	A1(1,11),C1(1,2)
2	(-44.6,170.9)	B1(2,12),C1(1,2)
			3	(-3.3,244.1)	B2(3,6),C2(3,4)
4	(4.7,74.2)	A2(4,5),C2(3,4)
			5	(75.6,159.4)	C3(5,6),A2(4,5)
6	(73.7,139.7)	C3(5,6),B2(3,6)
			7	(83.2,90.9)	C4(7,8),B3(9,7)
8	(92.9,80.1)	A3(10,8),C4(7,8)
			9	(13.4，113.9)	B3(9,7),D2(10,9)
10	(2.8,93.9)	A3(10,8),D2(10,9)
			11	(-21.0,132.3)	D1(11,12),A1(1,11)
12	(-6.7,146.5)	D1(11,12),B1(2,12)

b.两个五连杆环的关节旋转空间：fL的界线由方程(3)和(7)决定。fL可以由方程(9)表达，它在图3中是深灰色的区域。相似地，fR的界线由方程(7)和(8)决定。fR可以由方程(10)表达，它在图3中是浅灰色的区域。

c.分支曲线的识别：奇异曲线方程(3)，(4)，(7)和(8)，这些方程作为四连杆的输入输出曲线，在图3中分支曲线分别用A_i(i＝1…3),B_i(i＝1…3),C_i(i＝1…4)和D_i(i＝1…2)所表示，通过上文可得知分支曲线是奇异曲线的一部分。分支点是分支曲线的开始点和结束点，相应分支点的分支曲线在表一中列出。

d.七连杆的分支：根据以上提供的分支点存在的七连杆分支识别的方法，七连杆有三个分支，它们是三个相隔离的封闭区域，这些区域由如下通过公共分支点相连的分支曲线形成。

分支1：由分支曲线A₁，B₁，C₁和D₁形成，即f₁区域。

分支2：由分支曲线A₂，B₂，C₂和C₃形成，即f₂区域。

分支3：由分支曲线A₃，B₃，C₄和D₂形成，即f₃区域。

e.分支结构：连杆的一个分支结构必须在由分支曲线形成的运动区域之内，同时满足方程(9)和(10)。通过给定结构位置的一条横线和纵线首先必须相交在相应的分支曲线。输入的有效性必须保证在分支的分支曲线的交界区。例如，给定一个结构P₀(38.0°,39.4°)，过该点的横线首先与分支曲线A₃的(22.7°,39.4°)和(54.7°,39.4°)相交。另一方面，过P₀点的纵线在(38.0°,30.5°)，(38.0°,61.9°)，(38.0°,162.4°)和(54.7°,193.7°)处与分支曲线相交，且P₀首先与(38.0°,30.5°)和(38.0°,61.9°)相交，所以P₀在分支f₃上。

将图2、图3、图4对比可以得知：图2中不存在分支点，在关节旋转空内部的公共部分f₁区域组成了七连杆的分支。图3、图4存在分支点，奇异曲线之间的交点称为分支点，利用图6所示步骤即可识别出分支。因此，在图2中有二个分支，图3中有三个分支，图4中有一个分支。

Claims (2)

1.一种平面二自由度七连杆机构分支识别方法，其特征在于，将平面二自由度七连杆机构看作由两个五连环A₀AEBB₀A₀和B₀BDCC₀B₀组成，通过奇异曲线是判定机构是否处于奇异位置的边界条件来判断平面二自由度七连杆机构的可动性。

2.如权利要求1所述一种平面二自由度七连杆机构分支识别方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，平面二自由度七连杆分支理论计算：

由于机构的分支问题与输入副和固定杆的选择无关，利用这个机构特性，选择这两个五连杆运动链的公共关节来分析机构的分支情况，选取关节B、B₀作为研究对象，当A₀A和AE共线或者重合时，五连杆可视为退化的四连杆，二自由度七连杆机构退化成单自由度六连杆机构，机构出现奇异性，此时A₀AEBB₀A₀五连杆环在奇异位置退化成四连杆环的方程可分别写为：

$a_1{e}^{i\mathrm{\α}}+a_5{e}^{{\mathrm{i\θ}}_5}+a_4{e}^{i({\mathrm{\θ}}_4+\mathrm{\π}-\mathrm{\β}-\mathrm{\η})}=(a_2+a_3)e^{{\mathrm{i\θ}}_2}---\left(1\right)$

$a_1{e}^{i\mathrm{\α}}+a_5{e}^{{\mathrm{i\θ}}_5}+a_4{e}^{i({\mathrm{\θ}}_4+\mathrm{\π}-\mathrm{\β}-\mathrm{\η})}=|a_2-a_3|e^{{\mathrm{i\θ}}_2}---\left(2\right)$

其中，α为杆a₁与a₁₀的夹角、θ_i(i＝1,2,3…)分别为连杆与水平方向夹角,β、η分别为连杆a₁₁、a₄和a₁₁、a₆所形成的夹角，i为虚数单位，a_i(i＝1,2,3…)，e为自然对数的底；

当A₀A和AE共线时B₀BEAA₀B₀五连杆环退化为一个四连杆环，将其命名为fL₁，其四杆尺寸分别为a₅,a₄,a₁和a₂+a₃；当A₀A和AE重合时形成的四连杆环被命名为fL₂，其四杆尺寸分别为a₅,a₄,a₁和|a₂-a₃|；消去方程(1)和方程(2)可分别写成：

$\begin{array}{c}{\mathrm{fL}}_1={\[a_{1}cos\mathrm{\α}+a_5{\mathrm{cos\θ}}_5+a_{4}cos({\mathrm{\θ}}_4+\mathrm{\π}-\mathrm{\β}-\mathrm{\η})\]}^2\\ +{\[a_1\sin \mathrm{\α}+a_5{\mathrm{sin\θ}}_5+a_4\sin ({\mathrm{\θ}}_4+\mathrm{\π}-\mathrm{\β}-\mathrm{\η})\]}^2-{\left(a_2+a_3\right)}^2=0\end{array}---\left(3\right)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{fL}}_2={\[a_{1}cos\mathrm{\α}+a_5{\mathrm{cos\θ}}_5+a_{4}cos({\mathrm{\θ}}_4+\mathrm{\π}-\mathrm{\β}-\mathrm{\η})\]}^2\\ +{\[a_1\sin \mathrm{\α}+a_5{\mathrm{sin\θ}}_5+a_4\sin ({\mathrm{\θ}}_4+\mathrm{\π}-\mathrm{\β}-\mathrm{\η})\]}^2-{\left(a_2-a_3\right)}^2=0\end{array}---\left(4\right)$

同理，当C₀C和CD共线时，B₀BDCC₀B₀五连杆环退化为一个四连杆环，将其命名为fR₁，其四杆尺寸分别为a₅、a₆、a₉和a₇+a₈；当C₀C和CD重合时形成的四连杆环被命名为fR₂，其四杆尺寸分别为a₅、a₆、a₉和|a₇-a₈|；

B₀BDCC₀B₀五连杆环在奇异位置退化为四连杆环的方程可分别写为：

$a_5{e}^{{\mathrm{i\θ}}_5}+a_6{e}^{{\mathrm{\θ}}_4}+a_9{e}^{i(\mathrm{\π}-\mathrm{\γ})}=(a_7+a_8)e^{{\mathrm{i\θ}}_8}---\left(5\right)$

$a_5{e}^{{\mathrm{i\θ}}_5}+a_6{e}^{{\mathrm{\θ}}_4}+a_9{e}^{i(\mathrm{\π}-\mathrm{\γ})}=|a_7-a_8|e^{{\mathrm{i\θ}}_8}---\left(6\right)$

γ为连杆a₉与a₁₀的夹角，消去方程(5)和方程(6)可写成：

$\begin{array}{c}{\mathrm{fR}}_1={\[a_5{\mathrm{cos\θ}}_5+a_6{\mathrm{cos\θ}}_4+a_{9}cos(\mathrm{\π}-\mathrm{\γ})\]}^2\\ +{\[a_5{\mathrm{sin\θ}}_5+a_6{\mathrm{sin\θ}}_4+a_9\sin (\mathrm{\π}-\mathrm{\γ})\]}^2-{\left(a_7+a_8\right)}^2=0\end{array}---\left(7\right)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{fR}}_2={\[a_5{\mathrm{cos\θ}}_5+a_6{\mathrm{cos\θ}}_4+a_{9}cos(\mathrm{\π}-\mathrm{\γ})\]}^2\\ +{\[a_5{\mathrm{sin\θ}}_5+a_6{\mathrm{sin\θ}}_4+a_9\sin (\mathrm{\π}-\mathrm{\γ})\]}^2-{\left(a_7-a_8\right)}^2=0\end{array}---\left(8\right)$

从上面公式可以看出：A₀AEBB₀A₀五连杆运动链的所有输入变量的范围由方程(3)和方程(4)确定，这种所有输入变量的范围称为关节旋转空间，将A₀AEBB₀A₀五连杆环的关节旋转空间命名为fL，方程(3)和方程(4)代表了五连杆环的奇异曲线，即为关节旋转空间fL的边界，此五连杆环必须保持在由方程(3)和方程(4)所形成的奇异曲线之间，因此，在A₀AEBB₀A₀五连杆环的关节旋转空间可写为下列关系：

fL＝fL₁·fL₂≤0 (9)

相同地，B₀BDCC₀B₀五连杆环的关节旋转空间是由方程(7)和方程(8)形成的，将B₀BDCC₀B₀五连杆环的关节旋转空间命名为fR，在关节旋转空间结构中，必须满足下列关系：

fR＝fR₁·fR₂≤0 (10)

fL相当于是A₀AEBB₀A₀五连杆环的可装配区域；fR就相当于是B₀BDCC₀B₀五连杆环的可装配区域；因二自由度七连杆机构是由此两个五连杆环机构组成的，故可得出：在fL和fR相交的公共区域即公共的关节旋转空间，也就是两个五连杆环都可以运动的区域或能装配起来的区域，此公共区域即为二自由度七连杆机构的分支，相应的关系可写为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{fL}}_1\·{\mathrm{fL}}_2\≤0\\ {\mathrm{fR}}_1\·{\mathrm{fR}}_2\≤0\end{array}\right.---\left(11\right)$

公式(11)即为平面七连杆机构分支的数学表达式，在每个分支中，连杆机构必须满足公式(11)，奇异曲线之间的交点称为分支点，分支点也是机构的死点或奇异点，它能够通过求解每两个不同的五连杆环方程得到，也就是说通过求解式(3)与(7)或(8)、(4)与(7)或(8)可得，当μ₁和μ₂为0或者π时，机构处于分支点的位置，即两个五连杆环同时处于死点位置；

因机构不能连续地从一个分支运动到另一个分支中，二自由度七杆机构的公共且不连续的关节旋转空间即为此机构的不同分支，下文将分类说明分支的具体识别方式；

步骤2，七连杆的分支识别：

二自由度七连杆分支由两个五连杆环的奇异曲线所包含的公共关节旋转空间所组成，分支的边线称为分支曲线，七连杆环分支的识别是通过识别这些分支曲线来区别不同分支，而这些分支曲线又只是五连杆环奇异曲线的一部分，故奇异曲线是分支识别的基础，奇异曲线是由奇异方程(3)、方程(4)、方程(7)和方程(8)决定，为了叙述的方便，这里用A，B，C和D分别代表上述奇异方程(3)、方程(4)、方程(7)和方程(8)，如果奇异曲线A，B，C，D上存在分支曲线，则用A_i，B_i，C_i和D_i(i＝1,2,3…)表示一条奇异曲线上不同的分支曲线，分支由每个五连杆环之间的相互影响确定，两个五连杆环的奇异曲线相交的点为分支点，它们也都是奇异点；

当七连杆处在奇异位置时，该机构一般存在两种情况：

①不存在分支点的情况，当分支点不存在时：方程(3)和方程(7)，方程(3)和方程(8)，方程(4)和方程(7)，方程(4)和方程(8)无解，如图2中区域f₁，其中一个五连杆环的关节旋转空间在另一个五连杆环的关节旋转空间里，它组成了七连杆机构的分支；

②分支点存在的情况，当分支点存在时，并不是所有分支曲线都有分支点，可分为两种情况：所有的分支曲线都存在分支点；一部分分支曲线存在分支点；

其中fL、fR表示关节旋转空间；A_i、B_i、C_i、D_i(i＝1,2,3…)表示分支曲线；m1,m2…mi(i＝1,2,3…)表示死点；1,2…i(i＝1,2,3…)表示分支点，用黑色十字线标明；f_i(i＝1,2,3…)表示分支；

步骤2.1，分支点不存在的七连杆机构分支识别：

步骤2.1.1，关节旋转空间的识别：

当处在奇异位置时，通过方程(3)和方程(4)，方程(7)和方程(8)能够得到两个五连杆环的奇异曲线，这些奇异曲线组成的区域即关节旋转空间应各自满足方程(9)或方程(10)；

步骤2.1.2，分支曲线的识别：

因为不存在分支点，退化成四连杆环的五连杆环fL₁或fL₂在fR内部的奇异曲线都是分支曲线，同样地，fR₁或者fR₂在fL内部的奇异曲线都是分支曲线，关节旋转空间fL和fR的边界曲线形成奇异曲线，fR区域中，死点一(m1)、死点二(m2)、死点五(m5)、死点六(m6)是满足方程(7)的死点，死点三(m3)、死点四(m4)、死点七(m7)、死点八(m8)是满足方程(8)的死点；C₁上的死点一(m1)、死点二(m2)和D₁上的死点三(m3)、死点四(m4)同时可以满足方程(9)，因此，fR在fL之中形成的奇异曲线C₁和D₁称为分支曲线，连杆的运动范围也被固定在死点一(m1)和死点二(m2)之间；死点五(m5)、死点六(m6)、死点七(m7)、死点八(m8)不在公共的关节旋转空间内，故其所在的曲线不是分支曲线，同时，退化成四连杆环的五连杆环如fL₁和另外一个五连杆环可以看作是一个Stephenson六连杆机构，识别出来的分支曲线可以用来对二自由度七连杆机构的分支进行识别；

步骤2.1.3，利用分支曲线进行分支识别：

每一个分支的点都必须在旋转空间内部，并满足方程(9)或方程(10)，由这些分支曲线围成的关节旋转空间代表七连杆的分支，七连杆不存在分支点的情况的分支曲线C₁和D₁所围成的区域称为分支，即区域f₁；因为此分支区域可以存在于另一个五连杆环的两种装配位置，故每一关节旋转空间内的分支代表七连杆的两个分支，即区域f₁中包含两个分支；根据μ₁或μ₂是在(0，π)或(π，2π)内变化，决定了五连杆环关节旋转空间属于是哪种装配方式；

步骤2.2，分支点存在的七连杆机构分支识别：

步骤2.2.1，确定分支点：

在此种类型的七连杆分支中，分支点是存在的，通过解方程(3)和方程(7)，方程(3)和方程(8)，方程(4)和方程(7)，方程(4)和方程(8)就能够知道分支点和它们所在的相应奇异曲线，这种情况中并不是所有分支曲线都有分支点，但一定有部分分支曲线存在分支点；

步骤2.2.2，识别关节旋转空间：

通过方程(3)和方程(4)，方程(7)和方程(8)能够得到两个五连杆环的奇异曲线，奇异曲线的内部结构组成关节旋转空间，在图3和图4中，fL和fR所示区域分别表示两个五连杆环路的关节旋转空间；

步骤2.2.3，分支曲线的识别：

分支曲线实际上是奇异曲线的一部分，奇异曲线相互交叉，把奇异曲线划分成了几段，由这些小段的奇异曲线就组成了分支曲线；同时，fL所形成的奇异曲线在fR内部或fR在fL内部的奇异曲线都是分支曲线；

步骤2.2.4，用分支曲线来进行分支识别：

每一个由两个五连杆环共同组成的公共关节旋转空间的封闭区域就代表一个七连杆的分支，如果存在分支点，公共分支点会把分支曲线相连在一起，因此，这些分支曲线形成一些相隔离的区域，它们构成二自由度七连杆的分支，分支为C₁-A₁-B₁-D₁，A₂-C₃-B₂-C₂和A₃-D₂-B₃-C₄，即f₁，f₂，f₃区域；但部分分支曲线有分支点的情况下，分支点并不存在于每一条分支曲线上，分支曲线D₁上没有分支点，但C₁与A₁相交于分支点一(1)、分支点二(2)，用黑色十字线标出；D₁上的死点三(m3)、死点四(m4)和C₁上的死点五(m5)以及分支点一(1)、分支点二(2)共同约束分支形成的区域，从而A₁，C₁，D₁围成的区域形成了分支，即f₁区域；

步骤2.2.5，确定机构的具体位置

对于给定的连杆结构属于哪个分支，可以用在给定结构位置的一点画一条横线和一条纵线的方法确定，如果结构在某条分支，那么这两条线首先和相应的分支曲线相交，因此，结构能被定位到相应的分支。