CN105808870A - 一种螺钉连接的结合部有限元建模方法 - Google Patents

Abstract

一种螺钉连接的结合部有限元建模方法，通过上述赫兹接触理论和G‑W模型描述，可以得到结合部的有效接触面积，在有限元建模中可以通过对有效接触面积内的对应单元节点进行刚性连接，从而建立结合部模型。本发明提出了避免螺钉连接的结合部有限元建模中参数识别和模型修正的复杂过程的，同时使得螺钉连接的结合部的计算的动态特性更与实际情况相符的结合部有效接触面积内有限元单元节点刚性连接的有限元建模方法。

Description

一种螺钉连接的结合部有限元建模方法

技术领域

本发明涉及机械结构有限元计算分析领域，尤其是一种螺钉连接的结合部有限元建模方法。

背景技术

目前在机电产品结构的静、动力学特性分析中，一般采用黏弹性单元(弹簧—阻尼模型)来等效螺钉连接结合部。通常对结构作整体有限元逆向求解，获得结合部阻尼参数和刚度，或建立结合部刚度、阻尼参数与实测传递函数的较低维矩阵关系式，提出了相应的识别方法，求取结合部阻尼参数和刚度。已有结合部模型的建立方法中存在以下三个主要不足：①弹簧——阻尼模型中各弹簧阻尼器是相互独立的，无法模拟它们之间的相互作用，即忽略各粘弹性单元之间及粘弹性单元的坐标之间的耦合关系，而结合部的法向和切向特性是相互影响的；②在弹簧—阻尼模型中识别的参数和仅能应用于各自当前结合部，不适用于其它结合部，即没有通用性；③已有结合部建模方法中，通常需要试验测试才能获得模型设置参数，对于无样件的研发阶段，很难根据结构零部件设计参数建立较准确的结合部有限元计算模型。

发明内容

为了克服现有螺钉连接的结合部有限元建模中参数识别和模型修正的复杂过程的不足，本发明提出一种螺钉连接的结合部有效接触面积内有限元单元节点刚性连接的有限元建模方法，依据已有的设计参数，建立螺钉连接的结合部的有限元模型，通过计算能够获得符合工程实际情况需要的结合部动态特性。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案如下：

一种螺钉连接的结合部有限元建模方法，包括以下步骤：

1)根据螺钉连接的结合部的材料属性即弹性模量、泊松比和粗糙度计算螺钉连接的结合部有效接触面积的直径；

当螺钉连接的结合部是粗糙平面和理想刚性平面接触时，螺钉连接的结合部有效接触面积的直径为:

$L\≈\frac{3.75}{E^{*}f}{F}_N---\left(18\right)$

其中E、v分别为螺钉连接的结合部中粗糙平面的弹性模量和泊松比，f为粗糙平面的表面粗糙度Ra值，F_N为螺钉的总法向力；

当螺钉连接的结合部是两个粗糙平面相互接触并它们峰高分布均为高斯分布时，螺钉连接的结合部有效接触面积的直径为:

$L=\frac{3.75}{\sqrt{f_1^2+f_2^2}}(\frac{1-v_1^2}{E_1}+\frac{1-v_2^2}{E_2})F_N---\left(19\right)$

其中f₁，f₂分别为两个粗糙平面的粗糙度Ra值，E₁,E₂分别为两个粗糙平面的弹性模量，v₁,v₂分别为两个粗糙平面的泊松比；

2)对螺钉连接的结合部建立有限元模型：

首先对螺钉连接的结合部进行有限元网格划分建立单元节点，螺钉连接的结合部的两个接触面在分别进行有限元网格划分后，两个接触面上的相互一一对应的单元节点的空间坐标是一致的；

然后以螺钉孔中心为圆心，以步骤1)中直径L计算螺钉连接的结合部有效接触面积，并在此有效接触面积内，将两个接触面上的相互一一对应的单元节点进行刚性连接。

发明工作原理：本发明运用赫兹接触理论和G-W(Greenwood—WilliaMson)模型推导出螺钉连接零件的有效接触面积计算公式，提出了螺钉连接的结合部有效接触面积内对应的有限元单元节点刚性连接的有限元建模方法。

本发明有益效果表现在：避免螺钉连接的结合部有限元建模中参数识别和模型修正的复杂过程，同时使得螺钉连接的结合部的计算的动态特性更与实际情况相符，基本满足非平动前四阶计算模态频率和实测模态频率值相对误差在10％内及计算实测模态和有效接触面积建模的计算模态二者的MAC值大于50％，基本满足工程计算需要。

附图说明

图1是一个刚性球体和一个弹性半空间的接触示意图。

图2是印制板夹具有限元网格划分示意图。

图3是印制板夹具有效接触面积内单元节点刚性连接图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步描述。

参照图1～图3，一种螺钉连接的结合部有限元建模方法，包括以下步骤：

1)根据螺钉连接的结合部的材料属性即弹性模量、泊松比和粗糙度计算螺钉连接的结合部有效接触面积的直径；

当螺钉连接的结合部是粗糙平面和理想刚性平面接触时，螺钉连接的结合部有效接触面积的直径为:

$L\≈\frac{3.75}{E^{*}f}{F}_N---\left(18\right)$

其中E、v分别为螺钉连接的结合部中粗糙平面的弹性模量和泊松比，f为粗糙平面的表面粗糙度Ra值，F_N为螺钉的总法向力；

当螺钉连接的结合部是两个粗糙平面相互接触并它们峰高分布均为高斯分布时，螺钉连接的结合部有效接触面积的直径为:

$L=\frac{3.75}{\sqrt{f_1^2+f_2^2}}(\frac{1-v_1^2}{E_1}+\frac{1-v_2^2}{E_2})F_N---\left(19\right)$

其中f₁，f₂分别为两个粗糙平面的粗糙度Ra值，E₁,E₂分别为两个粗糙平面的弹性模量，v₁,v₂分别为两个粗糙平面的泊松比；

2)对螺钉连接的结合部建立有限元模型：

首先对螺钉连接的结合部进行有限元网格划分建立单元节点，螺钉连接的结合部的两个接触面在分别进行有限元网格划分后，两个接触面上的相互一一对应的单元节点的空间坐标是一致的；

然后以螺钉孔中心为圆心，以步骤1)中直径L计算螺钉连接的结合部有效接触面积，并在此有效接触面积内，将两个接触面上的相互一一对应的单元节点进行刚性连接。

所述刚性连接一是通过有限元软件中相应命令消去重合节点，使得单元相邻二个节点缩聚为一点，从而达到单元节点刚性连接的目的，如：Patran软件中Equivlence命令消去有效接触面积内相应重合节点；二是通过有限元软件中刚性单元连接命令设置相应重合节点6自由度约束一致，从而达到单元节点刚性连接目的，如：通过Patran软件中MPC刚性单元连接中RBE2命令设置重合节点6自由度约束一致。

螺钉连接的结合部有效接触面积公式推导如下：

在近似半空间的研究领域中，对于无摩擦接触问题，法向力p(x,y)为连续分布情况时，可以用式(1)计算力作用面上的任意点z(x′,y′)的法向位移：

$u_w=\frac{1}{{\mathrm{\πE}}^{*}}\∫\∫p(x,y)\frac{dxdy}{t}---\left(1\right)$

式中E、v分别为力作用面上的材料的弹性模量和泊松比，力作用面即螺钉连接的结合部的接触面。

将赫兹压力分布r²＝x²+y²，p₀为赫兹压力分布中的最大压力，a为赫兹压力作用下的接触半径，代入式(1)可得距作用力中心(0，0)距离为l处的表面z(x′,y′)点产生的法向位移u_w为：

$u_w=\frac{1}{E^{*}}\frac{{\mathrm{\πp}}_0}{4a}(2a^2-l^2),l\≤a---\left(2\right)$

式中

总作用力为

$F=\underset{0}{\overset{a}{\∫}}p\left(r\right)2\mathrm{\π}rdr=\frac{2}{3}{p}_0{\mathrm{\πa}}^2---\left(3\right)$

在一个最初为平整的表面和一个半径为R的刚性球体的接触区域中(如图1所示)，平整的表面上z(x′,y′)点的法向位移：

$u_w=d-\frac{l^2}{2R}---\left(4\right)$

式中d为刚性球体压入的深度，见图1，l为点z(x′,y′)距力作用中心(0，0)的距离

由式(2)和式(4)可得：

$\frac{1}{E^{*}}\frac{{\mathrm{\πp}}_0}{4a}(2a^2-l^2)=d-\frac{l^2}{2R}---\left(5\right)$

所以，变量a和d必须满足下面要求：

$a=\frac{{\mathrm{\πp}}_{0}R}{2E^{*}},d=\frac{{\mathrm{\πap}}_0}{2E^{*}}$

从而可得赫兹压力作用下的接触半径：

a²＝Rd (6)

最大压力为：

$p_0=\frac{2}{\mathrm{\π}}{E}^{*}{R}^{\frac{1}{2}}{d}^{\frac{3}{2}}---\left(7\right)$

将式(6)、式(7)代入式(3)可得总法向力为：

$F=\frac{4}{3}{E}^{*}{R}^{\frac{1}{2}}{d}^{\frac{3}{2}}---\left(8\right)$

1966年，J.A.Greenwood和J.B.P.Williamson把实际表面看做是随机粗糙的，同时，对这种不规则表面模型提出了最简单的建模方法—G-W模型。他们认为所有微凸体顶峰的高度在均值附近随机分布，且曲率半径是一样，接触顶峰之间具有足够远的相互距离，在力的作用下它们具有相互独立的变形。如果用函数φ(h)来表示微凸体最大高度h的概率密度，在区间[h,h+dh]内，一个微凸体最大高度的概率等于φ(h)dh。若接触面内微凸体总数为N₀，那么在区间[h,h+dh]内微凸体的最大高度数目的概率等于N₀φ(h)dh。

对很多自然表面和加工表面，通常假设微凸体最大高度h分布为：

$\mathrm{\φ}\left(h\right)={\left(\frac{1}{2{\mathrm{\πf}}^2}\right)}^{1/2}{e}^{-\frac{h^2}{2f^2}}---\left(9\right)$

式(9)中f是微凸体高度分布的均方根，这里f取为研究对象表面的粗糙度Ra值。

对一个刚性平面和表面为上述描述的统计粗糙度的弹性体的接触问题，假设以均值位置作为z轴的原点，二者相距h₀，不考虑微凸体的相互间的弹性作用，则所有高度为h＞h₀的微凸体都与刚性平面接触，高度为h的微凸体的压入深度为d＝h-h₀。

由赫兹理论可知，对于单个粗糙顶尖接触，由式(6)有a²＝dR。因此，单个粗糙顶尖的接触面积计算公式为：

ΔA＝πa²＝πdR＝π(h-h₀)R (10)

由式(9)知单个粗糙顶尖的作用力为：

$\mathrm{\Δ}F=\frac{4}{3}{E}^{*}{R}^{1/2}{d}^{3/2}=\frac{4}{3}{\mathrm{ER}}^{1/2}{(h-h_0)}^{3/2}---\left(11\right)$

对于螺钉连接有效接触面积为圆形的区域，如果存在很多微接触体，它们在接触平面内分开的距离远远大于自身的尺度(或者直径2a_i)，那么有效接触面积的直径长度为：

L＝∑2a_i (12)

为了简单起见，我们称L为有效接触面积的直径。为计算有效接触面积的直径长度，由式(10)可得赫兹压力作用下的接触半径为：

$a=\sqrt{\frac{\mathrm{\Δ}A}{\mathrm{\π}}}=\sqrt{R(h-h_0)}---\left(13\right)$

通过对所有接触微凸体求和积分计算，积分从高度为h＝h₀到无穷大，有效接触面积的直径长度计算为：

$L=\mathrm{\Σ}2a_i=\underset{h_0}{\overset{\∝}{\∫}}2N_0\mathrm{\φ}\left(h\right)\sqrt{R(h-h_0)}dz---\left(14\right)$

总法向力有：

$F_N={\∫}_{h_0}^{\mathrm{\∞}}{N}_0\mathrm{\φ}\left(h\right)\frac{4}{3}{\mathrm{ER}}^{1/2}{(h-h_0)}^{3/2}dz---\left(15\right)$

有效接触面积的直径和法向总力的比值等于：

$\frac{L}{F_N}=\frac{3}{2E^{*}}\frac{{\∫}_{h_0}^{\mathrm{\∞}}{N}_0\mathrm{\φ}\left(h\right){(h-h_0)}^{1/2}dz}{{\∫}_{h_0}^{\mathrm{\∞}}{N}_0\mathrm{\φ}{(h-h_0)}^{3/2}dz}---\left(16\right)$

代入无量纲变量ξ＝h/f，并定义ξ₀＝h₀/f，则有

$\frac{L}{F_N}=\frac{3}{2E^{*}f}\frac{{\∫}_{{\mathrm{\ξ}}_0}^{\mathrm{\∞}}\exp (-{\mathrm{\ξ}}^2/2)\·{(\mathrm{\ξ}-{\mathrm{\ξ}}_0)}^{1/2}d\mathrm{\ξ}}{{\∫}_{{\mathrm{\ξ}}_0}^{\mathrm{\∞}}\exp (-{\mathrm{\ξ}}^2/2)\·{(\mathrm{\ξ}-{\mathrm{\ξ}}_0)}^{3/2}d\mathrm{\ξ}}$

在典型接触情况的相关领域，即ξ₀＝2.5～3.5时，积分比值在2.5左右轻微变化，因此，有：

$\frac{L}{F_N}\≈\frac{3.75}{E^{*}f}---\left(17\right)$

所以有效接触面积的直径近似为：

$L\≈\frac{3.75}{E^{*}f}{F}_N---\left(18\right)$

如果接触面是由一个粗糙平面和一个理想刚性平面组成的情况，可以根据关系式直接求得有效接触面积的直径；如果是由二个粗糙平面相互接触，当它们峰高分布均为高斯分布时，需要分别以下面的当量值代替式(18)中的相应项：

$f=\sqrt{f_1^2+f_2^2},\frac{1}{E*}=\frac{1-v_1^2}{E_1}+\frac{1-v_2^2}{E_2}$

其中f₁，f₂分别为两个粗糙平面的粗糙度Ra值，E₁,E₂分别为两个粗糙平面的弹性模量，v₁,v₂分别为两个粗糙平面的泊松比。

$L\≈\frac{3.75}{E^{*}f}{F}_N=\frac{3.75}{\sqrt{f_1^2+f_2^2}}(\frac{1-v_1^2}{E_1}+\frac{1-v_2^2}{E_2})F_N---\left(19\right)$

实施例

以某印制板夹具为有限元建模例的例子，该印制板夹具通过32个材料为A2-50的M4螺钉把4个材料为5F05铝板连接固定在一起。

(1)螺钉连接零件有效接触面积的直径L计算

已知螺钉连接的铝板的弹性模量E＝70×10⁹Pa，粗糙度f＝6.3×10^-6m Ra，在螺钉的实际运用中，通常以产生0.6～0.7倍的非比例伸长应力下的螺钉扭矩作为预紧力矩，F_N即为在此扭矩作用下产生的压紧力。通过设计手册可查得型号为A2-50(GB819)的M4螺钉的相关参数如下表1所示：

表1

根据赫兹接触理论和G-W(Greenwood—Williamson)模型推导出计算公式可得：

$\begin{array}{c}L\≈\frac{3.75}{E^{*}l}{F}_N=\frac{3.75}{\frac{E}{2(1-v^2)}\sqrt{2}{l}_1}{F}_N\\ =\frac{3.75}{\frac{70\×{10}^9}{2\×(1-{0.33}^2)}\×\sqrt{2}\×6.3\×{10}^{-6}}\×1290.66\≈13.8mm\end{array}$

(2)计算一个螺钉作用下铝板的有效接触部位的半径为：

(3)利用有限元软件对该夹具模型进行有限元网格划分

对于螺钉连接构成的结合部，它是由上下铝板组成，且每个铝板在结合部中都有一个相互接触的面，在不研究螺钉疲劳强度的情况下，建模中可以去除螺钉和螺钉孔。首先，对上下结构分别进行网格划分，设置相同的参数对组成结合部位的上下面进行网格划分，然后以面网格为基础分别对上下铝板进行体网格划分，从而可以确保上下铝板在网格划分后在结合部平面上单元和单元节点在空间坐标上是一致，即结合部的两个接触面上的相互一一对应的单元节点的空间坐标是一致的。按此方法，所建4个面的有限元模型如图2所示，共45164个六面体单元，63600个单元节点。

(4)以螺钉孔中心为圆心，对半径为6.9mm的圆内有效接触部位的相互一一对应的单元节点采用Patran软件中MPC刚性单元连接中RBE2命令设置重合节点6自由度约束一致进行刚性连接，对非有效接触面积内的单元节点不做处理，可得夹具的有限元模型如图3所示。

(5)运用有限元软件对所建立的模型进行模态分析，所得前四阶非平动Model结果如下表2所示：

表2

(6)为了验证仿真分析模型的正确性，我们将实际测得的模态频率与步骤(5)中所得的仿真结果进行比较，计算模态频率值与实测模态频率误差表如下表3：

表3

计算模态振型与实测模态振型MAC值如下表4：

表4

由以上两表可以看出，按此方法建立的有限元模型计算出的模态频率和模态振型数据都是合理的，从而可以判断这种螺钉结合部的有限元建模方法是正确的。

Claims (1)

1.一种螺钉连接的结合部有限元建模方法，其特征在于：所述有限元建模方法包括以下步骤：

1)根据螺钉连接的结合部的材料属性即弹性模量、泊松比和粗糙度计算螺钉连接的结合部有效接触面积的直径；

当螺钉连接的结合部是粗糙平面和理想刚性平面接触时，螺钉连接的结合部有效接触面积的直径为:

$L\≈\frac{3.75}{E^{*}f}{F}_N---\left(18\right)$

其中E、ν分别为螺钉连接的结合部中粗糙平面的弹性模量和泊松比，f为粗糙平面的表面粗糙度Ra值，F_N为螺钉的总法向力；

当螺钉连接的结合部是两个粗糙平面相互接触并它们峰高分布均为高斯分布时，螺钉连接的结合部有效接触面积的直径为:

$L=\frac{3.75}{\sqrt{f_1^2+f_2^2}}(\frac{1-v_1^2}{E_1}+\frac{1-v_2^2}{E_2})F_N---\left(19\right)$

其中f₁，f₂分别为两个粗糙平面的粗糙度Ra值，E₁,E₂分别为两个粗糙平面的弹性模量，ν₁,ν₂分别为两个粗糙平面的泊松比；

2)对螺钉连接的结合部建立有限元模型：

首先对螺钉连接的结合部进行有限元网格划分建立单元节点，螺钉连接的结合部的两个接触面在分别进行有限元网格划分后，两个接触面上的相互一一对应的单元节点的空间坐标是一致的；

然后以螺钉孔中心为圆心，以步骤1)中直径L计算螺钉连接的结合部有效接触面积，并在此有效接触面积内，将两个接触面上的相互一一对应的单元节点进行刚性连接。