CN105808505A - 一种计算弧形地连墙侧位移的方法 - Google Patents

Abstract

一种计算弧形地连墙侧位移的方法，所述方法通过将弧形地连墙简化为圆柱壳，建立曲线坐标系，根据经典壳体理论，建立弧形地连墙中面应变与位移之间的关系、根据胡克定律确定弧形地连墙任意一点应力与位移之间的关系，以及弧形地连墙体内任意一微元的平衡微分方程，推导出弧形地连墙的平衡微分方程，根据相应工况的边界条件，从而确定弧形地连墙的侧位移。

Description

一种计算弧形地连墙侧位移的方法

技术领域

本发明涉及一种计算弧形地连墙侧位移的方法，属岩土工程应用技术领域。

背景技术

在基坑工程中，由于地下连续墙具有施工振动小、墙体刚度大、整体性好及施工速度快等优点，因而被广泛应用于深基坑开挖围护结构工程中。但是，目前对弧形地连墙的侧位移计算还没有非常好的方法，都只是通过数值模拟及现场监测来确定的。

发明内容

本发明的目的是，针对现有弧形地连墙的侧位移计算问题尚无好的方法，本发明提出一种计算弧形地连墙侧位移的方法。

本发明的技术方案是，本发明通过将弧形地连墙简化为圆柱壳，建立曲线坐标系，根据经典壳体理论，建立弧形地连墙中面应变与位移之间的关系、根据胡克定律确定弧形地连墙任意一点应力与位移之间的关系，以及弧形地连墙体内任意一微元的平衡微分方程，推导出弧形地连墙的平衡微分方程，根据相应工况的边界条件，从而确定弧形地连墙的侧位移。

本发明一种计算弧形地连墙侧位移的方法包括以下步骤：

(1)首先将弧形地连墙简化为圆柱壳，然后采用曲线坐标系来规定其坐标系，设定沿柱壳的母线方向为α轴，沿柱壳的周向为β轴，沿柱壳的径向为γ轴。

(2)根据经典壳体理论，得出弧形地连墙中面应变与位移之间的关系；

$\left.\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}}=\frac{\∂u}{\∂\mathrm{\α}}=u^{\′}\\ {\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\β}}=\frac{\∂v}{\∂\mathrm{\β}}+\frac{w}{R}=v^{\′}+\frac{w}{R}\\ {\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}=\frac{\∂u}{\∂\mathrm{\β}}+\frac{\∂v}{\∂\mathrm{\α}}\\ {\mathrm{\χ}}_{\mathrm{\α}}=-\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂{\mathrm{\α}}^2},{\mathrm{\χ}}_{\mathrm{\β}}=-\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂{\mathrm{\β}}^2}\\ {\mathrm{\χ}}_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}=-\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂\mathrm{\α}\∂\mathrm{\β}}\end{array}\right\}---(1-1)$

式中：ε_α为中面内各点沿α方向的线应变；ε_β为中面内各点沿β方向的线应变；ε_αβ为中面内各点沿α及β方向的切应变；α、β、γ为各点沿α、β、γ方向上的坐标；δ为柱壳的厚度；R为中面主曲率半径；u、ν、ω分别为α、β、γ方向的扰度；q₁、q₂、q₃分别为α、β、γ方向的外力；E为弹性模量；μ为泊松比；k_α、k_β主曲率k_α＝1/R_α、k_β＝1/R_β；χ_α、χ_β为中面内各点的主曲率k_α及k_β的改变；χ_αβ为中面内各点沿α及β方向的扭率的改变。

(3)应用弹性力学中的胡克定律，计算出弧形地连墙任意一点应力和位移的关系；表达式如下式(1-2)：

$\left.\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\α}}=\frac{E}{1-{\mathrm{\μ}}^2}\[({\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}}+{\mathrm{\μ\ϵ}}_{\mathrm{\β}})+({\mathrm{\χ}}_{\mathrm{\α}}+{\mathrm{\μ\χ}}_{\mathrm{\β}})\mathrm{\γ}\]\\ {\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\β}}=\frac{E}{1-{\mathrm{\μ}}^2}\[({\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\β}}+{\mathrm{\μ\ϵ}}_{\mathrm{\α}})+({\mathrm{\χ}}_{\mathrm{\β}}+{\mathrm{\μ\χ}}_{\mathrm{\α}})\mathrm{\γ}\]\\ {\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\β}\mathrm{\α}}={\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}=\frac{E}{2(1+\mathrm{\μ})}({\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}+2{\mathrm{\χ}}_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}\mathrm{\γ})\end{array}\right\}---(1-2)$

其中，σ_α为在α面上，作用于单位宽度上的应力分量；σ_β为在β面上，作用于单位宽度上的应力分量；

再对壳体沿径向进行积分，可以得到弧形地连墙中面内力；

弧形地连墙中面内力为下式(1-3)：

$\left.\begin{array}{c}{F}_{T\mathrm{\α}}={\∫}_{-\mathrm{\δ}/2}^{\mathrm{\δ}/2}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\α}}(1+\frac{\mathrm{\γ}}{R})d\mathrm{\γ}\\ F_{T\mathrm{\β}}={\∫}_{-\mathrm{\δ}/2}^{\mathrm{\δ}/2}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\β}}d\mathrm{\γ}\\ F_{T\mathrm{\α}\mathrm{\β}}={\∫}_{-\mathrm{\δ}/2}^{\mathrm{\δ}/2}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}(1+\frac{\mathrm{\γ}}{R})d\mathrm{\γ}\\ F_{T\mathrm{\β}\mathrm{\α}}={\∫}_{-\mathrm{\δ}/2}^{\mathrm{\δ}/2}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\β}\mathrm{\α}}d\mathrm{\γ}\\ M_{\mathrm{\α}}={\∫}_{-\mathrm{\δ}/2}^{\mathrm{\δ}/2}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\α}}(1+\frac{\mathrm{\γ}}{R})\mathrm{\γ}d\mathrm{\γ}\\ M_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}={\∫}_{-\mathrm{\δ}/2}^{\mathrm{\δ}/2}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}(1+\frac{\mathrm{\γ}}{R})\mathrm{\γ}d\mathrm{\γ}\\ M_{\mathrm{\β}\mathrm{\α}}={\∫}_{-\mathrm{\δ}/2}^{\mathrm{\δ}/2}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\β}\mathrm{\α}}\mathrm{\γ}d\mathrm{\γ}\\ M_{\mathrm{\β}}={\∫}_{-\mathrm{\δ}/2}^{\mathrm{\δ}/2}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\β}}\mathrm{\γ}d\mathrm{\γ}\end{array}\right\}---(1-3)$

其中，薄壳所以δ为壳体的厚度；τ_βα为在β面上，作用于单位宽度上的切应力；M_α为在α面上，作用于单位宽度上的弯矩；M_β为在β面上，作用于单位宽度上的弯矩；M_αβ为在α面上，作用于单位宽度上的扭矩；M_βα为在β面上，作用于单位宽度上的扭矩；F_Tα为在α面上，作用于中面单位宽度上的拉应力；F_Tβ为在β面上，作用于中面单位宽度上的拉应力；F_Tαβ为在α面上，作用于单位宽度上的平错力；F_Tβα为在β面上，作用于中面单位宽度上的平错力。

(4)将式(1-1)及式(1-2)代入上式(1-3)内力方程中，即可得到下式(1-4)：

$\left.\begin{array}{c}{F}_{T\mathrm{\α}}=\frac{E\mathrm{\δ}}{1-{\mathrm{\μ}}^2}(u^{\′}+{\mathrm{\μv}}^{\′}+\mathrm{\μ}\frac{\mathrm{\ω}}{R})\\ F_{T\mathrm{\β}}=\frac{E\mathrm{\δ}}{1-{\mathrm{\μ}}^2}(v^{\′}+\frac{\mathrm{\ω}}{R}+{\mathrm{\μu}}^{\′})\\ F_{T\mathrm{\α}\mathrm{\β}}=F_{T\mathrm{\β}\mathrm{\α}}=\frac{E\mathrm{\δ}}{2(1+\mathrm{\μ})}(\frac{\∂u}{\∂\mathrm{\β}}+\frac{\∂v}{\∂\mathrm{\α}})\\ M_{\mathrm{\α}}=-D(\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂{\mathrm{\α}}^2}+\mathrm{\μ}\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂{\mathrm{\β}}^2})\\ M_{\mathrm{\β}}=-D(\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂{\mathrm{\β}}^2}+\mathrm{\μ}\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂{\mathrm{\α}}^2})\\ M_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}=M_{\mathrm{\β}\mathrm{\α}}=-(1-\mathrm{\μ})D\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂\mathrm{\α}\∂\mathrm{\β}}\end{array}\right\}---(1-4)$

其中:D为薄壳的弯曲刚度，

(5)取壳体的任意一微元，建立弧形地连墙的内力与其所受荷载之间的关系；

$\left.\begin{array}{c}\frac{\∂F_{T\mathrm{\α}}}{\∂\mathrm{\α}}+\frac{\∂F_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}+q_1=0\\ \frac{\∂F_{T\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}+\frac{\∂F_{T\mathrm{\α}\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\α}}+\frac{F_{S\mathrm{\β}}}{R}+q_2=0\\ -\frac{F_{T\mathrm{\β}}}{R}+\frac{\∂F_{S\mathrm{\α}}}{\∂\mathrm{\α}}+\frac{\∂F_{S\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}+q_3=0\\ \frac{\∂M_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\α}}+\frac{\∂M_{\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}-F_{S\mathrm{\β}}=0\\ \frac{\∂M_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}+\frac{\∂M_{\mathrm{\α}}}{\∂\mathrm{\α}}-F_{S\mathrm{\α}}=0\end{array}\right\}---(1-5)$

(6)由于在柱壳中，横向剪力F_Sβ对环向平衡的影响较小，因此弧形地连墙的平衡微分方程为下式(1-6)：

$\left.\begin{array}{c}\frac{\∂F_{T\mathrm{\α}}}{\∂\mathrm{\α}}+\frac{\∂F_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}+q_1=0\\ \frac{\∂F_{T\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}+\frac{\∂F_{T\mathrm{\α}\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\α}}+q_2=0\\ -\frac{F_{T\mathrm{\β}}}{R}+\frac{\∂F_{S\mathrm{\α}}}{\∂\mathrm{\α}}+\frac{\∂F_{S\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}+q_3=0\\ F_{S\mathrm{\β}}=\frac{\∂M_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\α}}+\frac{\∂M_{\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}\\ F_{S\mathrm{\α}}=\frac{\∂M_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}+\frac{\∂M_{\mathrm{\α}}}{\∂\mathrm{\α}}\end{array}\right\}---(1-6)$

再将(1-4)式的后三式代入(1-6)后二式，得到：

$F_{S\mathrm{\β}}=-D\frac{\∂}{\∂\mathrm{\β}}{\▿}^2\mathrm{\ω},F_{S\mathrm{\α}}=-D\frac{\∂}{\∂\mathrm{\α}}{\▿}^2\mathrm{\ω}---(1-7)$

其中

(7)经过公式代换，从而就可以得到，用中面位移表示的弧形地连墙平衡微分方程，其表达式如下式(1-8)：

$\left.\begin{array}{c}(\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\α}}^2}+\frac{1-\mathrm{\μ}}{2}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\β}}^2})u+\frac{1+\mathrm{\μ}}{2}\frac{{\∂}^{2}v}{\∂\mathrm{\α}\∂\mathrm{\β}}+\frac{\mathrm{\μ}}{R}\frac{\∂\mathrm{\ω}}{\∂\mathrm{\α}}=-\frac{1-{\mathrm{\μ}}^2}{E\mathrm{\δ}}{q}_1\\ (\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\β}}^2}+\frac{1-\mathrm{\μ}}{2}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\α}}^2})v+\frac{1+\mathrm{\μ}}{2}\frac{{\∂}^{2}u}{\∂\mathrm{\α}\∂\mathrm{\β}}+\frac{1}{R}\frac{\∂\mathrm{\ω}}{\∂\mathrm{\β}}=-\frac{1-{\mathrm{\μ}}^2}{E\mathrm{\δ}}{q}_2\\ \frac{\mathrm{\ω}}{R^2}+\frac{{\mathrm{\δ}}^2}{12}{\▿}^4\mathrm{\ω}+\frac{1}{R}\frac{\∂v}{\∂\mathrm{\β}}+\frac{\mathrm{\μ}}{R}\frac{\∂u}{\∂\mathrm{\α}}=\frac{1-{\mathrm{\μ}}^2}{E\mathrm{\δ}}{q}_3\end{array}\right\}---(1-8)$

其中，δ为柱壳的厚度；R为中面主曲率半径；u、ν、ω分别为α、β、γ方向的扰度；E为弹性模量；μ为泊松比。

(8)由于弧形地连墙一般仅受法向载荷作用，q₁＝q₂＝0

因此将其代入公式(1-8)中，得到基本微分方程如下式(1-9)

$\left.\begin{array}{c}(\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\α}}^2}+\frac{1-\mathrm{\μ}}{2}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\β}}^2})u+\frac{1+\mathrm{\μ}}{2}\frac{{\∂}^{2}v}{\∂\mathrm{\α}\∂\mathrm{\β}}+\frac{\mathrm{\μ}}{R}\frac{\∂\mathrm{\ω}}{\∂\mathrm{\α}}=0\\ (\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\β}}^2}+\frac{1-\mathrm{\μ}}{2}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\α}}^2})v+\frac{1+\mathrm{\μ}}{2}\frac{{\∂}^{2}u}{\∂\mathrm{\α}\∂\mathrm{\β}}+\frac{1}{R}\frac{\∂\mathrm{\ω}}{\∂\mathrm{\β}}=0\\ \frac{\mathrm{\ω}}{R^2}+\frac{{\mathrm{\δ}}^2}{12}{\▿}^4\mathrm{\ω}+\frac{1}{R}\frac{\∂v}{\∂\mathrm{\β}}+\frac{\mathrm{\μ}}{R}\frac{\∂u}{\∂\mathrm{\α}}=\frac{1-{\mathrm{\μ}}^2}{E\mathrm{\δ}}{q}_3\end{array}\right\}---(1-9)$

(9)引入位移函数，即可得到中面位移表达式如下(1-10)：

$\left.\begin{array}{c}u=\frac{\∂}{\∂\mathrm{\α}}(\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\β}}^2}-\mathrm{\μ}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\α}}^2})F\\ v=-\frac{\∂}{\∂\mathrm{\β}}\[\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\β}}^2}+(2+\mathrm{\μ})\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\α}}^2}\]F\\ \mathrm{\ω}=R{\▿}^{4}F\end{array}\right\}---(1-10)$

由于，中面位移要满足基本微分方程式，即(1-10)式要满足(1-9)式；将其带入发现，(1-9)式前两个方程总能满足，而第三个方程要求：

${\▿}^{8}F+\frac{E\mathrm{\δ}}{R^{2}D}\frac{{\∂}^{4}F}{\∂{\mathrm{\α}}^4}=\frac{q_3}{RD}---(1-11)$

(10)再将(1-10)式代入(1-4)式及(1-7)式，即可将内力用位移函数F表示如下：

$\left.\begin{array}{c}{F}_{T\mathrm{\α}}=E\mathrm{\δ}\frac{{\∂}^{4}F}{\∂{\mathrm{\α}}^2\∂{\mathrm{\β}}^2},F_{T\mathrm{\β}}=E\mathrm{\δ}\frac{{\∂}^{4}F}{\∂{\mathrm{\α}}^4}\\ F_{T\mathrm{\α}\mathrm{\β}}=-E\mathrm{\δ}\frac{{\∂}^{4}F}{\∂{\mathrm{\α}}^3\∂\mathrm{\β}},\\ M_{\mathrm{\α}}=-RD(\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\α}}^2}+\mathrm{\μ}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\β}}^2}){\▿}^{4}F,\\ M_{\mathrm{\β}}=-RD(\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\β}}^2}+\mathrm{\μ}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\α}}^2}){\▿}^{4}F,\\ M_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}=-(1-\mathrm{\μ})RD\frac{{\∂}^2}{\∂\mathrm{\α}\∂\mathrm{\β}}{\▿}^{4}F,\\ F_{S\mathrm{\α}}=-RD\frac{\∂}{\∂\mathrm{\α}}{\▿}^{6}F,F_{S\mathrm{\β}}=-RD\frac{\∂}{\∂\mathrm{\β}}{\▿}^{6}F\end{array}\right\}---(1-12)$

(11)最后根据相应工况的边界条件，由微分方程(1-11)解出F，再将其带入(1-10)式，即可求得中面位移。

本发明的有益效果是，本发明通过建立弧形地连墙中面应变与位移之间的关系，确定弧形地连墙任意一点应力与位移之间的关系，以及弧形地连墙体内任意一微元的平衡微分方程，推导出弧形地连墙的平衡微分方程，从而确定弧形地连墙的侧位移；所述方法计算弧形地连墙的侧位移准确。

附图说明

图1为本发明计算弧形地连墙侧位移方法的流程框图；

图2为定义坐标系；

图3为壳体微元薄膜内力与横向剪力，用单箭头矩矢表示；

图4为壳体微元薄膜的弯矩及扭矩，采用双箭头矩矢表示。

具体实施方式

本发明是一种计算弧形地连墙侧位移的方法具体实施如图1所示，步骤如下：

步骤一：首先将弧形地连墙简化为圆柱壳，然后采用曲线坐标系来规定其坐标系，设定沿柱壳的母线方向为α轴，沿柱壳的周向为β轴，沿柱壳的径向为γ轴，如图2所示。

步骤二：根据经典壳体理论，得出弧形地连墙中面应变与位移之间的关系如下式(1-1)：

$\left.\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}}=\frac{\∂u}{\∂\mathrm{\α}}=u^{\′}\\ {\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\β}}=\frac{\∂v}{\∂\mathrm{\β}}+\frac{w}{R}=v^{\′}+\frac{w}{R}\\ {\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}=\frac{\∂u}{\∂\mathrm{\β}}+\frac{\∂v}{\∂\mathrm{\α}}\\ {\mathrm{\χ}}_{\mathrm{\α}}=-\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂{\mathrm{\α}}^2},{\mathrm{\χ}}_{\mathrm{\β}}=-\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂{\mathrm{\β}}^2}\\ {\mathrm{\χ}}_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}=-\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂\mathrm{\α}\∂\mathrm{\β}}\end{array}\right\}---(1-1)$

式中：ε_α为中面内各点沿α方向的线应变；ε_β为中面内各点沿β方向的线应变；ε_αβ为中面内各点沿α及β方向的切应变；α、β、γ为各点沿α、β、γ方向上的坐标；δ为柱壳的厚度；R为中面主曲率半径；u、ν、ω分别为α、β、γ方向的扰度；q₁、q₂、q₃分别为α、β、γ方向的外力；E为弹性模量；μ为泊松比；k_α、k_β主曲率k_α＝1/R_α、k_β＝1/R_β；χ_α、χ_β为中面内各点的主曲率k_α及k_β的改变；χ_αβ为中面内各点沿α及β方向的扭率的改变。

步骤三：应用弹性力学中的胡克定律，计算出弧形地连墙任意一点应力和位移的关系。表达式如下式(1-2)：

$\left.\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\α}}=\frac{E}{1-{\mathrm{\μ}}^2}\[({\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}}+{\mathrm{\μ\ϵ}}_{\mathrm{\β}})+({\mathrm{\χ}}_{\mathrm{\α}}+{\mathrm{\μ\χ}}_{\mathrm{\β}})\mathrm{\γ}\]\\ {\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\β}}=\frac{E}{1-{\mathrm{\μ}}^2}\[({\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\β}}+{\mathrm{\μ\ϵ}}_{\mathrm{\α}})+({\mathrm{\χ}}_{\mathrm{\β}}+{\mathrm{\μ\χ}}_{\mathrm{\α}})\mathrm{\γ}\]\\ {\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\β}\mathrm{\α}}={\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}=\frac{E}{2(1+\mathrm{\μ})}({\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}+2{\mathrm{\χ}}_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}\mathrm{\γ})\end{array}\right\}---(1-2)$

再对壳体沿径向进行积分，可以得到弧形地连墙中面内力。弧形地连墙中面内力为下式(1-3)：

$\left.\begin{array}{c}{F}_{T\mathrm{\α}}={\∫}_{-\mathrm{\δ}/2}^{\mathrm{\δ}/2}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\α}}(1+\frac{\mathrm{\γ}}{R})d\mathrm{\γ}\\ F_{T\mathrm{\β}}={\∫}_{-\mathrm{\δ}/2}^{\mathrm{\δ}/2}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\β}}d\mathrm{\γ}\\ F_{T\mathrm{\α}\mathrm{\β}}={\∫}_{-\mathrm{\δ}/2}^{\mathrm{\δ}/2}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}(1+\frac{\mathrm{\γ}}{R})d\mathrm{\γ}\\ F_{T\mathrm{\β}\mathrm{\α}}={\∫}_{-\mathrm{\δ}/2}^{\mathrm{\δ}/2}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\β}\mathrm{\α}}d\mathrm{\γ}\\ M_{\mathrm{\α}}={\∫}_{-\mathrm{\δ}/2}^{\mathrm{\δ}/2}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\α}}(1+\frac{\mathrm{\γ}}{R})\mathrm{\γ}d\mathrm{\γ}\\ M_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}={\∫}_{-\mathrm{\δ}/2}^{\mathrm{\δ}/2}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}(1+\frac{\mathrm{\γ}}{R})\mathrm{\γ}d\mathrm{\γ}\\ M_{\mathrm{\β}\mathrm{\α}}={\∫}_{-\mathrm{\δ}/2}^{\mathrm{\δ}/2}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\β}\mathrm{\α}}\mathrm{\γ}d\mathrm{\γ}\\ M_{\mathrm{\β}}={\∫}_{-\mathrm{\δ}/2}^{\mathrm{\δ}/2}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\β}}\mathrm{\γ}d\mathrm{\γ}\end{array}\right\}---(1-3)$

其中，薄壳所以为壳体的δ厚度；τ_βα为在β面上，作用于单位宽度上的切应力；M_α为在α面上，作用于单位宽度上的弯矩；M_β为在β面上，作用于单位宽度上的弯矩；M_αβ为在α面上，作用于单位宽度上的扭矩；M_βα为在β面上，作用于单位宽度上的扭矩；F_Tα为在α面上，作用于中面单位宽度上的拉应力；F_Tβ为在β面上，作用于中面单位宽度上的拉应力；F_Tαβ为在α面上，作用于单位宽度上的平错力；F_Tβα为在β面上，作用于中面单位宽度上的平错力。

步骤四：将式(1-1)及式(1-2)代入上式(1-3)内力方程中，即可得到下式(1-4)：

$\left.\begin{array}{c}{F}_{T\mathrm{\α}}=\frac{E\mathrm{\δ}}{1-{\mathrm{\μ}}^2}(u^{\′}+{\mathrm{\μv}}^{\′}+\mathrm{\μ}\frac{\mathrm{\ω}}{R})\\ F_{T\mathrm{\β}}=\frac{E\mathrm{\δ}}{1-{\mathrm{\μ}}^2}(v^{\′}+\frac{\mathrm{\ω}}{R}+{\mathrm{\μu}}^{\′})\\ F_{T\mathrm{\α}\mathrm{\β}}=F_{T\mathrm{\β}\mathrm{\α}}=\frac{E\mathrm{\δ}}{2(1+\mathrm{\μ})}(\frac{\∂u}{\∂\mathrm{\β}}+\frac{\∂v}{\∂\mathrm{\α}})\\ M_{\mathrm{\α}}=-D(\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂{\mathrm{\α}}^2}+\mathrm{\μ}\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂{\mathrm{\β}}^2})\\ M_{\mathrm{\β}}=-D(\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂{\mathrm{\β}}^2}+\mathrm{\μ}\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂{\mathrm{\α}}^2})\\ M_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}=M_{\mathrm{\β}\mathrm{\α}}=-(1-\mathrm{\μ})D\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂\mathrm{\α}\∂\mathrm{\β}}\end{array}\right\}---(1-4)$

其中:D为薄壳的弯曲刚度，

步骤五：取壳体的任意一微元，如图3和图4所示，为表示简明，图中仅显示这一微元的中面。将其薄膜内力、横向剪力与弯矩、扭矩分开表示。图3中为薄膜内力与横向剪力，用单箭头矩矢表示，图4中为弯矩及扭矩，采用双箭头矩矢表示。图中的q₁、q₂、q₃为每单位中面面积范围内的荷载，包括体力和面力在内。

根据图3、4，建立弧形地连墙的内力与其所受荷载之间的关系。如下式(1-5)：

$\left.\begin{array}{c}\frac{\∂F_{T\mathrm{\α}}}{\∂\mathrm{\α}}+\frac{\∂F_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}+q_1=0\\ \frac{\∂F_{T\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}+\frac{\∂F_{T\mathrm{\α}\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\α}}+\frac{F_{S\mathrm{\β}}}{R}+q_2=0\\ -\frac{F_{T\mathrm{\β}}}{R}+\frac{\∂F_{S\mathrm{\α}}}{\∂\mathrm{\α}}+\frac{\∂F_{S\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}+q_3=0\\ \frac{\∂M_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\α}}+\frac{\∂M_{\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}-F_{S\mathrm{\β}}=0\\ \frac{\∂M_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}+\frac{\∂M_{\mathrm{\α}}}{\∂\mathrm{\α}}-F_{S\mathrm{\α}}=0\end{array}\right\}---(1-5)$

其中，F_Sα为在α面上，作用于单位宽度上的横向剪力；、F_Sβ为在β面上，作用于单位宽度上的横向剪力；q₁、q₂、q₃为壳体微元上每单位中面面积范围内的荷载，即分别为α、β、γ方向的外力；

步骤六：在柱壳中，由于横向剪力F_SB对于环向平衡的影响较小，可以忽略不计。因此，上列(1-5)第二式中，F_SB/R≈0。即该弧形地连墙的平衡微分方程可以改写为下式(1-6)：

$\left.\begin{array}{c}\frac{\∂F_{T\mathrm{\α}}}{\∂\mathrm{\α}}+\frac{\∂F_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}+q_1=0\\ \frac{\∂F_{T\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}+\frac{\∂F_{T\mathrm{\α}\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\α}}+q_2=0\\ -\frac{F_{T\mathrm{\β}}}{R}+\frac{\∂F_{S\mathrm{\α}}}{\∂\mathrm{\α}}+\frac{\∂F_{S\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}+q_3=0\\ F_{S\mathrm{\β}}=\frac{\∂M_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\α}}+\frac{\∂M_{\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}\\ F_{S\mathrm{\α}}=\frac{\∂M_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}+\frac{\∂M_{\mathrm{\α}}}{\∂\mathrm{\α}}\end{array}\right\}---(1-6)$

再将(1-4)式的后三式代入(1-6)后二式，得到：

$F_{S\mathrm{\β}}=-D\frac{\∂}{\∂\mathrm{\β}}{\▿}^2\mathrm{\ω},F_{S\mathrm{\α}}=-D\frac{\∂}{\∂\mathrm{\α}}{\▿}^2\mathrm{\ω}---(1-7)$

其中，

步骤七：将(1-4)式及(1-7)代入(1-6)中的前三式，其中D＝Eδ³/[12(1-μ²)]，即可得到中面位移表示的弧形地连墙平衡微分方程如下式(1-8)：

$\left.\begin{array}{c}(\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\α}}^2}+\frac{1-\mathrm{\μ}}{2}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\β}}^2})u+\frac{1+\mathrm{\μ}}{2}\frac{{\∂}^{2}v}{\∂\mathrm{\α}\∂\mathrm{\β}}+\frac{\mathrm{\μ}}{R}\frac{\∂\mathrm{\ω}}{\∂\mathrm{\α}}=-\frac{1-{\mathrm{\μ}}^2}{E\mathrm{\δ}}{q}_1\\ (\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\β}}^2}+\frac{1-\mathrm{\μ}}{2}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\α}}^2})v+\frac{1+\mathrm{\μ}}{2}\frac{{\∂}^{2}u}{\∂\mathrm{\α}\∂\mathrm{\β}}+\frac{1}{R}\frac{\∂\mathrm{\ω}}{\∂\mathrm{\β}}=-\frac{1-{\mathrm{\μ}}^2}{E\mathrm{\δ}}{q}_2\\ \frac{\mathrm{\ω}}{R^2}+\frac{{\mathrm{\δ}}^2}{12}{\▿}^4\mathrm{\ω}+\frac{1}{R}\frac{\∂v}{\∂\mathrm{\β}}+\frac{\mathrm{\μ}}{R}\frac{\∂u}{\∂\mathrm{\α}}=\frac{1-{\mathrm{\μ}}^2}{E\mathrm{\δ}}{q}_3\end{array}\right\}---(1-8)$

步骤八：由于弧形地连墙一般仅受法向荷载作用，因此公式(1-8)中q₁＝q₂＝0，将其代入，得到基本微分方程如下式(1-9)：

$\left.\begin{array}{c}(\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\α}}^2}+\frac{1-\mathrm{\μ}}{2}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\β}}^2})u+\frac{1+\mathrm{\μ}}{2}\frac{{\∂}^{2}v}{\∂\mathrm{\α}\∂\mathrm{\β}}+\frac{\mathrm{\μ}}{R}\frac{\∂\mathrm{\ω}}{\∂\mathrm{\α}}=0\\ (\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\β}}^2}+\frac{1-\mathrm{\μ}}{2}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\α}}^2})v+\frac{1+\mathrm{\μ}}{2}\frac{{\∂}^{2}u}{\∂\mathrm{\α}\∂\mathrm{\β}}+\frac{1}{R}\frac{\∂\mathrm{\ω}}{\∂\mathrm{\β}}=0\\ \frac{\mathrm{\ω}}{R^2}+\frac{{\mathrm{\δ}}^2}{12}{\▿}^4\mathrm{\ω}+\frac{1}{R}\frac{\∂v}{\∂\mathrm{\β}}+\frac{\mathrm{\μ}}{R}\frac{\∂u}{\∂\mathrm{\α}}=\frac{1-{\mathrm{\μ}}^2}{E\mathrm{\δ}}{q}_3\end{array}\right\}---(1-9)$

步骤九：引入位移函数F＝F(α,β)，将其带入，中面位移即可表达如下(1-10)：

$\left.\begin{array}{c}u=\frac{\∂}{\∂\mathrm{\α}}(\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\β}}^2}-\mathrm{\μ}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\α}}^2})F\\ v=-\frac{\∂}{\∂\mathrm{\β}}\[\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\β}}^2}+(2+\mathrm{\μ})\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\α}}^2}\]F\\ \mathrm{\ω}=R{\▿}^{4}F\end{array}\right\}---(1-10)$

由于中面位移要满足基本微分方程式，即(1-10)式要满足(1-9)式。将其代入发现，(1-9)式前两个方程总能满足，而第三个方程要求：

${\▿}^{8}F+\frac{E\mathrm{\δ}}{R^{2}D}\frac{{\∂}^{4}F}{\∂{\mathrm{\α}}^4}=\frac{q_3}{RD}---(1-11)$

步骤十：将(1-10)式代入(1-4)式及(1-7)式，即可将内力用位移函数F表示如下：

$\left.\begin{array}{c}{F}_{T\mathrm{\α}}=E\mathrm{\δ}\frac{{\∂}^{4}F}{\∂{\mathrm{\α}}^2\∂{\mathrm{\β}}^2},F_{T\mathrm{\β}}=E\mathrm{\δ}\frac{{\∂}^{4}F}{\∂{\mathrm{\α}}^4}\\ F_{T\mathrm{\α}\mathrm{\β}}=-E\mathrm{\δ}\frac{{\∂}^{4}F}{\∂{\mathrm{\α}}^3\∂\mathrm{\β}},\\ M_{\mathrm{\α}}=-RD(\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\α}}^2}+\mathrm{\μ}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\β}}^2}){\▿}^{4}F,\\ M_{\mathrm{\β}}=-RD(\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\β}}^2}+\mathrm{\μ}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\α}}^2}){\▿}^{4}F,\\ M_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}=-(1-\mathrm{\μ})RD\frac{{\∂}^2}{\∂\mathrm{\α}\∂\mathrm{\β}}{\▿}^{4}F,\\ F_{S\mathrm{\α}}=-RD\frac{\∂}{\∂\mathrm{\α}}{\▿}^{6}F,F_{S\mathrm{\β}}=-RD\frac{\∂}{\∂\mathrm{\β}}{\▿}^{6}F\end{array}\right\}---(1-12)$

由此发现，各种工况的边界条件总可以用F进行表示。

步骤十一：在相应工况的边界条件下由微分方程(1-11)解出F，再将其代入(1-10)式，即可求得中面位移。

Claims (2)

1.一种计算弧形地连墙侧位移的方法，其特征在于，所述方法通过将弧形地连墙简化为圆柱壳，建立曲线坐标系，根据经典壳体理论，建立弧形地连墙中面应变与位移之间的关系、根据胡克定律确定弧形地连墙任意一点应力与位移之间的关系，以及弧形地连墙体内任意一微元的平衡微分方程，推导出弧形地连墙的平衡微分方程，根据相应工况的边界条件，从而确定弧形地连墙的侧位移。

2.根据权利要求1所述一种计算弧形地连墙侧位移的方法，其特征在于，所述方法步骤如下：

(1)首先将弧形地连墙简化为圆柱壳，然后采用曲线坐标系来规定其坐标系，设定沿柱壳的母线方向为α轴，沿柱壳的周向为β轴，沿柱壳的径向为γ轴；

(2)根据经典壳体理论，得出弧形地连墙中面应变与位移之间的关系；

$\left.\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}}=\frac{\∂u}{\∂\mathrm{\α}}=u^{\′}\\ {\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\β}}=\frac{\∂v}{\∂\mathrm{\β}}+\frac{w}{R}=v^{\′}+\frac{w}{R}\\ {\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}=\frac{\∂u}{\∂\mathrm{\β}}+\frac{\∂v}{\∂\mathrm{\α}}\\ {\mathrm{\χ}}_{\mathrm{\α}}=-\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂{\mathrm{\α}}^2},{\mathrm{\χ}}_{\mathrm{\β}}=-\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂{\mathrm{\β}}^2}\\ {\mathrm{\χ}}_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}=-\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂\mathrm{\α}\∂\mathrm{\β}}\end{array}\right\}---(1-1)$

式中：ε_α为中面内各点沿α方向的线应变；ε_β为中面内各点沿β方向的线应变；ε_αβ为中面内各点沿α及β方向的切应变；α、β、γ为各点沿α、β、γ方向上的坐标；δ为柱壳的厚度；R为中面主曲率半径；u、ν、ω分别为α、β、γ方向的扰度；q₁、q₂、q₃分别为α、β、γ方向的外力；E为弹性模量；μ为泊松比；k_α、k_β主曲率k_α＝1/R_α、k_β＝1/R_β；χ_α、χ_β为中面内各点的主曲率k_α及k_β的改变；χ_αβ为中面内各点沿α及β方向的扭率的改变。

(3)应用弹性力学中的胡克定律，计算出弧形地连墙任意一点应力和位移的关系，表达式如下式(1-2)：

$\left.\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\α}}=\frac{E}{1-{\mathrm{\μ}}^2}\[({\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}}+{\mathrm{\μ\ϵ}}_{\mathrm{\β}})+({\mathrm{\χ}}_{\mathrm{\α}}+{\mathrm{\μ\χ}}_{\mathrm{\β}})\mathrm{\γ}\]\\ {\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\β}}=\frac{E}{1-{\mathrm{\μ}}^2}\[({\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\β}}+{\mathrm{\μ\ϵ}}_{\mathrm{\α}})+({\mathrm{\χ}}_{\mathrm{\β}}+{\mathrm{\μ\χ}}_{\mathrm{\α}})\mathrm{\γ}\]\\ {\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\β}\mathrm{\α}}={\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}=\frac{E}{2(1+\mathrm{\μ})}({\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}+2{\mathrm{\χ}}_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}\mathrm{\γ})\end{array}\right\}---(1-2)$

其中，σ_α为在α面上，作用于单位宽度上的应力分量；σ_β为在β面上，作用于单位宽度上的应力分量；

再对壳体沿径向进行积分，可以得到弧形地连墙中面内力；

弧形地连墙中面内力为下式：

$\left.\begin{array}{c}{F}_{T\mathrm{\α}}={\∫}_{-\mathrm{\δ}/2}^{\mathrm{\δ}/2}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\α}}(1+\frac{\mathrm{\γ}}{R})d\mathrm{\γ}\\ F_{T\mathrm{\β}}={\∫}_{-\mathrm{\δ}/2}^{\mathrm{\δ}/2}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\β}}d\mathrm{\γ}\\ F_{T\mathrm{\α}\mathrm{\β}}={\∫}_{-\mathrm{\δ}/2}^{\mathrm{\δ}/2}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}(1+\frac{\mathrm{\γ}}{R})d\mathrm{\γ}\\ F_{T\mathrm{\β}\mathrm{\α}}={\∫}_{-\mathrm{\δ}/2}^{\mathrm{\δ}/2}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\β}\mathrm{\α}}d\mathrm{\γ}\\ M_{\mathrm{\α}}={\∫}_{-\mathrm{\δ}/2}^{\mathrm{\δ}/2}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\α}}(1+\frac{\mathrm{\γ}}{R})\mathrm{\γ}d\mathrm{\γ}\\ M_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}={\∫}_{-\mathrm{\δ}/2}^{\mathrm{\δ}/2}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}(1+\frac{\mathrm{\γ}}{R})\mathrm{\γ}d\mathrm{\γ}\\ M_{\mathrm{\β}\mathrm{\α}}={\∫}_{-\mathrm{\δ}/2}^{\mathrm{\δ}/2}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\β}\mathrm{\α}}\mathrm{\γ}d\mathrm{\γ}\\ M_{\mathrm{\β}}={\∫}_{-\mathrm{\δ}/2}^{\mathrm{\δ}/2}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\β}}\mathrm{\γ}d\mathrm{\γ}\end{array}\right\}---(1-3)$

其中，薄壳所以δ为壳体的厚度；τ_αβ为在α面上，作用于单位宽度上的切应力；τ_βα为在β面上，作用于单位宽度上的切应力；M_α为在α面上，作用于单位宽度上的弯矩；M_β为在β面上，作用于单位宽度上的弯矩；M_αβ为在α面上，作用于单位宽度上的扭矩；M_βα为在β面上，作用于单位宽度上的扭矩；F_Tα为在α面上，作用于中面单位宽度上的拉应力；F_Tβ为在β面上，作用于中面单位宽度上的拉应力；F_Tαβ为在α面上，作用于单位宽度上的平错力；F_Tβα为在β面上，作用于中面单位宽度上的平错力；

(4)将式(1-1)及式(1-2)代入上式(1-3)内力方程中，即可得到下式(1-4)：

$\left.\begin{array}{c}{F}_{T\mathrm{\α}}=\frac{E\mathrm{\δ}}{1-{\mathrm{\μ}}^2}(u^{\′}+{\mathrm{\μv}}^{\′}+\mathrm{\μ}\frac{\mathrm{\ω}}{R})\\ F_{T\mathrm{\β}}=\frac{E\mathrm{\δ}}{1-{\mathrm{\μ}}^2}(v^{\′}+\frac{\mathrm{\ω}}{R}+{\mathrm{\μu}}^{\′})\\ F_{T\mathrm{\α}\mathrm{\β}}=F_{T\mathrm{\β}\mathrm{\α}}=\frac{E\mathrm{\δ}}{2(1+\mathrm{\μ})}(\frac{\∂u}{\∂\mathrm{\β}}+\frac{\∂v}{\∂\mathrm{\α}})\\ M_{\mathrm{\α}}=-D(\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂{\mathrm{\α}}^2}+\mathrm{\μ}\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂{\mathrm{\β}}^2})\\ M_{\mathrm{\β}}=-D(\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂{\mathrm{\β}}^2}+\mathrm{\μ}\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂{\mathrm{\α}}^2})\\ M_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}=M_{\mathrm{\β}\mathrm{\α}}=-(1-\mathrm{\μ})D\frac{{\∂}^2\mathrm{\ω}}{\∂\mathrm{\α}\∂\mathrm{\β}}\end{array}\right\}---(1-4)$

其中:D为薄壳的弯曲刚度，

(5)取壳体的任意一微元，建立弧形地连墙的内力与其所受荷载之间的关系；

$\left.\begin{array}{c}\frac{\∂F_{T\mathrm{\α}}}{\∂\mathrm{\α}}+\frac{\∂F_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}+q_1=0\\ \frac{\∂F_{T\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}+\frac{\∂F_{T\mathrm{\α}\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\α}}+\frac{F_{S\mathrm{\β}}}{R}+q_2=0\\ -\frac{F_{T\mathrm{\β}}}{R}+\frac{\∂F_{S\mathrm{\α}}}{\∂\mathrm{\α}}+\frac{\∂F_{S\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}+q_3=0\\ \frac{\∂M_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\α}}+\frac{\∂M_{\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}-F_{S\mathrm{\β}}=0\\ \frac{\∂M_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}+\frac{\∂M_{\mathrm{\α}}}{\∂\mathrm{\α}}-F_{S\mathrm{\α}}=0\end{array}\right\}---(1-5)$

其中，F_Sα为在α面上，作用于单位宽度上的横向剪力；、F_Sβ为在β面上，作用于单位宽度上的横向剪力；q₁、q₂、q₃为壳体微元上每单位中面面积范围内的荷载，即分别为α、β、γ方向的外力；

(6)由于在柱壳中，横向剪力F_Sβ对环向平衡的影响较小，因此弧形地连墙的平衡微分方程为下式：

$\left.\begin{array}{c}\frac{\∂F_{T\mathrm{\α}}}{\∂\mathrm{\α}}+\frac{\∂F_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}+q_1=0\\ \frac{\∂F_{T\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}+\frac{\∂F_{T\mathrm{\α}\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\α}}+q_2=0\\ -\frac{F_{T\mathrm{\β}}}{R}+\frac{\∂F_{S\mathrm{\α}}}{\∂\mathrm{\α}}+\frac{\∂F_{S\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}+q_3=0\\ F_{S\mathrm{\β}}=\frac{\∂M_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\α}}+\frac{\∂M_{\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}\\ F_{S\mathrm{\α}}=\frac{\∂M_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}}{\∂\mathrm{\β}}+\frac{\∂M_{\mathrm{\α}}}{\∂\mathrm{\α}}\end{array}\right\}---(1-6)$

再将(1-4)式的后三式代入(1-6)后二式，得到：

$F_{S\mathrm{\β}}=-D\frac{\∂}{\∂\mathrm{\β}}{\▿}^2\mathrm{\ω},F_{S\mathrm{\α}}=-D\frac{\∂}{\∂\mathrm{\α}}{\▿}^2\mathrm{\ω}---(1-7)$

其中

(7)经过公式代换，从而就可以得到，用中面位移表示的弧形地连墙平衡微分方程，其表达式如下式(1-8)：

$\left.\begin{array}{c}(\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\α}}^2}+\frac{1-\mathrm{\μ}}{2}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\β}}^2})u+\frac{1+\mathrm{\μ}}{2}\frac{{\∂}^{2}v}{\∂\mathrm{\α}\∂\mathrm{\β}}+\frac{\mathrm{\μ}}{R}\frac{\∂\mathrm{\ω}}{\∂\mathrm{\α}}=-\frac{1-{\mathrm{\μ}}^2}{E\mathrm{\δ}}{q}_1\\ (\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\β}}^2}+\frac{1-\mathrm{\μ}}{2}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\α}}^2})v+\frac{1+\mathrm{\μ}}{2}\frac{{\∂}^{2}u}{\∂\mathrm{\α}\∂\mathrm{\β}}+\frac{1}{R}\frac{\∂\mathrm{\ω}}{\∂\mathrm{\β}}=-\frac{1-{\mathrm{\μ}}^2}{E\mathrm{\δ}}{q}_2\\ \frac{\mathrm{\ω}}{R^2}+\frac{{\mathrm{\δ}}^2}{12}{\▿}^4\mathrm{\ω}+\frac{1}{R}\frac{\∂v}{\∂\mathrm{\β}}+\frac{\mathrm{\μ}}{R}\frac{\∂u}{\∂\mathrm{\α}}=\frac{1-{\mathrm{\μ}}^2}{E\mathrm{\δ}}{q}_3\end{array}\right\}---(1-8)$

其中，δ为柱壳的厚度；R为中面主曲率半径；u、ν、ω分别为α、β、γ方向的扰度；E为弹性模量；μ为泊松比；

(8)由于弧形地连墙一般仅受法向载荷作用，q₁＝q₂＝0

因此将其代入公式(1-8)中，得到基本微分方程如下式(1-9)：

$\left.\begin{array}{c}(\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\α}}^2}+\frac{1-\mathrm{\μ}}{2}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\β}}^2})u+\frac{1+\mathrm{\μ}}{2}\frac{{\∂}^{2}v}{\∂\mathrm{\α}\∂\mathrm{\β}}+\frac{\mathrm{\μ}}{R}\frac{\∂\mathrm{\ω}}{\∂\mathrm{\α}}=0\\ (\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\β}}^2}+\frac{1-\mathrm{\μ}}{2}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\α}}^2})v+\frac{1+\mathrm{\μ}}{2}\frac{{\∂}^{2}u}{\∂\mathrm{\α}\∂\mathrm{\β}}+\frac{1}{R}\frac{\∂\mathrm{\ω}}{\∂\mathrm{\β}}=0\\ \frac{\mathrm{\ω}}{R^2}+\frac{{\mathrm{\δ}}^2}{12}{\▿}^4\mathrm{\ω}+\frac{1}{R}\frac{\∂v}{\∂\mathrm{\β}}+\frac{\mathrm{\μ}}{R}\frac{\∂u}{\∂\mathrm{\α}}=\frac{1-{\mathrm{\μ}}^2}{E\mathrm{\δ}}{q}_3\end{array}\right\}---(1-9)$

(9)引入位移函数，即可得到中面位移表达式如下(1-10)：

$\left.\begin{array}{c}u=\frac{\∂}{\∂\mathrm{\α}}(\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\β}}^2}-\mathrm{\μ}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\α}}^2})F\\ v=-\frac{\∂}{\∂\mathrm{\β}}\[\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\β}}^2}+(2+\mathrm{\μ})\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\α}}^2}\]F\\ \mathrm{\ω}=R{\▿}^{4}F\end{array}\right\}---(1-10)$

由于，中面位移要满足基本微分方程式，即(1-10)式要满足(1-9)式；将其带入发现，(1-9)式前两个方程总能满足，而第三个方程要求：

${\▿}^{8}F+\frac{E\mathrm{\δ}}{R^{2}D}\frac{{\∂}^{4}F}{\∂{\mathrm{\α}}^4}=\frac{q_3}{RD}---(1-11)$

(10)再将(1-10)式代入(1-4)式及(1-7)式，即可将内力用位移函数F表示如下：

$\left.\begin{array}{c}{F}_{T\mathrm{\α}}=E\mathrm{\δ}\frac{{\∂}^{4}F}{\∂{\mathrm{\α}}^2\∂{\mathrm{\β}}^2},F_{T\mathrm{\β}}=E\mathrm{\δ}\frac{{\∂}^{4}F}{\∂{\mathrm{\α}}^4}\\ F_{T\mathrm{\α}\mathrm{\β}}=-E\mathrm{\δ}\frac{{\∂}^{4}F}{\∂{\mathrm{\α}}^3\∂\mathrm{\β}},\\ M_{\mathrm{\α}}=-RD(\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\α}}^2}+\mathrm{\μ}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\β}}^2}){\▿}^{4}F,\\ M_{\mathrm{\β}}=-RD(\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\β}}^2}+\mathrm{\μ}\frac{{\∂}^2}{\∂{\mathrm{\α}}^2}){\▿}^{4}F,\\ M_{\mathrm{\α}\mathrm{\β}}=-(1-\mathrm{\μ})RD\frac{{\∂}^2}{\∂\mathrm{\α}\∂\mathrm{\β}}{\▿}^{4}F,\\ F_{S\mathrm{\α}}=-RD\frac{\∂}{\∂\mathrm{\α}}{\▿}^{6}F,F_{S\mathrm{\β}}=-RD\frac{\∂}{\∂\mathrm{\β}}{\▿}^{6}F\end{array}\right\}---(1-12)$

其中，M_α为在α面上，作用于单位宽度上的弯矩；M_β为在β面上，作用于单位宽度上的弯矩；M_αβ为在α面上，作用于单位宽度上的扭矩；M_βα为在β面上，作用于单位宽度上的扭矩；F_Tα为在α面上，作用于中面单位宽度上的拉应力；F_Tβ为在β面上，作用于中面单位宽度上的拉应力；F_Tαβ为在α面上，作用于单位宽度上的平错力；F_Tβα为在β面上，作用于中面单位宽度上的平错力；F_Sα为在α面上，作用于单位宽度上的横向剪力；、F_Sβ为在β面上，作用于单位宽度上的横向剪力；

(11)最后根据相应工况的边界条件，由微分方程(1-11)解出F，再将其带入(1-10)式，即可求得中面位移。