CN105792352B - 一种非直达波环境下gsm-r干扰源定位算法评价方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于铁路无线通信网干扰源定位技术领域，涉及一种非直达波环境下GSM‑R干扰源定位算法评价方法。本发明主要包括：先构建非直达波环境下TOA/AOA定位算法的CRLB下限计算模型；建立基于非参数核方法的非直达波误差分布模型，结合直达波测量误差的概率密度函数求得定位系统中距离测量值和弧度测量值的条件概率密度函数，求得非直达波环境下扰源TOA/AOA定位算法的CRLB下限。本发明能带的有益效果为，可以适应于任意分布，基于此模型推导出非直达波环境下的GSM‑R网络干扰源TOA/AOA定位算法的CRLB下限，并考虑了移动站可能存在位置误差的情况，弥补了现有的定位算法评价体系中缺少非直达波环境下以及移动站可能存在位置误差的TOA/AOA混合定位算法的评价指标这一不足。

Description

一种非直达波环境下GSM-R干扰源定位算法评价方法

技术领域

本发明属于铁路无线通信网干扰源定位技术领域，涉及一种非直达波环境下GSM-R网络干扰源定位算法性能评价方法。

背景技术

GSM-R(GSM for Railway)——铁路全球移动通信系统，是一种基于目前世界上最成熟、最通用的公共无线移动通信系统GSM平台上的、专门为满足铁路应用而量身定做的数字式无线通信系统，是一种经济高效的铁路专用无线通信网。

在GSM-R无线通信网络系统中，由于通信环境复杂，在通信过程中容易受到各种同频信号以及邻频信号的干扰。这些无线干扰信号都会影响GSM-R无线通信网络系统的通信信号正常接收和发射，给基站覆盖区域的移动通信带来掉话、通话质量差、信道拥塞等问题，从而导致铁路运营的工作效率下降，甚至给铁路的安全运行、旅客的生命安全和国家的发展带来隐忧。因此针对GSM-R通信网络干扰源问题提出了很多有效的干扰源定位算法，主要包括TOA(到达时间)、TDOA(到达时差)、AOA(到达角度)、RSS(接收信号强度)以及混合定位算法。为了正确评价这些定位算法在实际GSM-R无线通信网络环境下的性能，需要首先确定评价定位准确率的指标。目前常用的指标是MSE(均方误差)、RMSE(均方根误差)、CRLB(克拉美罗下界)、ALE(平均定位误差)、GDOP(几何精度因子)、CEP/SEP(圆/球误差概率)、PDF(概率密度函数)、CDF(累积概率分布函数)和RPE(相对定位误差)等。其中以CRLB较为常用，CRLB指的是无偏估计量所能达到的最小方差，因此很多定位算法都是拿其定位解的均方根误差与理论上基于无偏差估计器方差的CRLB下限比较。目前CRLB下限的研究主要集中在直达波环境下的研究，并且其中大部分都没有考虑移动站可能存在位置误差的情况。因此针对此情况本发明研究了TOA/AOA混合定位算法在非直达波环境下并且考虑移动站可能存在位置误差的情况下的性能评价方法，发展了一种非直达波环境下的GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位算法性能评价方法，弥补了现有的定位算法评价体系中缺少非直达波环境下以及移动站可能存在位置误差的TOA/AOA混合定位算法评价指标的这一不。

发明内容

本发明的目的是针对现有的GSM-R网络通信系统中干扰源定位算法评价体系中的缺点与不足，利用非参数核方法构建非直达波误差分布模型，该模型可以适应于任意分布，并结合该模型推导出了TOA/AOA混合定位算法在非直达波环境下并且考虑移动站可能存在位置误差情况的CRLB下限；由此本发明提供了一种非直达波环境下的GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位算法性能评价方法。

本发明的技术方案是：一种非直达波环境下的GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位算法性能评价方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：通过定位系统接收到的n个TOA和n个AOA测量值构建非直达波环境下TOA/AOA定位算法的CRLB下限计算模型。

步骤2：建立基于非参数核方法的非直达波误差分布模型，并由此模型推导出距离测量值和弧度测量值的非直达波误差概率密度函数，再结合直达波测量误差的概率密度函数求得非直达波环境下GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位系统中距离测量值和弧度测量值的条件概率密度函数。

步骤3：将步骤2中求得的距离测量值和弧度测量值的条件概率密度函数带入步骤1中的非直达波环境下TOA/AOA定位算法的CRLB的计算模型中，求得非直达波环境下GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位算法的CRLB下限。

步骤4：考虑移动站可能存在位置误差的情况，将移动站位置误差的概率密度函数带入到步骤1中的非直达波环境下TOA/AOA定位算法的CRLB的计算模型中，并结合步骤3求取非直达波环境下考虑移动站位置误差的GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位算法的CRLB下限。

本发明的详细方法如下所示：

步骤1：通过定位系统接收到的n个TOA和n个AOA测量值构建非直达波环境下TOA/AOA定位算法的CRLB下限计算模型。

本专利考虑的是一个基于TOA/AOA的GSM-R网络干扰源混合定位系统，假设GSM-R网络中含有n个移动站，其中第i个移动站的位置坐标为(x_i,y_i),i＝1,2,...,n，待定位的干扰源位置坐标为(x,y)。首先，定义未知参数矢量为：

Z＝[x y]^T (1)

干扰源到第i个移动站的距离测量值r_i和弧度测量值θ_i为：

其中d_i和为干扰源到第i个移动站的真实距离值和弧度值，n_ri和n_θi分别为直达波环境下的距离测量值和弧度测量值的测量噪声，服从零均值的高斯分布方差为和b_ri为距离测量值的非直达波误差，b_θi为弧度测量值的非直达波测量误差。距离测量值和弧度测量值的残差可表示为v_ri＝n_ri+b_ri和v_θi＝n_θi+b_θi。GSM-R网络干扰源定位系统中直达波环境下的测量噪声n_ri和n_θi与非直达波环境下的非直达波误差b_ri和b_θi相互独立。

CRLB定义为新息矩阵J的逆，即：

新息矩阵J定义为：

其中m＝[r^T θ^T]为距离和弧度测量值矢量，f(m；Z)为GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位系统的距离测量值和弧度测量值的联合概率密度函数。

因为f(m；Z)＝f(m|Z)f(Z)，则由式(4)可得：

其中f(m|Z)为GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位系统中的距离测量值和弧度测量值的联合条件概率密度函数，因为距离测量值r_i和弧度测量值θ_i相互独立，可得：

对式(6)两边取对数并对未知参数矢量Z求偏导数可得：

将式(7)带入到式(5)中就可求得新息矩阵J，并将求得的J带入到式(3)可得非直达波环境下GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位算法定位性能的评价方法CRLB下限的计算值。

步骤2：建立基于非参数核方法的非直达波误差分布模型，并由此模型推导出距离测量值和弧度测量值的非直达波误差概率密度函数，再结合直达波测量误差的概率密度函数求得非直达波环境下GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位系统中距离测量值和弧度测量值的条件概率密度函数。

为求取CRLB下限需要对非直达波误差进行建模，目前对非直达误差建模主要有两种方法，一是将非直达波误差建模为相互独立的服从某种分布的随机误差，这也是基于电波传播几何特性的非直达波定位算法所采用的建模方法。另外一种是将非直达波误差建模为具有某种空间几何相关性的模型，采用样本数据库来描述这种相关性，这是基于样本数据库的学习型定位算法所采用的建模方法。

对于第二种建模方法，由于非直达波误差的空间几何相关性随着环境改变而改变，目前还无法推导基于样本数据库的学习型定位算法的CRLB下限，因此本发明采用第一种建模方法，首先建立基于非参数核方法的非直达波误差分布模型，该模型可适应于任意分布，基于此模型推导出非直达波误差概率密度函数，并结合直达波误差概率密度函数求出非直达波环境下GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位系统中距离测量值和弧度测量值的条件概率密度函数。

利用非参数核方法，非直达波误差概率密度函数可构造为如下形式：

其中exp(·)为高斯核函数，h为核函数窗口，M为样本的数目，为非直达波误差的样本点，可由外场测试或信道模型得到。非参数核方法可以对任意分布的概率密度函数进行建模，理论证明当样本点足够多时，非参数核方法拟合的概率密度函数可以逼近真实的概率密度函数。

假设干扰源到第i个移动站传播信道中的距离和弧度非直达波误差观测值分别为{Sb_ri1 … Sb_riP}和{Sb_θi1 … Sb_θiP}，则根据式(8)可得基于非参数核方法的距离测量值和弧度测量值的非直达波误差概率密度函数的近似值表达形式为：

直达波环境下的距离和弧度测量误差的概率密度函数为：

根据式(9)、(10)、(11)、(12)可得距离测量值残差v_ri和弧度测量值残差v_θi的条件概率密度函数为：

因为v_ri＝r_i-d_i和因此距离测量值r_i和弧度测量值θ_i的条件概率密度函数为：

步骤3：将步骤2中求得的距离测量值和弧度测量值的条件概率密度函数带入步骤1中的非直达波环境下TOA/AOA定位算法的CRLB的计算模型中，求得非直达波环境下GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位算法的CRLB下限。

将式(15)和(16)代入式(7)中可得：

其中g(v_ri|Z)和g(v_θi|Z)为距离测量值残差v_ri和弧度测量值残差v_θi的条件概率密度函数f(v_ri|Z)和f(v_θi|Z)对未知参数矢量Z的偏导数，如下所示：

将式(17)带入到式(5)中，并由链式法则，可得新息矩阵J：

其中 Q_r和Q_θ的表示形式如下所示：

Q_r＝diag{[A_r1 … A_rn]} (21)

Q_θ＝diag{[A_θ1 … A_θn]} (22)

其中和将H_r、H_θ、Q_r和Q_θ代入到式(20)可得：

由式(3)、(4)和(23)可得非直达波环境下GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位算法的CRLB下限为：

其中

步骤4：考虑移动站可能存在位置误差的情况，将移动站位置误差的概率密度函数带入到步骤1中的非直达波环境下TOA/AOA定位算法的CRLB的计算模型中，并结合步骤3求取非直达波环境下考虑移动站位置误差的GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位算法的CRLB下限。

因为移动站位置坐标存在位置误差，因此需要重新定义未知参数矢量：

Z＝[x y x₁ … x_n y₁ … y_n]^T (25)

对带位置误差的移动站位置坐标进行建模：

其中和是移动站的真实坐标值，n_xi和n_yi是位置误差相互独立且服从零均值方差为和的高斯分布，因此可得移动站位置误差的概率密度函数为：

由式(27)可得和为：

由式(28)和(29)可得：

其中Q_Z＝diag{[Q_x Q_y]}，

因此由式(5)、(7)、(15)、(16)、(17)、(25)、(30)可得考虑移动站带位置误差情况的新息矩阵J′：

J′＝H′_rQ_rH′_r ^T+H′_θQ_θH′_θ ^T+Q′_Z (31)

其中

由式(31)可得非直达波环境下考虑移动站位置误差的GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位算法的CRLB下限为：

本发明能带的有益效果为，本发明的该模型可以适应于任意分布，基于此模型推导出非直达波环境下的GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位算法的CRLB下限，并考虑了移动站可能存在位置误差的情况，弥补了现有的定位算法评价体系中缺少非直达波环境下以及移动站可能存在位置误差的TOA/AOA混合定位算法的评价指标这一不足。

附图说明

图1为非直达波环境下的GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位算法的CRLB下限求解流程图；

图2为GSM-R网络移动站坐标部署图；

图3为非参数核方法拟合的服从指数分布的距离测量值非直达波误差概率密度函数和理论概率密度函数对比图；

图4为非参数核方法拟合的服从高斯分布的弧度测量值非直达波误差概率密度函数和理论概率密度函数对比图；

图5为距离测量值非直达波误差为变量下考虑移动站位置误差和未考虑移动站位置误差的GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位算法的CRLB下限对比图；

图6为弧度测量值非直达波误差为变量下考虑移动站位置误差和未考虑移动站位置误差的GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位算法的CRLB下限对比图；

图7为距离测量值直达波误差为变量下考虑移动站位置误差和未考虑移动站位置误差的GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位算法的CRLB下限对比图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进行详细的描述

如图2所示，GSM-R网络二维平面上，部署了7个移动站用于测量干扰源的TOA和AOA值，坐标分别为(0,0)、(866,500)、(0,1000)、(-866,500)、(-866,-500)、(0,-1000)、(866,-500)，以(x_i,y_i),i＝1,2,...,7表示。干扰源随机分布其中以(x,y)表示。

步骤1：通过定位系统接收到的n个TOA和n个AOA测量值构建非直达波环境下TOA/AOA定位算法的CRLB下限计算模型。

首先，定义未知参数矢量为：

Z＝[x y]^T (33)

干扰源到第i个移动站的距离测量值r_i和弧度测量值θ_i为：

其中d_i和为干扰源到第i个移动站的真实距离值和弧度值，n_ri和n_θi分别为直达波环境下的距离测量值和弧度测量值的测量噪声，服从零均值的高斯分布方差为和b_ri为距离测量值的非直达波误差，b_θi为弧度测量值的非直达波测量误差，本次仿真中假设距离测量值的非直达波误差b_ri服从指数分布，弧度测量值的非直达波测量误差b_θi服从高斯分布。距离测量值和弧度测量值的残差可表示为v_ri＝n_ri+b_ri和v_θi＝n_θi+b_θi。GSM-R网络干扰源定位系统中直达波环境下的测量噪声n_ri和n_θi与非直达波环境下的非直达波误差b_ri和b_θi相互独立。

CRLB定义为新息矩阵J的逆，即：

新息矩阵J定义为：

其中m＝[r^T θ^T]为距离和弧度测量值矢量，f(m；Z)为GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位系统的距离测量值和弧度测量值的联合概率密度函数。

因为f(m；Z)＝f(m|Z)f(Z)，则由式(36)可得：

其中f(m|Z)为GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位系统中的距离测量值和弧度测量值的联合条件概率密度函数，因为距离测量值r_i和弧度测量值θ_i相互独立，可得：

对式(38)两边取对数并对未知参数矢量Z求偏导数可得：

将式(39)带入到式(37)中就可求得新息矩阵J，并将求得的J带入到式(35)可得非直达波环境下GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位算法定位性能的评价方法CRLB下限的计算值。

步骤2：建立基于非参数核方法的非直达波误差分布模型，并由此模型推导出距离测量值和弧度测量值的非直达波误差概率密度函数，再结合直达波测量误差的概率密度函数求得非直达波环境下GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位系统中距离测量值和弧度测量值的条件概率密度函数。

利用非参数核方法，非直达波误差概率密度函数可构造为如下形式：

其中exp(·)为高斯核函数，h为核函数窗口，M为样本的数目，为非直达波误差的样本点，可由外场测试或信道模型得到。非参数核方法可以对任意分布的概率密度函数进行建模，理论证明当样本点足够多时，非参数核方法拟合的概率密度函数可以逼近真实的概率密度函数。

本次实例分析中，将用非参数核构造的非直达波误差概率密度函数(式(40))拟合服从指数分布的距离测量值的非直达波误差概率密度函数和服从高斯分布的弧度测量值的非直达波误差概率密度函数。

假设干扰源到第i个移动站传播信道中的距离和弧度非直达波误差观测值分别为{Sb_ri1 … Sb_riP}和{Sb_θi1 … Sb_θiP}，则根据式(40)可得基于非参数核方法的距离测量值和弧度测量值的非直达波误差概率密度函数的近似值表达形式如下所示，：

利用非参数核方法拟合的近似距离测量值和弧度测量值的非直达波误差概率密度函数和理论概率密度函数对比图如图3和图4所示。

直达波环境下的距离和弧度测量误差的概率密度函数为：

根据式(41)、(42)、(43)、(44)可得距离测量值残差v_ri和弧度测量值残差v_θi的条件概率密度函数为：

因为v_ri＝r_i-d_i和因此距离测量值r_i和弧度测量值θ_i的条件概率密度函数为：

步骤3：将步骤2中求得的距离测量值和弧度测量值的条件概率密度函数带入步骤1中的非直达波环境下TOA/AOA定位算法的CRLB的计算模型中，求得非直达波环境下GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位算法的CRLB下限。

将式(47)和(48)代入式(39)中可得：

其中g(v_ri|Z)和g(v_θi|Z)为距离测量值残差v_ri和弧度测量值残差v_θi的条件概率密度函数f(v_ri|Z)和f(v_θi|Z)对未知参数矢量Z的偏导数，如下所示：

将式(49)带入到式(37)中，并由链式法则，可得新息矩阵J：

其中 Q_r和Q_θ的表示形式如下所示：

Q_r＝diag{[A_r1 … A_r7]} (53)

Q_θ＝diag{[A_θ1 … A_θ7]} (54)

其中将H_r、H_θ、Q_r和Q_θ代入到式(53)可得：

由式(35)、(36)和(55)可得非直达波环境下GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位算法的CRLB下限为：

其中

步骤4：考虑移动站可能存在位置误差的情况，将移动站位置误差的概率密度函数带入到步骤1中的非直达波环境下TOA/AOA定位算法的CRLB的计算模型中，并结合步骤3求取非直达波环境下考虑移动站位置误差的GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位算法的CRLB下限。

因为移动站位置坐标存在位置误差，因此需要重新定义未知参数矢量：

Z＝[x y x₁ … x₇ y₁ … y₇]^T (57)

对带位置误差的移动站位置坐标进行建模：

其中和是移动站的真实坐标值，n_xi和n_yi是位置误差相互独立且服从零均值方差为和的高斯分布，因此可得移动站位置误差的概率密度函数为：

由式(59)可得和为：

由式(60)和(61)可得：

其中Q_Z＝diag{[Q_x Q_y]}，Q_x＝diag{[10² … 10²]}，Q_y＝diag{[10² … 10²]}。

因此由式(37)、(39)、(47)、(48)、(49)、(57)、(62)可得考虑移动站带位置误差情况的新息矩阵J′：

其中

由式(63)可得非直达波环境下考虑移动站位置误差的GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位算法的CRLB下限为：

由式(56)和式(64)可得非直达波环境下未考虑移动站位置误差和考虑移动站位置误差的GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位算法的CRLB下限，未考虑移动站位置误差和考虑移动站位置误差的CRLB对比图如图5、6、7所示。

Claims (1)

1.一种非直达波环境下GSM-R干扰源定位算法评价方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：通过定位系统接收到的n个TOA和n个AOA测量值，构建非直达波环境下TOA/AOA定位算法的CRLB下限计算模型；具体为：

在一个基于TOA/AOA的GSM-R网络干扰源混合定位系统中，假设GSM-R网络中含有n个移动站，其中第i个移动站的位置坐标为(x_i,y_i),i＝1,2,...,n，待定位的干扰源位置坐标为(x,y)；首先，定义未知参数矢量为：

Z＝[x y]^T

干扰源到第i个移动站的距离测量值r_i和弧度测量值θ_i为：

其中d_i和为干扰源到第i个移动站的真实距离值和弧度值，n_ri和n_θi分别为直达波环境下的距离测量值和弧度测量值的测量噪声，服从零均值的高斯分布方差为和b_ri为距离测量值的非直达波误差，b_θi为弧度测量值的非直达波测量误差；距离测量值和弧度测量值的残差可表示为v_ri＝n_ri+b_ri和v_θi＝n_θi+b_θi；GSM-R网络干扰源定位系统中直达波环境下的测量噪声n_ri和n_θi与非直达波环境下的非直达波误差b_ri和b_θi相互独立；

CRLB定义为新息矩阵J的逆，即：

新息矩阵J定义为：

其中m＝[r^T θ^T]为距离和弧度测量值矢量，f(m；Z)为GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位系统的距离测量值和弧度测量值的联合概率密度函数；

因为f(m；Z)＝f(m|Z)f(Z)，则由新息矩阵J的定义可得：

其中f(m|Z)为GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位系统中的距离测量值和弧度测量值的联合条件概率密度函数，因为距离测量值r_i和弧度测量值θ_i相互独立，可得：

对上式两边取对数并对未知参数矢量Z求偏导数可得：

将上式带入到新息矩阵J中，并将求得的新息矩阵J带入到中可得非直达波环境下GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位算法定位性能的评价方法CRLB下限的计算值；

步骤2：建立基于非参数核方法的非直达波误差分布模型，并由此模型推导出距离测量值和弧度测量值的非直达波误差概率密度函数，再结合直达波测量误差的概率密度函数求得非直达波环境下GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位系统中距离测量值和弧度测量值的条件概率密度函数；具体为：

为求取CRLB下限需要对非直达波误差进行建模，采用基于电波传播几何特性的非直达波定位算法所采用的建模方法，将非直达波误差建模为相互独立的服从某种分布的随机误差，具体为：首先建立基于非参数核方法的非直达波误差分布模型，该模型可适应于任意分布，基于此模型推导出非直达波误差概率密度函数，并结合直达波误差概率密度函数求出非直达波环境下GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位系统中距离测量值和弧度测量值的条件概率密度函数；

利用非参数核方法，非直达波误差概率密度函数模型可构造为如下形式：

其中exp(·)为高斯核函数，h为核函数窗口，M为样本的数目，为非直达波误差的样本点，可由外场测试或信道模型得到；非参数核方法可以对任意分布的概率密度函数进行建模，理论证明当样本点足够多时，非参数核方法拟合的概率密度函数可以逼近真实的概率密度函数；

假设干扰源到第i个移动站传播信道中的距离和弧度非直达波误差观测值分别为{Sb_ri1 … Sb_riP}和{Sb_θi1 … Sb_θiP}，则根据非参数核方法构造的非直达波误差概率密度函数模型可得距离测量值和弧度测量值的非直达波误差概率密度函数的近似值表达形式为：

直达波环境下的距离和弧度测量误差的概率密度函数为：

根据距离和弧度的非直达波误差概率密度函数和直达波环境下的距离和弧度测量误差的概率密度函数可得距离测量值残差v_ri和弧度测量值残差v_θi的条件概率密度函数为：

因为v_ri＝r_i-d_i和因此距离测量值r_i和弧度测量值θ_i的条件概率密度函数为：

步骤3：将步骤2中求得的距离测量值和弧度测量值的条件概率密度函数带入步骤1中的非直达波环境下TOA/AOA定位算法的CRLB的计算模型中，求得非直达波环境下GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位算法的CRLB下限，其求解过程为：

将距离测量值r_i和弧度测量值θ_i的条件概率密度函数代入到中可得：

其中g(v_ri|Z)和g(v_θi|Z)为距离测量值残差v_ri和弧度测量值残差v_θi的条件概率密度函数f(v_ri|Z)和f(v_θi|Z)对未知参数矢量Z的偏导数，如下所示：

将带入到新息矩阵J中，并由链式法则，可得最终新息矩阵J的计算公式为：

其中 Q_r和Q_θ的表示形式如下所示：

Q_r＝diag{[A_r1 … A_rn]}

Q_θ＝diag{[A_θ1 … A_θn]}

其中和

由新息矩阵J和CRLB下限的定义可得非直达波环境下未考虑移动站位置误差的GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位算法的CRLB下限为：

步骤4：考虑移动站可能存在位置误差的情况，将移动站位置误差的概率密度函数带入到步骤1中的非直达波环境下TOA/AOA定位算法的CRLB的计算模型中，并结合步骤3求取非直达波环境下考虑移动站位置误差的GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位算法的CRLB下限，求解过程为：

因为移动站位置坐标存在位置误差，因此需要重新定义未知参数矢量：

Z＝[x y x₁ … x_n y₁ … y_n]^T

对带位置误差的移动站位置坐标进行建模：

其中和是移动站的真实坐标值，n_xi和n_yi是位置误差相互独立且服从零均值方差为和的高斯分布，因此可得移动站位置误差的概率密度函数为：

由上式可得和为：

由和可得：

其中Q_Z＝diag{[Q_x Q_y]}，

因此由距离测量值r_i和弧度测量值θ_i的条件概率密度函数和Z＝[x y x₁ … x_n y₁ …y_n]^T以及新息矩阵J的定义可得考虑移动站带位置误差情况的新息矩阵J′：

其中

由可得非直达波环境下考虑移动站位置误差的GSM-R网络干扰源TOA/AOA定位算法的CRLB下限为：