CN105678423A - 基于定量结构模型的故障诊断系统传感器优化配置方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于定量结构模型的故障诊断系统传感器优化配置方法，第一步，运用结构分析方法建立故障诊断系统的结构模型。该结构模型的表现形式为两个矩阵：解析冗余关系矩阵和故障特征矩阵。该结构模型能够定性地描述故障诊断系统。第二步，结合故障诊断系统结构模型和传感器检测不确定性，得到故障诊断系统的定量描述，达到定量分析故障诊断系统的目的，进而建立考虑检测不确定性的故障诊断系统关键性能指标的计算公式。第三步建立故障诊断系统的传感器优化模型。最后一步，采用遗传算法对优化模型进行求解。本发明提出的面向故障诊断系统的传感器优化配置方法可以有效节约故障诊断系统的传感器成本且配置结果更加符合工程实际情况。

Description

基于定量结构模型的故障诊断系统传感器优化配置方法

技术领域

本发明属于故障诊断技术领域，涉及一种基于定量结构模型的故障诊断系统传感器优化配置方法，特别是面向基于解析冗余关系的故障诊断系统。

背景技术

在系统的运行过程中如果出现故障，有可能会在经济、产品质量和安全上造成灾难性的后果，造成严重的损失。为了监测、隔离出这些不正常的系统状态，故障诊断系统变得越来越重要。基于模型的故障诊断系统通常需要传感器测量系统的重要参数来提取有用的故障信息。因此，故障诊断系统的性能很大程度上依赖于传感器的配置情况。

传感器优化配置问题是故障诊断系统的基础，对故障诊断系统功能的实现至关重要。传感器的优化配置主要考虑如何在满足故障诊断系统性能需求的前提下选择出最优的传感器配置方案。本发明提出的传感器优化配置方法是面向基于解析冗余关系故障诊断系统的。基于解析冗余关系故障诊断方法的基本思想是根据解析冗余关系残差值建立观测特征，通过观测特征与故障特征的比较进行故障检测和隔离。这种故障诊断系统由于其优良的故障检测、分离与辨识性能已经受到越来越多的关注。

“Optimalsensorplacementformodel-basedfaultdetectionandisolation”(ProceedingsoftheIEEEConferenceonDecisionandControl,2008:2584-2589.)一文的传感器优化配置方法研究针对的是基于解析冗余关系的故障诊断系统。虽然此公开文献给出了一种采用结构模型对故障诊断系统进行传感器优化配置的方法，但这种方法只是定性地分析系统模型所含公式和变量之间的逻辑关系，假设传感器能够以100％的概率检测到相应被测量。实际上，传感器自身的故障率以及系统检测故障的能力会影响测量结果的准确性。因此，由这种方法建立的故障诊断系统模型是一种不考虑检测不确定性的数学模型，在一定程度上偏离工程实际。虽然《考虑传感器故障检测能力的PHM系统传感器优化配置方法》(宇航学报,2013,34(09):1253-1258.)一文给出了一种基于定量结构模型的故障诊断系统传感器优化配置方法。但这篇文献针对的并不是基于解析冗余关系的故障诊断系统。目前，在基于解析冗余关系故障诊断系统领域尚未出现考虑检测不确定性的传感器优化配置方法的发明报道。

发明内容

要解决的技术问题

为了避免现有技术的不足之处，本发明提出一种基于定量结构模型的故障诊断系统传感器优化配置方法，对故障诊断系统进行性能评估时将传感器故障率和故障检测能力考虑在内，并根据评估值得到更加准确和可靠的传感器优化配置结果。

技术方案

一种基于定量结构模型的故障诊断系统传感器优化配置方法，其特征在于步骤如下：

步骤一建立由解析冗余关系矩阵B和故障特征矩阵M描述的故障诊断系统的结构模型。

1.确定系统的解析冗余关系集合A＝{a₁,a₂,...a_m}、完备传感器(可测变量)集合S＝{s₁,s₂,...,s_n}和故障集合F＝{f₁,f₂,...,f_p}，a_i表示第i个解析冗余关系，s_j表示第j个传感器配置位置，f_k表示第k类故障。

2.建立解析冗余关系矩阵B＝[b_ij]_m×n，矩阵的列表示可测变量或传感器，行表示系统的解析冗余关系，b_ij＝1表示解析冗余关系式a_i中含有可测变量s_j，b_ij＝0则表示解析冗余关系式a_i中不包含可测变量s_j。建立故障特征矩阵M＝[m_jk]_m×p表示任一故障f_k的故障特征，m_ik＝1表示故障f_k的出现会影响到解析冗余关系a_i，此时a_i不是满足的，m_ik＝0表示故障f_k的出现不会影响到解析冗余关系a_i。

步骤二求解考虑检测不确定性的故障诊断系统关键性能指标——故障检测率FDR和故障隔离率FIR。

1.确定故障诊断系统的可检测故障集合F_D和可隔离故障集合F_I。故障诊断系统性能指标——故障检测率FDR和故障隔离率FIR的计算公式：

$FIR=\underset{f_k\∈F_I}{\Σ}{\mathrm{\λ}}_k{Q}_k/\underset{f_k\∈F_D}{\Σ}{\mathrm{\λ}}_k{Q}_k$

其中，λ为故障率，即单位时间内发生的故障数；Q_k为故障f_k总的可检测率，计算公式为：

其中，R_i表示第i个解析冗余关系的检测可靠性；d_ik为解析冗余关系a_i对故障f_k的可测性；m是解析冗余关系的个数。

2.解析冗余关系检测可靠性R_i和故障可测性d_ik是两个用于描述故障检测的不确定性的参数，其取值可以通过计算得到。这两个参数可以定量地描述故障诊断系统。

解析冗余关系检测可靠性R_i的计算公式如下：

$R_i=\underset{j=1}{\overset{n}{\Π}}{(1-r_j^{x_j})}^{b_{ij}}$

其中，R_i表示第i个解析冗余关系的检测可靠性；r_j表示第j个传感器的失效率；x_j是第j个传感器的配置个数；n是可测变量的个数；b_ij是解析冗余关系矩阵中的元素。根据计算公式，可以得到与解析冗余关系集合A＝{a₁,a₂,...a_m}相对应的检测可靠性矢量DR＝[R₁,R₂,...R_m]

故障可测性d_ik的计算公式如下：

$d_{ik}=\left\{\begin{array}{cc}{(1-\frac{{\mathrm{TTD}}_{ik}}{{\mathrm{TTF}}_{ik}})}^{0.5}\&times;{\left(\frac{{\mathrm{SyD}}_{ik}}{{\mathrm{TTF}}_{ik}}\right)}^{0.2}& {\mathrm{TTD}}_{ik}<{\mathrm{TTF}}_{ik}\\ 0& {\mathrm{TTD}}_{ik}\&GreaterEqual;{\mathrm{TTF}}_{ik}\end{array}\right.$

其中，d_ik为解析冗余关系a_i对故障f_k的可测性；TTD_ik为故障f_k初始时刻到解析冗余关系a_i检测到该故障的时间跨度；SyD_ik为解析冗余关系a_i检测到故障f_k的持续时间；TTF_ik为故障f_k初始时刻到系统失效时的时间跨度；和两个比值描述了解析冗余关系a_i对故障f_k的故障检测时效性和故障可跟踪性；D＝[d_jk]_m×p为计算得到故障可测性矩阵。

3.综上所述，故障诊断系统的定量结构模型分成两部分表达，第一部分是结构模型表达，即解析冗余关系矩阵B和故障特征矩阵M。第二部分是定量表达，由结构模型和相关数据得到检测可靠性矢量DR和故障可测性矩阵D定量地描述故障诊断系统。最终，通过这些定量信息计算得到故障诊断系统性能指标故障检测率FDR和故障隔离率FIR。

步骤三基于故障诊断系统的定量结构模型，将故障检测率FDR和故障隔离率FIR作为约束条件，经济成本作为优化目标，建立考虑检测不确定性时的传感器优化模型：

$\left\{\begin{array}{c}\hat{S}=\underset{s^{*}\&SubsetEqual;s}{\arg \max }Obj\left(S^{*}\right)\\ Obj\left(S^{*}\right)=C_1\&CenterDot;1/\underset{s_j\&Element;S^{*}}{\&Sigma;}{c}_j{x}_j\\ s.t.\\ FDR\&GreaterEqual;{\mathrm{FDR}}^{\&prime;}\\ FIR\&GreaterEqual;{\mathrm{FIR}}^{\&prime;}\end{array}\right\}$

其中，S*为已配置传感器集合；Obj(S^*)是以S*为变量的目标函数；C₁为加权值；c_j为第j个传感器的成本；FDR′,FIR′是故障诊断系统必须满足的指标要求；为最优的传感器配置集合；该模型的意义在于将故障检测率FDR和故障隔离率FIR作为约束条件，经济成本作为优化目标，得到约束条件下成本最低的传感器布局方案，即目标函数Obj(S^*)取最大值时的解

步骤四根据遗传算法求解上述传感器优化模型，得到最优传感器配置集合，具体过程如下：

1.参数初始化，随机产生初始种群；

2.根据传感器优化模型，建立适应度函数：

$\begin{array}{c}FitFun=C_1\&times;\frac{1}{Cost\left(i\right)}-C_2\&times;\max (0,FD{R}^{\&prime;}-FDR\left(i\right))\\ -C_3\&times;\max (0,FI{R}^{\&prime;}-FIR\left(i\right))\end{array}$

其中，Cost(i)为第i个传感器配置方案的成本；max(0,FDR′-FDR(i))和max(0,FIR′-FIR(i))为惩罚函数，即当第i个传感器配置方案的故障检测率FDR(i)和故障隔离率FIR(i)小于指标要求FDR′和FIR′时，该方案的适应度值会减少；C₁、C₂、C₃为常数；

3.计算每个染色体所对应的传感器集合的适应度值；

4.根据适应度采用轮盘赌方法选择个体，并进行交叉操作，得到当前种群Pop'；

对当前种群Pop'中的个体进行变异操作，得到下一代种群Pop”，判断算法是否到达最大迭代次数，是则结束，运算结果即为最优传感器配置方案，否则返回步骤3。

有益效果

本发明提出的一种基于定量结构模型的故障诊断系统传感器优化配置方法，第一步，运用结构分析方法建立故障诊断系统的结构模型。该结构模型的表现形式为两个矩阵：解析冗余关系矩阵和故障特征矩阵。该结构模型能够定性地描述故障诊断系统。第二步，结合故障诊断系统结构模型和传感器检测不确定性，得到故障诊断系统的定量描述，达到定量分析故障诊断系统的目的，进而建立考虑检测不确定性的故障诊断系统关键性能指标的计算公式。第三步建立故障诊断系统的传感器优化模型。最后一步，采用遗传算法对优化模型进行求解。本发明提出的面向故障诊断系统的传感器优化配置方法可以有效节约故障诊断系统的传感器成本且配置结果更加符合工程实际情况。

附图说明

图1为本发明基于定量结构模型的故障诊断系统传感器优化配置方法流程图；

图2为本发明采用的遗传算法各代故障检测率平均值；

图3为本发明采用的遗传算法各代故障隔离率平均值；

图4为本发明采用的遗传算法各代总成本平均值。

图5为本发明采用的遗传算法流程图。

具体实施方式

现结合实施例、附图对本发明作进一步描述：

下面将某型号机电作动器故障诊断系统作为实例并结合附图对本发明进一步说明。

步骤一建立由解析冗余关系矩阵B和故障特征矩阵M描述的故障诊断系统的结构模型。

1.确定解析冗余关系集合A＝{a₁,a₂,...a_m}和系统的完备传感器(可测变量)集合S＝{s₁,s₂,...,s_n}，传感器信息如表1所示；确定系统中的p个故障的集合F＝{f₁,f₂,...,f_p}，故障信息如表2所示；

2.建立解析冗余关系矩阵B＝[b_ij]_m×n，矩阵的列表示可测变量或传感器，行表示系统的解析冗余关系，b_ij＝1表示解析冗余关系式a_i中含有可测变量s_j，b_ij＝0则表示解析冗余关系式a_i中不包含可测变量s_j。建立故障特征矩阵M＝[m_jk]_m×p表示任一故障f_k的故障特征，m_ik＝1表示故障f_k的出现会影响到解析冗余关系a_i，此时a_i不是满足的，m_ik＝0表示故障f_k的出现不会影响到解析冗余关系a_i，故障特征矩阵如表3所示。

步骤二求解考虑检测不确定性的故障诊断系统关键性能指标——故障检测率FDR和故障隔离率FIR。

1.令S*表示已配置传感器集合，与S*相对应，存在传感器配置数量矢量N＝[n₁,n₂,...n_n]，n_i表示已配置传感器s_i的数量，n_i∈[0,l_i]，l_i为s_i的配置数量上限。

对已给定的令β_i表示解析冗余关系a_i是否可以求解，其计算公式如下所示：

${\mathrm{\&beta;}}_i=\underset{s_j\&Element;S}{\&Pi;}\&lsqb;b_{ij}{x}_j+(1-b_{ij})\&rsqb;i\&Element;\&lsqb;1,m\&rsqb;$

β_i＝1表示解析冗余关系a_i可求解，β_i＝0表示解析冗余关系a_i不能求解，m是解析冗余关系的个数。解析冗余关系a_i的求解需要在其包含的所有可观测量上配置传感器。

由如下两个公式确定系统的可检测故障集合F_D和可隔离故障集合F_I：

$F_D=\left\{f_k|\underset{a_i\&Element;A}{\&Sigma;}{m}_{ik}\&CenterDot;{\mathrm{\&beta;}}_i\&GreaterEqual;1,f_k\&Element;F\right\}$

$F_I=\left\{f_k|\underset{a_i\&Element;A}{\&Sigma;}\left|m_{ik}-m_{il}\right|{\mathrm{\&beta;}}_i\&GreaterEqual;1,\&ForAll;f_l\&Element;F,f_k\&NotEqual;f_l\right\}$

故障诊断系统性能指标——故障检测率FDR和故障隔离率FIR的计算公式：

$FDR=\underset{f_k\&Element;F_D}{\&Sigma;}{\mathrm{\&lambda;}}_k{Q}_k/\underset{f_k\&Element;F}{\&Sigma;}{\mathrm{\&lambda;}}_k$

$FIR=\underset{f_k\&Element;F_I}{\&Sigma;}{\mathrm{\&lambda;}}_k{Q}_k/\underset{f_k\&Element;F_D}{\&Sigma;}{\mathrm{\&lambda;}}_k{Q}_k$

其中，λ为故障率，即单位时间内发生的故障数；Q_k为故障f_k总的可检测率，计算公式为：

$Q_k=1-\underset{i=1}{\overset{m}{\&Pi;}}(1-R_i\&times;d_{ik})$

其中，R_i表示第i个解析冗余关系的检测可靠性；d_ik为解析冗余关系a_i对故障f_k的可测性；m是解析冗余关系的个数。

2.解析冗余关系检测可靠性R_i和故障可测性d_ik是两个用于描述故障检测的不确定性的参数，其取值可以通过计算得到。这两个参数可以定量地描述故障诊断系统。

解析冗余关系检测可靠性R_i的计算公式如下：

$R_i=\underset{j=1}{\overset{n}{\&Pi;}}{(1-r_j^{x_j})}^{b_{ij}}$

其中，R_i表示第i个解析冗余关系的检测可靠性；r_j表示第j个传感器的失效率；x_j是第j个传感器的配置个数；n是可测变量的个数；b_ij是解析冗余关系矩阵中的元素。根据计算公式，可以得到与解析冗余关系集合A＝{a₁,a₂,...a_m}相对应的检测可靠性矢量DR＝[R₁,R₂,...R_m]

故障可测性d_ik的计算公式如下：

$d_{ik}=\left\{\begin{array}{cc}{(1-\frac{{\mathrm{TTD}}_{ik}}{{\mathrm{TTF}}_{ik}})}^{0.5}\&times;{\left(\frac{{\mathrm{SyD}}_{ik}}{{\mathrm{TTF}}_{ik}}\right)}^{0.2}& {\mathrm{TTD}}_{ik}<{\mathrm{TTF}}_{ik}\\ 0& {\mathrm{TTD}}_{ik}\&GreaterEqual;{\mathrm{TTF}}_{ik}\end{array}\right.$

其中，d_ik为解析冗余关系a_i对故障f_k的可测性；TTD_ik为故障f_k初始时刻到解析冗余关系a_i检测到该故障的时间跨度；SyD_ik为解析冗余关系a_i检测到故障f_k的持续时间；TTF_ik为故障f_k初始时刻到系统失效时的时间跨度；和两个比值描述了解析冗余关系a_i对故障f_k的故障检测时效性和故障可跟踪性；D＝[d_jk]_m×p为计算得到故障可测性矩阵。

步骤三基于故障诊断系统的定量结构模型，将故障检测率FDR和故障隔离率FIR作为约束条件，经济成本作为优化目标，建立考虑检测不确定性时的传感器优化模型：

$\left\{\begin{array}{c}\hat{S}=\underset{s^{*}\&SubsetEqual;s}{\arg \max }Obj\left(S^{*}\right)\\ Obj\left(S^{*}\right)=C_1\&CenterDot;1/\underset{s_j\&Element;S^{*}}{\&Sigma;}{c}_j{x}_j\\ s.t.\\ FDR\&GreaterEqual;{\mathrm{FDR}}^{\&prime;}\\ FIR\&GreaterEqual;{\mathrm{FIR}}^{\&prime;}\end{array}\right\}$

其中，S*为已配置传感器集合；Obj(S^*)是以S*为变量的目标函数；C₁为加权值；c_j为第j个传感器的成本；FDR′,FIR′是故障诊断系统必须满足的指标要求；为最优的传感器配置集合；该模型的意义在于将故障检测率FDR和故障隔离率FIR作为约束条件，经济成本作为优化目标，得到约束条件下成本最低的传感器布局方案，即目标函数Obj(S^*)取最大值时的解

步骤四根据遗传算法求解上述传感器优化模型，得到最优传感器配置集合，具体过程如下：

1.参数初始化，包括种群规模N＝300，遗传交叉、变异概率Pc＝0.7、Pm＝0.02，最大迭代次数N_max＝40；

2.随机产生初始种群Pop＝(x_ij)_N×n，n为备选传感器配置位置数目，每个传感器位置上的数量上限为4；

3.根据传感器优化模型，建立适应度函数为：

$\begin{array}{c}FitFun=C_1\&times;\frac{1}{Cost\left(i\right)}-C_2\&times;\max (0,FD{R}^{\&prime;}-FDR\left(i\right))\\ -C_3\&times;\max (0,FI{R}^{\&prime;}-FIR\left(i\right))\end{array}$

式中Cotsi(为)第i个传感器配置方案的成本，max(0,FDR′-FDR(i))和max(0,FIR′-FIR(i))为惩罚函数，当第i个传感器配置方案的故障检测率FDR(i)和故障隔离率FIR(i)小于指标要求FDR′和FIR′时，该方案的适应度值会减少，C₁、C₂、C₃均为常数；

4.计算每个染色体所对应的传感器集合的适应度值；

5.依据适应度采用轮盘赌选择方法选择个体，并以概率Pc进行交叉操作，得到种群Pop'；

6.对种群Pop'的个体以概率Pm进行变异操作，得到种群Pop”，判断算法是否到达最大迭代次数，是则结束，运算结果即为最优传感器配置方案，否则返回步骤4)。

各代种群的故障检测率、故障隔离率和总成本的平均值如图2至图4所示，优化结果如表4表5所示。

由图2、图3可以看出，在算法迭代的早期，种群的指标不能满足约束条件(FDR不低于95％，FIR不低于92％)，因此通过遗传算法的筛选，种群的指标在这个阶段不断上升。由图4可以看出，当指标满足需求之后，优化目标(总成本最低)占据适应度计算的主导地位，在此之后总成本不断降低，系统的经济性得到了改善。

表4中的数据显示用本文中建立的传感器优化模型求得的优化结果可以满足故障检测率和故障隔离率的需求，表5的优化后的配置方案中各个传感器位置上仅仅需要布置少量的传感器。数据表明，优化过后的传感器布局不仅满足故障诊断系统性能需求而且改善了系统的经济性，发明研究的传感器优化配置方法的效果得到了验证。

Claims (1)

1.一种基于定量结构模型的故障诊断系统传感器优化配置方法，其特征在于步骤如下：

步骤一建立由解析冗余关系矩阵B和故障特征矩阵M描述的故障诊断系统的结构模型：

1.系统的解析冗余关系集合为A＝{a₁,a₂,...a_m}、完备传感器集合为S＝{s₁,s₂,...,s_n}和故障集合为F＝{f₁,f₂,...,f_p}，a_i表示第i个解析冗余关系，s_j表示第j个传感器配置位置，f_k表示第k类故障；

2.建立解析冗余关系矩阵B＝[b_ij]_m×n，矩阵的列表示可测变量或传感器，行表示系统的解析冗余关系，b_ij＝1表示解析冗余关系式a_i中含有可测变量s_j，b_ij＝0则表示解析冗余关系式a_i中不包含可测变量s_j；

3.建立故障特征矩阵M＝[m_jk]_m×p，表示任一故障f_k的故障特征，m_ik＝1表示故障f_k的出现会影响到解析冗余关系a_i，此时a_i不是满足的，m_ik＝0表示故障f_k的出现不会影响到解析冗余关系a_i；

步骤二求解考虑检测不确定性的故障诊断系统关键性能指标—故障检测率FDR和故障隔离率FIR：

1.故障诊断系统的可检测故障集合F_D和可隔离故障集合F_I，故障诊断系统性能指标—故障检测率FDR和故障隔离率FIR的计算公式：

$FDR=\underset{f_k\&Element;F_D}{\&Sigma;}{\mathrm{\&lambda;}}_k{Q}_k/\underset{f_k\&Element;F}{\&Sigma;}{\mathrm{\&lambda;}}_k$

$FIR=\underset{f_k\&Element;F_I}{\&Sigma;}{\mathrm{\&lambda;}}_k{Q}_k/\underset{f_k\&Element;F_D}{\&Sigma;}{\mathrm{\&lambda;}}_k{Q}_k$

其中，λ为故障率，即单位时间内发生的故障数；Q_k为故障f_k总的可检测率，计算公式为：

$Q_k=1-\underset{i=1}{\overset{m}{\&Pi;}}(1-R_i\&times;d_{ik})$

其中，R_i表示第i个解析冗余关系的检测可靠性；d_ik为解析冗余关系a_i对故障f_k的可测性；m是解析冗余关系的个数；

所述解析冗余关系检测可靠性R_i的计算公式为：

其中，R_i表示第i个解析冗余关系的检测可靠性；r_j表示第j个传感器的失效率；x_j是第j个传感器的配置个数；n是可测变量的个数；b_ij是解析冗余关系矩阵中的元素。根据计算公式，可以得到与解析冗余关系集合A＝{a₁,a₂,...a_m}相对应的检测可靠性矢量DR＝[R₁,R₂,...R_m]；

所述故障可测性d_ik的计算公式为： $d_{ik}=\left\{\begin{array}{cc}{(1-\frac{{\mathrm{TTD}}_{ik}}{{\mathrm{TTF}}_{ik}})}^{0.5}\&times;{\left(\frac{{\mathrm{SyD}}_{ik}}{{\mathrm{TTF}}_{ik}}\right)}^{0.2}& {\mathrm{TTD}}_{ik}<{\mathrm{TTF}}_{ik}\\ 0& {\mathrm{TTD}}_{ik}\&GreaterEqual;{\mathrm{TTF}}_{ik}\end{array}\right.$

其中，d_ik为解析冗余关系a_i对故障f_k的可测性；TTD_ik为故障f_k初始时刻到解析冗余关系a_i检测到该故障的时间跨度；SyD_ik为解析冗余关系a_i检测到故障f_k的持续时间；TTF_ik为故障f_k初始时刻到系统失效时的时间跨度；和两个比值描述了解析冗余关系a_i对故障f_k的故障检测时效性和故障可跟踪性；D＝[d_jk]_m×p为计算得到故障可测性矩阵；

步骤三基于故障诊断系统的定量结构模型：

将故障检测率FDR和故障隔离率FIR作为约束条件，经济成本作为优化目标，建立考虑检测不确定性时的传感器优化模型：

$\left\{\begin{array}{c}\hat{S}=\underset{S^{*}\&SubsetEqual;S}{\arg \max }Obj\left(S^{*}\right)\\ Obj\left(S^{*}\right)=C_1\&CenterDot;1/\underset{s_j\&Element;S^{*}}{\&Sigma;}{c}_j{x}_j\\ s.t.\\ FDR\&GreaterEqual;{\mathrm{FDR}}^{\&prime;}\\ FIR\&GreaterEqual;{\mathrm{FIR}}^{\&prime;}\end{array}\right\}$

其中，S*为已配置传感器集合；Obj(S^*)是以S*为变量的目标函数；C₁为加权值；c_j为第j个传感器的成本；FDR′,FIR′是故障诊断系统必须满足的指标要求；为最优的传感器配置集合；

将故障检测率FDR和故障隔离率FIR作为约束条件，经济成本作为优化目标，得到约束条件下成本最低的传感器布局方案，即目标函数Obj(S^*)取最大值时的解

步骤四根据遗传算法求解上述传感器优化模型，得到最优传感器配置集合，具体过程如下：

1.参数初始化，随机产生初始种群；

2.根据传感器优化模型，建立适应度函数：

$\begin{array}{c}FitFun=C_1\&times;\frac{1}{Cost\left(i\right)}-C_2\&times;max(0,{\mathrm{FDR}}^{\&prime;}-FDR(i\left)\right)\\ -C_3\&times;\max (0,{\mathrm{FIR}}^{\&prime;}-FIR(i\left)\right)\end{array}$

其中，Cost(i)为第i个传感器配置方案的成本；max(0,FDR′-FDR(i))和max(0,FIR′-FIR(i))为惩罚函数，即当第i个传感器配置方案的故障检测率FDR(i)和故障隔离率FIR(i)小于指标要求FDR′和FIR′时，该方案的适应度值会减少；C₁、C₂、C₃为常数；

3.计算每个染色体所对应的传感器集合的适应度值；

4.根据适应度采用轮盘赌方法选择个体，并进行交叉操作，得到当前种群Pop'；

5.对当前种群Pop'中的个体进行变异操作，得到下一代种群Pop”，判断算法是否到达最大迭代次数，是则结束，运算结果即为最优传感器配置方案，否则返回步骤3。