CN105637824A - 从接收信号中恢复稀疏通信信号的方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种从接收信号中恢复稀疏通信信号的方法(100)，所述接收信号为所述稀疏通信信号的信道输出版本，所述信道包括用于形成信道矩阵的信道系数，所述方法包括从所述信道矩阵和所述接收信号，确定(101)支持集，所述支持集指示一组非零通信信号系数的第一指数；基于所述支持集、所述信道矩阵以及所述接收信号，确定(103)所述稀疏通信信号的估计；确定(105)所述支持集未指示的通信信号系数的第二指数；基于所述支持集、所述稀疏通信信号的估计、所述第二指数以及所述信道矩阵，确定(107)所述稀疏通信信号。

Description

从接收信号中恢复稀疏通信信号的方法

技术领域

本发明涉及稀疏信号恢复领域，尤其涉及性能和质量方面的问题。

背景技术

许多不同的应用中都出现了稀疏信号的恢复问题。在通信系统中从接收信号中恢复稀疏通信信号已引起了人们的广泛关注。

一个n维通信信号或者向量，若其全部n个元素中仅包括少量几个非零元素，则称为稀疏。与总维数n相比，可以通过较少数量的测量来恢复稀疏通信信号。稀疏性可出现在不同的基，所以通信信号可例如在时域或者频域中表现为稀疏通信信号。

稀疏通信信号的恢复的计算量通常比最小二乘法中涉及到的矩阵求逆或者伪逆的计算量大。此外，由于系统欠定，矩阵通常是不可逆的。

普通的稀疏通信信号恢复方法存在高计算复杂度和/或低性能的问题。这些方法通常不适合在实时系统中使用。

E.J.Candes,和Candes在“线性程序译码”(IEEE信息传输理论，2005年12月，第51卷，第12期，4203-4215页)中提出并分析了一种线性程序方法。

T.Cai,L.Wang在“用于带有噪音的稀疏信号恢复的正交匹配追踪”(IEEE信息传输理论，第57卷，第7期，4680-4688页)中使用一种正交匹配追踪方法讨论了稀疏信号恢复中的不完整测量问题。

发明内容

本发明的目的是提供一种从接收信号中恢复稀疏通信信号的有效方案。

该目的通过独立权利要求的特征来实现。进一步的实施形式通过从属权利要求、说明书和附图显而易见。

本发明是基于以下发现：为了确定稀疏通信信号，可以对稀疏通信信号的估计进行细化。

按照本发明的第一方面，本发明提供一种从接收信号中恢复稀疏通信信号的方法，所述接收信号为所述稀疏通信信号的信道输出版本，所述信道包括用于形成信道矩阵的信道系数，所述方法包括从所述信道矩阵和所述接收信号，确定支持集，所述支持集指示一组非零通信信号系数的第一指数；基于所述支持集、所述信道矩阵以及所述接收信号，确定所述稀疏通信信号的估计；确定所述支持集未指示的通信信号系数的第二指数；基于所述支持集、所述稀疏通信信号的估计、所述第二指数以及所述信道矩阵，确定所述稀疏通信信号。因此，稀疏通信信号可以被有效的恢复。

稀疏通信信号可以表现为一个向量。稀疏通信信号可以包括通信信号系数。该通信信号的系数可以是实数，如1.5或2.3，或复数，例如1+j或5+3j。

接收信号可以表现为一个向量。接收信号可以包括接收信号系数。接收信号系数可以是实数，如1.3或2.7，或复数，例如2+3j或1-5j。

信道可以定义稀疏通信信号和接收信号之间的线性关系。该通道可包括附加的噪声。信道系数可以是实数，如0.3或1.5，或复数，例如3-2j或1+4j。

支持集可指示一组非零通信信号系数的指数。

根据第一方面的第一种实施方式中，该方法进一步包括基于所述通信信号系数的第二指数，更新所述支持集。因此，该支持集可以被细化以进行进一步处理。

支持集的更新可以涉及到为支持集增加通信信号系数的第二指数，或从支持集中减去通信信号系数的第二指数。

根据第一方面或第一方面的第一种实施方式，在第二种实施方式中，该方法还包括：确定所述支持集或所述更新的支持集的基数，所述基数用于指示所述支持集或所述更新的支持集的元素数量。因此，可以得到稀疏通信信号的稀疏度度量。

根据第一方面或第一方面的任一前述实施方式，在第三种实施方式中，所述稀疏通信信号包括通信信号系数，所述接收信号包括接收信号系数，其中，所述通信信号系数的数量大于所述接收信号系数的数量。因此，数量减少的接收信号系数可以用于执行该方法。

根据第一方面或第一方面的任一前述实施方式，在第四种实施方式中，所述确定所述支持集或者所述确定所述稀疏通信信号的估计使用正交匹配追踪法。因此，用于确定所述支持集和/或确定所述稀疏通信信号的估计的有效方法可以被应用。

正交匹配追踪方法可以适用于优化受线性等式约束和/或线性不等式约束的线性目标函数。正交匹配追踪方法例如由T.Cai,L.Wang在“用于带有噪音的稀疏信号恢复的正交匹配追踪”(IEEE信息传输理论，第57卷，第7期，4680-4688页)中被描述。

根据第一方面或第一方面的任一前述实施方式，在第五种实施方式中，所述确定通信信号系数的第二指数包括最小化对偶线性规划问题的残差，所述对偶线性规划问题通过以下公式定义：

-e≤H^Tz≤e,

y^Tz→min,

其中H表示所述信道矩阵，y表示所述接收信号，e表示一个全单元向量，z表示一个对偶变量。因此，可以以一种优化的方式确定通信信号系数的第二指数。

根据第一方面或第一方面的任一前述实施方式，在第六种实施方式中，所述确定通信信号系数的第二指数包括最小化对偶线性规划问题的残差，所述残差定义为：

或者

其中

$e_{S^{*}}={(e_{S^{*},1},e_{S^{*},2},...,e_{S^{*},l^{*}})}^T,$

若

若

$S^{*}=S_{+}^{*}\∪S_{-}^{*},$

其中S^*表示根据向量的元素的符号被划分为两个子集的所述支持集，表示所述支持集S^*的对应于的正元素的一个子集，表示所述支持集S^*的对应于的负元素的一个子集，表示一个辅助向量，表示索引为i的辅助向量的系数，表示包括支持集S^*所指示的列的信道矩阵，表示对偶线性规划问题的一个估计解，H_j表示包括索引j所指示的列的信道矩阵，或表示所述残差。因此，可以以一种优化的方式确定通信信号系数的第二指数。

根据第一方面或第一方面的任一前述实施方式，在第七种实施方式中，所述确定通信信号系数的第二指数包括最小化对偶线性规划问题的残差，所述确定通信信号系数的第二指数按照以下公式执行：

或

其中或者表示对偶线性规划问题的残差，j⁽¹⁾表示所述通信信号系数的第二指数。因此，可以以一种优化的方式确定通信信号系数的第二指数。

根据第一方面或第一方面的任一前述实施方式，在第八种实施方式中，所述确定所述稀疏通信信号按照以下公式执行：

$x_{S^{\left(1\right)}}=x_{S^{*}}-\mathrm{\α}{\left({H_{S^{*}}}^T{H}_{S^{*}}\right)}^{-1}{H_{S^{*}}}^T{H}_{j^{\left(1\right)}},\mathrm{\α}>0$

其中表示包括支持集S^*所指示的列的信道矩阵，表示包括通信信号系数的第二指数j⁽¹⁾所指示的列的信道矩阵,α表示一个预先确定的值，表示所述稀疏通信信号的估计，表示所述稀疏通信信号。因此，稀疏通信信号可以被有效地确定。

预先确定的值α可以是一个实数，如0.2，或复数，如1+j。

根据第一方面的第一种实施方式，在第九种实施方式中，所述更新所述支持集按照以下公式执行：

$S^{\left(1\right)}=S^{*}\∪\left\{j^{\left(1\right)}\right\}\backslash \left\{j_{i^{\left(1\right)}}\right\},$

其中j⁽¹⁾表示通信信号系数的第二指数，表示待从所述支持集中移除的通信信号系数的指数，i⁽¹⁾表示待从所述支持集中移除的元素的数量，S^*表示所述支持集，以及S⁽¹⁾表示所述更新后的支持集。因此，所述支持集可以以一种优化的方式被细化。

根据第一方面或第一方面的任一前述实施方式，在第十种实施方式中，依次重复执行以下步骤：确定所述支持集，确定所述稀疏通信信号的估计，确定所述通信信号系数的第二指数，确定所述稀疏通信信号，更新所述支持集以及确定所述基数，直至达到停止标准。因此，该方法的性能可以被改善。

根据第一方面的第十种实施方式，在第十一种实施方式中，对应于具有最小基数的支持集的所述稀疏通信信号作为所述恢复后的稀疏通信信号被提供。因此，恢复的稀疏通信信号的稀疏度可以被优化。

根据第一方面的第十种实施方式或第一方面的第十一种实施方式，在第十二种实施方式中，所述停止标准为对偶线性规划问题的所有残差的值为正数或零，其中残差被定义为：

或者

其中

$e_{S^{*}}={(e_{S^{*},1},e_{S^{*},2},...,e_{S^{*},l^{*}})}^T,$

若

若

$S^{*}=S_{+}^{*}\∪S_{-}^{*},$

其中S^*表示根据向量的元素的符号被划分为两个子集的所述支持集，表示所述支持集S^*的对应于的正元素的一个子集，表示所述支持集S^*的对应于的负元素的一个子集，表示一个辅助向量，表示索引为i的辅助向量的系数，表示包括支持集S^*所指示的列的信道矩阵，表示对偶线性规划问题的一个估计解，H_j表示包括索引j所指示的列的信道矩阵，或表示残差。因此，该停止标准可以基于性能标准。

根据第一方面的第十种实施方式到第一方面的第十二种实施方式，在第十三种实施方式中，所述停止标准为到达一个预定的时间间隔长度。因此，该停止标准使得该方法可以应用于实时系统中。

预定的时间间隔长度可例如为1ms、5ms或10ms。

根据第二方面，本发明提供一种计算机程序，所述计算机程序在计算机上运行时用于执行第一方面或第一方面的任一前述实施方式所述的方法。

该计算机程序可以以一个机器可读代码的形式被提供。该计算机程序可以包括一系列用于计算机的处理器的指令。

该计算机可以包括处理器、存储器、输入接口和/或输出接口。计算机的处理器可用于执行计算机程序。

本发明可以通过硬件和/或软件来实现。

附图说明

下文中结合以下附图对本发明的进一步实施例进行描述，其中：

图1示出了一种从接收信号中恢复稀疏通信信号的方法的示意图；以及

图2示出了一种用于从接收信号中恢复稀疏通信信号的时隙分配的示意图。

具体实施方式

图1示出了一种从接收信号中恢复稀疏通信信号的方法100的示意图。

所述接收信号为所述稀疏通信信号的信道输出版本，所述信道包括用于形成信道矩阵的信道系数。

该方法100包括：101，从所述信道矩阵和所述接收信号，确定支持集，所述支持集指示一组非零通信信号系数的第一指数；103，基于所述支持集、所述信道矩阵以及所述接收信号，确定所述稀疏通信信号的估计；105，确定所述支持集未指示的通信信号系数的第二指数以及基于所述支持集、所述稀疏通信信号的估计、所述第二指数以及所述信道矩阵；以及107，确定所述稀疏通信信号。

稀疏通信信号可以表现为一个向量。稀疏通信信号可以包括通信信号系数。该通信信号的系数可以是实数，如1.5或2.3，或复数，例如1+j或5+3j。

接收信号可以表现为一个向量。接收信号可以包括接收信号系数。接收信号系数可以是实数，如1.3或2.7，或复数，例如2+3j或1-5j。

信道可以定义稀疏通信信号和接收信号之间的线性关系。该信道可包括附加的噪声。信道系数可以是实数，如0.3或1.5，或复数，例如3-2j或1+4j。

支持集可指示一组非零通信信号系数的指数。

图2示出了一种用于从接收信号中恢复稀疏通信信号的时隙分配的示意图。

使用OMP法及其变型能够解决从不完备测量恢复稀疏信号的问题。此外，也有线性规划方法LP。然而，没有将OMP和LP结合到一个数值化方案的尝试。

若n维向量0的全部个数n中仅包括少量几个非零元素，则称为稀疏。与总维数n相比，可以通过较少数量的测量来恢复稀疏可压缩向量。稀疏性可出现在不同的基，所以信号可在时域或者频域中表现为稀疏向量。

稀疏通信信号的重构的计算量通常比最小二乘法中涉及到的矩阵求逆或者伪逆的计算量大。此外，由于系统欠定，矩阵通常是不可逆的。

数值有效重构算法适合实时应用。线性系统

Hx＝y,(1)

其中，若m＜n，则H∈R^m×n,x∈Rⁿ,y∈R^m欠定。更确切地说，若H的秩小于n(rank(H)＜n)，则该系统(1)欠定。这种系统有无穷多解。该系统的图案可以被示意性地表示为如下描述的矩阵向量图案：

$\left[\begin{array}{ccccccc}\·& \·& \·& \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·& \·& \·& \·\end{array}\right]\×\left[\begin{array}{c}\·\\ \·\\ \·\\ \·\\ \·\\ \·\\ \·\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\·\\ \·\\ \·\end{array}\right]$

用于减少测量数量的折衷是向量x的稀疏性。稀疏意味着零主导向量x的元素。在系统(1)的解中搜索最稀疏的解的方法是压缩感测(compressivesensing，CS)理论要考虑的关键问题。

(CS)理论要考虑的关键问题可以转化为重建对应于最稀疏向量的正确的支持集，即有效非零元素的集合：

Supp(x)＝{i:x_i≠0}

可以看出当

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\left|\right|x|{|}_0\→\min ,\\ Hx=y,\end{array}& \left(P_0\right)\end{array}$

是确定最稀疏解的问题的正确公式，其中||x||₀＝Supp(x)，该问题的松弛形式为

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\left|\right|x|{|}_p\→min,\\ Hx=y,\end{array}& \left(P_p\right)\end{array}$

也是充分的，其中是该向量的l_p-标准，p＞0。这个问题的非凸性使得它很难为数值求解。一个常用的方法用于确定最稀疏解，即具有最大数量的零元素的解，包括于线性规划问题(linearprogram，LP)的问题(P₁)的解中：

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\left|\right|x|{|}_1\→min,\\ Hx=y,\end{array}& \left(P_1\right),\left(LP\right)\end{array}$

其中，||x||₁为向量的l₁-标准，它是压缩感测(compressivesensing，CS)理论中使用的一种标准方法。

相比于问题(P₀)的可能最优、但NP困难的解，其优势是包括诸如单纯形法的线性规划方法在内的所有已知凸优化方法的凸性和适应性，以及良好的性能。

一种实时实施更为有效的解决方案是正交匹配追踪(orthogonalmatchingpursuit，OMP)算法。它的核心思想用公式表示如下。

步骤0：初始设定残差r⁽⁰⁾＝y，初始设定支持集的估计

步骤k＝1,2,…。找出解决问题的矩阵H中的列

$j^{\left(k\right)}=\underset{j}{\mathrm{argmax}}\frac{\left|H_j^T{r}^{(k-1)}\right|}{\left|\right|H_j\left|\right|},$

并且更新S^(k)＝S^(k-1)∪{j^(k)}，其中，为包括该些具有指数j∈S^(k)的H_j的H的子矩阵。

重复执行该些步骤直到达到停止标准(stoppingcriterion，SC)。

$\begin{array}{cc}{r}^{{\left(k\right)}^T}{r}^{\left(k\right)}\≤{\mathrm{\σ}}^2.& \left(SC\right)\end{array}$

这是一种所谓的贪婪算法，已纳入该支撑集中的指数不再从该集中取出。与其它方法相比，该OMP算法的优点是它的高计算复杂性。如果与通过(P₁)得到的结果进行比较，该OMP算法在重建稀疏信号时显示出较低的性能结果。

所提到的问题可以通过将OMP方法和线性规划方法(P₁)组合成一个数值算法来解决。

图2示出了该问题的解决方案的时隙分配的结构。假设分配给稀疏恢复问题的时隙为T_∑，OMP迭代占用如图所示的小于T_∑的T_OMP。因此，通过引入OMP解决方案作为初始步骤，我们有时间T_∑-T_OMP进行改进。

在时隙T_∑用尽后立即终止该过程，与常规的OMP相比，在T_OMP和T_∑之间获得了尽可能多的改进。

考虑到由l₁最小化导致的LP问题，其中l₁最小化可以等效地被表示为

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}Hu-Hv=y,u\≥0,v\≥0,\\ e^{T}u+e^{T}v\→\min ,\end{array}& \left(PLP\right)\end{array}$

其中，e为包括所有单元的向量，有合适的大小。此处x＝u-v。该线性规划问题将被称为初始LP(primaryLP，PLP)。与(PLP)一起考虑对偶线性规划问题(dualLP，DLP)：

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}-e\≤H^{T}z\≤e,\\ y^{T}z\→min,\end{array}& \left(DLP\right)\end{array}$

其中，z表示对偶变量。

假设完成OMP，结果为：

S^*-通过OMP得到的该支持集的最后估计,l^*≡card(S^*)

$H_{S^{*}}\∈R^{m\×l^{*}},$

$x_{S^{*}}={\left({H_{S^{*}}}^T{H}_{S^{*}}\right)}^{-1}{H_{S^{*}}}^{T}y\∈R^{l^{*}}.$

集合S^*可以进一步根据向量的元素的符号被划分为两个子集：

$S^{*}=S_{+}^{*}\∪S_{-}^{*}$

假设定义：

$e_{S^{*}}={(e_{S^{*},1},e_{S^{*},2},...,e_{S^{*},l^{*}})}^T,$

若

若

通常l^*≤m，所以该矩阵不为正方形。

与基S^*相对应的DLP的解的当前估计，可以按照欠定系统的最小范数解计算

${H_{S^{*}}}^{T}z=-e_{S^{*}},\left|\right|z|{|}_2^2\→min,$

其具有闭合解

$z_{S^{*}}=-H_{S^{*}}{\left({H_{S^{*}}}^T{H}_{S^{*}}\right)}^1{e}_{S^{*}}---\left(2\right)$

这个向量对应于问题(DLP)，其对于线性不等式组可能是可行的也可能是不可行的。其对于(DLP)可以是最优或非最优的。由于在第一阶段(OMP)的最后一个步骤中获得集合S^*，保持最优性条件。所以，由于(SC)，在OMP的最后一次迭代中获得的向量x^*的可行性条件是“几乎满意”的。但(PLP)与(DLP)对偶，并且(PLP)的可行性条件是(DLP)最优性条件。

因此，仅检查向量的可行性条件。检查不等式的(DLP)的残差，以查看是否存在违反条件或类似具有不正确符号的残差的情况。

(DLP)的残差为

${\mathrm{\Δ}}_{S^{*},j}^{+}=1+{H_j}^T{z}_{S^{*}},$

${\mathrm{\Δ}}_{S^{*},j}^{-}=1-{H_j}^T{z}_{S^{*}}.---\left(3\right)$

和对于所有j都可为非负。如果满足该条件，解和分别能够解决(PLP)和(DLP)的问题。令该些残差其中之一为负。不失一般性地，令

$j^{\left(1\right)}=\underset{j}{\arg \min }{\mathrm{\Δ}}_{S^{*},j}^{+}---\left(4\right)$

并且

${\mathrm{\&Delta;}}_{S^{*},j^{\left(1\right)}}^{+}<0.---\left(5\right)$

则可以生成一个新的解

$x_{S^{\left(1\right)}}=x_{S^{*}}-\mathrm{\&alpha;}{\left({H_{S^{*}}}^T{H}_{S^{*}}\right)}^{-1}{H_{S^{*}}}^T{H}_{j^{\left(1\right)}},\mathrm{\&alpha;}>0---\left(6\right)$

其通过采用如下l₁改进性能生成：

$\left|\right|x_{S^{\left(1\right)}}|{|}_1<|\left|x_{S^{*}}\right|{|}_1,$

$S^{\left(1\right)}=S^{*}\&cup;\left\{j^{\left(1\right)}\right\}\backslash \left\{j_{i^{\left(1\right)}}\right\},---\left(7\right)$

i⁽¹⁾为待从基(序列1,2,…,l^*中的序列号)中移除的元素的数量。

增强的OMP算法可以总结如下：

1)k＝0；

当(分配的时隙未用尽)

若n维向量x的全部个数n中仅包括少量几个非零元素，则为稀疏。

与总维数n相比，可以通过较少数量的测量来恢复稀疏可压缩向量。

稀疏性可出现在不同的基，所以信号可在时域或者频域中表现为稀疏向量。

稀疏信号的重构的计算量通常比仅测量矩阵求逆的计算量大。此外，由于系统欠定，矩阵通常是不可逆的。

理想的情况是，数值有效重构算法适合实时应用。

可以执行从欠定或不完备测量模型中的稀疏信号恢复。线性系统

Hx＝y

其中，H∈R^m×n,y∈R^m,x∈Rⁿ，m≤n欠定。具有图案

$\left[\begin{array}{ccccccc}\&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\end{array}\right]\&times;\left[\begin{array}{c}\&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\end{array}\right]$

其具有无穷多解：Νull(H)+x₀是与每一个单一解x₀一起的一组解。为找出最稀疏的解，即，零元素数量最多的解，可以作为l₁最小值被找出：

||x||₁→min受限制于Hx＝y

其为一个线性规划(linearprogram，LP)。它是压缩感测(compressivesensing，CS)理论中使用到的标准问题设置。

LP的计算量较大。正交匹配追踪(orthogonalmatchingpursuit，OMP)算法更易于实时实施。它的核心思想用公式表示如下。

步骤0：初始设定残差r₀＝y以及支持集的估计

步骤k＝1,….:找出解决问题的矩阵H中的列

$j_k=\underset{j}{\mathrm{argmax}}\left|\frac{H_j^T{r}_{k-1}}{\left|\right|H_j\left|\right|}\right|$

更新S_k＝S_k-1∪{j_k},r_k＝y-Hx_k,其中 表示对应于该组指数的矩阵H的子矩阵。

重复执行该些步骤直到达到停止标准。

假设该测量模型通过公式y＝Hx+ε,x∈Rⁿ,y∈R^m描述，其中测量的数量m远小于二进制字x的长度。

假设向量x中不多于k个元素为非零。换言之n，

x_i＝0forx_i≠0fori∈supp(x),card(supp(x))＝k.

此外，矩阵H满足有限等距性(restrictedisometryproperty，RIP)性能并且保持以下条件

$m~klog\left(\frac{n}{k}\right),E\left({\mathrm{\&epsiv;}}^T\mathrm{\&epsiv;}\right)={\mathrm{\&sigma;}}^2.$

OMP的停止标准可被选择为

$\begin{array}{cc}{r}_k^T{r}_k\&le;{\mathrm{\&sigma;}}^2.& \left(SC\right)\end{array}$

该核心思想是结合OMP和LP方法的优势，将OMP作为加强的OMP(enhancedOMP，EOMP)的第一阶段，在(SC)满足之后，对改进单纯形法进行多次迭代，将S_k作为初始基，尝试按顺序修改其内容。

该结合算法是贪婪的：该基仅在第一OMP阶段扩展；在第二阶段中从该基移除的指数不再次插入。在执行第二阶段时，使用矩阵分解的低秩变型来修改伪逆矩阵。

考虑到由l₁最小化导致的LP问题，其可以等效地被表示为

Hu-Hv＝y,u≥0,v≥0,

e^Tu+e^Tv→min(PLP)

其中，e为包括所有单元的向量，有合适的大小。此处x＝u-v。该LP将被称为初始LP(primaryLP，PLP)。与(PLP)一起考虑对偶LP(dualLP，DLP)：

-e≤H^Tz≤e,

y^Tz→min,(DLP)

其中，z表示对偶变量。

假设完成OMP，结果为：

S^*-通过OMP得到的该支持集的最后估计,l^*≡card(S^*)

$H_{S^{*}}\&Element;R^{m\&times;l^{*}},$

$x_{S^{*}}={\left({H_{S^{*}}}^T{H}_{S^{*}}\right)}^{-1}{H_{S^{*}}}^{T}y\&Element;R^{l^{*}}.$

集合S^*可以进一步根据向量的元素的符号被划分为两个子集：

$S^{*}=S_{+}^{*}\&cup;S_{-}^{*}$

假设定义：

$e_{S^{*}}={(e_{S^{*},1},e_{S^{*},2},...,e_{S^{*},l^{*}})}^T,$

若

若

与基S^*相对应的DLP的解的当前估计，可以按照欠定系统的最小范数解计算

${H_{S^{*}}}^{T}z=-e_{S^{*}},\left|\right|z|{|}_2^2\&RightArrow;min,$

其具有闭合解

$z_{S^{*}}=-H_{S^{*}}{\left({H_{S^{*}}}^T{H}_{S^{*}}\right)}^{-1}{e}_{S^{*}}.$

这个向量对应于它中的问题(DLP)，其对于线性不等式组可能是可行的也可能是不可行的。其对于(DLP)可以是最优或非最优的。

由于在第一阶段(OMP)的最后一个步骤中获得集合S^*，保持最优性条件。所以，由于(SC)，可行性条件是“几乎满意”的。但(PLP)与(DLP)对偶，并且(PLP)的可行性条件是(DLP)的最优条件。因此，仅能检查可行性条件。

令为与基S^*对应的矩阵H的列指数集。检查不等式的(DLP)的残差。

(DLP)的残差为

${\mathrm{\&Delta;}}_{S^{*},j}^{+}=1+{H_j}^T{z}_{S^{*}},$

${\mathrm{\&Delta;}}_{S^{*},j}^{-}=1-{H_j}^T{z}_{S^{*}}.$

和都可为非负。如果是这样，解和分别能够解决(PLP)和(DLP)的问题。令该些残差其中之一为负。不失一般性地，令可以生成一个新的解

$x_{S^{\left(1\right)}}=x_{S^{*}}-\mathrm{\&alpha;}{\left({H_{S^{*}}}^T{H}_{S^{*}}\right)}^{-1}{H_{S^{*}}}^T{H}_{j^{\left(1\right)}},\mathrm{\&alpha;}>0$

其通过采用如下l₁改进性能生成：

$\left|x_{S^{\left(1\right)}}\right|<\left|x_{S^{*}}\right|,$

$S^{\left(1\right)}=S^{*}\&cup;\left\{j^{\left(1\right)}\right\}\backslash \left\{j_{i^{\left(1\right)}}\right\}$

i⁽¹⁾为待从基中移除的元素的数量。

最终，该算法可以总结如下：

当(DLP约束违反并且迭代次数不超过限制)

在一个实施方式中，本发明涉及一种用于稀疏信号恢复的加强的正交匹配追踪法。

在一个实施方式中，本发明涉及稀疏信号检测，尤其涉及其性能质量方面的问题。

在一个实施方式中，本发明涉及结合OMP与一个或多个l₁改进步骤的稀疏信号恢复方法，该方法包括：执行OMP，根据方程式(2)、(3)计算问题(DLP)的解，检查残差(4)、(5)，做出改进(6)、(7)，保持该记录解。

在一个实施方式中，对基数来说，该记录解是最好的。

在一个实施方式中，对l₁标准值来说，该记录解是最好的。

在一个实施方式中，终止条件是(DLP)(5)的可行。

在一个实施方式中，终止条件是为该问题分配的时间的耗尽。

在一个实施方式中，与OMP和/或LP相比，本发明的性能更好。

在一个实施方式中，可在各步骤使用低秩矩阵因式分解以减少计算负荷。

在一个实施方式中，本发明涉及一种结合OMP和LP方法的优势的稀疏信号恢复方法。

Claims (15)

1.一种从接收信号中恢复稀疏通信信号的方法(100)，其特征在于，所述接收信号为所述稀疏通信信号的信道输出版本，所述信道包括用于形成信道矩阵的信道系数，所述方法包括：

从所述信道矩阵和所述接收信号，确定(101)支持集，所述支持集指示一组非零通信信号系数的第一指数；

基于所述支持集、所述信道矩阵以及所述接收信号，确定(103)所述稀疏通信信号的估计；

确定(105)所述支持集未指示的通信信号系数的第二指数；

基于所述支持集、所述稀疏通信信号的估计、所述第二指数以及所述信道矩阵，确定(107)所述稀疏通信信号。

2.根据权利要求1所述的方法(100)，其特征在于，还包括：

基于所述通信信号系数的第二指数，更新所述支持集。

3.根据权利要求1或2所述的方法(100)，其特征在于，还包括：

确定所述支持集或所述更新的支持集的基数，所述基数用于指示所述支持集或所述更新的支持集的元素数量。

4.根据任一前述权利要求所述的方法(100)，其特征在于，所述稀疏通信信号包括通信信号系数，所述接收信号包括接收信号系数，其中，所述通信信号系数的数量大于所述接收信号系数的数量。

5.根据任一前述权利要求所述的方法(100)，其特征在于，所述确定(101)所述支持集或者所述确定(103)所述稀疏通信信号的估计使用正交匹配追踪法。

6.根据任一前述权利要求所述的方法(100)，其特征在于，所述确定(105)通信信号系数的第二指数包括最小化对偶线性规划问题的残差，所述对偶线性规划问题通过以下公式定义：

-e≤H^Tz≤e,

y^Tz→min,

其中H表示所述信道矩阵，y表示所述接收信号，e表示一个全单元向量，z表示一个对偶变量。

7.根据任一前述权利要求所述的方法(100)，其特征在于，所述确定(105)通信信号系数的第二指数包括最小化对偶线性规划问题的残差，所述残差定义为：

${\mathrm{\&Delta;}}_{S^{*},j}^{+}=1+{H_j}^T{z}_{S^{*}}$ 或者 ${\mathrm{\&Delta;}}_{S^{*},j}^{-}=1-{H_j}^T{z}_{S^{*}}$

其中 $z_{S^{*}}=-H_{S^{*}}{\left({H_{S^{*}}}^T{H}_{S^{*}}\right)}^{-1}{e}_{S^{*}},$

$e_{S^{*}}={(e_{S^{*},1},e_{S^{*},2},...,e_{S^{*},l^{*}})}^T,$

若 $i\&Element;S_{+}^{*},e_{s^{*},i}=1,$

若 $i\&Element;S_{-}^{*},e_{s^{*},i}=-1$

$S^{*}=S_{+}^{*}\&cup;S_{-}^{*},$

其中S^*表示根据向量的元素的符号被划分为两个子集的所述支持集，表示所述支持集S^*的对应于的正元素的一个子集，表示所述支持集S^*的对应于的负元素的一个子集，表示一个辅助向量，表示索引为i的辅助向量的系数，表示包括支持集S^*所指示的列的信道矩阵，表示对偶线性规划问题的一个估计解，H_j表示包括索引j所指示的列的信道矩阵，或表示所述残差。

8.根据任一前述权利要求所述的方法(100)，其特征在于，所述确定(105)通信信号系数的第二指数包括最小化对偶线性规划问题的残差，所述确定通信信号系数的第二指数按照以下公式执行：

$j^{\left(1\right)}=\underset{j}{\arg min}{\mathrm{\&Delta;}}_{S^{*},j}^{+}$ 或 $j^{\left(1\right)}=\underset{j}{\arg min}{\mathrm{\&Delta;}}_{S^{*},j}^{-},$

其中或者表示对偶线性规划问题的残差，j⁽¹⁾表示所述通信信号系数的第二指数。

9.根据任一前述权利要求所述的方法(100)，其特征在于，所述确定(107)所述稀疏通信信号按照以下公式执行：

$x_{S^{\left(1\right)}}=x_{S^{*}}-\mathrm{\&alpha;}{\left({H_{S^{*}}}^T{H}_{S^{*}}\right)}^{-1}{H_{S^{*}}}^T{H}_{j^{\left(1\right)}},\mathrm{\&alpha;}>0$

其中表示包括支持集S^*所指示的列的信道矩阵，表示包括通信信号系数的第二指数j⁽¹⁾所指示的列的信道矩阵,α表示一个预先确定的值，表示所述稀疏通信信号的估计，表示所述稀疏通信信号。

10.根据权利要求2所述的方法(100)，其特征在于，所述更新所述支持集按照以下公式执行：

$S^{\left(1\right)}=S^{*}\&cup;\left\{j^{\left(1\right)}\right\}\backslash \left\{j_{i^{\left(1\right)}}\right\},$

其中j⁽¹⁾表示通信信号系数的第二指数，表示待从所述支持集中移除的通信信号系数的指数，i⁽¹⁾表示待从所述支持集中移除的元素的数量，S^*表示所述支持集，以及S⁽¹⁾表示所述更新后的支持集。

11.根据前述权利要求中任一项所述的方法(100)，其特征在于，依次重复执行以下步骤：所述确定(101)所述支持集，所述确定(103)所述稀疏通信信号的估计，所述确定(105)所述通信信号系数的第二指数，所述确定(107)所述稀疏通信信号，所述更新所述支持集以及所述确定所述基数，直至达到停止标准。

12.根据权利要求11所述的方法(100)，其特征在于，对应于具有最小基数的支持集的所述稀疏通信信号作为所述恢复后的稀疏通信信号被提供。

13.根据权利要求11或12所述的方法(100)，其特征在于，所述停止标准为对偶线性规划问题的所有残差的值为正数或零，其中残差被定义为：

${\mathrm{\&Delta;}}_{S^{*},j}^{+}=1+{H_j}^T{z}_{S^{*}}$ 或者 ${\mathrm{\&Delta;}}_{S^{*},j}^{-}=1-{H_j}^T{z}_{S^{*}}$

其中 $z_{S^{*}}=-H_{S^{*}}{\left({H_{S^{*}}}^T{H}_{S^{*}}\right)}^{-1}{e}_{S^{*}},$

$e_{S^{*}}={(e_{S^{*},1},e_{S^{*},2},...,e_{S^{*},l^{*}})}^T,$

若 $i\&Element;S_{+}^{*},e_{s^{*},i}=1,$

若 $i\&Element;S_{-}^{*},e_{s^{*},i}=-1$

$S^{*}=S_{+}^{*}\&cup;S_{-}^{*},$

其中S^*表示根据向量的元素的符号被划分为两个子集的所述支持集，表示所述支持集S^*的对应于的正元素的一个子集，表示所述支持集S^*的对应于的负元素的一个子集，表示一个辅助向量，表示索引为i的辅助向量的系数，表示包括支持集S^*所指示的列的信道矩阵，表示对偶线性规划问题的一个估计解，H_j表示包括索引j所指示的列的信道矩阵，或表示残差。

14.根据权利要求11-13所述的方法(100)，其特征在于，所述停止标准为到达一个预定的时间间隔长度。

15.一种计算机程序，所述计算机程序在计算机上运行时用于执行任一前述权利要求所述的方法(100)。