CN105634269B

CN105634269B - 一种用于Buck型DC‑DC变换器的闭环双模降阶模型预测控制方法

Info

Publication number: CN105634269B
Application number: CN201610056145.2A
Authority: CN
Inventors: 谢磊; 刘振; 李修亮
Original assignee: Zhejiang University ZJU
Current assignee: Zhejiang University ZJU
Priority date: 2016-01-27
Filing date: 2016-01-27
Publication date: 2018-01-09
Anticipated expiration: 2036-01-27
Also published as: CN105634269A

Abstract

本发明公开了一种用于Buck型DC‑DC变换器的闭环双模降阶模型预测控制方法，其采用闭环双模降阶模型预测控制算法通过滚动优化过程中引入闭环反馈增益系数以保证控制系统的稳定性同时用SVD分解方法对双模结构进行降阶使得整个计算过程经过了两次精简以减小其在线计算量，算法实现过程采用off‑set free思想使得输出满足设定点值以实现对DC‑DC变换器进行控制。

Description

一种用于Buck型DC-DC变换器的闭环双模降阶模型预测控制方法

技术领域

本发明属于DC-DC变换器控制技术领域，具体涉及一种用于Buck型DC-DC变换器的闭环双模降阶模型预测控制方法。

背景技术

燃料电池电能的产生依赖于源源不断的燃料提供，燃料供给的波动往往会导致燃料电池的输出电压不稳定甚至出现大范围波动，另外现实生活中各种各样的工作负载具有不同的额定工作电压，如何将燃料电池的输出电压与之匹配是一个问题。所以设计一个安全可靠高效的DC-DC变换器至关重要，使其将燃料电池电压升至直流总线电压，再由各个降压电路降压为负载供电，当电池输入电压发生波动时，依然能够保证直流总线电压的稳定。

如图1所示为Buck型DC-DC变换器拓扑电路图，Buck型转换器的拓扑为电压源、串联开关和电流负载组合而成，它也被称为串联开关转换器。其中V_in和V_out分别为输入电压和输出电压，L为电感，R是负载电阻，C为电容，r_L是输出电感的内部阻抗，r_c是输出电容的等效串联阻抗。r_d和r_ds分别是续流二极管和场效应管的寄生损耗阻抗，Q为主开关管，主开关管Q处设有控制信号的输入端。主开关管Q由调制器控制，以一定的频率f和占空比d交替导通，这样，将在主开关管Q和整流管D的公共端处产生占空比为d，周期为T_s＝1/f的方波。电感和电容组成低通滤波器只通过期望的直流量，而交流量则大大降低。理想情况下，输出电压的值由输入电压和占空比给定，V_out＝V_in*d，0<d<1，所以在Buck型DC-DC变换器进行控制时，只要计算出占空比d并转化为控制信号控制主开关管Q，即可控制Buck型DC-DC变换器来控制电压。

在燃料电池发电系统中，由于燃料电池输出电压往往低于实际负载的工作电压，所以需要通过前级DC-DC变换器将能量转换成为稳定的直流总线电压，再进一步降压为负载工作提供电能，然而燃料电池的输出电压变化范围很宽，且低于一般负载的工作电压。因此需要通过DC-DC变换器提升燃料电池电压至所需的稳定的直流电压，再经过各级DC-DC变换器转换成各种类型负载的工作电压。

大多数的DC-DC变换器都是在连续时间模式下(CCM)进行分析的，目前比较先进的有基于开关变换器工作于CCM模式时，采用模型预测控制算法来预测计算DC-DC变换器主开关管Q的占空比d，从而实现对DC-DC变换器的电压控制。模型预测控制算法具有能够解决多变量优化问题的优势，所以在传统复杂的流程工业得到了广泛的使用，但是其算法本身需要大量的在线滚动优化计算，计算量较大，所以限制了该算法在快速被控对象(如DC-DC变换器)中的应用。

发明内容

针对现有技术所存在的上述技术缺陷，本发明提供了一种用于Buck型DC-DC变换器的闭环双模降阶模型预测控制方法，其采用闭环双模降阶模型预测控制算法通过滚动优化过程中引入闭环反馈增益系数以保证控制系统的稳定性同时利用SVD(奇异值分解)方法对双模结构进行降阶使得整个计算过程经过了两次精简以减小其在线计算量，使得输出满足设定点值以实现对DC-DC变换器进行控制。

一种用于Buck型DC-DC变换器的闭环双模降阶模型预测控制方法，如下：

实时采集DC-DC变换器的输出电压并计算其与输出电压预定值之间的电压误差；若电压误差等于0，则保持DC-DC变换器中主开关管的控制信号不变；若电压误差不等于0，则根据以下公式重新计算确定当前主开关管的占空比，并利用该占空比构建相应的控制信号以对主开关管进行控制；

z(k+1)＝A₀z(k)+B₀u(k)+L(y(k)-C₀z(k))

u(k+1)＝-Knewz(k+1)+Pry_ref+c(k+1)

其中：u(k)和u(k+1)分别为k时刻和k+1时刻主开关管的占空比，y(k)为k时刻DC-DC变换器的输出电压，z(k)和z(k+1)分别为k时刻和k+1时刻的中间状态量，y_ref为输出电压预定值，c(k+1)为k+1时刻的补偿量(反馈增益系数只针对无约束条件，c(k+1)即当该系数对应的占空比值处于约束范围以外时需要额外的补偿)，A₀、B₀、C₀、Knew和Pr均为参数矩阵，L为观测器增益，k表示采样时刻。

所述的参数矩阵A₀、B₀、C₀、Knew和Pr的具体表达如下：

C₀＝[C I]

Knew＝[K Pr] Pr＝KMx+Mu

其中：A、B和C均为DC-DC变换器状态空间模型中的参数，O为元素全为0的矩阵，I为元素全为1的矩阵，Mx和Mu均为参数矩阵，K为反馈增益系数。

所述的参数矩阵Mx和Mu的具体表达如下：

所述的反馈增益系数K通过对以下目标函数J进行最小化求解得到；

x(k+1)＝Ax(k)+Bu(k)

s.t. y(k)＝Cx(k)+Du(k)+dist(k)

u(k)＝-Kx(k)

其中：x(k)、x(k+i)和x(k+1)分别为k时刻、k+i时刻和k+1时刻的中间状态量，u(k+i-1)为k+i-1时刻主开关管的占空比，D为DC-DC变换器状态空间模型中的参数矩阵且D＝0，dist(k)为k时刻的扰动量，Q＝C^TC，^T表示转置，R为预设的调节参数，i为大于0的自然数。

所述的观测器增益L通过Riccati方程算法对以下关系式求解得到：

z(k+1)＝A₀z(k)+B₀u(k)+L(y(k)+noise(k)-C₀z(k))

其中：noise(k)为k时刻的噪声量。

所述补偿量c(k+1)的求解过程如下：

(1)利用离线仿真的方法在不同条件下根据以下公式计算得到多组控制序列C，并将这些控制序列C排列组成控制矩阵W；

其中：t为quadprog函数的自变量，^T表示转置，S、F、CC、dfixed和dx0均为参数矩阵且F＝0；

(2)对所述的控制矩阵W进行SVD分解即W＝UΣV^T，得到奇异值序列Σ，U和V均为SVD分解过程中的基向量；

(3)对所述的奇异值序列Σ进行截断：使奇异值序列Σ中的元素值从大到小排列，根据排列次序逐个对元素值进行累加直到累加后的值除以奇异值序列Σ中所有元素值的和达到85％并依此进行截断；使已累加的元素值个数作为截断维度，根据所述的截断维度再次对控制矩阵W进行SVD分解，得到对应的基向量U，进而利用该基向量U对步骤(1)中的公式进行更新，即：

其中：S^*＝U^TSU，CC^*＝CCU；

(4)将中间状态量z(k+1)代入步骤(3)中更新后的公式中，求得一组控制序列C，进而利用基向量U对该控制序列C进行更新得到控制序列C^*＝UC，取控制序列C^*中的第一个元素值作为补偿量c(k+1)。

所述的参数矩阵S通过Riccati方程算法对以下关系式求解得到：

H-Φ^THΦ＝Q+K^TRK

其中：R为预设的调节参数，K为反馈增益系数，H为中间参数，为取参数矩阵主对角线元素所组成的对角矩阵，Q＝C^TC，Φ＝A-BK，A、B和C均为DC-DC变换器状态空间模型中的参数。

所述的参数矩阵CC的表达式如下：

其中：Φ＝A-BK，K为反馈增益系数，O为元素全为0的矩阵，I为元素全为1的矩阵，A和B均为DC-DC变换器状态空间模型中的参数，NC为预设的控制参数。

所述的参数矩阵dfixed的表达式如下：

其中：参数矩阵dfixed的维度为2×NC×Nu，即参数矩阵dfixed上半部分元素由NC×Nu个umax组成，下半部分元素由NC×Nu个-umin组成，umax和umin分别为主开关管占空比的上下限，NC为预设的控制参数，Nu为占空比u(k)的维度。

所述的参数矩阵dx0的表达式如下：

其中：Φ＝A-BK，K为反馈增益系数，A和B均为DC-DC变换器状态空间模型中的参数，NC为预设的控制参数。

所述的状态空间模型即依据采样时间对DC-DC变换器的恒频动态模型进行离散化得到，其具体表达式如下：

x(k+1)＝Ax(k)+Bu(k)

y(k)＝Cx(k)+Du(k)+dist(k)

其中：x(k)和x(k+1)分别为k时刻和k+1时刻的中间状态量，D为DC-DC变换器状态空间模型中的参数且D＝0，dist(k)为k时刻的扰动量。

本发明的有益技术效果如下：

(1)本发明采用闭环双模降阶模型预测控制算法通过滚动优化过程中引入闭环反馈增益系数以保证控制系统的稳定性同时用SVD分解方法对双模结构进行降阶使得整个计算过程经过了两次精简以减小其在线计算量，算法实现过程采用off-set free思想使得输出满足设定点值以实现对DC-DC变换器进行控制。

(2)本发明采用CompactRIO作为算法的硬件实现，即可以保证高速高精度的数据采集又可以利用FPGA的CPU进行高速的运算。

(3)本发明采用Labview软件在电脑端较为方便的进行上位机离线计算以及FPGA的编程，并且为并行化解雇提供了便捷。

(4)本发明利用以太网100M/s的传输速率可以保证实时数据读写，同时CompactRIO提供了100k/s的数据采集以及A/D转换保证了足够的采样。

附图说明

图1为标准Buck型DC-DC变换器的拓扑电路图。

图2为本发明DC-DC变换器控制系统的结构示意图。

图3(a)为本发明DC-DC变换器电感电流的仿真效果示意图。

图3(b)为本发明DC-DC变换器主开关管占空比的仿真效果示意图。

图3(c)为本发明DC-DC变换器输出电压的仿真效果示意图。

具体实施方式

为了更为具体地描述本发明，下面结合附图及具体实施方式对本发明的技术方案进行详细说明。

本发明的建模工作是基于开关变换器工作于CCM模式时，由状态空间平均法得到恒频动态模型：

依据采样时间将恒频动态模型离散化，得到其状态空间模型的参数矩阵A，B，C，D。该状态空间模型中输入u(k)为占空比的值，输出y(k)为电压值，为了便于下述求解描述，先将该状态空间模型写成如下形式：

x(k+1)＝Ax(k)+B u(k)，

y(k)＝C x(k)+D u(k)+dist(k)(一般情况下D＝0)

其中：状态量x(k)为计算过程中所需要的电流电压，由于该部分无法检测以及相应的扰动dist(k)也无法得知，所以采用状态观测器的办法求解反馈增益系数以便于做闭环分析计算。此外整个计算过程还需要知道占空比的上下限以作为约束条件，同时利用目标输出电压可以求解该过程的稳态工作点。在有了上述基本条件之后便可以进行闭环双模降阶模型预测控制算法，该算法的应用过程为：观测器设计求解反馈控制率，根据反馈控制率计算预测方程的系数矩阵，目标函数方程的设计，约束整合，根据上述推导将模型预测控制问题转化为二次规划问题用现有函数库进行求解，通过仿真的办法调整DC-DC电路的负载、输入电压和额定输出值来获取不同条件下经过上述算法求得的优化序列，将上述序列做SVD分解，通过分析奇异值将对控制作用有效的最有输出保留去掉影响作用较小的部分已达到降阶的目的，将降阶结果带入上一部的二次规划过程重新进行求解实现对DC-DC变换器进行控制。下面将进行详细介绍每一步求解过程。

根据前面交代的模型预测控制算法的基本思想，首先在MATLAB中通过仿真的办法得到转换成二次规划问题求解所需要的系数。第一步是通过设计Kalman观测器针对下面关系：

x(k+1)＝A x(k)+B u(k),

y(k)＝C x(k)+dist(k),

z(k+1)＝Ao*z(k)+Bo*u(k)+L*(y(k)+noise(k)-Co*z(k)),

其中：z(k)＝[x(k)；dist(k)]，Ao＝[A,O；O,I]，Bo＝[B；O]，Co＝[C,I]，噪声noise和干扰dist在估计过程中不可测扰动。

目标函数即优化目标函数为：

J＝sum x(k+i)Q x(k+1)+u(k+i-1)R u(k+i-1)

其中：Q和R为自定义参数可以用来调整控制效果，通常令Q＝C^T*C，反馈增益表达式为u(k)＝-Kx(k)。

利用Riccati方程(MATLAB现有函数)可以解出K和L。这种情况下我们求得的目标输出和稳态工作点都是0，为了与实际吻合引入设定点r来帮助我们求解稳态工作点(xss,uss)。此时上述方程简化表示为：

u＝-K(x-xss)+uss,

r＝y＝Cx+dist。

将这组方程带入初始状态空间方程中即可得到估计得稳态方程：

[A-I B][x]＝[0]

[C 0][u]＝[r-dist]

这组方程以矩阵方式求解得到：

M＝[A-I,B；C,O]\[O；I]

将得到的该矩阵对应状态x和输入分为[Mx；Mu]两部分即可将稳态工作点表示出来，即xss＝Mx*(r-d)，uss＝Mu*(r-d)。

那么将稳态工作点带入反馈增益方程中为：

u＝-K[x-Mx*(r-d)]+Mu*(r-d)＝-[K,K*Mx+Mu]*z+(K*Mx+Mu)*r

便于后续介绍引入连个变量将反馈方程表示为：

u＝-knew*z+Pr*r

其中：Knew＝[K,K*Mx+Mu]，Pr＝K*Mx+Mu。

由于该方法提到了是双模形式，即针对优化过程按照两种模式进行处理，首先根据最优控制相关理论我们的预测过程是在无穷时域下进行，但是由于有约束的存在人为的将其分为两部分，一部分是含有约束的预测过程，该部分自由度设定为NC，该预测时域的长度可以人为根据实际控制效果而定，而剩下的无穷时域部分在闭环中的反馈增益即为第一步中求出的K(Knew)。所以我们的二次规划方程主要处理含有约束的这一段过程，这也是模型预测控制的优势，所以我们设定由于约束存在反馈增益方程需要更新为：

u＝-Knew*z+Pr*r+c

这里的c相当于输出的一个干扰项，可以理解为将无约束的最有输出通过补偿的方式得到新的输出使得在该自由度内最优解满足约束条件，因此我们只需要求解c即可获得最优控制序列。根据模型预测控制的预测模型原理，我们需要把反馈引入做预测方程的扩展，即：

x(k+i)＝Ax(k+i-1)+Bu(k+i-1),u(k+i-1)are d.o.fi＝1,2…,nc

x(k+i)＝(A-BK)x(k+i-1),u(k+i-1)＝-Kx(k+i-1),i>NC，令Φ＝A-BK

将反馈增益方程带入最早的状态空间方程我们可以得到x,u,y的预测方程相应的系数矩阵如下；其中x,u,y,c均为预测值，z(k)为当前状态估计值，这里的N表示无穷时域最优控制序列终点，为便于计算N通常远大于NC。

预测模型系数矩阵得到后便可以将其带入约束中去，模型预测控制的一大特色就是处理约束，在该DC-DC变换器的设计过程中只需要规定占空比的值范围在0到1之间即可，即输入约束最小值为0最大值为1，因此为了满足二次规划问题的标准格式将约束整理为下面的算式；其中Nu,Nx,Ny,Nr分别表示输入、中间状态、输出和设定值的维度。

下面一步就是目标函数方程，这是离线计算二次规划问题参数求解的最后一步。优化目标函数根据模型预测控制的特点可以写成：

J＝sum xQx+uRu(sum是指加和到无穷大)

这里面的u根据我们上面的双模闭环控制表达式可以转化为：

J＝cSc+unconstrained optimal

对于线性二次模型预测控制问题在闭环条件下终端一般都可以达到约束，因此目标函数虽然是累加到无穷大，但是约束控制的范围以外部分均可达到最优而忽略不计，那么目标函数方程可简化为：

其中：

可以用Riccati方程完成对该参数的求解，那么二次规划问题所需要的Hessian矩阵就可以写成

至此离线部分参数计算完成，我们只需要用MATLAB提供的二次规划问题的工具包解出最优控制序列c即可：

c＝quadprog(S,X,CC,dfixed+dx0*[z；r],[],[],[],[],[],opt)；

其中：S就是上一步的Hessian矩阵，X＝0，CC和dfixed+dx0*[z；r]则是约束部分方程的系数矩阵。最优输出序列则是由上述u和解出的c，当前时刻的z以及设定值r关系求解所得u＝-knew*z+Pr*r，而z值得更新则是上面提到观测器方程z(k+1)＝Ao*z(k)+Bo*u(k)+L*(y(k)+noise(k)-Co*z)估计所得，其中输出y和噪声的加和通常用实际采样的过程输出所得，而我们在实际计算过程中取最优序列u的第一个值作为优化输出参与计算。

以上便是闭环双模模型预测控制算法的离线计算和在线计算全部过程，我们可以通过仿真或者实际采样，针对不同的设定值、加入不同的干扰噪声等信号来获取大量的最有序列c，由于模型预测控制的滚动优化过程会产生一系列较大的矩阵方程对于硬件在线计算有很大的制约，严重影响了算计算的速度，而且由于只采用最有序列第一个值参与控制那么整个最有序列中势必有对优化过程不起作用的点，因此这里采用SVD分解的方法进一步对二次规划问题求解进行降阶处理以达到计算的简化。

方法如下：首先通过仿真或实际采样的方式得到大量最优控制序列W＝[¹c ²c ...^qc]；其中q为不同条件下的序列c，而c则是按照上述方法求解的NC维度的最优序列。接下来仍是离线计算部分，在MATLAB中进行即对应LABVIEW中的Mathscript模块下进行。对W做SVD分解，得到一组按照从大到小排列的奇异值序列，然后利用求和筛选的原理将这些奇异值依次累加，当累加的和达到总和的百分之八十五的时候即认为这些奇异值是对控制效果有效的予以保留。这时我们将保留下来的左侧奇异值向量Ured(奇异值分解矩阵通常分解结果为W＝USV，S为奇异值序列，U为左侧奇异值向量)作为降阶系数，即c＝Ured*cred，cred的阶次一般情况下远小于c的阶次。接下来我们将Ured这个矩阵离线的乘到S，CC上即完成了对二次规划问题的简化，将简化后的参数按照上述步骤进行在线计算速度会加快。

图2为本发明DC-DC变换器控制系统的结构示意图，FPGA是一个可以高速运算的数字化系统，可以将该算法写入其中。NI FPGA可以通过LABVIEW的图形化集成开发环境在电脑端进行编程和通信。一个完整的程序要包括做控制器的FPGA任务文件和上位机编写的主机文件。从图2可以看出，模数转换器的输入端与DC-DC电路的输出端连接，用于采集电压并对采集到的电压进行模数转换；模数转换器的输出端与控制器Controller的输入端连接，控制器Controller内具有预测函数控制算法，而且还储存有当前时刻以前的电压值和占空比，以便于计算过程对以前的数据进行调用；控制器Controller的输出端与FPGA的输入端相连，FPGA将占空比转换为PWM控制信号；FPGA的输出端与PWM驱动器的输入端相连，PWM驱动器的输出端与主开关管的PWM控制信号输入端相连接。

图3为本发明DC-DC变换器的仿真效果示意图，展示了从开机时刻起到稳态以及输入电压从额定9v到5v变化过程和负载从5欧姆到10欧姆变化过程。从图3(b)可以看出开机后由于电路了本身电感、场效应管等开关特性会产生一段振荡，然后趋于稳定，接下来是两组动态过程。由于该算法采用了off-set free理念，同时算法本身还带有反馈环节，使得滚动优化过程更加的准确和稳定。与传统的PID控制以及补偿电路法相比都要快很多并且在开机时的震荡与超调也小很多，再结合FPGA自身运算特性，使得控制效果达到一个相对出色的水平。

Claims

1.一种用于Buck型DC-DC变换器的闭环双模降阶模型预测控制方法，其特征在于：

z(k+1)＝A₀z(k)+B₀u(k)+L(y(k)-C₀z(k))

u(k+1)＝-Knewz(k+1)+Pry_ref+c(k+1)

其中：u(k)和u(k+1)分别为k时刻和k+1时刻主开关管的占空比，y(k)为k时刻DC-DC变换器的输出电压，z(k)和z(k+1)分别为k时刻和k+1时刻的中间状态量，y_ref为输出电压预定值，c(k+1)为k+1时刻的补偿量，A₀、B₀、C₀、Knew和Pr均为参数矩阵，L为观测器增益，k表示采样时刻；

所述参数矩阵A₀、B₀、C₀、Knew和Pr的具体表达如下：

C₀＝[C I]

Knew＝[K Pr] Pr＝KMx+Mu

其中：A、B和C均为DC-DC变换器状态空间模型中的参数，O为元素全为0的矩阵，I为元素全为1的矩阵，Mx和Mu均为参数矩阵，K为反馈增益系数；

所述观测器增益L通过Riccati方程算法对以下关系式求解得到：

z(k+1)＝A₀z(k)+B₀u(k)+L(y(k)+noise(k)-C₀z(k))

其中：noise(k)为k时刻的噪声量；

所述补偿量c(k+1)的求解过程如下：

<mrow> <mi>C</mi> <mover> <mo>=</mo> <mi>&Delta;</mi> </mover> <munder> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mi>t</mi> </munder> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>t</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>S</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>F</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>t</mi> </mrow>

其中：t为quadprog函数的自变量，^T表示转置，S、F、X、dfixed和dx0均为参数矩阵且F＝0；

(3)对所述的奇异值序列Σ进行截断：使奇异值序列Σ中的元素值从大到小排列，根据排列次序逐个对元素值进行累加直到累加后的值除以奇异值序列Σ中所有元素值的和达到85％并依此进行截断；使已累加的元素值个数作为截断维度，根据所述的截断维度再次对控制矩阵W进行SVD分解，得到对应的基向量U'，进而利用该基向量U'对步骤(1)中的公式进行更新，即：

<mrow> <msup> <mi>c</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mover> <mo>=</mo> <mi>&Delta;</mi> </mover> <munder> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mi>t</mi> </munder> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>t</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>S</mi> <mo>*</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>F</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>t</mi> </mrow>

其中：S^*＝U'^TSU'，X^*＝XU'；

(4)将中间状态量z(k+1)代入步骤(3)中更新后的公式中，求得一组控制序列c'，进而利用基向量U'对该控制序列c'进行更新得到控制序列c^*＝U'c'，取控制序列c^*中的第一个元素值作为补偿量c(k+1)；

所述参数矩阵S通过Riccati方程算法对以下关系式求解得到：

H-Φ^THΦ＝Q+K^TRK

其中：R为预设的调节参数，H为中间参数，为取参数矩阵主对角线元素所组成的对角矩阵，Q＝C^TC，Φ＝A-BK；

所述参数矩阵X的表达式如下：

其中：NC为预设的控制参数；

所述参数矩阵dfixed的表达式如下：

其中：参数矩阵dfixed的维度为2×NC×Nu，即参数矩阵dfixed上半部分元素由NC×Nu个umax组成，下半部分元素由NC×Nu个-umin组成，umax和umin分别为主开关管占空比的上下限，Nu为占空比u(k)的维度；

所述参数矩阵dx0的表达式如下：

<mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>K</mi> </mtd> <mtd> <mi>Pr</mi> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>Pr</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>K</mi> <mi>&Phi;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>Pr</mi> <mo>+</mo> <mi>K</mi> <mi>B</mi> <mi>Pr</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>Pr</mi> <mo>+</mo> <mi>K</mi> <mi>B</mi> <mi>Pr</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>K&Phi;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>Pr</mi> <mo>+</mo> <mi>K</mi> <mi>B</mi> <mi>Pr</mi> <mo>+</mo> <mi>K</mi> <mi>&Phi;</mi> <mi>B</mi> <mi>Pr</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>Pr</mi> <mo>+</mo> <mi>K</mi> <mi>B</mi> <mi>Pr</mi> <mo>+</mo> <mi>K</mi> <mi>&Phi;</mi> <mi>B</mi> <mi>Pr</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>K&Phi;</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mi>C</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>Pr</mi> <mo>+</mo> <munderover> <mi>&Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mi>C</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msup> <mi>K&Phi;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>B</mi> <mi>Pr</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>Pr</mi> <mo>+</mo> <munderover> <mi>&Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mi>C</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msup> <mi>K&Phi;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>B</mi> <mi>Pr</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>K</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>Pr</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mi>Pr</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>K</mi> <mi>&Phi;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>Pr</mi> <mo>-</mo> <mi>K</mi> <mi>B</mi> <mi>Pr</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>Pr</mi> <mo>-</mo> <mi>K</mi> <mi>B</mi> <mi>Pr</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>K&Phi;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>Pr</mi> <mo>-</mo> <mi>K</mi> <mi>B</mi> <mi>Pr</mi> <mo>-</mo> <mi>K</mi> <mi>&Phi;</mi> <mi>B</mi> <mi>Pr</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>Pr</mi> <mo>-</mo> <mi>K</mi> <mi>B</mi> <mi>Pr</mi> <mo>-</mo> <mi>K</mi> <mi>&Phi;</mi> <mi>B</mi> <mi>Pr</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>K&Phi;</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mi>C</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>Pr</mi> <mo>-</mo> <munderover> <mi>&Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mi>C</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msup> <mi>K&Phi;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>B</mi> <mi>Pr</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>Pr</mi> <mo>-</mo> <munderover> <mi>&Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mi>C</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msup> <mi>K&Phi;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>B</mi> <mi>Pr</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

所述状态空间模型即依据采样时间对DC-DC变换器的恒频动态模型进行离散化得到，其具体表达式如下：

x(k+1)＝Ax(k)+Bu(k)

y(k)＝Cx(k)+Du(k)+dist(k)

所述反馈增益系数K通过对以下目标函数J进行最小化求解得到；

<mrow> <mi>J</mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>+</mo> <mi>&infin;</mi> </mrow> </munderover> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>Q</mi> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>R</mi> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中：x(k)、x(k+i)和x(k+1)分别为k时刻、k+i时刻和k+1时刻的中间状态量，u(k+i-1)为k+i-1时刻主开关管的占空比，D为DC-DC变换器状态空间模型中的参数且D＝0，dist(k)为k时刻的扰动量，i为大于0的自然数。