CN105629301B

CN105629301B - 薄层弹性波反射系数快速求解方法

Info

Publication number: CN105629301B
Application number: CN201610189239.7A
Authority: CN
Inventors: 杨春; 王赟
Original assignee: China University of Geosciences Beijing
Current assignee: China University of Geosciences Beijing
Priority date: 2016-03-29
Filing date: 2016-03-29
Publication date: 2018-02-09
Anticipated expiration: 2036-03-29
Also published as: CN105629301A

Abstract

本发明公开薄层弹性波反射系数快速求解方法，包括：假设薄层模型的薄层厚度远小于波数的倒数，简化薄层精准反射透射矩阵方程成薄层近似矩阵方程；对入射角取负值，并对薄层精准反射透射矩阵方程进行三角函数奇偶性变换与之对比，建立反透射系数与射线参数的奇偶关系式；对薄层精准反射透射矩阵方程进行顶底界面的反射波叠加近似，获得薄层纵波反射的初步近似；对初步近似进行阻抗差四次及以上高次项舍弃，获得弱阻抗差近似；对弱阻抗差近似式保留入射角正弦四次幂级数项，获得四次幂级数近似；对四次幂级数近似保留入射角正弦值二次幂级数项，获得二次幂级数近似。通过本发明，以解决现有技术存在的薄层反射系数计算复杂、难以用于AVA反演的问题。

Description

薄层弹性波反射系数快速求解方法

技术领域

本发明涉及地震勘探的技术领域，尤其涉及一种薄层弹性波反射系数快速求解方法。

背景技术

随着地震勘探程度的提高和油气、煤炭等勘探目标类型的日益复杂，地层中薄储层的空间展布规律及其性质的确定成为一个亟待解决的问题。在我国东部的绝大多数中、新生代陆相含油盆地大都以薄层砂、泥岩沉积为主，夹有少量薄层碳酸盐岩、页岩及膏盐层，地层岩性和厚度横向变化均较大，而且这些地层的厚度远远低于常规地震勘探的垂向分辨率，以薄层形式存在。薄层反射不同于单界面情况，反射响应是顶底反射、层间多次波叠加形成的复合波，而目前产业界AVO反演方法都是基于单界面基础上的 Zoeppritz方程及其近似公式开展的，对于薄层问题将不再适用。薄层反射透射理论的研究成为推动薄层AVO技术发展的基础。

现有薄层反射透射理论的研究主要分为以下三个思路进行。一是将问题简化，只考虑平面纵波垂直入射情况。二是任意入射角情况下利用时间延迟建立薄层反透射关系式。三是利用层状介质传播矩阵理论研究薄层问题。

然而，薄层反射不仅仅与物性差异有关，还与层厚和频率有关，从而使得薄层的反演极其复杂，需要综合使用薄层反射波运动学与动力学的信息才能实现薄层厚度等参数的精确反演。因此，对于传统薄层的反演不是过于复杂就是局限在特定的薄层模型下，难以直接用于地震薄层反演。

发明内容

本发明的主要目的在于提供一种薄层弹性波反射系数快速求解方法，以解决现有技术存在的薄层反射系数计算复杂、难以用于AVA反演的问题。

为解决上述问题，本发明实施例提供一种薄层弹性波反射系数快速求解方法，包括：根据薄层模型，取得薄层精准反射透射矩阵方程；假设所述薄层模型的薄层厚度远小于波数的倒数，以简化所述薄层精准反射透射矩阵方程成薄层近似矩阵方程；对入射角取负值，并对所述薄层精准反射透射矩阵方程进行三角函数奇偶性变换得到系数矩阵方程，且将所述系数矩阵方程与所述薄层精准反射透射矩阵方程对比，以建立反透射系数与射线参数的奇偶关系式；对所述薄层精准反射透射矩阵方程进行所述薄层模型的顶底界面的反射波叠加近似，以获得薄层纵波反射的初步近似；对所述薄层纵波反射的初步近似进行阻抗差四次及以上高次项舍弃，以获得薄层纵波反射系数的弱阻抗差近似；对所述弱阻抗差近似式忽略入射角正弦值的高次项，并保留入射角正弦四次幂级数项，以获得薄层纵波的四次幂级数近似；对所述四次幂级数近似保留入射角正弦值二次幂级数项，以获得薄层纵波的二次幂级数近似。

根据本发明的技术方案，通过假设薄层模型的薄层厚度较小，以简化所述薄层精准反射透射矩阵方程成薄层近似矩阵方程；对入射角取负值，薄层精准反射透射矩阵方程进行三角函数奇偶性变换得到系数矩阵方程，且与薄层精准反射透射矩阵方程对比，建立反透射系数与射线参数的奇偶关系式；对薄层精准反射透射矩阵方程进行所述薄层模型的顶底界面的反射波叠加近似，获得薄层纵波反射的初步近似；对所述薄层纵波反射的初步近似进行阻抗差四次及以上高次项舍弃，以获得薄层纵波反射系数的弱阻抗差近似；对所述弱阻抗差近似式忽略入射角正弦值的高次项，并保留入射角正弦四次幂级数项，以获得薄层纵波的四次幂级数近似；对所述四次幂级数近似保留入射角正弦值二次幂级数项，以获得薄层纵波的二次幂级数近似。如此，薄层反射系数计算更为简洁，更有利于实现薄层AVO反演。

附图说明

此处所说明的附图用来提供对本发明的进一步理解，构成本申请的一部分，本发明的示意性实施例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。在附图中：

图1是根据本发明实施例的薄层弹性波反射系数快速求解方法的流程图；

图2是根据本发明实施例的薄层模型的示意图；

图3是根据本发明实施例的薄层模型的另一示意图；

图4是根据本发明实施例的模型1(Model 1)的PP波与PS波反射系数振幅近似误差图；

图5是根据本发明实施例的模型1(Model 1)的PP波与PS波反射系数相位近似误差图；

图6是根据本发明实施例的模型2(Model 2)的PP波与PS波反射系数振幅近似误差图；

图7是根据本发明实施例的模型2(Model 2)的PP波与PS波反射系数相位近似误差图；

图8是根据本发明实施例的模型3(Model 3)的PP波与PS波反射系数振幅近似误差图；

图9是根据本发明实施例的模型3(Model 3)的PP波与PS波反射系数相位近似误差图；

图10是根据本发明实施例的模型4(Model 4)的PP波与PS波反射系数振幅近似误差图；

图11是根据本发明实施例的模型4(Model 4)的PP波与PS波反射系数相位近似误差图；

图12是根据本发明实施例的不同阻抗差异下薄层模型PP波与PS波反射系数振幅近似误差图；

图13是根据本发明实施例的模型1(Model 1)的反射系数近似误差图；

图14是根据本发明实施例的模型2(Model 2)的反射系数近似误差图；

图15是根据本发明实施例的模型3(Model 3)的反射系数近似误差图；

图16是根据本发明实施例的模型4(Model 4)的反射系数近似误差图；

图17a是根据本发明实施例的弱阻抗差近似产生的反射系数振幅近似误差图；

图17b是根据本发明实施例的弱阻抗差近似产生的反射系数相位近似误差图；

图18a是根据本发明实施例的四次幂级数近似产生的反射系数振幅近似误差图；

图18b是根据本发明实施例的四次幂级数近似产生的反射系数相位近似误差图；

图19a是根据本发明实施例的二次幂级数近似产生的反射系数振幅近似误差图；

图19b是根据本发明实施例的二次幂级数近似产生的反射系数相位近似误差图。

具体实施方式

本发明的主要思想在于，基于假设薄层模型的薄层厚度较小，以简化所述薄层精准反射透射矩阵方程成薄层近似矩阵方程；对入射角取负值，薄层精准反射透射矩阵方程进行三角函数奇偶性变换得到系数矩阵方程，且与薄层精准反射透射矩阵方程对比，建立反透射系数与射线参数的奇偶关系式；对薄层精准反射透射矩阵方程进行所述薄层模型的顶底界面的反射波叠加近似，获得薄层纵波反射的初步近似；对所述薄层纵波反射的初步近似进行阻抗差四次及以上高次项舍弃，以获得薄层纵波反射系数的弱阻抗差近似；对所述弱阻抗差近似式忽略入射角正弦值的高次项，并保留入射角正弦四次幂级数项，以获得薄层纵波的四次幂级数近似；对所述四次幂级数近似保留入射角正弦值二次幂级数项，以获得薄层纵波的二次幂级数近似。如此，薄层反射系数计算更为简洁，更有利于实现薄层AVO反演。

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，以下结合附图及具体实施例，对本发明做进一步地详细说明。

根据本发明的实施例，提供了一种薄层弹性波反射系数快速求解方法。

图1是根据本发明实施例的薄层弹性波反射系数快速求解方法的流程图。

在步骤S102中，根据薄层模型，取得薄层精准反射透射矩阵方程。假设本实施例的薄层模型如图2所示，其中，P为P波，PP为PP波、PS为 PS波，v_Pi,v_Si,ρ_i(i＝1,2,3)分别为各层的纵波、横波速度及密度，h为薄层厚度，α₁、α₂、α₃分别为纵波的波射线与法线的夹角，β₁、β₂、β₃分别为横波的波射线与法线的夹角。由图2的薄层模型，可获得薄层精准反射透射矩阵方程，如式(1)所示：

其中，式(1)中的参数分别如式(1a)、(1b)、(1c)、(1d)、(1e)所示：

a₁₁＝a₄₄＝2sin²β₂cosP+cos2β₂cosQ,

a₁₂＝a₃₄＝-j(tanα₂cos2β₂sinP-sin2β₂sinQ),

a₂₂＝a₃₃＝cos2β₂cosP+2sin²β₂cosQ,

a₃₁＝a₄₂＝2jρ₂ωv_S2sinβ₂cos2β₂(cosQ-cosP),

v_Pi,v_Si,ρ_i(i＝1,2,3)分别为各层的纵波、横波速度及密度，h为薄层厚度，ω为圆频率，ω＝2πf，f为入射波的频率，R_PP、R_PS、T_PP、T_PS分别为薄层的反射、透射系数，P为纵波垂直波数与薄层厚度的乘积，Q为横波垂直波数与薄层厚度的乘积，α₁、α₂、α₃分别为纵波的波射线与法线的夹角，β₁、β₂、β₃分别为横波的波射线与法线的夹角。

在步骤S104中，假设所述薄层模型的薄层厚度远小于波数的倒数，以简化所述薄层精准反射透射矩阵方程成薄层近似矩阵方程。也就是说，设薄层厚度很小，即P<<1,Q<<1(薄层厚度远小于波数的倒数)，存在以下一阶近似：sinP≈P,cosP≈1,sinQ≈Q,cosQ≈1，则式(1)中各参数可简化为式(2a)～(2e)，如下所示：

其中，将式(2a)～(2e)代入式(1)便可得到类似Zoeppritz方程的形式。

在步骤S106中，对入射角取负值，并对所述薄层精准反射透射矩阵方程进行三角函数奇偶性变换得到系数矩阵方程，且将所述系数矩阵方程与所述薄层精准反射透射矩阵方程对比，以建立反透射系数与射线参数的奇偶关系式。

假设入射角为α，则三层介质中纵波的波射线与法线的夹角分别为α₁、α₂、α₃，横波的波射线与法线的夹角分别为β₁、β₂、β₃。并且，根据Snell 定律，可以获得α、α₁、α₂、α₃、β₁、β₂、β₃的关系式，如式(3)所示：

因此，当sinα取值-sinα时，sinα₁、sinα₂、sinα₃、sinβ₁、sinβ₂、sinβ₃相应取值分别为 -sinα₁、-sinα₂、-sinα₃、-sinβ₁、-sinβ₂、-sinβ₃，sin2α₁、sin2α₂、sin2α₃、sin2β₁、sin2β₂、sin2β₃相应取值分别为-sin2α₁、-sin2α₂、-sin2α₃、-sin2β₁、-sin2β₂、-sin2β₃， tanα₁、tanα₂、tanα₃、tanβ₁、tanβ₂、tanβ₃相应取值分别为-tanα₁、-tanα₂、-tanα₃、 -tanβ₁、-tanβ₂、-tanβ₃cosα₁、cosα₂、cosα₃、cosβ₁、cosβ₂、cosβ₃、cos2α₁、cos2α₂、cos2α₃、 cos2β₁、cos2β₂、cos2β₃取值不变。设此时PP波和PS波的反射和透射系数分别为R'_PP、R'_PS、T'_PP、T'_PS，且将上述参数代入式(1)并整理可得系数矩阵方程，如式 (4)所示：

比较式(1)和式(4)，可以获得式(5)，如下所示：

R'_PP＝R_PP,R'_PS＝-R_PS,T'_PP＝T_PP,T'_PS＝-T_PS. (5)

由此可知，薄层非转换波的反射和透射系数是sinα(或射线参数p)的偶函数，而转换波的反射和透射系数是sinα(或射线参数p)的奇函数。

并且，利用反射和透射系数的奇偶性可以将它们表示成sinα的幂级数形式，即建立反透射系数与射线参数的奇偶关系式，如式(6)所示：

其中，AR_2n、AR_2n+1、AT_2n、AT_2n+1分别为R_PP、R_PS、T_PP、T_PS的射线参数表达式中幂级数项的系数。当入射角较小时，sinⁿα随着n的增大迅速衰减，则近似求解出参数AR_2n、AR_2n+1、AT_2n、AT_2n+1，并根据精度需求对式(6)进行高阶舍弃便可获得相应的薄层近似公式，从而实现薄层弹性波反射与透射系数的快速计算。

在步骤S108中，对所述薄层精准反射透射矩阵方程进行所述薄层模型的顶底界面的反射波叠加近似，以获得薄层纵波反射的初步近似。进一步将本实施例的薄层模型建立成如图3所示，对所述薄层精准反射透射矩阵方程进行所述薄层模型的顶底界面的反射波叠加近似，进而获得薄层纵波反射的初步近似，如式(7)所示：

其中，△t是薄层的时间延迟，△t＝2h cosθ₂/V_P2；R₁、R₂分别是顶、底界面的PP波反射系数。

进一步的假设反射界面两侧弹性参数的相对变化很小，式(7)可改写为式 (8)，如下所示：

其中，

V_Pa1＝(V_P2+V_P1)/2；△V_P1＝V_P2-V_P1；V_Sa1＝(V_S2+V_S1)/2；△V_S1＝V_S2-V_S1；

ρ_a1＝(ρ₂+ρ₁)/2；△ρ₁＝ρ₂-ρ₁；θ_a1＝(θ₂+θ₁)/2；

V_Pa2＝(V_P3+V_P2)/2；△V_P2＝V_P3-V_P2；V_Sa2＝(V_S3+V_S2)/2；△V_S2＝V_S3-V_S2；

ρ_a2＝(ρ₃+ρ₂)/2；△ρ₂＝ρ₃-ρ₂；θ_a2＝(θ₃+θ₂)/2；

其中，R(θ₁)为薄层纵波反射系数近似式，R₁(θ_a1)为薄层顶界面纵波反射系数近似式，R₂(θ_a2)为薄层底界面纵波反射系数近似式，△t是薄层的时间延迟，△t＝2h cosθ₂/V_P2，V_Pa1、V_Pa2分别为薄层顶、底界面两侧纵波速度的平均值，ΔV_P1、ΔV_P2分别为薄层顶、底界面两侧纵波速度的差值，V_Sa1、V_Sa2分别为薄层顶、底界面两侧横波速度的平均值，ΔV_S1、ΔV_S2分别为薄层顶、底界面两侧横波速度的差值，ρ_a1、ρ_a2分别为薄层顶、底界面两侧密度的平均值，Δρ₁、Δρ₂分别为薄层顶、底界面两侧密度的差值，θ₁为薄层的入射角，θ_a1为薄层顶界面处入射角与透射角的平均值，θ_a2为薄层底界面处入射角与透射角的平均值。

在步骤S110中，对所述薄层纵波反射的初步近似进行阻抗差四次及以上高次项舍弃，以获得薄层纵波反射系数的弱阻抗差近似。其中，将并将△V_P/V_P四次及以上阶次项舍弃，以获得薄层纵波反射系数的弱阻抗差近似，如式(9)所示：

其中，W₁、W₂分别为薄层顶、底界面处平均横波正弦值的平方，D₁、D₂分别为W₁、W₂与0.25的差值。

在步骤S112中，对所述弱阻抗差近似式忽略入射角正弦值的高次项，并保留入射角正弦四次幂级数项，以获得薄层纵波的四次幂级数近似。在地震勘探所使用的炮检距范围内，入射角θ₁较小时，sinⁿθ₁随着n的增大迅速衰减，可以将式(9)保留至sin⁴θ₁项次(即保留入射角正弦四次幂级数项)，以获得薄层纵波的四次幂级数近似，如式(10)所示：

R(θ₁)＝A+Bsin²θ₁+Csin⁴θ₁, (10)

其中，A、B、C分别为薄层四次幂级数表达式的常数项、二次幂级数项系数及四次幂级数项系数。

由于讨论薄层为弱阻抗差且入射角度较小，可将(θ₂+θ₁)/2、(θ₃+θ₂)/2都近似改写为θ₁，则式(10)中关于sinθ₁多项式的系数分别如式(11)所示：

其中，

在步骤S114中，对所述四次幂级数近似保留入射角正弦值二次幂级数项，以获得薄层纵波的二次幂级数近似。在弱阻抗差四次幂级数近似基础上舍弃sin⁴θ₁项，对薄层反射系数进行二次幂级数近似，以获得薄层纵波的二次幂级数近似，如式(12)所示：

R(θ₁)＝A+B sin²θ₁。 (12)

上述已说明了薄层弹性波反射系数快速求解方法，以下将提供一些实例来验证上述方法的适用性及有效性。

为了验证薄层近似矩阵方程的适用性及有效性，设定四个不同类型的薄层模型如表1所示，分别代表着高阻抗薄层、阻抗递增薄层、低阻抗薄层、阻抗递减薄层；同时模型1和模型3为相反极性反射薄层，模型2和模型4 为相同极性反射薄层。若将2(ρ_iv_i-ρ_i-1v_i-1)/(ρ_iv_i+ρ_i-1v_i-1)(i＝2,3)定义成薄层顶、底界面两侧的阻抗差异，则模型1和模型3的纵波阻抗差异分别为 (0.6667,-0.8372)、(-0.4211,0.7389)，模型2和模型4的纵波阻抗差异分别为(0.3172,0.3689)、(-0.3689,-0.3672)。根据弱阻抗差的定义，即二次及高次项可以忽略不计，模型1～4都为强阻抗模型。以下采取两步来简化模拟及分析过程：一是将薄层厚度以波长的比值表示，其中PP波反射使用PP波波长，PS波反射使用PS波波长；二是只考虑薄层顶、底界面确定的最小临界角范围内的反射和透射。

表1薄层模型参数

在表1中，速度的单位为：m/s，密度的单位为：g/cm³。

遵循关于薄层的定义：层厚小于λ/8的单层为薄层，其中λ为地震波在薄层中的主频对应的波长。由于单频讨论，因此取薄层厚度由λ/8变化到λ/60，其中λ为单频下的PP波或PS波波长。通过计算，可以获得各模型的基本特征信息：模型1为极性相反(+,–)，且临界角为30°的薄层；模型2 为极性相同(+,+)，临界角为30°的薄层；模型3为极性相反(–,+)，临界角为46.16°的薄层；模型4为极性相同(–,–)的薄层。采用薄层精确公式(1)及所提出的近似矩阵公式(2)对不同模型分别计算第一临界角之内的反射系数，绘制反射系数的近似系统误差(100％*(近似值-真实值)/真实值)曲线如图 4-图11所示。

如图4所示，R_PP的振幅近似系统误差在所考虑的薄层厚度范围内均小于等于9.314％。随着薄层厚度的降低及入射角的增大，近似系统误差迅速降低到小于5％，甚至近乎接近于零。对于PS波，在薄层厚度小于λ/10的情况下近似系统误差小于等于5.91％。与PP波情况类似，PS波反射系数的近似系统误差也随着厚度的降低及入射角的增大而迅速降低。当波长与厚度比值相同时，PS波近似系统误差大于PP波，且前者随入射角增大而降低的速率大于后者。对于反射系数的相位而言(如图5所示)，PP波的近似系统误差在λ/8及λ/10情况下大于10％，但对于其它厚度情况，近似系统误差远小于5％。PS波的相位近似系统误差由略大于8％(λ/20)降低到3.4％(λ/60) 左右。

对于模型2而言，如图6所示，R_PP的振幅近似系统误差在所考虑的薄层厚度下(除λ/8外)均小于5％。厚度为λ/8时，近似系统误差在垂直入射时略大于10％，且随着入射角的增加而迅速降低。对于R_PS情况，振幅近似系统误差在入射角小于27°的情况下小于2.42％。当波长与厚度比值相同时， PS波近似系统误差大于PP波(除λ/8)。当入射角接近于临界角时，PS波近似系统误差迅速增大但仍小于8.24％。对于反射系数的相位而言(如图7所示)，PP波的近似系统误差小于5％(除λ/8及λ/10以外)，PS波近似系统误差都小于5％。值得注意的是，PS波反射系数的振幅、相位近似系统误差在接近临界角的时候都出现迅速增大的现象。

如图8所示，模型3的R_PP振幅近似系统误差在所考虑的薄层厚度下均小于等于9.092％，并随着薄层厚度的降低及入射角的增大而降低，尤其对于厚度小于等于λ/20的情况下，近似系统误差小于1.516％。对于R_PS情况，除接近第一临界角时近似系统误差会明显降低外，不同厚度对入射角反映不敏感，且近似系统误差随着厚度的降低而降低。λ/8情况基本保持在14.88％左右，λ/10情况基本保持在11.62％左右，其它情况近似系统误差均小于5％。对于反射系数的相位，由图9可知，R_PP在λ/8、λ/10情况下近似系统误差整体小于10％(不考虑接近临界角情况)，其它情况均小于2.245％。不考虑接近临界角情况，R_PS相位近似系统误差小于3.23％。当入射角接近于临界角时， PS波的近似系统误差呈现出迅速增大的现象。

对于模型4来说，如图10、11所示，R_PP的振幅近似系统误差在所考虑的薄层厚度下(除λ/8外)均小于4.26％。对于R_PS情况，薄层厚度为λ/20 及以下情况近似系统误差均小于5％。对于反射系数的相位：R_PP情况均小于 4.17％；R_PS在λ/20及以下情况均小于3.23％。

与此同时，为了分析阻抗差对薄层近似矩阵方程近似精度的影响，因此建立一系列极性相反阻抗差异由强变弱的薄层模型，如表2所示，其纵波阻抗差异分别为(0.6667,–0.8372)、(0.5031,–0.6842)、(0.2937,–0.4849)、 (0.1374,–0.3333)。

表2极性相反阻抗差异逐渐降低的薄层模型参数

在表2中，速度的单位为：m/s，密度的单位为：g/cm³。

不同厚度情况下的模型1、5、6、7近似系统误差显示：在不考虑接近临界角附近的情况下，R_PP与R_PS振幅近似系统误差都随着阻抗差异的降低而降低；厚度取相应波长的相同倍数时，R_PP的近似精度高于R_PS。以厚度为各自波长的1/20的情况为例，如图12所示，R_PP与R_PS振幅都有较高的近似精度，且在不考虑接近临界角的情况下近似系统误差随着阻抗差异的降低而迅速减小。

由图4-图12的分析，可得知：(1)极薄层近似公式近似精度高，基本可以满足薄层地震反演的精度要求，并且近似系统误差随着薄层厚度及阻抗差异的降低而减小。近似公式可实现反射系数R_PP在厚度小于λ/8情况下近似系统误差小于10％，且随着厚度的降低近似精度提高。R_PS近似精度稍差，但近似精度也会随着薄层厚度的降低和阻抗差的减小而增大。(2)考虑厚度分别取相应波长的相同倍数时，对比R_PP与R_PS振幅近似精度，薄层极性相同的情况下除λ/8以外前者的近似精度高于后者。(3)除了如模型1所代表的强阻抗差模型外，当薄层模型存在临界角时(模型2、3)，PS波在临界角附近近似系统误差迅速增大，此时近似方程将不再适用。(4)当薄层厚度小于λ/10时，相位近似系统误差小于10％。

另外，为了验证薄层弱阻抗差及小角度近似公式的适用性及有效性，以下分为两个部分进行讨论：一是对如表1的典型薄层模型进行分析；二是固定薄层围岩岩性，通过修改薄层与围岩之间的阻抗差异来研究近似公式对弱阻抗差变化的精度。

如表1所示的典型薄层模型，模型1～模型4的阻抗差异分别为(0.6667, –0.8372)、(0.3172,0.3689)、(–0.4211,0.7389)、(–0.3689,–0.3672)，根据Aki 和Richard(1980)关于弱阻抗差的定义，即二次及高次项可以忽略不计，模型1～4都为强阻抗模型。采用薄层精确公式(1)及本发明所提出的近似公式对不同模型分别计算45Hz、λ/8厚情况下PP波入射时的近似反射系数，并加入公式(7)近似系统误差进行对比，反射系数的振幅与相位的近似系统误差，如图13～16所示。在图13～16中，采用简化符号，即WID、FPS、TPS 分别表示弱阻抗差近似、四次幂级数近似及二次幂级数近似，且统称为三种近似式，SAA为公式(7)产生的近似系统误差。

对于模型1而言，三种近似公式的近似效果都很差(如图13所示)，考虑在近似求解过程中存在弱阻抗差的假设，而该模型薄层介质与围岩阻抗差异很大，顶、底界面处阻抗差异分别为(0.6667,–0.8372)，近似公式对其不适用。对比近似公式与SAA近似所产生的系统误差，可以发现：SAA的高误差被后续提出的三种近似公式所继承，以上近似式对于如模型1这种强阻抗差薄层模型不再适用。

模型2为薄层顶、底界面同为正极性且临界角为30°情况。如图14所示，三种近似式的振幅近似系统误差在小角度范围(0°,19°)内小于10％。同时， SAA的近似精度高于这些近似式。当入射角接近于临界角时，FPS和TPS 的近似系统误差会随着入射角的增加而迅速增大，且前者的近似精度略高于后者。对于相位近似而言，WID的近似系统误差小于10％，FPS和TPS在入射角小于25°的情况下近似系统误差小于10％。

模型3为顶、底界面极性相反(–，+)的薄层模型，临界角约为46.16°。由图15可知，反映规律与模型2类似，WID在整个拟合角度范围内近似精度高，最大相对系统误差小于等于7％；FPS及TPS在小角度范围内近似精度较高(0°～37°系统误差小于10％)，无法反映薄层反射系数接近临界角的变化趋势。同时，这三种近似式在小角度范围内近似精度相当。SAA近似系统误差略大于WID。对于相位而言，近似系统误差在0°～40°范围内小于 5％，在临界角范围内小于10％。

模型4为薄层顶、底界面同为负极性的情况。如图16所示，WID在整个拟合范围内都较为精准，幅值最大相对系统误差约为6.2％。设定10％为最大可接受近似系统误差，则FPS在0°～56°满足该近似条件，TPS在入射角小于36°的情况下满足该条件。对于相位，三种近似式的近似精度整体都比振幅近似要高。与模型2类似，SAA近似系统误差略高于以上近似式。

由图13-图16的分析，可得知：(1)弱阻抗差及小角度近似是建立在弱阻抗差假设前提下的，适用于较弱阻抗差薄层(模型2、模型3、模型4)。 (2)对于存在临界角的薄层模型，WID在入射角小于临界角的范围内适用，而FPS和TPS可适用的最大入射角约为临界角减去10°。(3)对于不存在临界角的薄层模型，如模型4，FPS比TPS具有更宽的可接受入射角范围。(4) 在小角度范围内，三种近似式的近似精度相当，因此幂级数近似因其形式简单较弱阻抗差近似适用性更强。(5)相位近似精度整体要高于振幅近似，模型测试中最大近似系统误差基本上小于10％。

由于近似公式都是在弱阻抗差薄层模型的基础上提出的，故根据不同薄层阻抗差设置一系列模型，并采用薄层精确公式及本发明所提出的近似公式对不同模型分别计算50Hz、5m厚情况下PP波在0°～30°入射角范围内的近似反射系数并分析近似系统误差。薄层顶部、底部围岩弹性参数相同，设定V_P1＝3000m/s、V_S1＝1414m/s、ρ₁＝2.29g/cm³，中间薄层参数如表3所示。近似反射系数公式所产生的系统误差值如图17a-图19b所示。

由于取薄层顶部、底部围岩弹性参数相同，则薄层模型顶、底界面处的速度差(△V_P/V_P)互为相反数，表3中△V_P/V_P的正负值是根据薄层顶界面设定的，则薄层底界面处的△V_P/V_P分别为0.25、0.1、0.05、0.01、–0.01、–0.05、–0.1、–0.25。由表3中的λ/8可知，5m薄层对于所设模型波长而言，随着纵波速度差由–0.25逐渐变为0.25，薄层厚度也由1/9.3336波长变为 1/15.4288波长，波长与厚度的比值分别为9.3336、10.8568、11.4144、11.8808、12.1208、12.6152、13.2632、15.4288。即随着速度差的改变，薄层厚度与波长的比值也在变小。由表3中临界角数值可以得知：所设模型的临界角都远大于近似分析中设定的最大角度30°，可以保证反射系数近似不受临界角处数值突变的影响。

表3薄层模型参数

在表3中，速度的单位为：m/s，密度的单位为：g/cm³。

如图17a、17b所示，WID近似系统误差随着P波速度差绝对值及入射角的增加而增大。当P波速度差绝对值等于0.01及0.05时,WID近似精度很高，最大近似系统误差分别小于5％、10％。当速度差绝对值等于0.1时，近似系统误差在0°～25°范围内小于10％。当P波速度差等于–0.25时，近似系统误差在0°～25°范围内小于10％；然而对于+0.25情况，满足该近似精度的最大入射角为13°。对于速度差互为相反数的情况下，如–0.1和+0.1，在小角度范围内具有相似的近似精度(<5％)，而在大角度范围内，正纵波速度差模型的近似系统误差比负纵波速度差模型的近似系统误差更大。换言之，WID对顶、底极性为(–，+)的薄层适用性比(+，–)要强。相比反射系数振幅，相位具有更高的近似精度，在入射角小于18°的情况下最大近似系统误差小于5％。

相比于WID近似，FPS在入射角小于13度时具有相似的近似精度(如图18a、18b所示)。对于正纵波速度差模型，相位近似系统误差随着入射角的增加比WID情况显示更快的升高趋势。对于负纵波速度差模型，相位近似在入射角小于30°的情况下系统误差更小(<10％)。

相比WID和FPS，TPS在入射角小于13度时具有相似的近似精度(如图 19a、19b所示)。对于负纵波速度差模型，相位近似在入射角小于30°的情况下系统误差更小(<5％)。

由图17a-19b的分析，可得知：(1)三种近似式对顶、底极性为(–，+) 的适用性比(+，–)要强。(2)近似系统误差随着纵波速度差绝对值及入射角的增加而增大。(3)在小角度范围内，TPS的近似精度与WID和FPS相似，都小于10％。(4)除较大正值速度差外，三种近似式对于薄层反射系数相位的近似程度高于振幅近似。

综上所述，根据本发明的技术方案，通过假设薄层模型的薄层厚度较小，以简化所述薄层精准反射透射矩阵方程成薄层近似矩阵方程；对入射角取负值，薄层精准反射透射矩阵方程进行三角函数奇偶性变换得到系数矩阵方程，且与薄层精准反射透射矩阵方程对比，建立反透射系数与射线参数的奇偶关系式；对薄层精准反射透射矩阵方程进行所述薄层模型的顶底界面的反射波叠加近似，获得薄层纵波反射的初步近似；对所述薄层纵波反射的初步近似进行阻抗差四次及以上高次项舍弃，以获得薄层纵波反射系数的弱阻抗差近似；对所述弱阻抗差近似式忽略入射角正弦值的高次项，并保留入射角正弦四次幂级数项，以获得薄层纵波的四次幂级数近似；对所述四次幂级数近似保留入射角正弦值二次幂级数项，以获得薄层纵波的二次幂级数近似。如此，薄层反射系数计算更为简洁，更有利于实现薄层AVO反演。

以上所述仅为本发明的实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的权利要求范围之内。

Claims

1.一种薄层弹性波反射系数快速求解方法，其特征在于，包括以下步骤：

根据薄层模型，取得薄层精准反射透射矩阵方程；

假设所述薄层模型的薄层厚度远小于波数的倒数，以简化所述薄层精准反射透射矩阵方程成薄层近似矩阵方程；

对入射角取负值，并对所述薄层精准反射透射矩阵方程进行三角函数奇偶性变换得到系数矩阵方程，且将所述系数矩阵方程与所述薄层精准反射透射矩阵方程对比，以建立反透射系数与射线参数的奇偶关系式；

对所述薄层精准反射透射矩阵方程进行所述薄层模型的顶底界面的反射波叠加近似，以获得薄层纵波反射的初步近似；

对所述薄层纵波反射的初步近似进行阻抗差四次及以上高次项舍弃，以获得薄层纵波反射系数的弱阻抗差近似；

对所述弱阻抗差近似式忽略入射角正弦值的高次项，并保留入射角正弦四次幂级数项，以获得薄层纵波的四次幂级数近似；

对所述四次幂级数近似保留入射角正弦值二次幂级数项，以获得薄层纵波的二次幂级数近似。

2.根据权利要求1所述的薄层弹性波反射系数快速求解方法，其特征在于，所述薄层精准反射透射矩阵方程满足如下公式：

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其中，

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a₁₁＝a₄₄＝2sin²β₂cos P+cos2β₂cos Q,

a₁₂＝a₃₄＝-j(tanα₂cos2β₂sin P-sin2β₂sin Q),

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a₂₂＝a₃₃＝cos2β₂cos P+2sin²β₂cos Q,

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a₃₁＝a₄₂＝2jρ₂ωv_S2sinβ₂cos2β₂(cos Q-cos P),

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v_Pi,v_Si,ρ_i分别为各层的纵波、横波速度及密度，其中i＝1,2,3，h为薄层厚度，ω为圆频率，ω＝2πf，f为入射波的频率，R_PP、R_PS、T_PP、T_PS分别为薄层的反射、透射系数，P为纵波垂直波数与薄层厚度的乘积，Q为横波垂直波数与薄层厚度的乘积，α₁、α₂、α₃分别为纵波的波射线与法线的夹角，β₁、β₂、β₃分别为横波的波射线与法线的夹角。

3.根据权利要求2所述的薄层弹性波反射系数快速求解方法，其特征在于，所述薄层近似矩阵方程满足如下公式：

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其中：

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m₁₃＝sinα₃ m₁₄＝cosβ₃

m₂₃＝cosα₃ m₂₄＝-sinβ₃

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4.根据权利要求2所述的薄层弹性波反射系数快速求解方法，其特征在于，所述系数矩阵方程满足如下公式：

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>m</mi> <mn>11</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>m</mi> <mn>12</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>m</mi> <mn>13</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>m</mi> <mn>14</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>m</mi> <mn>21</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>m</mi> <mn>22</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>m</mi> <mn>23</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>m</mi> <mn>24</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>m</mi> <mn>31</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>m</mi> <mn>32</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>m</mi> <mn>33</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>m</mi> <mn>34</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>m</mi> <mn>41</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>m</mi> <mn>42</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>m</mi> <mn>43</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>m</mi> <mn>44</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&CenterDot;</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>R</mi> <mrow> <mi>P</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mo>&prime;</mo> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>R</mi> <mrow> <mi>P</mi> <mi>S</mi> </mrow> <mo>&prime;</mo> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>T</mi> <mrow> <mi>P</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mo>&prime;</mo> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>T</mi> <mrow> <mi>P</mi> <mi>S</mi> </mrow> <mo>&prime;</mo> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>n</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>n</mi> <mn>3</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>n</mi> <mn>4</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> </mrow>

所述系数矩阵方程与所述薄层精准反射透射矩阵方程对比满足如下公式：

R′_PP＝R_PP,R′_PS＝-R_PS,T′_PP＝T_PP,T′_PS＝-T_PS.

所述反透射系数与射线参数的奇偶关系式满足如下公式：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mi>P</mi> <mi>P</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mi>&infin;</mi> </munderover> <msub> <mi>AR</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>sin</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>&alpha;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mi>P</mi> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mi>&infin;</mi> </munderover> <msub> <mi>AR</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>sin</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>&alpha;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>P</mi> <mi>P</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mi>&infin;</mi> </munderover> <msub> <mi>AT</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>sin</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>&alpha;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>P</mi> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mi>&infin;</mi> </munderover> <msub> <mi>AT</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>sin</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>&alpha;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> </mrow>

其中，AR_2n、AR_2n+1、AT_2n、AT_2n+1分别为R_PP、R_PS、T_PP、T_PS的射线参数表达式中幂级数项的系数。

5.根据权利要求2所述的薄层弹性波反射系数快速求解方法，其特征在于，所述薄层纵波反射的初步近似满足如下公式：

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其中，

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ρ_a1＝(ρ₂+ρ₁)/2；△ρ₁＝ρ₂-ρ₁；θ_a1＝(θ₂+θ₁)/2；

ρ_a2＝(ρ₃+ρ₂)/2；△ρ₂＝ρ₃-ρ₂；θ_a2＝(θ₃+θ₂)/2；

6.根据权利要求5所述的薄层弹性波反射系数快速求解方法，其特征在于，所述弱阻抗差近似满足如下公式：

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>R</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&theta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&ap;</mo> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>D</mi> <mn>1</mn> </msub> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&Delta;&rho;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>&rho;</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>sec</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>&theta;</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&Delta;V</mi> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> </mrow> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>P</mi> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>4</mn> <msub> <mi>W</mi> <mn>1</mn> </msub> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&Delta;V</mi> <mrow> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>S</mi> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msub> 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7.根据权利要求6所述的薄层弹性波反射系数快速求解方法，其特征在于，所述四次幂级数近似满足如下公式：

R(θ₁)＝A+B sin²θ₁+C sin⁴θ₁，

8.根据权利要求7所述的薄层弹性波反射系数快速求解方法，其特征在于，所述二次幂级数近似满足如下公式：

R(θ₁)＝A+B sin²θ₁。