CN105608266B - 基于分数阶微积分的pwm整流器建模方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于分数阶微积分的PWM整流器建模方法，基于Caputo定义的分数阶微积分理论和瞬时功率理论，建立单相PWM整流器的精确数学模型。首先，确定单相PWM整流器在静止坐标系中的电压和电流方程；接着，基于Caputo定义建立单相PWM整流器分数阶电感方程和分数阶电容方程，并给出单相PWM整流器的输入瞬时功率方程和输出瞬时功率方程；最后，给出输入瞬时功率和输出瞬时功率中的直流分量方程和交流分量方程，并基于数值仿真，验证基于分数阶微积分建立的单相PWM整流器分数阶模型的精确性。本发明由于在建模过程中考虑了电容电感在本质上是分数阶的事实，从而提高了单相PWM整流器建模的精度。
Description
技术领域
本发明属于电力电子与电力传动技术领域，具体涉及一种基于分数阶微积分的PWM整流器建模方法。
背景技术
分数阶微积分几乎与整数阶微积分同时出现，但相比于整数阶微积分，分数阶微积分因其长期没有实际应用背景而发展缓慢。近年来，对电感和电容数学建模的研究结果表明：整数阶的电感和电容在实际中并不存在。基于分数阶微积分建立许多实际系统的数学模型将比基于整数阶微积分建立这些系统的数学模型更为精确，即基于分数阶微积分理论建立的电感和电容模型更能反映其电特性，也更能反映这些实际系统的本质，且可以使理论的数学模型和实际系统之间达到真正的统一。
目前在开关功率变换器建模领域的研究，均是在认为电容和电感是整数阶的前提下进行的，所建立的开关功率变换器的模型均为整数阶数学模型。然而，由于电容电感在本质上是分数阶的，这将导致采用整数阶模型描述开关功率变换器是不够精确的，也是与开关功率变换器的分数阶本质相违背的。目前，关于这方面的研究尚不充分，且研究的也不够深入。文献“王发强，马西奎.电感电流连续模式下Boost变换器的分数阶建模与仿真分析[J].物理学报，2011，60(7)：1-8”对工作于电感电流连续模式下的Boost变换器进行了分数阶区间数学模型和分数阶状态平均模型的建立和分析，但并未涉及单相PWM整流器的分数阶建模及仿真。
综上所述，考虑到目前整流器精确建模存在的问题，需要一种新的整流器精确建模方法以解决上述问题。
发明内容
为克服上述缺陷，本发明提供了一种基于分数阶微积分的PWM整流器建模方法，该方法基于Caputo定义的分数阶微积分理论和瞬时功率理论，实现了单相PWM整流器的精确建模。
为实现上述目的，本发明提供一种基于分数阶微积分的PWM整流器建模方法，其改进之处在于，所述方法包括以下步骤：
步骤1：先对函数f(t)进行n阶的微分，然后再进行(n-χ)阶的积分，确定出f(t)的基于Caputo定义的分数阶积分表达形式为：
其中，f(t)为时间变量t的函数，n为正整数，χ为分数阶算子，且n-1≤χ≤n，b为微分的下限，τ为时间变量，且τ∈(b，t)，J表示求积分运算，D表示求导运算，d表示微分算子，Γ(·)为Gamma函数，且Γ(n)＝(n-1)！；
步骤2：根据步骤1中的基于Caputo定义的分数阶积分表达形式，对常数K求导，可得：
步骤3：给出单相PWM整流器的电压方程为：
其中，uA为开关器件T1下侧A点的电压，uB为开关器件T2下侧B点的电压，udc为直流侧电容两端的电压，s1和s2分别为开关器件T1和T2的驱动信号，L为电源电感，r为电感内阻和系统开关损耗的等效电阻，iL为流过L的电流，α为电感的分数阶微分算子，us为电网电压；
步骤4：给出单相PWM整流器的电流方程为：
其中，idc为单相PWM整流器的直流侧输出电流，C为单相PWM整流器的直流侧电容，R为直流负载，ic为直流侧电容C中流过的电流，io为直流负载R中流过的电流，β为电容的分数阶微分算子；
步骤5：综合步骤3和步骤4，可以得到单相PWM整流器的等效分数阶数学模型为：
步骤6：确定单相PWM整流器的输入瞬时功率，设定理想情况下电网电压us＝Umsin(ωt)，电网电流iL＝Imsin(ωt-θ)，其中Um和Im分别为电网电压和电网电流的峰值，ω为电网电压频率，θ为电流滞后电压的相位，可得单相PWM整流器的输入瞬时功率Pi为：
进而可得：
udc＝Udc+u′dc
其中，Udc为单相PWM整流器直流侧电容电压的直流分量，u′dc为单相PWM整流器直流侧电容电压的交流分量；
则单相PWM整流器的输出瞬时功率Po为：
其中，Io为R中所流过电流的直流分量；
步骤7：忽略高阶小量，并根据Caputo定义中关于常数的求导，可得：
步骤8：对于单相PWM整流器直流侧电容电压的直流分量，有：
而代入上式则有：
步骤9：对于单相PWM整流器直流侧电容电压的交流分量，有：
同理，对单相PWM整流器，进行整数阶模型分析时，即电感和电容的阶次均为整数1时，可得：
步骤10：对整数阶模型的输入瞬时功率和输出瞬时功率进行理论分析，分别讨论分数阶的阶次为非整数和整数时，单相PWM整流器直流侧电容电压的直流分量Udc和交流分量u′dc的异同；
步骤11：基于Matlab/Simulink软件的仿真环境，建立单相PWM整流器的整数阶电路仿真模型，并运行仿真，记录相应的仿真结果；基于Matlab/Simulink软件的仿真环境，将电容和电感的分数阶次进行近似模拟处理，建立单相PWM整流器的等效分数阶电路仿真模型，并运行仿真，记录相应的仿真结果；
步骤12：对比分析单相PWM整流器的整数阶电路仿真模型和等效分数阶电路仿真模型的仿真结果；当电感的仿真结果与误差分析不满足要求时，返回到步骤3，调整电感的分数阶微分算子α；当电容的仿真结果与误差分析不满足要求时，返回到步骤4，调整电容的分数阶微分算子β；
步骤13：分别搭建单相PWM整流器的整数阶实际电路和分数阶实际电路，并进行整数阶实际电路和分数阶实际电路的实验，验证整数阶电路仿真模型和等效分数阶电路仿真模型的精度。
所述单相PWM整流器的等效分数阶电路仿真模型中，电容和电感的模型是基于分数阶次建立的。
所述分数阶算子采用整数阶多项式进行近似模拟。
与现有技术相比，本发明基于分数阶微积分的PWM整流器建模方法具有以下优势：相比于单相PWM整流器的整数阶模型，基于分数阶微积分理论建立的单相PWM整流器的分数阶模型能更真实描述单相PWM整流器的实际动力学行为，更能反映单相PWM整流器的本质特性。
附图说明
图1为本发明所述单相PWM整流器的拓扑结构图。
图2为本发明分数阶电容的等效电路仿真模型。
图3为α＝1、β＝0.8时整流器直流侧电容电压的仿真波形。
图4为整流器直流侧在负载突变时的直流侧电容电压波形。
图5为α＝1、β＝1时整流器直流侧电容电压的仿真波形。
图6为α＝1、β＝1，且负载突变时的整流器直流侧电容电压的仿真波形。
具体实施方式
步骤1：先对函数f(t)进行n阶的微分，然后再进行(n-χ)阶的积分，确定出f(t)的基于Caputo定义的分数阶积分表达形式为：
其中，f(t)为时间变量t的函数，n为正整数，χ为分数阶算子，且n-1≤χ≤n，b为微分的下限，τ为时间变量，且τ∈(b，t)，J表示求积分运算，D表示求导运算，d表示微分算子，Γ(·)为Gamma函数，且Γ(n)＝(n-1)！；
步骤2：根据步骤1中的基于Caputo定义的分数阶积分表达形式，对常数K求导，可得：
步骤3：给出单相PWM整流器的电压方程为：
其中，uA为开关器件T1下侧A点的电压，uB为开关器件T2下侧B点的电压，udc为直流侧电容两端的电压，s1和s2分别为开关器件T1和T2的驱动信号，L为电源电感，r为电感内阻和系统开关损耗的等效电阻，iL为流过L的电流，α为电感的分数阶微分算子，us为电网电压；
步骤4：给出单相PWM整流器的电流方程为：
其中，idc为单相PWM整流器的直流侧输出电流，C为单相PWM整流器的直流侧电容，R为直流负载，ic为直流侧电容C中流过的电流，io为直流负载R中流过的电流，β为电容的分数阶微分算子；
步骤5：综合步骤3和步骤4，可以得到单相PWM整流器的等效分数阶数学模型为：
步骤6：确定单相PWM整流器的输入瞬时功率，设定理想情况下电网电压us＝Umsin(ωt)，电网电流iL＝Imsin(ωt-θ)，其中Um和Im分别为电网电压和电网电流的峰值，ω为电网电压频率，θ为电流滞后电压的相位，可得单相PWM整流器的输入瞬时功率Pi为：
进而可得：
udc＝Udc+u′dc
其中，Udc为单相PWM整流器直流侧电容电压的直流分量，u′dc为单相PWM整流器直流侧电容电压的交流分量；
则单相PWM整流器的输出瞬时功率Po为：
其中，Io为R中所流过电流的直流分量；
步骤7：忽略高阶小量，并根据Caputo定义中关于常数的求导，可得：
步骤8：对于单相PWM整流器直流侧电容电压的直流分量，有：
而代入上式则有：
步骤9：对于单相PWM整流器直流侧电容电压的交流分量，有：
同理，对单相PWM整流器，进行整数阶模型分析时，即电感和电容的阶次均为整数1时，可得：
步骤10：对整数阶模型的输入瞬时功率和输出瞬时功率进行理论分析，分别讨论分数阶的阶次为非整数和整数时，单相PWM整流器直流侧电容电压的直流分量Udc和交流分量u′dc的异同；
步骤11：基于Matlab/Simulink软件的仿真环境，建立单相PWM整流器的整数阶电路仿真模型，并运行仿真，记录相应的仿真结果；基于Matlab/Simulink软件的仿真环境，将电容和电感的分数阶次进行近似模拟处理，建立单相PWM整流器的等效分数阶电路仿真模型，并运行仿真，记录相应的仿真结果；
步骤12：对比分析单相PWM整流器的整数阶电路仿真模型和等效分数阶电路仿真模型的仿真结果；当电感的仿真结果与误差分析不满足要求时，返回到步骤3，调整电感的分数阶微分算子α；当电容的仿真结果与误差分析不满足要求时，返回到步骤4，调整电容的分数阶微分算子β；
步骤13：分别搭建单相PWM整流器的整数阶实际电路和分数阶实际电路，并进行整数阶实际电路和分数阶实际电路的实验，验证整数阶电路仿真模型和等效分数阶电路仿真模型的精度。
所述单相PWM整流器的等效分数阶电路仿真模型中，电容和电感的模型是基于分数阶次建立的。
所述分数阶算子采用整数阶多项式进行近似模拟。
通过对整数阶模型进行输入瞬时功率和输出瞬时功率的理论分析可知：
(1)单相PWM整流器直流电容电压直流分量Udc和分数阶模型的相同，也即是说，采用整数阶次建立的模型和采用分数阶次建立的模型，在电路其他参数相同的情况下，最终通过整流得到的直流电压是大小相同的，没有差别；
(2)而交流分量为：
根据分数阶的知识可知，当分数阶的阶次为0≤α≤1，0≤β≤1时，直流电压udc的交流分量u′dc的波动范围比整数阶(即α＝1，β＝1时)的大，但波动频率都是电网电压频率的2倍。
实施例
下面结合附图进一步阐明本发明。图1为本发明所述单相PWM整流器的拓扑结构图。图1中，us为电网电压，T1、T2、T3、T4为开关器件，r为电感内阻和系统开关损耗的等效电阻，L为电源电感，C为单相PWM整流器的直流侧电容，R为直流负载，uA为开关器件T1下侧A点的电压，uB为开关器件T2下侧B点的电压，udc为直流侧电容C两端的电压，iL为流过L的电流，io为直流负载R中流过的电流，idc为单相PWM整流器的直流侧输出电流，ic为直流侧电容C中流过的电流。
根据分抗链形式确定分数阶电容的等效电路仿真模型，如图2所示。图2中，n非负整数。当Cβ＝6000μF，β＝0.8时，取n＝5，则图2中的各电阻值分别为R1＝6.3kΩ，R2＝292.3Ω，R3＝28.3Ω，R4＝2.83Ω，R5＝0.3Ω；基于改进的Oustaloup分数阶微积分滤波器算法，确定出各电容值分别为C1＝11.88mF，C2＝14.4mF，C3＝8.34mF，C4＝4.68mF，C5＝2.52mF。
为了验证分数阶微积分建模理论推导的正确性，以及上述建模方法的有效性，系统仿真使用Matlab/Simulink软件，电源电感L＝3mH，电感阶次α＝1，直流侧电容C＝6000μF，电容阶次β＝0.8，网侧输入的正弦电压有效值为220V、开关管的开关频率为4kHz，使用单极性调制方式，控制电路采用电压电流双闭环控制，使用常规的整数阶PID控制器。仿真中，分数阶模型和整数阶模型除电容的阶次不同外，其他条件都相同。图3为α＝1、β＝0.8时整流器直流侧电容电压的仿真波形。
从图3的仿真波形可以看出：
(1)udc的直流分量Udc为500V，在0.15s时直流电压的波动变小，基本保持在500V左右，表示电压波形趋于稳定。
(2)而对于交流分量来说，其波动频率是电网电压频率的2倍，但电压的波动峰峰值为30V，是直流分量的6％。
图4为整流器直流侧在负载突变时的直流侧电容电压波形。在0.5s时负载电阻R由初始值178Ω突变为17.8Ω，由图4可知，在负载电流变大时，直流侧电压也发生了较大的变动；等效电路很快做出反应，最终在0.62s时达到稳定状态，分数阶模型在0.12s的时间内完成了在电路负载发生突变时的响应。图5为α＝1、β＝1时整流器直流侧电容电压的仿真波形。
从图4和图5的仿真波形图可以看出：
(1)udc的直流分量Udc也是500V，和分数阶模型的直流分量相同，这说明了直流分量Udc与电容阶次无关；
(2)而对于交流分量来说，其波动频率是电网电压频率的2倍，其波动峰值为1.5V，是直流分量的0.8％；由图5可以看出，电压的波动值很小，整体比较平缓。
(3)在0.2s时直流电压才开始稳定在500V左右。
图6为α＝1、β＝1、且负载突变时的整流器直流侧电容电压的仿真波形。由图6可知，同分数阶模型一样，在0.5s时负载电阻R由178Ω突变为17.8Ω，最终在0.9s时达到稳定状态，整数阶模型在0.4s的时间内完成了在电路负载发生突变时的响应，相比分数阶模型的0.12s，响应时间滞后严重。
Claims (3)
1.一种基于分数阶微积分的PWM整流器建模方法，其特征在于包括以下步骤：
步骤1：先对函数f(t)进行n阶的微分，然后再进行(n-χ)阶的积分，确定出f(t)的基于Caputo定义的分数阶积分表达形式为：
其中，f(t)为时间变量t的函数，n为正整数，χ为分数阶算子，且n-1≤χ≤n，b为微分的下限，τ为时间变量，且τ∈(b，t)，J表示求积分运算，D表示求导运算，d表示微分算子，Γ(·)为Gamma函数，且Γ(n)＝(n-1)！；
步骤2：根据步骤1中的基于Caputo定义的分数阶积分表达形式，对常数K求导，可得：
步骤3：给出单相PWM整流器的电压方程为：
其中，uA为开关器件T1下侧A点的电压，uB为开关器件T2下侧B点的电压，udc为直流侧电容两端的电压，s1和s2分别为开关器件T1和T2的驱动信号，L为电源电感，r为电感内阻和系统开关损耗的等效电阻，iL为流过L的电流，α为电感的分数阶微分算子，us为电网电压；
步骤4：给出单相PWM整流器的电流方程为：
其中，idc为单相PWM整流器的直流侧输出电流，C为单相PWM整流器的直流侧电容，R为直流负载，ic为直流侧电容C中流过的电流，io为直流负载R中流过的电流，β为电容的分数阶微分算子；
步骤5：综合步骤3和步骤4，可以得到单相PWM整流器的等效分数阶数学模型为：
步骤6：确定单相PWM整流器的输入瞬时功率，设定理想情况下电网电压us＝Umsin(ωt)，电网电流iL＝Imsin(ωt-θ)，其中Um和Im分别为电网电压和电网电流的峰值，ω为电网电压频率，θ为电流滞后电压的相位，可得单相PWM整流器的输入瞬时功率Pi为：
进而可得：
udc＝Udc+u′dc
其中，Udc为单相PWM整流器直流侧电容电压的直流分量，u′ dc为单相PWM整流器直流侧电容电压的交流分量；
则单相PWM整流器的输出瞬时功率Po为：
其中，Io为R中所流过电流的直流分量；
步骤7：忽略高阶小量，并根据Caputo定义中关于常数的求导，可得：
步骤8：对于单相PWM整流器直流侧电容电压的直流分量，有：
而代入上式则有：
步骤9：对于单相PWM整流器直流侧电容电压的交流分量，有：
同理，对单相PWM整流器，进行整数阶模型分析时，即电感和电容的阶次均为整数1时，可得：
步骤10：对整数阶模型的输入瞬时功率和输出瞬时功率进行理论分析，分别讨论分数阶的阶次为非整数和整数时，单相PWM整流器直流侧电容电压的直流分量Udc和交流分量u′dc的异同；
步骤11：基于Matlab/Simulink软件的仿真环境，建立单相PWM整流器的整数阶电路仿真模型，并运行仿真，记录相应的仿真结果；基于Matlab/Simulink软件的仿真环境，将电容和电感的分数阶次进行近似模拟处理，建立单相PWM整流器的等效分数阶电路仿真模型，并运行仿真，记录相应的仿真结果；
步骤12：对比分析单相PWM整流器的整数阶电路仿真模型和等效分数阶电路仿真模型的仿真结果；当电感的仿真结果与误差分析不满足要求时，返回到步骤3，调整电感的分数阶微分算子α；当电容的仿真结果与误差分析不满足要求时，返回到步骤4，调整电容的分数阶微分算子β；
步骤13：分别搭建单相PWM整流器的整数阶实际电路和分数阶实际电路，并进行整数阶实际电路和分数阶实际电路的实验，验证整数阶电路仿真模型和等效分数阶电路仿真模型的精度。
2.根据权利要求1所述的基于分数阶微积分的PWM整流器建模方法，其特征在于：所述单相PWM整流器的等效分数阶电路仿真模型中，电容和电感的模型是基于分数阶次建立的。
3.根据权利要求1所述的基于分数阶微积分的PWM整流器建模方法，其特征在于：所述分数阶算子采用整数阶多项式进行近似模拟。
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| PB01 | Publication | ||
| C10 | Entry into substantive examination | ||
| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
| GR01 | Patent grant | ||
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| CF01 | Termination of patent right due to non-payment of annual fee | ||
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Granted publication date: 20181002 Termination date: 20211210 |