CN105574294A - 一种弯曲激波压缩流场气流参数的快速确定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种弯曲激波压缩流场气流参数的快速确定方法，分别独立计算压缩壁面发出的压缩波系与弯曲激波反射的膨胀波系造成的流动参数的变化，在计算过程中，将原流场中的压缩波系简化为汇聚于点S的Prandtl-Meyer压缩波，将原流场中的膨胀波系简化为经过点S的一道膨胀波，根据简化后的Prandtl-Meyer压缩波和膨胀波快速确定流场中的压缩壁面参数、弯曲激波形状、波后参数、流场内流线形状、流线上参数以及出口参数。本发明提供的弯曲激波压缩流场气流参数的快速确定方法，计算过程较为简单，计算结果可达到较高的精度，能够用于对流场的计算和分析。

Description

一种弯曲激波压缩流场气流参数的快速确定方法

技术领域

本发明涉及一种超声速或高超声速弯曲激波压缩流场气流参数的快速确定方法，属于流场气流参数的确定方法。

背景技术

弯曲激波压缩流场中包含前缘激波和等熵压缩波，两者相互作用还会形成反射波系、滑流间断，反射波系和滑流间断又将继续与下游的压缩波产生相互作用，对壁面附近流动产生影响，因此压缩面发出的左行特征线一般不是直线，特征线上的马赫数、压力等参数并不均匀，给流场分析带来了困难，需要借助特征线法、有限体积法等流场计算方法进行计算，其复杂程度较高、计算耗时较多，不利于流场分析和初步设计中的快速估算。

为了进行快速计算，“Numericalmethodandresultsforinviscidsupersonicflowoveracompressiveramp”(EmanuelG)、“弯曲激波压缩面设计及试验研究”(居燕)等文献中仍假设弯曲压缩面附近为Prandtl-Meyer流动，直接根据Prandtl-Meyer方程计算压缩面附近参数，在激波附近则按照激波与离散压缩波的相交来计算激波后参数。而事实上弯曲激波上两者相互作用产生反射波系，下游流场不再是简单的Prandtl-Meyer流动，忽略反射波系的计算将有可能产生较大的误差。文献“超声/高超声速非均匀来流下曲面压缩系统研究”(潘瑾)中尝试了基于设计样本的计算数据进行拟合的方法，建立了弯曲激波坐标的估算公式。但是其结果依赖于所采用的型面设计方法，并且建立过程需要大量的计算样本，因此应用不易扩展，而且拟合过程也会带来误差。

发明内容

发明目的：为了克服现有技术中存在的不足，本发明提供一种超声速或高超声速弯曲激波压缩流场气流参数的快速确定方法，可以近似计算弯曲激波压缩流场中壁面参数、激波形状、波后参数、流场内流线形状、流线上参数以及出口参数，计算方法简单、快速。

技术方案：为实现上述目的，本发明采用的技术方案为：

一种弯曲激波压缩流场气流参数的快速确定方法，分别独立计算压缩壁面发出的压缩波系与弯曲激波反射的膨胀波系造成的流动参数的变化，在计算过程中，将原流场中的压缩波系简化为汇聚于点S的Prandtl-Meyer压缩波，将原流场中的膨胀波系简化为经过点S的一道膨胀波，根据简化后的Prandtl-Meyer压缩波和膨胀波快速确定流场中的压缩壁面参数、弯曲激波形状、波后参数、流场内流线形状、流线上参数以及出口参数。

设自由来流的马赫数、压力和流动方向角分别为M_∞、p_∞和θ_∞，压缩壁面的前缘点与弯曲激波的前缘点重合，记为点O_start(0,0)，压缩壁面的末端点记为W_end，弯曲激波的末端点记为S_end；压缩壁面的形状为y_w＝f(x_w)，0≤x_w≤L；根据压缩壁面形状计算点O_start位置的流动方向角θ_start，然后根据气体动力学中的斜激波关系计算点O_start位置的马赫数M_start和压力p_start；

对原流场中其他参数采用如下方法确定：

(1)在原流场中，经过压缩壁面上点W_i(x_wi,y_wi)的压缩波与弯曲激波的交点记为S_j；从原流场中分离出点W_i之前的压缩波系并简化为汇聚于点S_j的Prandtl-Meyer压缩波，根据点W_i与点O_start的位置关系计算W_i位置的流动方向角θ_wi，然后采用Prandtl-Meyer公式计算点W_i位置的马赫数M_wi和压力p_wi；同时计算自由来流经过转折角等于点W_i位置流动方向角θ_wi时产生的斜激波之后的马赫数压力和流动方向角

对压缩壁面上从点O_start开始的每一点W_i重复该过程，直至点W_i到达点W_end，就确定了原流场中的压缩波造成的压缩壁面的参数变化；

(2)从原流场中分离出点S_j之前的膨胀波系并简化为经过点S_j的一道膨胀波，该膨胀波与压缩壁面的交点记为W_j；该膨胀波导致的转折角δ_j为：

${\mathrm{\δ}}_j=\frac{p_{wi}-{\hat{p}}_{wi}}{\frac{{\mathrm{kM}}_{wi}^2{p}_{wi}}{\sqrt{M_{wi}^2-1}}+\frac{k{\hat{M}}_{wi}^2{\hat{p}}_{wi}}{\sqrt{{\hat{M}}_{wi}^2-1}}}$

式中：k为气体比热容；根据下式计算点W_j的坐标(x_wj,y_wj)：

$x_{wj}=x_{wi}+1.5\frac{y_{wi}{\mathrm{cos\μ}}_{wi}{\mathrm{cos\θ}}_{wi}}{\left(q_{wi}/q_{\mathrm{\∞}}\right){\mathrm{sin\μ}}_{wi}-\sin \left({\mathrm{\μ}}_{wi}+{\mathrm{\θ}}_{wi}\right)}$

μ_wi＝arcsin(1/M_wi)

$q_{\mathrm{\∞}}=p_{\mathrm{\∞}}{M}_{\mathrm{\∞}}\sqrt{\frac{1}{2}(k-1)M_{\mathrm{\∞}}^2+1}$

$q_{wi}=p_{wi}{M}_{wi}\sqrt{\frac{1}{2}(k-1)M_{wi}^2+1}$

对压缩壁面上从点O_start开始的每一点W_j重复该过程，直至点W_j到达点W_end，就确定了原流场中的膨胀波造成的压缩壁面的参数变化；

(3)计算点W_j位置经压缩波和膨胀波合成后流动相对于点O_start的转折角δ_{wj-correction}，

δ_{wj-correction}＝(θ_wj-θ_start)-2δ_j

采用Prandtl-Meyer公式，根据O_start位置的马赫数M_start和压力p_start计算点W_j位置经压缩波和膨胀波合成后的马赫数M_{wj-correction}和压力p_{wj-correction}；

对压缩壁面上从点O_start开始的每一点W_j重复该过程，直至点W_j到达点W_end，就确定了原流场中的压缩波和膨胀波合成后造成的压缩壁面的参数变化；

(4)计算点S_j位置相对于自由来流的转折角δ_{sj-correction}：

δ_{sj-correction}＝θ_wi+δ_j-θ_∞

根据转折角δ_{sj-correction}和气体动力学理论计算点S_j位置的马赫数M_{sj-correction}、压力p_{sj-correction}和流动方向角θ_{sj-correction}；

根据下式计算点S_j的坐标(x_sj,y_sj)：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{sj}=\frac{y_{wi}}{\tan \left({\mathrm{\μ}}_{ws}+{\mathrm{\θ}}_{ws}\right)\left\{1/M_{ws}\left(q_{\mathrm{\∞}}/q_{ws}\right)\sin \left({\mathrm{\μ}}_{ws}+{\mathrm{\θ}}_{ws}\right)\]-1\right\}}+x_{wi}\\ y_{sj}=\frac{y_{wi}}{1-M_{ws}\left(q_{\mathrm{\∞}}/q_{ws}\right)\sin \left({\mathrm{\μ}}_{ws}+{\mathrm{\θ}}_{ws}\right)}\end{array}\right.$

μ_ws＝arcsin(1/M_ws)

$q_{ws}=p_{ws}{M}_{ws}\sqrt{\frac{1}{2}(k-1)M_{ws}^2+1}$

$\left\{\begin{array}{c}{M}_{ws}=\frac{1}{2}(M_{wi-correction}+M_{si-correction})\\ p_{ws}=\frac{1}{2}(p_{wi-correction}+p_{sj-correction})\\ {\mathrm{\θ}}_{ws}=\frac{1}{2}({\mathrm{\θ}}_{wi}+{\mathrm{\θ}}_{si-correction})\end{array}\right.$

对压缩壁面上从点O_start开始的每一点W_j重复该过程，直至点W_j到达点W_end，就确定了弯曲激波的形状和波后气动参数；

(5)在原流场中，经过点W_k的压缩波与以点S_j为起点的流线的交点为R，点R的流动方向角θ_r-correction以及点R相对于点S_j的转折角δ_r-correction为：

θ_r-correction＝θ_wk

δ_r-correction＝(θ_wk-2δ_j)-(θ_wi-2δ_i)

采用Prandtl-Meyer公式计算点R位置的马赫数M_r-correction和压力p_r-correction；根据下式计算点R的坐标(x_r,y_r)：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{r-correction}=x_{wk}+y_{si}{M}_{wr}\left(q_{\mathrm{\∞}}/q_{wr}\right)\cos \left({\mathrm{\μ}}_{wr}+{\mathrm{\θ}}_{wr}\right)\\ y_{r-correction}=y_{wk}+y_{si}{M}_{wr}\left(q_{\mathrm{\∞}}/q_{wr}\right)\sin \left({\mathrm{\μ}}_{wr}+{\mathrm{\θ}}_{wr}\right)\end{array}\right.$

μ_wr＝arcsin(1/M_wr)

$q_{wr}=p_{wr}{M}_{wr}\sqrt{\frac{1}{2}(k-1)M_{wr}^2+1}$

$\left\{\begin{array}{c}{M}_{wr}=\frac{1}{2}(M_{wk-correction}+M_{r-correction})\\ p_{wr}=\frac{1}{2}(p_{wk-correction}+p_{r-correction})\\ {\mathrm{\θ}}_{wr}=\frac{1}{2}({\mathrm{\θ}}_{wk}+{\mathrm{\θ}}_{r-correction})\end{array}\right.$

对压缩壁面上从点W_i开始的每一点W_j重复该过程，直至点W_j到达点W_end，就确定了以点S_j为起点的流线的形状和流线上气动参数；

(6)出口截面的马赫数、压力和总压取为压缩壁面、弯曲激波和流线末端参数的平均值：

$\left\{\begin{array}{c}{M}_{end}=\frac{1}{n+2}\left(M_{w-end}+\underset{r}{\overset{n}{\Σ}}{M}_{r-end}+M_{s-end}\right)\\ p_{end}=\frac{1}{n+2}\left(p_{w-end}+\underset{r}{\overset{n}{\Σ}}{p}_{r-end}+p_{s-end}\right)\\ P_{end}^{*}=\frac{1}{n+2}\left(P_{w-end}^{*}+\underset{r}{\overset{n}{\Σ}}{P}_{r-end}^{*}+P_{s-end}^{*}\right)\end{array}\right.$

式中：n为总的流线数量，M_w-end、p_w-end和为点W_end位置经压缩波和膨胀波合成后的马赫数、压力和总压，M_r-end、p_r-end和为第r条流线末端位置的马赫数、压力和总压，M_s-end、p_s-end和为点S_end位置的马赫数、压力和总压。

有益效果：本发明提供的弯曲激波压缩流场气流参数的快速确定方法，计算过程较为简单，计算结果可达到较高的精度，能够用于对流场的计算和分析。

附图说明

图1为原流场示意图，包括压缩壁面、弯曲激波、压缩壁面发出的压缩波(即左行特征线)和弯曲激波上反射的膨胀波(即右行特征线)；

图2为简化后的Prandtl-Meyer压缩波和膨胀波示意图；

图3为弯曲激波上的点、压缩壁面上的点和流线上的点的计算示意图；

图4为出口截面的计算示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作更进一步的说明。

如图1所示为一种图1是原流场示意图，其中不仅包含前缘激波和压缩波，两者相互作用还会形成反射波系、滑流间断，反射波系和滑流间断又将继续与下游的压缩波产生相互作用，对壁面附近流动产生影响，导致压缩面发出的左行特征线不再是直线，特征线上的马赫数、压力等参数不均匀，这是精确的计算较为繁琐和困难的原因。本发明提出的方法对计算过程进行如下简化：分别独立计算压缩壁面发出的压缩波系与弯曲激波反射的膨胀波系造成的流动参数的变化，在计算过程中，将原流场中的压缩波系简化为汇聚于点S的Prandtl-Meyer压缩波，将原流场中的膨胀波系简化为经过点S的一道膨胀波，根据简化后的Prandtl-Meyer压缩波和膨胀波快速确定流场中的压缩壁面参数、弯曲激波形状、波后参数、流场内流线形状、流线上参数以及出口参数。

设自由来流的马赫数、压力和流动方向角分别为M_∞、p_∞和θ_∞，压缩壁面的前缘点与弯曲激波的前缘点重合，记为点O_start(0,0)，压缩壁面的末端点记为W_end，弯曲激波的末端点记为S_end；压缩壁面的形状为y_w＝f(x_w)，0≤x_w≤L；根据压缩壁面形状计算点O_start位置的流动方向角θ_start，然后根据气体动力学中的斜激波关系计算点O_start位置的马赫数M_start和压力p_start；

对原流场中其他参数采用如下方法确定：

(1)在原流场中，经过压缩壁面上点W_i(x_wi,y_wi)的压缩波与弯曲激波的交点记为S_j；从原流场中分离出点W_i之前的压缩波系并简化为汇聚于点S_j的Prandtl-Meyer压缩波，根据点W_i与点O_start的位置关系计算W_i位置的流动方向角θ_wi，然后采用Prandtl-Meyer公式计算点W_i位置的马赫数M_wi和压力p_wi；同时计算自由来流经过转折角等于点W_i位置流动方向角θ_wi时产生的斜激波之后的马赫数压力和流动方向角

对压缩壁面上从点O_start开始的每一点W_i重复该过程，直至点W_i到达点W_end，就确定了原流场中的压缩波造成的压缩壁面的参数变化；

(2)从原流场中分离出点S_j之前的膨胀波系并简化为经过点S_j的一道膨胀波，该膨胀波与压缩壁面的交点记为W_j；该膨胀波导致的转折角δ_j为：

${\mathrm{\δ}}_j=\frac{p_{wi}-{\hat{p}}_{wi}}{\frac{{\mathrm{kM}}_{wi}^2{p}_{wi}}{\sqrt{M_{wi}^2-1}}+\frac{k{\hat{M}}_{wi}^2{\hat{p}}_{wi}}{\sqrt{{\hat{M}}_{wi}^2-1}}}$

式中：k为气体比热容；根据下式计算点W_j的坐标(x_wj,y_wj)：

$x_{wj}=x_{wi}+1.5\frac{y_{wi}{\mathrm{cos\μ}}_{wi}{\mathrm{cos\θ}}_{wi}}{(q_{wi}/q_{\mathrm{\∞}}){\mathrm{sin\μ}}_{wi}-sin({\mathrm{\μ}}_{wi}+{\mathrm{\θ}}_{wi})}$

μ_wi＝arcsin(1/M_wi)

$q_{\mathrm{\∞}}=p_{\mathrm{\∞}}{M}_{\mathrm{\∞}}\sqrt{\frac{1}{2}(k-1)M_{\mathrm{\∞}}^2+1}$

$q_{wi}=p_{wi}{M}_{wi}\sqrt{\frac{1}{2}(k-1)M_{wi}^2+1}$

对压缩壁面上从点O_start开始的每一点W_j重复该过程，直至点W_j到达点W_end，就确定了原流场中的膨胀波造成的压缩壁面的参数变化；

(3)计算点W_j位置经压缩波和膨胀波合成后流动相对于点O_start的转折角δ_{wj-correction}，

δ_{wj-correction}＝(θ_wj-θ_start)-2δ_j

采用Prandtl-Meyer公式，根据O_start位置的马赫数M_start和压力p_start计算点W_j位置经压缩波和膨胀波合成后的马赫数M_{wj-correction}和压力p_{wj-correction}；

对压缩壁面上从点O_start开始的每一点W_j重复该过程，直至点W_j到达点W_end，就确定了原流场中的压缩波和膨胀波合成后造成的压缩壁面的参数变化；

(4)计算点S_j位置相对于自由来流的转折角δ_{sj-correction}：

δ_{sj-correction}＝θ_wi+δ_j-θ_∞

根据转折角δ_{sj-correction}和气体动力学理论计算点S_j位置的马赫数M_{sj-correction}、压力p_{sj-correction}和流动方向角θ_{sj-correction}；

根据下式计算点S_j的坐标(x_sj,y_sj)：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{sj}=\frac{y_{wi}}{\tan \left({\mathrm{\μ}}_{ws}+{\mathrm{\θ}}_{ws}\right)\left\{1/\[M_{ws}\left(q_{\mathrm{\∞}}/q_{ws}\right)\sin \left({\mathrm{\μ}}_{ws}+{\mathrm{\θ}}_{ws}\right)\]-1\right\}}+x_{wi}\\ y_{sj}=\frac{y_{wi}}{1-M_{ws}\left(q_{\mathrm{\∞}}/q_{ws}\right)\sin \left({\mathrm{\μ}}_{ws}+{\mathrm{\θ}}_{ws}\right)}\end{array}\right.$

μ_ws＝arcsin(1/M_ws)

$q_{ws}=p_{ws}{M}_{ws}\sqrt{\frac{1}{2}(k-1)M_{ws}^2+1}$

$\left\{\begin{array}{c}{M}_{ws}=\frac{1}{2}(M_{wi-correction}+M_{si-correction})\\ p_{ws}=\frac{1}{2}(p_{wi-correction}+p_{sj-correction})\\ {\mathrm{\θ}}_{ws}=\frac{1}{2}({\mathrm{\θ}}_{wi}+{\mathrm{\θ}}_{si-correction})\end{array}\right.$

对压缩壁面上从点O_start开始的每一点W_j重复该过程，直至点W_j到达点W_end，就确定了弯曲激波的形状和波后气动参数；

(5)在原流场中，经过点W_k的压缩波与以点S_j为起点的流线的交点为R，点R的流动方向角θ_r-correction以及点R相对于点S_j的转折角δ_r-correction为：

θ_r-correction＝θ_wk

δ_r-correction＝(θ_wk-2δ_j)-(θ_wi-2δ_i)

采用Prandtl-Meyer公式计算点R位置的马赫数M_r-correction和压力p_r-correction；根据下式计算点R的坐标(x_r,y_r)：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{r-correction}=x_{wk}+y_{si}{M}_{wr}(q_{\mathrm{\∞}}/q_{wr})cos({\mathrm{\μ}}_{wr}+{\mathrm{\θ}}_{wr})\\ y_{r-correction}=y_{wk}+y_{si}{M}_{wr}(q_{\mathrm{\∞}}/q_{wr})sin({\mathrm{\μ}}_{wr}+{\mathrm{\θ}}_{wr})\end{array}\right.$

μ_wr＝arcsin(1/M_wr)

$q_{wr}=p_{wr}{M}_{wr}\sqrt{\frac{1}{2}(k-1)M_{wr}^2+1}$

$\left\{\begin{array}{c}{M}_{wr}=\frac{1}{2}(M_{wk-correction}+M_{r-correction})\\ p_{wr}=\frac{1}{2}(p_{wk-correction}+p_{r-correction})\\ {\mathrm{\θ}}_{wr}=\frac{1}{2}({\mathrm{\θ}}_{wk}+{\mathrm{\θ}}_{r-correction})\end{array}\right.$

对压缩壁面上从点W_i开始的每一点W_j重复该过程，直至点W_j到达点W_end，就确定了以点S_j为起点的流线的形状和流线上气动参数；

(6)出口截面的马赫数、压力和总压取为压缩壁面、弯曲激波和流线末端参数的平均值：

$\left\{\begin{array}{c}{M}_{end}=\frac{1}{n+2}\left(M_{w-end}+\underset{r}{\overset{n}{\Σ}}{M}_{r-end}+M_{s-end}\right)\\ p_{end}=\frac{1}{n+2}\left(p_{w-end}+\underset{r}{\overset{n}{\Σ}}{p}_{r-end}+p_{s-end}\right)\\ P_{end}^{*}=\frac{1}{n+2}\left(P_{w-end}^{*}+\underset{r}{\overset{n}{\Σ}}{P}_{r-end}^{*}+P_{s-end}^{*}\right)\end{array}\right.$

式中：n为总的流线数量，M_w-end、p_w-end和为点W_end位置经压缩波和膨胀波合成后的马赫数、压力和总压，M_r-end、p_r-end和为第r条流线末端位置的马赫数、压力和总压，M_s-end、p_s-end和为点S_end位置的马赫数、压力和总压。

下面结合一个实施例对本发明作出进一步的说明。

来流参数取值为：M_∞＝6，p_∞＝2511Pa，θ_∞＝0°，T_∞＝211.6K。压缩壁面方程为：

$f_w\left(x_w\right)=a_4{x}_w^4+a_3{x}_w^3+a_2{x}_w^2+a_1{x}_w$ 0≤x_w≤L

其中，a₄＝0，a₁＝tan(4°)，压缩面长度L取为1.0m。

与特征线法所得精确解相比，本发明对壁面马赫数计算误差的最大值和均方根值分别为0.3％和0.1％，对壁面压力计算的误差最大值和均方根值分别为1.6％和0.7％。而采用文献“弯曲激波压缩面设计及试验研究”(居燕)所述的方法，对壁面马赫数计算误差最大值和均方根值分别为1.9％和0.9％，对压力计算的误差最大值和均方根值分别为11％和5.1％。

与特征线法所得精确解相比，本发明对激波坐标计算误差的最大值和均方根值分别为3.5％和0.7％，对激波上马赫数计算误差的最大值和均方根值分别为0.5％和0.3％，对激波上压力计算误差的最大值和均方根值分别为1.6％和1.0％。而采用文献“弯曲激波压缩面设计及试验研究”(居燕)所述的方法，对激波上坐标计算误差的最大值和均方根值分别为9.1％和5.1％。

与特征线法所得精确解相比，本发明对起点纵坐标为激波高度1/3位置的流线坐标计算误差的最大值和均方根值分别为0.03％和0.01％，对其马赫数计算误差的最大值和均方根值分别为0.7％和0.6％，对其压力计算的最大值和均方根值分别为2.2％和1.6％。

与特征线法所得精确解相比，本发明所对出口截面平均马赫数、平均压力和平均总压恢复系数的计算误差分别为0.6％、-0.8％和4.1％。

该实施例结果表明，本发明所述方法的计算结果可达到较高的精度。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (2)

1.一种弯曲激波压缩流场气流参数的快速确定方法，其特征在于：分别独立计算压缩壁面发出的压缩波系与弯曲激波反射的膨胀波系造成的流动参数的变化，在计算过程中，将原流场中的压缩波系简化为汇聚于点S的Prandtl-Meyer压缩波，将原流场中的膨胀波系简化为经过点S的一道膨胀波，根据简化后的Prandtl-Meyer压缩波和膨胀波快速确定流场中的压缩壁面参数、弯曲激波形状、波后参数、流场内流线形状、流线上参数以及出口参数。

2.根据权利要求1所述的弯曲激波压缩流场气流参数的快速确定方法，其特征在于：设自由来流的马赫数、压力和流动方向角分别为M_∞、p_∞和θ_∞，压缩壁面的前缘点与弯曲激波的前缘点重合，记为点O_start(0,0)，压缩壁面的末端点记为W_end，弯曲激波的末端点记为S_end；压缩壁面的形状为y_w＝f(x_w)，0≤x_w≤L；根据压缩壁面形状计算点O_start位置的流动方向角θ_start，然后根据气体动力学中的斜激波关系计算点O_start位置的马赫数M_start和压力p_start；

对原流场中其他参数采用如下方法确定：

(1)在原流场中，经过压缩壁面上点W_i(x_wi,y_wi)的压缩波与弯曲激波的交点记为S_j；从原流场中分离出点W_i之前的压缩波系并简化为汇聚于点S_j的Prandtl-Meyer压缩波，根据点W_i与点O_start的位置关系计算W_i位置的流动方向角θ_wi，然后采用Prandtl-Meyer公式计算点W_i位置的马赫数M_wi和压力p_wi；同时计算自由来流经过转折角等于点W_i位置流动方向角θ_wi时产生的斜激波之后的马赫数压力和流动方向角

对压缩壁面上从点O_start开始的每一点W_i重复该过程，直至点W_i到达点W_end，就确定了原流场中的压缩波造成的压缩壁面的参数变化；

(2)从原流场中分离出点S_j之前的膨胀波系并简化为经过点S_j的一道膨胀波，该膨胀波与压缩壁面的交点记为W_j；该膨胀波导致的转折角δ_j为：

${\mathrm{\δ}}_j=\frac{p_{wi}-{\hat{p}}_{wi}}{\frac{{\mathrm{kM}}_{wi}^2{p}_{wi}}{\sqrt{M_{wi}^2-1}}+\frac{k{\hat{M}}_{wi}^2{\hat{p}}_{wi}}{\sqrt{{\hat{M}}_{wi}^2-1}}}$

式中：k为气体比热容；根据下式计算点W_j的坐标(x_wj,y_wj)：

$x_{wj}=x_{wi}+1.5\frac{y_{wi}{\mathrm{cos\μ}}_{wi}{\mathrm{cos\θ}}_{wi}}{(q_{wi}/q_{\mathrm{\∞}}){\mathrm{sin\μ}}_{wi}-sin({\mathrm{\μ}}_{wi}+{\mathrm{\θ}}_{wi})}$

μ_wi＝arcsin(1/M_wi)

$q_{\mathrm{\∞}}=p_{\mathrm{\∞}}{M}_{\mathrm{\∞}}\sqrt{\frac{1}{2}(k-1)M_{\mathrm{\∞}}^2+1}$

$q_{wi}=p_{wi}{M}_{wi}\sqrt{\frac{1}{2}(k-1)M_{wi}^2+1}$

对压缩壁面上从点O_start开始的每一点W_j重复该过程，直至点W_j到达点W_end，就确定了原流场中的膨胀波造成的压缩壁面的参数变化；

(3)计算点W_j位置经压缩波和膨胀波合成后流动相对于点O_start的转折角δ_{wj-correction}，

δ_{wj-correction}＝(θ_wj-θ_start)-2δ_j

采用Prandtl-Meyer公式，根据O_start位置的马赫数M_start和压力p_start计算点W_j位置经压缩波和膨胀波合成后的马赫数M_{wj-correction}和压力p_{wj-correction}；

对压缩壁面上从点O_start开始的每一点W_j重复该过程，直至点W_j到达点W_end，就确定了原流场中的压缩波和膨胀波合成后造成的压缩壁面的参数变化；

(4)计算点S_j位置相对于自由来流的转折角δ_{sj-correction}：

δ_{sj-correction}＝θ_wi+δ_j-θ_∞

根据转折角δ_{sj-correction}和气体动力学理论计算点S_j位置的马赫数M_{sj-correction}、压力p_{sj-correction}和流动方向角θ_{sj-correction}；

根据下式计算点S_j的坐标(x_sj,y_sj)：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{sj}=\frac{y_{wi}}{tan({\mathrm{\μ}}_{ws}+{\mathrm{\θ}}_{ws})\{1/\[M_{ws}(q_{\mathrm{\∞}}/q_{ws})sin({\mathrm{\μ}}_{ws}+{\mathrm{\θ}}_{ws})\]-1\}}+x_{wi}\\ y_{sj}=\frac{y_{wi}}{1-M_{ws}(q_{\mathrm{\∞}}/q_{ws})\sin ({\mathrm{\μ}}_{ws}+{\mathrm{\θ}}_{ws})}\end{array}\right.$

μ_ws＝arcsin(1/M_ws)

$q_{ws}=p_{ws}{M}_{ws}\sqrt{\frac{1}{2}(k-1)M_{ws}^2+1}$

$\left\{\begin{array}{c}{M}_{ws}=\frac{1}{2}(M_{wi-correction}+M_{si-correction})\\ p_{ws}=\frac{1}{2}(p_{wi-correction}+p_{sj-correction})\\ {\mathrm{\θ}}_{ws}=\frac{1}{2}({\mathrm{\θ}}_{wi}+{\mathrm{\θ}}_{si-correction})\end{array}\right.$

对压缩壁面上从点O_start开始的每一点W_j重复该过程，直至点W_j到达点W_end，就确定了弯曲激波的形状和波后气动参数；

(5)在原流场中，经过点W_k的压缩波与以点S_j为起点的流线的交点为R，点R的流动方向角θ_r-correction以及点R相对于点S_j的转折角δ_r-correction为：

θ_r-correction＝θ_wk

δ_r-correction＝(θ_wk-2δ_j)-(θ_wi-2δ_i)

采用Prandtl-Meyer公式计算点R位置的马赫数M_r-correction和压力p_r-correction；根据下式计算点R的坐标(x_r,y_r)：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{r-correction}=x_{wk}+y_{si}{M}_{wr}(q_{\mathrm{\∞}}/q_{wr})\cos ({\mathrm{\μ}}_{wr}+{\mathrm{\θ}}_{wr})\\ y_{r-correction}=y_{wk}+y_{si}{M}_{wr}(q_{\mathrm{\∞}}/q_{wr})\sin ({\mathrm{\μ}}_{wr}+{\mathrm{\θ}}_{wr})\end{array}\right.$

μ_wr＝arcsin(1/M_wr)

$q_{wr}=p_{wr}{M}_{wr}\sqrt{\frac{1}{2}(k-1)M_{wr}^2+1}$

$\left\{\begin{array}{c}{M}_{wr}=\frac{1}{2}(M_{wk-correction}+M_{r-correction})\\ p_{wr}=\frac{1}{2}(p_{wk-correction}+p_{r-correction})\\ {\mathrm{\θ}}_{wr}=\frac{1}{2}({\mathrm{\θ}}_{wk}+{\mathrm{\θ}}_{r-correction})\end{array}\right.$

对压缩壁面上从点W_i开始的每一点W_j重复该过程，直至点W_j到达点W_end，就确定了以点S_j为起点的流线的形状和流线上气动参数；

(6)出口截面的马赫数、压力和总压取为压缩壁面、弯曲激波和流线末端参数的平均值：

$\left\{\begin{array}{c}{M}_{end}=\frac{1}{n+2}(M_{w-end}+\underset{r}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{M}_{r-end}+M_{s-end})\\ p_{end}=\frac{1}{n+2}(p_{w-end}+\underset{r}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{p}_{r-end}+p_{s-end})\\ P_{end}^{*}=\frac{1}{n+2}(P_{w-end}^{*}+\underset{r}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{r-end}^{*}+P_{s-end}^{*})\end{array}\right.$

式中：n为总的流线数量，M_w-end、p_w-end和为点W_end位置经压缩波和膨胀波合成后的马赫数、压力和总压，M_r-end、p_r-end和为第r条流线末端位置的马赫数、压力和总压，M_s-end、p_s-end和为点S_end位置的马赫数、压力和总压。