CN105468829A - 一种基于广义Hosford屈服函数的金属材料强度和指数的计算及检测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于广义Hosford屈服函数的金属材料强度和指数的计算及检测方法，计算方法为：首先引入方向函数，将其泰勒展开到六阶张量形式对Hosford屈服函数进行改进；然后基于群论及材料的客观性，考虑材料的微结构，研究其塑性参数，建立包含常数项、二次项、四次项、六次项的织构系数的任意应力状态下Hosford立方晶粒正交板材屈服函数；然后结合塑性理论，推导出金属板材在不同角度下的屈服强度及各项异性指数q值与织构系数之间的关系；最后依据测得金属板材的织构系数，检测出正交金属板材不同角度下的屈服强度及各项异性指数q值。本发明避免了对材料实施破坏性试验，为板材成形性研究提供必要的理论基础。

Description

一种基于广义Hosford屈服函数的金属材料强度和指数的计算及检测方法

技术领域

本发明属于金属板材成形，材料加工技术领域，涉及一种金属板材屈服强度，各向异性指数的计算方法，具体来说是一种建立新广义Hosford正交金属材料屈服函数，提出关于织构系数的金属板材屈服强度和各向异性指数计算方法，尤其涉及一种基于广义Hosford屈服函数的金属材料强度和指数的检测方法。

背景技术

金属板材具有强度高，良好的弹性、塑性及塑性加工性能，抗腐蚀能力强，耐热性、耐久性好等优点，在航空航天、汽车制造业、机械设计等很多领域中得到广泛的应用。金属板材为大量微小晶粒的集合体(即多晶体)，单晶是原子按照一定周期规律在空间排列而成，由于晶粒沿不同方向的原子密度不同，表现为各向异性材料。然而在细观尺度下，多晶体的微结构包括晶粒取向分布、晶粒形状、晶粒尺寸和晶粒间的取向差，一般用织构系数来表示，可通过X—射线衍射仪、扫描电镜或超声设备进行测量。而金属板材在冲压成形过程中，材料的各向异性程度与材料微结构有关，对金属板材成形过程会造成显著的影响，如板材易出现凸缘制耳和拉深直臂断裂等现象，从而降低板材的成形性能、尺寸精度及材料的利用率。

目前标准GB/T15825.1-2008(金属薄板成形性能与试验方法第一部分：成形性能和指标)指出作为评价金属板材力学指标的屈服强度、各项异性指数q值的定义以及标准试验方法。但由于金属板材比较薄，厚度方向上的应变不易准确测量，很难精确得到板材的各向异性指数q值。

虽然，南昌大学工程力学实验中心的黄模佳在《ARCHIVEOFAPPLIEDNECHANICS》杂志中发表了一篇名为《GerneralHosfordyieldfunctionsoforthorhombicmaterials》的论文，论文中提出提出包含3个主应力及主应力方向的广义Hosford屈服函数，但从文献中可知其对正交板材塑性变形时q值拟合得较好，而对于屈服应力则误差较大，难以满足精度要求。因此现有技术中并没有给出关于材料织构系数的更好的计算公式。由于汽车、飞机等钣金件的塑性成形过程中对屈服强度和塑性变形的精度的高要求，有必要设计出一种金属板材屈服强度和各向异性指数q值的计算方法。

发明内容

本发明的目的在于克服原Hosford函数要求三个主应力方向与板材的轧制方向(RD)、横向(TD)和法向(ND)一致的局限性，建立新广义Hosford正交金属材料屈服函数，提出一种基于广义Hosford屈服函数的金属材料强度和指数的检测方法。

本发明计算方法采用的技术方案主体思路为：

本发明首先引入方向函数，将其泰勒展开到六阶张量形式对Hosford屈服函数进行改进，然后基于群论及材料的客观性，研究其塑性参数，建立包含常数项、二次项、四次项、六次项的织构系数的任意应力状态下Hosford立方晶粒正交板材屈服函数。最后依据测得金属板材的织构系数，得到正交金属板材的屈服强度及各项异性指数。

(1)广义Hosford屈服函数一般形式的建立

假设屈服函数依赖应力分量的二次项、与静水压无关、具有正交性，利用材料塑性本构的客观性原理，Hill(1948)推导出目前仍在广泛应用的Hill-48屈服函数，但Hill-48无法同时描述好金属板材的屈服应力和塑性变形。为改善Hill-48屈服函数对q值和屈服应力的描述能力，Hosford给出了形式简单且整齐的Hosford屈服函数：

f＝F(σ₂-σ₃)^η+G(σ₃-σ₁)^η+H(σ₁-σ₂)^η-1＝0①

其中σ_α为主应力；适当选取的η(≥2)，Hosford屈服函数比Hill-48屈服函数可以更准确地反映金属板材的屈服应力和塑性变形，但Hosford屈服函数仅适用于三个主应力σ_α方向与板材三根正交对称轴一致的情况，导致其使用不便。

为了克服Hosford屈服函数以上局限性，本发明假设Hosford屈服函数中的F、G、H是主应力σ_α方向n^(α)的函数，推导出包含主应力n^(α)方向效应的广义Hosford屈服函数。其一般形式为：

$f(C_{mn}^s,{\mathrm{\σ}}_h,n^{\left(1\right)},n^{\left(3\right)})=\frac{1}{2Y_{iso}^{\mathrm{\η}}}\[{\left(\frac{\left|{\mathrm{\σ}}_2-{\mathrm{\σ}}_3\right|}{1+{\mathrm{\β}}_1}\right)}^{\mathrm{\η}}+{\left(\frac{\left|{\mathrm{\σ}}_3-{\mathrm{\σ}}_1\right|}{1+{\mathrm{\β}}_2}\right)}^{\mathrm{\η}}+\mathrm{\β}{\left(\frac{\left|{\mathrm{\σ}}_1-{\mathrm{\σ}}_2\right|}{1+{\mathrm{\β}}_3}\right)}^{\mathrm{\η}}\]-1=0$

②

其中，σ_h为主应力；n^(h)为应力方向；β_h(β₁，β₂，β₃)为方向函数，与n⁽¹⁾,n⁽²⁾,n⁽³⁾有关，且n⁽²⁾＝n⁽³⁾×n⁽¹⁾，则β_h是n⁽¹⁾,n⁽³⁾的函数，即β_h＝β(n⁽¹⁾,n⁽³⁾)。

(2)材料微结构与方向函数的关系

金属板材为大量微小晶粒的集合体(即多晶体)。单个晶粒是原子按照一定周期规律在空间排列而成，由于晶粒不同方向的原子密度不同，金属板材则表现出明显的各向异性特征。而其各向异性程度主要取决于晶粒的微结构和晶粒本身的性质，Roe和Bunge引进取向分布函数(ODF),来描述多晶体材料的物理和力学性质，晶粒取向为R的可能性密度在Wigner-D函数下展开为式③。

$w\left(R\right(\mathrm{\ψ},\mathrm{\θ},\mathrm{\φ}\left)\right)=\underset{l=0}{\overset{+\mathrm{\∞}}{\Σ}}\underset{m=-l}{\overset{l}{\Σ}}\underset{n=-l}{\overset{l}{\Σ}}{C}_{mn}^l{D}_{mn}^l\left(R\right(\mathrm{\ψ},\mathrm{\θ},\mathrm{\φ}\left)\right)$ ③

式中，为织构系数， $C_{mn}^l=\frac{2l+1}{8{\mathrm{\π}}^2}{\∫}_{{\mathrm{so}}_3}w\left(R\right){\left(D_{mn}^l\right(\left(\mathrm{\ψ},\mathrm{\θ},\mathrm{\φ}\right)\left)\right)}^{*}dg;$

为Wigner-D函数下的基， $D_{mn}^l\left(R\right(\mathrm{\ψ},\mathrm{\θ},\mathrm{\φ}\left)\right)=e^{-im\mathrm{\ψ}}{d}_{mn}^l{e}^{-in\mathrm{\φ}};$

其中，

$d_{mn}^l\left(\mathrm{\θ}\right)=\sqrt{\frac{(l+n)!(l-n)!}{(l+m)!(l-m)!}}{\left(\cos \frac{\mathrm{\θ}}{2}\right)}^{n+m}{\left(\sin \frac{\mathrm{\θ}}{2}\right)}^{n-m}(q+r)!(q+s)!\underset{k}{\Σ}\frac{{\left(\right(x-1)/2)}^{q-k}{\left(\right(x+1)/2)}^k}{K!(q+r-k)!(q-k)!(s+k)!}$

杜克大学物理系的BiedenharnandLouck早在1984年就对系数进行了研究，后来在剑桥大学出版社出版的《AngularMomentuminQuantumPhysics》一书中详细介绍了Wigner-D函数的性质；肯塔基大学的数学系的Ci-SMan于1998年在《Ontheconstitutiveequationsofsomeweakly-texturedmaterials》一文中也提出Wigner-D函数下的基需满足以下性质：

$\begin{array}{cc}{D}_{mn}^s\left(QR\right)=\underset{p=-s}{\overset{s}{\Σ}}{D}_{mp}^s\left(Q\right)D_{pn}^s\left(R\right),& {\left(D_{nm}^s\right(R\left)\right)}^{*}=D_{mn}^s\left(R^{-1}\right)\\ D_{\stackrel{\‾}{m}\stackrel{\‾}{n}}^s\left(R\right)={(-1)}^{m+n}{\left(D_{mn}^s\right(R\left)\right)}^{*},& D_{mn}^s\left(R^{-1}\right)={(-1)}^{m+n}{D}_{\stackrel{\‾}{n}\stackrel{\‾}{m}}^s\left(R\right)\\ D_{00}^0\left(R\right)=1,& {\∫}_{{\mathrm{so}}_3}{D}_{mn}^S\left(R\right)dg=0,(s\≥1)\end{array}$

④

由于立方晶粒正交板材具有D₂对称性，即材料绕e₂，轴转动D₂，其性质不变，即织构系数只与m有关。

$C_{mn}^l=\left\{\begin{array}{cc}{(-1)}^l{C}_{mn}^l& m=2k\\ 0& m=2k+1\end{array}\right.$ ⑤

类似地，当参考晶粒在空间群内旋转Q_cr＝G_cr，立方晶粒也具有D₂对称性，则：

当l＝1,2,3,5,7时， $\begin{array}{cc}{C}_{mn}^l=0,& C_{m4}^4=\frac{\sqrt{70}}{14}{C}_{m0}^4\end{array}$ ⑥

将函数方向关于织构系数展开到线性项，结合织构系数性质及材料的客观性原理，编制程序，推导出方向函数中的四阶张量与材料织构系数的其表达式为式⑦，其它为0。

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Φ}}_{1111}=3C_{00}^4-2\sqrt{10}{C}_{20}^4+\sqrt{70}{C}_{40}^4,& {\mathrm{\Φ}}_{2222}=3C_{00}^4+2\sqrt{10}{C}_{20}^4+\sqrt{70}{C}_{40}^4\\ {\mathrm{\Φ}}_{3333}=8C_{40}^4,& {\mathrm{\Φ}}_{1122}={\mathrm{\Φ}}_{2211}={\mathrm{\Φ}}_{1212}=C_{00}^4-\sqrt{70}{C}_{40}^4\\ {\mathrm{\Φ}}_{1133}={\mathrm{\Φ}}_{3311}={\mathrm{\Φ}}_{1313}=-4C_{00}^4+2\sqrt{10}{C}_{20}^4,& {\mathrm{\Φ}}_{2233}={\mathrm{\Φ}}_{3322}={\mathrm{\Φ}}_{2323}=-4C_{00}^4-2\sqrt{10}{C}_{20}^4\end{array}$

⑦

如果将方向函数Taylor展开到应力六次项，同理可推出方向函数中的六阶张量与材料织构系数的表达式为式⑧，其它为0。

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{111111}=-5C_{00}^6+\sqrt{105}{C}_{20}^6-3\sqrt{14}{C}_{40}^6+\sqrt{231}{C}_{60}^6\\ {\mathrm{\Φ}}_{222222}=-5C_{00}^6-\sqrt{105}{C}_{20}^6-3\sqrt{14}{C}_{40}^6-\sqrt{231}{C}_{60}^6\\ {\mathrm{\Φ}}_{333333}=16C_{00}^6\\ {\mathrm{\Φ}}_{111122}={\mathrm{\Φ}}_{112211}={\mathrm{\Φ}}_{221111}={\mathrm{\Φ}}_{111212}={\mathrm{\Φ}}_{121112}={\mathrm{\Φ}}_{121211}=-C_{00}^6+\frac{\sqrt{105}}{15}{C}_{20}^6+\sqrt{14}{C}_{40}^6-\sqrt{231}{C}_{60}^6\\ {\mathrm{\Φ}}_{112222}={\mathrm{\Φ}}_{221122}={\mathrm{\Φ}}_{222211}={\mathrm{\Φ}}_{221212}={\mathrm{\Φ}}_{122212}={\mathrm{\Φ}}_{121222}=-C_{00}^6-\frac{\sqrt{105}}{15}{C}_{20}^6+\sqrt{15}{C}_{40}^6+\sqrt{231}{C}_{60}^6\\ {\mathrm{\Φ}}_{113333}={\mathrm{\Φ}}_{331133}={\mathrm{\Φ}}_{333311}={\mathrm{\Φ}}_{331313}={\mathrm{\Φ}}_{133313}={\mathrm{\Φ}}_{131333}=-8C_{00}^6+\frac{16\sqrt{105}}{15}{C}_{20}^6\\ {\mathrm{\Φ}}_{222233}={\mathrm{\Φ}}_{223322}={\mathrm{\Φ}}_{332222}={\mathrm{\Φ}}_{222323}={\mathrm{\Φ}}_{232223}={\mathrm{\Φ}}_{232322}=6C_{00}^6+\frac{16\sqrt{105}}{15}{C}_{20}^6+2\sqrt{14}{C}_{40}^6\\ {\mathrm{\Φ}}_{223333}={\mathrm{\Φ}}_{333322}={\mathrm{\Φ}}_{332233}={\mathrm{\Φ}}_{332323}={\mathrm{\Φ}}_{233323}={\mathrm{\Φ}}_{232333}=-8C_{00}^6-\frac{16\sqrt{105}}{15}{C}_{20}^6\\ {\mathrm{\Φ}}_{111133}={\mathrm{\Φ}}_{113311}={\mathrm{\Φ}}_{111313}={\mathrm{\Φ}}_{331111}={\mathrm{\Φ}}_{131113}={\mathrm{\Φ}}_{131311}=6C_{00}^6-\frac{16\sqrt{105}}{15}{C}_{20}^6+2\sqrt{14}{C}_{40}^6\\ {\mathrm{\Φ}}_{112233}={\mathrm{\Φ}}_{223311}={\mathrm{\Φ}}_{331122}={\mathrm{\Φ}}_{332211}={\mathrm{\Φ}}_{113322}={\mathrm{\Φ}}_{221133}={\mathrm{\Φ}}_{112323}=2C_{00}^6-2\sqrt{14}{C}_{40}^6\\ {\mathrm{\Φ}}_{231123}={\mathrm{\Φ}}_{232311}={\mathrm{\Φ}}_{221313}={\mathrm{\Φ}}_{132213}={\mathrm{\Φ}}_{131322}={\mathrm{\Φ}}_{331212}={\mathrm{\Φ}}_{123312}=2C_{00}^6-2\sqrt{14}{C}_{40}^6\\ {\mathrm{\Φ}}_{121233}={\mathrm{\Φ}}_{231312}={\mathrm{\Φ}}_{131223}={\mathrm{\Φ}}_{122313}={\mathrm{\Φ}}_{121323}={\mathrm{\Φ}}_{132312}={\mathrm{\Φ}}_{231213}=2C_{00}^6-2\sqrt{14}{C}_{40}^6\end{array}$

⑧

(3)包含织构系数的任意应力状态下广义Hosford屈服函数的建立

基于金属板材在单轴拉伸状态下确定屈服函数中的未知数，将未知参数，式⑦和⑧代入(1)式，则包含主应力n^(α)方向效应的广义Hosford

屈服函数的形式为式⑨。

$\begin{array}{c}f(w,{\mathrm{\σ}}_h,n^{\left(1\right)},n^{\left(3\right)})=\\ \frac{1}{2Y_{iso}^{\mathrm{\η}}}\[{\left(\frac{\left|{\mathrm{\σ}}_2-{\mathrm{\σ}}_3\right|}{1+{\mathrm{\β\Φ}}_{ijkl}{n}_i^{\left(2\right)}{n}_j^{\left(2\right)}{n}_k^{\left(3\right)}{n}_l^{\left(3\right)}-\frac{3}{2}{\mathrm{\γ\Φ}}_{ijklmn}{n}_i^{\left(1\right)}{n}_j^{\left(1\right)}{n}_k^{\left(2\right)}{n}_l^{\left(2\right)}{n}_m^{\left(3\right)}{n}_n^{\left(3\right)}+{\mathrm{\γ\Φ}}_{ijklmn}{n}_i^{\left(1\right)}{n}_j^{\left(1\right)}{n}_k^{\left(1\right)}{n}_l^{\left(1\right)}{n}_m^{\left(1\right)}{n}_n^{\left(1\right)}}\right)}^{\mathrm{\η}}+\\ {\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_1-{\mathrm{\σ}}_3}{1+{\mathrm{\β\Φ}}_{ijkl}{n}_i^{\left(1\right)}{n}_j^{\left(1\right)}{n}_k^{\left(3\right)}{n}_l^{\left(3\right)}+\frac{3}{2}{\mathrm{\γ\Φ}}_{ijklmn}{n}_i^{\left(1\right)}{n}_j^{\left(1\right)}{n}_k^{\left(2\right)}{n}_l^{\left(2\right)}{n}_m^{\left(3\right)}{n}_n^{\left(3\right)}-{\mathrm{\γ\Φ}}_{ijkmn}(n_i^{\left(1\right)}{n}_j^{\left(1\right)}{n}_k^{\left(1\right)}{n}_l^{\left(1\right)}{n}_m^{\left(1\right)}{n}_n^{\left(1\right)}+n_i^{\left(3\right)}{n}_j^{\left(3\right)}{n}_k^{\left(3\right)}{n}_l^{\left(3\right)}{n}_m^{\left(3\right)}{n}_n^{\left(3\right)})}\right)}^{\mathrm{\η}}\\ +{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_1-{\mathrm{\σ}}_2}{1+{\mathrm{\β\Φ}}_{ijkl}{n}_i^{\left(1\right)}{n}_j^{\left(1\right)}{n}_k^{\left(2\right)}{n}_l^{\left(2\right)}+{\mathrm{\γ\Φ}}_{ijklmn}{n}_i^{\left(3\right)}{n}_j^{\left(3\right)}{n}_k^{\left(3\right)}{n}_l^{\left(3\right)}{n}_m^{\left(3\right)}{n}_n^{\left(3\right)}-\frac{3}{2}{\mathrm{\γ\Φ}}_{ijkmn}{n}_i^{\left(1\right)}{n}_j^{\left(1\right)}{n}_k^{\left(2\right)}{n}_l^{\left(2\right)}{n}_m^{\left(3\right)}{n}_n^{\left(3\right)}}\right)}^{\mathrm{\η}}\]\\ -1=0\end{array}$

⑨

其中，Y_iso为不考虑材料微结构时各向同性金属材料的单轴屈服应力，β，γ为待定参数。为7个织构系数，通过X—射线衍射仪、扫描电镜或超声设备进行测量。此屈服函数形式较简便，更具一般性，为研究金属材料的力学性能奠定了理论基础。

(4)正交金属板材沿n^(α)方向上的q值和屈服应力表达式

如果主应力σ₃方向n⁽³⁾＝[0,0,1]^T与板面的垂直方向一致，包含六次项广义Hosford屈服函数可简化为：

f(σ_h,φ)＝[a₁+a₂cos(2φ)+a₃cos(4φ)+a₄cos(6φ)]|σ₂-σ₃|^η+[a₅+a₆cos(2φ)+a₇cos(4φ)

+a₈cos(6φ)]|σ₁-σ₃|^η+[a₉+a₁₀cos(2φ)+a₁₁cos(4φ)+a₁₂cos(6φ)]|σ₁-σ₂|^η-1＝0

⑩

其中，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，a₁₀为与方向函数相关的待定材料参数。其系数与织构系数相关，可以确定为：

$a_1=\frac{32{\mathrm{\π}}^2}{105}{C}_{00}^4+2C_{00}^6-\frac{\sqrt{14}}{4}{C}_{20}^6+\frac{\sqrt{14}}{4}{C}_{40}^6$

$a_2=\frac{16\sqrt{10}{\mathrm{\π}}^2}{105}{C}_{20}^4-\sqrt{105}{C}_{20}^6-\frac{15\sqrt{14}}{16}{C}_{20}^6+\frac{15\sqrt{14}}{16}{C}_{40}^6$

$a_3=\frac{21}{4}\sqrt{14}{C}_{20}^6+\frac{3\sqrt{14}}{4}{C}_{40}^6$

$a_4=\frac{47\sqrt{14}}{16}{C}_{20}^6+\frac{47\sqrt{14}}{16}{C}_{40}^6-\sqrt{231}{C}_{60}^6$

$a_5=\frac{32{\mathrm{\π}}^2}{105}{C}_{00}^4+14C_{00}^6-\frac{7\sqrt{14}}{4}{C}_{20}^6+\frac{7\sqrt{14}}{4}{C}_{40}^6$

$a_6=-\frac{16\sqrt{10}{\mathrm{\π}}^2}{105}{C}_{20}^4+\sqrt{105}{C}_{20}^6+\frac{15\sqrt{14}}{16}{C}_{20}^6-\frac{15\sqrt{14}}{16}{C}_{40}^6$

$a_7=-\frac{21\sqrt{14}}{4}{C}_{20}^6-\frac{3\sqrt{14}}{4}{C}_{40}^6$

$a_8=-\frac{47\sqrt{14}}{16}{C}_{20}^6+\frac{47\sqrt{14}}{16}{C}_{40}^6+\sqrt{231}{C}_{00}^6$

$a_9=-\frac{8{\mathrm{\π}}^2}{105}{C}_{00}^4-2C_{00}^6+\frac{\sqrt{14}}{4}{C}_{20}^6-\frac{\sqrt{14}}{4}{C}_{40}^6$

$a_{10}=\sqrt{105}{C}_{20}^6+\frac{15\sqrt{14}}{16}{C}_{20}^6-\frac{15\sqrt{14}}{16}{C}_{40}^6$

$a_{11}=\frac{8\sqrt{70}{\mathrm{\π}}^2}{105}{C}_{20}^4-\frac{21\sqrt{14}}{4}{C}_{20}^6-\frac{3\sqrt{14}}{4}{C}_{40}^6$

$a_{12}=\frac{47\sqrt{14}}{16}{C}_{20}^6+\frac{47\sqrt{14}}{16}{C}_{40}^6+\sqrt{231}{C}_{60}^6$

基于塑性流动准则，可以求得计算出试样S_φ沿n^(h)方向的塑性应变率，进而得出q值和屈服应力分别为式最后得到包含织构系数的屈服应力及各向异性指数q值，如式所示。

$q_{\mathrm{\φ}}=\frac{a_9+a_{10}\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)+a_{11}\cos \left(4\mathrm{\φ}\right)+a_{12}\cos \left(6\mathrm{\φ}\right)}{a_5+a_9+(a_6+a_{10})\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)+(a_7+a_{11})\cos \left(4\mathrm{\φ}\right)+(a_8+a_{12})\cos \left(6\mathrm{\φ}\right)}$

${\mathrm{\σ}}_{q\mathrm{\φ}}={\[a_5+a_9+(a_6+a_{10})cos\left(2\mathrm{\φ}\right)+(a_7+a_{11})cos\left(4\mathrm{\φ}\right)+(a_8+a_{12})cos\left(6\mathrm{\φ}\right)\]}^{-\frac{1}{\mathrm{\η}}}$

$\begin{array}{c}{q}_{\mathrm{\φ}}=\frac{1}{2}-1.89\mathrm{\β}\[5C_{00}^4-2\sqrt{10}{C}_{20}^4\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)-\sqrt{70}{C}_{40}^4\cos \left(4\mathrm{\φ}\right)\]-\\ 27.63\mathrm{\γ}\[C_{00}^6-\frac{17\sqrt{105}}{105}{C}_{20}^6\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)-\frac{\sqrt{14}}{7}{C}_{40}^6\cos \left(4\mathrm{\φ}\right)-\frac{\sqrt{231}}{7}{C}_{60}^6\cos \left(6\mathrm{\φ}\right)\]\end{array}$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{q\mathrm{\φ}}=\{1-\frac{\mathrm{\β}}{2}\[3C_{00}^4-2\sqrt{10}{C}_{20}^4\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)+\sqrt{70}{C}_{40}^4\cos \left(4\mathrm{\φ}\right)\]+\\ \frac{\mathrm{\γ}}{2}\[5C_{00}^6-\sqrt{105}{C}_{20}^6\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)+3\sqrt{14}{C}_{40}^6\cos \left(4\mathrm{\φ}\right)-\sqrt{231}{C}_{60}^6\cos \left(6\mathrm{\φ}\right)\]\}{Y}_{iso}\end{array}$

本发明基于以上主体思路的基础上，检测方法采用的技术方案为：(1)广义Hosford屈服函数一般形式的建立

假设Hosford屈服函数中的F、G、H是主应力σ_α方向n^(α)的函数，推导出包含主应力n^(α)方向效应的广义Hosford屈服函数；其一般形式为：

$f(C_{mn}^s,{\mathrm{\σ}}_h,n^{\left(1\right)},n^{\left(3\right)})=\frac{1}{2Y_{iso}^{\mathrm{\η}}}\[{\left(\frac{\left|{\mathrm{\σ}}_2-{\mathrm{\σ}}_3\right|}{1+{\mathrm{\β}}_1}\right)}^{\mathrm{\η}}+{\left(\frac{\left|{\mathrm{\σ}}_3-{\mathrm{\σ}}_1\right|}{1+{\mathrm{\β}}_2}\right)}^{\mathrm{\η}}+\mathrm{\β}{\left(\frac{\left|{\mathrm{\σ}}_1-{\mathrm{\σ}}_2\right|}{1+{\mathrm{\β}}_3}\right)}^{\mathrm{\η}}\]-1=0$ ②

其中，Y_iso为不考虑材料微结构时各向同性金属材料的单轴屈服应力；σ_h为主应力；β_h(β₁，β₂，β₃)为方向函数，与n⁽¹⁾,n⁽²⁾,n⁽³⁾有关，且n⁽²⁾＝n⁽³⁾×n⁽¹⁾，则β_h是n⁽¹⁾,n⁽³⁾的函数，即β_h＝β(n⁽¹⁾,n⁽³⁾)；

(2)织构系数的测量

利用X—射线衍射仪、扫描电镜或超声波设备测出待检测金属材料的织构系数(m＝0,2,4)，(m＝0,2,4,6)；

(3)织构系数与方向函数的关系

在测得的待检测金属材料的织构系数(m＝0,2,4)，(m＝0,2,4,6)的基础上；利用式⑦和⑧

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Φ}}_{1111}=3C_{00}^4-2\sqrt{10}{C}_{20}^4+\sqrt{70}{C}_{40}^4,& {\mathrm{\Φ}}_{2222}=3C_{00}^4+2\sqrt{10}{C}_{20}^4+\sqrt{70}{C}_{40}^4\\ {\mathrm{\Φ}}_{3333}=8C_{40}^4,& {\mathrm{\Φ}}_{1122}={\mathrm{\Φ}}_{2211}={\mathrm{\Φ}}_{1212}=C_{00}^4-\sqrt{70}{C}_{40}^4\\ {\mathrm{\Φ}}_{1133}={\mathrm{\Φ}}_{3311}={\mathrm{\Φ}}_{1313}=-4C_{00}^4+2\sqrt{10}{C}_{20}^4,& {\mathrm{\Φ}}_{2233}={\mathrm{\Φ}}_{3322}={\mathrm{\Φ}}_{2323}=-4C_{00}^4-2\sqrt{10}{C}_{20}^4\end{array}$

⑦

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{111111}=-5C_{00}^6+\sqrt{105}{C}_{20}^6-3\sqrt{14}{C}_{40}^6+\sqrt{231}{C}_{60}^6\\ {\mathrm{\Φ}}_{222222}=-5C_{00}^6-\sqrt{105}{C}_{20}^6-3\sqrt{14}{C}_{40}^6-\sqrt{231}{C}_{60}^6\\ {\mathrm{\Φ}}_{333333}=16C_{00}^6\\ {\mathrm{\Φ}}_{111122}={\mathrm{\Φ}}_{112211}={\mathrm{\Φ}}_{221111}={\mathrm{\Φ}}_{111212}={\mathrm{\Φ}}_{121112}={\mathrm{\Φ}}_{121211}=-C_{00}^6+\frac{\sqrt{105}}{15}{C}_{20}^6+\sqrt{14}{C}_{40}^6-\sqrt{231}{C}_{60}^6\\ {\mathrm{\Φ}}_{112222}={\mathrm{\Φ}}_{221122}={\mathrm{\Φ}}_{222211}={\mathrm{\Φ}}_{221212}={\mathrm{\Φ}}_{122212}={\mathrm{\Φ}}_{121222}=-C_{00}^6-\frac{\sqrt{105}}{15}{C}_{20}^6+\sqrt{14}{C}_{40}^6+\sqrt{231}{C}_{60}^6\end{array}$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{113333}={\mathrm{\Φ}}_{331133}={\mathrm{\Φ}}_{333311}={\mathrm{\Φ}}_{331313}={\mathrm{\Φ}}_{133313}={\mathrm{\Φ}}_{131333}=-8C_{00}^6+\frac{16\sqrt{105}}{15}{C}_{20}^6\\ {\mathrm{\Φ}}_{222233}={\mathrm{\Φ}}_{223322}={\mathrm{\Φ}}_{332222}={\mathrm{\Φ}}_{222323}={\mathrm{\Φ}}_{232223}={\mathrm{\Φ}}_{232322}=6C_{00}^6+\frac{16\sqrt{105}}{15}{C}_{20}^6+2\sqrt{14}{C}_{40}^6\\ {\mathrm{\Φ}}_{223333}={\mathrm{\Φ}}_{333322}={\mathrm{\Φ}}_{332233}={\mathrm{\Φ}}_{332323}={\mathrm{\Φ}}_{233323}={\mathrm{\Φ}}_{232333}=-8C_{00}^6-\frac{16\sqrt{105}}{15}{C}_{20}^6\\ {\mathrm{\Φ}}_{111133}={\mathrm{\Φ}}_{113311}={\mathrm{\Φ}}_{111313}={\mathrm{\Φ}}_{331111}={\mathrm{\Φ}}_{131113}={\mathrm{\Φ}}_{131311}=6C_{00}^6-\frac{16\sqrt{105}}{15}{C}_{20}^6+2\sqrt{14}{C}_{40}^6\\ {\mathrm{\Φ}}_{112233}={\mathrm{\Φ}}_{223311}={\mathrm{\Φ}}_{331122}={\mathrm{\Φ}}_{332211}={\mathrm{\Φ}}_{113322}={\mathrm{\Φ}}_{221133}={\mathrm{\Φ}}_{112323}=2C_{00}^6-2\sqrt{14}{C}_{40}^6\\ {\mathrm{\Φ}}_{231123}={\mathrm{\Φ}}_{232311}={\mathrm{\Φ}}_{221313}={\mathrm{\Φ}}_{132213}={\mathrm{\Φ}}_{131322}={\mathrm{\Φ}}_{331212}={\mathrm{\Φ}}_{123312}=2C_{00}^6-2\sqrt{14}{C}_{40}^6\\ {\mathrm{\Φ}}_{121233}={\mathrm{\Φ}}_{231312}={\mathrm{\Φ}}_{131223}={\mathrm{\Φ}}_{122313}={\mathrm{\Φ}}_{121323}={\mathrm{\Φ}}_{132312}={\mathrm{\Φ}}_{231213}=2C_{00}^6-2\sqrt{14}{C}_{40}^6\end{array}$

⑧得到方向函数中的四阶、六阶张量与材料织构系数的关系；

(4)未知参数的确定材料微结构与方向函数的关系

在待检测金属材料正交金属板材中取一试样S_φ，进行单向拉伸实验；应力状态为：σ₁，σ₂＝0，σ₃＝0，且：n⁽¹⁾＝[cosφ,sinφ,0]^T，n⁽²⁾＝n⁽³⁾×n⁽¹⁾＝[-sinφ,cosφ,0]^T，n⁽³⁾＝[0,0,1]^T；根据单轴拉伸试验，确定屈服函数中的未知参数β,γ,Y_iso；

(5)屈服强度和各向异性指数的确定

在得到屈服函数中的未知参数β,γ,Y_iso以及方向函数中的四阶、六阶张量与材料织构系数的关系的基础上，利用式和

$\begin{array}{c}{q}_{\mathrm{\φ}}=\frac{1}{2}-1.89\mathrm{\β}\[5C_{00}^4-2\sqrt{10}{C}_{20}^4\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)-\sqrt{70}{C}_{40}^4\cos \left(4\mathrm{\φ}\right)\]-\\ 27.63\mathrm{\γ}\[C_{00}^6-\frac{17\sqrt{105}}{105}{C}_{20}^6\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)-\frac{\sqrt{14}}{7}{C}_{40}^6\cos \left(4\mathrm{\φ}\right)-\frac{\sqrt{231}}{7}{C}_{60}^6\cos \left(6\mathrm{\φ}\right)\]\end{array}$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{q\mathrm{\φ}}=\{1-\frac{\mathrm{\β}}{2}\[3C_{00}^4-2\sqrt{10}{C}_{20}^4\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)+\sqrt{70}{C}_{40}^4\cos \left(4\mathrm{\φ}\right)\]+\\ \frac{\mathrm{\γ}}{2}\[5C_{00}^6-\sqrt{105}{C}_{20}^6\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)+3\sqrt{14}{C}_{40}^6\cos \left(4\mathrm{\φ}\right)-\sqrt{231}{C}_{60}^6\cos \left(6\mathrm{\φ}\right)\]\}{Y}_{iso}\end{array}$

计算出不同角度下，关于织构系数的屈服强度和各向异性指数。

本发明基于南昌大学工程力学实验中心的黄模佳提出的广义正交板材屈服函数，首先引入方向函数，将其泰勒展开到六阶张量形式对Hosford屈服函数进行改进，然后基于群论及材料的客观性，研究其塑性参数，建立包含常数项、二次项、四次项、六次项的织构系数的任意应力状态下Hosford立方晶粒正交板材屈服函数。此屈服函数包含2个材料参数和对应的7个织构系数，形式较简便，更具一般性，且具有较高的工程应用价值。然后，通过X—射线衍射仪、扫描电镜或超声设备测得金属板材的织构系数，得到正交金属板材的屈服强度及各项异性指数。通过实验证明，基于本发明得出的金属板材的屈服强度和各向异性指数误差非常小，精度更高。本发明可以更准确地计算出不同织构系数下正交金属板材屈服强度的可靠计算，避免了对材料实施破坏性试验,为板材成形性研究提供必要的理论基础。

本发明创造性主要表现在：

1、广义Hosford屈服函数包含3个塑性参数，通过调整幂指数η的值，可得到不同的屈服函数，因此广义Hosford屈服函数比Hill屈服函数更具有一般性，适应性更广。本发明基于广义Hosford屈服函数，可以更精确计算出各种金属板材的屈服强度和各向异性指数q值；

2、广义Hosford屈服函数引入了方向函数，包含主应力方向n^(α)，适应于三个主应力与金属板材的三个正交对称轴(轧制方向(RD)、横向(TD)和法向(ND))不一致的情况(如：原有Hosford屈服函数仅能够研究S_0°，S_90°试样拉伸屈服问题，而任意应力状态下广义Hosford屈服函数能研究任意S_φ试样的拉伸屈服问题)，因此，广义Hosford屈服函数可分析正交金属板材不同角度下的屈服强度和各向异性指数。本发明基于广义Hosford屈服函数，可更准确地计算出正交金属板材不同角度下的屈服强度，各向异性指数q值，避免了对材料实施破坏性试验；

3、本发明提出了一种金属板材屈服强度，各向异性指数的计算方法，首先利用X-射线衍射仪、扫描电镜、超声波设备测量出金属板材的织构系数，然后将测量出的织构系数代入到不同织构系数下正交金属板材屈服强度，各向异性指数q值计算表达式(式)，亦可更准确地计算出不同织构系数下正交金属板材屈服强度，各向异性指数q值。

附图说明

图1是本发明实施例1板材S中样本S_φ的单轴拉伸试验图；

图2是本发明实施例1基于广义Hill,Huang及本发明中提出的屈服函数，推导出的铝材AA3135单轴拉伸时q值的理论值与测量值的比较图；

图3是本发明实施例1基于广义Hill,Huang及本发明中提出的屈服函数，推导出的铝材AA3135单轴拉伸时屈服强度的理论值与测量值的比较图。

具体实施方式

本发明通过下面的实施例可以对本发明作进一步的描述，然而，本发明的范围并不限于下述实施例。

实施例1：

以AA3105O-temper铝合金材料为例，利用本发明的思想，得到不同织构系数下的屈服强度和各项异性指数，具体步骤为：

(1)广义Hosford屈服函数一般形式的建立

本发明假设Hosford屈服函数中的F、G、H是主应力σ_α方向n^(α)的函数，推导出包含主应力n^(α)方向效应的广义Hosford屈服函数。其一般形式为：

$f(C_{mn}^s,{\mathrm{\σ}}_h,n^{\left(1\right)},n^{\left(3\right)})=\frac{1}{2Y_{iso}^{\mathrm{\η}}}\[{\left(\frac{\left|{\mathrm{\σ}}_2-{\mathrm{\σ}}_3\right|}{1+{\mathrm{\β}}_1}\right)}^{\mathrm{\η}}+{\left(\frac{\left|{\mathrm{\σ}}_3-{\mathrm{\σ}}_1\right|}{1+{\mathrm{\β}}_2}\right)}^{\mathrm{\η}}+\mathrm{\β}{\left(\frac{\left|{\mathrm{\σ}}_1-{\mathrm{\σ}}_2\right|}{1+{\mathrm{\β}}_3}\right)}^{\mathrm{\η}}\]-1=0$

②

其中，σ_h为主应力；n^(h)为应力方向；β_h(β₁，β₂，β₃)为方向函数，与n⁽¹⁾,n⁽²⁾,n⁽³⁾有关，且n⁽²⁾＝n⁽³⁾×n⁽¹⁾，则β_h是n⁽¹⁾,n⁽³⁾的函数，即β_h＝β(n⁽¹⁾,n⁽³⁾)。

(2)织构系数的测量

利用X—射线衍射仪测出AA3105O-temper铝合金材料的织构系数(m＝0,2,4)，(m＝0,2,4,6)，具体结果如表1所示。

表1AA3105O-temper铝合金材料的织构系数

(3)织构系数与方向函数的关系

将表1中AA3105O-temper铝合金材料的织抅系数(m＝0,2,4)，(m＝0,2,4，6)，带入到式⑦和⑧得到方向函数中的四阶、六阶张量与材料织构系数的关系为：

Φ₁₁₁₁＝0.00707

Φ₂₂₂₂＝0.00959

Φ₃₃₃₃＝-0.0128

Φ₁₁₂₂＝Φ₂₂₁₁＝Φ₁₂₁₂＝0.03847

Φ₁₁₃₃＝Φ₃₃₁₁＝Φ₁₃₁₃＝-0.4554

Φ₂₂₃₃＝Φ₃₃₂₂＝Φ₂₃₂₃＝0.04906

Φ₁₁₁₁₁₁＝-0.02162

Φ₂₂₂₂₂₂＝-0.00137

Φ₃₃₃₃₃₃＝0.0368

Φ₁₁₁₁₂₂＝Φ₁₁₂₂₁₁＝Φ₂₂₁₁₁₁＝Φ₁₁₁₂₁₂＝Φ₁₂₁₁₁₂＝Φ₁₂₁₂₁₁＝-0.0205

Φ₁₁₂₂₂₂＝Φ₂₂₁₁₂₂＝Φ₂₂₂₂₁₁＝Φ₂₂₁₂₁₂＝Φ₁₂₂₂₁₂＝Φ₁₂₁₂₂₂＝0.01369

Φ₁₁₃₃₃₃＝Φ₃₃₁₁₃₃＝Φ₃₃₃₃₁₁＝Φ₃₃₁₃₁₃＝Φ₁₃₃₃₁₃＝Φ₁₃₁₃₃₃＝-0.049

Φ₂₂₂₂₃₃＝Φ₂₂₃₃₂₂＝Φ₃₃₂₂₂₂＝Φ₂₂₂₃₂₃＝Φ₂₃₂₂₂₃＝Φ₂₃₂₃₂₂＝-0.03925

Φ₂₂₃₃₃₃＝Φ₃₃₃₃₂₂＝Φ₃₃₂₂₃₃＝Φ₃₃₂₃₂₃＝Φ₂₃₃₃₂₃＝Φ₂₃₂₃₃₃＝0.0122

Φ₁₁₁₁₃₃＝Φ₁₁₃₃₁₁＝Φ₁₁₁₃₁₃＝Φ₃₃₁₁₁₁＝Φ₁₃₁₁₁₃＝Φ₁₃₁₃₁₁＝0.02195

Φ₁₁₂₂₃₃＝Φ₂₂₃₃₁₁＝Φ₃₃₁₁₂₂＝Φ₃₃₂₂₁₁＝Φ₁₁₃₃₂₂＝Φ₂₂₁₁₃₃＝Φ₁₁₂₃₂₃＝0.00684

Φ₂₃₁₁₂₃＝Φ₂₃₂₃₁₁＝Φ₂₂₁₃₁₃＝Φ₁₃₂₂₁₃＝Φ₁₃₁₃₂₂＝Φ₃₃₁₂₁₂＝Φ₁₂₃₃₁₂＝0.00684

Φ₁₂₁₂₃₃＝Φ₂₃₁₃₁₂＝Φ₁₃₁₂₂₃＝Φ₁₂₂₃₁₃＝Φ₁₂₁₃₂₃＝Φ₁₃₂₃₁₂＝Φ₂₃₁₂₁₃＝0.00684。

(4)未知参数的确定

如图1所示，在AA3105O-temper铝合金材料正交金属板材中取一试样S_φ，进行单向拉伸实验。应力状态为：σ₁，σ₂＝0，σ₃＝0，代入屈服函数，可以确定屈服函数中的未知参数为β＝2.168931748，γ＝1.012935954，Y_iso＝126.0640227。

(5)屈服强度和各向异性指数的确定

将屈服函数中的未知参数β,γ,Y_iso以及方向函数中的四阶、六阶张量与材料织构系数的关系代入式和得到不同角度下，关于织构系数的屈服强度和各向异性指数为表2：

表2AA3105O-temper铝合金材料的q_φ，σ_qφ及误差分析

本发明实施例1得出的金属板材的屈服强度和各向异性指数误差，如图2、3所示。图2、3中，◇◇◇为测量,+++为广义Hill的最佳拟合，οοο为Huang的最佳拟合，—为广义Hosford的最佳拟合。

Claims (4)

1.一种基于广义Hosford屈服函数的金属材料强度和指数的计算方法，其特征在于，首先引入方向函数，将其泰勒展开到六阶张量形式对Hosford屈服函数进行改进；然后基于群论及材料的客观性，研究其塑性参数，建立包含常数项、二次项、四次项、六次项的织构系数的任意应力状态下Hosford立方晶粒正交板材屈服函数；最后依据测得金属板材的织构系数，得到正交金属板材的屈服强度及各项异性指数。

2.根据权利要求1所述的一种基于广义Hosford屈服函数的金属材料强度和指数的计算方法，其特征在于，

(1)广义Hosford屈服函数一般形式的建立

假设Hosford屈服函数中的F、G、H是主应力σ_α方向n^(α)的函数，推导出包含主应力n^(α)方向效应的广义Hosford屈服函数；其一般形式为：

$f(C_{mn}^s,{\mathrm{\σ}}_h,n^{\left(1\right)},n^{\left(3\right)})=\frac{1}{2Y_{iso}^{\mathrm{\η}}}\[{\left(\frac{|{\mathrm{\σ}}_2-{\mathrm{\σ}}_3|}{1+{\mathrm{\β}}_1}\right)}^{\mathrm{\η}}+{\left(\frac{|{\mathrm{\σ}}_3-{\mathrm{\σ}}_1|}{1+{\mathrm{\β}}_2}\right)}^{\mathrm{\η}}+\mathrm{\β}{\left(\frac{|{\mathrm{\σ}}_1-{\mathrm{\σ}}_2|}{1+{\mathrm{\β}}_3}\right)}^{\mathrm{\η}}\]-1=0$ ②

其中，Y_iso为不考虑材料微结构时各向同性金属材料的单轴屈服应力；σ_h为主应力；β_h(β₁，β₂，β₃)为方向函数，与n⁽¹⁾,n⁽²⁾,n⁽³⁾有关，且n⁽²⁾＝n⁽³⁾×n⁽¹⁾，则β_h是n⁽¹⁾,n⁽³⁾的函数，即β_h＝β(n⁽¹⁾,n⁽³⁾)；

(2)材料微结构与方向函数的关系

将方向函数Taylor展开到方向的六次项，而n^(h)与织构系数应力方向有关，因此，在方向函数中引入织构系数，结合织构系数性质及材料的客观性原理，编制程序，推导出方向函数中的四阶张量，六阶张量与材料织构系数的表达式为式⑦，⑧，其它为0；

${\mathrm{\Φ}}_{1111}=3C_{00}^4-2\sqrt{10}{C}_{20}^4+\sqrt{70}{C}_{40}^4,{\mathrm{\Φ}}_{2222}=3C_{00}^4+2\sqrt{10}{C}_{20}^4+\sqrt{70}{C}_{40}^4$

${\mathrm{\Φ}}_{3333}=8C_{40}^4,{\mathrm{\Φ}}_{1122}={\mathrm{\Φ}}_{2211}={\mathrm{\Φ}}_{1212}=C_{00}^4-\sqrt{70}{C}_{40}^4$

${\mathrm{\Φ}}_{1133}={\mathrm{\Φ}}_{3311}={\mathrm{\Φ}}_{1313}=-4C_{00}^4+2\sqrt{10}{C}_{20}^4,{\mathrm{\Φ}}_{2233}={\mathrm{\Φ}}_{3322}={\mathrm{\Φ}}_{2323}=-4C_{00}^4-2\sqrt{10}{C}_{20}^4$

⑦

${\mathrm{\Φ}}_{111111}=-5C_{00}^6+\sqrt{105}{C}_{20}^6-3\sqrt{14}{C}_{40}^6+\sqrt{231}{C}_{60}^6$

${\mathrm{\Φ}}_{222222}=-5C_{00}^6-\sqrt{105}{C}_{20}^6-3\sqrt{14}{C}_{40}^6-\sqrt{231}{C}_{60}^6$

${\mathrm{\Φ}}_{333333}=16C_{00}^6$

${\mathrm{\Φ}}_{111122}={\mathrm{\Φ}}_{112211}={\mathrm{\Φ}}_{221111}={\mathrm{\Φ}}_{111212}={\mathrm{\Φ}}_{121112}={\mathrm{\Φ}}_{121211}=-C_{00}^6+\frac{\sqrt{105}}{15}{C}_{20}^6+\sqrt{14}{C}_{40}^6-\sqrt{231}{C}_{60}^6$

${\mathrm{\Φ}}_{112222}={\mathrm{\Φ}}_{221122}={\mathrm{\Φ}}_{222211}={\mathrm{\Φ}}_{221212}={\mathrm{\Φ}}_{122212}={\mathrm{\Φ}}_{121222}=-C_{00}^6-\frac{\sqrt{105}}{15}{C}_{20}^6+\sqrt{14}{C}_{40}^6+\sqrt{231}{C}_{60}^6$

${\mathrm{\Φ}}_{113333}={\mathrm{\Φ}}_{331133}={\mathrm{\Φ}}_{333311}={\mathrm{\Φ}}_{331313}={\mathrm{\Φ}}_{133313}={\mathrm{\Φ}}_{131333}=-8C_{00}^6+\frac{16\sqrt{105}}{15}{C}_{20}^6$

${\mathrm{\Φ}}_{222233}={\mathrm{\Φ}}_{223322}={\mathrm{\Φ}}_{332222}={\mathrm{\Φ}}_{222323}={\mathrm{\Φ}}_{232223}={\mathrm{\Φ}}_{232322}=6C_{00}^6+\frac{16\sqrt{105}}{15}{C}_{20}^6+2\sqrt{14}{C}_{40}^6$

${\mathrm{\Φ}}_{223333}={\mathrm{\Φ}}_{333322}={\mathrm{\Φ}}_{332233}={\mathrm{\Φ}}_{332323}={\mathrm{\Φ}}_{233323}={\mathrm{\Φ}}_{232333}=-8C_{00}^6-\frac{16\sqrt{105}}{15}{C}_{20}^6$

${\mathrm{\Φ}}_{111133}={\mathrm{\Φ}}_{113311}={\mathrm{\Φ}}_{111313}={\mathrm{\Φ}}_{331111}={\mathrm{\Φ}}_{131113}={\mathrm{\Φ}}_{131311}=6C_{00}^6-\frac{16\sqrt{105}}{15}{C}_{20}^6+2\sqrt{14}{C}_{40}^6$

${\mathrm{\Φ}}_{112233}={\mathrm{\Φ}}_{223311}={\mathrm{\Φ}}_{331122}={\mathrm{\Φ}}_{332211}={\mathrm{\Φ}}_{113322}={\mathrm{\Φ}}_{221133}={\mathrm{\Φ}}_{112323}=2C_{00}^6-2\sqrt{14}{C}_{40}^6$

${\mathrm{\Φ}}_{231123}={\mathrm{\Φ}}_{232311}={\mathrm{\Φ}}_{221313}={\mathrm{\Φ}}_{132213}={\mathrm{\Φ}}_{131322}={\mathrm{\Φ}}_{331212}={\mathrm{\Φ}}_{123312}=2C_{00}^6-2\sqrt{14}{C}_{40}^6$

${\mathrm{\Φ}}_{121233}={\mathrm{\Φ}}_{231312}={\mathrm{\Φ}}_{131223}={\mathrm{\Φ}}_{122313}={\mathrm{\Φ}}_{121323}={\mathrm{\Φ}}_{132312}={\mathrm{\Φ}}_{231213}=2C_{00}^6-2\sqrt{14}{C}_{40}^6$

⑧

(3)包含织构系数的任意应力状态下广义Hosford屈服函数的建立

将广义Hosford屈服函数一般形式中的β₀，β_h进行Taylor级数展开到六次项，基于式⑦，⑧以及金属板材在单轴拉伸状态下确定屈服函数中的未知数，将未知参数代入包含主应力n^(α)方向效应的广义Hosford屈服函数的一般形式，此屈服函数为：

$\begin{array}{c}f\left(w,{\mathrm{\σ}}_h,n^{\left(1\right)},n^{\left(3\right)}\right)=\\ \frac{1}{2Y_{iso}^{\mathrm{\η}}}\[{\left(\frac{|{\mathrm{\σ}}_2-{\mathrm{\σ}}_3|}{1+{\mathrm{\β\Φ}}_{ijkl}{n}_i^{\left(2\right)}{n}_j^{\left(2\right)}{n}_k^{\left(3\right)}{n}_l^{\left(3\right)}-\frac{3}{2}{\mathrm{\γ\Φ}}_{ijklmn}{n}_i^{\left(1\right)}{n}_j^{\left(1\right)}{n}_k^{\left(2\right)}{n}_l^{\left(2\right)}{n}_m^{\left(3\right)}{n}_n^{\left(3\right)}+{\mathrm{\γ\Φ}}_{ijklmn}{n}_i^{\left(1\right)}{n}_j^{\left(1\right)}{n}_k^{\left(1\right)}{n}_l^{\left(1\right)}{n}_m^{\left(1\right)}{n}_n^{\left(1\right)}}\right)}^{\mathrm{\η}}+\\ {\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_1-{\mathrm{\σ}}_3}{1+{\mathrm{\β\Φ}}_{ijkl}{n}_i^{\left(1\right)}{n}_j^{\left(1\right)}{n}_k^{\left(3\right)}{n}_l^{\left(3\right)}+\frac{3}{2}{\mathrm{\γ\Φ}}_{ijklmn}{n}_i^{\left(1\right)}{n}_j^{\left(1\right)}{n}_k^{\left(2\right)}{n}_l^{\left(2\right)}{n}_m^{\left(3\right)}{n}_n^{\left(3\right)}-{\mathrm{\γ\Φ}}_{ijklmn}\left(n_i^{\left(1\right)}{n}_j^{\left(1\right)}{n}_k^{\left(1\right)}{n}_l^{\left(1\right)}{n}_m^{\left(1\right)}{n}_n^{\left(1\right)}+n_i^{\left(3\right)}{n}_j^{\left(3\right)}{n}_k^{\left(3\right)}{n}_l^{\left(3\right)}{n}_m^{\left(3\right)}{n}_n^{\left(3\right)}\right)}\right)}^{\mathrm{\η}}\\ +{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_1-{\mathrm{\σ}}_2}{1+{\mathrm{\β\Φ}}_{ijkl}{n}_i^{\left(1\right)}{n}_j^{\left(1\right)}{n}_k^{\left(2\right)}{n}_l^{\left(2\right)}+{\mathrm{\γ\Φ}}_{ijklmn}{n}_i^{\left(3\right)}{n}_j^{\left(3\right)}{n}_k^{\left(3\right)}{n}_l^{\left(3\right)}{n}_m^{\left(3\right)}{n}_n^{\left(3\right)}-\frac{3}{2}{\mathrm{\γ\Φ}}_{ijklmn}{n}_i^{\left(1\right)}{n}_j^{\left(1\right)}{n}_k^{\left(2\right)}{n}_l^{\left(2\right)}{n}_m^{\left(3\right)}{n}_n^{\left(3\right)}}\right)}^{\mathrm{\η}}\]\\ -1=0\end{array}$ ⑨

其中，Y_iso，η，β，γ为待定参数，由单轴拉伸试验确定；

Φ_ijkl，Φ_ijklmn与7个织构系数有关，由⑦，⑧确定，通过X—射线衍射仪、扫描电镜或超声设备进行测量；

(4)正交金属板材沿n^(α)方向上的q值和屈服应力表达式

如果主应力σ₃方向n⁽³⁾＝[0,0,1]^T与板面的垂直方向一致，包含六次项广义Hosford屈服函数可简化为：

$\begin{array}{c}f\left({\mathrm{\σ}}_h,\mathrm{\φ}\right)=\[a_1+a_2\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)+a_3\cos \left(4\mathrm{\φ}\right)+a_4\cos \left(6\mathrm{\φ}\right)\]|{\mathrm{\σ}}_2-{\mathrm{\σ}}_3{|}^{\mathrm{\η}}+\[a_5+a_6\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)+a_7\cos \left(4\mathrm{\φ}\right)\\ +a_8\cos \left(6\mathrm{\φ}\right)\]|{\mathrm{\σ}}_1-{\mathrm{\σ}}_3{|}^{\mathrm{\η}}+\[a_9+a_{10}\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)+a_{11}\cos \left(4\mathrm{\φ}\right)+a_{12}\cos \left(6\mathrm{\φ}\right)\]|{\mathrm{\σ}}_1-{\mathrm{\σ}}_2{|}^{\mathrm{\η}}-1=0\end{array}$ ⑩

其中，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，a₁₀为与方向函数相关的待定材料参数；其系数与织构系数相关，可以确定为：

$a_1=\frac{32{\mathrm{\π}}^2}{105}{C}_{00}^4+2C_{00}^6-\frac{\sqrt{14}}{4}{C}_{20}^6+\frac{\sqrt{14}}{4}{C}_{40}^6$

$a_2=\frac{16\sqrt{10}{\mathrm{\π}}^2}{105}{C}_{20}^4-\sqrt{105}{C}_{20}^6-\frac{15\sqrt{14}}{16}{C}_{20}^6+\frac{15\sqrt{14}}{16}{C}_{40}^6$

$a_3=\frac{21}{4}\sqrt{14}{C}_{20}^6+\frac{3\sqrt{14}}{4}{C}_{40}^6$

$a_4=\frac{47\sqrt{14}}{16}{C}_{20}^6+\frac{47\sqrt{14}}{16}{C}_{40}^6-\sqrt{231}{C}_{60}^6$

$a_5=\frac{32{\mathrm{\π}}^2}{105}{C}_{00}^4+14C_{00}^6-\frac{7\sqrt{14}}{4}{C}_{20}^6+\frac{7\sqrt{14}}{4}{C}_{40}^6$

$a_6=-\frac{16\sqrt{10}{\mathrm{\π}}^2}{105}{C}_{20}^4+\sqrt{105}{C}_{20}^6+\frac{15\sqrt{14}}{16}{C}_{20}^6-\frac{15\sqrt{14}}{16}{C}_{40}^6$

$a_7=-\frac{21\sqrt{14}}{4}{C}_{20}^6-\frac{3\sqrt{14}}{4}{C}_{40}^6$

$a_8=-\frac{47\sqrt{14}}{16}{C}_{20}^6+\frac{47\sqrt{14}}{16}{C}_{40}^6+\sqrt{231}{C}_{00}^6$

$a_9=-\frac{8{\mathrm{\π}}^2}{105}{C}_{00}^4-2C_{00}^6+\frac{\sqrt{14}}{4}{C}_{20}^6-\frac{\sqrt{14}}{4}{C}_{40}^6$

$a_{10}=\sqrt{105}{C}_{20}^6+\frac{15\sqrt{14}}{16}{C}_{20}^6-\frac{15\sqrt{14}}{16}{C}_{40}^6$

$a_{11}=\frac{8\sqrt{70}{\mathrm{\π}}^2}{105}{C}_{20}^4-\frac{21\sqrt{14}}{4}{C}_{20}^6-\frac{3\sqrt{14}}{4}{C}_{40}^6$

$a_{12}=\frac{47\sqrt{14}}{16}{C}_{20}^6+\frac{47\sqrt{14}}{16}{C}_{40}^6+\sqrt{231}{C}_{60}^6$

基于塑性流动准则，求得计算出试样S_φ沿n^(h)方向的塑性应变率，进而得出q值和屈服应力分别为式

$q_{\mathrm{\φ}}=\frac{a_9+a_{10}cos\left(2\mathrm{\φ}\right)+a_{11}cos\left(4\mathrm{\φ}\right)+a_{12}cos\left(6\mathrm{\φ}\right)}{a_5+a_9+(a_6+a_{10})\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)+(a_7+a_{11})cos\left(4\mathrm{\φ}\right)+(a_8+a_{12})cos\left(6\mathrm{\φ}\right)}$

${\mathrm{\σ}}_{q\mathrm{\φ}}={\[a_5+a_9+(a_6+a_{10})cos\left(2\mathrm{\φ}\right)+(a_7+a_{11})cos\left(4\mathrm{\φ}\right)+(a_8+a_{12})cos\left(6\mathrm{\φ}\right)\]}^{-\frac{1}{\mathrm{\η}}}$

最后得到包含织构系数的屈服应力及各向异性指数q值，如式 所示；

$\begin{array}{c}{q}_{\mathrm{\φ}}=\frac{1}{2}-1.89\mathrm{\β}\[5C_{00}^4-2\sqrt{10}{C}_{20}^4\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)-\sqrt{70}{C}_{40}^4\cos \left(4\mathrm{\φ}\right)\]-\\ 27.63\mathrm{\γ}\[C_{00}^6-\frac{17\sqrt{105}}{105}{C}_{20}^6\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)-\frac{\sqrt{14}}{7}{C}_{40}^6\cos \left(4\mathrm{\φ}\right)-\frac{\sqrt{231}}{7}{C}_{60}^6\cos \left(6\mathrm{\φ}\right)\]\end{array}$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{q\mathrm{\φ}}=\{1-\frac{\mathrm{\β}}{2}\[3C_{00}^4-2\sqrt{10}{C}_{20}^4\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)+\sqrt{70}{C}_{40}^4\cos \left(4\mathrm{\φ}\right)\]+\\ \frac{\mathrm{\γ}}{2}\[5C_{00}^6-\sqrt{105}{C}_{20}^6\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)+3\sqrt{14}{C}_{40}^6\cos \left(4\mathrm{\φ}\right)-\sqrt{231}{C}_{60}^6\cos \left(6\mathrm{\φ}\right)\]\}{Y}_{iso}\end{array}$

3.一种基于广义Hosford屈服函数的金属材料强度和指数的检测方法，其特征在于，首先引入方向函数，将其泰勒展开到六阶张量形式对Hosford屈服函数进行改进；建立包含常数项、二次项、四次项、六次项的织构系数的任意应力状态下Hosford立方晶粒正交板材屈服函数；最后依据测得金属板材的织构系数，对待检测金属材料进行单轴拉伸实验，确定屈服函数中的未知参数，在待检测金属材料正交金属板材中取一试样S_φ，进行单向拉伸实验，得到正交待检测金属板材沿n^(α)方向上的q值和屈服应力表达式；最后得到正交金属板材的不同角度下屈服强度及各项异性指数q值。

4.根据权利要求3所述的一种基于广义Hosford屈服函数的金属材料强度和指数的检测方法，其特征在于，

(1)织构系数的测量

利用X—射线衍射仪、扫描电镜或超声波设备测出待检测金属材料的织构系数 $C_{m0}^4,(m=0,2,4),C_{m0}^6,(m=0,2,4,6);$

(2)织构系数与方向函数的关系

在测得的待检测金属材料的织构系数 的基础上；利用式⑦和⑧

${\mathrm{\Φ}}_{1111}=3C_{00}^4-2\sqrt{10}{C}_{20}^4+\sqrt{70}{C}_{40}^4,{\mathrm{\Φ}}_{2222}=3C_{00}^4+2\sqrt{10}{C}_{20}^4+\sqrt{70}{C}_{40}^4$

${\mathrm{\Φ}}_{3333}=8C_{40}^4,{\mathrm{\Φ}}_{1122}={\mathrm{\Φ}}_{2211}={\mathrm{\Φ}}_{1212}=C_{00}^4-\sqrt{70}{C}_{40}^4$

${\mathrm{\Φ}}_{1133}={\mathrm{\Φ}}_{3311}={\mathrm{\Φ}}_{1313}=-4C_{00}^4+2\sqrt{10}{C}_{20}^4,{\mathrm{\Φ}}_{2233}={\mathrm{\Φ}}_{3322}={\mathrm{\Φ}}_{2323}=-4C_{00}^4-2\sqrt{10}{C}_{20}^4$

⑦

${\mathrm{\Φ}}_{111111}=-5C_{00}^6+\sqrt{105}{C}_{20}^6-3\sqrt{14}{C}_{40}^6+\sqrt{231}{C}_{60}^6$

${\mathrm{\Φ}}_{222222}=-5C_{00}^6-\sqrt{105}{C}_{20}^6-3\sqrt{14}{C}_{40}^6-\sqrt{231}{C}_{60}^6$

${\mathrm{\Φ}}_{333333}=16C_{00}^6$

${\mathrm{\Φ}}_{111122}={\mathrm{\Φ}}_{112211}={\mathrm{\Φ}}_{221111}={\mathrm{\Φ}}_{111212}={\mathrm{\Φ}}_{121112}={\mathrm{\Φ}}_{121211}=-C_{00}^6+\frac{\sqrt{105}}{15}{C}_{20}^6+\sqrt{14}{C}_{40}^6-\sqrt{231}{C}_{60}^6$

${\mathrm{\Φ}}_{112222}={\mathrm{\Φ}}_{221122}={\mathrm{\Φ}}_{222211}={\mathrm{\Φ}}_{221212}={\mathrm{\Φ}}_{122212}={\mathrm{\Φ}}_{121222}=-C_{00}^6-\frac{\sqrt{105}}{15}{C}_{20}^6+\sqrt{14}{C}_{40}^6+\sqrt{231}{C}_{60}^6$

${\mathrm{\Φ}}_{113333}={\mathrm{\Φ}}_{331133}={\mathrm{\Φ}}_{333311}={\mathrm{\Φ}}_{331313}={\mathrm{\Φ}}_{133313}={\mathrm{\Φ}}_{131333}=-8C_{00}^6+\frac{16\sqrt{105}}{15}{C}_{20}^6$

${\mathrm{\Φ}}_{222233}={\mathrm{\Φ}}_{223322}={\mathrm{\Φ}}_{332222}={\mathrm{\Φ}}_{222323}={\mathrm{\Φ}}_{232223}={\mathrm{\Φ}}_{232322}=6C_{00}^6+\frac{16\sqrt{105}}{15}{C}_{20}^6+2\sqrt{14}{C}_{40}^6$

${\mathrm{\Φ}}_{223333}={\mathrm{\Φ}}_{333322}={\mathrm{\Φ}}_{332233}={\mathrm{\Φ}}_{332323}={\mathrm{\Φ}}_{233323}={\mathrm{\Φ}}_{232333}=-8C_{00}^6-\frac{16\sqrt{105}}{15}{C}_{20}^6$

${\mathrm{\Φ}}_{111133}={\mathrm{\Φ}}_{113311}={\mathrm{\Φ}}_{111313}={\mathrm{\Φ}}_{331111}={\mathrm{\Φ}}_{131113}={\mathrm{\Φ}}_{131311}=6C_{00}^6-\frac{16\sqrt{105}}{15}{C}_{20}^6+2\sqrt{14}{C}_{40}^6$

${\mathrm{\Φ}}_{112233}={\mathrm{\Φ}}_{223311}={\mathrm{\Φ}}_{331122}={\mathrm{\Φ}}_{332211}={\mathrm{\Φ}}_{113322}={\mathrm{\Φ}}_{221133}={\mathrm{\Φ}}_{112323}=2C_{00}^6-2\sqrt{14}{C}_{40}^6$

${\mathrm{\Φ}}_{231123}={\mathrm{\Φ}}_{232311}={\mathrm{\Φ}}_{221313}={\mathrm{\Φ}}_{132213}={\mathrm{\Φ}}_{131322}={\mathrm{\Φ}}_{331212}={\mathrm{\Φ}}_{123312}=2C_{00}^6-2\sqrt{14}{C}_{40}^6$

${\mathrm{\Φ}}_{121233}={\mathrm{\Φ}}_{231312}={\mathrm{\Φ}}_{131223}={\mathrm{\Φ}}_{122313}={\mathrm{\Φ}}_{121323}={\mathrm{\Φ}}_{132312}={\mathrm{\Φ}}_{231213}=2C_{00}^6-2\sqrt{14}{C}_{40}^6$

⑧

得到方向函数中的四阶、六阶张量与材料织构系数的关系；

(3)未知参数的确定

在待检测金属材料正交金属板材中取一试样S_φ，进行单向拉伸实验；应力状态为：σ₁，σ₂＝0，σ₃＝0，且：n⁽¹⁾＝[cosφ,sinφ,0]^T，

n⁽²⁾＝n⁽³⁾×n⁽¹⁾＝[-sinφ,cosφ,0]^T，n⁽³⁾＝[0,0,1]^T；确定屈服函数中的未知参数β,γ,Y_iso；

(4)屈服强度和各向异性指数的确定

在得到屈服函数中的未知参数β,γ,Y_iso以及方向函数中的四阶、六阶张量与材料织构系数的关系的基础上，利用式和

$\begin{array}{c}{q}_{\mathrm{\φ}}=\frac{1}{2}-1.89\mathrm{\β}\[5C_{00}^4-2\sqrt{10}{C}_{20}^4\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)-\sqrt{70}{C}_{40}^4\cos \left(4\mathrm{\φ}\right)\]-\\ 27.63\mathrm{\γ}\[C_{00}^6-\frac{17\sqrt{105}}{105}{C}_{20}^6\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)-\frac{\sqrt{14}}{7}{C}_{40}^6\cos \left(4\mathrm{\φ}\right)-\frac{\sqrt{231}}{7}{C}_{60}^6\cos \left(6\mathrm{\φ}\right)\]\end{array}$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{q\mathrm{\φ}}=\{1-\frac{\mathrm{\β}}{2}\[3C_{00}^4-2\sqrt{10}{C}_{20}^4\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)+\sqrt{70}{C}_{40}^4\cos \left(4\mathrm{\φ}\right)\]+\\ \frac{\mathrm{\γ}}{2}\[5C_{00}^6-\sqrt{105}{C}_{20}^6\cos \left(2\mathrm{\φ}\right)+3\sqrt{14}{C}_{40}^6\cos \left(4\mathrm{\φ}\right)-\sqrt{231}{C}_{60}^6\cos \left(6\mathrm{\φ}\right)\]\}{Y}_{iso}\end{array}$

计算出不同角度下，关于织构系数的屈服强度和各向异性指数q值。