CN105429721A - 一种认知无线电网络中基于用户偏好特性的频谱定价方法 - Google Patents

Abstract

一种认知无线电网络中基于用户偏好特性的频谱定价方法，根据空闲频谱的质量高低，基于Hotelling博弈模型进行频谱定价，首先构建了一个频谱定价系统模型，其中不同质量的空闲频谱形成一个频谱池，并且被划分成等宽的信道进行统一出售，认知用户根据自身的需求和频谱使用偏好来到频谱池中选择合适的信道进行购买并使用。认知用户的偏好需求主要受频谱质量及市场预估的影响，而频谱质量主要由受到的干扰决定。在该过程中，主系统与次用户之间形成一个动态的博弈过程。通过Hotelling模型对其进行建模分析，并合理的频谱定价结果。

Description

一种认知无线电网络中基于用户偏好特性的频谱定价方法

技术领域

本发明涉及一种认知无线电网络中基于授权系统频谱质量划分和认知用户偏好选择的频谱定价方法，属于认知无线电网络中的链路层资源分配技术范畴。

背景技术

在认知无线电网络中，为充分利用频谱资源并真正实现授权用户和认知用户良好的频谱资源共享，许多研究工作陆续展开。其中，动态的频谱访问和分配是认知无线电系统的中心议题。在动态频谱访问过程的下垫式(underlay)的访问方式中，认知用户在不对主用户造成干扰的状况下，其传输将被允许。在填充式(overlay)的访问中，认知用户机会占用主用户的频谱，直到他检测到主用户的再次出现。为了更合理高效的分配频谱资源给认知用户，市场机制被引入并作为一种有潜力的方式得到众多关注和研究。其中，频谱拍卖首先被作为一种可行的方案提出。

考虑到频谱交易的动态性及交易中网络中的自组织性，为了能更平滑的进行频谱交易，频谱访问的策略制定中需要适应节点的移动性、信道的时变性及网络容量的动态可变性。此时，主系统根据对次级用户的预估进行直接的频谱定价显得更为灵活和高效。恰当的经济激励是促进动态频谱访问机制形成和完善的重要手段。近些年，市场机制的频谱访问策略被讨论来形成有效的频谱定价机制。然而，在频谱交易的策略被应用到实际复杂的网络中时，也存在几个有待解决的挑战。首先，区别于传统的商品交易，频谱资源的可用性不是确定的，具有较大的随机性。暂时空闲的频带也有可能随时被主用户收回做以他用。网络的自组织性和用户的位置移动性等因素也增加了频谱定价的复杂度。此时，如何制定有效且灵活的机制应对各种情形是值得继续深入研究的。此外，当主系统出售的频谱质量出现差异性，认知用户的资金预算也不尽相同，这时认知用户需要根据自身的需求动态选择合适价格和质量的频谱，而主用户需要根据对认知用户需求的预估来制定合理的定价策略。

发明内容

为了克服现有的认知无线电网络中频谱定价方式的合理性较差的不足，本发明提供一种以最大化自身系统效益为最终目标、合理性良好的认知无线电网络中基于用户偏好特性的频谱定价方法。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种认知无线电网络中基于用户偏好特性的频谱定价方法，包括如下步骤：

1)、在等带宽条件下，具有高质量频谱的信道质量表示为C_h，低质量信道表示为C_l，则C_h＞C_l＞0.参数C_i指的是信道容量，表示为

$C_i=B{\log }_2(1+\frac{{\mathrm{\ρ}}_w}{I_{s_i}})---\left(1\right)$

其中，B是带宽，ρ_w是认知用户接收到的功率，是在该信道上受到的干扰值。在固定的带宽B和ρ_w条件下，不同的意味着不同的频谱质量；

2)、频谱定价包含两部分，一部分的价值代表可变的频谱质量，另外一部分代表收到的干扰定价；对于认知用户来讲，其效用函数表示为

U_s＝κ×θ×C_i-p_i-εI_i(2)

其中，C_i表示信道i的频谱质量，p_i是信道定价，I_i表示由该认知用户引起的干扰上升，κ和ε是货币系数，θ是用户的偏好参数，引入参数θ来表述认知用户的需求偏好，并且定义θ位于区间其概率分布密度为g(θ)；

3)、引入一个均衡偏好参数θ_b来描述认知用户的均衡状态，即当θ＝θ_b时，认知用户的效益达到均衡，即此时认知用户选择高质量信道和低质量信道将获得一样的效益，因此，有下式(3)：

$U_S=U_S^{\′}\⇒\mathrm{\κ}\×{\mathrm{\θ}}_b\×C_h-p_h-{\mathrm{\ϵI}}_h=\mathrm{\κ}\×{\mathrm{\θ}}_b\×C_l-p_l-{\mathrm{\ϵI}}_l---\left(3\right)$

经推导得：

${\mathrm{\θ}}_b=\frac{p_h-p_l+\mathrm{\ϵ}(I_h-I_l)}{\mathrm{\κ}(C_h-C_l)}---\left(4\right)$

I_i是在对应信道上产生的干扰，用公式表示，g_ij代表路径增益，表示为g_ij＝h_ijc_ij，其中是路径损坏，与距离r有关，A和α都是固定系数，c_ij是相关系数；在后面的分析和仿真中，假定g_ij是稳定的，重写公式(4)得到：

${\mathrm{\θ}}_b=\frac{p_h-p_l+{\mathrm{\ϵA\ρ}}_{w_j}(c_{hj}/r_{hj}^2-c_{lj}/r_{lj}^2)}{\mathrm{\κ}(C_h-C_l)}---\left(5\right)$

是认知用户的传输功率，当认知用户的偏好参数满足θ＞θ_b，表示该用户倾向于选择高质量信道；反之，其更愿意选择一条低质量信道进行通信；

4)、对单个信道，该边际成本为

M_i＝μC_i(6)

其中，M_i是第i个信道的边际成本，C_i是该信道的质量，μ是货币转换系数。

5)、主系统的高质量信道和低质量信道的收益函数分别表示为

$\begin{array}{c}{\mathrm{\π}}_h(p_h,p_l)=(p_h-M_h)D_h\\ =N\left(p_h-{\mathrm{\μC}}_h\right)\left\{1-G\[\frac{p_h-p_l+\mathrm{\ϵ}\left(I_h-I_l\right)}{\mathrm{\κ}\left(C_h-C_l\right)}\]\right\}\end{array}---\left(7\right)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\π}}_l(p_h,p_l)=(p_l-M_l)D_l\\ =N\left(p_l-{\mathrm{\μC}}_l\right)G\[\frac{p_h-p_l+\mathrm{\ϵ}\left(I_h-I_l\right)}{\mathrm{\κ}\left(C_h-C_l\right)}\]\end{array}---\left(8\right)$

式中，π_h(p_h,p_l)和π_l(p_h,p_l)分别为主系统的高质量和低质量信道收益函数，p_h和p_l分别为高质量和低质量信道价格，D_h和D_l分别为高质量和低质量信道需求值，N信道总数，G为认知用户需求分布函数；

6)、当认知用户的购买偏好服从一般的线性分布时，主系统的收益函数表示为

$\begin{array}{c}{\mathrm{\π}}_h\left(p_h,p_l\right)=\left(p_h-M_h\right){\∫}_{{\mathrm{\θ}}_b}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\θ}}}g\left(\mathrm{\θ}\right)d\mathrm{\θ}\\ =N\left(p_h-{\mathrm{\μC}}_h\right){\∫}_{{\mathrm{\θ}}_b}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\θ}}}\mathrm{\τ}\mathrm{\θ}d\mathrm{\θ}\\ =\frac{1}{2}\mathrm{\τ}N\left(p_h-{\mathrm{\μC}}_h\right)\left({\stackrel{\‾}{\mathrm{\θ}}}^2-{\mathrm{\θ}}_b^2\right)\end{array}---\left(9\right)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\π}}_l\left(p_h,p_l\right)=\left(p_l-M_l\right){\∫}_{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}^{{\mathrm{\θ}}_b}g\left(\mathrm{\θ}\right)d\mathrm{\θ}\\ =N\left(p_l-{\mathrm{\μC}}_l\right){\∫}_{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}^{{\mathrm{\θ}}_b}\mathrm{\τ}\mathrm{\θ}d\mathrm{\θ}\\ =\frac{1}{2}N\mathrm{\τ}\left(p_l-{\mathrm{\μC}}_l\right)\left({\mathrm{\θ}}_b^2-{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}^2\right)\end{array}---\left(10\right)$

其中，τ为线性分布的系数；

7)、对公式(9)和(10)进行求导，得主系统在该情形下的最优定价策略如下：

$\begin{array}{c}{p}_h^{k+1}=p_h^k+\frac{\∂{\mathrm{\π}}_h\left(p_h,p_l\right)}{\∂p_h}\\ =p_h^k+\frac{N\mathrm{\τ}}{2}\{{\stackrel{\‾}{\mathrm{\θ}}}^2-\frac{\left(p_h^k-p_l^k\right)\left(p_h^k-p_l^k+2\mathrm{\ϵ}\left(I_h-I_l\right)\right)}{{\mathrm{\κ}}^2{\left(C_h-C_l\right)}^2}\}\\ +\frac{{\mathrm{\ϵ}}^2{\left(I_h-I_l\right)}^2+2\left(p_h^k-{\mathrm{\μC}}_h\right)\left(p_h^k-p_l^k+\mathrm{\ϵ}\left(I_h-I_l\right)\right)}{{\mathrm{\κ}}^2{\left(C_h-C_l\right)}^2}\}\end{array}---\left(11\right)$

$\begin{array}{c}{p}_l^{k+1}=p_l^k+\frac{\∂{\mathrm{\π}}_l\left(p_h,p_l\right)}{\∂p_l}\\ =p_l^k+\frac{N\mathrm{\τ}}{2}\{\frac{\left(p_h^k-p_l^k\right)\left(p_h^k-p_l^k+2\mathrm{\ϵ}\left(I_h-I_l\right)\right)}{{\mathrm{\κ}}^2{\left(C_h-C_l\right)}^2}\\ +\frac{{\mathrm{\ϵ}}^2{\left(I_h-I_l\right)}^2+2\left(p_l^k-{\mathrm{\μC}}_l\right)\left(p_l^k-p_h^k+\mathrm{\ϵ}\left(I_h-I_l\right)\right)}{{\mathrm{\κ}}^2{\left(C_h-C_l\right)}^2}-{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}^2\}\end{array}---\left(12\right).$

本发明的技术构思为：将空闲的频谱组成一个频谱池来统一出售。在提出的系统模型中，带宽均匀的空闲频谱被划分为高质量信道和低质量信道两种信道类型进行出售，其中的频谱质量主要由在该信道通信用户受到的干扰程度高低决定。我们据此提出了一种针对认知用户需求偏好及主系统频谱质量特点的频谱定价策略。认知用户选择信道的依据主要是其自身的频谱需求及预算情况。根据认知用户需要的分布特点，我们通过建立价格博弈的Hotelling模型而确定了主系统的定价方案。本发明对待售频谱的质量进行了细分，并依据认知用户对细分频谱的需求差异完成了频谱定价。定价的针对性更强，更符合一般市场的产品差异性和规律性。本发明中所提出的技术路线和方法可更好的帮助主系统对频谱进行合理的定价，并获取更大的自身效益。

本发明的有益效果为：假定主系统工作在一个较宽的频带上，其目前闲置的频谱可构成一个共享频谱池，如图1所示。在频谱池中所有的频谱被统一均匀分隔成多条信道以备出售。由于不同频带附近的干扰情况差异，待售的信道质量不是均匀的。主系统选择部分闲置的频谱进行出售，其中被划分的信道之间的干扰可忽略。我们进一步假定每个认知用户仅购买一个信道使用。认知用户根据信道质量的差异以及自身对价格的接收程度形成自身的选择偏好，而主系统需要预估认知用户的选择偏好进而制定合适的价格策略。该策略需以最大化自身系统效益为最终目标。此时，主系统需要考虑把所有信道尽量多的销售出去，而不是只出售质量不好的信道，而保留好的信道供未来使用。

附图说明

图1是系统频谱池的示意图；其中1是高质量频谱，2是已使用频谱，3是低质量频谱，4是高质量出租信道，5是低质量出租信道。

图2是高质量信道定价曲线图；

图3是低质量信道定价曲线图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步说明。

参照图1～图3，一种认知无线电网络中基于用户偏好特性的频谱定价方法，包括如下方法：

1)、在等带宽条件下，具有高质量频谱的信道质量可表示为C_h，低质量信道为C_l，则C_h＞C_l＞0.参数C_i指的是信道容量，可表示为

$C_i=B{\log }_2(1+\frac{{\mathrm{\ρ}}_w}{I_{s_i}})---\left(1\right)$

其中，B是带宽，ρ_w是认知用户接收到的功率，是在该信道上受到的干扰值。在固定的带宽B和ρ_w条件下，不同的意味着不同的频谱质量。这里，干扰主要是由认知用户的周围小区，甚至是其他未授权的认知用户造成的。

2)、频谱定价包含两部分，一部分的价值代表可变的频谱质量，另外一部分代表收到的干扰定价。对于认知用户来讲，其效用函数可表示为

U_s＝κ×θ×C_i-p_i-εI_i(2)

其中，C_i表示信道i的频谱质量，p_i是信道定价，I_i表示由该认知用户引起的干扰上升。κ和ε是货币系数，θ是用户的偏好参数。这里，我们引入参数θ来表述认知用户的需求偏好，并且定义θ位于区间其概率分布密度为g(θ)。可以预见，拥有宽裕资金预算的认知用户将选择高质量的频谱进行购买，反之可选择低质量频谱。频谱的定价将直接决定于其质量高低，则认知用户需要在频谱质量和资金支出方面做出权衡。

3)、引入一个均衡偏好参数θ_b来描述认知用户的均衡状态。即当θ＝θ_b时，认知用户的效益达到均衡，即此时认知用户选择高质量信道和低质量信道将获得一样的效益。因此，有下式

$U_S=U_S^{\′}\⇒\mathrm{\κ}\×{\mathrm{\θ}}_b\×C_h-p_h-{\mathrm{\ϵI}}_h=\mathrm{\κ}\×{\mathrm{\θ}}_b\×C_l-p_l-{\mathrm{\ϵI}}_l---\left(3\right)$

经推导可得

${\mathrm{\θ}}_b=\frac{p_h-p_l+\mathrm{\ϵ}(I_h-I_l)}{\mathrm{\κ}(C_h-C_l)}---\left(4\right)$

I_i是在对应信道上产生的干扰，可用公式表示。g_ij代表路径增益，可表示为g_ij＝h_ijc_ij。其中是路径损坏，与距离r有关，A和α都是固定系数，c_ij是相关系数。在后面的分析和仿真中，我们假定g_ij是稳定的。重写公式(4)，我们得到

${\mathrm{\θ}}_b=\frac{p_h-p_l+{\mathrm{\ϵA\ρ}}_{w_j}(c_{hj}/r_{hj}^2-c_{lj}/r_{lj}^2)}{\mathrm{\κ}(C_h-C_l)}---\left(5\right)$

是认知用户的传输功率。当认知用户的偏好参数满足θ＞θ_b，表示该用户倾向于选择高质量信道；反之，其更愿意选择一条低质量信道进行通信。

4)、考虑主系统的待售信道也是具有一定的边际成本，即该信道目前如果不出售，未来也可以留做其他的应用，而目前完成出售，就无法进行其他的使用。对单个信道，该边际成本为

M_i＝μC_i(6)

其中，M_i是第i个信道的边际成本，C_i是该信道的质量，μ是货币转换系数。

5)、主系统的高质量信道和低质量信道的收益函数可分别表示为

$\begin{array}{c}{\mathrm{\π}}_h(p_h,p_l)=(p_h-M_h)D_h\\ =N\left(p_h-{\mathrm{\μC}}_h\right)\left\{1-G\[\frac{p_h-p_l+\mathrm{\ϵ}\left(I_h-I_l\right)}{\mathrm{\κ}\left(C_h-C_l\right)}\]\right\}\end{array}---\left(7\right)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\π}}_l(p_h,p_l)=(p_l-M_l)D_l\\ =N\left(p_l-{\mathrm{\μC}}_l\right)G\[\frac{p_h-p_l+\mathrm{\ϵ}\left(I_h-I_l\right)}{\mathrm{\κ}\left(C_h-C_l\right)}\]\end{array}---\left(8\right)$

式中，π_h(p_h,p_l)和π_l(p_h,p_l)分别为主系统的高质量和低质量信道收益函数，p_h和p_l分别为高质量和低质量信道价格，D_h和D_l分别为高质量和低质量信道需求值，N信道总数，G认知用户需求分布函数。

6)、当认知用户的购买偏好服从一般的线性分布时，主系统的收益函数可表示为

$\begin{array}{c}{\mathrm{\π}}_h\left(p_h,p_l\right)=\left(p_h-M_h\right){\∫}_{{\mathrm{\θ}}_b}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\θ}}}g\left(\mathrm{\θ}\right)d\mathrm{\θ}\\ =N\left(p_h-{\mathrm{\μC}}_h\right){\∫}_{{\mathrm{\θ}}_b}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\θ}}}\mathrm{\τ}\mathrm{\θ}d\mathrm{\θ}\\ =\frac{1}{2}\mathrm{\τ}N\left(p_h-{\mathrm{\μC}}_h\right)\left({\stackrel{\‾}{\mathrm{\θ}}}^2-{\mathrm{\θ}}_b^2\right)\end{array}---\left(9\right)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\π}}_l\left(p_h,p_l\right)=\left(p_l-M_l\right){\∫}_{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}^{{\mathrm{\θ}}_b}g\left(\mathrm{\θ}\right)d\mathrm{\θ}\\ =N\left(p_l-{\mathrm{\μC}}_l\right){\∫}_{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}^{{\mathrm{\θ}}_b}\mathrm{\τ}\mathrm{\θ}d\mathrm{\θ}\\ =\frac{1}{2}N\mathrm{\τ}\left(p_l-{\mathrm{\μC}}_l\right)\left({\mathrm{\θ}}_b^2-{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}^2\right)\end{array}---\left(10\right)$

其中，τ为线性分布的系数；

7)、对公式(9)和(10)进行求导，可得主系统在该情形下的最优定价策略如下

$\begin{array}{c}{p}_h^{k+1}=p_h^k+\frac{\∂{\mathrm{\π}}_h\left(p_h,p_l\right)}{\∂p_h}\\ =p_h^k+\frac{N\mathrm{\τ}}{2}\{{\stackrel{\‾}{\mathrm{\θ}}}^2-\frac{\left(p_h^k-p_l^k\right)\left(p_h^k-p_l^k+2\mathrm{\ϵ}\left(I_h-I_l\right)\right)}{{\mathrm{\κ}}^2{\left(C_h-C_l\right)}^2}\}\\ +\frac{{\mathrm{\ϵ}}^2{\left(I_h-I_l\right)}^2+2\left(p_h^k-{\mathrm{\μC}}_h\right)\left(p_h^k-p_l^k+\mathrm{\ϵ}\left(I_h-I_l\right)\right)}{{\mathrm{\κ}}^2{\left(C_h-C_l\right)}^2}\}\end{array}---\left(11\right)$

$\begin{array}{c}{p}_l^{k+1}=p_l^k+\frac{\∂{\mathrm{\π}}_l\left(p_h,p_l\right)}{\∂p_l}\\ =p_l^k+\frac{N\mathrm{\τ}}{2}\{\frac{\left(p_h^k-p_l^k\right)\left(p_h^k-p_l^k+2\mathrm{\ϵ}\left(I_h-I_l\right)\right)}{{\mathrm{\κ}}^2{\left(C_h-C_l\right)}^2}\\ +\frac{{\mathrm{\ϵ}}^2{\left(I_h-I_l\right)}^2+2\left(p_l^k-{\mathrm{\μC}}_l\right)\left(p_l^k-p_h^k+\mathrm{\ϵ}\left(I_h-I_l\right)\right)}{{\mathrm{\κ}}^2{\left(C_h-C_l\right)}^2}-{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}^2\}\end{array}---\left(12\right)$

公式(11)和(12)即是得到的频谱定价，该方法能保证在此种情形下的主系统收益最大化。

8)、得到的频谱定价通过仿真实验后，效果如图2和图3所示。在仿真实验中，系统的参数化设置包括：κ＝ε＝10，μ＝τ＝0.2，ΔI＝0.001mW，可以看出，迭代算法经过几次迭代后即很快收敛，性能稳定。

Claims (1)

1.一种认知无线电网络中基于用户偏好特性的频谱定价方法，其特征在于：所述方法包括如下步骤：

1)、在等带宽条件下，具有高质量频谱的信道质量表示为C_h，低质量信道表示为C_l，则C_h＞C_l＞0.参数C_i指的是信道容量，表示为

$C_i=B{\log }_2(1+\frac{{\mathrm{\ρ}}_w}{I_{s_i}})---\left(1\right)$

其中，B是带宽，ρ_w是认知用户接收到的功率，是在该信道上受到的干扰值。在固定的带宽B和ρ_w条件下，不同的意味着不同的频谱质量；

2)、频谱定价包含两部分，一部分的价值代表可变的频谱质量，另外一部分代表收到的干扰定价；对于认知用户来讲，其效用函数表示为

U_s＝κ×θ×C_i-p_i-εI_i(2)

其中，C_i表示信道i的频谱质量，p_i是信道定价，I_i表示由该认知用户引起的干扰上升，κ和ε是货币系数，θ是用户的偏好参数，引入参数θ来表述认知用户的需求偏好，并且定义θ位于区间其概率分布密度为g(θ)；

3)、引入一个均衡偏好参数θ_b来描述认知用户的均衡状态，即当θ＝θ_b时，认知用户的效益达到均衡，即此时认知用户选择高质量信道和低质量信道将获得一样的效益，因此，有下式(3)：

经推导得：

${\mathrm{\θ}}_b=\frac{p_h-p_l+\mathrm{\ϵ}(I_h-I_l)}{\mathrm{\κ}(C_h-C_l)}---\left(4\right)$

I_i是在对应信道上产生的干扰，用公式表示，g_ij代表路径增益，表示为g_ij＝h_ijc_ij，其中是路径损坏，与距离r有关，A和α都是固定系数，c_ij是相关系数；在后面的分析和仿真中，假定g_ij是稳定的，重写公式(4)得到：

${\mathrm{\θ}}_b=\frac{p_h-p_l+{\mathrm{\ϵA\ρ}}_{w_j}(c_{hj}/r_{hj}^2-c_{lj}/r_{lj}^2)}{\mathrm{\κ}(C_h-C_l)}---\left(5\right)$

是认知用户的传输功率，当认知用户的偏好参数满足θ＞θ_b，表示该用户倾向于选择高质量信道；反之，其更愿意选择一条低质量信道进行通信；

4)、对单个信道，该边际成本为

M_i＝μC_i(6)

其中，M_i是第i个信道的边际成本，C_i是该信道的质量，μ是货币转换系数；

5)、主系统的高质量信道和低质量信道的收益函数分别表示为

$\begin{array}{c}{\mathrm{\π}}_h(p_h,p_l)=(p_h-M_h)D_h\\ =N(p_h-{\mathrm{\μC}}_h)\{1-G\[\frac{p_h-p_l+\mathrm{\ϵ}(I_h-I_l)}{\mathrm{\κ}(C_h-C_l)}\]\}\end{array}---\left(7\right)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\π}}_l(p_h,p_l)=(p_l-M_l)D_l\\ =N(p_l-{\mathrm{\μC}}_l)G\[\frac{p_h-p_l+\mathrm{\ϵ}(I_h-I_l)}{\mathrm{\κ}(C_h-C_l)}\]\end{array}---\left(8\right)$

式中，π_h(p_h,p_l)和π_l(p_h,p_l)分别为主系统的高质量和低质量信道收益函数，p_h和p_l分别为高质量和低质量信道价格，D_h和D_l分别为高质量和低质量信道需求值，N信道总数，G为认知用户需求分布函数；

6)、当认知用户的购买偏好服从一般的线性分布时，主系统的收益函数表示为

$\begin{array}{c}{\mathrm{\π}}_h(p_h,p_l)=(p_h,M_h){\∫}_{{\mathrm{\θ}}_b}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\θ}}}g\left(\mathrm{\θ}\right)d\mathrm{\θ}\\ =N(p_h-{\mathrm{\μC}}_h){\∫}_{{\mathrm{\θ}}_b}^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\θ}}}\mathrm{\τ}\mathrm{\θ}d\mathrm{\θ}\\ =\frac{1}{2}\mathrm{\τ}N(p_h-{\mathrm{\μC}}_h)({\stackrel{\‾}{\mathrm{\θ}}}^2-{\mathrm{\θ}}_b^2)\end{array}---\left(9\right)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\π}}_l(p_h,p_l)=(p_l,M_l){\∫}_{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}^{{\mathrm{\θ}}_b}g\left(\mathrm{\θ}\right)d\mathrm{\θ}\\ =N(p_l-{\mathrm{\μC}}_l){\∫}_{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}^{{\mathrm{\θ}}_b}\mathrm{\τ}\mathrm{\θ}d\mathrm{\θ}\\ =\frac{1}{2}N\mathrm{\τ}(p_l-{\mathrm{\μC}}_l)({\mathrm{\θ}}_b^2-{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}^2)\end{array}---\left(10\right)$

其中，τ为线性分布的系数；

7)、对公式(9)和(10)进行求导，得主系统在该情形下的最优定价策略如下：

$\begin{array}{c}{p}_h^{k+1}=p_h^k+\frac{\∂{\mathrm{\π}}_h(p_h,p_l)}{\∂p_h}\\ =p_h^k+\frac{N\mathrm{\τ}}{2}\{{\stackrel{\‾}{\mathrm{\θ}}}^2-\frac{(p_h^k-p_l^k)(p_h^k-p_l^k+2\mathrm{\ϵ}(I_h-I_l\left)\right)}{{\mathrm{\κ}}^2{(C_h-C_l)}^2}\}\\ +\frac{{\mathrm{\ϵ}}^2{(I_h-I_l)}^2+2(p_h^k-{\mathrm{\μC}}_h)(p_h^k-p_l^k+\mathrm{\ϵ}(I_h-I_l\left)\right)}{{\mathrm{\κ}}^2{(C_h-C_l)}^2}\}\end{array}---\left(11\right)$

$\begin{array}{c}{p}_l^{k+1}=p_l^k+\frac{\∂{\mathrm{\π}}_l(p_h,p_l)}{\∂p_l}\\ =p_l^k+\frac{N\mathrm{\τ}}{2}\{\frac{(p_h^k-p_l^k)(p_h^k-p_l^k+2\mathrm{\ϵ}(I_h-I_l\left)\right)}{{\mathrm{\κ}}^2{(C_h-C_l)}^2}\\ +\frac{{\mathrm{\ϵ}}^2{(I_h-I_l)}^2+2(p_h^k-{\mathrm{\μC}}_h)(p_l^k-p_h^k+\mathrm{\ϵ}(I_h-I_l\left)\right)}{{\mathrm{\κ}}^2{(C_h-C_l)}^2}-{\underset{\‾}{\mathrm{\θ}}}^2\}\end{array}---\left(12\right).$