CN105427833B - 一种钢琴码克弦轴孔综合定位加工方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种钢琴码克弦轴孔综合定位加工方法，该方法主要包括：首先，将钢琴码克部件的弦轴孔压入木圈并装夹固定在钻孔机床上，以钢琴码克图纸尺寸选取m(m＝5～9)个弦轴孔作为定位基准孔,记为S₁(u_S1,v_S1)、…S_i(u_Si,v_Si)、…S_m(u_Sm,v_Sm)，利用激光或红外线定位检测装置对这些基准孔进行检测、定位并获取这些基准孔圆心的实际坐标位置，记为T₁(x_T1,y_T1)、…T_i(x_Ti,y_Ti)、…T_m(x_Tm,y_Tm)；然后，采用最小二乘法，计算出实际机床工件XOY坐标系上所有弦轴孔圆心坐标的理论值Q_j(x_j,y_j)，以此理论值Q_j(x_j,y_j)，对钢琴码克进行弦轴孔木圈压入与钻孔加工。本发明通过选取多个弦轴孔作为定位基准孔，进行检测定位，采用最小二乘法得到变换模型系数，再变换到机床工件坐标系后，能够最大限度地与实际弦轴孔圆心坐标重合。

Description

一种钢琴码克弦轴孔综合定位加工方法

技术领域

本发明属于钢琴码克制造领域，具体涉及钢琴码克弦轴孔定位、弦轴孔木圈压入、弦轴孔木圈钻孔等过程。

背景技术

一、钢琴码克弦轴孔、弦轴孔木圈压入、弦轴孔木圈钻孔

钢琴码克由音板、弦轴板和码克铁板组成，是钢琴的音源系统，是声波震动引发共鸣的部分。钢琴码克铁板上的弦轴孔在前道工序，根据码克图纸上标注的弦轴孔中心坐标位置，已经对码克铁板上的弦轴孔完成了钻孔加工。

码克铁板固定安装到弦轴木板和音板上，随弦轴木板和音板整体在弦轴孔木圈压入与钻孔机床(简称机床)上进行装夹固定。数控系统根据钢琴码克图纸上弦轴孔圆心坐标值，对弦轴孔逐一进行弦轴孔木圈压入和弦轴孔木圈钻孔进行加工。也就是把直径略大于弦轴孔直径的木圈压入弦轴孔，然后对弦轴孔木圈进行钻孔，要求钻孔必须对准弦轴孔圆心(即木圈的圆心)，否则为不合格。图1(a)码克铁板上的一个弦轴孔；图1(b)是一个弦轴孔木圈，这个弦轴孔木圈将被压入弦轴孔；图1(c)是木圈压入弦轴孔后的情形；图1(d)对准弦轴孔圆心位置钻孔后的情形；图1(e)是未对准弦轴孔圆心钻孔的情形。图1(d)是合格的弦轴孔木圈压入和钻孔，图1(e)是不合格的弦轴孔木圈压入和钻孔。

二、传统的钢琴码克弦轴孔定位、弦轴孔木圈压入和钻孔

根据钢琴码克图纸上的坐标系，在弦轴孔木圈压入与钻孔机床(简称机床)上完成钢琴码克部件的工装和工件坐标原点设置后，数控系统可以根据钢琴码克图纸上弦轴孔圆心坐标值，对准弦轴孔圆心进行弦轴孔木圈压入和钻孔加工。

但是，由于码克铁板与弦轴板、音板的装配误差，码克部件在弦轴孔木圈压入与钻孔机床(简称机床)上的工装误差，以及弦轴孔木圈压入与钻孔机床(简称机床)工件原点设置的误差，机床上弦轴孔圆心坐标值与钢琴码克图纸上标记的坐标值存在一定误差。

如果按照钢琴码克图纸上的弦轴孔圆心坐标值进行弦轴孔木圈压入和钻孔加工，就会发生木圈压入偏心和钻孔偏心的问题。如图1(e)所示。

因此，需要对机床上的钢琴码克弦轴孔圆心进行检测定位，从而保障在进行木圈压入和钻孔时能够对准弦轴孔圆心。

钢琴码克图纸如图2所示，弦轴孔分布在钢琴码克铁板的下部，码克铁板四周有固定螺栓，将码克铁板固定在弦轴板和音板上。钢琴码克图纸上的坐标系记为UOV，左下角为坐标原点，坐标方向如图所示。两个弦轴孔S₁和S₂被选取为定位基准孔，其圆心坐标分别为(u_S1,v_S1)和(u_S2,v_S2)。所有弦轴孔及圆心坐标记为P_j(u _j,v_j),1≤j≤n,n为总的弦轴孔个数。

前道工序根据钢琴码克图纸，完成码克铁板弦轴孔钻孔后，码克铁板与弦轴板、音板装配成一个整体，安装到弦轴孔木圈压入与钻孔机床(简称机床)上。数控系统将机床工件XOY坐标系原点设置在钢琴码克部件的左下角，如图3所示。由于码克铁板与弦轴板、音板的装配误差，码克部件在弦轴孔木圈压入与钻孔机床(简称机床)上的工装误差，以及弦轴孔木圈压入与钻孔机床(简称机床)工件原点位置设置的误差，在机床工件坐标系下的弦轴孔圆心坐标值与钢琴码克图纸上标记的坐标值存在一定误差。机床工件XOY坐标系下定位基准孔及其圆心坐标记为T₁(x_T1,y_T1)和T₂(x_T2,y_T2)，所有弦轴孔及圆心坐标记为Q_j(x _j,y_j),1≤j≤n,n为总的弦轴孔个数。一般而言，机床上实际的弦轴孔圆心坐标与图纸上的弦轴孔圆心坐标偏差不会大于弦轴孔直径的四分之一(大约2mm左右)。

在不考虑前道工序弦轴孔钻孔误差的条件下，可以认为机床工件XOY坐标系上弦轴孔坐标值Q_j(x_j,y_j)是由图纸上坐标值P_j(u_j,v_j)进行旋转平移变换后得到，且两者差别不会很大。因此，数控系统可以根据基准孔S₁(u_S1,v_S1)和S₂(u_S2,v_S2)坐标值，控制激光或红外线定位检测装置移动到T₁(x_T1,y_T1)和T₂(x_T2,y_T2)附近，通过检测弦轴孔边沿位置坐标，精确测定T₁(x_T1,y_T1)和T₂(x_T2,y_T2)坐标值。然后，根据S₁(u_S1,v_S1)、S₂(u_S2,v_S2)、T₁(x_T1,y_T1)和T₂(x_T2,y_T2)计算出钢琴码克图纸UOV坐标系到机床工件XOY坐标系的旋转平移运算公式，并根据这一公式，和钢琴码克图纸UOV坐标系中所有弦轴孔圆心坐标P_j(u _j,v_j),计算出机床工件XOY坐标系中所有弦轴孔圆心坐标理论值Q_j(x _j,y_j),1≤j≤n,n为总的弦轴孔个数。

数控系统根据计算出的弦轴孔圆心坐标理论值Q_j(x _j,y_j)，进行弦轴孔木圈压入与钻孔加工。

但是，由于激光或红外线定位检测装置在检测基准孔边沿位置坐标时存在一定的误差，前道工序进行码克铁板弦轴孔钻孔加工时，弦轴孔边沿也会存在一定误差。这些误差可能导致弦轴基准孔圆心坐标定位存在一定的偏差。根据两个存在一定偏差的基准孔圆心坐标导出的旋转平移公式，有可能导致计算出的弦轴孔木圈压入与钻孔机床(简称机床)上弦轴孔理论圆心坐标位置与弦轴孔实际圆心坐标位置存在偏差。这一偏差可能导致弦轴孔木圈压入位置偏心，以及弦轴孔木圈中心钻孔位置偏心。这会对弦轴固定和调音时的弦轴旋转造成不稳定。

为此，本发明提出了一种钢琴码克弦轴孔综合定位方法。该方法选取5～9个弦轴孔作为定位基准孔，通过对多个弦轴定位基准孔进行定位检测，消除单纯检测2个定位基准孔所带来的误差；该方法定义6个系数，采用线性变换，建立钢琴码克图纸上弦轴孔圆心坐标到弦轴孔木圈压入与钻孔机床(简称机床)上钢琴码克弦轴孔圆心坐标之间的变换关系；通过选取的5～9个弦轴基准孔在钢琴码克图纸上的圆心坐标值和在弦轴孔木圈压入与钻孔机床(简称机床)上的实际测量坐标值，采用最小二乘法，计算得到6个变换系数。从而，使得变换公式能够保证弦轴定位基准孔圆心坐标从钢琴码克图纸坐标系UOV上经变换模型公式变换到机床工件XOY坐标系后，能够与机床工件XOY坐标系下的钢琴码克弦轴定位基准孔实际圆心坐标最大限度地接近重合。这样，根据钢琴码克图纸上所有弦轴孔圆心坐标，利用该变换公式，计算出的弦轴孔木圈压入与钻孔机床(简称机床)上全部钢琴码克弦轴孔圆心坐标的理论值。根据计算出的弦轴圆心坐标理论值，对弦轴孔圆心进行弦轴孔木圈压入与钻孔加工，可以最大限度地保证弦轴孔木圈压入与钻孔对准弦轴孔实际圆心位置。

发明内容

一、钢琴码克弦轴孔坐标系、定位基准孔与弦轴孔

在图2钢琴码克图纸的基础上，选取多个(5～9个)弦轴孔作为为定位基准孔，如图4所示。7个弦轴孔S₁、S₂、…、S₇被选取为定位基准孔，其圆心坐标分别为(u_S1,v_S1)、(u_S2,v_S2)、…、(u_S7,v_S7)。所有弦轴孔及圆心坐标记为P_j(u _j,v_j),1≤j≤n,n为总的弦轴孔个数。

在图3弦轴孔木圈压入与钻孔机床(简称机床)工件XOY坐标系下弦轴孔圆心坐标的基础上，选取与图4中定位基准孔对应的弦轴孔为定位基准孔，如图5所示。机床工件XOY坐标系下定位基准孔及其圆心坐标记为T₁(x_T1,y_T1)、T₂(x_T2,y_T2)、…、T₇(x_T7,y_T7)，所有弦轴孔及圆心坐标记为Q_j(x _j,y_j),1≤j≤n,n为总的弦轴孔个数。

二、一种钢琴码克弦轴孔综合定位方法，其特征包括如下步骤

第1步：将弦轴孔铁板固定在音板上，将音板装夹固定在弦轴孔木圈压入与钻孔机床上；

第2步：设定弦轴孔木圈压入与钻孔机床工件XOY坐标系，使得XOY坐标系与钢琴码克图纸UOV坐标系尽可能一致；

第3步：根据在钢琴码克图纸上选取相互距离较为分散的5～9个弦轴孔作为定位基准孔，记为S₁、S₂、…、S_i、…、S_m，m＝5～9。钢琴码克图纸上这些定位基准孔圆心坐标记为S₁(u_S1,v_S1)、S₂(u_S2,v_S2)、…、S_i(u_Si,v_Si)、…、S_m(u_Sm,v_Sm)；

第4步：根据钢琴码克图纸上定位基准孔圆心坐标值S₁(u_S1,v_S1)，令激光或红外线定位检测装置快速移动至定位基准孔圆心T₁(x_T1,y_T1)处。令激光或红外线定位检测装置沿X轴负方向移动，直至检测到弦轴孔T₁(x_T1,y_T1)的边沿位置，记下当前X坐标x_-；令定位检测装置沿X轴正方向移动，直至检测到弦轴孔T₁(x_T1,y_T1)的另一侧边沿位置，记下当前X坐标x₊；然后计算出数控弦轴钻孔机床上的弦轴板的弦轴孔T₁的实际圆心的X坐标x_T1＝(x_-+x₊)/2。同理，可以得到弦轴孔S₁的实际圆心的Y坐标y_T1＝(y_-+y₊)/2。至此，得到了弦轴孔T₁的实际圆心坐标位置T₁(x_T1,y_T1)；

第5步：重复第4步，依次得到机床工件XOY坐标系下的弦轴基准孔圆心坐标的实际测量值T₁(x_T1,y_T1)、T₂(x_T2,y_T2)、…、T_i(x_Ti,y_Ti)、…、T_m(x_Tm,y_Tm)；

第6步：建立钢琴码克图纸弦轴孔圆心坐标(u,v)与弦轴孔木圈压入与钻孔机床工件坐标系下的弦轴孔圆心坐标(x,y)之间的变换关系：

x＝au+bv+c (1a)

y＝du+ev+f (1b)

第7步：将钢琴码克图纸上的弦轴基准孔的圆心坐标值S₁(u_S1,v_S1)、S₂(u_S2,v_S2)、…、S_i(u_Si,v_Si)、…、S_m(u_Sm,v_Sm)代入(1)式，计算出钻孔机床工件坐标系下对应的弦轴基准孔圆心坐标的理论值T₁(x′_T1,y′_T1)、T₂(x′_T2,y′_T2)、…、T_i(x′_Ti,y′_Ti)、…、T_m(x′_Tm,y′_Tm)：

x'_Ti＝au_Si+bv_Si+c

，1≤i≤m (2)

y'_Ti＝du_Si+ev_Si+f

第8步：计算机床工件坐标系下对应的弦轴基准孔圆心坐标的理论值T₁(x′_T1,y′_T1)、T₂(x′_T2,y′_T2)、…、T_i(x′_Ti,y′_Ti)、…、T_m(x′_Tm,y′_Tm)与机床工件XOY坐标系下的弦轴基准孔圆心坐标的实际测量值T₁(x_T1,y_T1)、T₂(x_T2,y_T2)、…、T_i(x_Ti,y_Ti)、…、T_m(x_Tm,y_Tm)之间的均方差，得：

第9步：将(2)式代入(3)式，得：

第10步：将(4)式分别对变换系数a,b,c,d,e,f求偏导数，并令其等于0，得到如下方程组：

第11步：解方程组(5)，得到变换系数a,b,c,d,e,f；

第12步：将钢琴码克图纸上所有弦轴孔圆心坐标值P_j(u_j,v_j)逐一代入(1)式，得到对应的钻孔机床上对应的弦轴孔圆心坐标的理论值Q_j(x_j,y_j)，其中1≤j≤n，n为弦轴孔的总个数；

第13步：令数控弦轴钻孔机床根据弦轴孔圆心坐标的理论值Q_j(x_j,y_j)，1≤j≤n，移动到弦轴孔圆心坐标的理论位置，将弦轴木圈压入弦轴孔，并对弦轴木圈钻孔。

附图说明

图1为钢琴码克弦轴孔、木圈及木圈钻孔示意图。

其中(a)码克铁板上的弦轴孔；(b)弦轴孔木圈；(c)木圈压入弦轴孔；

(d)对准弦轴孔圆心位置钻孔；(e)未对准弦轴孔圆心钻孔。

图2为钢琴码克图纸，标注有定位基准孔与弦轴孔。

图3为弦轴孔木圈压入与钻孔机床工件坐标系下钢琴码克定位基准孔与弦轴孔。

图4为在钢琴码克图纸上选取7个定位基准孔。

图5为弦轴孔木圈压入与钻孔机床工件坐标系下的7个定位基准孔。

具体实施方式

本发明提出的钢琴码克弦轴孔综合定位方法的具体实施主要包括弦轴孔定位基准孔的选取、基准孔圆心坐标的检测测量、变换系数的计算和弦轴孔木圈压入与钻孔机床工件坐标系下所有弦轴孔圆心坐标理论值的计算4个主要步骤。

1、弦轴定位基准孔的选取

如图4钢琴码克图纸所示，弦轴孔总数为219个，选取7个弦轴孔作为定位基准孔。选取的原则是尽量分散，尽量避免在一条直线上。图4中7个定位基准孔的坐标值如下：

S₁(u_S1,v_S1)＝(70.000,98.000)

S₂(u_S2,v_S2)＝(263.770,148.070)

S₃(u_S3,v_S3)＝(511.220,67.920)

S₄(u_S4,v_S4)＝(730.220,79.940)

S₅(u_S5,v_S5)＝(1015.050,47.640)

S₆(u_S6,v_S6)＝(1172.880,28.210)

S₇(u_S7,v_S7)＝(1406.710,46.720)

2、基准孔圆心坐标的检测与测量

(1)将码克弦轴孔铁板固定在音板上，将音板装夹固定在弦轴孔木圈压入与钻孔机床上；

(2)设定弦轴孔木圈压入与钻孔机床工件XOY坐标系，使得XOY坐标系与钢琴码克图纸UOV坐标系尽可能一致；

(3)根据钢琴码克图纸上定位基准孔圆心坐标值S₁(u_S1,v_S1)，令激光或红外线定位检测装置快速移动该定位基准孔圆心附近；

(4)令激光或红外线定位检测装置沿X轴负方向移动，直至检测到弦轴孔边沿位置，记下当前X坐标x_-；令定位检测装置沿X轴正方向移动，直至检测到弦轴孔边沿位置，记下当前X坐标x₊；然后计算出数控弦轴钻孔机床上定位基准孔圆心的X坐标x_T1＝(x_-+x₊)/2。同理，可以得到定位基准孔圆心的Y坐标y_T1＝(y_-+y₊)/2。至此，得到了机床上定位基准孔T₁的圆心坐标的测量值T₁(x_T1,y_T1)；

(5)重复(3)和(4)得到机床上定位基准孔T₂～T₇的圆心坐标的测量值T₂(x_T2,y_T2)、…、T₇(x_T7,y_T7)。实际测量结果如下：

T₁(x_T1,y_T1)＝(70.018,98.243)

T₂(x_T2,y_T2)＝(263.787,148.074)

T₃(x_T2,y_T2)＝(511.324,67.775)

T₄(x_T2,y_T2)＝(730.399,79.953)

T₅(x_T2,y_T2)＝(1015.043,47.520)

T₆(x_T2,y_T2)＝(1172.859,28.174)

T₇(x_T2,y_T2)＝(1406.766,46.843)

3、变换系数的计算

把钢琴码克图纸上的基准孔圆心坐标S₁(u_S1,v_S1)～S₇(u_S7,v_S7)和实际机床上测量得到的基准孔圆心坐标T₁(x_T1,y_T1)～T₇(x_T2,y_T2)代入(5)式，计算得出：

得到钢琴码克图纸UOV坐标系下弦轴孔圆心坐标到机床工件XOY坐标系下弦轴孔圆心坐标的变换公式如下：

x＝1.0000u+0.0002v+0.0386 (6a)

y＝0u+1.0006v-0.0142 (6b)

4、机床工件XOY坐标系下弦轴孔圆心坐标理论值的计算

钢琴码克图纸上所有弦轴孔圆心坐标P_j(u_j,v_j)如表1所示，根据变换公式(6)计算得到机床工件坐标系下弦轴孔圆心坐标的理论值Q_j(x_j,y_j)，1≤j≤n，如表2所示：

表1钢琴码克图纸UOV坐标系下219个弦轴孔圆心坐标P_j(u_j,v_j)

表2机床工件XOY坐标系下219个弦轴孔圆心坐标理论值Q_j(x_j,y_j)

5、与传统旋转平移法的比较

如果按照传统的旋转平移法，仅选取UOV坐标系下S₁和S₇两个弦轴孔作为定位基准孔，测量得到机床工件XOY坐标系下相应的定位基准孔圆心坐标为T₁和T₇。根据旋转平移公式：

R_x＝(u-738.3550)cosα-(v-72.3600)sinα+l_x (7a)

R_y＝(u-738.3550)sinα+(v-72.3600)cosα+l_y (7b)

计算得到的变换公式系数如下：

由此得到旋转平移公式：

R_x＝1.0000u+0.0001v-0.0072 (8a)

R_y＝-0.0001u+1.0000v+0.0738 (8b)

根据表1和旋转平移公式(8)，得到机床上弦轴孔圆心坐标的理论值如表3所示:

表3机床工件XOY坐标系下219个弦轴孔圆心坐标理论值Q′_j(x_j,y_j)

以7个定位基准孔为例，在钢琴码克图纸UOV坐标系下的坐标为S₁(u_S1,v_S1)～S₇(u_S7,v_S7)；在机床工件XOY坐标系下测量得到实际圆心坐标为T₁(x_T1,y_T1)～T₇(x_T7,y_T7)；采用旋转平移法，得到的圆心坐标理论值为R₁(x_R1,y_R1)～R₇(x_R7,y_R7)，与实际圆心坐标的偏差为Δ_TR1～Δ_TR7；采用本发明的综合定位法，得到的圆心坐标的理论值为G₁(x_G1,y_G1)～G₇(x_G7,y_G7)，与实际圆心坐标的偏差为Δ_TG1～Δ_TG7。如表4所示。

表4旋转平移法与综合定位法比较

从表4中可以看出，旋转平移法计算得到的弦轴孔圆心坐标理论值与实际测量值偏差最大达0.3545毫米，一半以上的圆心坐标偏差在0.2毫米以上；而综合定位法这一偏差最多为0.2012毫米，且其他所有圆心坐标偏差在0.2毫米以下。更多的应用测试表明，本发明得到的弦轴孔圆心坐标理论值比旋转平移法得到的弦轴孔圆心坐标理论值更接近弦轴孔圆心坐标的实际值。

Claims (1)

1.一种钢琴码克弦轴孔综合定位加工方法，其特征包括如下步骤：

第1步：将钢琴码克弦轴孔铁板固定在音板上，将音板装夹固定在弦轴孔木圈压入与钻孔机床上；

第2步：设定弦轴孔木圈压入与钻孔机床工件XOY坐标系，使得XOY坐标系与钢琴码克图纸UOV坐标系尽可能一致；

第3步：在钢琴码克图纸上选取相互距离较为分散的5～9个弦轴孔作为定位基准孔，记为S₁、S₂、…、S_i、…、S_m，m＝5～9；钢琴码克图纸上这些定位基准孔圆心坐标记为S₁(u_S1,v_S1)、S₂(u_S2,v_S2)、…、S_i(u_Si,v_Si)、…、S_m(u_Sm,v_Sm)；弦轴孔木圈压入与钻孔机床工件XOY坐标系下，对应的定位基准孔及其圆心坐标记为T₁(x_T1,y_T1)、T₂(x_T2,y_T2)、…、T_i(x_Ti,y_Ti)、…、T_m(x_Tm,y_Tm)；

第4步：根据钢琴码克图纸上定位基准孔圆心坐标值S₁(u_S1,v_S1)，令激光或红外线定位检测装置快速移动至定位基准孔圆心T₁(x_T1,y_T1)处，令激光或红外线定位检测装置沿X轴负方向移动，直至检测到基准孔T₁(x_T1,y_T1)的边沿位置，记下当前X坐标x_-；令定位检测装置沿X轴正方向移动，直至检测到基准孔T₁(x_T1,y_T1)的另一侧边沿位置，记下当前X坐标x₊；然后计算出机床工件XOY坐标系下的基准孔T₁的圆心X坐标x_T1＝(x-+x₊)/2；同理，可以得到机床工件XOY坐标系下的弦轴孔T₁的Y坐标y_T1＝(y-+y₊)/2，至此，得到了基准孔S₁的对应的实际圆心坐标位置T₁(x_T1,y_T1)；

第5步：重复第4步，依次得到机床工件XOY坐标系下的弦轴基准孔圆心坐标的实际测量值T₁(x_T1,y_T1)、T₂(x_T2,y_T2)、…、T_i(x_Ti,y_Ti)、…、T_m(x_Tm,y_Tm)；

第6步：建立钢琴码克图纸弦轴孔圆心坐标(u,v)与弦轴孔木圈压入与钻孔机床工件坐标系下的弦轴孔圆心坐标(x,y)之间的变换关系：

x＝au+bv+c (1a)

y＝du+ev+f (1b)

第7步：将钢琴码克图纸上的弦轴基准孔的圆心坐标值S₁(u_S1,v_S1)、S₂(u_S2,v_S2)、…、S_i(u_Si,v_Si)、…、S_m(u_Sm,v_Sm)代入(1)式，计算出钻孔机床工件XOY坐标系下对应的弦轴基准孔圆心坐标的理论值T₁(x′_T1,y′_T1)、T₂(x′_T2,y′_T2)、…、T_i(x′_Ti,y′_Ti)、…、T_m(x′_Tm,y′_Tm)：

第8步：计算机床工件XOY坐标系下对应的弦轴基准孔圆心坐标的理论值T₁(x′_T1,y′_T1)、T₂(x′_T2,y′_T2)、…、T_i(x′_Ti,y′_Ti)、…、T_m(x′_Tm,y′_Tm)与机床工件XOY坐标系下的弦轴基准孔圆心坐标的实际测量值T₁(x_T1,y_T1)、T₂(x_T2,y_T2)、…、T_i(x_Ti,y_Ti)、…、T_m(x_Tm,y_Tm)之间的均方差，得：

第9步：将(2)式代入(3)式，得：

第10步：将(4)式分别对变换系数a,b,c,d,e,f求偏导数，并令其等于0，得到如下方程组：

第11步：解方程组(5)，得到变换系数a,b,c,d,e,f；

第12步：将钢琴码克图纸上所有弦轴孔圆心坐标值P_j(u_j,v_j)逐一代入(1)式，得到对应的机床上弦轴孔圆心坐标的理论值Q_j(x_j,y_j)，其中1≤j≤n，n为弦轴孔的总个数；

第13步：令数控弦轴钻孔机床根据机床工件坐标系下弦轴孔圆心坐标的理论值Q_j(x_j,y_j)，移动到弦轴孔圆心坐标的理论位置，将弦轴木圈压入弦轴孔，并对弦轴木圈钻孔。