CN105427299B

CN105427299B - 一种基于畸变校正的像机焦距求解方法

Info

Publication number: CN105427299B
Application number: CN201510778477.7A
Authority: CN
Inventors: 孙茜; 王小艺; 许继平; 王立; 张慧妍; 于家斌; 苏婷立
Original assignee: Beijing Technology and Business University
Current assignee: Beijing Technology and Business University
Priority date: 2015-11-13
Filing date: 2015-11-13
Publication date: 2018-02-16
Anticipated expiration: 2035-11-13
Also published as: CN105427299A

Abstract

本发明提出了一种基于畸变校正的像机焦距求解方法，包括图像畸变线性模型的建立和像机焦距的求解两个基本步骤。步骤一，首先建立像机成像模型，进一步通过公式推导，求解畸变前后像点间的关系式，进而建立图像畸变线性模型；步骤二，首先建立像机标定层次化模型，进而求取像机最优焦距。本发明通过建立图像畸变线性模型，进而层次化的求解像机焦距，可灵活有效的解决像机自标定过程中同时求解像机内部参数和畸变系数的问题。

Description

一种基于畸变校正的像机焦距求解方法

技术领域

本发明涉及计算机视觉和像机标定领域，尤其涉及一种基于畸变校正的像机焦距求解方法的研究。

背景技术

像机标定是从二维图像获取空间三维信息必不可少的步骤，标定结果的好坏直接影响到对数字图像进行定量分析的结果。而像机焦距是像机标定中需要获取的最重要的参数。一般对像机进行标定时主要采用线性模型，但当像机的景深较大或者像机的质量不太高时，镜头的畸变会对标定结果产生较大影响，此时，对像机参数进行估计的时候必须考虑像机镜头的畸变系数。

像机的标定方法主要分为基于靶标的标定方法和自标定方法。其中，像机自标定方法由于不需要靶标信息，提高了像机标定的灵活性和自适应性，但是多数像机自标定方法很难同时求解像机的畸变系数，都是先假定像机成像模型没有畸变，针对像机线性参数进行标定，然后在标定好的线性模型下计算图像误差，最后利用该图像误差进行畸变项的估计。或者是将内部参数，外部参数和畸变参数一起标定，但由于参数之间的耦合，可能会降低镜头畸变的标定精度。因此，需要研究更为有效的基于畸变参数的像机焦距求解方法，为进行精确的像机标定提供充实的理论依据。

发明内容

本发明的目的在于提出一种基于畸变校正的像机焦距求解方法，可提高像机标定的准确性和灵活性，可广泛应用于公共安全、智能交通、智能楼宇、环境监测等领域。

为达到上述目的，本发明提出一种基于畸变校正的像机焦距求解方法，具体包括图像畸变线性模型的建立和像机焦距的求解两个步骤。

步骤一，在本发明的一个实施例中，所述像机成像模型的建立进一步包括：将世界坐标系中的点X＝(X,Y,Z)^T投影到图像平面上，表示为x＝(x,y)^T，将其写成齐次坐标的形式X＝(X,Y,Z,1)^T、x＝(x,y,1)^T，则满足投影方程x～PX，其中，P为3×4的投影矩阵，通常表示为P＝K[R|t]，其中，R、t分别为像机坐标系相对于世界坐标系的旋转矩阵和平移向量，K为像机的内部参数矩阵，其中，f为像机的焦距，(u₀,v₀)为主点坐标，c为歪斜量(通常c＝0)；实际上，镜头的成像都带有不同程度的畸变，因此，理论成像点x＝(x,y)^T在受到镜头畸变影响后的实际像点为x′＝(x′,y′)^T，二者间的关系为x＝x′+δx,y＝y′+δy，其中，δx和δy为非线性畸变值；理论上镜头会同时存在径向畸变和切向畸变，但切向畸变比较小，可忽略，径向畸变的表达式为δx＝(x′-u₀)(k₁r²+k₂r⁴+…),δy＝(y′-v₀)(k₁r²+k₂r⁴+…)其中，r²＝(x′-u₀)²+(y′-v₀)²；一般而言，一阶径向畸变已足够描述非线性畸变模型，因此，径向畸变表达式可写为δx＝(x′-u₀)kr²,δy＝(y′-v₀)kr²；像机非线性模型的内部参数由线性模型参数f、τ、(u₀,v₀)和非线性畸变参数k共同构成；假定(u,v)是真实的像点坐标，和分别为主点坐标校正到图像中心、且纵横轴坐标归一化到相同比例的理想像点和畸变后的像点，(x,y)和是归一化到理想像机下的理想像点和畸变后的像点；通常只考虑一阶径向畸变，存在如下畸变公式：其中，k为径向畸变系数；对于主点坐标校正到图像中心、且纵横轴坐标归一化到相同比例的畸变后的像点坐标存在以下关系：则有，

其中，考虑极坐标系：对于径向畸变，有代入上述畸变公式可得整理可得已知和通常情况下，可用如下求根公式计算当时，可由畸变后的坐标求得，其中，将上写成如下形式：其中：则分别对上两式求偏导可得：

因此，同理，可由畸变后的坐标求得，其中，可写成如下形式：则有：其中，进一步建立图像畸变线性模型，已知：因此，用泰勒公式展开可得：

上式省略二阶无穷小，并写成矩阵形式为上式即为图像畸变线性模型。

步骤二，在本发明的一个实施例中，所述像机焦距的求解进一步包括：像机内部参数矩阵可写为：基本矩阵其中：t＝[t_x t_y t_z]^T，由基本矩阵的基本性质可知：x^TFx'＝0，其中，是两幅图像的任意一对理想匹配点。因此，可以得出图像匹配点和像机内外部参数之间的关系式：上式可简写为：其中， G中只包含了像机的外部参数和焦距；根据上述对畸变的分析，式可重写为：式中：

由归一化后的图像及其匹配点，可进一步求解G矩阵；对G进行奇异值分解可得：G＝PΛW^T，其中，Λ＝diag(a,b,0)，(a,b>0)P和W为两个正交矩阵将上式代入Kruppa方程可得：Gdiag(f²,f²,1)G^T∝[e']_×diag(f²,f²,1)[e']_× ^T，进一步上式可写为：PΛW^Tdiag(f²,f²,1)WΛP^T∝[p₃]_×diag(f²,f²,1)[p₃]_× ^T，该式可分解为如下三个方程：

f²(ap₁₃p₂₃(1-w₁₃ ²)+bw₁₃w₂₃(1-p₂₃ ²))+p₂₃w₁₃(ap₁₃w₁₃+bp₂₃w₂₃)＝0

f²(aw₁₃w₂₃(1-p₁₃ ²)+bp₁₃p₂₃(1-w₂₃ ²))+p₁₃w₂₃(ap₁₃w₁₃+bp₂₃w₂₃)＝0

f⁴(a²(1-p₁₃ ²)(1-w₁₃ ²)-b²(1-p₂₃ ²)(1-w₂₃ ²))+f²(a²(p₁₃ ²+w₁₃ ²-2p₁₃ ²w₁₃ ²)

-b²(p₂₃ ²+w₂₃ ²-2p₂₃ ²w₂₃ ²))+(a²p₁₃ ²w₁₃ ²-b²p₂₃ ²w₂₃ ²)＝0

上三式为基本的标定方程，通过最小二乘方法进行优化可求得最优焦距。

本发明提出的一种基于畸变校正的像机焦距求解方法，可克服现有像机自标定时不能同时进行畸变参数标定的问题，为像机实现精确灵活的标定提供了有力的研究基础。

附图说明

图1为本发明实施例的基于畸变校正的像机焦距求解方法流程图。

具体实施方式

下面详细描述本发明的实施例，所述实施例的示例在附图中示出，其中自始至终相同或类似的标号表示相同或类似的意义。下面所描述的实施例是示例性的，仅用于解释本发明，而不能解释为对本发明的限制。

本发明是针对像机自标定过程中，难以同时标定内部参数和畸变系数的问题，提出的一种基于畸变校正的像机焦距求解方法。

为了能够对本发明有更清楚的理解，在此进行简要描述。本发明包括两个基本步骤：步骤一，图像畸变线性模型的建立；步骤二，像机焦距的求解。

具体的，图1所示为本发明实施例的一种图像传感器网络优化部署方法的流程图，包括以下步骤：

步骤S101，建立像机成像模型。

在本发明的一个实施例中，将世界坐标系中的点X＝(X,Y,Z)^T投影到图像平面上，表示为x＝(x,y)^T，将其写成齐次坐标的形式X＝(X,Y,Z,1)^T、x＝(x,y,1)^T，则满足投影方程：

x～PX (1)

其中，P为3×4的投影矩阵，通常表示为：

P＝K[R|t] (2)

其中，R、t分别为像机坐标系相对于世界坐标系的旋转矩阵和平移向量，K为像机的内部参数矩阵，K可以写成如下形式：

其中，f为像机的焦距，(u₀,v₀)为主点坐标，c为歪斜量(通常c＝0)。

镜头的成像都带有不同程度的畸变，因此，理论成像点x＝(x,y)^T在受到镜头畸变影响后的实际像点为x′＝(x′,y′)^T，二者间的关系见式(4)：

x＝x′+δx

(4)

y＝y′+δy

其中，δx和δy为非线性畸变值，理论上镜头会同时存在径向畸变和切向畸变，但切向畸变比较小，可忽略，径向畸变的表达式见式(5)：

δx＝(x′-u₀)(k₁r²+k₂r⁴+…)

(5)

δy＝(y′-v₀)(k₁r²+k₂r⁴+…)

其中，r²＝(x′-u₀)²+(y′-v₀)²；

一般而言，一阶径向畸变已足够描述非线性畸变模型，因此，式(5)可写成：

δx＝(x′-u₀)kr²

(6)

δy＝(y′-v₀)kr²

像机非线性模型的内部参数由线性模型参数f、τ、(u₀,v₀)和非线性畸变参数k共同构成；

步骤S102，畸变参数的求解。

在本发明的一个实施例中，假定(u,v)是真实的像点坐标，和分别为主点坐标校正到图像中心、且纵横轴坐标归一化到相同比例的理想像点和畸变后的像点，(x,y)和是归一化到理想像机下的理想像点和畸变后的像点；通常只考虑一阶径向畸变，存在如下畸变公式：

其中，k为径向畸变系数；

对于主点坐标校正到图像中心、且纵横轴坐标归一化到相同比例的畸变后的像点坐标存在以下关系：

则有：

其中，

考虑极坐标系：

对于径向畸变，存在式(11)：

代入上述畸变公式可得：

整理可得：

已知和通常情况下，可用如下求根公式计算

当时，则归一化后的坐标可由畸变后的坐标求得：

将式(15)写成如下形式：

其中：

则分别对式(18)和式(19)求偏导可得：

因此：

同理，将式(16)写成如下形式：

则有：

其中，

已知：

因此，

利用泰勒公式展开可得：

上式省略二阶无穷小可得：

将式(33)、式(34)写成矩阵形式：

式(35)即为图像畸变线性模型。

步骤S103，建立层次化模型。

在本发明的一个实施例中，由式(3)可知，像机的内部参数矩阵可写为：

基本矩阵为：

其中：

t＝[t_x t_y t_z]^T (38)

由基本矩阵的基本性质可知：

x^TFx'＝0 (40)

其中，是两幅图像的任意一对理想匹配点。

将式(37)代入式(40)可得：

上式可简写为：

其中，G中只包含了像机的外部参数和焦距；

根据上述对畸变的分析，式可重写为：

式中：

由归一化后的图像及其匹配点，利用规范化的八点法可进一步求解G矩阵。由式(42)可知，当给定足够多的匹配点时(至少7对)，可以求解G矩阵。进一步地说，记每一组匹配点提供关于G矩阵的未知元素的一个线性方程。因此，若有n组匹配点集合，可得到如下线性方程组：

其中，g＝(g₁₁ g₁₂ g₁₃ g₂₁ g₂₂ g₂₃ g₃₁ g₃₂ g₃₃)^T，为由G的元素组成，并按行优先顺序排列的9维矢量，通过该式可求解G矩阵。

步骤S104，求取像机最优焦距。

在本发明的一个实施例中，首先，对G进行奇异值分解可得：

G＝PΛW^T (46)

其中，Λ＝diag(a,b,0)，(a,b>0)P和W为两个正交矩阵；

将上式代入Kruppa方程可得：

Gdiag(f²,f²,1)G^T∝[e']_×diag(f²,f²,1)[e']_× ^T (47)

其中，[e']_×为e'的反对称阵。

进一步上式可写为：

PΛW^Tdiag(f²,f²,1)WΛP^T∝[p₃]_×diag(f²,f²,1)[p₃]_× ^T (48)

其中，p₃＝[p₁₃ p₂₃ p₃₃]，[p₃]_×为p₃的反对称阵。

式(48)可分解为如下三个方程：

f²(ap₁₃p₂₃(1-w₁₃ ²)+bw₁₃w₂₃(1-p₂₃ ²))+p₂₃w₁₃(ap₁₃w₁₃+bp₂₃w₂₃)＝0 (49)

f²(aw₁₃w₂₃(1-p₁₃ ²)+bp₁₃p₂₃(1-w₂₃ ²))+p₁₃w₂₃(ap₁₃w₁₃+bp₂₃w₂₃)＝0 (50)

(51)

上三式为基本的标定方程；通常，由式(51)即可求得焦距，式(49)和式(50)作为验证标定结果的方程。

从左右两个视角可得到n幅图像，进而可得到个基本矩阵，个G矩阵。并且，式(51)可写为：

Af⁴+Bf²+C＝0 (52)

其中，A＝a²(1-p₁₃ ²)(1-w₁₃ ²)-b²(1-p₂₃ ²)(1-w₂₃ ²)，C＝(a²p₁₃ ²w₁₃ ²-b²p₂₃ ²w₂₃ ²)，B＝a²(p₁₃ ²+w₁₃ ²-2p₁₃ ²w₁₃ ²)-b²(p₂₃ ²+w₂₃ ²-2p₂₃ ²w₂₃ ²)；

对个G矩阵进行奇异值分解，可得到下列方程组：

进而，通过最小二乘法求得最优的焦距。

通过本发明提出的一种基于畸变校正的像机焦距求解方法，可以克服现有像机自标定过程中难以同时得到像机内参数和畸变系数的问题，为像机自标定提供了有力的研究基础。

最后应说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制。本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述实施例所记载的技术方案进行修改，或对其中部分技术特征进行等同替换，而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的精神和范围，本发明的范围由所附权利要求及其等同限定。

Claims

1.一种基于畸变校正的像机焦距求解方法，其特征在于，包括图像畸变线性模型的建立和像机焦距的求解两个步骤，

所述图像畸变线性模型的建立包括：

(1)建立像机成像模型：将世界坐标系中的点X＝(X,Y,Z)^T投影到图像平面上，表示为x＝(x,y)^T，将其写成齐次坐标的形式X＝(X,Y,Z,1)^T、x＝(x,y,1)^T，则满足投影方程：

x～PX (1)

其中，P为3×4的投影矩阵，表示为：

P＝K[R|t] (2)

其中，R、t分别为像机坐标系相对于世界坐标系的旋转矩阵和平移向量，K为像机的内部参数矩阵，K写成如下形式：

其中，f为像机的焦距，(u₀,v₀)为主点坐标，c为歪斜量，取c＝0；

实际上，镜头的成像都带有不同程度的畸变，因此，理论成像点x＝(x,y)^T在受到镜头畸变影响后的实际像点为x′＝(x′,y′)^T，二者间的关系见式(4)：

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其中，δx和δy为非线性畸变值，理论上镜头会同时存在径向畸变和切向畸变，但切向畸变比较小，将其忽略，径向畸变的表达式见式(5)：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>-</mo> <msub> <mi>u</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mi>r</mi> <mn>4</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>...</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&delta;</mi> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mi>r</mi> <mn>4</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>...</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，r²＝(x′-u₀)²+(y′-v₀)²；

一阶径向畸变已足够描述非线性畸变模型，因此，式(5)写成：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>-</mo> <msub> <mi>u</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>kr</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&delta;</mi> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>kr</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

(2)畸变参数的求解：假定(u,v)是真实的像点坐标，和分别为主点坐标校正到图像中心、且纵横轴坐标归一化到相同比例的理想像点和畸变后的像点，(x,y)和是归一化到理想像机下的理想像点和畸变后的像点；只考虑一阶径向畸变，存在如下畸变公式：

其中，k为径向畸变系数；

则有：

其中，

考虑极坐标系：

对于径向畸变，存在式(11)：

代入上述畸变公式得：

整理得：

已知和用如下求根公式计算

当时，则归一化后的坐标由畸变后的坐标求得：

将式(15)写成如下形式：

其中：

则分别对式(18)和式(19)求偏导得：

因此：

同理，将式(16)写成如下形式：

则有：

其中，

并且，已知：

因此，

利用泰勒公式展开并省略二阶无穷小得：

将式(31)、式(32)写成矩阵形式：

所述像机焦距的求解包括：

(1)建立层次化模型：由式(3)知，像机的内部参数矩阵为：

基本矩阵为：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>F</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>K</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mi>t</mi> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mo>&times;</mo> </msub> <msup> <mi>RK</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&tau;</mi> <mi>f</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mn>0</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mi>f</mi> </mtd> <mtd> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mrow> <mo>-</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mi>t</mi> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mo>&times;</mo> </msub> <mi>R</mi> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&tau;</mi> <mi>f</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mn>0</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mi>f</mi> </mtd> <mtd> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&tau;</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mn>0</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mrow> <mo>-</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>f</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mi>f</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mrow> <mo>-</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mi>t</mi> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mo>&times;</mo> </msub> <mi>R</mi> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>f</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mi>f</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&tau;</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mn>0</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>35</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中：

t＝[t_x t_y t_z]^T (36)

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由基本矩阵的基本性质得到：

x^TFx'＝0 (38)

其中，是两幅图像的任意一对理想匹配点；

将式(35)代入式(38)得：

<mrow> <msup> <mi>x</mi> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&tau;</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mn>0</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mrow> <mo>-</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>f</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mi>f</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mrow> <mo>-</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mi>t</mi> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mo>&times;</mo> </msub> <mi>R</mi> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>f</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mi>f</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&tau;</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mn>0</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>x</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>39</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

上式简写为：

<mrow> <msup> <mover> <mi>x</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>T</mi> </msup> <mi>G</mi> <msup> <mover> <mi>x</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>40</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，G中只包含了像机的外部参数和焦距；

根据上述对畸变的分析，式重写为：

<mrow> <msup> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mn>0</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>T</mi> </msup> <msup> <mi>M</mi> <mi>T</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo>,</mo> <mi>&tau;</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>k</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>GM</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo>,</mo> <mi>&tau;</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>k</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mn>0</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>41</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

式中：

由归一化后的图像及其匹配点，通过规范化的八点法求解G矩阵；

(2)求取像机最优焦距：

首先，对G进行奇异值分解得：

G＝PΛW^T (44)

其中，Λ＝diag(a,b,0)，(a,b＞0)P和W为两个正交矩阵；

将上式代入Kruppa方程得：

Gdiag(f²,f²,1)G^T∝[e']_×diag(f²,f²,1)[e']_× ^T (45)

其中，[e']_×为e'的反对称阵；

进一步上式写为：

PΛW^Tdiag(f²,f²,1)WΛP^T∝[p₃]_×diag(f²,f²,1)[p₃]_× ^T (46)

其中，p₃＝[p₁₃ p₂₃ p₃₃]，[p₃]_×为p₃的反对称阵；

式(48)分解为如下三个方程：

f²(ap₁₃p₂₃(1-w₁₃ ²)+bw₁₃w₂₃(1-p₂₃ ²))+p₂₃w₁₃(ap₁₃w₁₃+bp₂₃w₂₃)＝0 (47)

f²(aw₁₃w₂₃(1-p₁₃ ²)+bp₁₃p₂₃(1-w₂₃ ²))+p₁₃w₂₃(ap₁₃w₁₃+bp₂₃w₂₃)＝0 (48)

上三式为基本的标定方程；由式(49)即可求得焦距，式(47)和式(48)作为验证标定结果的方程；

从左右两个视角得到n幅图像，进而得到个基本矩阵，个G矩阵；并且，式(49)写为：

Af⁴+Bf²+C＝0 (50)

对个G矩阵进行奇异值分解，得到下列方程组：

进而，通过最小二乘法求得最优的焦距。