CN105423588A - 基于熵分析的三级热耦合型高频脉冲管制冷机的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于熵分析的三级热耦合型高频脉冲管制冷机的设计方法，共分六步：1)建立模型；2)建立合理的基本假设，简化模型；3)基于熵分析，对第一级的性能进行分析；4)在前面的研究基础上，对第二级性能进行分析；5)将前面的分析结果代入第三级，得到第三级制冷性能与各级工作参数的解析关系；6)基于前述模拟结果，根据实际需求，对包括各级的输入声功、制冷温度、充气压力、压比、工作频率、回热器尺寸、热桥连接位置、蓄冷填料等在内的各项工作参数进行优化设计，以达到最佳工作状态。本发明可以显著降低各项不可逆损失，提高系统制冷效率，对三级热耦合型高频脉冲管制冷机的实用化发展具有重要意义。

Description

基于熵分析的三级热耦合型高频脉冲管制冷机的设计方法

技术领域

本发明涉及制冷与低温工程领域，特别涉及一种基于熵分析的三级热耦合型高频脉冲管制冷机的设计方法。

背景技术

在国际范围内，低温制冷技术在过去的近半个世纪中都得到了快速发展，并在航空航天、国防、超导工业、医疗、能源以及低温物理等领域有着广泛应用。低至10K及其以下的深低温区在甚长波红外探测、太赫兹探测、X射线探测、低温超导等领域更有着不可替代的应用。相比较低温液体杜瓦，机械制冷方法体积小、重量轻、维护方便、工作寿命长，在机动性、可靠性、使用寿命等方面具有很大优势，在航天和军事等领域优势更为明显。机械制冷方法要实现10K及以下的深低温区，常需要使用三级或以上级数的多级系统。脉冲管制冷机取消了广泛应用于常规回热式机械制冷机的冷端排出器，因而在回热式制冷机中实现多级系统最为方便；再加上脉冲管制冷机冷端低振动、低干扰和无磨损的天然优势，因而近年来成为深低温区多级机械制冷研究的热点。

多级脉冲管制冷机主要分为热耦合型和气耦合型，国际上对这两种类型的多级系统都尝试采用各自的设计方法，但目前尚没有总结出一种行之有效的公认的设计原则。特别是针对三级高频脉冲管制冷机的基于熵分析的设计方法，目前在公开文献上尚未见报道。

发明内容

鉴于现有技术的不足，本文提出一种基于熵分析的三级热耦合型高频脉冲管制冷机的设计方法：

本发明的目的在于，提供了一种三级热耦合型高频脉冲管制冷机的设计方法。通过该设计方法，可以在确定制冷需求及基本工作参数的情况下，对包括各级脉冲管制冷机的输入声功、制冷温度、充气压力、压比、工作频率、回热器尺寸、热桥连接位置、蓄冷填料等在内的各项工作参数进行优化设计分析，从而显著地降低各项不可逆损失，提高系统工作效率。

该设计方法包括以下步骤：

步骤一：建立三级热耦合型高频脉冲管制冷机计算模型，该模型包括：第一级压缩机1、第一级连管2、第一级级后冷却器3、第一级回热器4、第一级冷端换热器5、第一级脉冲管6、第一级热端换热器7、第一级惯性管8、第一级气库9、第二级压缩机10、第二级连管11、第二级级后冷却器12、第二级回热器13、第二级冷端换热器14、第二级脉冲管15、第二级热端换热器16、第二级惯性管17、第二级气库18、第三级压缩机19、第三级连管20、第三级级后冷却器21、第三级回热器22、第一级热桥23、第二级热桥24、第三级冷端换热器25、第三级脉冲管26、第三级热端换热器27、第三级惯性管28和第三级气库29。

其中，第一级冷端换热器5通过第一级热桥23分别与第二级回热器13和第三级回热器22相连，并对后两级脉冲管制冷机进行预冷。第二级冷端换热器14则通过第二级热桥24与第三级回热器22相连，并对第三级脉冲管制冷机进行预冷。

三级脉冲管制冷机热端工作温度均为T₀，冷端温度依次为T_c1、T_c2和T_c3。三级脉冲管制冷机输入声功分别为W₁、W₂、W₃；第一级脉冲管制冷机总制冷量为Q_t1，通过第一级热桥23预冷第二级的预冷量为Q_p12，预冷第三级的预冷量为Q_p13，可取出的制冷量为Q_c1；第二级脉冲管制冷机总制冷量为Q_t2，通过第二级热桥24预冷第三级的预冷量为Q_p23，可取出的制冷量为Q_c2；第三级脉冲管制冷机制冷量为Q_c3，该制冷量可以被全部取出；则三级脉冲管制冷机的冷量之间存在如下关系：

Q_t1＝Q_c1+Q_p12+Q_p13(1)

Q_t2＝Q_c2+Q_p23(2)

步骤二：建立基本假设，在基于熵分析的回热器设计方法中，建立如下假设：首先，仅考虑回热器部分的损失；其次，假定冷、热端换热器保持温度恒定，基于此假设，则回热器进、出口位置时均熵流均为0。

步骤三：基于以上假设，采用熵分析法得到第一级脉冲管制冷机的总制冷量表达式：

$Q_{t1}=\frac{T_{c1}}{T_0}{W}_1-\frac{T_{c1}}{T_0}{Q}_{ah1}-T_{c1}{S}_{g1}---\left(3\right)$

式中：Q_ah1为第一级回热器4热端轴向导热量，S_g1为第一级回热器4内总熵产。

第一级回热器4热端的轴向导热量计算公式为：

$Q_{ah1}=-({\mathrm{\λ}}_{w1}{A}_{w1}+{\mathrm{\λ}}_{i1}{A}_{i1})\frac{dT}{dl}{|}_{l=0}---\left(4\right)$

第一级回热器4中的熵产主要包括三个部分：轴向导热损失S_g-a1，压降损失S_g-p1，工质与丝网的不可逆换热损失S_g-c1：

S_g1＝S_g-a1+S_g-p1+S_g-c1(5)

其中，由轴向导热引发的熵产表达式为：

${\mathrm{dS}}_{g-ai1}=({\mathrm{\λ}}_{w1}{A}_{w1}+{\mathrm{\λ}}_{i1}{A}_{i1})\·\frac{1}{T^2}\·{\left(\frac{dT}{dl}\right)}^2\·dl---\left(6\right)$

式中：λ_w1为第一级回热器4管壁导热系数，A_w1为第一级回热器4管壁横截面积，λ_i1为第一级回热器4内部导热系数，A_i1为第一级回热器4内部横截面积。

由压降导致的熵产微分表达式为：

式中：R为理想气体常数，τ₁为第一级脉冲管制冷机工作周期，p_s1为第一级充气压力，为l处的质量流振幅，p_dl为l处动压振幅，θ_pl为l处压力波的相位角，△θ_l为l处压力波与质量流的相位差。动压振幅与相位角可以通过如下公式求解：

式中：为体积流率，r_g为回热器中单位长度的阻抗，g为控制源项，ω为角频率，c_p为工质的等压比热容，c_V为工质的等容比热容。联立公式(8)、(9)可解得压力波与质量流的振幅和相位角。

由工质与丝网不可逆换热导致的熵产微分表达式为：

式中：c_m为第一级回热器4中蓄冷填料的比热容，ρ_m为蓄冷填料的密度，为第一级回热器4中的空隙率，f₁为第一级脉冲管制冷机的工作频率，h_gm,1表示l处工质与丝网的对流换热系数，β₁为第一级回热器的比表面积，|T_m|为l处蓄冷填料的温度振幅。

在l处工质与丝网的对流换热系数计算表达式为：

h_gm,l＝λ_gNu_l/d_h(11)式中：λ_g表示工质的导热系数，Nul表示l处工质的努谢尔数，dh为水利直径。努谢尔数可以通过经验公式计算：

式中：Pe_l为工质在l处的贝克莱数。

将表达式(4)、(5)、(6)、(7)、(10)、(11)、(12)代入(3)式中，并在第一级回热器4长度L₁上求积分，即可得到第一级脉冲管制冷机总制冷量与各工作参数的解析表达式。

步骤四：采用类似的熵分析方法，得到第二级脉冲管制冷机制冷量的解析表达式：

$Q_{t2}=\frac{T_{c2}}{T_0}{W}_2+\frac{T_{c2}}{T_{c1}}{Q}_{p12}-\frac{T_{c2}}{T_0}{Q}_{ah2}-T_{c2}{S}_{g2}---\left(13\right)$

式中:Q_p12为第一级脉冲管制冷机预冷第二级的预冷量，Q_ah2为第二级回热器13热端轴向导热量，S_g2为第二级回热器13中的熵产。

第一级脉冲管制冷机预冷第二级的预冷量Q_p12计算式为:

$Q_{p12}=-({\mathrm{\λ}}_{w2}{A}_{w2}+{\mathrm{\λ}}_{i2}{A}_{i2})(\frac{dT}{dl}{|}_{{L_{21}}^{-}}-\frac{dT}{dl}{|}_{{L_{21}}^{+}})---\left(14\right)$

式中：λ_w2为第二级回热器13管壁导热系数，A_w2为第二级回热器13管壁横截面积，λ_i2为第二级回热器13内部导热系数，A_i2为第二级回热器13内部横截面积，L₂₁为第二级回热器13热端到第一级热桥23连接处的长度。

第二级回热器13热端轴向导热量Q_ah2计算表达式为：

$Q_{ah2}=-({\mathrm{\λ}}_{w2}{A}_{w2}+{\mathrm{\λ}}_{i2}{A}_{i2})\frac{dT}{dl}{|}_{l=0}---\left(15\right)$

第二级回热器13中熵产同样由三部分组成：轴向导热、压降损失以及工质与丝网的不可逆换热：

S_g2＝S_g-a2+S_g-p2+S_g-c2(16)

轴向导热引起的熵产表达式为：

${\mathrm{dS}}_{g-a2}=({\mathrm{\λ}}_{w2}{A}_{w2}+{\mathrm{\λ}}_{i2}{A}_{i2})\·\frac{1}{T^2}\·{\left(\frac{dT}{dl}\right)}^2\·dl---\left(17\right)$

压降引起的熵产微分表达式为：

式中：R为理想气体常数，τ₂为第二级脉冲管制冷机工作周期，p_s2为第二级充气压力，为l处的质量流振幅，p_dl为l处动压振幅，θ_pl为l处压力波的相位角，△θ_l为l处压力波与质量流的相位差。压力波与质量流的振幅和相位角可以通过表达式(8)、(9)进行计算。

由工质与丝网不可逆换热导致的熵产微分表达式为：

式中：c_m为第二级回热器13中蓄冷填料的比热容，ρ_m为蓄冷填料的密度，为第二级回热器13中的空隙率，f₂为第二级脉冲管制冷机的工作频率，h_gm,1表示l处工质与丝网的对流换热系数，其值可以通过表达式(11)、(12)计算得到，β₂为第二级回热器的比表面积，|T_m|为l处蓄冷填料的温度振幅。

将表达式(14)到(19)代入(13)式中，并在第二级回热器13长度L₂上求积分，即可得到第二级脉冲管制冷机总制冷量与各工作参数的解析表达式。

步骤五：根据热力学第二定律，采用熵分析方法，得到第三级脉冲管制冷机制冷量的解析表达式：

$Q_{c3}=\frac{T_{c3}}{T_0}{W}_3+\frac{T_{c3}}{T_{c1}}{Q}_{p13}+\frac{T_{c3}}{T_{c2}}{Q}_{p23}-\frac{T_{c3}}{T_0}{Q}_{ah3}-T_{c3}{S}_{g3}---\left(20\right)$

式中：Q_p13为第一级脉冲管制冷机预冷第三级的预冷量，Q_p23为第二级脉冲管制冷机预冷第三级的预冷量，Q_ah3为第三级回热器22热端轴向导热量，S_g3为第三级回热器22中的熵产。

第一级脉冲管制冷机预冷第三级的预冷量Q_p13计算式为：

$Q_{p13}=-({\mathrm{\λ}}_{w3}{A}_{w3}+{\mathrm{\λ}}_{i3}{A}_{i3})(\frac{dT}{dl}{|}_{{L_{31}}^{-}}-\frac{dT}{dl}{|}_{{L_{31}}^{+}})---\left(21\right)$

式中：λ_w3为第三级回热器22管壁导热系数，A_w3为第三级回热器22管壁横截面积，λ_i3为第三级回热器22内部导热系数，A_i3为第三级回热器22内部横截面积，L₃₁为第三级回热器22热端到第一级热桥23连接处的长度。

第二级脉冲管制冷机预冷第三级的预冷量Q_p23计算式为：

$Q_{p23}=-({\mathrm{\λ}}_{w3}{A}_{w3}+{\mathrm{\λ}}_{i3}{A}_{i3})(\frac{dT}{dl}{|}_{{(L_{31}+L_{32})}^{-}}-\frac{dT}{dl}{|}_{{(L_{31}+L_{32})}^{+}})---\left(22\right)$

式中：L₃₂为第一级热桥23连接处到第二级热桥24连接处的长度，则(L₃₁+L₃₂)表示第三级回热器22热端到第二级热桥24连接处的长度。

第三级回热器22热端轴向导热量Q_ah3计算表达式为：

$Q_{ah3}=-({\mathrm{\λ}}_{w3}{A}_{w3}+{\mathrm{\λ}}_{i3}{A}_{i3})\frac{dT}{dl}{|}_{l=0}---\left(23\right)$

与前两级类似，第三级回热器22中的熵产同样由三部分组成：轴向导热、压降损失以及工质与蓄冷填料的不可逆换热：

S_g3＝S_g-a3+S_g-p3+S_g-c3(24)

轴向导热引起的熵产表达式为：

${\mathrm{dS}}_{g-a3}=({\mathrm{\λ}}_{w3}{A}_{w3}+{\mathrm{\λ}}_{i3}{A}_{i3})\·\frac{1}{T^2}\·{\left(\frac{dT}{dl}\right)}^2\·dl---\left(25\right)$

压降引起的熵产微分表达式为：

式中：R为理想气体常数，τ₃为第三级脉冲管制冷机工作周期，p_s3为第三级充气压力，为l处的质量流振幅，p_dl为l处动压振幅，θ_pl为l处压力波的相位角，△θ_l为l处压力波与质量流的相位差。压力波与质量流的振幅和相位角可以通过表达式(8)、(9)进行计算。

由工质与丝网不可逆换热导致的熵产微分表达式为：

式中：c_m为第三级回热器22中蓄冷填料的比热容，ρ_m为蓄冷填料的密度，为第三级回热器22中的空隙率，f₃为第三级脉冲管制冷机的工作频率，h_gm,1表示l处工质与丝网的对流换热系数，β₃为第三级回热器的比表面积，|T_m|为l处蓄冷填料的温度振幅。

需要注意的是，第三级脉冲管制冷机冷端工作温度通常在20K及以下温区，在这种情况下，蓄冷填料的比热容会有显著的下降，因此l处工质与丝网的对流换热系数h_gm,1计算表达式为：

h_gm,l＝St_l·ρ_gc_p|u_l|(28)式中：|u_l|为l处流速振幅，St_l为l处的斯坦顿数，其计算经验公式为：

将表达式(21)到(29)代入表达式(20)中，并在第三级回热器22的长度L₃上求积分，即可得到第三级制冷量与各工作参数的解析表达式。

步骤六：基于步骤五得到的第三级制冷量的解析表达式，根据实际需求，固定某些参数，对其余工作参数分别进行优化，可优化的工作参数包括：三级脉冲管制冷机的输入声功W₁、W₂、W₃；三级脉冲管制冷机的制冷温度T_c1、T_c2、T_c3；三级脉冲管制冷机的的充气压力p_s1、p_s2、p_s3，压比γ₁、γ₂、γ₃；三级脉冲管制冷机的工作频率f₁、f₂、f₃；三级脉冲管制冷机回热器的长度L₁、L₂、L₃，直径d₁、d₂、d₃；热桥连接位置L₂₁、L₂₂、L₃₁、L₃₂、L₃₃；蓄冷填料种类及尺寸的选择等。

本发明的优点在于：

1)通过本发明对三级热耦合型高频脉冲管制冷机进行熵流分析，可以较为全面准确地掌握机器内部各项损失分布情况，在此基础上对机器尺寸进行优化设计，可以减小不可逆损失，提高制冷系统效率；

2)对具体机器而言，可以计算其在不同工作参数下的运行状况，从而筛选出最优工作参数，使机器性能得到最大化发挥；

3)对于只需要在第三级取冷的情况，可以通过本发明对第一、二级的输入声功进行优化，使前两级的制冷量全部转化为预冷量，从而使系统效率达到最优。

上述优点使得该设计方法可以较为全面准确地分析出三级热耦合型高频脉冲管制冷机内部损失分布状况，从而有针对性地对设备尺寸、工作参数等进行优化分析，对于促进多级脉冲管制冷机的实用化发展具有重要意义。

附图说明

图1为三级热耦合型高频脉冲管制冷机结构示意图；

其中：1为第一级压缩机、2为第一级连管、3为第一级级后冷却器、4为第一级回热器、5为第一级冷端换热器、6为第一级脉冲管、7为第一级热端换热器、8为第一级惯性管、9为第一级气库、10为第二级压缩机、11为第二级连管、12为第二级级后冷却器、13为第二级回热器、14为第二级冷端换热器、15为第二级脉冲管、16为第二级热端换热器、17为第二级惯性管、18为第二级气库、19为第三级压缩机、20为第三级连管、21为第三级级后冷却器、22为第三级回热器、23为第一级热桥、24为第二级热桥、25为第三级冷端换热器、26为第三级脉冲管、27为第三级热端换热器、28为第三级惯性管、29为第三级气库。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对本发明的具体实施方式作进一步的详细说明，但并不局限于此，凡是对本发明技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的精神和范围，均应涵盖在本发明的保护范围中。

本实施例系统结构如图1所示，其中固定第二级回热器13热端到第一级热桥23连接处的长度L₂₁，则该设计方案包括以下步骤：

步骤一：建立三级热耦合型高频脉冲管制冷机计算模型，该模型包括：第一级压缩机1、第一级连管2、第一级级后冷却器3、第一级回热器4、第一级冷端换热器5、第一级脉冲管6、第一级热端换热器7、第一级惯性管8、第一级气库9、第二级压缩机10、第二级连管11、第二级级后冷却器12、第二级回热器13、第二级冷端换热器14、第二级脉冲管15、第二级热端换热器16、第二级惯性管17、第二级气库18、第三级压缩机19、第三级连管20、第三级级后冷却器21、第三级回热器22、第一级热桥23、第二级热桥24、第三级冷端换热器25、第三级脉冲管26、第三级热端换热器27、第三级惯性管28和第三级气库29。

其中，第一级冷端换热器5通过第一级热桥23分别与第二级回热器13和第三级回热器22相连，并对后两级脉冲管制冷机进行预冷。第二级冷端换热器14则通过第二级热桥24与第三级回热器22相连，并对第三级脉冲管制冷机进行预冷。

三级脉冲管制冷机热端工作温度均为T₀，冷端温度依次为T_c1、T_c2和T_c3。三级脉冲管制冷机输入声功分别为W₁、W₂、W₃；第一级脉冲管制冷机总制冷量为Q_t1，通过第一级热桥23预冷第二级的预冷量为Q_p12，预冷第三级的预冷量为Q_p13，可取出的制冷量为Q_c1；第二级脉冲管制冷机总制冷量为Q_t2，通过第二级热桥24预冷第三级的预冷量为Q_p23，可取出的制冷量为Q_c2；第三级脉冲管制冷机制冷量为Q_c3，该制冷量可以被全部取出；则三级脉冲管制冷机的冷量之间存在如下关系：

Q_t1＝Q_c1+Q_p12+Q_p13(1)

Q_t2＝Q_c2+Q_p23(2)

步骤二：建立基本假设，在基于熵分析的回热器设计方法中，建立如下假设：首先，仅考虑回热器部分的损失；其次，假定冷、热端换热器保持温度恒定，基于此假设，则回热器进、出口位置时均熵流均为0。

步骤三：基于以上假设，采用熵分析法得到第一级脉冲管制冷机的总制冷量表达式：

$Q_{t1}=\frac{T_{c1}}{T_0}{W}_1-\frac{T_{c1}}{T_0}{Q}_{ah1}-T_{c1}{S}_{g1}---\left(3\right)$

式中：Q_ah1为第一级回热器4热端轴向导热量，S_g1为第一级回热器4内总熵产。

第一级回热器4热端的轴向导热量计算公式为：

$Q_{ah1}=-({\mathrm{\λ}}_{w1}{A}_{w1}+{\mathrm{\λ}}_{i1}{A}_{i1})\frac{dT}{dl}{|}_{l=0}---\left(4\right)$

第一级回热器4中的熵产主要包括三个部分：轴向导热损失S_g-a1，压降损失S_g-p1，工质与丝网的不可逆换热损失S_g-c1：

S_g1＝S_g-a1+S_g-p1+S_g-c1(5)

其中，由轴向导热引发的熵产表达式为：

${\mathrm{dS}}_{g-ai1}=({\mathrm{\λ}}_{w1}{A}_{w1}+{\mathrm{\λ}}_{i1}{A}_{i1})\·\frac{1}{T^2}\·{\left(\frac{dT}{dl}\right)}^2\·dl---\left(6\right)$

式中：λ_w1为第一级回热器4管壁导热系数，A_w1为第一级回热器4管壁横截面积，λ_i1为第一级回热器4内部导热系数，A_i1为第一级回热器4内部横截面积。

由压降导致的熵产微分表达式为：

式中：R为理想气体常数，τ₁为第一级脉冲管制冷机工作周期，p_s1为第一级充气压力，为l处的质量流振幅，p_dl为l处动压振幅，θ_pl为l处压力波的相位角，△θ_l为l处压力波与质量流的相位差。动压振幅与相位角可以通过如下公式求解：

式中：为体积流率，r_g为回热器中单位长度的阻抗，g为控制源项，ω为角频率，c_p为工质的等压比热容，c_V为工质的等容比热容。联立公式(8)、(9)可解得压力波与质量流的振幅和相位角。

由工质与丝网不可逆换热导致的熵产微分表达式为：

式中：c_m为第一级回热器4中蓄冷填料的比热容，ρ_m为蓄冷填料的密度，为第一级回热器4中的空隙率，f₁为第一级脉冲管制冷机的工作频率，h_gm,1表示l处工质与丝网的对流换热系数，β₁为第一级回热器的比表面积，|T_m|为l处蓄冷填料的温度振幅。

在l处工质与丝网的对流换热系数计算表达式为：

h_gm,l＝λ_gNu_l/d_h(11)

式中：λ_g表示工质的导热系数，Nu_l表示l处工质的努谢尔数，d_h为水利直径。努谢尔数可以通过经验公式计算：

式中：Pe_l为工质在l处的贝克莱数。

将表达式(4)、(5)、(6)、(7)、(10)、(11)、(12)代入(3)式中，并在第一级回热器4长度L₁上求积分，即可得到第一级脉冲管制冷机总制冷量与各工作参数的解析表达式。

步骤四：采用类似的熵分析方法，得到第二级脉冲管制冷机制冷量的解析表达式：

$Q_{t2}=\frac{T_{c2}}{T_0}{W}_2+\frac{T_{c2}}{T_0}{Q}_{p12}-\frac{T_{c2}}{T_0}{Q}_{ah2}-T_{c2}{S}_{g2}---\left(13\right)$

式中：Q_p12为第一级脉冲管制冷机预冷第二级的预冷量，Q_ah2为第二级回热器13热端轴向导热量，S_g2为第二级回热器13中的熵产。

第一级脉冲管制冷机预冷第二级的预冷量Q_p12计算式为：

$Q_{p12}=-({\mathrm{\λ}}_{w2}{A}_{w2}+{\mathrm{\λ}}_{i2}{A}_{i2})(\frac{dT}{dl}{|}_{{L_{21}}^{-}}-\frac{dT}{dl}{|}_{{L_{21}}^{+}})---\left(14\right)$

式中：λ_w2为第二级回热器13管壁导热系数，A_w2为第二级回热器13管壁横截面积，λ_i2为第二级回热器13内部导热系数，A_i2为第二级回热器13内部横截面积，L₂₁为第二级回热器13热端到第一级热桥23连接处的长度，在本实施例中，取L₂₁值为：

$L_{21}=\frac{L_{21max}+L_{21min}}{2}---\left(15\right)$

其中，L_21max与L_21min分别表示为保证第一级脉冲管制冷机制冷温度稳定热桥连接位置的最大值与最小值，其值分别为：

$L_{21max}=\frac{T_0-T_{c1}}{T_0-T_{c2}}\·L_2---\left(16\right)$

$L_{21\min }=\frac{K_2(T_0-T_{c2})+L_2{Q}_{t1}-\sqrt{{K_2}^2{(T_0-T_{c2})}^2-2K_2{L}_2{Q}_{t1}(T_0-2T_{c1}+T_{c2})+{Q_{t1}}^2{L_2}^2}}{2Q_{t1}}---\left(17\right)$

式中：K₂取值为(λ_w2A_w2+λ_i2A_i2)。

第二级回热器13热端轴向导热量Q_ah2计算表达式为：

$Q_{ah2}=-({\mathrm{\λ}}_{w2}{A}_{w2}+{\mathrm{\λ}}_{i2}{A}_{i2})\frac{dT}{dl}{|}_{l=0}---\left(18\right)$

第二级回热器13中熵产同样由三部分组成：轴向导热、压降损失以及工质与丝网的不可逆换热：

S_g2＝S_g-a2+S_g-p2+S_g-c2(19)

轴向导热引起的熵产表达式为：

${\mathrm{dS}}_{g-a2}=({\mathrm{\λ}}_{w2}{A}_{w2}+{\mathrm{\λ}}_{i2}{A}_{i2})\·\frac{1}{T^2}\·{\left(\frac{dT}{dl}\right)}^2\·dl---\left(20\right)$

压降引起的熵产微分表达式为：

式中：R为理想气体常数，τ₂为第二级脉冲管制冷机工作周期，p_s2为第二级充气压力，为l处的质量流振幅，p_dl为l处动压振幅，θ_pl为l处压力波的相位角，△θ_l为l处压力波与质量流的相位差。压力波与质量流的振幅和相位角可以通过表达式(8)、(9)进行计算。

由工质与丝网不可逆换热导致的熵产微分表达式为：

式中：c_m为第二级回热器13中蓄冷填料的比热容，ρ_m为蓄冷填料的密度，为第二级回热器13中的空隙率，f₂为第二级脉冲管制冷机的工作频率，h_gm,1表示l处工质与丝网的对流换热系数，其值可以通过表达式(11)、(12)计算得到，β₂为第二级回热器的比表面积，|T_m|为l处蓄冷填料的温度振幅。

将表达式(14)到(22)代入(13)式中，并在第二级回热器13长度L₂上求积分，即可得到第二级脉冲管制冷机总制冷量与各工作参数的解析表达式。

步骤五：根据热力学第二定律，采用熵分析方法，得到第三级脉冲管制冷机制冷量的解析表达式：

$Q_{c3}=\frac{T_{c3}}{T_0}{W}_3+\frac{T_{c3}}{T_{c1}}{Q}_{p13}+\frac{T_{c3}}{T_{c2}}{Q}_{p23}-\frac{T_{c3}}{T_0}{Q}_{ah3}-T_{c3}{S}_{g3}---\left(23\right)$

式中：Q_p13为第一级脉冲管制冷机预冷第三级的预冷量，Q_p23为第二级脉冲管制冷机预冷第三级的预冷量，Q_ah3为第三级回热器22热端轴向导热量，S_g3为第三级回热器22中的熵产。

第一级脉冲管制冷机预冷第三级的预冷量Q_p13计算式为：

$Q_{p13}=-({\mathrm{\λ}}_{w3}{A}_{w3}+{\mathrm{\λ}}_{i3}{A}_{i3})(\frac{dT}{dl}{|}_{{L_{31}}^{-}}-\frac{dT}{dl}{|}_{{L_{31}}^{+}})---\left(24\right)$

式中：λ_w3为第三级回热器22管壁导热系数，A_w3为第三级回热器22管壁横截面积，λ_i3为第三级回热器22内部导热系数，A_i3为第三级回热器22内部横截面积，L₃₁为第三级回热器22热端到第一级热桥23连接处的长度。

第二级脉冲管制冷机预冷第三级的预冷量Q_p23计算式为：

$Q_{p23}=-({\mathrm{\λ}}_{w3}{A}_{w3}+{\mathrm{\λ}}_{i3}{A}_{i3})(\frac{dT}{dl}{|}_{{(L_{31}+L_{32})}^{-}}-\frac{dT}{dl}{|}_{{(L_{31}+L_{32})}^{+}})---\left(25\right)$

式中：L₃₂为第一级热桥23连接处到第二级热桥24连接处的长度，则(L₃₁+L₃₂)表示第三级回热器22热端到第二级热桥24连接处的长度。

第三级回热器22热端轴向导热量Q_ah3计算表达式为：

$Q_{ah3}=-({\mathrm{\λ}}_{w3}{A}_{w3}+{\mathrm{\λ}}_{i3}{A}_{i3})\frac{dT}{dl}{|}_{l=0}---\left(26\right)$

与前两级类似，第三级回热器22中的熵产同样由三部分组成：轴向导热、压降损失以及工质与蓄冷填料的不可逆换热：

S_g3＝S_g-a3+S_g-p3+S_g-c3(27)

轴向导热引起的熵产表达式为：

${\mathrm{dS}}_{g-a3}=({\mathrm{\λ}}_{w3}{A}_{w3}+{\mathrm{\λ}}_{i3}{A}_{i3})\·\frac{1}{T^2}\·{\left(\frac{dT}{dl}\right)}^2\·dl---\left(28\right)$

压降引起的熵产微分表达式为：

式中：R为理想气体常数，τ₃为第三级脉冲管制冷机工作周期，p_s3为第三级充气压力，为l处的质量流振幅，p_dl为l处动压振幅，θ_pl为l处压力波的相位角，△θ_l为l处压力波与质量流的相位差。压力波与质量流的振幅和相位角可以通过表达式(8)、(9)进行计算。

由工质与丝网不可逆换热导致的熵产微分表达式为：

式中：c_m为第三级回热器22中蓄冷填料的比热容，ρ_m为蓄冷填料的密度，为第三级回热器22中的空隙率，f₃为第三级脉冲管制冷机的工作频率，h_gm,1表示l处工质与丝网的对流换热系数，β₃为第三级回热器的比表面积，|T_m|为l处蓄冷填料的温度振幅。

需要注意的是，第三级脉冲管制冷机冷端工作温度通常在30K以下，在这种情况下，蓄冷填料的比热容会表现出显著的下降，因此，引入斯坦顿数来表示l处工质与丝网的对流换热系数h_gm,1：

h_gm,l＝St_l·ρ_gc_p|u_l|(31)

式中：|u_l|为l处流速振幅，St_l为l处的斯坦顿数，其计算经验公式为：

将表达式(24)到(32)代入表达式(23)中，并在第三级回热器22的长度L₃上求积分，即可得到第三级制冷量与各工作参数的解析表达式。

步骤六：基于步骤五得到的第三级制冷量的解析表达式，根据实际需求，固定某些参数，对其余工作参数分别进行优化，可优化的工作参数包括：三级脉冲管制冷机的输入声功W₁、W₂、W₃；三级脉冲管制冷机的制冷温度T_c1、T_c2、T_c3；三级脉冲管制冷机的的充气压力p_s1、p_s2、p_s3，压比γ₁、γ₂、γ₃；三级脉冲管制冷机的工作频率f₁、f₂、f₃；三级脉冲管制冷机回热器的长度L₁、L₂、L₃，直径d₁、d₂、d₃；热桥连接位置L₂₁、L₂₂、L₃₁、L₃₂、L₃₃；蓄冷填料种类及尺寸的选择等。

Claims (1)

1.一种基于熵分析的三级热耦合型高频脉冲管制冷机的设计方法，其特征在于，设计方法如下：

步骤一：建立三级热耦合型高频脉冲管制冷机计算模型，该模型包括：第一级压缩机(1)、第一级连管(2)、第一级级后冷却器(3)、第一级回热器(4)、第一级冷端换热器(5)、第一级脉冲管(6)、第一级热端换热器(7)、第一级惯性管(8)、第一级气库(9)、第二级压缩机(10)、第二级连管(11)、第二级级后冷却器(12)、第二级回热器(13)、第二级冷端换热器(14)、第二级脉冲管(15)、第二级热端换热器(16)、第二级惯性管(17)、第二级气库(18)、第三级压缩机(19)、第三级连管(20)、第三级级后冷却器(21)、第三级回热器(22)、第一级热桥(23)、第二级热桥(24)、第三级冷端换热器(25)、第三级脉冲管(26)、第三级热端换热器(27)、第三级惯性管(28)和第三级气库(29)；

其中，第一级冷端换热器(5)通过第一级热桥(23)分别与第二级回热器(13)和第三级回热器(22)相连，并对后两级脉冲管制冷机进行预冷，第二级冷端换热器(14)则通过第二级热桥(24)与第三级回热器(22)相连，并对第三级脉冲管制冷机进行预冷；

三级脉冲管制冷机热端工作温度均为T₀，冷端温度依次为T_c1、T_c2和T_c3；三级脉冲管制冷机输入声功分别为W₁、W₂、W₃；第一级脉冲管制冷机总制冷量为Q_t1，通过第一级热桥(23)预冷第二级的预冷量为Q_p12，预冷第三级的预冷量为Q_p13，可取出的制冷量为Q_c1；第二级脉冲管制冷机总制冷量为Q_t2，通过第二级热桥(24)预冷第三级的预冷量为Q_p23，可取出的制冷量为Q_c2；第三级脉冲管制冷机制冷量为Q_c3，该制冷量可以被全部取出；则三级脉冲管制冷机的冷量之间存在如下关系：

Q_t1＝Q_c1+Q_p12+Q_p13(1)

Q_t2＝Q_c2+Q_p23；(2)

步骤二：建立基本假设，在基于熵分析的回热器设计方法中，建立如下假设：首先，仅考虑回热器部分的损失；其次，假定冷、热端换热器保持温度恒定，基于此假设，则回热器进、出口位置时均熵流均为0；

步骤三：基于以上假设，采用熵分析法得到第一级脉冲管制冷机的总制冷量表达式：

$Q_{t1}=\frac{T_{c1}}{T_0}{W}_1-\frac{T_{c1}}{T_0}{Q}_{ah1}-T_{c1}{S}_{g1}---\left(3\right)$

式中：Q_ah1为第一级回热器(4)热端轴向导热量，S_g1为第一级回热器(4)内总熵产；

第一级回热器(4)热端的轴向导热量Q_ah1计算公式为：

$Q_{ah1}=-({\mathrm{\λ}}_{w1}{A}_{w1}+{\mathrm{\λ}}_{i1}{A}_{i1})\frac{dT}{dl}{|}_{l=0}---\left(4\right)$

第一级回热器(4)中的熵产主要包括三个部分：轴向导热损失S_g-a1，压降损失S_g-p1，工质与丝网的不可逆换热损失S_g-c1：

S_g1＝S_g-a1+S_g-p1+S_g-c1(5)

其中，由轴向导热引发的熵产表达式为：

${\mathrm{dS}}_{g-ai1}=({\mathrm{\λ}}_{w1}{A}_{w1}+{\mathrm{\λ}}_{i1}{A}_{i1})\·\frac{1}{T^2}\·{\left(\frac{dT}{dl}\right)}^2\·dl---\left(6\right)$

式中：λ_w1为第一级回热器(4)管壁导热系数，A_w1为第一级回热器(4)管壁横截面积，λ_i1为第一级回热器(4)内部导热系数，A_i1为第一级回热器(4)内部横截面积；

由压降导致的熵产微分表达式为：

式中：R为理想气体常数，τ₁为第一级脉冲管制冷机工作周期，p_s1为第一级充气压力，为l处的质量流振幅，p_dl为l处动压振幅，θ_pl为l处压力波的相位角，△θ_l为l处压力波与质量流的相位差。动压振幅与相位角可以通过如下公式求解：

式中：为体积流率，r_g为回热器中单位长度的阻抗，g为控制源项，ω为角频率，c_p为工质的等压比热容，c_V为工质的等容比热容。联立公式(8)、(9)可解得压力波与质量流的振幅和相位角；

由工质与丝网不可逆换热导致的熵产微分表达式为：

式中：c_m为第一级回热器(4)中蓄冷填料的比热容，ρ_m为蓄冷填料的密度，为第一级回热器(4)中的空隙率，f₁为第一级脉冲管制冷机的工作频率，h_gm,1表示l处工质与丝网的对流换热系数，β₁为第一级回热器的比表面积，|T_m|为l处蓄冷填料的温度振幅；

在l处工质与丝网的对流换热系数计算表达式为：

h_gm,l＝λ_gNu_l/d_h(11)

式中：λ_g表示工质的导热系数，Nu_l表示l处工质的努谢尔数，d_h为水利直径。努谢尔数可以通过经验公式计算：

式中：Pe_l为工质在l处的贝克莱数；

将表达式(4)、(5)、(6)、(7)、(10)、(11)、(12)代入(3)式中，并在第一级回热器(4)长度L₁上求积分，即可得到第一级脉冲管制冷机总制冷量与各工作参数的解析表达式；

步骤四：采用类似的熵分析方法，得到第二级脉冲管制冷机制冷量的解析表达式：

$Q_{t2}=\frac{T_{c2}}{T_0}{W}_2+\frac{T_{c2}}{T_{c1}}{Q}_{p12}-\frac{T_{c2}}{T_0}{Q}_{ah2}-T_{c2}{S}_{g2}---\left(13\right)$

式中：Q_p12为第一级脉冲管制冷机预冷第二级的预冷量，Q_ah2为第二级回热器(13)热端轴向导热量，S_g2为第二级回热器(13)中的熵产；

第一级脉冲管制冷机预冷第二级的预冷量Q_p12计算式为：

$Q_{p12}=-({\mathrm{\λ}}_{w2}{A}_{w2}+{\mathrm{\λ}}_{i2}{A}_{i2})(\frac{dT}{dl}{|}_{{L_{21}}^{-}}-\frac{dT}{dl}{|}_{{L_{21}}^{+}})---\left(14\right)$

式中：λ_w2为第二级回热器(13)管壁导热系数，A_w2为第二级回热器(13)管壁横截面积，λ_i2为第二级回热器(13)内部导热系数，A_i2为第二级回热器(13)内部横截面积，L₂₁为第二级回热器(13)热端到第一级热桥(23)连接处的长度；

第二级回热器(13)热端轴向导热量Q_ah2计算表达式为：

$Q_{ah2}=-({\mathrm{\λ}}_{w2}{A}_{w2}+{\mathrm{\λ}}_{i2}{A}_{i2})\frac{dT}{dl}{|}_{l=0}---\left(15\right)$

第二级回热器(13)中熵产同样由三部分组成：轴向导热、压降损失以及工质与丝网的不可逆换热：

S_g2＝S_g-a2+S_g-p2+S_g-c2(16)

轴向导热引起的熵产表达式为：

${\mathrm{dS}}_{g-a2}=({\mathrm{\λ}}_{w2}{A}_{w2}+{\mathrm{\λ}}_{i2}{A}_{i2})\·\frac{1}{T^2}\·{\left(\frac{dT}{dl}\right)}^2\·dl---\left(17\right)$

压降引起的熵产微分表达式为：

式中：R为理想气体常数，τ₂为第二级脉冲管制冷机工作周期，p_s2为第二级充气压力，为l处的质量流振幅，p_dl为l处动压振幅，θ_pl为l处压力波的相位角，△θ_l为l处压力波与质量流的相位差。压力波与质量流的振幅和相位角可以通过表达式(8)、(9)进行计算；

由工质与丝网不可逆换热导致的熵产微分表达式为：

式中：c_m为第二级回热器(13)中蓄冷填料的比热容，ρ_m为蓄冷填料的密度，为第二级回热器(13)中的空隙率，f₂为第二级脉冲管制冷机的工作频率，h_gm,1表示l处工质与丝网的对流换热系数，其值可以通过表达式(11)、(12)计算得到，β₂为第二级回热器的比表面积，|T_m|为l处蓄冷填料的温度振幅；

将表达式(14)到(19)代入(13)式中，并在第二级回热器(13)长度L₂上求积分，即可得到第二级脉冲管制冷机总制冷量与各工作参数的解析表达式；

步骤五：根据热力学第二定律，采用熵分析方法，得到第三级脉冲管制冷机制冷量的解析表达式：

$Q_{c3}=\frac{T_{c3}}{T_0}{W}_3+\frac{T_{c3}}{T_{c1}}{Q}_{p13}+\frac{T_{c3}}{T_{c2}}{Q}_{p23}-\frac{T_{c3}}{T_0}{Q}_{ah3}-T_{c3}{S}_{g3}---\left(20\right)$

式中：Q_p13为第一级脉冲管制冷机预冷第三级的预冷量，Q_p23为第二级脉冲管制冷机预冷第三级的预冷量，Q_ah3为第三级回热器(22)热端轴向导热量，S_g3为第三级回热器(22)中的熵产；

第一级脉冲管制冷机预冷第三级的预冷量Q_p13计算式为：

$Q_{p13}=-({\mathrm{\λ}}_{w3}{A}_{w3}+{\mathrm{\λ}}_{i3}{A}_{i3})(\frac{dT}{dl}{|}_{{L_{31}}^{-}}-\frac{dT}{dl}{|}_{{L_{31}}^{+}})---\left(21\right)$

式中：λ_w3为第三级回热器(22)管壁导热系数，A_w3为第三级回热器(22)管壁横截面积，λ_i3为第三级回热器(22)内部导热系数，A_i3为第三级回热器(22)内部横截面积，L₃₁为第三级回热器(22)热端到第一级热桥(23)连接处的长度；

第二级脉冲管制冷机预冷第三级的预冷量Q_p23计算式为：

$Q_{p23}=-({\mathrm{\λ}}_{w3}{A}_{w3}+{\mathrm{\λ}}_{i3}{A}_{i3})(\frac{dT}{dl}{|}_{{(L_{31}+L_{32})}^{-}}-\frac{dT}{dl}{|}_{{(L_{31}+L_{32})}^{+}})---\left(22\right)$

式中：L₃₂为第一级热桥(23)连接处到第二级热桥(24)连接处的长度，则L₃₁+L₃₂表示第三级回热器(22)热端到第二级热桥(24)连接处的长度；

第三级回热器(22)热端轴向导热量Q_ah3计算表达式为：

$Q_{ah3}=-({\mathrm{\λ}}_{w3}{A}_{w3}+{\mathrm{\λ}}_{i3}{A}_{i3})\frac{dT}{dl}{|}_{l=0}---\left(23\right)$

与前两级类似，第三级回热器(22)中的熵产同样由三部分组成：轴向导热、压降损失以及工质与蓄冷填料的不可逆换热：

S_g3＝S_g-a3+S_g-p3+S_g-c3(24)

轴向导热引起的熵产表达式为：

${\mathrm{dS}}_{g-a3}=({\mathrm{\λ}}_{w3}{A}_{w3}+{\mathrm{\λ}}_{i3}{A}_{i3})\·\frac{1}{T^2}\·{\left(\frac{dT}{dl}\right)}^2\·dl---\left(25\right)$

压降引起的熵产微分表达式为：

式中：R为理想气体常数，τ₃为第三级脉冲管制冷机工作周期，p_s3为第三级充气压力，为l处的质量流振幅，p_dl为l处动压振幅，θ_pl为l处压力波的相位角，△θ_l为l处压力波与质量流的相位差；压力波与质量流的振幅和相位角可以通过表达式(8)、(9)进行计算；

由工质与丝网不可逆换热导致的熵产微分表达式为：

式中：c_m为第三级回热器(22)中蓄冷填料的比热容，ρ_m为蓄冷填料的密度，为第三级回热器(22)中的空隙率，f₃为第三级脉冲管制冷机的工作频率，h_gm,1表示l处工质与丝网的对流换热系数，β₃为第三级回热器的比表面积，|T_m|为l处蓄冷填料的温度振幅；

第三级脉冲管制冷机冷端工作温度通常在20K及以下温区，在这种情况下，蓄冷填料的比热容会有显著的下降，因此l处工质与丝网的对流换热系数h_gm,1计算表达式为：

h_gm,l＝St_l·ρ_gc_p|u_l|(28)

式中：|u_l|为l处流速振幅，St_l为l处的斯坦顿数，其计算经验公式为：

将表达式(21)到(29)代入表达式(20)中，并在第三级回热器(22)长度L₃上求积分，即可得到第三级制冷量与各工作参数的解析表达式；

步骤六：基于步骤五得到的第三级制冷量的解析表达式，固定某些参数，对其余工作参数分别进行优化，可优化的工作参数包括：三级脉冲管制冷机的输入声功W₁、W₂、W₃；三级脉冲管制冷机的制冷温度T_c1、T_c2、T_c3；三级脉冲管制冷机的的充气压力p_s1、p_s2、p_s3，压比γ₁、γ₂、γ₃；三级脉冲管制冷机的工作频率f₁、f₂、f₃；三级脉冲管制冷机回热器的长度L₁、L₂、L₃，直径d₁、d₂、d₃；热桥连接位置L₂₁、L₂₂、L₃₁、L₃₂、L₃₃；蓄冷填料种类及尺寸的选择。