CN104462746B - 惯性管型两级高频脉管制冷机级间最佳连接位置设计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种惯性管型两级高频脉管制冷机级间最佳连接位置的设计方法，分为六步：1)完成惯性管型两级高频脉管制冷机的模型建立；2)建立合理的假设条件；3)基于假设条件计算得到模型中相关量的表达式；4)得到压缩机输入功表达式二；5)定义无量纲参数，通过计算获得第二级最优COP表达式；6)当第二级COP＝0时，得到第二级冷端换热器最低温度对应连接位置，当第二级COP取最大值时，得到第二级冷端换热器最大制冷量对应连接位置。本发明通过对两级之间的最佳连接位置的获取，最大限度地降低因级间连接带来的不可逆损失，显著提高制冷性能，对于惯性管型两级高频脉管制冷机的设计优化及实用化发展都具有非常积极的意义。
Description
技术领域
本发明涉及制冷与低温工程领域，特别涉及一种惯性管型两级高频脉管制冷机级间最佳连接位置的设计方法。
背景技术
脉管制冷机是回热式低温制冷机的一次重大革新，它取消了广泛应用于常规回热式低温制冷机(如斯特林和G-M制冷机)中的冷端排出器，实现了冷端的低振动、低干扰和无磨损；而经过结构优化和调相方式上的重要改进，在典型温区，其实际效率也已达到回热式低温制冷机的最高值。这些显著优点使得脉管制冷机成为近30年来低温制冷机研究的一大热门，在航空航天、低温电子学、超导工业和低温医疗业等方面都获得了广泛的应用。
根据驱动压缩机的不同，又将脉管制冷机分为由直线压缩机驱动的高频脉管制冷机和由G-M型压缩机驱动的低频脉管制冷机两种。航天及军事等领域应用的脉管制冷机，因为对重量和体积有着非常严格的限制，一般都采用轻量化高频运转的直线压缩机，压缩机的工作频率通常都在30Hz以上。由直线压缩机驱动的高频脉管制冷机由于结构紧凑、重量轻、体积小、效率高、运转可靠、预期寿命长等突出优点，已逐渐成为航天红外设备冷却的最热门机型之一。
压力波和质量流之间的相位差是回热式低温制冷机产生制冷效应的关键参数。在脉管制冷机中，实现压力波和质量流之间的相位差的相位调节方式有多种，如小孔、气库、双向进气、多路旁通、对称喷嘴和非对称喷嘴等等，而20世纪90年代中期发展起来的惯性管则因为调相范围宽、效率高、潜力大、性能稳定可靠等突出优点，后来居上，目前已成为脉管制冷机相位调节方式的主流形式；特别是在强调性能稳定可靠的航空航天及军事领域，使用惯性管调相的惯性管型高频脉管制冷机更占到绝对主流地位。
脉管制冷机根据使用温区和应用对象的不同，还可以分为单级、两级乃至多级脉管制冷机。两级脉管制冷机的使用范围很广，仅以航天遥感遥测系统中的应用而言，如不同类型的红外探测器和光学器件工作在不同温区，对冷量的要求也大小不一。如某些甚长波红外探测器需工作在35K以下乃至20K以下的温区，单级高频脉管制冷机难以在该温区高效工作，一般都需采用两级结构。另外，在一些需要同时提供两个制冷温度的应用中，如同时冷却两个不同类型探测器，或者同时冷却探测器和光学系统的应用等等，两级高频脉管制冷机都具有明显的应用优势。在脉管制冷机技术发展十分成熟的美国，近年来已经有多台惯性管型两级高频脉管制冷机进入航天任务中。
影响惯性管型两级高频脉管制冷机制冷性能的因素很多，不仅包括蓄冷器、脉管以及换热器等的材料和尺寸，同时，整个制冷机的总体结构布置也会对制冷性能产生较大影响。这其中，因为第二级的温度较低，影响更为明显。总体结构布置主要包括：每个单级的布置结构，低温级的散热布置，级间的耦合方式以及级间的连接位置等等。从已公开的文献来看，关于惯性管型两级高频脉管制冷机外部结构布置的研究主要针对单级结构、低温级的散热布置以及级间耦合方式，对于级间连接位置对惯性管型两级高频脉管制冷机制冷性能影响的理论与实验研究都甚少涉及。有学者曾针对小孔调相型的两级脉管制冷机级间不同连接位置进行过相关研究，在假设蓄冷器中的轴向热传导损失为脉管制冷机中唯一损失的前提下，发现级间不同连接位置会对第二级最大制冷量和最低制冷温度产生重大影响。部分航天脉管制冷机的研发及生产单位对惯性管型两级高频脉管制冷机级间不同连接位置进行过相关的实验研究，出于技术保密等原因，并未公开发表过相关的研究成果。
近年来，中国单级高频脉管制冷技术也获得了长足进步，并已开始向空间实用化发展，但对于惯性管型两级高频脉管制冷机的研究仍然较少，特别是针对于惯性管型两级高频脉管制冷机级间最优连接位置的研究仍为空白。
发明内容
鉴于现有技术的不足，本发明提出一种惯性管型两级高频脉管制冷机级间最佳连接位置设计方法。
本发明的目的在于，提供了一种惯性管型两级高频脉管制冷机级间最佳连接位置的设计方法。通过该设计方法可合理的设计两级高频脉管制冷机级间的最优连接位置，优化制冷机的级间布置方法，从而最大限度地降低因级间连接带来的制冷机不可逆损失，大幅度提高惯性管型两级高频脉管制冷机的制冷性能。该设计方法包括以下步骤：
步骤一：进行模型建立，建立惯性管型两级高频脉管制冷机的分析计算模型，该模型包括直线压缩机(1)，级后冷却器(2)，第一级蓄冷器(3)，第一级冷端换热器(4)，第二级蓄冷器(5)，第二级冷端换热器(6)，第一级脉管(7)，第一级脉管热端换热器(8)，第一级惯性管(9)，第一级气库(10)，第二级脉管(11)，第二级脉管热端换热器(12)，第二级惯性管(13)，第二级气库(14)，第一级蓄冷器(3)和第二级蓄冷器(5)通过第一级冷端换热器(4)相连接，TH为散热温度，T1为第一级制冷温度，T2为第二级制冷温度,为第二级冷端在温度T2下的净制冷量,为经过第一段蓄冷器后由于不完全换热产生的热流，为经过第二段蓄冷器后由于不完全换热产生的热流，L为第一级蓄冷器(3)和第二级蓄冷器(5)长度之和，x为第一级蓄冷器(3)的长度占第一级蓄冷器(3)和第二级蓄冷器(5)长度之和L的比例系数，即为连接位置，则第一级蓄冷器(3)长度为xL，第二级蓄冷器(5)长度为(1-x)L；
步骤二：建立基本假设，在第二级最优制冷性能对应的两级间连接位置的设计方法中，建立合理的假设条件，首先，仅考虑制冷机第二级的制冷性能，假定第一级无制冷量，其次，惯性管型两级高频脉管制冷机中唯一的损失为蓄冷器中不完全换热带来的损失，基于此假设，则蓄冷器中流阻为零，沿轴线方向的导热量也为零；
步骤三：基于所建立的模型，在假设条件下分别计算得到第一级蓄冷器熵产的表达式：
表达式(1)中的为第一级蓄冷器熵产；为经过第一段蓄冷器后由于不完全换热产生的热流；TH为散热温度；T1为第一级制冷温度；
第二级蓄冷器熵产的表达式：
表达式(2)中的为第二级蓄冷器熵产；为经过第二段蓄冷器后由于不完全换热产生的热流；T1为第一级制冷温度；与表达式(1)中的T1相同；T2为第二级制冷温度；
第一级脉管热端熵产的表达式：
表达式(3)中的为第一级脉管热端熵产；TH为散热温度，与表达式(1)中的TH相同；为经过第一段蓄冷器后由于不完全换热产生的热流，与表达式(1)中的相同；为经过第二段蓄冷器后由于不完全换热产生的热流，与表达式(2)中的相同；
第二级脉管热端熵产的表达式：
表达式(4)中的为第二级脉管热端熵产；TH为散热温度，与表达式(1)中的TH相同；为经过第二段蓄冷器后由于不完全换热产生的热流，与表达式(2)中的相同；
压缩机输入功计算式一的表达式：
表达式(5)中的P为压缩机输入功；TH为散热温度，与表达式(1)中的TH相同；T2为第二级制冷温度，与表达式(2)中的T2相同；为第二级冷端在温度T2下的净制冷量；为第一级蓄冷器熵产，与表达式(1)中的相同；为第二级蓄冷器熵产，与表达式(2)中的相同；为第一级脉管热端熵产，与表达式(3)中的相同；为第二级脉管热端熵产，与表达式(4)中的相同；
步骤四：将第一级蓄冷器熵产、第二级蓄冷器熵产、第一级脉管热端熵产以及第二级脉管热端熵产的表达式代入到压缩机输入功计算式一的表达式中，得到含有第二级制冷量参数的压缩机输入功计算式二的表达式：
表达式(6)中的P为压缩机输入功，与表达式(5)中的P相同；TH为散热温度，与表达式(1)中的TH相同；T2为第二级制冷温度，与表达式(2)中的T2相同；为第二级冷端在温度T2下的净制冷量；为经过第一段蓄冷器后由于不完全换热产生的热流，与表达式(1)中的相同；T1为第一级制冷温度，与表达式(1)中的T1相同；为经过第二段蓄冷器后由于不完全换热产生的热流，与表达式(2)中的相同；
步骤五：定义无量纲传热系数的表达式为：
表达式(7)中的ki为第i(i＝1,2)级蓄冷器的无量纲传热系数；σ为其他因素对蓄冷器中产生热流的综合影响函数，与温度梯度、蓄冷器长度无关；P为压缩机输入功，与表达式(5)中的P相同；TH为散热温度，与表达式(1)中的TH相同；Li为第i(i＝1,2)级蓄冷器的长度；k可以认为是低温温度值为零时由于不完全换热过程带来的换热损失与压缩机输入功P之间比值，k值始终小于1；x为第一级蓄冷器(3)的长度占第一级蓄冷器(3)和第二级蓄冷器(5)长度之和L的比例系数，即为连接位置；
定义无量纲温度的表达式为：
表达式(8)中的ti为第i(i＝1,2)级蓄冷器的无量纲温度；Ti为第i(i＝1,2)级蓄冷器冷端换热器的温度；TH为散热温度，与表达式(1)中的TH相同；
定义无量纲热流密度的表达式为：
表达式(9)中的qi为第i(i＝1,2)级蓄冷器的无量纲热流密度；为流经第i(i＝1,2)级蓄冷器后由于不完全换热产生的热流；P为压缩机输入功，与表达式(5)中的P相同；
利用压缩机输入功计算式二得到第二级COP计算式的表达式，并得到第二级最优COP计算式的表达式为：
表达式(10)中的COP为制冷机第二级的最优COP；t2为第二级冷端换热器(6)的温度T2与散热温度TH之间的比值；k可以认为是低温温度值为零时由于不完全换热过程带来的换热损失与压缩功P之间比值，k值始终小于1，与表示式(7)中的k相同；x为第一级蓄冷器(3)的长度占第一级蓄冷器(3)和第二级蓄冷器(5)长度之和L的比例系数，即为连接位置,与表达式(7)中的x相同；
步骤六：基于制冷机第二级最优COP计算式的表达式，当第二级COP取最大值时，可以得到第二级冷端换热器最大制冷量对应连接位置的表达式为：
表达式(11)中的x为第一级蓄冷器(3)的长度占第一级蓄冷器(3)和第二级蓄冷器(5)长度之和L的比例系数，即为连接位置，与表达式(7)中的x相同；t2为第二级冷端换热器(6)的温度T2与散热温度TH之间的比值，与表示式(10)中的t2相同；
当第二级COP＝0时，可以得到第二级冷端换热器最低温度对应连接位置表达式为：
表达式(12)中的x为第一级蓄冷器(3)的长度占第一级蓄冷器(3)和第二级蓄冷器(5)长度之和L的比例系数，即为连接位置，与表达式(7)中的x相同；k可以认为是低温温度值为零时由于不完全换热过程带来的换热损失与压缩功P之间比值，k值始终小于1，与表达式(7)中的k相同。
本发明的优点在于：
1)通过该设计方法可合理的设计两级高频脉管制冷机级间的最优连接位置，优化制冷机的级间布置方法，从而降低两级高频脉管制冷机的损失，提高两级高频脉管制冷机的制冷性能；
2)通过所发明的设计方法可以得到惯性管型两级高频脉管制冷机第二级冷端换热器获取到最大制冷量时对应的级间连接位置；
3)通过该设计方法可获得惯性管型两级高频脉管制冷机第二级最低温度时对应的级间连接位置。
上述优点使得该设计方法通过对两级之间的最佳连接位置的获取，从而最大限度地降低因级间连接带来的制冷机不可逆损失，显著提高制冷性能，对于惯性管型两级高频脉管制冷机的设计优化及实用化发展都具有非常积极的意义。
附图说明
图1为所发明的惯性管型两级高频脉管制冷机级间最佳连接位置设计方法的设计流程图；
图2为惯性管型两级高频脉管制冷机分析计算模型的示意图；
其中：1为直线压缩机；2为级后冷却器；3为第一级蓄冷器；4为第一级冷端换热器；5为第二级蓄冷器；6为第二级冷端换热器；7为第一级脉管；8为第一级脉管热端换热器；9为第一级惯性管；10为第一级气库；11为第二级脉管；12为第二级脉管热端换热器；13为第二级惯性管；14为第二级气库。
具体实施方式
下面结合附图及实施例对本发明的具体实施方式作进一步的详细说明：
图1为所发明的惯性管型两级高频脉管制冷机级间最佳连接位置设计方法的设计流程图；图2为惯性管型两级高频脉管制冷机分析计算模型的示意图。该设计方法包括以下步骤：
步骤一：进行模型建立，建立惯性管型两级高频脉管制冷机的分析计算模型，该模型包括直线压缩机(1)，级后冷却器(2)，第一级蓄冷器(3)，第一级冷端换热器(4)，第二级蓄冷器(5)，第二级冷端换热器(6)，第一级脉管(7)，第一级脉管热端换热器(8)，第一级惯性管(9)，第一级气库(10)，第二级脉管(11)，第二级脉管热端换热器(12)，第二级惯性管(13)，第二级气库(14)，第一级蓄冷器(3)和第二级蓄冷器(5)通过第一级冷端换热器(4)相连接，TH为散热温度，T1为第一级制冷温度，T2为第二级制冷温度,为第二级冷端在温度T2下的净制冷量,为经过第一段蓄冷器后由于不完全换热产生的热流，为经过第二段蓄冷器后由于不完全换热产生的热流，L为第一级蓄冷器(3)和第二级蓄冷器(5)长度之和，x为第一级蓄冷器(3)的长度占第一级蓄冷器(3)和第二级蓄冷器(5)长度之和L的比例系数，即为连接位置，则第一级蓄冷器(3)长度为xL，第二级蓄冷器(5)长度为(1-x)L；
步骤二：建立基本假设，在第二级最优制冷性能对应的两级间连接位置的设计方法中，建立合理的假设条件，首先，仅考虑制冷机第二级的制冷性能，假定第一级无制冷量，其次，惯性管型两级高频脉管制冷机中唯一的损失为蓄冷器中不完全换热带来的损失，基于此假设，则蓄冷器中流阻为零，沿轴线方向的导热量也为零；
步骤三：基于所建立的模型，在假设条件下分别计算得到第一级蓄冷器熵产的表达式：
表达式(1)中的为第一级蓄冷器熵产；为经过第一段蓄冷器后由于不完全换热产生的热流；TH为散热温度；T1为第一级制冷温度；
第二级蓄冷器熵产的表达式：
表达式(2)中的为第二级蓄冷器熵产；为经过第二段蓄冷器后由于不完全换热产生的热流；T1为第一级制冷温度；与表达式(1)中的T1相同；T2为第二级制冷温度；
第一级脉管热端熵产的表达式：
表达式(3)中的为第一级脉管热端熵产；TH为散热温度，与表达式(1)中的TH相同；为经过第一段蓄冷器后由于不完全换热产生的热流，与表达式(1)中的相同；为经过第二段蓄冷器后由于不完全换热产生的热流，与表达式(2)中的相同；
第二级脉管热端熵产的表达式：
表达式(4)中的为第二级脉管热端熵产；TH为散热温度，与表达式(1)中的TH相同；为经过第二段蓄冷器后由于不完全换热产生的热流，与表达式(2)中的相同；
压缩机输入功计算式一的表达式：
表达式(5)中的P为压缩机输入功；TH为散热温度，与表达式(1)中的TH相同；T2为第二级制冷温度，与表达式(2)中的T2相同；为第二级冷端在温度T2下的净制冷量；为第一级蓄冷器熵产，与表达式(1)中的相同；为第二级蓄冷器熵产，与表达式(2)中的相同；为第一级脉管热端熵产，与表达式(3)中的相同；为第二级脉管热端熵产，与表达式(4)中的相同；
步骤四：将第一级蓄冷器熵产、第二级蓄冷器熵产、第一级脉管热端熵产以及第二级脉管热端熵产的表达式代入到压缩机输入功计算式一的表达式中，得到含有第二级制冷量参数的压缩机输入功计算式二的表达式：
表达式(6)中的P为压缩机输入功，与表达式(5)中的P相同；TH为散热温度，与表达式(1)中的TH相同；T2为第二级制冷温度，与表达式(2)中的T2相同；为第二级冷端在温度T2下的净制冷量；为经过第一段蓄冷器后由于不完全换热产生的热流，与表达式(1)中的相同；T1为第一级制冷温度，与表达式(1)中的T1相同；为经过第二段蓄冷器后由于不完全换热产生的热流，与表达式(2)中的相同；
步骤五：定义无量纲传热系数的表达式为：
表达式(7)中的ki为第i(i＝1,2)级蓄冷器的无量纲传热系数；σ为其他因素对蓄冷器中产生热流的综合影响函数，与温度梯度、蓄冷器长度无关；P为压缩机输入功，与表达式(5)中的P相同；TH为散热温度，与表达式(1)中的TH相同；Li为第i(i＝1,2)级蓄冷器的长度；k可以认为是低温温度值为零时由于不完全换热过程带来的换热损失与压缩机输入功P之间比值，k值始终小于1；x为第一级蓄冷器(3)的长度占第一级蓄冷器(3)和第二级蓄冷器(5)长度之和L的比例系数，即为连接位置；
定义无量纲温度的表达式为：
表达式(8)中的ti为第i(i＝1,2)级蓄冷器的无量纲温度；Ti为第i(i＝1,2)级蓄冷器冷端换热器的温度；TH为散热温度，与表达式(1)中的TH相同；
定义无量纲热流密度的表达式为：
表达式(9)中的qi为第i(i＝1,2)级蓄冷器的无量纲热流密度；为流经第i(i＝1,2)级蓄冷器后由于不完全换热产生的热流；P为压缩机输入功，与表达式(5)中的P相同；
利用压缩机输入功计算式二得到第二级COP计算式的表达式，并得到第二级最优COP计算式的表达式为：
表达式(10)中的COP为制冷机第二级的最优COP；t2为第二级冷端换热器(6)的温度T2与散热温度TH之间的比值；k可以认为是低温温度值为零时由于不完全换热过程带来的换热损失与压缩功P之间比值，k值始终小于1，与表示式(7)中的k相同；x为第一级蓄冷器(3)的长度占第一级蓄冷器(3)和第二级蓄冷器(5)长度之和L的比例系数，即为连接位置,与表达式(7)中的x相同；
步骤六：基于制冷机第二级最优COP计算式的表达式，当第二级COP取最大值时，可以得到第二级冷端换热器最大制冷量对应连接位置的表达式为：
表达式(11)中的x为第一级蓄冷器(3)的长度占第一级蓄冷器(3)和第二级蓄冷器(5)长度之和L的比例系数，即为连接位置，与表达式(7)中的x相同；t2为第二级冷端换热器(6)的温度T2与散热温度TH之间的比值，与表示式(10)中的t2相同；
当第二级COP＝0时，可以得到第二级冷端换热器最低温度对应连接位置表达式为：
表达式(12)中的x为第一级蓄冷器(3)的长度占第一级蓄冷器(3)和第二级蓄冷器(5)长度之和L的比例系数，即为连接位置，与表达式(7)中的x相同；k可以认为是低温温度值为零时由于不完全换热过程带来的换热损失与压缩功P之间比值，k值始终小于1，与表达式(7)中的k相同。
Claims (1)
1.一种惯性管型两级高频脉管制冷机级间最佳连接位置设计方法，其特征在于，该设计方法包括以下步骤：
步骤一：进行模型建立，建立惯性管型两级高频脉管制冷机的分析计算模型，该模型包括直线压缩机(1)，级后冷却器(2)，第一级蓄冷器(3)，第一级冷端换热器(4)，第二级蓄冷器(5)，第二级冷端换热器(6)，第一级脉管(7)，第一级脉管热端换热器(8)，第一级惯性管(9)，第一级气库(10)，第二级脉管(11)，第二级脉管热端换热器(12)，第二级惯性管(13)，第二级气库(14)，第一级蓄冷器(3)和第二级蓄冷器(5)通过第一级冷端换热器(4)相连接，TH为散热温度，T1为第一级制冷温度，T2为第二级制冷温度,为第二级冷端在温度T2下的净制冷量,为经过第一段蓄冷器后由于不完全换热产生的热流，为经过第二段蓄冷器后由于不完全换热产生的热流，L为第一级蓄冷器(3)和第二级蓄冷器(5)长度之和，x为第一级蓄冷器(3)的长度占第一级蓄冷器(3)和第二级蓄冷器(5)长度之和L的比例系数，即为连接位置，则第一级蓄冷器(3)长度为xL，第二级蓄冷器(5)长度为(1-x)L；
步骤二：建立基本假设，在第二级最优制冷性能对应的两级间连接位置的设计方法中，建立合理的假设条件，首先，仅考虑制冷机第二级的制冷性能，假定第一级无制冷量，其次，惯性管型两级高频脉管制冷机中唯一的损失为蓄冷器中不完全换热带来的损失，基于此假设，则蓄冷器中流阻为零，沿轴线方向的导热量也为零；
步骤三：基于所建立的模型，在假设条件下分别计算得到第一级蓄冷器熵产的表达式：
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表达式(1)中的为第一级蓄冷器熵产；为经过第一段蓄冷器后由于不完全换热产生的热流；TH为散热温度；T1为第一级制冷温度；
第二级蓄冷器熵产的表达式：
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表达式(2)中的为第二级蓄冷器熵产；为经过第二段蓄冷器后由于不完全换热产生的热流；T1为第一级制冷温度；与表达式(1)中的T1相同；T2为第二级制冷温度；
第一级脉管热端熵产的表达式：
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表达式(3)中的为第一级脉管热端熵产；TH为散热温度，与表达式(1)中的TH相同；为经过第一段蓄冷器后由于不完全换热产生的热流，与表达式(1)中的相同；为经过第二段蓄冷器后由于不完全换热产生的热流，与表达式(2)中的相同；
第二级脉管热端熵产的表达式：
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表达式(4)中的为第二级脉管热端熵产；TH为散热温度，与表达式(1)中的TH相同；为经过第二段蓄冷器后由于不完全换热产生的热流，与表达式(2)中的相同；
压缩机输入功计算式一的表达式：
<mrow>
<mi>P</mi>
<mo>=</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<msub>
<mi>T</mi>
<mi>H</mi>
</msub>
<msub>
<mi>T</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msub>
<mover>
<mi>Q</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mi>L</mi>
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<mo>+</mo>
<msub>
<mi>T</mi>
<mi>H</mi>
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<mrow>
<mo>(</mo>
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<mi>S</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>r</mi>
<mn>1</mn>
</mrow>
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<mo>+</mo>
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<mi>S</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>r</mi>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mover>
<mi>S</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mover>
<mi>S</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mi>i</mi>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>5</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
表达式(5)中的P为压缩机输入功；TH为散热温度，与表达式(1)中的TH相同；T2为第二级制冷温度，与表达式(2)中的T2相同；为第二级冷端在温度T2下的净制冷量；为第一级蓄冷器熵产，与表达式(1)中的相同；为第二级蓄冷器熵产，与表达式(2)中的相同；为第一级脉管热端熵产，与表达式(3)中的相同；为第二级脉管热端熵产，与表达式(4)中的相同；
步骤四：将第一级蓄冷器熵产、第二级蓄冷器熵产、第一级脉管热端熵产以及第二级脉管热端熵产的表达式代入到压缩机输入功计算式一的表达式中，得到含有第二级制冷量参数的压缩机输入功计算式二的表达式：
<mrow>
<mi>P</mi>
<mo>=</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<msub>
<mi>T</mi>
<mi>H</mi>
</msub>
<msub>
<mi>T</mi>
<mn>2</mn>
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</mfrac>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msub>
<mover>
<mi>Q</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mi>L</mi>
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<mo>+</mo>
<msub>
<mover>
<mi>Q</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
<mfrac>
<msub>
<mi>T</mi>
<mi>H</mi>
</msub>
<mi>T</mi>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<msub>
<mover>
<mi>Q</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<msub>
<mi>T</mi>
<mi>H</mi>
</msub>
<msub>
<mi>T</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<msub>
<mi>T</mi>
<mi>H</mi>
</msub>
<mi>T</mi>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>6</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
表达式(6)中的P为压缩机输入功，与表达式(5)中的P相同；TH为散热温度，与表达式(1)中的TH相同；T2为第二级制冷温度，与表达式(2)中的T2相同；为第二级冷端在温度T2下的净制冷量；为经过第一段蓄冷器后由于不完全换热产生的热流，与表达式(1)中的相同；T1为第一级制冷温度，与表达式(1)中的T1相同；为经过第二段蓄冷器后由于不完全换热产生的热流，与表达式(2)中的相同；
步骤五：定义无量纲传热系数的表达式为：
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>k</mi>
<mi>i</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<mi>&sigma;</mi>
<mfrac>
<msub>
<mi>T</mi>
<mi>H</mi>
</msub>
<mrow>
<msub>
<mi>L</mi>
<mi>i</mi>
</msub>
<mi>P</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>k</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mi>k</mi>
<mi>x</mi>
</mfrac>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>k</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mi>k</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>-</mo>
<mi>x</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>7</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
表达式(7)中的ki为第i级蓄冷器的无量纲传热系数，其中i＝1,2；σ为其他因素对蓄冷器中产生热流的综合影响函数，与温度梯度、蓄冷器长度无关；P为压缩机输入功，与表达式(5)中的P相同；TH为散热温度，与表达式(1)中的TH相同；Li为第i级蓄冷器的长度，其中i＝1,2；k可以认为是低温温度值为零时由于不完全换热过程带来的换热损失与压缩机输入功P之间比值，k值始终小于1；x为第一级蓄冷器(3)的长度占第一级蓄冷器(3)和第二级蓄冷器(5)长度之和L的比例系数，即为连接位置；
定义无量纲温度的表达式为：
<mrow>
<msub>
<mi>t</mi>
<mi>i</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<msub>
<mi>T</mi>
<mi>i</mi>
</msub>
<msub>
<mi>T</mi>
<mi>H</mi>
</msub>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>8</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
表达式(8)中的ti为第i级蓄冷器的无量纲温度，其中i＝1,2；Ti为第i级蓄冷器冷端换热器的温度，其中i＝1,2；TH为散热温度，与表达式(1)中的TH相同；
定义无量纲热流密度的表达式为：
<mrow>
<msub>
<mi>q</mi>
<mi>i</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<msub>
<mover>
<mi>Q</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mi>i</mi>
</msub>
<mi>P</mi>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>9</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
2
表达式(9)中的qi为第i级蓄冷器的无量纲热流密度，其中i＝1,2；为流经第i级蓄冷器后由于不完全换热产生的热流，其中i＝1,2；P为压缩机输入功，与表达式(5)中的P相同；
利用压缩机输入功计算式二得到第二级COP计算式的表达式，并得到第二级最优COP计算式的表达式为：
<mrow>
<mi>C</mi>
<mi>O</mi>
<mi>P</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<msub>
<mi>t</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>t</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
</mrow>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mi>k</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msub>
<mi>t</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>+</mo>
<mi>x</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mrow>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>-</mo>
<mi>x</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>t</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<mn>2</mn>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>-</mo>
<mi>x</mi>
<mo>)</mo>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>t</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mfrac>
<msqrt>
<mfrac>
<mrow>
<msub>
<mi>t</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msup>
<msub>
<mi>t</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>t</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mi>x</mi>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<msup>
<msub>
<mi>t</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mn>2</mn>
</msup>
<mi>x</mi>
</mrow>
<mi>x</mi>
</mfrac>
</msqrt>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>10</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
表达式(10)中的COP为制冷机第二级的最优COP；t2为第二级冷端换热器(6)的温度T2与散热温度TH之间的比值；k可以认为是低温温度值为零时由于不完全换热过程带来的换热损失与压缩功P之间比值，k值始终小于1，与表示式(7)中的k相同；x为第一级蓄冷器(3)的长度占第一级蓄冷器(3)和第二级蓄冷器(5)长度之和L的比例系数，即为连接位置,与表达式(7)中的x相同；
步骤六：基于制冷机第二级最优COP计算式的表达式，当第二级COP取最大值时，可以得到第二级冷端换热器最大制冷量对应连接位置的表达式为：
<mrow>
<mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mn>4</mn>
<mo>-</mo>
<mn>5</mn>
<msub>
<mi>t</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msqrt>
<mrow>
<mn>4</mn>
<msub>
<mi>t</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<mn>3</mn>
<msup>
<msub>
<mi>t</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
<mrow>
<mn>8</mn>
<mo>-</mo>
<mn>14</mn>
<msub>
<mi>t</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
</mrow>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>11</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
表达式(11)中的x为第一级蓄冷器(3)的长度占第一级蓄冷器(3)和第二级蓄冷器(5)长度之和L的比例系数，即为连接位置，与表达式(7)中的x相同；t2为第二级冷端换热器(6)的温度T2与散热温度TH之间的比值，与表示式(10)中的t2相同；
当第二级COP＝0时，可以得到第二级冷端换热器最低温度对应连接位置表达式为：
<mrow>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>k</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>4</mn>
</mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>+</mo>
<msqrt>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>+</mo>
<mn>8</mn>
<mi>k</mi>
</mrow>
</msqrt>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>12</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
表达式(12)中的x为第一级蓄冷器(3)的长度占第一级蓄冷器(3)和第二级蓄冷器(5)长度之和L的比例系数，即为连接位置，与表达式(7)中的x相同；k可以认为是低温温度值为零时由于不完全换热过程带来的换热损失与压缩功P之间比值，k值始终小于1，与表达式(7)中的k相同。
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| 低温惯性管调相的35K两级高频脉管制冷机研究;范炳燕;《中国优秀硕士学位论文全文数据库 工程科技Ⅱ辑》;20120315;第2012年卷(第3期);第2.2.2节，图2.6A * |
| 斯特林型两级脉管制冷机理论与实验研究;颜鹏达;《中国博士学位论文全文数据库 工程科技Ⅱ辑》;20120115;第2012年卷(第1期);C028-10 * |
| 液氮温区大功率斯特林型脉管制冷机回热器温度不均匀性及性能优化研究;孙久策;《中国博士学位论文全文数据库 工程科技Ⅱ辑》;20140615;第2014年卷(第6期);C028-35 * |
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