CN105334107A - 基于地层粘弹性的泥页岩井壁稳定钻井液密度确定方法 - Google Patents

Abstract

基于地层粘弹性的泥页岩井壁稳定钻井液密度确定方法，先加工试样，然后对试样进行三轴蠕变实验，分析蠕变过程的三个阶段，建立适合描述泥页岩粘弹性特性的蠕变本构模型，变形得到物理方程；根据井壁围岩受力，得到平衡方程、几何方程及边界条件，将上述方程联立求解得到钻井液密度方程，本发明基于泥页岩的粘弹性力学行为，通过粘弹蠕变本构模型来研究井壁流变失稳破坏的力学机理与演化规律，给出考虑粘弹性后泥页岩层钻进的钻井液密度图版，具有非常重要的现实意义。

Description

基于地层粘弹性的泥页岩井壁稳定钻井液密度确定方法

技术领域

本发明涉及井壁稳定技术领域，尤其涉及基于地层粘弹性的泥页岩井壁稳定钻井液密度确定方法。

背景技术

井壁失稳问题是石油钻井过程中普遍存在并一直困扰石油工业界的一个复杂问题。从力学角度来说，井壁岩石所受到的破坏应力大于原始强度是井壁失稳的主要原因。研究人员展开了广泛深入的研究，在1940年H.M.westergard对直井周围弹—塑性井眼的应力分布情况进行了描述，发表了第一篇关于井壁稳定问题的正式文献。Faithurst给出了考虑倾斜地层、倾斜井眼、三向不均匀应力场下线弹性的应力状态解。Terzaghi提出了有效应力原理，随后的研究人员将其运用到井壁稳定分析中，对孔隙压力的影响进行了修正。Carroll给出了统一的表达式：有效应力＝总压力-常数C×孔隙流体压力(C≤1)。Biot在1955年提出了多孔弹性介质理论，并应用到了井壁稳定的研究当中。国内对井壁稳定的力学研究以石油大学的黄荣樽教授、陈勉、邓金根教授为代表。多年来，他们的研究团队根据多孔弹性介质力学理论、岩石力学、声学及地质力学理论，系统研究了孔壁围岩的受力状态，岩石强度的测定方法，地应力的测量技术，泥页岩水化应力及其分布、相应计算方法等。

上述研究成果将井壁围岩考虑成弹性多孔介质来进行研究。然而随着对井壁失稳问题的深入研究，可以发现，对于泥页岩地层按照弹性或弹塑性理论来描述和处理岩石材料与时间相关的粘弹性属性方面，存在一定的缺陷。井壁岩石处于地下流体环境中，受到入井流体侵蚀的强化学作用，具有明显的粘弹性效应，引入流变力学的方法来进行研究，才会更为确切。油气钻井过程中，入井流体通过对岩石结构和力学参数的影响，使得泥页岩的软化临界荷载或长期强度降低。而且在钻井过程中，由于岩石的含水率变化及流固耦合的影响，使岩石的力学参数和结构进一步恶化，使岩石粘弹性变形大大增加。当泥页岩吸水膨胀产生粘弹性时，井壁岩石往往产生缩径破坏，常造成卡钻、井眼失稳、固井后挤毁套管等事故，给钻井带来重大经济损失。

目前依据所钻地层的坍塌压力与破裂压力来确定钻井液密度，保持井壁处于力学稳定状态，是现场钻井中防止井壁发生坍塌或塑性变形常用的方法，还没有基于泥页岩的粘弹性力学的钻井液密度确定方法。

发明内容

为了克服上述现有技术的缺点，本发明的目的在于提供基于地层粘弹性的泥页岩井壁稳定钻井液密度确定方法，对指导现场调整钻井液液柱压力来保证井壁稳定具有现实的指导意义。

为了达到上述目的，本发明采取的技术方案为：

基于地层粘弹性的泥页岩井壁稳定钻井液密度确定方法，包括以下步骤：

第一步，按行业标准将试样加工成直径为25毫米、长为50毫米的圆柱体；将试样浸泡在蒸馏水中饱和24小时，然后对试样进行三轴蠕变实验，当蠕应变的速率趋于稳定，每隔1-2h记录一次；当连续2h内变形增量低于了0.001mm/h，开始施加下一级载荷，重复上述步骤直到试样被破坏；

第二步，对第一步实验结果进行分析，建立描述泥页岩粘弹性的蠕变本构模型：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}=-\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_0}{E_1}{e}^{-\frac{E_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}t}& {\mathrm{\&sigma;}}_0<{\mathrm{\&sigma;}}_s\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}=-\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_0}{E_1}{e}^{-\frac{E_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}t}+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_0-{\mathrm{\&sigma;}}_s}{{\mathrm{\&eta;}}_2\left(1-D_c\right)}& {\mathrm{\&sigma;}}_0\&GreaterEqual;{\mathrm{\&sigma;}}_s\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中E₁为粘弹性模量，η₁为粘弹性体的粘滞系数，η₂为粘塑性粘滞系数，σ₀为应力偏量，σ_s为屈服应力，D_c为岩石蠕变损伤量；

第三步，岩石剪切破坏与否主要受岩石所受到的最大、最小主应力控制，σ₁与σ₃的差值越大，井壁越易坍塌，井壁处岩石最大和最小主应力分别为周向应力和径向应力，这说明导致井壁稳定的关键是井壁岩石所受的周向应力σ_θ与径向应力σ_r的差值，即(σ_θ-σ_r)大小，

则将第二步等到的式(1)变换得物理方程：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{\mathrm{\&theta;}}=-\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}({\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{\&theta;}}-{\mathrm{\&sigma;}}_r)}{E_1}{e}^{-\frac{E_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}t}---\left(2\right)$

第四步，不考虑垂直方向产生的应变，简化成平面应变问题，设泥页岩地层地应力为均匀的，其值P₀＝(σ_H+σ_h)/2,井内钻井液柱压力为p_i,井眼半径为R；根据上述假设，得井眼围岩受力模型的基本方程：

对于轴对称问题，平衡方程为

$\frac{{\mathrm{d\&sigma;}}_r}{dr}+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_r-{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{\&theta;}}}{r}=0---\left(3\right)$

几何方程： $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&epsiv;}}_r=\frac{du}{dr}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{\&theta;}}=\frac{u}{r}\end{array}\right.---\left(4\right)$

边界条件： $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&sigma;}}_r{|}_{r=R}=p_i\\ {\mathrm{\&sigma;}}_r{|}_{r=h\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}=p_0\end{array}\right.---\left(5\right)$

式中σ_r为径向应力，σ_θ为周向应力，u为位移；

第五步，将几何方程中径向和周向的应力分量对时间t求导，然后将两式合并得 ${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_r=\frac{d\left(r{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{\mathrm{\&theta;}}\right)}{dr},$ 又有 ${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_r=-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{\mathrm{\&theta;}},$ 解得

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{\mathrm{\&theta;}}=\frac{c}{r^2}---\left(6\right)$

其中c为待定常数；

将(3)式和(6)式代入第四步得到的(2)式中，根据边界条件(5)求解可以得到：

$p_0-p_i=\frac{2\sqrt{3}}{3}{\mathrm{cE}}_1\exp \left(\frac{E_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}t\right)+\frac{1}{2R^2}---\left(7\right)$

定义井眼的收缩速率n为

$n=\frac{\mathrm{\&Delta;}u}{\mathrm{\&Delta;}t\&CenterDot;u}=\frac{1}{{\mathrm{\&pi;r}}^2}\frac{d\left({\mathrm{\&pi;r}}^2\right)}{dt}{|}_{r=R}=\frac{2}{R}\stackrel{\&CenterDot;}{u}{|}_{r=R}=2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{\mathrm{\&theta;}}{|}_{r=R}=\frac{2c}{R^2}---\left(8\right)$

变换式(8)得：c＝R²n/2，将c代入(6)得

$p_0-p_i=\frac{2\sqrt{3}}{3}{\mathrm{cE}}_1\exp \left(\frac{E_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}t\right)+\frac{1}{2R^2}---\left(9\right)$

第六步，p_i与p₀均为井深H的函数，p_i直接与钻井液密度有关，将上一步式(9)给出定井眼所需的钻井液液柱压力，除以井深H，即得到所需的钻井液密度，

$\mathrm{\&rho;}=\frac{100}{H}\&lsqb;p_0-\frac{\sqrt{3}}{3}{\mathrm{nR}}^2{E}_1\exp \left(\frac{E_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}t\right)-\frac{1}{2R^2}\&rsqb;---\left(10\right)$

本发明的有益效果为：本发明针对泥页岩的粘弹性力学行为，通过粘弹蠕变本构模型来研究泥页岩井壁蠕变失稳破坏的力学机理与演化规律，给出考虑粘弹性后泥页岩层钻进的钻井液密度图版，具有非常重要的现实意义。

附图说明

图1为典型的蠕变曲线。

图2为井眼围岩受力模型。

图3为不同时间、缩进速率下泥页岩的钻井液密度图版。

图4为考虑损伤蠕变后泥页岩层钻进的钻井液密度图版。

具体实施方式

下面结合实施例及附图对本发明做详细描述。

基于地层粘弹性的泥页岩井壁稳定钻井液密度确定方法，包括以下步骤：

第一步，按行业标准将试样加工成直径为25毫米、长为50毫米的圆柱体；将试样浸泡在蒸馏水中饱和24小时，然后对试样进行三轴蠕变实验，在固定围压条件下对试件施加轴向预载然后缓慢加载至额定荷载后停止，保持压力不变，记录瞬时应变量，并连续观测其位移；经过一段时间后，当蠕应变的速率趋于稳定，每隔1-2h记录一次；当连续2h内变形增量低于了0.001mm/h，开始施加下一级载荷，重复上述步骤直到试样被破坏；

通过蠕变实验研究岩石的粘弹性特性，蠕变是指在恒定载荷作用下，试件的变形随时间的增加而增加的现象，典型的蠕变曲线参照图1；在t＝0时刻的起始点变形为试件受力产生的弹性变形，I段是蠕变的第I阶段，称为过渡蠕变阶段，在这一阶段中，应变速率随时间的增加而减小；Ⅱ段表示稳态蠕变阶段，其应变速率不随时间而变化，是一常数；Ⅲ段是加速蠕变阶段，此段的蠕变速率逐渐增加，最后将造成岩石的剪切破坏，对于钻井工程来说，第I，Ⅱ阶段蠕变很重要，一般第I阶段经历时间较短，第Ⅱ阶段持续的时间很长。第Ⅲ阶段持续时间也较短，岩石到了这一阶段后，将快速破裂，井壁围岩将很快发生失稳破坏，因此，在工程中主要考虑岩石变形呈粘弹性状态的稳态蠕变阶段对井壁稳定的影响；

第二步，对第一步结果进行分析，建立适合描述泥页岩蠕变特性的本构模型：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}=-\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_0}{E_1}{e}^{-\frac{E_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}t}& {\mathrm{\&sigma;}}_0<{\mathrm{\&sigma;}}_s\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}=-\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_0}{E_1}{e}^{-\frac{E_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}t}+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_0-{\mathrm{\&sigma;}}_s}{{\mathrm{\&eta;}}_2\left(1-D_c\right)}& {\mathrm{\&sigma;}}_0\&GreaterEqual;{\mathrm{\&sigma;}}_s\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中E₁为粘弹性模量，η₁为粘弹性体的粘滞系数，η₂为粘塑性粘滞系数，σ₀为应力偏量，σ_s为屈服应力，D_c为岩石蠕变损伤量；

第三步，当岩体内的应力大于屈服应力σ_s时，将出现加速蠕变，其变形呈粘弹塑性状态，井壁围岩将很快发生失稳破坏，所以这里主要考虑应力小于屈服应力σ_s时，井壁围岩长时间处于稳定蠕变阶段，其变形呈粘弹性状态，据此可对上述模型进行简化，当井壁上应力差小于井壁泥页岩屈服应力时，井壁发生稳态蠕变，粘弹性变形对钻井安全产生的影响；

岩石剪切破坏与否主要受岩石所受到的最大、最小主应力控制，σ₁与σ₃的差值越大，井壁越易坍塌。井壁处岩石最大和最小主应力分别为周向应力和径向应力，这说明导致井壁稳定的关键是井壁岩石所受的周向应力σ_θ与径向应力σ_r的差值，即(σ_θ-σ_r)大小。若水平地应力不均匀(σ_H≠σ_h)，井壁岩石周向应力σ_θ室内随θ而变化的；

则将第二步等到的式(1)变换得物理方程：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{\mathrm{\&theta;}}=-\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}({\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{\&theta;}}-{\mathrm{\&sigma;}}_r)}{E_1}{e}^{-\frac{E_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}t}---\left(2\right)$

第四步，考虑垂直井具有均匀水平地应力岩层的情况，井眼围岩的受力情况参照图2，由于岩层较厚，井筒较深，可以不考虑垂直方向产生的应变，简化成平面应变问题。设泥页岩地层地应力为均匀的，其值P₀＝(σ_H+σ_h)/2,井内钻井液柱压力为p_i,井眼半径为R；根据上述假设，得井眼围岩受力模型的基本方程：

对于轴对称问题，平衡方程为

$\frac{{\mathrm{d\&sigma;}}_r}{dr}+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_r-{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{\&theta;}}}{r}=0---\left(3\right)$

几何方程： $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&epsiv;}}_r=\frac{du}{dr}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{\&theta;}}=\frac{u}{r}\end{array}\right.---\left(4\right)$

边界条件： $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&sigma;}}_r{|}_{r=R}=p_i\\ {\mathrm{\&sigma;}}_r{|}_{r=h\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}=p_0\end{array}\right.---\left(5\right)$

式中σ_r为径向应力，σ_θ为周向应力，u为位移；

第五步，将几何方程中径向和周向的应力分量对时间t求导，然后将两式合并得 ${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_r=\frac{d\left(r{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{\mathrm{\&theta;}}\right)}{dr},$ 又有 ${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_r=-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{\mathrm{\&theta;}},$ 解得

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{\mathrm{\&theta;}}=\frac{c}{r^2}---\left(6\right)$

其中c为待定常数；

将(3)式和(6)式代入第四步得到的(2)式中，根据边界条件(5)求解可以得到：

$p_0-p_i=\frac{2\sqrt{3}}{3}{\mathrm{cE}}_1\exp \left(\frac{E_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}t\right)+\frac{1}{2R^2}---\left(7\right)$

定义井眼的收缩速率n为

$n=\frac{\mathrm{\&Delta;}u}{\mathrm{\&Delta;}t\&CenterDot;u}=\frac{1}{{\mathrm{\&pi;r}}^2}\frac{d\left({\mathrm{\&pi;r}}^2\right)}{dt}{|}_{r=R}=\frac{2}{R}\stackrel{\&CenterDot;}{u}{|}_{r=R}2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{\mathrm{\&theta;}}{|}_{r=R}=\frac{2c}{R^2}---\left(8\right)$

变换式(8)得：c＝R²n/2，将c代入(6)得

$p_0-p_i=\frac{2\sqrt{3}}{3}{\mathrm{cE}}_1\exp \left(\frac{E_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}t\right)+\frac{1}{2R^2}---\left(9\right)$

第六步，p_i与p₀均为井深H的函数，p_i直接与钻井液密度有关，将上一步式(9)给出定井眼所需的钻井液液柱压力，除以井深H，即得到所需的钻井液密度，

$\mathrm{\&rho;}=\frac{100}{H}\&lsqb;p_0-\frac{\sqrt{3}}{3}{\mathrm{nR}}^2{E}_1\exp \left(\frac{E_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}t\right)-\frac{1}{2R^2}\&rsqb;---\left(10\right)$

某井现场数据：井深H＝2420m；井眼半径R＝51/2”；地应力取平均水平地应力p₀＝(σ_H+σ_h)/2＝42.8MPa；地层粘弹性模量取平均值E₁＝40.65GPa，粘弹性粘滞系数取平均值η₁＝68.31GPa·h代入式(10)，得到该地层不同井眼收缩速率下泥页岩层钻井所需的密度图版。

参照图3，图3为不同时间、不同收缩速率下泥页岩的钻井液密度图版，可以看出井眼的收缩速率越小，则所需的钻井液密度越大；随着钻井时间的延长，则所需的钻井液密度越大。

若控制井眼收缩速率n＝0.001h^-1，得到该地层不同井深条件下泥页岩层钻井所需的密度图版，参照图4，图4为考虑粘弹性特性后泥页岩层钻进的钻井液密度图版随着井深的增加，则所需的钻井液密度越大；同时随着钻井时间的延长，所需的钻井液密度越大。

实际钻井中上部地层(井深小于1600m)的井径扩大率达到15％～40％，这是由于实用钻井液密度小于剪切坍塌压力当量密度所致，按本方法计算结果，将钻井液密度1.12g/cm³调整1.3g/cm³后，井壁坍塌掉块现象明显改善。

在2000m以下虽然钻井液密度大于剪切坍塌压力当量密度，仍有20％～30％的井径扩大率，这是因为泥浆柱压力仍小于泥页岩中的孔隙压力，从而产生了井壁拉伸崩落的结果。根据本文设计计算结果，随着井深的增加，钻井时间的增长，所需的钻井液密度越大。经过调整后，现场应用效果明显，保证了钻井的正常进行。计算结果经过现场使用验证，表明与实际情况符合很好，说明本方法是正确的。

Claims (1)

1.基于地层粘弹性的泥页岩井壁稳定钻井液密度确定方法，其特征在于，包括以下步骤：

第一步，按行业标准将试样加工成直径为25毫米、长为50毫米的圆柱体；将试样浸泡在蒸馏水中饱和24小时，然后对试样进行三轴蠕变实验，当蠕应变的速率趋于稳定，每隔1-2h记录一次；当连续2h内变形增量低于了0.001mm/h，开始施加下一级载荷，重复上述步骤直到试样被破坏；

第二步，对第一步实验结果进行分析，建立描述泥页岩粘弹性的蠕变本构模型：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}=-\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_0}{E_1}{e}^{-\frac{E_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}t}& {\mathrm{\&sigma;}}_0<{\mathrm{\&sigma;}}_s\\ \stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}=-\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_0}{E_1}{e}^{-\frac{E_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}t}+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_0-{\mathrm{\&sigma;}}_s}{{\mathrm{\&eta;}}_2(1-D_c)}& {\mathrm{\&sigma;}}_0\&GreaterEqual;{\mathrm{\&sigma;}}_s\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中E₁为粘弹性模量，η₁为粘弹性体的粘滞系数，η₂为粘塑性粘滞系数，σ₀为应力偏量，σ_s为屈服应力，D_c为岩石蠕变损伤量；

第三步，岩石剪切破坏与否主要受岩石所受到的最大、最小主应力控制，σ₁与σ₃的差值越大，井壁越易坍塌，井壁处岩石最大和最小主应力分别为周向应力和径向应力，这说明导致井壁稳定的关键是井壁岩石所受的周向应力σ_θ与径向应力σ_r的差值，即(σ_θ-σ_r)大小，

则将第二步等到的式(1)变换得物理方程：

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{\mathrm{\&theta;}}=-\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}({\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{\&theta;}}-{\mathrm{\&sigma;}}_r)}{E_1}{e}^{-\frac{E_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}t}---\left(2\right)$

第四步，不考虑垂直方向产生的应变，简化成平面应变问题，设泥页岩地层地应力为均匀的，其值P₀＝(σ_H+σ_h)/2,井内钻井液柱压力为p_i,井眼半径为R；根据上述假设，得井眼围岩受力模型的基本方程：

对于轴对称问题，平衡方程为

$\frac{{\mathrm{d\&sigma;}}_r}{dr}+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_r-{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{\&theta;}}}{r}=0---\left(3\right)$

几何方程： $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&epsiv;}}_r=\frac{du}{dr}\\ {\mathrm{\&epsiv;}}_{\mathrm{\&theta;}}=\frac{u}{r}\end{array}\right.---\left(4\right)$

边界条件： $\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&sigma;}}_r{|}_{r=R}=p_i\\ {\mathrm{\&sigma;}}_r{|}_{r=h\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}=p_0\end{array}---\left(5\right)$ 式中σ_r为径向应力，σ_θ为周向应力，u为位移；

第五步，将几何方程中径向和周向的应力分量对时间t求导，然后将两式合并得又有解得

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{\mathrm{\&theta;}}=\frac{c}{r^2}---\left(6\right)$

其中c为待定常数；

将(3)式和(6)式代入第四步得到的(2)式中，根据边界条件(5)求解可以得到：

$p_0-p_i=\frac{2\sqrt{3}}{3}{\mathrm{cE}}_1\exp \left(\frac{E_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}t\right)+\frac{1}{2R^2}---\left(7\right)$

定义井眼的收缩速率n为

$n=\frac{\mathrm{\&Delta;}u}{\mathrm{\&Delta;}t\&CenterDot;u}=\frac{1}{{\mathrm{\&pi;r}}^2}\frac{d\left({\mathrm{\&pi;r}}^2\right)}{dt}{|}_{r=R}=\frac{2}{R}\stackrel{\&CenterDot;}{u}{|}_{r=R}=2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{\mathrm{\&theta;}}{|}_{r=R}=\frac{2c}{R^2}---\left(8\right)$

变换式(8)得：c＝R²n/2，将c代入(6)得

$p_0-p_i=\frac{2\sqrt{3}}{3}{\mathrm{cE}}_1\exp \left(\frac{E_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}t\right)+\frac{1}{2R^2}---\left(9\right)$

第六步，p_i与p₀均为井深H的函数，p_i直接与钻井液密度有关，将上一步式(9)给出定井眼所需的钻井液液柱压力，除以井深H，即得到所需的钻井液密度，

$\mathrm{\&rho;}=\frac{100}{H}\&lsqb;p_0-\frac{\sqrt{3}}{3}{\mathrm{nR}}^2{E}_1\exp \left(\frac{E_1}{{\mathrm{\&eta;}}_1}t\right)-\frac{1}{2R^2}\&rsqb;.---\left(10\right)$