CN105329032B

CN105329032B - 球体直观图及其北极点位置的构图方法及使用的模板

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Publication number: CN105329032B
Application number: CN201510858959.3A
Authority: CN
Inventors: 唐文虎
Original assignee: Individual
Current assignee: Individual
Priority date: 2015-12-01
Filing date: 2015-12-01
Publication date: 2017-03-22
Anticipated expiration: 2035-12-01
Also published as: CN105329032A

Abstract

本发明为球体直观图及其北极点位置的构图方法及使用的模板，其特征在于：所述的模板分为经线模板和纬线模板，使用模板确定北极点的位置；在T平行投影方向下，以球心O为圆心、赤道椭圆的短半轴为半径画圆，交赤道椭圆长半轴于点A，连接点A和O，过圆心O向球体北极方向作AO的垂线，与球体的轮廓圆相交于点D，过点A向球体北极方向作AO的垂线，与球体的轮廓圆相交于点B，过点B作AO的平行线，得到与DO相交的交点C，即为球体直观图北极点的位置。南极点位置的确定与北极点的位置的确定方法相同、方向相反。过所述的北极点和南极点作球体的经线，完成球体直观图的绘制。本发明的模板还能方便地画出一般状态下的球体经线和纬线。

Description

球体直观图及其北极点位置的构图方法及使用的模板

技术领域

本发明涉及一种球体直观图的画法及其使用的模板，特别是公开一种球体直观图及其北极点位置的构图方法及使用的模板，本发明的模板是学校文教用品，是一种用于绘制球体直观图的工具模板。

背景技术

在二维平面上，画出的具有立体感的图形，叫直观图。选择一个适当的斜平行投影方向，可以得到斜二测直观图。因此，得到的斜二测直观图实际上是一个影子，斜二测直观图是不直观的直观图。假定视线是平行的，并且视线的方向顺着平行投影的方向，这时看到的投影实际上是几何体在平行投影线法平面上的正投影。常见的正等测直观图就是这种正投影。这种直观图是直观的直观图。但是，由于正等测直观图要求投影线与三个坐标平面都不平行，这种规定，约束了人们的想象力。

几十年来，无法简单有效地画出球体直观图一直成为学界的心中之痛，歪歪扭扭的教科书球体插图也成为数学的一种耻辱。造成出现这种附图情况的原因是生搬硬套轴测图，对球体直观图北极点和南极点的位置定位不正确，见附图3，球体直观图上的北极点是随着赤道椭圆离心率的变小而下移的。北极点定位不准确，南极点的位置也相应不正确，势必画出的球体直观图比例失真，不能获得良好的直观视觉效果，见附图1和附图2，类似的插图在教科书中随处可见。

由于代表国家最高水平的、经严格审定的教科书出了如此问题，高考试题插图中问题也屡见不鲜，教师论文插图无奇不有也就不足为怪。为了千千万万下一代学生空间想象力的培养，这种状况应当到此为止。

发明内容

本发明的目的是解决现有技术中绘制球体直观图时不能正确定位北极点、南极点的问题，公开一种球体直观图及其北极点位置的构图方法及使用的模板，本发明设计的模板，兼容简单多面体，还能绘制出真正的球体直观图，解决了目前国家标准教科书上尚未解决的难题。

本发明是这样实现的：一种球体直观图及其北极点位置的构图方法及使用的模板，其特征在于所述北极点位置的确定：在T平行投影方向下，以球心O为圆心、赤道椭圆的短半轴为半径画圆，交赤道椭圆长半轴于点A，连接点A和圆心O为线段AO，过圆心O向球体北极方向作线段AO的垂线，与球体的轮廓圆相交于点D，为线段DO，过点A向球体北极方向作线段AO的垂线，与球体的轮廓圆相交于点B，为线段AB，过点B作线段AO的平行线，得到与线段DO相交的交点C，所述的交点C为球体直观图北极点的位置；所述球体直观图的南极点位置的确定与北极点的位置的确定方法相同、方向相反；过所述的北极点和南极点作球体的经线，完成球体直观图的绘制。

所述的模板分为经线模板和纬线模板，使用所述的模板确定球体直观图上北极点的位置，所述的经线模板绘制球体直观图的赤道椭圆及球体直观图上经线的大圆，所述的纬线模板在利用经线模板画出纬线定位大圆的基础上绘制球体直观图的纬线小圆，所述的经线模板和纬线模板均设有绘制垂线和平行线的直线部分；所述的经线模板上排中设置了具有同样长轴、不同短轴的经线椭圆，供画大圆使用，其中标记为8#、16#、24#的经线椭圆为推荐使用的赤道椭圆；下排设有四个球体圆，其中右下角的球体圆为带有用于绘制赤道椭圆基准的四等分标记的球体轮廓圆，左侧三个椭圆分别为对应于三种推荐赤道椭圆的、带有北极点和南极点的纬线定位大圆，在画纬线定位大圆的同时也画出了北极点和南极点，最后再根据需要使用纬线模板画出各种不同位置的纬线小圆。

根据附图4，有一种正投影方向虽然不满足正投影的要求，却是最原始的直观方向，称为T平行投影方向。设平行投影线与x轴、y轴、z轴的夹角依次为α, 90°, 90°-α（α为锐角），则称这种投影方向为T平行投影方向。

轴测轴的单位长度与相应直角坐标轴的单位长度的比值，叫做轴向伸缩系数。根据附图5～附图8，轴向伸缩系数结论一：直观图上轴测轴方向的线段长度（作直观图时量取的长度）与实际长度的比值叫做轴向伸缩系数；

轴向伸缩系数结论二：在正投影时，直观图上轴测轴方向的线段长度也就是直接看到的、投影线法平面上的线段长度（如附图4中的线段AC）。所以，附图4中x轴的轴向伸缩系数=AC/AB=sinα。（线段AC就是线段AB在平行投影线法平面上的射影，而AB正是在相应直角坐标系中占有的计算长度）；

轴向伸缩系数结论三：在T平行投影方向下，这三个座标轴的伸缩比例依次为sinα、 sin90°、 sin(90°-α)，即sinα, 1, cosα。

从轴向伸缩系数的定义及其容易验证的结论可以看出，由轴向伸缩系数确定画直观图时轴向的线段长度。在正投影时，这个长度既是画图的线段长度，也是眼睛看到的（假设视线与平行投影方向一致）、因而也是直观的、在平行投影线法平面上的那一部分影像。因此，几何体在视线法平面上的射影就是几何体的直观图。

对本发明确定的北极点位置和南极点位置的证明如下。

根据附图4，图中的椭圆在xOy平面中是一个圆。所以在二维平面上画球的直观图时，赤道椭圆的短、长轴之比，就是x轴的轴向伸缩系数，见附图10。

根据附图11，设球半径为1, 平行投影线与x轴、y轴、z轴的夹角依次为α, 90°,90°-α（α为锐角）。以O为圆心，OB为半径画圆交ON于点A ₁, 过点A ₁作ON的垂线交球轮廓大圆于点B ₁，过点B ₁作ON的平行线交z轴于点C。

由轴向伸缩系数结论二，x轴的轴向伸缩比例=AB ׃ MN=OA₁׃ OB₁= cosβ；

又x轴的轴向伸缩系数= sinα,

所以 cosβ= sinα

cos²β= sin²α

1-cos²β=1- sin²α

sin²β= cos²α，

因为α，β都是锐角，所以 sinβ=cosα

sinβ=A₁B₁= OC

所以OC=cosα。

由轴向伸缩系数结论三，cosα就是z轴的轴向伸缩比例，因此，点C就是北极点。

在确定了球体的北极点和南极点后，绘制球体直观图从理论上已成为可能。但现有技术绘制过程中过多的辅助线不仅将主要线条严重遮挡，而且过程极其繁琐。虽然本发明北极点位置的确定方法纠正了现有技术中确定的北极点位置的历史性错误，但目前尚无一种有效的工具来简易地完成球体直观图的绘制，目前普遍使用的机械制图用的正等测模板是无法完成这种绘制的。所以在确定了球体直观图上北极点位置、南极点位置的基础上，本发明设计了新颖、易用绘制球体直观图的模板，本发明设计的球体直观图模板分为两块：一块专门用来画球体直观图上的经线大圆和一般位置大圆的经线模板和另一块专门用来画球体直观图上的纬线小圆的纬线模板。

本发明的有益效果是：纠正了现有技术中北极点位置确定的错误，并设计了一种由“理论上北极点位置的确定”引伸出的能确定北极点位置及南极点位置的模板，并提供了三种经常使用的北极点位置及其纬线定位大圆，这是能正确画出纬线椭圆的关键所在。本发明为广大学生空间想象力的培养扫平了障碍，通过本发明的模板能非常方便地画出球体直观图和一般状态下的球体经线和纬线，方便易用。

附图说明

图1 是现有技术中教科书上的球体直观图示例1。

图2 是现有技术中教科书上的球体直观图示例2。

图3 是球体直观图上北极点位置随着赤道椭圆离心率的变小而下移的示意图。

图4 是原始直观方向示意图。

图5 是斜二测视图中轴测轴单位长度示意图。

图6 是图5斜二测视图相应的直角坐标系轴单位长度示意图。

图7 是正等测视图中轴侧轴单位长度示意图。

图8 是图7正等测视图相应的直角坐标系轴单位长度示意图。

图9 是绘制球体直观图时采用赤道椭圆的短半轴确定北极点位置的示意图。

图10 是在二维平面上画球体直观图的赤道椭圆示意图。

图11 是证明绘制球体直观图中赤道椭圆短、长轴之比为x轴的轴向伸缩比例示意图。

图12 是经本发明矫正后的球体直观图。

图13 是本发明绘制球体直观图用的经线模板结构示意图。

图14 是本发明绘制球体直观图用的纬线模板结构示意图。

图15 是采用本发明模板绘制的球体直观图实例。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明作进一步描述。

根据附图9和附图12、附图15，本发明一种球体直观图及其北极点位置的构图方法中北极点位置的确定：在T平行投影方向下，以球心O为圆心、赤道椭圆的短半轴为半径画圆，交赤道椭圆长半轴于点A，连接点A和圆心O为线段AO，过圆心O向球体北极方向作线段AO的垂线，与球体的轮廓圆相交于点D，为线段DO，过点A向球体北极方向作线段AO的垂线，与球体的轮廓圆相交于点B，为线段AB，过点B作线段AO的平行线，得到与线段DO相交的交点C，所述的交点C为球体直观图北极点的位置；所述球体直观图的南极点位置的确定与北极点的位置的确定方法相同、方向相反。过所述的北极点和南极点作球体的经线，完成球体直观图的绘制。北极点位置确定后绘制的球体直观图与现有技术教科书上的球体直观图有明显差别，能更准确直观地表达出球体结构。

根据附图13和附图14，本发明的模板分为经线模板和纬线模板，所述的经线模板绘制球体直观图的赤道椭圆及球体直观图上经线的大圆，所述的纬线模板在利用经线模板画出纬线定位大圆的基础上绘制球体直观图的纬线小圆，所述的经线模板和纬线模板均设有绘制垂线和平行线的直线部分，用所述的模板确定球体直观图上北极点的位置。

根据附图13，本发明经线模板上排中设置了具有同样长轴、不同短轴的经线椭圆，供画大圆使用，其中标记为8#、16#、24#的经线椭圆为推荐使用的赤道椭圆；下排设有四个球体圆，其中右下角的球体圆为带有用于绘制赤道椭圆基准的四等分标记的球体轮廓圆，左侧三个椭圆分别为对应于三种推荐赤道椭圆的、带有北极点和南极点的纬线定位大圆，在画纬线定位大圆的同时也画出了北极点和南极点。制完赤道椭圆后，只要把模板旋转90度，便可代替圆规作出“以球心为圆心，赤道椭圆半短轴为半径的圆与赤道椭圆长轴的交点”，再用两块模板的直角边作垂线或平行线，找到北极点、南极点。选用经线模板上方一排中的任意一个椭圆，使其长轴贴合球体轮廓圆，并使南极点、北极点贴合在椭圆边上，即可作出经线大圆。过球面上两点，作出它们关于球心的对称点，再选用大小匹配的椭圆贴合这些点，可以画出球面距离的弧。

根据附图14，用经线模板作出纬线定位大圆（比如16#）后，再根据需要使用纬线模板画出各种不同位置的纬线小圆，（如用纬线模板中相对应的16#椭圆系列），使其长轴的两顶点位于纬线定位大圆上，且使长轴平行于赤道，即可画出纬线小圆。纬线模板中的纬线小圆依次是（以16#为例）：80°纬线小圆、70°纬线小圆、60°纬线小圆、50°纬线小圆、球内接圆柱底面椭圆、40°纬线小圆、球内接正方体上下底面所在椭圆、30°纬线小圆（兼球内接圆锥底面椭圆）、20°纬线小圆（兼球内接正四面体底面椭圆）。

Claims

1.一种球体直观图及其北极点位置的构图方法，其特征在于所述北极点位置的确定：设平行投影线与x轴、y轴、z轴的夹角依次为α, 90°, 90°-α，所述的α为锐角，则称这种投影方向为T平行投影方向，所述的T平行投影方向是最原始的直观方向，在右手系空间直角坐标系中，它平行于xOz平面，垂直于y轴，在所述的T平行投影方向下，以球心O为圆心、赤道椭圆的短半轴为半径画圆，交赤道椭圆长半轴于点A，连接点A和圆心O为线段AO，过圆心O向球体北极方向作线段AO的垂线，与球体的轮廓圆相交于点D，为线段DO，过点A向球体北极方向作线段AO的垂线，与球体的轮廓圆相交于点B，为线段AB，过点B作线段AO的平行线，得到与线段DO相交的交点C，所述的交点C为球体直观图北极点的位置；所述球体直观图的南极点位置的确定与北极点的位置的确定方法相同、方向相反；过所述的北极点和南极点作球体的经线，完成球体直观图的绘制。

2.一种权利要求1所述球体直观图及其北极点位置的构图方法所使用的模板，其特征在于：所述的模板分为经线模板和纬线模板，使用所述的模板确定球体直观图上北极点的位置，所述的经线模板绘制球体直观图的赤道椭圆及球体直观图上经线的大圆，所述的纬线模板在利用经线模板画出纬线定位大圆的基础上绘制球体直观图的纬线小圆，所述的经线模板和纬线模板均设有绘制垂线和平行线的直线部分；所述的经线模板上排中设置了具有同样长轴、不同短轴的经线椭圆，供画大圆使用，其中标记为8#、16#、24#的经线椭圆为推荐使用的赤道椭圆；下排设有四个球体圆，其中右下角的球体圆为带有用于绘制赤道椭圆基准的四等分标记的球体轮廓圆，左侧三个椭圆分别为对应于三种推荐赤道椭圆的、带有北极点和南极点的纬线定位大圆，在画纬线定位大圆的同时也画出了北极点和南极点，最后再根据需要使用纬线模板画出各种不同位置的纬线小圆。