CN105203070B - 一种双圆盾构隧道施工偏转引起土体变形的计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种双圆盾构隧道施工偏转引起土体变形的计算方法，包括以下步骤：1)绘制双圆盾构隧道开挖的二维断面图；2)确定隧道的收敛半径；3)绘出隧道收敛的形状、大小和位置；4)建立整体直角坐标系；5)建立局部极坐标系；6)建立单位土体损失引起土体变形的函数关系；7)将土体损失分布区域划分为4个子域的代数和；8)计算总的土体变形分量；9)根据土体变形分量确定土体变形量及方向。本方法操作方便，通过简单的设计参数和程序计算就能准确得出双圆盾构隧道施工引起地表及地下土体任一位置的竖向和横向变形，从而可以模拟整个横断面的土体变形场。本方法不仅能计算正常工况下双圆盾构隧道施工引起的土体变形，而且能计算任意偏转工况下的土体变形，并可编写成简单的程序软件，适合推广应用。

Description

一种双圆盾构隧道施工偏转引起土体变形的计算方法

技术领域

本发明属于隧道工程中的盾构隧道施工技术领域，涉及一种双圆盾构隧道施工偏转引起土体变形的计算方法，适用于软土地层中浅埋双圆盾构隧道施工引起土体变形的预测。

背景技术

在地铁隧道、地下管网等城市浅埋隧道的施工中，施工引起地表及地下土体变形的预测和控制是一个极为重要的课题。对于传统的单圆隧道施工，其土体变形的预测通常采用经验统计方法，即假定土体沉降曲线为一倒置的正态分布曲线，由最大沉降值和沉降槽宽度系数确定。作为一种新的隧道施工技术，双圆盾构隧道具有施工效率高、工程造价低、节约地下空间资源、对周边环境影响小等诸多优势，而且不存在隧道间横向隧道的施工，避免了一些潜在的危险。但双圆盾构隧道的断面复杂，传统的经验统计方法不再适用于其施工引起的土体变形计算，而且施工中盾构偏转无法避免，由此导致的土体变形计算更加复杂。目前也有采用随机介质理论预测土体变形的计算方法，但这类方法不能计算隧道顶部所在深度以下的土体变形，得到的土体变形场不完整。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种双圆盾构隧道施工偏转引起土体变形的计算方法，该方法基于弹性介质理论，结合镜像法和坐标转换等，能够通过简单的设计参数和程序计算就能准确得出双圆盾构隧道施工引起地表及地下土体任一位置的竖向和横向变形，从而可以模拟整个横断面的土体变形场。

为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：

一种双圆盾构隧道施工偏转引起土体变形的计算方法，包括以下步骤：

1)绘制双圆盾构隧道开挖形状、大小和位置的二维断面图；

2)通过土体损失率确定隧道的收敛半径R₂：

R₂＝R₁(1-ε)^0.5

式中：R₁代表隧道的开挖半径，ε为土体损失率；

3)结合收敛半径和双圆盾构施工偏转角，绘出隧道收敛的形状、大小和位置；

4)以双圆盾构隧道中心正上方的地表位置为坐标原点,垂直于隧道轴线方向为X轴,竖直方向为Z轴,建立整体直角坐标系；

5)以任一单位开挖土体所在圆心为坐标原点，X方向为r轴，逆时针方向为θ轴，建立局部极坐标系；

6)根据弹性介质理论，采用镜像法和坐标转换，建立单位土体损失引起土体变形的函数关系：

竖向变形：

横向变形：

式中：(x,z)为土体变形的目标点坐标，(r,θ)和(X₀,Z₀)为单位土体损失所在的位置极坐标及其所在圆心坐标，ν为土体泊松比；

7)根据隧道开挖和收敛确定的土体损失分布，将其划分为4个子域的代数和：S＝S_I+S_II-S_III-S_IV；

8)通过对4个子域分别求积分计算总的土体变形分量：

总的竖向变形：

总的横向变形：

式中：α代表盾构偏转角，t代表双圆隧道圆心距之半，h代表双圆隧道中心的埋深；

9)根据土体变形分量确定土体变形量及方向：

变形量：

变形方向：

本发明的有益效果在于：本发明所述的方法使用操作方便，通过简单的设计参数和程序计算就能准确得出双圆盾构隧道施工引起地表及地下土体任一位置的竖向和横向变形，从而可以模拟整个横断面的土体变形场。本发明不仅能计算正常工况下双圆盾构隧道施工引起的土体变形，而且能计算任意偏转工况下的土体变形，操作简便，计算准确，并可编写成简单的程序软件，适合推广应用。

附图说明

为了使本发明的目的、技术方案和有益效果更加清楚，本发明提供如下附图进行说明：

图1为双圆盾构隧道施工偏转引起土体变形的计算模型图；

图2为土体损失分布的积分子域区划图：(a)沿隧道开挖边界积分子域区划；(b)沿隧道收敛边界积分子域区划；

图3为正常工况下(偏转角为0°)土体变形图；

图4为偏转工况下(偏转角为0.6°)土体变形图；

图中标记为：1-隧道开挖断面；2-隧道收敛断面；3-整体直角坐标系(O-XZ)；4-局部极坐标系(O’-rθ)；5-单位开挖土体；O₀-隧道中心；D_max-最大土体变形；LD_max-局部最大土体变形。

具体实施方式

下面将结合附图，对本发明的优选实施例进行详细的描述。

本发明所述方法的具体步骤如下：

1)根据隧道设计的埋深，以及采用的双圆盾构机断面尺寸，绘制双圆盾构隧道开挖形状、大小和位置的二维断面图。如图1所示。

2)根据隧道施工前期的地质调查和试验确定的土体损失率，计算隧道的收敛半径R₂：

R₂＝R₁(1-ε)^0.5 (1)

式中：R₁代表隧道的开挖半径，ε为土体损失率。

3)在偏转工况下，隧道绕其中心O₀滚动偏转，结合收敛半径和施工偏转角大小，绘出隧道收敛的形状、大小和位置。如图1所示。

4)以双圆盾构隧道中心O₀正上方的地表位置为坐标原点O,垂直于隧道轴线方向为X轴,竖直方向为Z轴,建立整体直角坐标系。如图1所示。

5)以任一单位开挖土体所在圆心为局部坐标原点O‘，X方向为r轴，逆时针方向为θ轴，建立局部极坐标系。如图1所示。

6)根据弹性介质理论，采用镜像法和坐标转换，建立单位土体损失引起土体变形的函数关系：

竖向变形：

横向变形：

式中：(x,z)为土体变形的目标点坐标，(r,θ)和(X₀,Z₀)为单位土体损失所在的位置极坐标及其所在圆心坐标，ν为土体泊松比。

7)为了方便积分，根据隧道开挖和收敛确定的土体损失分布，将其划分为4个子域的代数和：S＝S_I+S_II-S_III-S_IV，每个子域代表一个不完全的圆面积。如图2所示。根据几何关系，各积分子域的数学描述为：

S_I：{(r,θ)|0≤r≤R₁，arccos(t/R₁)≤θ≤2π-arccos(t/R₁)}∪

{(r,θ)|0≤r≤t/cosθ，-arccos(t/R₁)≤θ≤arccos(t/R₁)} (4)

S_II：{(r,θ)|0≤r≤R₁，-π+arccos(t/R₁)≤θ≤π-arccos(t/R₁)}∪

{(r,θ)|0≤r≤t/cos(π-θ)，π-arccos(t/R₁)≤θ≤π+arccos(t/R₁)} (5)

S_III：{(r,θ)|0≤r≤R₂，arccos(t/R₂)+α≤θ≤2π-arccos(t/R₂)+α}∪

{(r,θ)|0≤r≤t/cos(α-θ)，-arccos(t/R₂)+α≤θ≤arccos(t/R₂)+α} (6)

S_IV：{(r,θ)|0≤r≤R₂，-π+arccos(t/R₂)+α≤θ≤π-arccos(t/R₂)+α}∪

{(r,θ)|0≤r≤t/cos(π-θ+α)，π-arccos(t/R₂)+α≤θ≤π+arccos(t/R₂)+α} (7)

式中：α代表盾构偏转角，t代表双圆隧道圆心距之半；

8)通过对4个子域分别求积分计算总的土体变形分量：

总的竖向变形：

总的横向变形：

式中：h代表双圆隧道中心的埋深。

9)根据土体变形分量确定土体变形量及方向：

变形量：

变形方向：

实施例：

根据隧道设计和地勘资料：采用双圆盾构隧道施工，盾构机断面直径为9.36m，宽度为15.86m，隧道在计算土体变形所在断面埋深为20.68m，土体泊松比为0.38，土体损失率为0.83％。根据盾构机尺寸得到R₁＝4.68m，t＝3.25m；代入公式(1)得到R₂＝4.66m；代入公式(2)～(3)得到单位土体损失引起土体变形的函数：

(1)正常工况下(偏转角α为0°)

根据公式(4)～(7)划分4个积分子域，各子域的积分界限为：

S_I：{(r,θ)|0≤r≤4.68，0.803≤θ≤5.480}∪{(r,θ)|0≤r≤3.25/cosθ，-0.803≤θ≤0.803}

S_II：{(r,θ)|0≤r≤4.68，-2.338≤θ≤2.338}∪{(r,θ)|0≤r≤3.25/cos(π-θ)，2.338≤θ≤3.945}

S_III：{(r,θ)|0≤r≤4.66，0.799≤θ≤5.484}∪{(r,θ)|0≤r≤3.25/cosθ，-0.799≤θ≤0.799}

S_IV：{(r,θ)|0≤r≤4.66，-2.343≤θ≤2.343}∪{(r,θ)|0≤r≤3.25/cos(π-θ)，2.343≤θ≤3.941}

将单位土体损失引起土体变形的函数代入公式(8)～(9)，并在各子域的积分界限内积分，即可得到任一土体的变形分量(U_z,U_x),代入公式(10)～(11)得到任一土体的变形总量及方向。整个横断面上的土体变形量及方向通过土体变形云图和矢量图给出，如图3所示。

(2)偏转工况下(假如偏转角α为-0.6°)

根据公式(4)～(7)划分4个积分子域，各子域的积分界限为：

S_I：{(r,θ)|0≤r≤4.68，0.803≤θ≤5.480}∪{(r,θ)|0≤r≤3.25/cosθ，-0.803≤θ≤0.803}

S_II：{(r,θ)|0≤r≤4.68，-2.338≤θ≤2.338}∪{(r,θ)|0≤r≤3.25/cos(π-θ)，2.338≤θ≤3.945}

S_III：{(r,θ)|0≤r≤4.66，0.789≤θ≤5.474}∪{(r,θ)|0≤r≤3.25/cos(0.011+θ)，-0.810≤θ≤0.789}

S_IV：{(r,θ)|0≤r≤4.66，-2.353≤θ≤2.332}∪{(r,θ)|0≤r≤3.25/cos(3.131-θ)，2.332≤θ≤3.930}

将单位土体损失引起土体变形的函数代入公式(8)～(9)，并在各子域的积分界限内积分，即可得到任一土体的变形分量(U_z,U_x),代入公式(10)～(11)得到任一土体的变形总量及方向。整个横断面上的土体变形量及方向通过土体变形云图和矢量图给出，如图4所示。

最后说明的是，以上优选实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管通过上述优选实施例已经对本发明进行了详细的描述，但本领域技术人员应当理解，可以在形式上和细节上对其作出各种各样的改变，而不偏离本发明权利要求书所限定的范围。

Claims (1)

1.一种双圆盾构隧道施工偏转引起土体变形的计算方法，其特征在于：包括以下步骤：

1)绘制双圆盾构隧道开挖形状、大小和位置的二维断面图；

2)通过土体损失率确定隧道的收敛半径R₂：

R₂＝R₁(1-ε)^0.5

式中：R₁代表隧道的开挖半径，ε为土体损失率；

3)结合收敛半径和双圆盾构施工偏转角，绘出隧道收敛的形状、大小和位置；

4)以双圆盾构隧道中心正上方的地表位置为坐标原点,垂直于隧道轴线方向为X轴,竖直方向为Z轴,建立整体直角坐标系；

5)以任一单位开挖土体所在圆心为坐标原点，X方向为r轴，逆时针方向为θ轴，建立局部极坐标系；

6)根据弹性介质理论，采用镜像法和坐标转换，建立单位土体损失引起土体变形的函数关系：

竖向变形： <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>;</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>;</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&amp;pi;</mi> </mfrac> <mo>{</mo> <mfrac> <mrow> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mfrac> </mrow>

<mrow> <mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>-</mo> <mn>4</mn> <mi>v</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>z</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mi>r</mi> </mrow>

横向变形： <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>;</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>;</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mi>&amp;pi;</mi> </mfrac> <mo>{</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mfrac> </mrow>

<mrow> <mrow> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <mo>-</mo> <mn>4</mn> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>4</mn> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>X</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mi>r</mi> </mrow>

式中：(x,z)为土体变形的目标点坐标，(r,θ)和(X₀,Z₀)为单位土体损失所在的位置极坐标及其所在圆心坐标，ν为土体泊松比；

7)根据隧道开挖和收敛确定的土体损失分布，将其划分为4个子域的代数和：S＝S_I+S_II-S_III-S_IV；

8)通过对4个子域分别求积分计算总的土体变形分量：

总的竖向变形： <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mrow> <mo>&amp;Integral;</mo> <mo>&amp;Integral;</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mi>I</mi> </msub> </munder> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>;</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>;</mo> <mo>-</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mi>d</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>+</mo> <munder> <mrow> <mo>&amp;Integral;</mo> <mo>&amp;Integral;</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>I</mi> <mi>I</mi> </mrow> </msub> </munder> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>;</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>;</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mi>d</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow>

<mrow> <mo>-</mo> <munder> <mrow> <mo>&amp;Integral;</mo> <mo>&amp;Integral;</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>I</mi> <mi>I</mi> <mi>I</mi> </mrow> </msub> </munder> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>;</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>;</mo> <mo>-</mo> <mi>t</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>-</mo> <mi>t</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mi>d</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>-</mo> <munder> <mrow> <mo>&amp;Integral;</mo> <mo>&amp;Integral;</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>I</mi> <mi>V</mi> </mrow> </msub> </munder> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>;</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>;</mo> <mi>t</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>+</mo> <mi>t</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mi>d</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow>

总的横向变形： <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mrow> <mo>&amp;Integral;</mo> <mo>&amp;Integral;</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mi>I</mi> </msub> </munder> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>;</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>;</mo> <mo>-</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mi>d</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>+</mo> <munder> <mrow> <mo>&amp;Integral;</mo> <mo>&amp;Integral;</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>I</mi> <mi>I</mi> </mrow> </msub> </munder> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>;</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>;</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mi>d</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow>

<mrow> <mo>-</mo> <munder> <mrow> <mo>&amp;Integral;</mo> <mo>&amp;Integral;</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>I</mi> <mi>I</mi> <mi>I</mi> </mrow> </msub> </munder> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>;</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>;</mo> <mo>-</mo> <mi>t</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>-</mo> <mi>t</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mi>d</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>-</mo> <munder> <mrow> <mo>&amp;Integral;</mo> <mo>&amp;Integral;</mo> </mrow> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>I</mi> <mi>V</mi> </mrow> </msub> </munder> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>;</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>;</mo> <mi>t</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>+</mo> <mi>t</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mi>d</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow>

式中：α代表盾构偏转角，t代表双圆隧道圆心距之半，h代表双圆隧道中心的埋深；

9)根据土体变形分量确定土体变形量及方向：

变形量： <mrow> <mi>U</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <msubsup> <mi>U</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>U</mi> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> </mrow>

变形方向： <mrow> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>c</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>U</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>.</mo> </mrow> 2