CN105004598A - 一种确定混凝土多孔砖墙体的等效断裂韧度的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种确定混凝土多孔砖墙体的等效断裂韧度的方法，按照以下步骤进行：步骤1：建立墙体温度开裂的剪滞分析模型；步骤2：建立剪滞平衡方程；步骤3：对剪滞平衡方程简化；步骤4：确定墙体等效断裂韧度。本发明的有益效果是计算混凝土多孔砖墙体断裂韧度方法简单准确。

Description

一种确定混凝土多孔砖墙体的等效断裂韧度的方法

技术领域

本发明涉及一种确定混凝土多孔砖墙体的等效断裂韧度的方法。

背景技术

现有的方法测定混凝土多孔砖墙体的断裂韧度，往往需要用巨型试件和庞大的实验设备，有时甚至无法实现。本发明将断裂力学相关理论应用于混凝土多孔砖墙体这样的压缩断裂材料中，运用修正的剪滞理论，建立混凝土多孔砖墙体的剪滞分析模型，确定确定混凝土多孔砖墙体的等效断裂韧度。

发明内容

本发明的目的在于提供一种确定混凝土多孔砖墙体的等效断裂韧度的方法，解决了现有的混凝土多孔砖墙体断裂韧度需要实际测试，费时费力的问题。

本发明所采用的技术方案是按照以下步骤进行：

步骤1：建立墙体温度开裂的剪滞分析模型；

步骤2：建立剪滞平衡方程；

步骤3：对剪滞平衡方程简化；

步骤4：确定墙体等效断裂韧度。

进一步，所述步骤1中模型建立过程为把高度为h的墙体试件划分为n个子层，每个子层厚度为d(d＝h/n)，每个子层中无温度裂缝砖  区、无温度裂缝砂浆区、温度裂缝区的子层数分别为q、r和n-q-r层，在无温度裂缝砖区的第一层、无温度裂缝砂浆区和初始温度裂缝区的第n层分别设置变异层,其高度分别为d₁、d₂、d₃。

进一步，所述步骤2中剪滞平衡方程为假定每一子层在垂直于y方向的截面上仅有正应力，上下表面仅有切应力，令第i子层的水平位移为u_i(x)，竖向位移为v_i(x)，列出所有子层微段的剪滞平衡方程

u″_i(x)＝(1/μ²)v″_i(x)，

其中第1至q子层微段的剪滞平衡方程组为：

(E_bA₁/μ_b ²)v″(x)+(-l/μ_bd₁)(G_bt/d₁)(v₂-v₁)＝0

(E_bA/μ_b ²)v″(x)+(-l/μ_bd)[2G_bt/(d₁+d)](v₁-v₂)+(-l/μ_bd)(G_bt/d)(v₃-v₂)＝0

(E_bA/μ_b ²)v″(x)+(-l/μ_bd)(G_bt/d)(v_i+1-2v_i+v_i-1)＝0，i＝3,…,q-1

(E_bA/μ_b ²)v″(x)+(-l/μ_bd)(G_bt/d)(v_q-1-v_q)+[-2tl/d(d₂+d)][(G_m/μ_m)v_q+1-(G_t/μ_t)v_q]＝0

其中，A₁＝td₁；

第q+1至q+r子层微段的剪滞平衡方程组为：

[-2tl/d₂(d₂+d)][(G_b/μ_b)v_q-(G_m/μ_m)v_q+1]+(-l/μ_md₂)(G_mt/d)(v_q+2-v_q+1)+(E_mA₂/μ_m ²)v″_q+1(x)＝0

(E_mA/μ_m ²)v″_i(x)+(-l/μ_md)(G_mt/d)(v_i+1-2v_i+v_i-1)＝0,i＝q+2,…,q+r-1

(E_mA/μ_m ²)v″_q+r(x)+[-2tl/d(d₁+d)][(G_b/μ_b)v_q+r+1-(G_m/μ_m)v_q+r]+(-l/μ_md)(G_mt/d)(v_q+r-1-v_q+r)＝0

其中，A₂＝td₂；

第q+r+1至n子层微段的剪滞平衡方程组为：

(E_bA/μ_b ²)v″_i(x)+(-l/μ_bd)(G_bt/d)(v_i+1-2v_i+v_i-1)＝0,i＝q+r+2,…,n-1

(E_bA/μ_b ²)v″_n(x)+[-2tl/d(d₂+d)]((G_m/μ_m)v_n+1-(G_b/μ_b)v_n)+(-l/μ_bd)(G_bt/d)(v_n-1-v_n)＝0

其中，A₀＝td₃；

上述式中：E_b和G_b、E_m和G_m分别为混凝土多孔砖和砂浆的弹性模量和切变模量；A＝td为子层截面面积，其中d为标准子层厚度。

进一步，所述步骤3中剪滞方程简化为：

第1至q层子层微段：

$\frac{d^2{V}_{b1}}{d{\mathrm{\ξ}}_b^2}+{\mathrm{\α}}_1{\mathrm{\φ}}_1(V_{b2}-V_{b1})=0$

$\frac{d^2{V}_{b2}}{d{\mathrm{\ξ}}_b^2}+({\mathrm{\α}}_2{V}_{b1}-({\mathrm{\α}}_2+{\mathrm{\θ}}_1)V_{b2}+{\mathrm{\θ}}_1{V}_{b3})=0$

$\frac{d^2{V}_{\mathrm{bi}}}{d{\mathrm{\ξ}}_b^2}+{\mathrm{\θ}}_2(V_{i+1}-2V_i+V_{i-1})=0,i=3,...,q-1$

$\frac{d^2{V}_{b\left(q\right)}}{d{\mathrm{\ξ}}_b^2}+({\mathrm{\β}}_1{V}_{q+1}-({\mathrm{\β}}_1+{\mathrm{\θ}}_2)V_q+{\mathrm{\θ}}_2{V}_{q-1})=0$

第q+1至q+r子层微段：

$\frac{d^2{V}_{m(q+1)}}{d{\mathrm{\ξ}}_m^2}+{\mathrm{\φ}}_2[{\mathrm{\β}}_2{V}_q-({\mathrm{\β}}_2+{\mathrm{\θ}}_3)V_{q+1}+{\mathrm{\θ}}_3{V}_{q+2}]=0$

$\frac{d^2{V}_{\mathrm{mi}}}{d{\mathrm{\ξ}}_m^2}+\mathrm{\θ}(V_{i+1}-2V_i+V_{i-1})=0,i=q+2,...,q+r-1$

$\frac{d^2{V}_{m(q+r)}}{d{\mathrm{\ξ}}_m^2}+[{\mathrm{\α}}_2{V}_{q++r+1}-({\mathrm{\α}}_2+{\mathrm{\θ}}_2)V_{q+r}+{\mathrm{\θ}}_2{V}_{q+r-1}]=0$

第q+r+1至n子层微段：

$\frac{d^2{V}_{\mathrm{bk}}}{d{\mathrm{\ξ}}_b^2}+{\mathrm{\θ}}_2(V_{k+1}-2V_k+V_{k-1})=0,$

k＝q+r+2,…,n-1

$\frac{d^2{V}_{b\left(n\right)}}{d{\mathrm{\ξ}}_b^2}+\mathrm{\φ\β}[V_{n+1}-2V_n+V_{n-1}]=0.$

进一步，所述步骤4中确定墙体等效断裂韧度过程为：用有限子层模型来模拟裂缝扩展，假设a′为标准子层高度为裂缝扩展长度，无裂缝区第p+q+1、q+r层在x＝0处的正应力为σ_q+r(0)，则该混凝土多孔砖墙应变能释放率为：

$\begin{array}{c}{G}_c=2{\mathrm{\σ}}_{q+r}\left(0\right)u_{q+r}\left(0\right)\\ =2h{\mathrm{\σ}}_0^2{\left(\mathrm{EG}\right)}^{-\frac{1}{2}}\frac{{\mathrm{dV}}_{q+r}}{\mathrm{d\ξ}}\left(0\right)V_{q+r}\left(0\right)\end{array}$

由线弹性断裂力学可知，在平面应力条件下，

${\mathrm{\σ}}_0=-\frac{1}{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\σ}}_c=\frac{q}{\mathrm{\μt}}$

$G_c=\frac{K_c^2}{E}$

以上三个式子联立可以得到该混凝土多孔砖墙等效断裂韧度的解析表达式如下：

$K_C=\sqrt{2}{h}^{-\frac{1}{2}}q{\mathrm{\μ}}_b^{-1}{t}^{-1}{\left[\frac{d{V}_{q+r}}{\mathrm{d\ξ}}\left(0\right)V_{q+r}\left(0\right)\right]}^{\frac{1}{2}}{\left(\frac{E}{G_c}\right)}^{\frac{1}{4}}$

E为材料弹性模量，G_c应变能释放率，σ₀为纵向远场的水平拉应力，σ_c为临界应力。

本发明的有益效果是计算混凝土多孔砖墙体断裂韧度方法简单准确。

附图说明

图1是平面裂纹体坐标系示意图；

图2是本发明墙体模型图；

图3是本发明基于竖向灰缝扩展的有限子层剪滞模型。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行说明：

本发明是将断裂力学相关理论应用于混凝土多孔砖墙体这样的压缩断裂材料中，所以下面这部分简要介绍一下断裂力学中的一些基本理论，包括裂纹尖端附近应力场和位移场的特征、应力强度因子的概念及断裂准则。

裂纹尖端附近的应力场和位移场：物体发生脆性断裂时，若物体不产生塑性变形，则理想化地认为物体是弹性的。物体变形时，若服从虎克定律，则可认为它是线弹性体，于是问题归结为含裂纹物体的线弹性力学分析。

张开型裂纹与滑开型裂纹的应力场和位移场：

分析平面裂纹体。裂纹面应力自由，远场有给定的面内外力或面内位移。如图1所示的平面裂纹体坐标系，直角坐标系及极坐标系原点都选在裂纹右尖端O处。只要把裂纹看作一部分边界，就可用弹性力学的方法求得裂纹体的应力场和位移场。裂纹体应力场和位移场为

$\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_x=\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{n}{2}{C}_n{r}^{\frac{n}{2}-1}\left\{\right[\frac{n}{2}+2+{(-1)}^n]\cos (\frac{n}{2}-1)\mathrm{\θ}-(\frac{n}{2}-1)\cos (\frac{n}{2}-3)\mathrm{\θ}\}+\\ \underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{n}{2}{D}_n{r}^{\frac{n}{2}-1}\left\{\right[\frac{n}{2}+2-{(-1)}^n]\sin (\frac{n}{2}-1)\mathrm{\θ}-(\frac{n}{2}-1)\sin (\frac{n}{2}-3)\mathrm{\θ}\}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_y=\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{n}{2}{C}_n{r}^{\frac{n}{2}-1}\{-[\frac{n}{2}-2+{(-1)}^n]\cos (\frac{n}{2}-1)\mathrm{\θ}+(\frac{n}{2}-1)\cos (\frac{n}{2}-3)\mathrm{\θ}\}+\\ \underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{n}{2}{D}_n{r}^{\frac{n}{2}-1}\{-[\frac{n}{2}-2-{(-1)}^n]\sin (\frac{n}{2}-1)\mathrm{\θ}-(\frac{n}{2}-1)\sin (\frac{n}{2}-3)\mathrm{\θ}\}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{xy}}=\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{n}{2}{C}_n{r}^{\frac{n}{2}-1}\{-[\frac{n}{2}+{(-1)}^n]\sin (\frac{n}{2}-1)\mathrm{\θ}+(\frac{n}{2}-1)\sin (\frac{n}{2}-3)\mathrm{\θ}\}+\\ \underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{n}{2}{D}_n{r}^{\frac{n}{2}-1}\left\{\right[\frac{n}{2}-2-{(-1)}^n]\cos (\frac{n}{2}-1)\mathrm{\θ}-(\frac{n}{2}-1)\cos (\frac{n}{2}-3)\mathrm{\θ}\}\mathrm{xy}\end{array}$

$\begin{array}{c}2\mathrm{\μu}=\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{C}_n{r}^{\frac{n}{2}}\left\{\right[\mathrm{\χ}+\frac{n}{2}+{(-1)}^n]\cos \frac{n}{2}\mathrm{\θ}-\frac{n}{2}\cos (\frac{n}{2}-2)\mathrm{\θ}\}+\\ \underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{D}_n{r}^{\frac{n}{2}}\left\{\right[\mathrm{\χ}+\frac{n}{2}-{(-1)}^n]\sin \frac{n}{2}\mathrm{\θ}-\frac{n}{2}\sin (\frac{n}{2}-2)\mathrm{\θ}\}\end{array}$

$\begin{array}{c}2\mathrm{\μv}=\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{C}_n{r}^{\frac{n}{2}}\left\{\right[\mathrm{\χ}-\frac{n}{2}-{(-1)}^n]\sin \frac{n}{2}\mathrm{\θ}+\frac{n}{2}\sin (\frac{n}{2}-2)\mathrm{\θ}\}+\\ \underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{D}_n{r}^{\frac{n}{2}}\{-[\mathrm{\χ}-\frac{n}{2}+{(-1)}^n]\cos \frac{n}{2}\mathrm{\θ}-\frac{n}{2}\cos (\frac{n}{2}-2)\mathrm{\θ}\}\end{array}$

令 $K_I=C_I\sqrt{2\mathrm{\π}},K_{\mathrm{II}}=D_I\sqrt{2\mathrm{\π}},$

如果远场的边界条件使得K_Ι≠0,K_II＝0，则有：

${\mathrm{\σ}}_x=\frac{K_I}{4\sqrt{2\mathrm{\πr}}}(3\cos \frac{\mathrm{\θ}}{2}+\cos \frac{5\mathrm{\θ}}{2})=\frac{K_I}{\sqrt{2\mathrm{\πr}}}\cos \frac{\mathrm{\θ}}{2}(1-\sin \frac{\mathrm{\θ}}{2}\sin \frac{3\mathrm{\θ}}{2})$

${\mathrm{\σ}}_y=\frac{K_I}{4\sqrt{2\mathrm{\πr}}}(5\cos \frac{\mathrm{\θ}}{2}-\cos \frac{5\mathrm{\θ}}{2})=\frac{K_I}{\sqrt{2\mathrm{\πr}}}\cos \frac{\mathrm{\θ}}{2}(1+\sin \frac{\mathrm{\θ}}{2}\sin \frac{3\mathrm{\θ}}{2})$

${\mathrm{\τ}}_{\mathrm{xy}}=\frac{K_I}{4\sqrt{2\mathrm{\πr}}}(\sin \frac{\mathrm{\θ}}{2}-\sin \frac{5\mathrm{\θ}}{2})=\frac{K_I}{\sqrt{2\mathrm{\πr}}}\sin \frac{\mathrm{\θ}}{2}\cos \frac{\mathrm{\θ}}{2}\cos \frac{3\mathrm{\θ}}{2})$

$u=\frac{K_I}{4G}\sqrt{\frac{r}{2\mathrm{\π}}}[(2\mathrm{\χ}-1)\cos \frac{\mathrm{\θ}}{2}-\cos \frac{3\mathrm{\θ}}{2})]$

$v=\frac{K_I}{4G}\sqrt{\frac{r}{2\mathrm{\π}}}[(2\mathrm{\χ}+1)\sin \frac{\mathrm{\θ}}{2}-\sin \frac{3\mathrm{\θ}}{2})]$

第一种，张开型裂纹尖端邻域的应力和位移场表达式。

第二种，这是滑开型裂纹尖端邻域的应力和位移场表达式。

如果远场的边界条件使得K_II≠0,K_Ι＝0，则有

$\left.\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_x=\frac{-K}{\sqrt{2\mathrm{\π}r}}sin\frac{\mathrm{\θ}}{2}(2+cos\frac{3\mathrm{\θ}}{2}cos\frac{3\mathrm{\θ}}{2})\]\\ {\mathrm{\σ}}_y=\frac{-K}{\sqrt{2\mathrm{\π}r}}sin\frac{\mathrm{\θ}}{2}cos\frac{\mathrm{\θ}}{2}cos\frac{3\mathrm{\θ}}{2}\\ {\mathrm{\τ}}_{xy}=\frac{K}{\sqrt{2\mathrm{\π}r}}\cos \frac{\mathrm{\θ}}{2}(1-\sin \frac{\mathrm{\θ}}{2}\sin \frac{3\mathrm{\θ}}{2})\end{array}\right\}$

$\left.\begin{array}{c}u=\frac{K}{G}\sqrt{\frac{r}{2\mathrm{\π}}}\[sin\frac{\mathrm{\θ}}{2}(2-2\mathrm{\μ}+{\cos }^2\frac{\mathrm{\θ}}{2})\]\\ v=\frac{K}{G}\sqrt{\frac{r}{2\mathrm{\π}}}\[cos\frac{\mathrm{\θ}}{2}(1-2\mathrm{\μ})+{\sin }^2\frac{\mathrm{\θ}}{2}\]\end{array}\right\}$

第三种，撕开型裂纹的应力场和位移场：

撕开型是反平面应变问题。

应力和位移场为：

$\left.\begin{array}{c}{\mathrm{\τ}}_{xz}=\frac{-K}{\sqrt{2\mathrm{\π}r}}\sin \frac{\mathrm{\θ}}{2}\\ {\mathrm{\τ}}_{yz}=\frac{K}{\sqrt{2\mathrm{\π}r}}\cos \frac{\mathrm{\θ}}{2}\end{array}\right\}$

$w=\frac{K}{G}\sqrt{\frac{2r}{\mathrm{\π}}}sin\frac{\mathrm{\θ}}{2},$

上述式中：θ为裂纹尖端附近点的极坐标；u、v和w分别为裂纹上的点在x、y和z方向上的位移分量；σ_x，σ_y，τ_xy，τ_xz，τ_yz为应力分量；G为切变模量；μ为材料的泊松比；K为应力强度因子。

裂纹失稳扩展的应力强度因子准则。

应力强度因子：

上面的三种类型裂纹尖端邻域的应力场与位移场公式有相似之处，可把它们写成如下形式:

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}}^{\left(N\right)}=\frac{K_N}{\sqrt{2\mathrm{\πr}}}{f}_{\mathrm{ij}}^{\left(N\right)}\left(\mathrm{\θ}\right)---(2-1)$

$u_i^{\left(N\right)}=K_N\sqrt{\frac{r}{\mathrm{\π}}}{g}_i^{\left(N\right)}\left(\mathrm{\θ}\right)$

式中，σ_ij(i,j＝x,y,z)为应力分量u_i(i＝x,y,z)为位移分量，N(N＝I，Ⅱ，Ⅲ)表示裂纹类型，f_ij(θ)和g_i(θ)是极角θ的函数。

应力场公式(2-1)有如下特点:

(1)应力与以成反比。在裂纹尖端，处(r＝0)应力为无限大，即在裂纹尖端应力出现奇点，应力场具有的奇异性.只要存在裂  纹，不管外荷载多么小，裂纹尖端应力总是无限大，按照传统的观点，就应发生破坏，当然这与事实不符。这意味着，不能再用应力的大小来判断裂纹是否扩展，破坏是否发生。因此，在分析此类问题时，应设置奇异单元。

(2)应力与参量K_N成正比。在同一变形状态下，不论其他条件怎样不同，只要K_N值相同，则裂纹尖端邻域的应力场强度完全相同。所以，K_N(N＝I,II,III)反映了裂纹尖端邻域的应力场强度，称为裂纹尖端应力场强度因子，简称为应力强度因子。

脆性断裂的K判据：

K随应力σ及裂纹长度a的增加而增大，当K增大到某一临界值K_C时，裂纹前端材料就会分离进而失稳扩展，直至失稳断裂。K的临界值K_C，表征了材料阻止裂纹扩展的能力，是材料抵抗脆性断裂的一个韧性指标，即断裂韧性。

因此，可以将脆性断裂的K判据表示为： 

K＝K_C

值得注意的是：应力强度因子K是与带裂纹构件所承受的荷载、裂纹的几何形状和尺寸有关的量，是可以通过相关的理论计算得到的；断裂韧性K_C是材料自有的一种力学性能，是由试验测得的，一旦决定试验的各种外部因素固定后，K_C即为表示材料性质的常数。

本发明旨在确定混凝土多孔砖墙体的等效断裂韧度，也就是K_C。而根据线弹性断裂力学可知有了上面这个K判据，可以得出  这个公式在下面的计算中用到。

墙体温度开裂的剪滞分析模型：

剪滞理论可以更好的解释复杂的物理现象，通过剪滞理论可以更为简单的分析墙体材料的断裂性能。下面以混凝土多孔砖墙体为例，利用修正的剪滞理论来研究墙体等效断裂参数的实用解析方法。

1模型建立： 

图2所示墙体试件厚度为t,高度为h，含有长度为a₀的裂缝。多孔砖弹性模量为E，线膨胀系数为α，当温度升高ΔT后，温度应力为：σ＝E*α*ΔT，为了研究其应力重分布问题，建立如图3所示的分层剪滞模型。此模型把高度为h的墙体试件划分为n个子层，每个子层厚度为d(d＝h/n)。每个子层中无温度裂缝砖区、无温度裂缝砂浆区、温度裂缝区的子层数分别为q、r和n-q-r层。为了使得计算更加简便，在无温度裂缝砖区的第一层、无温度裂缝砂浆区和初始温度裂缝区的第n层分别设置变异层,其高度分别为d₁、d₂、d₃。

2剪滞平衡方程的建立：

假定每一子层在垂直于y方向的截面上仅有正应力，上下表面仅有切应力，据此可知子层的位移u_i仅为x的函数。令第i子层的水平位移为u_i(x)，竖向位移为v_i(x)。

假定墙体的应力-应变关系为线性关系，列出所有子层微段的剪滞平衡方程，由于：

u″_i(x)＝(1/μ²)v″_i(x)，

据此，列出第1至q子层微段的剪滞平衡方程组为：

(E_bA₁/μ_b ²)v″(x)+(-l/μ_bd₁)(G_bt/d₁)(v₂-v₁)＝0

(E_bA/μ_b ²)v″(x)+(-l/μ_bd)[2G_bt/(d₁+d)](v₁-v₂)+(-l/μ_bd)(G_bt/d)(v₃-v₂)＝0

(E_bA/μ_b ²)v″(x)+(-l/μ_bd)(G_bt/d)(v_i+1-2v_i+v_i-1)＝0，i＝3,…,q-1

(E_bA/μ_b ²)v″(x)+(-l/μ_bd)(G_bt/d)(v_q-1-v_q)+[-2tl/d(d₂+d)][(G_m/μ_m)v_q+1-(G_t/μ_t)v_q]＝0

其中，A₁＝td₁；

列出第q+1至q+r子层微段的剪滞平衡方程组为：

[-2tl/d₂(d₂+d)][(G_b/μ_b)v_q-(G_m/μ_m)v_q+1]+(-l/μ_md₂)(G_mt/d)(v_q+2-v_q+1)+(E_mA₂/μ_m ²)v″_q+1(x)＝0

(E_mA/μ_m ²)v″_i(x)+(-l/μ_md)(G_mt/d)(v_i+1-2v_i+v_i-1)＝0,i＝q+2,…,q+r-1

(E_mA/μ_m ²)v″_q+r(x)+[-2tl/d(d₁+d)][(G_b/μ_b)v_q+r+1-(G_m/μ_m)v_q+r]+(-l/μ_md)(G_mt/d)(v_q+r-1-v_q+r)＝0

其中，A₂＝td₂，

第q+r+1至n子层微段的剪滞平衡方程组为：

(E_bA/μ_b ²)v″_i(x)+(-l/μ_bd)(G_bt/d)(v_i+1-2v_i+v_i-1)＝0,i＝q+r+2,…,n-1

(E_bA/μ_b ²)v″_n(x)+[-2tl/d(d₂+d)]((G_m/μ_m)v_n+1-(G_b/μ_b)v_n)+(-l/μ_bd)(G_bt/d)(v_n-1-v_n)＝0

其中，A₀＝td₃，

上述式中：E_b和G_b、E_m和G_m分别为混凝土多孔砖和砂浆的弹性模量和切变模量；A＝td为子层截面面积，其中d为标准子层厚度。

3剪滞方程的简化：

为便于求解，引入下述无量纲参数：(σ₀：纵向远场的水平拉应力，由横向远场的竖向压应力导出)；

$V_{\mathrm{bi}}=\frac{\sqrt{E_b{G}_b}}{{\mathrm{\μ}}_{b}h{\mathrm{\σ}}_0}{v}_{\mathrm{bi}},V_{\mathrm{mi}}=\frac{\sqrt{E_m{G}_m}}{{\mathrm{\μ}}_{m}h{\mathrm{\σ}}_0}{v}_{\mathrm{mi}},V_{\mathrm{bk}}=\frac{\sqrt{E_b{G}_b}}{{\mathrm{\μ}}_{b}h{\mathrm{\σ}}_0}{v}_{\mathrm{bk}},V_{\mathrm{mk}}=\frac{\sqrt{E_m{G}_m}}{{\mathrm{\μ}}_{m}h{\mathrm{\σ}}_0}{v}_{\mathrm{mk},}$

${\mathrm{\ξ}}_b=\frac{x}{h}\sqrt{\frac{G_b}{E_b}},{\mathrm{\ξ}}_m=\frac{x}{h}\sqrt{\frac{G_m}{E_m}},{\mathrm{\α}}_1=-\frac{2{\mathrm{dn}}^{2}l}{(d_1+d)d_1},{\mathrm{\α}}_2=-\frac{2n^{2}l}{(d_1+d)},$

$\mathrm{\α}=-\frac{2n^{2}l}{(d_1+d)},{\mathrm{\β}}_1=-\frac{2d{n}^{2}l}{(d_2+d)d},{\mathrm{\β}}_2=-\frac{2d{n}^{2}l}{(d_2+d)d_2},\mathrm{\β}=-\frac{2{\mathrm{dn}}^{2}l}{(d_3+d)d_3},{\mathrm{\φ}}_1=\frac{\mathrm{dl}}{d_1^2}$

${\mathrm{\φ}}_2=\frac{\mathrm{dl}}{d_2^2},\mathrm{\φ}=\frac{\mathrm{dl}}{d_3^2},{\mathrm{\θ}}_1=-n^2\frac{l}{d_1},{\mathrm{\θ}}_2=-n^2\frac{l}{d},{\mathrm{\θ}}_3=-n^2\frac{l}{d_2}$

$\mathrm{\θ}=-n^2\frac{l}{d_3};$

将上述无量纲参数代入到各子层微段的剪滞平衡方程组中，得无量纲剪滞平衡方程组如下：

第1至q层子层微段

$\frac{d^2{V}_{b1}}{d{\mathrm{\ξ}}_b^2}+{\mathrm{\α}}_1{\mathrm{\φ}}_1(V_{b2}-V_{b1})=0,$

$\frac{d^2{V}_{b2}}{d{\mathrm{\ξ}}_b^2}+({\mathrm{\α}}_2{V}_{b1}-({\mathrm{\α}}_2+{\mathrm{\θ}}_1)V_{b2}+{\mathrm{\θ}}_1{V}_{b3})=0,$

$\frac{d^2{V}_{\mathrm{bi}}}{d{\mathrm{\ξ}}_b^2}+{\mathrm{\θ}}_2(V_{i+1}-2V_i+V_{i-1})=0,i=3,...,q-1,$

$\frac{d^2{V}_{b\left(q\right)}}{d{\mathrm{\ξ}}_b^2}+({\mathrm{\β}}_1{V}_{q+1}-({\mathrm{\β}}_1+{\mathrm{\θ}}_2)V_q+{\mathrm{\θ}}_2{V}_{q-1})=0,$

第q+1至q+r子层微段：

$\frac{d^2{V}_{m(q+1)}}{d{\mathrm{\ξ}}_m^2}+{\mathrm{\φ}}_2[{\mathrm{\β}}_2{V}_q-({\mathrm{\β}}_2+{\mathrm{\θ}}_3)V_{q+1}+{\mathrm{\θ}}_3{V}_{q+2}]=0,$

$\frac{d^2{V}_{\mathrm{mi}}}{d{\mathrm{\ξ}}_m^2}+\mathrm{\θ}(V_{i+1}-2V_i+V_{i-1})=0,i=q+2,...,q+r-1,$

$\frac{d^2{V}_{m(q+r)}}{d{\mathrm{\ξ}}_m^2}+[{\mathrm{\α}}_2{V}_{q++r+1}-({\mathrm{\α}}_2+{\mathrm{\θ}}_2)V_{q+r}+{\mathrm{\θ}}_2{V}_{q+r-1}]=0,$

第q+r+1至n子层微段：

$\frac{d^2{V}_{\mathrm{bk}}}{d{\mathrm{\ξ}}_b^2}+{\mathrm{\θ}}_2(V_{k+1}-2V_k+V_{k-1})=0,$

k＝q+r+2,…,n-1

$\frac{d^2{V}_{b\left(n\right)}}{d{\mathrm{\ξ}}_b^2}+\mathrm{\φ\β}[V_{n+1}-2V_n+V_{n-1}]=0.$

4墙体等效断裂韧度的确定：

用有限子层模型来模拟裂缝扩展，假设a′为标准子层高度为裂缝扩展长度，无裂缝区第p+q+1  q+r层在x＝0处的正应力为σ_q+r(0)，则该混凝土多孔砖墙应变能释放率(即裂缝扩展单位长度系统应变能的下降值)为：

$\begin{array}{c}{G}_c=2{\mathrm{\σ}}_{q+r}\left(0\right)u_{q+r}\left(0\right)\\ =2h{\mathrm{\σ}}_0^2{\left(\mathrm{EG}\right)}^{-\frac{1}{2}}\frac{{\mathrm{dV}}_{q+r}}{\mathrm{d\ξ}}\left(0\right)V_{q+r}\left(0\right)\end{array},$

由线弹性断裂力学可知，在平面应力条件下，

${\mathrm{\σ}}_0=-\frac{1}{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\σ}}_c=\frac{q}{\mathrm{\μt}}$

$G_c=\frac{K_c^2}{E}$

以上三个式子联立可以得到该混凝土多孔砖墙等效断裂韧度的解析表达式如下：

$K_C=\sqrt{2}{h}^{-\frac{1}{2}}q{\mathrm{\μ}}_b^{-1}{t}^{-1}{\left[\frac{d{V}_{q+r}}{\mathrm{d\ξ}}\left(0\right)V_{q+r}\left(0\right)\right]}^{\frac{1}{2}}{\left(\frac{E}{G_c}\right)}^{\frac{1}{4}}$

E为材料弹性模量，G_c应变能释放率，σ₀为纵向远场的水平拉应力，σ_c为临界应力。

试验结果与分析：

根据上面建立的基于竖向灰缝模型的有限子层剪滞模型，利用ansys有限元软件按本模型计算出对应子层的等效断裂韧度K_C的解析  解与由墙体温度开裂试验所得到的数值解比较，如表1所示混凝土多孔砖墙体等效断裂韧度的计算值：

表1

分析上表数据可以看出，混凝土多孔砖墙体的等效断裂韧度是一个不随试件尺寸变化的常数，可以作为判断墙体断裂的材料参数。

Claims (5)

1.一种确定混凝土多孔砖墙体的等效断裂韧度的方法，其特征在于按照以下步骤进行：

步骤1：建立墙体温度开裂的剪滞分析模型；

步骤2：建立剪滞平衡方程；

步骤3：对剪滞平衡方程简化；

步骤4：确定墙体等效断裂韧度。

2.按照权利要求1所述一种确定混凝土多孔砖墙体的等效断裂韧度的方法，其特征在于：所述步骤1中模型建立过程为把高度为h的墙体试件划分为n个子层，每个子层厚度为d(d＝h/n)，每个子层中无温度裂缝砖区、无温度裂缝砂浆区、温度裂缝区的子层数分别为q、r和n-q-r层，在无温度裂缝砖区的第一层、无温度裂缝砂浆区和初始温度裂缝区的第n层分别设置变异层,其高度分别为d₁、d₂、d₃。

3.按照权利要求1所述一种确定混凝土多孔砖墙体的等效断裂韧度的方法，其特征在于：所述步骤2中剪滞平衡方程为假定每一子层在垂直于y方向的截面上仅有正应力，上下表面仅有切应力，令第i子层的水平位移为u_i(x)，竖向位移为v_i(x)，列出所有子层微段的剪滞平衡方程

u″_i(x)_＝(1/μ²)v″_i(x)，

其中第1至q子层微段的剪滞平衡方程组为：

(E_bA₁/μ_b ²)v″(x)+(-l/μ_bd₁)(G_bt/d₁)(v₂-v₁)＝0

(E_bA/μ_b ²)v″(x)+(-l/μ_b ^d)[2G_bt/(d₁+d)](v₁-v₂)

+(-l/μ_bd)(G_bt/d)(v₃-v₂)＝0

(E_bA/μ_b ²)v″(x)+(-l/μ_bd)(G_bt/d)(v_i+1-2v_i+v_i-1)＝0，i＝3,…,q-1

(E_bA/μ_b ²)v″(x)+(-l/μ_bd)(G_bt/d)(v_q-1-v_q)+

[-2tl/d(d₂+d)][(G_m/μ_m)v_q+1-(G_t/μ_t)v_q]＝0

其中，A₁＝td₁；

第q+1至q+r子层微段的剪滞平衡方程组为：

[-2tl/d₂(d₂+d)][(G_b/μ_b)v_q-(G_m/μ_m)v_q+1]

+(-l/μ_md₂)(G_mt/d)(v_q+2-v_q+1)+(E_mA₂/μ_m ²)v″_q+1(x)＝0

(E_mA/μ_m ²)v″_i(x)+(-l/μ_md)(G_mt/d)(v_i+1-2v_i+v_i-1)＝0,

i＝q+2,…,q+r-1

(E_mA/μ_m ²)v″_q+r(x)+[-2tl/d(d₁+d)][(G_b/μ_b)v_q+r+1-(G_m/μ_m)v_q+r]

+(-l/μ_md)(G_mt/d)(v_q+r-1-v_q+r)＝0

其中，A₂＝td₂；

第q+r+1至n子层微段的剪滞平衡方程组为：

(E_bA/μ_b ²)v″_i(x)+(-l/μ_bd)(G_bt/d)(v_i+1-2v_i+v_i-1)＝0,

i＝q+r+2,…,n-1

(E_bA/μ_b ²)v″_n(x)+[-2tl/d(d₂+d)]((G_m/μ_m)v_n+1-(G_b/μ_b)v_n)

+(-l/μ_bd)(G_bt/d)(v_n-1-v_n)＝0

其中，A₀＝td₃；

上述式中：E_b和G_b、E_m和G_m分别为混凝土多孔砖和砂浆的弹性模量和切变模量；A＝td为子层截面面积，其中d为标准子层厚度。

4.按照权利要求1所述一种确定混凝土多孔砖墙体的等效断裂韧度的方法，其特征在于：所述步骤3中剪滞方程简化为：

第1至q层子层微段：

$\frac{d^2{V}_{b1}}{d{\mathrm{\ξ}}_b^2}+{\mathrm{\α}}_1{\mathrm{\φ}}_1(V_{b2}-V_{b1})=0$

$\frac{d^2{V}_{b2}}{d{\mathrm{\ξ}}_b^2}+({\mathrm{\α}}_2{V}_{b1}-({\mathrm{\α}}_2+{\mathrm{\θ}}_1)V_{b2}+{\mathrm{\θ}}_1{V}_{b3})=0$

$\frac{d^2{V}_{\mathrm{bi}}}{d{\mathrm{\ξ}}_b^2}+{\mathrm{\θ}}_2(V_{i+1}-2V_i+V_{i-1})=0,i=3,...,q-1$

$\frac{d^2{V}_{b\left(q\right)}}{d{\mathrm{\ξ}}_b^2}+({\mathrm{\β}}_1{V}_{q+1}-({\mathrm{\β}}_1+{\mathrm{\θ}}_2)V_q+{\mathrm{\θ}}_2{V}_{q-1})=0$

第q+1至q+r子层微段：

$\frac{d^2{V}_{m(q+1)}}{d{\mathrm{\ξ}}_m^2}+{\mathrm{\φ}}_2[{\mathrm{\β}}_2{V}_q-({\mathrm{\β}}_2+{\mathrm{\θ}}_3)V_{q+1}+{\mathrm{\θ}}_3{V}_{q+2}]=0$

$\frac{d^2{V}_{\mathrm{mi}}}{d{\mathrm{\ξ}}_m^2}+\mathrm{\θ}(V_{i+1}-2V_i+V_{i-1})=0,i=q+2,...,q+r-1$

$\frac{d^2{V}_{m(q+r)}}{d{\mathrm{\ξ}}_m^2}+[{\mathrm{\α}}_2{V}_{q++r+1}-({\mathrm{\α}}_2+{\mathrm{\θ}}_2)V_{q+r}+{\mathrm{\θ}}_2{V}_{q+r-1}]=0$

第q+r+1至n子层微段：

$\frac{d^2{V}_{\mathrm{bk}}}{d{\mathrm{\ξ}}_b^2}+{\mathrm{\θ}}_2(V_{k+1}-2V_k+V_{k-1})=0,$

k＝q+r+2,…,n-1

$\frac{d^2{V}_{b\left(n\right)}}{d{\mathrm{\ξ}}_b^2}+\mathrm{\φ\β}[V_{n+1}-2V_n+V_{n-1}]=0.$

5.按照权利要求1所述一种确定混凝土多孔砖墙体的等效断裂韧度的方法，其特征在于：所述步骤4中确定墙体等效断裂韧度过程为：用有限子层模型来模拟裂缝扩展，假设a′为标准子层高度为裂缝扩展长度，无裂缝区第p+q+1、q+r层在x＝0处的正应力为σ_q+r(0)，则该混凝土多孔砖墙应变能释放率为：

$\begin{array}{c}{G}_c=2{\mathrm{\σ}}_{q+r}\left(0\right)u_{q+r}\left(0\right)\\ =2h{\mathrm{\σ}}_0^2{\left(\mathrm{EG}\right)}^{-\frac{1}{2}}\frac{d{V}_{q+r}}{\mathrm{d\ξ}}\left(0\right)V_{q+r}\left(0\right)\end{array}$

由线弹性断裂力学可知，在平面应力条件下，

${\mathrm{\σ}}_0=-\frac{1}{\mathrm{\μ}}{\mathrm{\σ}}_c=\frac{q}{\mathrm{\μt}}$

$G_c=\frac{K_c^2}{E}$

以上三个式子联立可以得到该混凝土多孔砖墙等效断裂韧度的解析表达式如下：

$K_C={\sqrt{2}h}^{-\frac{1}{2}}q{\mathrm{\μ}}_b^{-1}{t}^{-1}{\left[\frac{d{V}_{q+r}}{\mathrm{d\ξ}}\left(0\right)V_{q+r}\left(0\right)\right]}^{\frac{1}{2}}{\left(\frac{E}{G_c}\right)}^{\frac{1}{4}}$

E为材料弹性模量，G_c应变能释放率，σ₀为纵向远场的水平拉应力，σ_c为临界应力。