CN104932536A - Stewart并联机构杆长条件是否满足实际位形的判别方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种Stewart并联机构杆长条件是否满足实际位形的判别方法，该方法中采用方向余弦描述旋转矩阵，经过变换将位置变量表达为姿态变量的函数形式，最终通过姿态变量的取值范围作为限定条件，可以有效去除不满足实际位形的杆长条件，提高基于运动学正解的工作空间计算搜索效率。

Description

Stewart并联机构杆长条件是否满足实际位形的判别方法

技术领域

本发明属于机械系统的运动学、动力学与控制研究领域，尤其是一种Stewart并联机构的基于运动学正解的工作空间搜索判别方法。

背景技术

Stewart并联机构(也称Stewart-Gough平台或Gough平台)由动、静两个平台和六根可伸缩的驱动杆组成；每根驱动杆两端通过两个球铰或者一个球铰和一个虎克铰分别与动、静两平台相连。工作中该机构本身的静平台静止不动，通过控制六根驱动杆的伸缩，可使动平台获得六个自由度，即三个平动自由度和三个转动自由度。与传统的串联机构相比，具备一些固有的优势，包括刚度质量比更大，基频更高，承受负载的能力相对较大；动态性能和稳定性更强等。自二十世纪中期以来成为机构学领域的研究热点，其运动学问题、奇异性分析、工作空间与灵巧性、动力学与控制等方面均得到深入而广泛的研究；现已广泛应用于运动模拟器、并联运动机床，微位移定位装置、工业机器人和医用机器人等方面。

虽然经过几十年的发展，Stewart并联机构无论是在理论研究还是工程应用方面都取得了长足的进步，成为并联机构的典型代表；但是时至今日仍然存在很多未解决的问题，尤其是被称为并联机构三大基本问题的运动学正解，奇异性和工作空间三个问题。其中，运动学正解问题是在六个可伸缩杆长度(输入)已知的情况下，求解动平台相对静平台的位置向量和姿态变量；在反馈控制、机构奇异性和工作空间分析中具有极其重要的作用，在众多学者的努力下，从解析与数值两个方面进行研究，发表了大量的文献。

由于运动学正解的难度大，在过去主要是基于运动学逆解来求解工作空间；随着运动学正解研究的深入，建立基于运动学正解的工作空间求解方法已经成为可能。然而，在运动学正解中并不是任意给定一组杆长(可伸缩杆的长度)都能找到一组或是几组实际位形与之对应，尤其是在进行工作空间的求解搜索时。如果一组杆长条件没有实际位形与之对应，则进行运动学正解就没有任何意义，反而耗费大量的运算时间，降低了求解的效率。因此，在进行运动学正解以及工作空间求解之前，需要对杆长条件进行判断；如果能够找到实际位形与之对应，则进行求解；反之，舍去，更新杆长条件，继续求解。这对Stewart并联机构无论是理论研究还是工程应用，都是需要解决的问题。

故，需要一种新的技术方案以解决上述问题。

发明内容

本发明的目的是针对现有技术存在的不足，提供一种可以提高工作空间求解效率Stewart并联机构杆长条件是否满足实际位形的判别方法。

为解决上述问题，本发明基于方向余弦矩阵的Stewart并联机构杆长条件是否满足实际位形的判别方法可采用如下技术方案：

一种基于方向余弦矩阵的Stewart并联机构杆长条件是否满足实际位形的判别方法，所述的Stewart并联机构包括动平台、静平台及连接动、静平台的6根并联的长度可伸缩的驱动杆，该方法包括如下步骤：

(1)、用方向余弦矩阵表示动平台转动，该方向余弦矩阵为正交矩阵；

(2)、建立姿态变量与杆长条件的关系式：

Stewart并联机构杆长条件变量与铰链点位置坐标参数表达的变量C_l：

$C_l=\frac{(l_1^2-l_2^2+l_3^2-l_4^2+l_5^2-l_6^2)}{12r_1{r}_2\mathrm{Sin}[{\mathrm{\θ}}_1-{\mathrm{\θ}}_2]}$

式中{r₁,r₂,θ₁,θ₂}是表达动、静平台铰链点位置坐标的参数，对于给定的机构均为常数；l₁～l₆分别为6根驱动杆的长度，即输入量；

(3)、构造判别关系：

对于杆长条件是否满足实际的位形可采用如下方法判别：

①对于姿态一定时，搜索其工作空间；即给定姿态变量，C为具体数值记为C₀；每一步l₁～l₆对应于不同的的具体数值，由第(2)步可以解得C_l；如果它们能够对应于实际的位形必须满足：

C_l＝C₀

此时，上式为充分条件；根据此判别条件可以去除全部不存在实际位形的杆长组合，提高了搜索效率；

②对于位置一定，搜索其姿态空间；或是搜索整个机构的可达工作空间；每一步l₁～l₆对应于不同的的具体数值，由第(2)步可以解得C_l；由旋转矩阵为正交矩阵可知，C_l必须满足下式：

-1≤C_l≤1

此时，上式为一必要条件；即不满足上式的杆长组合，一定不存在实际位形与之对应；根据此判别条件可以去除部分不存在实际位形的杆长组合。

本发明的有益效果：利用Stewart并联机构杆长条件是否满足实际位形的判别方法在搜索其工作空间的过程中，全部或部分去除不存在实际位形杆长组合，可以大幅度的提高工作空间的求解效率。特别地，在搜索姿态一定时的工作空间过程中，本方法为一充分条件，可以全部去除不存在实际位形杆长组合，有效地降低了计算耗时。

附图说明

图1是本发明中研究的Stewart并联机构示意图。

具体实施方式

下面结合附图进一步阐明本发明，应理解这些仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围，在阅读了本发明之后，本领域技术人员对本发明的各种等价形式的修改均落于本申请所附权利要求所限定的范围。

1、动、静平台铰链点坐标参数及旋转矩阵

如图1所示的Stewart并联机构简图，其动、静平台的铰链点是分别对称的布置在两个圆上。此时由于对称性，动、静平台的铰链点坐标可以用四个参数，r₁、r₂、θ₁、θ₂表示，如下表所示。

表1 Stewart并联机构动、静平台铰链点坐标参数    单位/mm

因此，动平台的铰链点坐标分在动坐标系中就可以表示为：

a_k＝(a_x,k a_y,k 0)    (1)

静平台的铰链点坐标分在静坐标系中就可以表示为：

b_k＝(b_x,k b_y,k 0)    (2)

旋转矩阵的一般形式如下式所示：

$R=\left(\begin{array}{ccc}{l}_x& m_x& n_x\\ l_y& m_y& n_y\\ l_z& m_z& n_z\end{array}\right)---\left(3\right)$

为了问题研究的方便，在此做如下定义：

l_x+m_y＝2A

l_x-m_y＝2B

l_y+m_x＝2D    (4)

l_y-m_x＝2C

解式(4)可得：

l_x＝A+B

l_y＝D+C    (5)

m_x＝D-C

m_y＝A-B

将式(5)代入式(3)并将剩余元素用新的符号表示，旋转矩阵具有如下形式

$R=\left[\begin{array}{ccc}A+B& D-C& {\mathrm{\γ}}_1\\ C+D& A-B& {\mathrm{\γ}}_2\\ {\mathrm{\α}}_1& {\mathrm{\α}}_2& {\mathrm{\γ}}_3\end{array}\right]---\left(6\right)$

用矢量P＝[P_x P_y P_z]^T描述动平台参考点的位置向量，则一对铰链点之间的连杆矢量为：

l_ke_k＝P+R·a_k-b_k  (k＝1～6)    (7)

其中：

l_k是杆的长度；

e_k是杆的方向单位矢量；

a_k是动平台铰链点在动坐标系中的向量；

b_k是静平台铰链点在静坐标系中的向量；

P动平台参考点的位置在静坐标系中的位置向量；

R动平台姿态正交矩阵，即旋转矩阵。

2、动、静平台铰链点坐标参数及旋转矩阵

将铰链点坐标代入(7)式，并取矢量的模，就有杆长的标量方程式。显然，将其平方展开之后，由于a_k，b_k的Z分量为零，则得到平方杆长的方程式为(略去下标k)：

$\begin{array}{c}{l}^2-r_1^2-r_2^2=-2B(a_x{b}_x-a_y{b}_y)-2A(a_x{b}_x+a_y{b}_y)+2C(a_y{b}_x-a_x{b}_y)\\ -2D(a_y{b}_x+a_x{b}_y)-2b_x{P}_x-2b_y{P}_y+{2a}_x{W}_x+{2a}_y{W}_y+P_P\end{array}---\left(8\right)$

式中， $P_P=P_x^2+P_y^2+P_z^2$

W_x＝P_x(A+B)+P_y(C+D)+α₁P_z

W_y＝P_x(D-C)+P_y(A-B)+α₂P_z

由式(8)可以得知，共有9个未知变量，分别是P_P、P_x、P_y、W_x、W_y、A、B、C、D。由于方程组(8)只有6个方程，在这9个未知变量中取η₁＝[P_P P_x P_y W_x W_y C]^T为主变量；令η₂＝[A B D]^T为次变量，则可以通过方程组(8)将η₁用η₂表达出来：

P_P＝P_P0+k₀A

P_X＝P_x0+k₁D

P_Y＝P_y0+k₁B    (9)

W_X＝W_x0+k₂D

W_Y＝W_y0+k₂B

C＝C_l

上式既可以利用克莱姆法则得出，也可以通过利用矩阵解线性方程组的方法来得到。参数{k₀,k₁,k₂}是由平台铰链点参数{r₁,r₂,θ₁,θ₂}决定的常数；{P_P0,P_x0,P_y0,W_x0,W_y0,C_l}是由两个平台铰链点参数{r₁,r₂,θ₁,θ₂}和杆长l₁～l₆决定的常数，它们的具体表达式从略。

$C_l=\frac{(l_1^2-l_2^2+l_3^2-l_4^2+l_5^2-l_6^2)}{12r_1{r}_2\mathrm{Sin}[{\mathrm{\θ}}_1-{\mathrm{\θ}}_2]}---\left(10\right)$

(3)、构造判别关系：

对于杆长条件是否满足实际的位形可采用如下方法判别：

①对于姿态一定时，搜索其工作空间；即给定姿态变量，C的具体数值可以由式(10)得出，不妨记为C₀。每一步l₁～l₆对应于不同的的具体数值，由式(10)可以解得C_l；如果它们能够对应于实际的位形必须满足：

C_l＝C₀    (11)

此时，式(11)为充分条件。根据此判别条件可以去除全部不存在实际位形的杆长组合，提高了搜索效率。

②对于位置一定，搜索其姿态空间；或是搜索整个机构的可达工作空间。每一步l₁～l₆对应于不同的的具体数值，由式(10)可以解得C_l；由旋转矩阵为正交矩阵可知，C_l必须满足下式：

-1≤C_l≤1    (12)

此时，式(12)为一必要条件；即不满足式(12)的杆长组合，一定不存在实际位形与之对应；根据此判别条件可以去除部分不存在实际位形的杆长组合，提高了搜索效率。

Claims (2)

1.一种基于方向余弦矩阵的Stewart并联机构杆长条件是否满足实际位形的判别方法，所述的Stewart并联机构包括动平台、静平台及连接动、静平台的6根并联的长度可伸缩的驱动杆，其特征在于，该方法包括如下步骤：

(1)、用方向余弦矩阵表示动平台转动，该方向余弦矩阵为正交矩阵；

(2)、建立姿态变量与杆长条件的关系式：

Stewart并联机构杆长条件变量与铰链点位置坐标参数表达的变量C_l：

式中{r₁,r₂,θ₁,θ₂}是表达动、静平台铰链点位置坐标的参数，对于给定的机构均为常数；l₁～l₆分别为6根驱动杆的长度，即输入量；

(3)、构造判别关系：

对于杆长条件是否满足实际的位形可采用如下方法判别：

①对于姿态一定时，搜索其工作空间；即给定姿态变量，C为具体数值记为C₀；每一步l₁～l₆对应于不同的的具体数值，由第(2)步可以解得C_l；如果它们能够对应于实际的位形必须满足：

C_l＝C₀

此时，上式为充分条件；根据此判别条件可以去除全部不存在实际位形的杆长组合，提高了搜索效率；

②对于位置一定，搜索其姿态空间；或是搜索整个机构的可达工作空间；每一步l₁～l₆对应于不同的的具体数值，由第(2)步可以解得C_l；由旋转矩阵为正交矩阵可知，C_l必须满足下式：

-1≤C_l≤1

此时，上式为一必要条件；即不满足上式的杆长组合，一定不存在实际位形与之对应；根据此判别条件可以去除部分不存在实际位形的杆长组合。

2.如权利要求1所述的基于方向余弦矩阵的Stewart并联机构杆长条件是否满足实际位形的判别方法，其特征在于：

步骤(1)中，用方向余弦表示的旋转矩阵形式如下：

在此做如下定义：

l_x+m_y＝2A

l_x-m_y＝2B

l_y+m_x＝2D

l_y-m_x＝2C

故应用其等价形式如下式所示：

上述公式的几个元素之间存在如下关系：

。