CN104915255A - 一种可分任务多趟调度模型的求解方法及系统 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种可分任务多趟调度模型的求解方法及系统，通过建立可分任务多趟调度模型，并利用智能优化算法求解该模型。本发明的可分任务多趟调度模型通过消除任意相邻两趟调度之间的时间间隔，推导得到任务分配方案关于调度趟数和处理机数目的解析解。本发明提出的求解该模型的智能优化算法能够高效准确地求出最优的调度趟数和所需的机器数，从而得到满足可分任务完成时间最短的最优任务分配方案。

Description

一种可分任务多趟调度模型的求解方法及系统

技术领域

本发明属于信息技术相关领域，涉及一种可分任务多趟调度模型的求解方法及系统。

背景技术

现有的可分任务调度模型分为两类：单趟调度和多趟调度。对于单趟调度，主处理机将任务分成与从处理机个数相同的子任务，主处理机依次为从处理机传输任务，每个处理机仅接收并计算一次任务。由于后分配任务的处理机存在较长的空闲等待时间，因此，单趟调度并不适合大规模的数据应用问题。对于多趟调度，任务被划分为大于处理机数目的子任务，并由主处理机分多趟逐一发送给各从处理机完成计算。由于处理机的空闲等待时间变短，因此相比于单趟调度，多趟调度可以缩短整个任务的完成时间。对于多趟调度，最大的难点在于确定最优的调度趟数、最优的参与计算的处理机数目和最优的任务分配方案，即每趟调度各个处理机的任务分配量。

Shokripour等人^[1]将多趟调度分为内部调度和最后一趟调度两部分。由于该模型内部调度和最后一趟调度之间存在时间间隔，因此该模型没有得到任务的最短完成时间。Suresh等人^[2]提出了一种混合实数编码遗传算法用于求解多趟调度的最优任务分配方案。然而，该算法无法得到最优的调度趟数和最优的参与计算的处理机数目。同时，随着处理机数目的增加，该算法的复杂度以指数形式增加。当处理机数目很大时，算法很难收敛到全局最优解。

发明内容

针对上述现有技术存在的缺陷或不足，本发明的目的在于，提出了一种可分任务多趟调度模型的求解方法及系统。

为实现上述目的，本发明采用以下技术方案：

一种可分任务多趟调度模型的求解方法，包括以下步骤：

步骤1，建立可分任务多趟调度模型

步骤1.1，给定调度趟数和处理机数目，构建可分任务的分配方案如下：

α_ij＝γ_ij+η_ijα_nm,i＝1,2,...,n,j＝1,2,...,m   式19

其中，

${\mathrm{\α}}_{\mathrm{nm}}=\frac{W_{\mathrm{total}}-{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^m{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^m{\mathrm{\η}}_{\mathrm{ij}}}$    式22

P₀为主处理机，{P_i|i∈{1,2,...,N}}为从处理机；{L_i|i∈{1,2,...,N}}为P₀连接到从处理机P_i的通信链路；s_i为从处理机P_i的计算启动开销；w_i为计算单位任务所需的时间；o_i为链路L_i的通信启动开销记；g_i为传输单位任务所花费的时间；m为调度趟数；n为参与调度的从处理机的数目，其中，0＜n≤N；W_total为总任务量；

α_ij为调度主处理机P₀在第j趟分配给从处理机P_i的任务大小；α_nm为主处理机P₀在第m趟分配给从处理机P_n的任务大小；o_j+1为链路L_j+1的通信启动开销；s_j为从处理机P_j的计算启动开销；g_k+1为链路L_k+1传输单位任务所花费的时间；w_k+1为从处理机P_k+1计算单位任务所需的时间；w_j+1为从处理机P_j+1计算单位任务所需的时间；g_j+1为链路L_j+1传输单位任务所花费的时间；o_k为链路L_k的通信启动开销；

步骤1.2，建立可分任务的多趟调度模型如下：

$\underset{m,n}{\min }T=\underset{m,n}{\min }(m\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{o}_i+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{g}_i{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}+s_n+w_n{\mathrm{\α}}_{\mathrm{nm}})$

此模型的约束条件为：

(I)0＜n≤N；

(II)m≥2；

(III)α_ij＝γ_ij+η_ijα_nm，其中，γ_ij、η_ij和α_nm分别满足式20、式21和式22；

(IV)0＜α_ij≤W_total,i＝1,2,...,n,j＝1,2,...,m；

步骤2，求解可分任务多趟调度模型

求解可分任务多趟调度模型，得到最优调度趟数、参与计算的处理机数目和任务分配方案，从而得到任务的最短完成时间。

具体地，所述的步骤2的具体实现步骤如下：

步骤2.1：记T_best为当前已找到的最优解对应的任务完成时间，初始化T_best＝∞，初始化参与计算的处理机数目n为N，初始化调度趟数m为2；

步骤2.2：将n和m带入式19，计算任务的分配方案α_ij，其中，i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,m；

步骤2.3：若i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,m，则令n＝n-1，转向步骤2.2，否则，由公式计算出任务的完成时间T；

步骤2.4：若T＜T_best，则令T_best＝T，m＝m+1，转向步骤2.2；否则，令m＝m-1，算法终止，输出最优调度趟数m，参与调度的处理机数目n，任务分配方案α_ij和任务的最短完成时间T_best。

具体地，所述的步骤2.2具体实现步骤如下：

步骤2.2.1：令i＝n，j＝m，γ_nm＝0，η_nm＝1；

步骤2.2.2：令i＝i-1；i≥1，计算 ${\mathrm{\γ}}_{\mathrm{ij}}={\mathrm{\Σ}}_{j=i}^{n-1}\left(\frac{o_{j+1}+s_{j+1}-s_j}{w_j}{\mathrm{\Π}}_{k=i}^{j-1}\frac{g_{k+1}+w_{k+1}}{w_k}\right),$ 重复步骤2.2.2；否则，若i＜1，转到步骤2.2.3；

步骤2.2.3：令j＝j-1；j＜1，转到步骤2.2.5；否则，若j≥1，令i＝n，转步骤2.2.4；

步骤2.2.4：计算 ${\mathrm{\γ}}_{\mathrm{ij}}=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{k=i+1}^n(o_k+g_k{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{kj}})+{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^{i-1}(o_k+g_k{\mathrm{\γ}}_{k,j+1})-s_i}{w_i},$ i＝i-1；i≥1，重复步骤2.2.4；否则，若i＜1，转到步骤2.2.3；

步骤2.2.5：将γ_ij和η_ij代入公式从而得到处理机P_n在第m趟调度中被分配的任务量α_nm；

步骤2.2.6：令j＝1,2,...,m，将γ_ij，η_ij和α_nm带入公式从而得到任务的分配方案α_ij。

一种用于上述方法的系统，包括依次连接的可分任务多趟调度模型建立模块和可分任务多趟调度模型求解模块；

所述的可分任务多趟调度模型建立模块包括子模块11和子模块12，其中子模块11用于实现以下功能：

给定调度趟数和处理机数目，构建可分任务的分配方案如下：

α_ij＝γ_ij+η_ijα_nm,i＝1,2,...,n,j＝1,2,...,m   式19

其中，

${\mathrm{\α}}_{\mathrm{nm}}=\frac{W_{\mathrm{total}}-{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^m{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^m{\mathrm{\η}}_{\mathrm{ij}}}$    式22

P₀为主处理机，{P_i|i∈{1,2,...,N}}为从处理机；{L_i|i∈{1,2,...,N}}为P₀连接到从处理机P_i的通信链路；s_i为从处理机P_i的计算启动开销；w_i为计算单位任务所需的时间；o_i为链路L_i的通信启动开销记；g_i为传输单位任务所花费的时间；m为调度趟数；n为参与调度的从处理机的数目，其中，0＜n≤N；W_total为总任务量；

α_ij为调度主处理机P₀在第j趟分配给从处理机P_i的任务大小；α_nm为主处理机P₀在第m趟分配给从处理机P_n的任务大小；o_j+1为链路L_j+1的通信启动开销；s_j为从处理机P_j的计算启动开销；g_k+1为链路L_k+1传输单位任务所花费的时间；w_k+1为从处理机P_k+1计算单位任务所需的时间；w_j+1为从处理机P_j+1计算单位任务所需的时间；g_j+1为链路L_j+1传输单位任务所花费的时间；o_k为链路L_k的通信启动开销；

子模块12用于实现以下功能：

建立可分任务的多趟调度模型如下：

$\underset{m,n}{\min }T=\underset{m,n}{\min }(m\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{o}_i+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{g}_i{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}+s_n+w_n{\mathrm{\α}}_{\mathrm{nm}})$

此模型的约束条件为：

(I)0＜n≤N；

(II)m≥2；

(III)α_ij＝γ_ij+η_ijα_nm，其中，γ_ij、η_ij和α_nm分别满足式20、式21和式22；

(IV)0＜α_ij≤W_total,i＝1,2,...,n,j＝1,2,...,m；

所述的可分任务多趟调度模型求解模块用于实现以下功能：

求解可分任务多趟调度模型，得到最优调度趟数、参与计算的处理机数目和任务分配方案，从而得到任务的最短完成时间。

具体地，所述的可分任务多趟调度模型求解模块，包括子模块21、子模块22、子模块23和子模块24，其中，

所述的子模块21用于实现以下功能：

记T_best为当前已找到的最优解对应的任务完成时间，初始化T_best＝∞，初始化参与计算的处理机数目n为N，初始化调度趟数m为2；

所述的子模块22用于实现以下功能：

将n和m带入式19，计算任务的分配方案α_ij，其中，j＝1,2,...,m；

所述的子模块23用于实现以下功能：

若i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,m，则令n＝n-1，进入子模块22，否则，由公式 $T=m\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{o}_i+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{g}_i{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}+s_n+w_n{\mathrm{\α}}_{\mathrm{nm}}$ 计算出任务的完成时间T；

所述的子模块24用于实现以下功能：

若T＜T_best，则令T_best＝T，m＝m+1，进入子模块22；否则，令m＝m-1，算法终止，输出最优调度趟数m，参与调度的处理机数目n，任务分配方案α_ij和任务的最短完成时间T_best。

具体地，所述的子模块22包括子模块221、子模块222、子模块223、子模块224、子模块225和子模块226，其中，

所述的子模块221用于实现以下功能：

令i＝n，j＝m，γ_nm＝0，η_nm＝1；

所述的子模块222用于实现以下功能：

令i＝i-1；i≥1，计算 ${\mathrm{\γ}}_{\mathrm{ij}}={\mathrm{\Σ}}_{j=i}^{n-1}\left(\frac{o_{j+1}+s_{j+1}-s_j}{w_j}{\mathrm{\Π}}_{k=i}^{j-1}\frac{g_{k+1}+w_{k+1}}{w_k}\right),$ 重复进入子模块222；否则，若i＜1，进入子模块223；

所述的子模块223用于实现以下功能：

令j＝j-1；j＜1，进入子模块225；否则，若j≥1，令i＝n，进入子模块224；

所述的子模块224用于实现以下功能：

计算 ${\mathrm{\γ}}_{\mathrm{ij}}=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{k=i+1}^n(o_k+g_k{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{kj}})+{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^{i-1}(o_k+g_k{\mathrm{\γ}}_{k,j+1})-s_i}{w_i},$ i＝i-1；i≥1，重复进入子模块224；否则，若i＜1，进入子模块223；

所述的子模块225用于实现以下功能：

将γ_ij和η_ij代入公式从而得到处理机P_n在第m趟调度中被分配的任务量α_nm；

所述的子模块226用于实现以下功能：

令i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,m，将γ_ij，η_ij和α_nm带入公式α_ij＝γ_ij+η_ijα_nm，从而得到任务的分配方案α_ij。

与现有技术相比，本发明具有以下技术效果：

1、本发明针对大规模数据应用的任务调度问题，通过消除任意相邻两趟调度之间的时间间隔，推导得到任务分配方案关于调度趟数和处理机数目的解析解，建立了以任务的最短完成时间为目标的可分任务多趟调度模型。相比现有技术，该模型更加合理且有效。

2、本发明针对所提出的可分任务多趟调度模型，设计了一种智能优化算法对模型进行求解。该智能优化算法能够高效准确地求出最优的调度趟数和最优的参与计算的处理机数目，从而得到满足可分任务完成时间最短的最优任务分配方案，节省了时间开销，提高了效率。

附图说明

图1为满足问题描述的星型网络示意图；

图2为满足约束的可分任务多趟调度图；

图3为本发明的求解方法流程图；

图4为可分任务多趟调度模型的求解方法流程图；

图5为实现本发明的求解方法的系统框图；

下面结合附图和实施例对本发明的方案作进一步详细地解释和说明。

具体实施方式

实施例一

遵从上述技术方案，本实施例的可分任务多趟调度模型的求解方法，具体包括以下步骤：

步骤1，建立可分任务多趟调度模型

参见图1，记处理机的总数为N+1，P₀为主处理机，{P_i|i∈{1,2,...,N}}为从处理机，{L_i|i∈{1,2,...,N}}为P₀连接到从处理机P_i的通信链路。从处理机P_i的计算启动开销记为s_i，计算单位任务所需的时间为w_i。链路L_i的通信启动开销记为o_i，传输单位任务所花费的时间为g_i，所述的单位任务的大小可根据需要确定，本发明中设为1MB。调度趟数记为m，参与调度的处理机数目记为n，其中，0＜n≤N。W_total为总任务量。参见附图2，调度主处理机P₀在第j趟分配给从处理机P_i的任务大小为α_ij，则任务分配方案α_ij满足下式：

$\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}=W_{\mathrm{total}},{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}>0.---\left(1\right)$

步骤1.1，由任务的完成时间最短，最后一趟调度中所有参与调度的处理机必须同时完成计算，以及除了最后一趟调度，每个处理机在任意相邻的两趟调度之间都不能存在时间间隔，得到任务的分配方案。

步骤1.1.1，为使任务的完成时间最短，最后一趟调度中所有参与调度的处理机必须同时完成计算。因此可得：

s_i+w_iα_im＝o_i+1+s_i+1+(g_i+1+w_i+1)α_i+1,m,i＝1,2,...,n-1   (2)

其中，α_im表示主处理机P₀在第m趟分配给从处理机P_i的任务大小；o_i+1表示链路L_i+1的通信启动开销；s_i+1表示从处理机P_i+1的计算启动开销；g_i+1表示链路L_i+1传输单位任务所花费的时间；w_i+1表示从处理机P_i+1计算单位任务所需的时间；α_i+1,m表示主处理机P₀在第m趟分配给从处理机P_i+1的任务大小。

整理式(2)，可得：

${\mathrm{\α}}_{\mathrm{im}}=\frac{o_{i+1}+s_{i+1}-s_i}{w_i}+\frac{g_{i+1}+w_{i+1}}{w_i}{\mathrm{\α}}_{i+1,m}.---\left(3\right)$

令 ${\mathrm{\μ}}_i=\frac{o_{i+1}+s_{i+1}-s_i}{w_i},{\mathrm{\λ}}_i=\frac{g_{i+1}+w_{i+1}}{w_i}.$ 则公式(3)可以表示为：

α_im＝μ_i+λ_iα_i+1,m,i＝1,2,...,n-1.   (4)

由公式(4)可得，每个处理机在最后一趟调度所分配的任务量α_im可以用α_nm来表示，即：

α_im＝γ_im+η_imα_nm,i＝1,2,...,n-1.   (5)

其中，

${\mathrm{\γ}}_{\mathrm{im}}=\underset{j=i}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}\left({\mathrm{\μ}}_j\underset{k=i}{\overset{j-1}{\mathrm{\Π}}}{\mathrm{\λ}}_k\right)=\underset{j=i}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{o_{j+1}+s_{j+1}-s_j}{w_j}\×\underset{k=i}{\overset{j-1}{\mathrm{\Π}}}\frac{g_{k+1}+w_{k+1}}{w_k})---\left(6\right)$

${\mathrm{\η}}_{\mathrm{im}}=\underset{j=i}{\overset{n-1}{\mathrm{\Π}}}{\mathrm{\λ}}_j=\underset{j=i}{\overset{n-1}{\mathrm{\Π}}}\left(\frac{g_{j+1}+w_{j+1}}{w_j}\right)---\left(7\right)$

α_nm表示主处理机P₀在第m趟分配给从处理机P_n的任务大小；o_j+1表示链路L_j+1的通信启动开销；s_j+1表示从处理机P_j+1的计算启动开销；s_j表示从处理机P_j的计算启动开销；g_k+1表示链路L_k+1传输单位任务所花费的时间；w_k+1表示从处理机P_k+1计算单位任务所需的时间；w_j+1表示从处理机P_j+1计算单位任务所需的时间；g_j+1表示链路L_j+1传输单位任务所花费的时间。

步骤1.1.2，为使任务完成时间最短，除了最后一趟调度，每个处理机在任意相邻的两趟调度之间都不能存在时间间隔。参见附图2，在第j趟调度中从处理机P_i计算其任务分配量α_ij期间，主处理机P₀需要分别向从处理机P_i+1,...,P_n传输完第j趟调度待计算的子任务α_i+1,j,...,α_n,j，并需要分别向处理机P₁,...,P_i-1传输完第j+1趟调度待计算的子任务α_1,j,...,α_i-1,j。因此可以得到：

$s_i+w_i{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}=\underset{k=i+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(o_k+g_k{\mathrm{\α}}_{\mathrm{kj}})+\underset{k=1}{\overset{i-1}{\mathrm{\Σ}}}(o_k+g_k{\mathrm{\α}}_{k,j+1})---\left(8\right)$

其中，i＝1,2,...,n，j＝1,2,m-1，o_k表示链路L_k的通信启动开销，g_k表示链路L_k传输单位任务所花费的时间，α_kj表示主处理机P₀在第j趟分配给从处理机P_k的任务大小，α_k,j+1表示主处理机P₀在第j+1趟分配给从处理机P_k的任务大小。

将i＝n和j＝m-1代入公式(8)，可以得到：

$s_n+w_n{\mathrm{\α}}_{n,m-1}=\underset{k=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}(o_k+g_k{\mathrm{\α}}_{\mathrm{km}})---\left(9\right)$

其中，s_n表示从处理机P_n的计算启动开销；w_n表示从处理机P_n计算单位任务所需的时间；α_n,m-1表示主处理机P₀在第m-1趟分配给从处理机P_n的任务大小；α_km表示主处理机P₀在第m趟分配给从处理机P_k的任务大小。

整理公式(9)，可得α_n,m-1可以重新表示为：

${\mathrm{\α}}_{n,m-1}=\frac{1}{w_n}[\underset{k=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}(o_k+g_k{\mathrm{\α}}_{\mathrm{km}})-s_n]---\left(10\right)$

将公式(5)代入公式(10)，可得：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_{n,m-1}=\frac{1}{w_n}\left\{\underset{k=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}\right[o_k+g_k({\mathrm{\γ}}_{\mathrm{km}}+{\mathrm{\η}}_{\mathrm{km}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{nm}})]-s_n\}\\ =\frac{\underset{k=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}(o_k+g_k{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{km}})-s_n}{w_n}+\frac{\underset{k=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}\left(g_k{\mathrm{\η}}_{\mathrm{km}}\right)}{w_n}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{nm}}\end{array}---\left(11\right)$

令 ${\mathrm{\γ}}_{n,m-1}=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^{n-1}(o_k+g_k{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{km}})-s_n}{w_n},{\mathrm{\η}}_{n,m-1}=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^{n-1}\left(g_k{\mathrm{\η}}_{\mathrm{km}}\right)}{w_n}.$ 则公式(11)可以表示为：

α_n,m-1＝γ_n,m-1+η_n,m-1α_nm   (12)

同理，将i＝n-1和j＝m-1代入公式(8)，可以得到：

$s_{n-1}+w_{n-1}{\mathrm{\α}}_{n-1,m-1}=o_n+g_n{\mathrm{\α}}_{n,m-1}+\underset{k=1}{\overset{n-2}{\mathrm{\Σ}}}(o_k+g_k{\mathrm{\α}}_{\mathrm{km}})---\left(13\right)$

将公式(5)和公式(11)代入公式(13)得：

${\mathrm{\α}}_{n-1,m-1}=\frac{o_n+g_n{\mathrm{\γ}}_{n,m-1}+\underset{k=1}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}(o_k+g_k{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{km}})-s_{n-1}}{w_{n-1}}+\frac{g_n{\mathrm{\η}}_{n,m-1}+\underset{k=1}{\overset{n-2}{\mathrm{\Σ}}}\left(g_k{\mathrm{\η}}_{\mathrm{km}}\right)}{w_{n-1}}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{nm}}---\left(14\right)$

令 ${\mathrm{\γ}}_{n-1,m-1}=\frac{o_n+g_n{\mathrm{\γ}}_{n,m-1}+{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^{n-1}(o_k+g_k{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{km}})-s_{n-1}}{w_{n-1}},{\mathrm{\η}}_{n-1,m-1}=\frac{g_n{\mathrm{\η}}_{n,m-1}+{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^{n-1}\left(g_n{\mathrm{\η}}_{\mathrm{km}}\right)}{w_{n-1}}.$ 则公式(14)可以重新表示为：

α_n-1,m-1＝γ_n-1,m-1+η_n-1,m-1α_nm   (15)

因此，处理机P_i在第m-1趟调度分配的任务量α_i,m-1可以用α_nm表示为：

α_i,m-1＝γ_i,m-1+η_i,m-1α_nm,i＝1,2,...,n-1   (16)其中， ${\mathrm{\γ}}_{i,m-1}=\frac{\underset{k=i+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(o_k+g_k{\mathrm{\γ}}_{k,m-1})+\underset{k=1}{\overset{i-1}{\mathrm{\Σ}}}(o_k+g_k{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{km}})-s_i}{w_i},{\mathrm{\η}}_{i,m-1}=\frac{\underset{k=i+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\left(g_k{\mathrm{\η}}_{k,m-1}\right)+\underset{k=1}{\overset{i-1}{\mathrm{\Σ}}}\left(g_k{\mathrm{\η}}_{\mathrm{km}}\right)}{w_i}.$

同样地，处理机P_i在第m-2趟调度分配的任务量α_i,m-2可以用α_nm表示为：

α_i,m-2＝γ_i,m-2+η_i,m-2α_nm,i＝1,2,...,n-1   (17)其中， ${\mathrm{\γ}}_{i,m-2}=\frac{\underset{k=i+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(o_k+g_k{\mathrm{\γ}}_{k,m-1})+\underset{k=1}{\overset{i-1}{\mathrm{\Σ}}}(o_k+g_k{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{km}})-s_i}{w_i},{\mathrm{\η}}_{i,m-2}=\frac{\underset{k=i+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\left(g_k{\mathrm{\η}}_{k,m-1}\right)+\underset{k=1}{\overset{i-1}{\mathrm{\Σ}}}\left(g_k{\mathrm{\η}}_{\mathrm{km}}\right)}{w_i}.$

递推下去，处理机P_i(i＝n-1,n-2,...,1)在第j趟调度(j＝m-1,m-2,...,1)分配的任务量可以用α_nm表示为：

α_ij＝γ_ij+η_ijα_nm   (18)其中 ${\mathrm{\γ}}_{\mathrm{ij}}=\frac{\underset{k=i+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(o_k+g_k{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{kj}})+\underset{k=1}{\overset{i-1}{\mathrm{\Σ}}}(o_k+g_k{\mathrm{\γ}}_{k,j+1})-s_i}{w_i},{\mathrm{\η}}_{\mathrm{ij}}=\frac{\underset{k=i+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\left(g_k{\mathrm{\η}}_{\mathrm{kj}}\right)+\underset{k=1}{\overset{i-1}{\mathrm{\Σ}}}\left(g_k{\mathrm{\η}}_{k,j+1}\right)}{w_i}.$

结合公式(5)和公式(18)，当i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,m时，任务分配方案α_ij可以表示为：

α_ij＝γ_ij+η_ijα_nm   (19)

其中，

${\mathrm{\α}}_{\mathrm{nm}}=\frac{W_{\mathrm{total}}-{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^m{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^m{\mathrm{\η}}_{\mathrm{ij}}}---\left(22\right)$

步骤1.2，建立可分任务的多趟调度模型如下：

$\underset{m,n}{\min }T=\underset{m,n}{\min }(m\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{o}_i+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{g}_i{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}+s_n+w_n{\mathrm{\α}}_{\mathrm{nm}})$

此模型的约束条件为：

(i)0＜n≤N；

(ii)m≥2；

(iii)α_ij＝γ_ij+η_ijα_nm，其中，γ_ij、η_ij和α_nm分别满足公式(20)、(21)和(22)；

(iv)0＜α_ij≤W_total,i＝1,2,...,n,j＝1,2,...,m。

步骤2，求解可分任务多趟调度模型

步骤2.1：记T_best为当前已找到的最优解对应的任务完成时间，初始化T_best＝∞，初始化参与计算的从处理机数目n为N，初始化调度趟数m为2；

步骤2.2：将n和m带入公式(19)，计算任务的分配方案α_ij，其中，i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,m。

步骤2.2.1：令i＝n，j＝m，γ_nm＝0，η_nm＝1；

步骤2.2.2：令i＝i-1。若i≥1，计算 ${\mathrm{\γ}}_{\mathrm{ij}}={\mathrm{\Σ}}_{j=i}^{n-1}\left(\frac{o_{j+1}+s_{j+1}-s_j}{w_j}{\mathrm{\Π}}_{k=i}^{j-1}\frac{g_{k+1}+w_{k+1}}{w_k}\right),$ 重复步骤2.2.2；否则，若i＜1，转到步骤2.2.3；

步骤2.2.3：令j＝j-1。若j＜1，转到步骤2.2.5；否则，若j≥1，令i＝n，转步骤2.2.4；

步骤2.2.4：计算 ${\mathrm{\γ}}_{\mathrm{ij}}=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{k=i+1}^n(o_k+g_k{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{kj}})+{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^{i-1}(o_k+g_k{\mathrm{\γ}}_{k,j+1})-s_i}{w_i},$ 令i＝i-1。若i≥1，重复步骤2.2.4；否则，若i＜1，转到步骤2.2.3；

步骤2.2.5：将γ_ij和η_ij代入公式从而得到从处理机P_n在第m趟调度中被分配的任务量α_nm；

步骤2.2.6：令,j＝1,2,...,m，将γ_ij，η_ij和α_nm带入公式从而得到任务的分配方案α_ij。

步骤2.3：若i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,m，则令n＝n-1，转向步骤2.2，否则，由公式计算出任务的完成时间T；

步骤2.4：若T＜T_best，则令T_best＝T，m＝m+1，转向步骤2.2；否则，令m＝m-1，算法终止，输出最优调度趟数m，参与调度的处理机数目n，任务分配方案α_ij和任务的最短完成时间T_best。

实施例二

本实施例的用于实现可分任务多趟调度模型的求解方法的系统，包括依次连接的可分任务多趟调度模型建立模块和可分任务多趟调度模型求解模块；

所述的可分任务多趟调度模型建立模块包括子模块11和子模块12，其中子模块11用于实现以下功能：

给定调度趟数和处理机数目，构建可分任务的分配方案如下：

α_ij＝γ_ij+η_ijα_nm,i＝1,2,...,n,j＝1,2,...,m   (19)

其中，

${\mathrm{\α}}_{\mathrm{nm}}=\frac{W_{\mathrm{total}}-{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^m{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^m{\mathrm{\η}}_{\mathrm{ij}}}---\left(22\right)$

P₀为主处理机，{P_i|i∈{1,2,...,N}}为从处理机；{L_i|i∈{1,2,...,N}}为P₀连接到从处理机P_i的通信链路；s_i为从处理机P_i的计算启动开销；w_i为计算单位任务所需的时间；o_i为链路L_i的通信启动开销记；g_i为传输单位任务所花费的时间；m为调度趟数；n为参与调度的从处理机的数目，其中，0＜n≤N；W_total为总任务量；

α_ij为调度主处理机P₀在第j趟分配给从处理机P_i的任务大小；α_nm为主处理机P₀在第m趟分配给从处理机P_n的任务大小；o_j+1为链路L_j+1的通信启动开销；s_j为从处理机P_j的计算启动开销；g_k+1为链路L_k+1传输单位任务所花费的时间；w_k+1为从处理机P_k+1计算单位任务所需的时间；w_j+1为从处理机P_j+1计算单位任务所需的时间；g_j+1为链路L_j+1传输单位任务所花费的时间；o_k为链路L_k的通信启动开销；

子模块12用于实现以下功能：

建立可分任务的多趟调度模型如下：

$\underset{m,n}{\min }T=\underset{m,n}{\min }(m\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{o}_i+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{g}_i{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}+s_n+w_n{\mathrm{\α}}_{\mathrm{nm}})$

此模型的约束条件为：

(I)0＜n≤N；

(II)m≥2；

(III)α_ij＝γ_ij+η_ijα_nm，其中，γ_ij、η_ij和α_nm分别满足式(20)、式(21)和式(22)；

(IV)0＜α_ij≤W_total,i＝1,2,...,n,j＝1,2,...,m；

所述的可分任务多趟调度模型求解模块用于实现以下功能：

求解可分任务多趟调度模型，得到最优调度趟数、参与计算的处理机数目和任务分配方案，从而得到任务的最短完成时间。

具体地，所述的分任务多趟调度模型求解模块，包括子模块21、子模块22、子模块23和子模块24，其中，

所述的子模块21用于实现以下功能：

记T_best为当前已找到的最优解对应的任务完成时间，初始化T_best＝∞，初始化参与计算的处理机数目n为N，初始化调度趟数m为2；

所述的子模块22用于实现以下功能：

将n和m带入式19，计算任务的分配方案α_ij，其中，j＝1,2,...,m；

所述的子模块23用于实现以下功能：

若i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,m，则令n＝n-1，进入模块22，否则，由公式 $T=m\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{o}_i+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{g}_i{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}+s_n+w_n{\mathrm{\α}}_{\mathrm{nm}}$ 计算出任务的完成时间T；

所述的子模块24用于实现以下功能：

若T＜T_best，则令T_best＝T，m＝m+1，进入模块22；否则，令m＝m-1，算法终止，输出最优调度趟数m，参与调度的处理机数目n，任务分配方案α_ij和任务的最短完成时间T_best。

具体地，所述的子模块22包括子模块221、子模块222、子模块223、子模块224、子模块225和子模块226，其中，

所述的子模块221用于实现以下功能：

令i＝n，j＝m，γ_nm＝0，η_nm＝1；

所述的子模块222用于实现以下功能：

令i＝i-1；i≥1，计算 ${\mathrm{\γ}}_{\mathrm{ij}}={\mathrm{\Σ}}_{j=i}^{n-1}\left(\frac{o_{j+1}+s_{j+1}-s_j}{w_j}{\mathrm{\Π}}_{k=i}^{j-1}\frac{g_{k+1}+w_{k+1}}{w_k}\right),$ 重复进入子模块222；否则，若i＜1，进入子模块223；

所述的子模块223用于实现以下功能：

令j＝j-1；j＜1，进入子模块225；否则，若j≥1，令i＝n，进入子模块224；

所述的子模块224用于实现以下功能：

计算 ${\mathrm{\γ}}_{\mathrm{ij}}=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{k=i+1}^n(o_k+g_k{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{kj}})+{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^{i-1}(o_k+g_k{\mathrm{\γ}}_{k,j+1})-s_i}{w_i},$ i＝i-1；i≥1，重复进入子模块224；否则，若i＜1，进入子模块223；

所述的子模块225用于实现以下功能：

将γ_ij和η_ij代入公式从而得到处理机P_n在第m趟调度中被分配的任务量α_nm；

所述的子模块226用于实现以下功能：

令i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,m，将γ_ij，η_ij和α_nm带入公式α_ij＝γ_ij+η_ijα_nm，从而得到任务的分配方案α_ij。

实验结果

针对提出的可分任务多趟调度模型和算法，进行了多组对比实验。实验参数设置如下：从处理机总数N＝15。表1给出了异构并行与分布式系统下从处理机的相关参数。表2给出了三种算法关于不同任务量和不同调度顺序的实验结果。其中，MISA代表了参考文献[1]中提出的算法，RCGA代表了参考文献[2]中提出的多趟调度混合实数编码遗传算法，NMISA代表了本发明提出的求解可分任务多趟调度模型的算法。S1表示处理机按照通信链路传输单位任务所需时间g_i渐增的顺序作为调度顺序，S2表示处理机按照其计算单位任务所需时间w_i渐增的顺序作为调度顺序，S3表示处理机按照g_i/(g_i+w_i)递增的顺序作为调度顺序。

表1.异构并行与分布式系统下从处理机的相关参数

P	o	s	g	w
					p1	14.11	11.59	0.44	4.82
p2	6.04	1.28	0.65	12.68
					p3	16.29	1.91	0.59	6.90
p4	17.25	7.47	0.66	15.04
					p5	17.43	18.99	0.15	6.06
p6	10.50	2.07	0.64	9.90
					p7	9.37	12.45	0.25	10.80
p8	5.28	16.60	0.23	13.64
					p9	11.78	18.22	0.38	4.78
p10	13.90	5.88	0.62	9.92
					p11	3.13	13.52	0.43	3.62
p12	11.50	3.06	0.08	13.32
					p13	5.69	5.92	0.14	6.36
p14	6.02	19.60	0.69	6.68
					p15	5.57	4.26	0.13	10.78

表2.三种算法关于不同任务量和不同调度顺序的实验结果

通过表2可以看出，处理机的调度顺序、参与调度的处理机数目和调度趟数都会较大程度地影响任务的最短完成时间。对于同样大小的任务，在相同的调度顺序下，本发明提出的算法求得的任务完成时间要明显小于其他两个对比算法，因此，本发明提出的算法在求解可分任务的多趟调度问题上比现有算法更加有效。

参考文献

[1]A.Shokripour,M.Othman,H.Ibrahim,S.Subramaniam.New method forscheduling heterogeneous multi-installment systems.Future GenerationComputer Systems,vol.28,no.8,pp.1205-1216,2012.

[2]S.Suresh,H.Huang,H.J.Kim.Hybrid real-coded genetic algorithm for datapartitioning in multi-round load distribution and scheduling in heterogeneoussystems.Applied Soft Computing,vol.24,pp.500-510,2014.

Claims (6)

1.一种可分任务多趟调度模型的求解方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，建立可分任务多趟调度模型

步骤1.1，给定调度趟数和处理机数目，构建可分任务的分配方案如下：

α_ij＝γ_ij+η_ijα_nm,i＝1,2,...,n,j＝1,2,...,m           式19

其中，

${\mathrm{\α}}_{\mathrm{nm}}=\frac{W_{\mathrm{total}}-{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^m{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^m{\mathrm{\η}}_{\mathrm{ij}}}$          式22

P₀为主处理机，{P_i|i∈{1,2,...,N}}为从处理机；{L_i|i∈{1,2,...,N}}为P₀连接到从处理机P_i的通信链路；s_i为从处理机P_i的计算启动开销；w_i为计算单位任务所需的时间；o_i为链路L_i的通信启动开销记；g_i为传输单位任务所花费的时间；m为调度趟数；n为参与调度的从处理机的数目，其中，0＜n≤N；W_total为总任务量；

α_ij为调度主处理机P₀在第j趟分配给从处理机P_i的任务大小；α_nm为主处理机P₀在第m趟分配给从处理机P_n的任务大小；o_j+1为链路L_j+1的通信启动开销；s_j为从处理机P_j的计算启动开销；g_k+1为链路L_k+1传输单位任务所花费的时间；w_k+1为从处理机P_k+1计算单位任务所需的时间；w_j+1为从处理机P_j+1计算单位任务所需的时间；g_j+1为链路L_j+1传输单位任务所花费的时间；o_k为链路L_k的通信启动开销；

步骤1.2，建立可分任务的多趟调度模型如下：

$\underset{m,n}{\min }T=\underset{m,n}{\min }(m\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{o}_i+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{g}_i{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}+s_n+w_n{\mathrm{\α}}_{\mathrm{nm}})$

此模型的约束条件为：

(I)0＜n≤N；

(II)m≥2；

(III)α_ij＝γ_ij+η_ijα_nm，其中，γ_ij、η_ij和α_nm分别满足式20、式21和式22；

(IV)0＜α_ij≤W_total,i＝1,2,...,n,j＝1,2,...,m；

步骤2，求解可分任务多趟调度模型

求解可分任务多趟调度模型，得到最优调度趟数、参与计算的处理机数目和任务分配方案，从而得到任务的最短完成时间。

2.如权利要求1所述的可分任务多趟调度模型的求解方法，其特征在于，所述的步骤2的具体实现步骤如下：

步骤2.1：记T_best为当前已找到的最优解对应的任务完成时间，初始化T_best＝∞，初始化参与计算的处理机数目n为N，初始化调度趟数m为2；

步骤2.2：将n和m带入式19，计算任务的分配方案α_ij，其中，i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,m；

步骤2.3：若i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,m，则令n＝n-1，转向步骤2.2，否则，由公式 $T=m\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{o}_i+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{g}_i{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}+s_n+w_n{\mathrm{\α}}_{\mathrm{nm}}$ 计算出任务的完成时间T；

步骤2.4：若T＜T_best，则令T_best＝T，m＝m+1，转向步骤2.2；否则，令m＝m-1，算法终止，输出最优调度趟数m，参与调度的处理机数目n，任务分配方案α_ij和任务的最短完成时间T_best。

3.如权利要求2所述的一种求解可分任务多趟调度模型的算法，其特征在于，所述的步骤2.2具体实现步骤如下：

步骤2.2.1：令i＝n，j＝m，γ_nm＝0，η_nm＝1；

步骤2.2.2：令i＝i-1；i≥1，计算 ${\mathrm{\γ}}_{\mathrm{ij}}={\mathrm{\Σ}}_{j=i}^{n-1}\left(\frac{o_{j+1}+s_{j+1}-s_j}{w_j}{\mathrm{\Π}}_{k=i}^{j-1}\frac{g_{k+1}+w_{k+1}}{w_k}\right),$ 重复步骤2.2.2；否则，若i＜1，转到步骤2.2.3；

步骤2.2.3：令j＝j-1；j＜1，转到步骤2.2.5；否则，若j≥1，令i＝n，转步骤2.2.4；

步骤2.2.4：计算 ${\mathrm{\γ}}_{\mathrm{ij}}=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{k=i+1}^n(o_k+g_k{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{kj}})+{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^{i-1}(o_k+g_k{\mathrm{\γ}}_{k,j+1})-s_i}{w_i},$ i＝i-1；i≥1，重复步骤2.2.4；否则，若i＜1，转到步骤2.2.3；

步骤2.2.5：将γ_ij和η_ij代入公式从而得到处理机P_n在第m趟调度中被分配的任务量α_nm；

步骤2.2.6：令i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,m，将γ_ij，η_ij和α_nm带入公式α_ij＝γ_ij+η_ijα_nm，从而得到任务的分配方案α_ij。

4.一种用于实现权利要求1所述方法的系统，其特征在于，包括依次连接的可分任务多趟调度模型建立模块和可分任务多趟调度模型求解模块；

所述的可分任务多趟调度模型建立模块包括子模块11和子模块12，其中子模块11用于实现以下功能：

给定调度趟数和处理机数目，构建可分任务的分配方案如下：

α_ij＝γ_ij+η_ijα_nm,i＝1,2,...,n,j＝1,2,...,m         式19

其中，

${\mathrm{\α}}_{\mathrm{nm}}=\frac{W_{\mathrm{total}}-{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^m{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{ij}}}{{\mathrm{\Σ}}_{i=1}^n{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^m{\mathrm{\η}}_{\mathrm{ij}}}$               式22

P₀为主处理机，{P_i|i∈{1,2,...,N}}为从处理机；{L_i|i∈{1,2,...,N}}为P₀连接到从处理机P_i的通信链路；s_i为从处理机P_i的计算启动开销；w_i为计算单位任务所需的时间；o_i为链路L_i的通信启动开销记；g_i为传输单位任务所花费的时间；m为调度趟数；n为参与调度的从处理机的数目，其中，0＜n≤N；W_total为总任务量；

α_ij为调度主处理机P₀在第j趟分配给从处理机P_i的任务大小；α_nm为主处理机P₀在第m趟分配给从处理机P_n的任务大小；o_j+1为链路L_j+1的通信启动开销；s_j为从处理机P_j的计算启动开销；g_k+1为链路L_k+1传输单位任务所花费的时间；w_k+1为从处理机P_k+1计算单位任务所需的时间；w_j+1为从处理机P_j+1计算单位任务所需的时间；g_j+1为链路L_j+1传输单位任务所花费的时间；o_k为链路L_k的通信启动开销；

子模块12用于实现以下功能：

建立可分任务的多趟调度模型如下：

$\underset{m,n}{\min }T=\underset{m,n}{\min }(m\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{o}_i+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{g}_i{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}+s_n+w_n{\mathrm{\α}}_{\mathrm{nm}})$

此模型的约束条件为：

(I)0＜n≤N；

(II)m≥2；

(III)α_ij＝γ_ij+η_ijα_nm，其中，γ_ij、η_ij和α_nm分别满足式20、式21和式22；

(IV)0＜α_ij≤W_total,i＝1,2,...,n,j＝1,2,...,m；

所述的可分任务多趟调度模型求解模块用于实现以下功能：

求解可分任务多趟调度模型，得到最优调度趟数、参与计算的处理机数目和任务分配方案，从而得到任务的最短完成时间。

5.如权利要求4所述用于实现权利要求1所述方法的系统，其特征在于，所述的可分任务多趟调度模型求解模块，包括子模块21、子模块22、子模块23和子模块24，其中，

所述的子模块21用于实现以下功能：

记T_best为当前已找到的最优解对应的任务完成时间，初始化T_best＝∞，初始化参与计算的处理机数目n为N，初始化调度趟数m为2；

所述的子模块22用于实现以下功能：

将n和m带入式19，计算任务的分配方案α_ij，其中，i＝1,2,...n,，j＝1,2,...,m；

所述的子模块23用于实现以下功能：

若i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,m，则令n＝n-1，进入子模块22，否则，由公式 $T=m\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{o}_i+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{g}_i{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ij}}+s_n+w_n{\mathrm{\α}}_{\mathrm{nm}}$ 计算出任务的完成时间T；

所述的子模块24用于实现以下功能：

若T＜T_best，则令T_best＝T，m＝m+1，进入子模块22；否则，令m＝m-1，算法终止，输出最优调度趟数m，参与调度的处理机数目n，任务分配方案α_ij和任务的最短完成时间T_best。

6.如权利要求5所述用于实现权利要求1所述方法的系统，其特征在于，所述的子模块22包括子模块221、子模块222、子模块223、子模块224、子模块225和子模块226，其中，

所述的子模块221用于实现以下功能：

令i＝n，j＝m，γ_nm＝0，η_nm＝1；

所述的子模块222用于实现以下功能：

令i＝i-1；i≥1，计算 ${\mathrm{\γ}}_{\mathrm{ij}}={\mathrm{\Σ}}_{j=i}^{n-1}\left(\frac{o_{j+1}+s_{j+1}-s_j}{w_j}{\mathrm{\Π}}_{k=i}^{j-1}\frac{g_{k+1}+w_{k+1}}{w_k}\right),$ 重复进入子模块222；否则，若i＜1，进入子模块223；

所述的子模块223用于实现以下功能：

令j＝j-1；j＜1，进入子模块225；否则，若j≥1，令i＝n，进入子模块224；

所述的子模块224用于实现以下功能：

计算 ${\mathrm{\γ}}_{\mathrm{ij}}=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{k=i+1}^n(o_k+g_k{\mathrm{\γ}}_{\mathrm{kj}})+{\mathrm{\Σ}}_{k=1}^{i-1}(o_k+g_k{\mathrm{\γ}}_{k,j+1})-s_i}{w_i},$ i＝i-1；i≥1，重复进入子模块224；否则，若i＜1，进入子模块223；

所述的子模块225用于实现以下功能：

将γ_ij和η_ij代入公式从而得到处理机P_n在第m趟调度中被分配的任务量α_nm；

所述的子模块226用于实现以下功能：

令i＝1,2,...,n，j＝1,2,...,m，将γ_ij，η_ij和α_nm带入公式α_ij＝γ_ij+η_ijα_nm，从而得到任务的分配方案α_ij。