CN104868874A - 一种-1/2阶rl分抗电路及其设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种-1/2阶RL分抗电路，其特征在于：包含电阻R1、负电阻R2、负电阻R3，还包含负电感L1、负电感L2，所述的负电阻R2与负电感L1并联后形成A、B两端，负电阻R3与负电感L2并联后形成C、D两端，电阻R1的一端与交流电源的一端相连，电阻R1的另一端与A端相连，B端与C端相连，D端与交流电源的另一端相连。本发明的分抗电路及其设计方法，验证了基于连分式分解理论设计的由RL元件构成的-1/2阶分抗逼近电路具有良好的幅频响应和相频响应，能有效地逼近理想分抗。

Description

一种-1/2阶RL分抗电路及其设计方法

技术领域

本发明涉及分数阶模拟分抗电路的实现领域，具体涉及一种-1/2阶RL分抗电路及其设计方法。

背景技术

分数微积分的研究距今已有三百多年的历史，它是微积分的一个分支，它对函数进行分数阶微分积分。事实上，电感、电容本质上都是具有分数阶性质的元件，可以有目的地设计出不同分数阶的电感、电容，利用它们的分数阶特性开拓新的研究方向和实现新的应用。

采用多个基本模拟电路元件设计的分数阶微积分运算电路称为分抗电路。目前主要的分抗电路结构包括采用无源器件构成的树状分抗电路、链式分抗电路、网格分抗电路及采用有源器件构成的运放分抗电路。分抗设计的方法主要分为以下几类:自相似分形方法、Carlson牛顿迭代、二项式展开法、连分式分解、Oustaloup算法。

现有文字记载中，基于连分式分解方法的1/2ⁿ阶模拟分抗逼近电路只有用简单的RC元件构成的电路。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的缺点与不足，提供一种-1/2阶RL分抗电路。

本发明的另一目的在于提供一种-1/2阶RL分抗电路的设计方法。

本发明的目的通过以下的技术方案实现：

一种-1/2阶RL分抗电路，包含电阻R1、负电阻R2、负电阻R3，还包含负电感L1、负电感L2，所述的负电阻R2与负电感L1并联后形成A、B两端，负电阻R3与负电感L2并联后形成C、D两端，电阻R1的一端与交流电源的一端相连，电阻R1的另一端与A端相连，B端与C端相连，D端与交流电源的另一端相连。

所述的负电阻R2、负电阻R3、负电感L1、负电感L2在实际电路中通过负阻抗变换器实现，此时-1/2阶RL分抗电路包含电阻R1、电阻R4、电阻R5，还包含电感L3、电感L4，具体电路连接关系为：所述的电阻R4与电感L3并联后形成E、F两端，电阻R5与电感L4并联后形成G、H两端，电阻R1的一端与交流电源的一端相连，电阻R1的另一端与负阻抗变换器的一端相连，负阻抗变换器的另一端与E端相连，F端与G端相连，H端与交流电源的另一端相连；其中负电阻R2与电阻R4的阻值绝对值相等，负电阻R3与电阻R5的阻值绝对值相等，负电感L1与电感L3的感抗绝对值相等，负电感L2与电感L4的感抗绝对值相等。

所述的负阻抗变换器包括运算放大器及电阻R6、R7，电阻R1的一端接交流电源，另一端接运算放大器的同相输入端，运算放大器的反相输入端接E端；电阻R6一端接运算放大器的同相输入端，另一端接运算放大器的输出端；电阻R7一端接运算放大器的反相输入端，另一端接运算放大器的输出端。

本发明的另一目的通过以下的技术方案实现：

一种-1/2阶RL分抗电路的设计方法，包含以下顺序的步骤：

S1.基于分数阶微积分理论，推导理想模拟分抗的网络函数；

S2.对-1/2阶理想分抗的网络函数进行连分式分解，得到相应模拟分抗逼近电路的网络函数；

S3.采用RL元件进行电路综合得到-1/2阶RL分抗电路。

步骤S3中，所述的网络综合,具体是通过无源网络综合确定网络的拓扑结构及其电路元件的数值，以获得规定的性能。

所述的-1/2阶RL分抗电路的设计方法，还包括验证步骤：

通过Psim仿真验证基于连分式分解理论设计的由RL元件构成的-1/2阶分抗逼近电路。

所述的-1/2阶RL分抗电路的设计方法，具体包含以下顺序的步骤：

a、基于分数阶微积分理论，确定理想模拟分抗的网络函数：

$G\left(s\right)=\frac{U\left(s\right)}{I\left(s\right)}=s^{-\frac{1}{2}};$

其中U(s)是输出电压U(t)的拉普拉斯变换，I(s)是输入电流I(t)的拉普拉式变换；

b、对-1/2阶理想分抗的网络函数进行连分式分解，得到相应模拟分抗逼近电路的网络函数；

$s^{-\frac{1}{2}}=\mathrm{\α}+s^{-\frac{1}{2}}-\mathrm{\α}$

$\begin{array}{c}=\mathrm{\α}+\frac{s^{-1}-{\mathrm{\α}}^2}{\mathrm{\α}+s^{-\frac{1}{2}}}\\ =\mathrm{\α}+\frac{s^{-1}-{\mathrm{\α}}^2}{2\mathrm{\α}+\frac{s^{-1}-{\mathrm{\α}}^2}{2\mathrm{\α}+\frac{s^{-1}-{\mathrm{\α}}^2}{...}}}\end{array}$

将s^-1/2减去α，增加一项α，前半部分得到s^-1/2-α，利用平方差公式，分子分母同时乘以s^-1/2+α得到为了使分母再次得到s^-1/2-α，将分母减去α后，再加上α，循环往复；得到的分式即为连分式结构；其中α为初始参数；

c、采用RL元件进行电路综合得到-1/2阶RL分抗电路：

将传递函数写为

$Z_{\mathrm{RL}}\left(x\right)=K_{\∞}s+K_0+\frac{K_{1}s}{s+{\mathrm{\σ}}_1}+\frac{K_{2}s}{s+{\mathrm{\σ}}_2}+...+\frac{K_{n}s}{s+{\mathrm{\σ}}_n}$

由电网络综合的理论可知，Ks部分用电感值为K的电感实现，K部分用电阻值为K的电阻值实现，部分用电阻值为K的电阻与电感值为K/σ的电感并联实现；其中s为复频率，K为电阻值为K的电阻的运算阻抗，Kns为电感值为kn的电感的运算阻抗，为电阻值为K的电阻与电感值为K/σ的电感并联单元的运算阻抗，σ为运算参数，无实际意义；

这种电路结构称为FosterI型RL电路：

$s^{-\frac{1}{2}}=0.5+\frac{-0.062s}{s+189.4427}+\frac{-0.418s}{s+10.5573}$

故由0.5Ω电阻单元，-0.062Ω电阻与-3.27*10^-4H电感并联单元，-0.418Ω电阻与-3.959*10^-2H电感并联单元，三个单元向串联实现。

本发明与现有技术相比，具有如下优点和有益效果：

1、在集成电路中，RL电路不适宜集成，所以用RC电路，然而，在强电环境中，L的使用很普遍的，只需要绕制一些线圈，所以本发明可以在强电环境中使用RL电路。有的电路需要很多的跨导运算放大器，不适用于大功率环境。

存在于不同设计方法的缺点：只能计算1/2ⁿ阶分抗电路；用RLC实现的电路理论上需要元件个数为无数个，不利于生产和集成化；电路形式固定后，所设计的分抗电路，阶数不能改变；别的方法有RC也有RL也有RLC的电路，但是连分式的方法只有RC。

2、本发明通过对电网络综合基础理论知识，完善了由连分式方法可以得出的电路的结构形式。

3、本发明不需要过多的运算放大器等有源器件，节省了电源需求。

4、本发明电阻、电感值计算可以由程序得到，对于不同的精度要求，可以快速的得到电路参数。

5、本发明可适用于线圈供电的环境中，利用电路本身的线圈减少其他线圈的数量。

附图说明

图1a、1b为α取不同值时波特图；

图2a、2b为α取不同值时频率响应图；

图3a、3b为α＝0.1时i取不同值时频率响应图；

图4为含负阻抗-1/2阶分抗电路图；

图5为30Hz时电压和电流相位关系图；

图6为50Hz时电压和电流相位关系图；

图7为100Hz时电压和电流相位关系图；

图8为含运算放大器-1/2阶RL分抗电路图；

图9为两种电路模型的电压值对比图；

图10为两种电路模型的电流值对比图。

具体实施方式

下面结合实施例及附图对本发明作进一步详细的描述，但本发明的实施方式不限于此。

如图8，一种-1/2阶RL分抗电路，包含电阻R1、负电阻R2、负电阻R3，还包含负电感L1、负电感L2，所述的负电阻R2与负电感L1并联后形成A、B两端，负电阻R3与负电感L2并联后形成C、D两端，电阻R1的一端与交流电源的一端相连，电阻R1的另一端与A端相连，B端与C端相连，D端与交流电源的另一端相连；

所述的负电阻R2、负电阻R3、负电感L1、负电感L2在实际电路中通过负阻抗变换器实现，此时-1/2阶RL分抗电路包含电阻R1、电阻R4、电阻R5，还包含电感L3、电感L4，具体电路连接关系为：所述的电阻R4与电感L3并联后形成E、F两端，电阻R5与电感L4并联后形成G、H两端，电阻R1的一端与交流电源的一端相连，电阻R1的另一端与负阻抗变换器的一端相连，负阻抗变换器的另一端与E端相连，F端与G端相连，H端与交流电源的另一端相连；其中负电阻R2与电阻R4的阻值绝对值相等，负电阻R3与电阻R5的阻值绝对值相等，负电感L1与电感L3的感抗绝对值相等，负电感L2与电感L4的感抗绝对值相等；

所述的负阻抗变换器包括运算放大器及电阻R6、R7，电阻R1的一端接交流电源，另一端接运算放大器的同相输入端，运算放大器的反相输入端接E端；电阻R6一端接运算放大器的同相输入端，另一端接运算放大器的输出端；电阻R7一端接运算放大器的反相输入端，另一端接运算放大器的输出端。

为本发明想得到的传递函数，用连分式法的方法做近似它的近似式。下面的所有的一长串的分子比上一长串的分母都是的近似式，然后讨论了α和i的取值对接近程度的影响。

基于连分式的方法，将-1/2阶分抗电路的传递函数表达式表示如下：

$\begin{array}{c}{s}^{-\frac{1}{2}}=\mathrm{\α}+s^{-\frac{1}{2}}-\mathrm{\α}\\ =\mathrm{\α}+\frac{s^{-1}-{\mathrm{\α}}^2}{\mathrm{\α}+s^{-\frac{1}{2}}}\\ =\mathrm{\α}+\frac{s^{-1}-{\mathrm{\α}}^2}{2\mathrm{\α}+\frac{s^{-1}-{\mathrm{\α}}^2}{2\mathrm{\α}+\frac{s^{-1}-{\mathrm{\α}}^2}{...}}}\end{array}---\left(1\right)$

令s^-1-α²=ξ，代入上式可推得

$s^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{\mathrm{\ξ}+{\mathrm{\α}}^2}=\mathrm{\α}+\frac{\mathrm{p\ξ}}{1+\frac{\mathrm{q\ξ}}{1+\frac{\mathrm{q\ξ}}{...}}}---\left(2\right)$

可证明其收敛；

对(2)中的连分式应用连分递推公式

$\left\{\begin{array}{c}{A}_i=A_{i-1}+\mathrm{q\ξ}{A}_{i-2}\\ B_i=B_{i-1}+\mathrm{q\ξ}{B}_{i-2}\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，i≥2，Α_-1＝1，B_-1＝0，Α₀＝α，B₀＝1，Α₁＝α+pξ，B₁＝1；式中，Ai为传递函数的分子，Bi为传递函数的分母，α为迭代初值，i为迭代次数；

通过取不同迭代初值α和迭代次数i，可以求得不同的-1/2阶分抗的逼近传递函数，通过仿真得到了频率响应图，如图1a、1b、2a、2b、3a、3b，从仿真结果可以得出结论：当迭代初值α越小时，电路的相位频率响应越向右偏移，接近理想曲线ω＝-45°的频率范围越大，越接近要求。随着迭代次数i增加，逼近曲线的频率特性与理想曲线贴合程度也越大，逼近效果越好。

取α＝0.1，可以得到传递函数

$\frac{A_2}{B_2}=\frac{0.025s+7.5}{0.75s+25}$

$\frac{A_2}{B_4}=\frac{0.00625s^2+6.25s+312.5}{0.3125s^2+62.5s+625}$

$\frac{A_6}{B_6}=\frac{0.0015625s^3+3.28125s^2+546.875s+10937.5}{0.109375s^3+54.6875s^2+3281.25s+15625}$

$\frac{A_8}{B_8}=\frac{0.000390625s^4+1.40625s^3+492.1875s^2+32812.5s+351562.5}{0.03515625s^4+32.8125s^3+4921.875s^2+140625s+390625}$

取迭代次数i为时，可得综合电路的R、L各元件的数值。

由四次迭代的公式可以化为形式如下的等式

$\begin{array}{c}\frac{A_4}{B_4}=\frac{0.00625s^2+6.25s+312.5}{0.3125s^2+62.5s+625}\\ =0.5+\frac{-0.062s}{s+189.4427}+\frac{-0.418}{s+10.5573}\end{array}---\left(4\right)$

对于阻抗表达式为的电路单元，可以由阻值为a的电阻及电感为a/b的电感并联构成。由RL元件构成-1/2阶电路如图4所示：由三个电阻和两个电感构成，三个电阻阻值分别为0.5Ω、-0.062Ω、-0.418Ω，两个电感感抗分别为-3.27*10^-4H，-3.959*10^-2H。当给定输入电源频率为30Hz、50Hz、100Hz时，通过Psim仿真软件，得到了输入电压与输出电流随时间变化的仿真图，如图5、图6、图7。分抗电路中存在的负阻抗，由运算放大器构成的负阻抗变换器实现，从而等到等效电路，如图8所示，放大器同相输入端接入电路，反向输入端接0.062Ω电阻并-3.27*10^-4H电感再串联-0.418Ω电阻并3.959*10^-2H电感。通过Psim仿真软件，得到了等效电路的电压、电流图，如图9、图10所示、与含负电阻、负电抗的原电路一致。

上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1.一种-1/2阶RL分抗电路，其特征在于：包含电阻R1、负电阻R2、负电阻R3，还包含负电感L1、负电感L2，所述的负电阻R2与负电感L1并联后形成A、B两端，负电阻R3与负电感L2并联后形成C、D两端，电阻R1的一端与交流电源的一端相连，电阻R1的另一端与A端相连，B端与C端相连，D端与交流电源的另一端相连。

2.根据权利要求1所述的-1/2阶RL分抗电路，其特征在于：所述的负电阻R2、负电阻R3、负电感L1、负电感L2在实际电路中通过负阻抗变换器实现，此时-1/2阶RL分抗电路包含电阻R1、电阻R4、电阻R5，还包含电感L3、电感L4，具体电路连接关系为：所述的电阻R4与电感L3并联后形成E、F两端，电阻R5与电感L4并联后形成G、H两端，电阻R1的一端与交流电源的一端相连，电阻R1的另一端与负阻抗变换器的一端相连，负阻抗变换器的另一端与E端相连，F端与G端相连，H端与交流电源的另一端相连；其中负电阻R2与电阻R4的阻值绝对值相等，负电阻R3与电阻R5的阻值绝对值相等，负电感L1与电感L3的感抗绝对值相等，负电感L2与电感L4的感抗绝对值相等。

3.根据权利要求1所述的-1/2阶RL分抗电路，其特征在于：所述的负阻抗变换器包括运算放大器及电阻R6、R7，电阻R1的一端接交流电源，另一端接运算放大器的同相输入端，运算放大器的反相输入端接E端；电阻R6一端接运算放大器的同相输入端，另一端接运算放大器的输出端；电阻R7一端接运算放大器的反相输入端，另一端接运算放大器的输出端。

4.一种-1/2阶RL分抗电路的设计方法，其特征在于，包含以下顺序的步骤：

S1.基于分数阶微积分理论，推导理想模拟分抗的网络函数；

S2.对-1/2阶理想分抗的网络函数进行连分式分解，得到相应模拟分抗逼近电路的网络函数；

S3.采用RL元件进行电路综合得到-1/2阶RL分抗电路。

5.根据权利要求4所述的1/2阶RL分抗电路的设计方法，其特征在于：步骤S3中，所述的网络综合,具体是通过无源网络综合确定网络的拓扑结构及其电路元件的数值，以获得规定的性能。

6.根据权利要求4所述的1/2阶RL分抗电路的设计方法，其特征在于：所述的-1/2阶RL分抗电路的设计方法，还包括验证步骤：

通过Psim仿真验证基于连分式分解理论设计的由RL元件构成的-1/2阶分抗逼近电路。

7.根据权利要求4所述的1/2阶RL分抗电路的设计方法，其特征在于：所述的-1/2阶RL分抗电路的设计方法，具体包含以下顺序的步骤：

a、基于分数阶微积分理论，确定理想模拟分抗的网络函数：

$G\left(s\right)=\frac{U\left(s\right)}{I\left(s\right)}=s^{-\frac{1}{2}};$

其中U(s)是输出电压U(t)的拉普拉斯变换，I(s)是输入电流I(t)的拉普拉式变换；

b、对-1/2阶理想分抗的网络函数进行连分式分解，得到相应模拟分抗逼近电路的网络函数；

$\begin{array}{c}{s}^{-\frac{1}{2}}=\mathrm{\α}+s^{-\frac{1}{2}}-\mathrm{\α}\\ =\mathrm{\α}+\frac{s^{-1}-{\mathrm{\α}}^2}{\mathrm{\α}+s^{-\frac{1}{2}}}\\ =\mathrm{\α}+\frac{s^{-1}-{\mathrm{\α}}^2}{2\mathrm{\α}+\frac{s^{-1}-{\mathrm{\α}}^2}{2\mathrm{\α}+\frac{s^{-1-{\mathrm{\α}}^2}}{\·\·\·}}}\end{array}$

将s^-1/2减去α，增加一项α，前半部分得到s^-1/2-α，利用平方差公式，分子分母同时乘以s^-1/2+α得到为了使分母再次得到s^-1/2-α，将分母减去α后，再加上α，循环往复；得到的分式即为连分式结构；其中α为初始参数；

c、采用RL元件进行电路综合得到-1/2阶RL分抗电路：

将传递函数写为

$Z_{\mathrm{RL}}\left(s\right)=K_{\∞}s+K_0+\frac{K_{1}s}{s+{\mathrm{\σ}}_1}+\frac{K_{2}s}{s+{\mathrm{\σ}}_2}+\·\·\·+\frac{K_{n}s}{s+{\mathrm{\σ}}_n}$

由电网络综合的理论可知，Ks部分用电感值为K的电感实现，K部分用电阻值为K的电阻值实现，部分用电阻值为K的电阻与电感值为K/σ的电感并联实现；其中s为复频率，K为电阻值为K的电阻的运算阻抗，Kns为电感值为kn的电感的运算阻抗，为电阻值为K的电阻与电感值为K/σ的电感并联单元的运算阻抗，σ为运算参数，无实际意义；

这种电路结构称为FosterI型RL电路：

$s^{-\frac{1}{2}}=0.5+\frac{-0.062s}{s+189.4427}+\frac{-0.418s}{s+10.5573}$

故由0.5Ω电阻单元，-0.062Ω电阻与-3.27*10^-4H电感并联单元，-0.418Ω电阻与-3.959*10^-2H电感并联单元，三个单元向串联实现。