CN104865072A - 一种基于非线性因素的机车传动系统扭振分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于非线性因素的机车传动系统扭振分析方法，通过分析轴悬式传动系统的结构，建立了其扭振的动力学模型，在此基础上，对该线性模型进行了简化，并考虑了机车传动系统中存在的非线性因素，得到了二自由度的扭振模型；基于机车传动系统的非线性扭振模型，在自由振动以及周期性扰动作用这两种不同的状况下，应用渐进法对动力学方程的响应进行了求解；应用多尺度法分析了系统在主共振、超谐共振以及亚谐共振下的振动情况，并分别得到了相应的幅频方程。充分考虑了非线性因素的机车传动系统动力学行为特性与作用规律，为分析传动系统的振动情况提供了理论依据。

Description

一种基于非线性因素的机车传动系统扭振分析方法

技术领域

本发明涉及机械传动系统振动分析领域，特别是提供了一种基于非线性因素的机车传动系统扭振分析方法。

背景技术

铁路作为国民经济大动脉、国家重要基础设施和大众化交通工具，在我国经济社会发展中的地位和作用至关重要，实现铁路客货运输的高速化和重载化是国家经济社会发展的重大战略需求。国务院在《中长期铁路网规划》中明确了我国铁路网中长期建设目标，即到2020年，我国客运专线营业里程达到1.2万公里，客车速度目标值达到每小时200公里及以上。而中国铁路总公司在铁路“十二五”规划中进一步提出了深化高速铁路、重载运输、技术装备等领域技术创新的要求，以确保铁路运输的安全。

而齿轮传动作为机车传动系统中的重要组成部分，其动力学行为和工作性能对整个系统有着重要的影响。随着生产技术的不断进步、现代工业制造技术的不断升级以及科学的不断进步，齿轮传动逐渐向高速化、重载化和长寿命方向发展，这样就使得齿轮振动的问题变得越来越突出。齿轮的振动不但会产生噪声，引起机械传动系统的不稳定，而且由于振动加剧，导致机车传动系统产生磨损、疲劳破坏等等实际故障，使得实际中的运行规律产生偏差，降低了传动系统工作的安全性、可靠性和工作质量，而在振动严重时，甚至可以导致齿轮或其它机械部件的损坏，这样会使得传动系统失效，从而发生严重的后果。因此，有必要对于存在齿轮振动影响的机车传动系统动力进行研究。

而齿轮传动中振动与噪声，主要是由于齿轮中啮合误差、齿间间隙和啮合刚度变化等非线性因素产生的。齿轮传动系统中的非线性因素会对传动系统的动力学特性产生影响。在实际生产与试验过程中都发现，齿轮在工作状态时会表现出典型的非线性特性，如：次谐和超谐响应、混沌振动等。因此实际上，齿轮系统是一个包含非线性因素的复杂振动系统。

对于有关存在齿轮非线性因素的传动系统动力学的研究，开始是基于线性振动理论的，在建立的模型中不考虑系统中存在的非线性因素，因此模型较为简单，理论分析相对容易；或者对非线性因素进行线性化，以解决工程中的实际问题。不过齿轮传动系统中非线性因素是始终存在的，因此不考虑非线性因素或者对其进行简化都会与实际情况产生偏差，分析的结果不能很好地反映实际情况。因此，应用非线性动力学理论，来研究齿轮中非线性因素作用下的传动系统的振动特性，对深入研究机车传动系统扭转振动的特性，减小系统的振动，提高系统的安全性与可靠性有着积极的作用。

发明内容

为了分析非线性因素对于机车传动系统扭振行为的影响，本发明提供了一种考虑齿轮非线性特性的机车传动系统扭振分析方法，应用该方法可以分析系统在自由振动以及周期性作用下的动态响应，还能够分析系统在不同振动条件下系统的共振情况。

一种基于非线性因素的机车传动系统扭振分析方法，首先建立机车传动系统的初始动力学模型，简化初始动力学模型并结合齿轮间隙，构建二自由度的扭转线性动力学模型；接着，采用渐进法对机车传动系统的扭转线性动力学模型的动态响应进行求解，包括机车传动系统在自由振动时和周期激励下的一阶解；最后，采用多尺度法分析机车传动系统在不同条件下的共振情况，得到机车传动系统的幅频方程，包括主共振特性、超谐共振特性以及亚共振特性对应的幅频方程，完成对机车传动系统扭振分析；

所述基于齿轮传动存在的间隙非线性的二自由度的扭转动力学模型，以牵引电机与轮对的相对转角作为变量，方程如下：

$\stackrel{\·\·}{x}+{\mathrm{\ω}}_{0}x=M-c\stackrel{\·}{x}-k_1{x}^3-k_2{x}^9$

其中，x为电机与轮对的相对转角，和分别是x的一阶和二阶导数；M为作用于轮对端的外力矩，ω₀为系统的固有频率，c为机车传动系统的阻尼系数，k₁与k₂为对齿轮间隙特性进行高次项拟合得到的非线性系数，J₁和J₂分别表示机车传动系统中轮对与电机的转动惯量，K为电机与轮对之间的刚度；

a与b为反映齿轮间隙特性公式中的多项式系数；

所述反映齿轮间隙特性公式为f(x)＝ax³+bx²ⁿ⁺¹，由公式 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}x-\mathrm{\&theta;}& x>\mathrm{\&theta;}\\ 0& -\mathrm{\&theta;}<x<\mathrm{\&theta;}\\ x+\mathrm{\&theta;}& x<-\mathrm{\&theta;}\end{array}\right.$ 进行多次计算获得的数据拟合获得，其中，n为大于2的整数，θ为齿轮转动时，间隙所产生的角度差值。

所述机车传动系统在自由振动与周期激励下的一阶解采用KBM法对考虑了齿轮非线性特性的动力学方程的响应进行求解获得：

机车传动系统在自由振动时的一阶解为：

其中，z表示用KBM法求解得到的响应幅值，表示用KBM法求解得到的响应中的幅角；

机车传动系统在周期激励下的一阶解为：

所述用多尺度法分析考虑齿轮非线性特性的机车传动系统在周期激励下的共振情况，得到机车传动系统的幅频方程；

当外部激励的频率ω与系统固有频率ω₀满足公式时：

当λ＝1时，机车传动系统发生主共振；

当λ＝2,3…时，机车传动系统将发生会产生超谐共振；

当λ＝1/2,1/3,…,1/n时，系统将发生会产生亚谐共振；

式中，ε表示调节参数，取值范围为0.1-0.5；σ为调谐因子；

则，机车传动系统的主共振的幅频方程如下：

$\begin{array}{c}{\left(\frac{c}{2}\mathrm{\&alpha;}\right)}^2+{\left(\mathrm{\&sigma;}\mathrm{\&alpha;}+\frac{3k_1}{8{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3+\frac{3k_1{B}^2}{{\mathrm{\&omega;}}_0}\mathrm{\&alpha;}+\frac{63k_2}{256{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^9+\frac{315k_2{B}^2}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^7+\frac{945k_2{B}^4}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^5+\frac{630k_2{B}^6}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3+\frac{315k_2{B}^8}{{\mathrm{\&omega;}}_0}\mathrm{\&alpha;}\right)}^2\\ =(\frac{3k_1{B}^3}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}+\frac{3k_{1}B}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{3k_{1}B}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{3k_1{B}^2}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}\mathrm{\&alpha;}+\frac{315k_2{B}^7}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{315k_2{B}^5}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4+\frac{945k_2{B}^5}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4+\frac{63k_{2}B}{32{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^8\\ +\frac{315k_2{B}^6}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3+\frac{315k_2{B}^4}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^5+\frac{189k_2{B}^2}{32{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^7+\frac{315k_2{B}^5}{8{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4+\frac{63k_2{B}^3}{8{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^6+\frac{63k_2{B}^4}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^5+\frac{315k_{2}B}{128{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^8\\ +\frac{315k_2{B}^3}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^6+\frac{945k_2{B}^5}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4+\frac{630k_2{B}^7}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{126k_2{B}^9}{{\mathrm{\&omega;}}_0}+\frac{252k_2{B}^8}{{\mathrm{\&omega;}}_0}\mathrm{\&alpha;}+\frac{945k_2{B}^6}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3+\frac{315k_2{B}^4}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^5\\ +\frac{315k_2{B}^2}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^7+\frac{189k_2{B}^7}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{315k_2{B}^5}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4+\frac{315k_2{B}^3}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^6+\frac{126k_2{B}^7}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{315k_2{B}^4}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^5+\frac{63k_2{B}^5}{8{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4{)}^2\end{array}$

其中，B为中间变量，F为作用于系统的外作用力，ν为外作用力的频率；α是待求的共振幅值；

机车传动系统超谐共振特性的幅频方程如下：

$\begin{array}{c}{\left(\frac{c}{2}\mathrm{\&alpha;}\right)}^2+(\mathrm{\&sigma;}\mathrm{\&alpha;}+\frac{3k_1}{8{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3+\frac{3k_1{B}^2}{{\mathrm{\&omega;}}_0}\mathrm{\&alpha;}+\frac{63k_2}{256{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^9+\frac{315k_2{B}^2}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^7+\frac{945k_2{B}^4}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^5\\ +\frac{630k_2{B}^6}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3+\frac{315k_2{B}^8}{{\mathrm{\&omega;}}_0}\mathrm{\&alpha;}{)}^2=(\frac{3k_1{B}^3}{{\mathrm{\&omega;}}_0}+\frac{315k_2{B}^3}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^6+\frac{105k_2{B}^3}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^6+\frac{315k_2{B}^5}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4\\ +\frac{21k_2{B}^3}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^6+\frac{945k_2{B}^5}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4+\frac{189k_2{B}^7}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{63k_2{B}^6}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3+\frac{378k_2{B}^7}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{84k_2{B}^9}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{)}^2\end{array}$

机车传动系统亚谐共振特性的幅频方程如下：

$\begin{array}{c}{\left(\frac{3c}{2}\mathrm{\&alpha;}\right)}^2+(\mathrm{\&sigma;}\mathrm{\&alpha;}-\frac{9k_1}{8{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3-\frac{9k_1{B}^2}{{\mathrm{\&omega;}}_0}\mathrm{\&alpha;}-\frac{189k_2}{256{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^9-\frac{945k_2{B}^2}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^7-\frac{2835k_2{B}^4}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^5\\ -\frac{1890k_2{B}^6}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3-\frac{945k_2{B}^8}{{\mathrm{\&omega;}}_0}\mathrm{\&alpha;}{)}^2=(\frac{9k_1{B}^3}{{\mathrm{\&omega;}}_0}+\frac{945k_2{B}^3}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^6+\frac{315k_2{B}^3}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^6+\frac{945k_2{B}^5}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4\\ +\frac{63k_2{B}^3}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^6+\frac{2835k_2{B}^5}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4+\frac{567k_2{B}^7}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{189k_2{B}^6}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3+\frac{1134k_2{B}^7}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{252k_2{B}^9}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{)}^2\end{array}$

所述机车传动系统的能量传递过程是从牵引电机到齿轮箱中的小齿轮和大齿轮，再通过抱轴传递给轮对。

有益效果

本发明提供了一种基于非线性因素的机车传动系统扭振分析方法，通过分析轴悬式传动系统的结构，建立了其扭振的动力学模型，在此基础上，对该线性模型进行了简化，并考虑了机车传动系统中存在的非线性因素，得到了二自由度的扭振模型；基于机车传动系统的非线性扭振模型，在自由振动以及周期性扰动作用这两种不同的状况下，应用渐进法对动力学方程的响应进行了求解；应用多尺度法分析了系统在主共振、超谐共振以及亚谐共振下的振动情况，并分别得到了相应的幅频方程。充分考虑了非线性因素的机车传动系统动力学行为特性与作用规律，为分析传动系统的振动情况提供了理论依据。

附图说明

图1为弹性轴悬式机车传动系统原理图；

图2为应用本发明所述方法建立的二自由度扭转动力学模型。

图3为刚度系数k₂的幅频特性曲线；

图4为刚度系数k₂的幅频特性曲线；

图5为刚度系数k₂的幅频特性曲线。

具体实施方式

下面将结合附图和实施例对本发明作进一步的说明。

一种基于非线性因素的机车传动系统扭振分析方法，包括以下步骤：

第一步，建立考虑非线性特性的机车传动系统动力学模型；

Step 1：选取机车传动系统中较为典型的轴悬式传动系统进行分析，该传动机构的能量传递过程是从牵引电机到齿轮箱中的小齿轮和大齿轮，再通过抱轴传递给轮对，它的结构如附图1所示。所建立的动力学模型如下：

$\left\{\begin{array}{c}{J}_1{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_1+C_1\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{c1}\right)+K_1\left({\mathrm{\&theta;}}_1-{\mathrm{\&theta;}}_{c1}\right)=M_1\\ J_{c1}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{c1}+C_1\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{c1}-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_1\right)+R_1{C}_v\left(R_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{c1}-R_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{c2}\right)\\ +K_1\left({\mathrm{\&theta;}}_{c1}-{\mathrm{\&theta;}}_1\right)+R_1{K}_v\left(R_1{\mathrm{\&theta;}}_{c1}-R_2{\mathrm{\&theta;}}_{c2}\right)=0\\ J_{c2}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{c2}+C_t\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{c2}-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_z\right)+R_2{C}_v\left(R_2{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{c2}-R_1{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{c1}\right)\\ +K_t\left({\mathrm{\&theta;}}_{c2}-{\mathrm{\&theta;}}_z\right)+R_2{K}_v\left(R_2{\mathrm{\&theta;}}_{c2}-R_1{\mathrm{\&theta;}}_{c1}\right)=0\\ J_z{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_z+C_t\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_z-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_{c2}\right)+C_2\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_z-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_2\right)\\ +K_t\left({\mathrm{\&theta;}}_z-{\mathrm{\&theta;}}_{c2}\right)+K_2\left({\mathrm{\&theta;}}_z-{\mathrm{\&theta;}}_2\right)=0\\ J_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_2+C_2\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_z\right)+K_2\left({\mathrm{\&theta;}}_2-{\mathrm{\&theta;}}_z\right)=M_2\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，θ₁、θ_c1、θ_c2、θ_z、θ₂分别为电机、小齿轮、大齿轮、轴承、车轮的转动角度；R₁、R₂分别为小齿轮和大齿轮的节圆半径；M₁、M₂分别为电机的输出力矩和轮对受到的外力力矩；图中，根据各装置的运动特性，设以下参数：J₁、J_C1、J_C2、J_t、J₂分别表示电机、小齿轮、大齿轮、轴承、车轮的转动惯量；；K₁、K_v、K_t、K₂分别表示各个装置之间的刚度，其中K_v其表示齿轮间的综合啮合刚度；C₁、C_v、C_t、C₂分别表示各个装置之间的阻尼，其中C_v其表示齿轮间的啮合阻尼系数。

Step 2：考虑非线性因素。这里考虑机车传动系统中齿轮存在的非线性因素，在机车传动系统中，齿轮传动系统用于传递扭矩、带动轮对运行，具有效率高、结构紧凑等优点。而齿轮传动中也存在着许多非线性因素，而其中齿轮间隙是一类主要的非线性因素，其特性用如下方程表示：

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}x-\mathrm{\&theta;}& x>\mathrm{\&theta;}\\ 0& -\mathrm{\&theta;}<x<\mathrm{\&theta;}\\ x+\mathrm{\&theta;}& x<-\mathrm{\&theta;}\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，θ为齿轮转动时，间隙所产生的角度差值。

可看出齿侧间隙函数为不连续函数，对该函数均匀地取100个点，并进行高次多项式拟合，可以得到反映齿轮间隙特性的公式为：

f(x)＝ax³+bx²ⁿ⁺¹   (3)

其中，a、b是其中为拟合曲线所得到的系数。

在考虑了非线性特性后，所建立的动力学模型进行简化，得到系统的二自由度动力学方程如式(4)所示。

$\left\{\begin{array}{c}{J}_1{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_1+C\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_2\right)+K\left({\mathrm{\&theta;}}_1-{\mathrm{\&theta;}}_2\right)+a{({\mathrm{\&theta;}}_1-{\mathrm{\&theta;}}_2)}^3+b{({\mathrm{\&theta;}}_1-{\mathrm{\&theta;}}_2)}^9=M_1\\ J_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_2-C\left({\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&theta;}}}_2\right)-K\left({\mathrm{\&theta;}}_1-{\mathrm{\&theta;}}_2\right)-a{({\mathrm{\&theta;}}_1-{\mathrm{\&theta;}}_2)}^3-b{({\mathrm{\&theta;}}_1-{\mathrm{\&theta;}}_2)}^9=M_2\end{array}\right.---\left(4\right)$

以电机与轮对的相对转角作为变量，可得动力学模型如图2所示：

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}+{\mathrm{\&omega;}}_{0}x=M-c\stackrel{\&CenterDot;}{x}-k_2{x}^3-k_3{x}^9---\left(5\right)$

其中， ${\mathrm{\&omega;}}_0=\frac{(J_1+J_2)}{J_1{J}_2}K,c=\frac{(J_1+J_2)}{J_1{J}_2}C,k_1=\frac{(J_1+J_2)}{J_1{J}_2}a,k_2=\frac{(J_1+J_2)}{J_1{J}_2}b,$ K表示电机与轮对之间的刚度，C表示电机与轮对之间的阻尼。

第二步，用KBM法对考虑了齿轮非线性特性的动力学方程的响应进行求解，研究其在自由振动以及外部周期性激励的作用下的近似的解析解。当考虑传动系统在自由振动时，，方程为

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}+{\mathrm{\&omega;}}_{0}x=\mathrm{\&epsiv;}(-c\stackrel{\&CenterDot;}{x}-k_1{x}^3-k_2{x}^9)---\left(6\right)$

式中，ε为方程解中的调节参数。

下面利用KBM法对系统的响应进行求解，设系统的解为

其中，

将式(7)(8)带入式(6)的左端，同时式(6)的右端按ε的幂级数形式展开，可得

再消除永期项和可得

$\left\{\begin{array}{c}{A}_1=-\frac{cz}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}\\ B_1=\frac{k_1{z}^2}{8}+\frac{63k_2{z}^8}{256}\end{array}\right.---\left(10\right)$

从而可以得到机车传动系统在自由振动时的动力学响应为

其中

而考虑传动系统受到外部周期性激励时，方程为

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}+{\mathrm{\&omega;}}_{0}x=\mathrm{\&epsiv;}(F_{1}sin\mathrm{\&omega;}t-c\stackrel{\&CenterDot;}{x}-k_1{x}^3-k_2{x}^9)---\left(12\right)$

同样的，利用KBM法可以得到机车传动系统在周期激励下的动力学响应为

其中

第三步，分析考虑了齿轮非线性特性的机车传动系统在周期激励下的共振情况，应用多尺度法来分析机车在不同共振情况下的特性。

在非线性系统中，当外部激励的频率ω与系统固有频率ω₀满足式(14)时，系统会产生共振。

${\mathrm{\&omega;}}_0^2={\left(\mathrm{\&lambda;}\mathrm{\&omega;}\right)}^2+\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{\&sigma;}---\left(14\right)$

式中，σ为调谐因子。当λ＝1时，系统将发生主共振；当λ＝2,3…时，系统将发生会产生超谐共振；当λ＝1/2,1/3,…,1/n时，系统将发生会产生亚谐共振。

下面用多尺度法分析机车传动系统在主共振时的共振特性。已知F(t)＝Fcosνt，设动力学方程的近似解为：

x(t,ε)＝x₀(T₀,T₁)+εx₁(T₀,T₁)+…   (15)

式中，T₀,T₁分别为不同的时间尺度变量。

关于ν的导数变成关于T₀和T₁的偏导数的展开式，即

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d}{d\mathrm{\&nu;}}=D_0+{\mathrm{\&epsiv;D}}_1+...\\ \frac{d^2}{d^2\mathrm{\&nu;}}=D_0^2+2{\mathrm{\&epsiv;D}}_0{D}_1+...\end{array}\right.---\left(16\right)$

将式(15)(16)代入动力学方程中，并展开比较ε同次幂的系数，可得

$D_0^2{x}_0+{\mathrm{\&omega;}}_0^2{x}_0=Fcos\mathrm{\&nu;}t---\left(17\right)$

$\begin{array}{c}{D}_0^2{x}_1+{\mathrm{\&omega;}}_0^2{x}_1=-D_0{D}_1{x}_0\\ -c_1{D}_0{x}_0-k_1{x}_0^3-k_2{x}_0^5\end{array}---\left(18\right)$

求解式(17)，可得

x₀＝A(T₁)exp(jω₀T₀)+Bexp(jνT₀)+CC   (19)

式中，CC代表前面各项的共轭。

将式(19)带入式(18)，要消除长期项exp(±jω₀T₀)，必须满足以下该式：

$\begin{array}{c}(-2{\mathrm{j\&omega;}}_0{D}_{1}A-{\mathrm{jc\&omega;}}_{0}A-3k_1{A}^2\stackrel{\&OverBar;}{A}-6k_1{\mathrm{AB}}^2-126k_2{A}^5{\stackrel{\&OverBar;}{A}}^4-2520k_2{A}^4{\stackrel{\&OverBar;}{A}}^{3}B\stackrel{\&OverBar;}{B}\\ -7560k_2{A}^3{\stackrel{\&OverBar;}{A}}^2{B}^2{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^2-5040k_2{A}^2\stackrel{\&OverBar;}{A}{B}^3{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^3-630k_2{\mathrm{AB}}^4{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^4)-(3k_1{B}^2\stackrel{\&OverBar;}{B}+3k_1{A}^2\stackrel{\&OverBar;}{B}\\ +6k_{1}A\stackrel{\&OverBar;}{A}B+3k_1\stackrel{\&OverBar;}{A}{B}^2+1260k_2{A}^2{B}^3{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^4+5040k_1{A}^3\stackrel{\&OverBar;}{A}{B}^2{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^3+3780k_1{A}^4{\stackrel{\&OverBar;}{A}}^{2}B{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^2\\ +504k_1{A}^5{\stackrel{\&OverBar;}{A}}^3\stackrel{\&OverBar;}{B}+1260k_2{A}^3{B}^2{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^4+2520k_2{A}^4\stackrel{\&OverBar;}{A}B{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^3+756k_2{A}^5{\stackrel{\&OverBar;}{A}}^2{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^2+630k_2{A}^{4}B{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^4\\ +504k_2{A}^5\stackrel{\&OverBar;}{A}{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^3+126k_2{A}^5{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^4+630k_2{A}^4{\stackrel{\&OverBar;}{A}}^{4}B+5040k_2{A}^3{\stackrel{\&OverBar;}{A}}^3{B}^2\stackrel{\&OverBar;}{B}+7560k_2{A}^2{\stackrel{\&OverBar;}{A}}^2{B}^3{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^2\\ +2520k_{2}A\stackrel{\&OverBar;}{A}{B}^4{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^3+126k_2{B}^5{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^4+504k_2\stackrel{\&OverBar;}{A}{B}^5{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^3+3780k_{2}A{\stackrel{\&OverBar;}{A}}^2{B}^4{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^2+5040k_2{A}^2{\stackrel{\&OverBar;}{A}}^3{B}^3\stackrel{\&OverBar;}{B}\\ +1260k_2{A}^3{\stackrel{\&OverBar;}{A}}^4{B}^2+756k_2{\stackrel{\&OverBar;}{A}}^2{B}^5{\stackrel{\&OverBar;}{B}}^2+2520k_{2}A{\stackrel{\&OverBar;}{A}}^3{B}^4\stackrel{\&OverBar;}{B}+1260k_2{A}^2{\stackrel{\&OverBar;}{A}}^4{B}^3+504k_2{\stackrel{\&OverBar;}{A}}^2{B}^5\stackrel{\&OverBar;}{B}\\ +630k_{2}A{\stackrel{\&OverBar;}{A}}^4{B}^4+126k_2{\stackrel{\&OverBar;}{A}}^4{B}^5\left)\exp \right({\mathrm{j\&sigma;T}}_1)=0\end{array}---\left(20\right)$

设上式中γ＝σT₁-β,分离虚部和实部，可得幅频方程为

$\begin{array}{c}{\left(\frac{c}{2}\mathrm{\&alpha;}\right)}^2+{\left(\mathrm{\&sigma;}\mathrm{\&alpha;}+\frac{3k_1}{8{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3+\frac{3k_1{B}^2}{{\mathrm{\&omega;}}_0}\mathrm{\&alpha;}+\frac{63k_2}{256{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^9+\frac{315k_2{B}^2}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^7+\frac{945k_2{B}^4}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^5+\frac{630k_2{B}^6}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3+\frac{315k_2{B}^8}{{\mathrm{\&omega;}}_0}\mathrm{\&alpha;}\right)}^2\\ =(\frac{3k_1{B}^3}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}+\frac{3k_{1}B}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{3k_{1}B}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{3k_1{B}^2}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}\mathrm{\&alpha;}+\frac{315k_2{B}^7}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{315k_2{B}^5}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4+\frac{945k_2{B}^5}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4+\frac{63k_{2}B}{32{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^8\\ +\frac{315k_2{B}^6}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3+\frac{315k_2{B}^4}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^5+\frac{189k_2{B}^2}{32{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^7+\frac{315k_2{B}^5}{8{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4+\frac{63k_2{B}^3}{8{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^6+\frac{63k_2{B}^4}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^5+\frac{315k_{2}B}{128{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^8\\ +\frac{315k_2{B}^3}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^6+\frac{945k_2{B}^5}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4+\frac{630k_2{B}^7}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{126k_2{B}^9}{{\mathrm{\&omega;}}_0}+\frac{252k_2{B}^8}{{\mathrm{\&omega;}}_0}\mathrm{\&alpha;}+\frac{945k_2{B}^6}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3+\frac{315k_2{B}^4}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^5\\ +\frac{315k_2{B}^2}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^7+\frac{189k_2{B}^7}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{315k_2{B}^5}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4+\frac{315k_2{B}^3}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^6+\frac{126k_2{B}^7}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{315k_2{B}^4}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^5+\frac{63k_2{B}^5}{8{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4{)}^2\end{array}---\left(21\right)$

同样的，利用多尺度法得到的机车传动系统在3倍超谐共振情况下的幅频方程为

$\begin{array}{c}{\left(\frac{c}{2}\mathrm{\&alpha;}\right)}^2+(\mathrm{\&sigma;}\mathrm{\&alpha;}+\frac{3k_1}{8{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3+\frac{3k_1{B}^2}{{\mathrm{\&omega;}}_0}\mathrm{\&alpha;}+\frac{63k_2}{256{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^9+\frac{315k_2{B}^2}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^7+\frac{945k_2{B}^4}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^5\\ +\frac{630k_2{B}^6}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3+\frac{315k_2{B}^8}{{\mathrm{\&omega;}}_0}\mathrm{\&alpha;}{)}^2=(\frac{3k_1{B}^3}{{\mathrm{\&omega;}}_0}+\frac{315k_2{B}^3}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^6+\frac{105k_2{B}^3}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^6+\frac{315k_2{B}^5}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4\\ +\frac{21k_2{B}^3}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^6+\frac{945k_2{B}^5}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4+\frac{189k_2{B}^7}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{63k_2{B}^6}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3+\frac{378k_2{B}^7}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{84k_2{B}^9}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{)}^2\end{array}---\left(22\right)$

以及机车传动系统在3倍亚谐共振情况下的幅频方程为

$\begin{array}{c}{\left(\frac{3c}{2}\mathrm{\&alpha;}\right)}^2+(\mathrm{\&sigma;}\mathrm{\&alpha;}-\frac{9k_1}{8{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3-\frac{9k_1{B}^2}{{\mathrm{\&omega;}}_0}\mathrm{\&alpha;}-\frac{189k_2}{256{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^9-\frac{945k_2{B}^2}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^7-\frac{2835k_2{B}^4}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^5\\ -\frac{1890k_2{B}^6}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3-\frac{945k_2{B}^8}{{\mathrm{\&omega;}}_0}\mathrm{\&alpha;}{)}^2=(\frac{9k_1{B}^3}{{\mathrm{\&omega;}}_0}+\frac{945k_2{B}^3}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^6+\frac{315k_2{B}^3}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^6+\frac{945k_2{B}^5}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4\\ +\frac{63k_2{B}^3}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^6+\frac{2835k_2{B}^5}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4+\frac{567k_2{B}^7}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{189k_2{B}^6}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3+\frac{1134k_2{B}^7}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{252k_2{B}^9}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{)}^2\end{array}---\left(23\right)$

图3为刚度系数k₂的幅频特性曲线，各参数取值如下：c₁＝15N·s/m，k₁＝10N/m，B＝2N，ω₀＝14Hz，k₂分别取5N/m、10N/m和1N/m。图中从上到下k₂依次增加，可以看出，k₂增大会使共振的幅度减小，但曲线的位置不会发生移动。

图4为刚度系数k₂的幅频特性曲线，各参数取值如下：c₁＝15N·s/m，k₂＝10N/m，B＝2N，ω₀＝14Hz，k₂分别取5N/m、10N/m和15N/m。图中从上到下k₂依次增加，可以看出，k₂的增大会减小共振的幅度，同时共振的区域也会向下移动。

图5为刚度系数k₂的幅频特性曲线，各参数取值如下：c₁＝15N/m，k₁＝20N/m，B＝2N，ω₀＝14Hz，k₂分别取5N·s/m、10N·s/m和15N·s/m。图中从外到里k₂依次增加，可以看出，k₂的增大会使共振的幅度会相应减小，同时共振的区域也会相应缩小。

通过分析系统的幅频方程和幅频曲线可以看出，在齿轮的间隙非线性因素影响下，机车传动系统表现出了一些非线性动力学特性，如次谐响应、超谐响应等，而这一特性与一些试验过程中的发现是相符的。随着生产的发展以及科学技术的不断进步，齿轮传动逐渐向高速和重载的方向发展，这使得齿轮振动与噪声问题变得越来越突出。齿轮的振动会降低机车传动系统的安全性、可靠性和工作质量，严重时甚至可以导致齿轮或其它机件的破坏，使传动系统失效而发生严重的后果。而齿轮的间隙特性会激起齿轮的振动，产生噪声，从而影响机车传动系统的动力学特性。通过分析发现，减小齿轮的间隙会减少机车传动系统中的共振现象，这对于消除非线性特性对于机车传动系统的影响，维持机车系统正常运行有积极的作用。

Claims (4)

1.一种基于非线性因素的机车传动系统扭振分析方法，其特征在于，首先建立机车传动系统的初始动力学模型，简化初始动力学模型并结合齿轮间隙，构建二自由度的扭转线性动力学模型；接着，采用渐进法对机车传动系统的扭转线性动力学模型的动态响应进行求解，包括机车传动系统在自由振动时和周期激励下的一阶解；最后，采用多尺度法分析机车传动系统在不同条件下的共振情况，得到机车传动系统的幅频方程，包括主共振特性、超谐共振特性以及亚共振特性对应的幅频方程，完成对机车传动系统扭振分析；

所述基于齿轮传动存在的间隙非线性的二自由度的扭转动力学模型，以牵引电机与轮对的相对转角作为变量，方程如下：

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}+{\mathrm{\&omega;}}_{0}x=M-c\stackrel{\&CenterDot;}{x}-k_1{x}^3-k_2{x}^9$

其中，x为电机与轮对的相对转角，和分别是x的一阶和二阶导数；M为作用于轮对端的外力矩，ω₀为系统的固有频率，c为机车传动系统的阻尼系数，k₁与k₂为对齿轮间隙特性进行高次项拟合得到的非线性系数，J₁和J₂分别表示机车传动系统中轮对与电机的转动惯量，K为电机与轮对之间的刚度；

a与b为反映齿轮间隙特性公式中的多项式系数；

所述反映齿轮间隙特性公式为f(x)＝ax³+bx²ⁿ⁺¹，由公式 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}x-\mathrm{\&theta;}& x>\mathrm{\&theta;}\\ 0& -\mathrm{\&theta;}<x<\mathrm{\&theta;}\\ x+\mathrm{\&theta;}& x<-\mathrm{\&theta;}\end{array}\right.$ 进行多次计算获得的数据拟合获得，其中，n为大于2的整数，θ为齿轮转动时，间隙所产生的角度差值。

2.根据权利要求1所述的一种基于非线性因素的机车传动系统扭振分析方法，其特征在于，所述机车传动系统在自由振动与周期激励下的一阶解采用KBM法对考虑了齿轮非线性特性的动力学方程的响应进行求解获得：

机车传动系统在自由振动时的一阶解为：

其中，z表示用KBM法求解得到的响应幅值，表示用KBM法求解得到的响应中的幅角；

机车传动系统在周期激励下的一阶解为：

3.根据权利要求2所述的一种基于非线性因素的机车传动系统扭振分析方法，其特征在于，所述用多尺度法分析考虑齿轮非线性特性的机车传动系统在周期激励下的共振情况，得到机车传动系统的幅频方程；

当外部激励的频率ω与系统固有频率ω₀满足公式时：

当λ＝1时，机车传动系统发生主共振；

当λ＝2,3…时，机车传动系统将发生会产生超谐共振；

当λ＝1/2,1/3,…,1/n时，系统将发生会产生亚谐共振；

式中，ε表示调节参数，取值范围为0.1-0.5；σ为调谐因子；

机车传动系统的主共振的幅频方程如下：

$\begin{array}{c}{\left(\frac{c}{2}\mathrm{\&alpha;}\right)}^2+{\left(\mathrm{\&sigma;}\mathrm{\&alpha;}+\frac{3k_1}{8{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3+\frac{3k_1{B}^2}{{\mathrm{\&omega;}}_0}\mathrm{\&alpha;}+\frac{63k_2}{256{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^9+\frac{315k_2{B}^2}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^7+\frac{945k_2{B}^4}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^5+\frac{630k_2{B}^6}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3+\frac{315k_2{B}^8}{{\mathrm{\&omega;}}_0}\mathrm{\&alpha;}\right)}^2\\ =(\frac{3k_1{B}^3}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}+\frac{3k_{1}B}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{3k_{1}B}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{3k_1{B}^2}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}\mathrm{\&alpha;}+\frac{315k_2{B}^7}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{315k_2{B}^5}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4+\frac{945k_2{B}^5}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4+\frac{63k_{2}B}{32{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^8\\ +\frac{315k_2{B}^6}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3+\frac{315k_2{B}^4}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^5+\frac{189k_2{B}^2}{32{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^7+\frac{315k_2{B}^5}{8{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4+\frac{63k_2{B}^3}{8{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^6+\frac{63k_2{B}^4}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^5+\frac{315k_{2}B}{128{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^8\\ +\frac{315k_2{B}^3}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^6+\frac{945k_2{B}^5}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4+\frac{630k_2{B}^7}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{126k_2{B}^9}{{\mathrm{\&omega;}}_0}+\frac{252k_2{B}^8}{{\mathrm{\&omega;}}_0}\mathrm{\&alpha;}+\frac{945k_2{B}^6}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3+\frac{315k_2{B}^4}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^5\\ {+\frac{315k_2{B}^2}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^7+\frac{189k_2{B}^7}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{315k_2{B}^5}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4+\frac{315k_2{B}^3}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^6+\frac{126k_2{B}^7}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{315k_2{B}^4}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^5+\frac{63k_2{B}^5}{8{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4)}^2\end{array}$

其中，B为中间变量，F为作用于系统的外作用力，ν为外作用力的频率；α是待求的共振幅值；

机车传动系统超谐共振特性的幅频方程如下：

$\begin{array}{c}{\left(\frac{c}{2}a\right)}^2+(\mathrm{\&sigma;}\mathrm{\&alpha;}+\frac{3k_1}{8{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3+\frac{3k_1{B}^2}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^9+\frac{63k_2}{256{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^9+\frac{315k_2{B}^2}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^7+\frac{945k_2{B}^4}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^5\\ {+\frac{630k_2{B}^6}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3+\frac{315k_2{B}^8}{{\mathrm{\&omega;}}_0}\mathrm{\&alpha;})}^2=(\frac{3k_1{B}^3}{{\mathrm{\&omega;}}_0}+\frac{315k_2{B}^3}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^6+\frac{105k_2{B}^3}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^6+\frac{315k_2{B}^5}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4\\ {+\frac{21k_2{B}^3}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^6+\frac{945k_2{B}^4}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4+\frac{189k_2{B}^7}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{63k_2{B}^6}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3+\frac{378k_2{B}^7}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{84k_2{B}^9}{{\mathrm{\&omega;}}_0})}^2\end{array}$

机车传动系统亚谐共振特性的幅频方程如下：

$\begin{array}{c}{\left(\frac{3c}{2}a\right)}^2+(\mathrm{\&sigma;}\mathrm{\&alpha;}-\frac{9k_1}{8{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3-\frac{9k_1{B}^2}{{\mathrm{\&omega;}}_0}\mathrm{\&alpha;}-\frac{189k_2}{256{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^9-\frac{945k_2{B}^2}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^7-\frac{2835k_2{B}^4}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^5\\ {-\frac{1890k_2{B}^6}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3-\frac{945k_2{B}^8}{{\mathrm{\&omega;}}_0}\mathrm{\&alpha;})}^2=(\frac{9k_1{B}^3}{{\mathrm{\&omega;}}_0}+\frac{945k_2{B}^3}{16{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^6+\frac{315k_2{B}^3}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^6+\frac{945k_2{B}^5}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4\\ {+\frac{63k_2{B}^3}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^6+\frac{2835k_2{B}^5}{4{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^4+\frac{567k_2{B}^7}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{189k_2{B}^6}{2{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^3+\frac{1134k_2{B}^7}{{\mathrm{\&omega;}}_0}{\mathrm{\&alpha;}}^2+\frac{252k_2{B}^9}{{\mathrm{\&omega;}}_0})}^2\end{array}$

4.根据权利要求1-3任一项所述的一种基于非线性因素的机车传动系统扭振分析方法，其特征在于，所述机车传动系统的能量传递过程是从牵引电机到齿轮箱中的小齿轮和大齿轮，再通过抱轴传递给轮对。