KR101944422B1 - 실차 드라이브라인 시스템 내 간극형태의 비선형해석을 위한 신개념 평활함수 효과 및 효용성 분석 방법 - Google Patents
실차 드라이브라인 시스템 내 간극형태의 비선형해석을 위한 신개념 평활함수 효과 및 효용성 분석 방법 Download PDFInfo
- Publication number
- KR101944422B1 KR101944422B1 KR1020170015487A KR20170015487A KR101944422B1 KR 101944422 B1 KR101944422 B1 KR 101944422B1 KR 1020170015487 A KR1020170015487 A KR 1020170015487A KR 20170015487 A KR20170015487 A KR 20170015487A KR 101944422 B1 KR101944422 B1 KR 101944422B1
- Authority
- KR
- South Korea
- Prior art keywords
- smoothing function
- function
- smoothing
- gear
- analysis
- Prior art date
- Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)
- Active
Links
- 238000009499 grossing Methods 0.000 title claims abstract description 80
- 238000004458 analytical method Methods 0.000 title claims abstract description 35
- 238000000034 method Methods 0.000 title claims abstract description 14
- 230000000694 effects Effects 0.000 title claims description 25
- 238000004088 simulation Methods 0.000 claims abstract description 22
- 230000008859 change Effects 0.000 claims description 13
- 238000006073 displacement reaction Methods 0.000 claims description 13
- 230000004044 response Effects 0.000 abstract description 14
- 230000035939 shock Effects 0.000 abstract description 8
- 230000006399 behavior Effects 0.000 description 17
- 230000005284 excitation Effects 0.000 description 8
- 230000005540 biological transmission Effects 0.000 description 5
- 230000033001 locomotion Effects 0.000 description 5
- 238000013016 damping Methods 0.000 description 3
- 238000011161 development Methods 0.000 description 3
- 238000005312 nonlinear dynamic Methods 0.000 description 3
- 230000007423 decrease Effects 0.000 description 2
- 238000013178 mathematical model Methods 0.000 description 2
- 239000011159 matrix material Substances 0.000 description 2
- 230000003252 repetitive effect Effects 0.000 description 2
- 238000010408 sweeping Methods 0.000 description 2
- 241000700159 Rattus Species 0.000 description 1
- 230000006978 adaptation Effects 0.000 description 1
- 230000003466 anti-cipated effect Effects 0.000 description 1
- 238000004364 calculation method Methods 0.000 description 1
- 230000000739 chaotic effect Effects 0.000 description 1
- 238000002474 experimental method Methods 0.000 description 1
- IAPHXJRHXBQDQJ-ODLOZXJASA-N jacobine Natural products O=C1[C@@]2([C@H](C)O2)C[C@H](C)[C@](O)(C)C(=O)OCC=2[C@H]3N(CC=2)CC[C@H]3O1 IAPHXJRHXBQDQJ-ODLOZXJASA-N 0.000 description 1
- 238000005259 measurement Methods 0.000 description 1
- 238000012986 modification Methods 0.000 description 1
- 230000004048 modification Effects 0.000 description 1
- 230000000737 periodic effect Effects 0.000 description 1
- 230000008569 process Effects 0.000 description 1
- 238000001228 spectrum Methods 0.000 description 1
- 230000003068 static effect Effects 0.000 description 1
- 230000036962 time dependent Effects 0.000 description 1
Images
Classifications
-
- G—PHYSICS
- G05—CONTROLLING; REGULATING
- G05B—CONTROL OR REGULATING SYSTEMS IN GENERAL; FUNCTIONAL ELEMENTS OF SUCH SYSTEMS; MONITORING OR TESTING ARRANGEMENTS FOR SUCH SYSTEMS OR ELEMENTS
- G05B23/00—Testing or monitoring of control systems or parts thereof
- G05B23/02—Electric testing or monitoring
- G05B23/0205—Electric testing or monitoring by means of a monitoring system capable of detecting and responding to faults
- G05B23/0259—Electric testing or monitoring by means of a monitoring system capable of detecting and responding to faults characterized by the response to fault detection
- G05B23/0286—Modifications to the monitored process, e.g. stopping operation or adapting control
- G05B23/0294—Optimizing process, e.g. process efficiency, product quality
-
- G—PHYSICS
- G05—CONTROLLING; REGULATING
- G05B—CONTROL OR REGULATING SYSTEMS IN GENERAL; FUNCTIONAL ELEMENTS OF SUCH SYSTEMS; MONITORING OR TESTING ARRANGEMENTS FOR SUCH SYSTEMS OR ELEMENTS
- G05B23/00—Testing or monitoring of control systems or parts thereof
- G05B23/02—Electric testing or monitoring
-
- G—PHYSICS
- G05—CONTROLLING; REGULATING
- G05B—CONTROL OR REGULATING SYSTEMS IN GENERAL; FUNCTIONAL ELEMENTS OF SUCH SYSTEMS; MONITORING OR TESTING ARRANGEMENTS FOR SUCH SYSTEMS OR ELEMENTS
- G05B23/00—Testing or monitoring of control systems or parts thereof
- G05B23/02—Electric testing or monitoring
- G05B23/0205—Electric testing or monitoring by means of a monitoring system capable of detecting and responding to faults
- G05B23/0218—Electric testing or monitoring by means of a monitoring system capable of detecting and responding to faults characterised by the fault detection method dealing with either existing or incipient faults
- G05B23/0243—Electric testing or monitoring by means of a monitoring system capable of detecting and responding to faults characterised by the fault detection method dealing with either existing or incipient faults model based detection method, e.g. first-principles knowledge model
-
- G—PHYSICS
- G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
- G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
- G06F17/00—Digital computing or data processing equipment or methods, specially adapted for specific functions
- G06F17/10—Complex mathematical operations
Landscapes
- Engineering & Computer Science (AREA)
- Physics & Mathematics (AREA)
- General Physics & Mathematics (AREA)
- Data Mining & Analysis (AREA)
- Theoretical Computer Science (AREA)
- Mathematical Physics (AREA)
- Automation & Control Theory (AREA)
- Mathematical Analysis (AREA)
- Computational Mathematics (AREA)
- Mathematical Optimization (AREA)
- Algebra (AREA)
- Pure & Applied Mathematics (AREA)
- Databases & Information Systems (AREA)
- Software Systems (AREA)
- General Engineering & Computer Science (AREA)
- Quality & Reliability (AREA)
- Testing Of Devices, Machine Parts, Or Other Structures Thereof (AREA)
Abstract
본 발명은 새로운 개념의 평활함수를 개발하고, 실차 시스템 모델에 적용함으로써 해석 시 평활함수의 효용성 및 적용성을 높여 기본적인 수퍼 하모닉 요소를 포함하는 기어 충격 현상에 대한 시스템의 응답특성을 해석할 수 있도록 한 실차 드라이브라인 시스템 내 간극형태의 비선형해석을 위한 신개념 평활함수 효과 및 효용성 분석 방법에 관한 것으로서, n차 다항식 함수를 사용하여 평활함수 모델을 사용하는 단계; 특정 범위에 따라 상기 평활함수 모델의 핵심 요소인 평활함수 계수(ε2)를 검증하는 단계; 및 기어 충격 조건에 초점을 맞춤으로써 하모닉 균형 방법 (HBM)을 기반으로 상기 평활함수 모델을 이용한 시뮬레이션의 영향을 조사하는 단계;를 포함하여 구성되어 실차 드라이브라인 시스템 내 간극형태의 비선형해석을 함에 있어서 오류가 적은 평활함수 모델을 제공하는 효과가 있다.
Description
본 발명은 실차 드라이브라인 시스템 내 간극형태의 비선형해석을 위한 신개념 평활함수 효과 및 효용성 분석 방법에 관한 것으로서, 더욱 상세하게는 새로운 개념의 평활함수를 개발하고, 실차 시스템 모델에 적용함으로써 해석 시 평활함수의 효용성 및 적용성을 높여 기본적인 수퍼 하모닉 요소를 포함하는 기어 충격 현상에 대한 시스템의 응답특성을 해석할 수 있도록 한 실차 드라이브라인 시스템 내 간극형태의 비선형해석을 위한 신개념 평활함수 효과 및 효용성 분석 방법에 관한 것이다.
1. 소개
기어 백래쉬로부터 기인하는 불연속 거동 특성은, 비선형 회전체 시스템 해석 시, 수렴성 문제를 종종 야기시킨다. 이와 같은 불연속성을 갖는 간극 형태의 비선형성은 수학적으로 평활함수(Smoothening functions)를 이용하여 정의될 수 있는데, 이와 같은 수학모델은 불연속 구간에서의 시스템 거동 현상을 연속적으로 해석할 수 있게 해준다. 하지만, 평활함수의 기능은 구체적으로 잘 알려져 있지 않고, 특히 여러 비선형 조건하에서는 예측하기가 어렵다는 문제점이 있다.
기어 백래시와 같은 간극 형태의 비선형성은 실차 시스템에서 비선형 동적 응답을 시뮬레이션할 때 수렴 문제와 관련이 있다. 간극 자체는 접촉 또는 비접촉 거동으로 인한 불연속성이 포함된다. 이전의 기술에서는 평활함수로 시간 변화 강성 모델 또는 간극 형태(clearance-type)의 비선형 모델을 개발하기 위해 수행되어 왔다. 예를 들어, Shen등의 연구자들은 백래시, 시간에 따른 강성 및 정적 동력전달 오류를 포함시킴으로써 평 기어 쌍의 동적 모델을 수립했다. Rao 등의 연구자들은 샤프트의 비틀림 유연성과 기어의 매시(mesh)가 시간에 따라 달라지는 강성을 고려하여 2 단 기어 시스템의 비틀림 불안정성을 연구하였다.
Al-shayyab과 Kahraman의 연구자들은 비선형 시간 변화 동적 모델을 사용하여 멀티 메시 기어 열에서 서브하모닉(sub-harmonic) 및 카오스거동(chaotic motions)을 조사했다. Raghothama와 Narayanan의 연구자들은 정현파 가진 조건 하에서 파라메트릭 가진을 야기하는 기어드 로터 시스템의 3 자유도(3-degree-of-freedom, DOF)의 비선형 모델의 주기 거동을 얻기 위해 증가 하모닉 균형 방법을 사용했다. Wong 등의 연구자들은 증가 하모닉 균형 방법을 사용하여 복원력의 비선형성을 제시했다. Kim등의 연구자들은 선택된 평활함수가 여러 평탄화 인자에 의해 사용되었을 때 비선형 주파수 응답 특성에서의 차이를 보여 주었다. 평활함수는 많은 이전 연구 [9-12]에서 기계 시스템의 간극이나 비선형성을 시뮬레이션하는 데에도 사용되었다.
김 등의 연구자들에 의한 평활함수의 효과에 대한 실험은 이상적인 시스템 파라미터의 단일 DOF(single DOF)를 갖는 단순한 비틀림 모델에 국한되었다. 일반적으로 시스템의 동적 조건은 WOT(Wide-Open-Throttle) 상태의 기어 래틀과 같은 진동 충격에 의해 영향을 받는 경우 시뮬레이션 수행 시 특히 더 큰 어려움을 초래할 수 있다. 심각한 기어 충격 조건에서 기어 메쉬 강성은 0에서 2.7 × 108 N ㆍ m-1 (또는 2.7 × 108에서 0 N ㆍ m-1)까지 갑자기 변화한다. 또한, 이전의 연구는 하이퍼 볼릭 탄젠트 또는 아크 탄젠트 함수를 사용하여 특정 평활함수에 초점을 두었는데, 이것은 실제 시스템에서 기어 충돌 거동에 관한 수렴 문제를 극복하기에 충분하지 않다는 문제점이 있다.
Yoon, J.Y., Singh, R.: Effect of multi-staged clutch damper characteristics on transmission gear rattle under two engine conditions. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part D: Journal of Automobile Engineering 227(9), 1273-1294 (2013)
Yoon, J.Y., Lee, I.J.: Nonlinear analysis of vibro-impacts for unloaded gear pairs with various excitation and system parameters. ASME Journal of Vibration and Acoustics 136(3), 031010 (2014). doi: 10.1115/1.4026927
Shen, Y., Yang, S. , Liu, X.: Nonlinear dynamics of a spur gear pair with time-varying stiffness and backlash based on incremental harmonic balance method, International Journal of Mechanical Sciences 48, 1256-1263 (2006).
Rao, Z., Zhou, C.Y., Deng, Z.H., Fu, M.Y.: Nonlinear torsional instabilities in two-stage gear systems with flexible shafts, International Journal of Mechanical Sciences 82, 60-66 (2014).
Al-shyyab, A., Kahraman, A.: Non-linear dynamic analysis of a multi-mesh gear train using multi-term harmonic balance method: sub-harmonic motions. Journal of Sound and Vibration 279, 417-451 (2005).
Raghothama, A., Narayanan, S.: Bifurcation and chaos in geared rotor bearing system by incremental harmonic balance method. Journal of Sound and Vibration 226(3), 469-492 (1999).
Wong, C.W., Zhang, W.S., Lau, S.L.: Periodic forced vibration of unsymmetrical piecewise-linear systems by incremental harmonic balance method. Journal of Sound and Vibration 48, 1256-1263 (2006).
Kim, T.C., Rook, T.E., Singh, R.: Effect of smoothening functions on the frequency response of an oscillator with clearance non-linearity. Journal of Sound and Vibration 263, 665-678 (2003).
Yoon, J.Y., Yoon, H.S.: Nonlinear frequency response analysis of a multi-stage clutch damper with multiple nonlinearities. ASME Journal of Computational and Nonlinear Dynamics 9(3), 031007 (2014). doi:10.1115/1.4026036
Yoon, J.Y., Lee, H.I.: Dynamic vibratory motion analysis of a multi-degree-of-freedom torsional system with strongly stiff nonlinearities. Proc. IMechE Part C: Journal of Mechanical Engineering Science 229, 1399-1414 (2015).
Duan, C., Singh, R.: Forced vibration of a torsional oscillator with Coulomb friction under a periodically varying normal load. Journal of Sound and Vibration 325, 499-506 (2009).
Duan, C., Singh, R.: Dynamic analysis of preload nonlinearity in a mechanical oscillator. Journal of Sound and Vibration 301, 963-978 (2007).
Peng, Z.K., Lang, Z.Q., Billings, S.A., Tomlinson, G.R.: Comparison between harmonic balance and nonlinear output frequency response function in nonlinear system analysis. Journal of Sound and Vibration 311, 56-73 (2008).
Chen, Y.M., Liu, J.K., Meng, G.: Incremental harmonic balance method for nonlinear flutter of an airfoil with uncertain-but-bounded parameters. Applied Mathematical Modelling 36, 657-667 (2012).
Genesio, R., Tesi, A.: Harmonic balance methods for the analysis of chaotic dynamics in nonlinear systems. Automatica 28(3), 531-548 (1992).
Masiani, R., Capecchi, D., Vestroni, F.: Resonant and coupled response of hysteretic two-degree-of-freedom systems using harmonic balance method. International Journal of Non-Linear Mechanics 37, 1421-1434 (2002).
Ben-Gal, N., Moore, K.S.: Bifurcation and stability properties of periodic solutions to two nonlinear spring-mass systems. Nonlinear Analysis 61, 1015-1030 (2005).
Wang, C.C.: Application of a hybrid method to the nonlinear dynamic analysis of a flexible rotor supported by a spherical gas-lubricated bearing system. Nonlinear Analysis 70, 2035-2053 (2009).
Sundararajan, P., Noah, S.T.: Dynamics of forced nonlinear systems using shooting/arc-length continuation method-application to rotor systems. Transactions of the ASME Journal of Vibration and Acoustics 119, 9-20 (1997).
Sundararajan, P., Noah, S.T.: An algorithm for response and stability of large order non-linear systems-application to rotor systems. Journal of Sound and Vibration 214(4), 695-723 (1998).
Lee, J.H., Singh, R.: Nonlinear frequency responses of quarter vehicle models with amplitude-sensitive engine mounts. Journal of Sound and Vibration 313, 784-805 (2008).
Von Groll, G., Ewins, D.J.: The harmonic balance method with arc-length continuation in rotor/stator contact problems. Journal of Sound and Vibration 241(2), 223-233 (2001).
Deconinck, B., Nathan Kutz, J.: Computing spectra of linear operators using the Floquet-Fourier-Hill method. Journal of Computational Physics 219, 296-321 (2006).
Duan, C., Rook, T.E., Singh, R.: Sub-harmonic Resonance in a Nearly Pre-loaded Mechanical Oscillator. Nonlinear Dynamics 50(3), 639-650 (2007).
Karagiannis, K., Pfeiffer, F.: Theoretical and experimental investigations of gear-rattling. Nonlinear Dynamics 2, 367-387 (1991).
따라서 본 발명은 전술한 종래기술의 문제점을 해결하기 위한 것으로서, 본 발명의 목적은 이전 모델과 비교하여 n 차 다항식 함수를 사용하여 새로운 평활함수 모델을 제안하기 위한 실차 드라이브라인 시스템 내 간극형태의 비선형해석을 위한 신개념 평활함수 효과 및 효용성 분석 방법을 제공하기 위한 것이다.
또한 본 발명은 특정 범위에 따라 새로운 평활함수 모델의 핵심 요소를 검증하며, 기어 충격 조건에 초점을 맞춤으로써 하모닉 균형 방법(Harmonic Balance Method, HBM)을 기반으로 시뮬레이션의 한계를 조사하는 실차 드라이브라인 시스템 내 간극형태의 비선형해석을 위한 신개념 평활함수 효과 및 효용성 분석 방법을 제공하기 위한 것이다.
상술한 목적을 달성하기 위한 실차 드라이브라인 시스템 내 간극형태의 비선형해석을 위한 신개념 평활함수 효과 및 효용성 분석 방법은, n차 다항식 함수를 사용하여 평활함수 모델을 사용하는 단계; 특정 범위에 따라 상기 평활함수 모델의 핵심 요소인 평활함수 계수(ε2)를 검증하는 단계; 및 기어 충격 조건에 초점을 맞춤으로써 하모닉 균형 방법 (HBM)을 기반으로 상기 평활함수 모델을 이용한 시뮬레이션의 영향을 조사하는 단계;를 포함하여 구성된다.
상기 평활함수 모델은, 불연속 영역에서 기어 메쉬 힘의 변화를 평활할 수 있도록 구성될 수 있다.
상기 평활함수 모델은, 실차 시스템에 있어서 하중을 받는 모든 기어는 시스템의 동적 특성을 변화시키지 않고 입력축에 집중하는 것으로 가정하고, 하나의 무부하 기어 쌍에만 초점을 맞추어 진동 충격 현상을 검사하며, 사용된 기어 쌍은 동적 조건 하에서 오류가 없도록 기하학적으로 이상적이라는 가정하에 진행되도록 구성될 수 있다.
평활함수 계수(ε2)를 검증하는 단계에서, 상기 평활함수의 계수(ε2)의 값을 높이면 수렴 문제가 제거되고, 평활함수 계수(ε2)가 특정값을 초과하면 심각한 오류가 발생하며, 평활함수 계수(ε2)가 진동 충격이 발생하지 않는 주파수 범위에서 설정되면 심각한 오류가 발생하는 것일 수 있다.
시뮬레이션의 영향을 조사하는 단계에서, HBM을 사용하여 해석된 진동 충격이 여전히 나타나는 것일 수 있다.
상기 평활함수 모델은 수학적으로 정의되며, 다음의 수학식으로 나타내도록 구성될 수 있다.
상기 수학식에서 ε1과 ε2는 b/2 또는 -b/2로부터의 거리이며, b/2 또는 -b/2의 영역에서 평활 변화를 생성하기 위해 n차 다항식 함수(
또는 
)가 각각 사용되며, ρu는 기어 쌍의 병진 상대 변위를 나타낸다.
다항식 함수는 먼저 접선 방향으로 
의 범위 (또는 
)에서의 
(또는 
) 의 직선과 접촉해야 하므로 접점의 미분 값은 기어 메쉬의 강성인 접선 kg(2.7 × 108 N ㆍ m-1)의 기울기와 같고, 다항식 함수 
(또는 
)는 ρu 축 상에서 B1(또는 -B1)만큼 이동하며, 홀수는 -b/2와 b/2 사이의 영역에서 실차 시스템에서는 발생하지 않는 Fgu(ρu)(무부하 기어 쌍의 병진 상대 변위(ρu)의 관점에서 입력축과 무부하 기어 사이의 기어 메쉬 힘)가 0 N 이하로 계산될 수 있기 때문에 차수 n은 짝수 이여야 하고, 따라서, 상기 수학식의 Fgu(ρu)는 다음의 수학식로 유도될 수 있다.
여기서, 
, 
, 
, 
, 
및 
로 정의될 수 있으며, U3(θn1)은 θn1에서의 스텝 함수이며, U3(θp1)은 θp1에서의 스텝함수이고, U3(θp2)는 θp2에서의 스텝함수이다.
따라서 본 발명의 실차 드라이브라인 시스템 내 간극형태의 비선형해석을 위한 신개념 평활함수 효과 및 효용성 분석 방법은 이전 모델과 비교하여 n 차 다항식 함수를 사용하여 새로운 평활함수 모델을 제안함으로써, 실차 드라이브라인 시스템 내 간극형태의 비선형해석을 함에 있어서 오류가 적은 평활함수 모델을 제공하는 효과가 있다.
또한 본 발명의 실차 드라이브라인 시스템 내 간극형태의 비선형해석을 위한 신개념 평활함수 효과 및 효용성 분석 방법은 특정 범위에 따라 새로운 평활함수 모델의 핵심 요소를 검증하며, 기어 충격 조건에 초점을 맞춤으로써 하모닉 균형 방법(Harmonic Balance Method, HBM)을 기반으로 시뮬레이션의 한계를 검토함으로써, 본 발명의 시스템 및 다른 여러 형태의 비선형 시스템에 대해 일반적인 수치해석(Numerical Simulation)과 같은 다른 해석 기반으로부터 얻은 결과 대비 효과가 있음을 명확하게 나타낼 수 있는 효과가 있다.
도 1은 프론트 엔진과 프론트 휠 레이아웃을 가진 비틀림 시스템. : (a) 수동 변속기가 있는 실차 동력 전달 장치, (b)는 기어 메쉬 힘을 가진 개략도.
도 2는 엔진 여기 조건 하에서 기어 쌍의 비선형 거동을 나타냄 : (a) 진동 충격 하에서의 기어 접촉 조건, (b) 예상 기어 메쉬 힘과 기어 백래쉬 영역을 나타냄.
도 3은 두 개의 수치 단위 스텝 함수의 비교를 나타냄.
.
도 4는 다양한 차수에 따른 평활함수 모델 I1II를 나타냄 : (a) 모델 III와 다른 차수들의 비교; (b) 서로 상이한 차수에 따른 ε1.
.
도 5는 ε2를 갖는 모델 III의 평활화 기능을 나타냄 : (a) 모델 III과 ε2의 다른 값과의 비교, (b) ε 1 vs. ε 2.
.
도 6은 3 가지 평활함수의 비교를 나타냄 : (a) 평활함수의 비교 모델 I, II 및 III; (b) -b/2 영역에서 모델 I, II 및 III의 평활 효과; (c) b/2 영역에서 모델 I, II 및 III로의 평활 효과.
도 7은 평활함수 모델 I, II 및 III을 이용한 HBM (Nmax = 6)의 비교를 나타냄 :
도 8은 HBM과 NS 결과의 비교를 나타냄 :
도 9는 시간 영역에서 상이한 여기 조건 하에서 HBM과 NS에 따른 상대 변위의 비교를 나타냄 : (a)
= 0.825에서의 δ1(t) 및 δ2(t)의 시간 이력; (b)
= 1.0에서의 δ1(t) 및 δ2(t)의 시간 이력을 나타냄.
도 10은 시간 영역에서 상이한 여기 조건 하에서 HBM 및 NS에 따른 기어 메쉬 힘의 비교 : (a)
= 0.825에서의 Fgu(t)의 시간 이력; (b) 
= 1.0에서의 Fgu(t)의 시간 이력을 나타냄. 
도 11은 주파수 영역에서 상이한 가진 조건 하에서 HBM과 NS의 상대 변위 비교를 나타냄 : (a)
= 0.825에서의 δ2(t)의 FFT 결과; (b) 
= 1.0에서의 δ2(t)의 FFT 결과를 나타냄. 
도 12는 주파수 영역에서 상이한 가진 조건 하에서 HBM 및 NS와의 기어 메쉬 힘의 비교 : (a)
= 0.825에서의 Fgu(t)의 FFT 결과; (b) 
= 1.0에서의 Fgu(t)의 FFT 결과를 나타냄. 
도 13은 평활함수 모델 III 에 따른 ε2의 상이한 값에서의 HBM 결과를 비교를 나타냄 : (a) ε2에 따른 δ2(t)의 최대, 평균 및 최소값; (b) ε2에 따른 δ2 (t)의 RMS(Root Mean Square) 값을 나타냄.
도 14는 하모닉의 수에 따른 ε2의 효과를 나타냄 : (a) 상이한 ε2 값 및 상이한 하모닉의 수에 따른 δ1(t)의 최대, 평균 및 최소값의 비교; (b) ε2의 하모닉의 수 대 이용 가능한 ε2의 최소값을 나타냄.
도 2는 엔진 여기 조건 하에서 기어 쌍의 비선형 거동을 나타냄 : (a) 진동 충격 하에서의 기어 접촉 조건, (b) 예상 기어 메쉬 힘과 기어 백래쉬 영역을 나타냄.
도 3은 두 개의 수치 단위 스텝 함수의 비교를 나타냄.
도 4는 다양한 차수에 따른 평활함수 모델 I1II를 나타냄 : (a) 모델 III와 다른 차수들의 비교; (b) 서로 상이한 차수에 따른 ε1.
도 5는 ε2를 갖는 모델 III의 평활화 기능을 나타냄 : (a) 모델 III과 ε2의 다른 값과의 비교, (b) ε 1 vs. ε 2.
도 6은 3 가지 평활함수의 비교를 나타냄 : (a) 평활함수의 비교 모델 I, II 및 III; (b) -b/2 영역에서 모델 I, II 및 III의 평활 효과; (c) b/2 영역에서 모델 I, II 및 III로의 평활 효과.
도 7은 평활함수 모델 I, II 및 III을 이용한 HBM (Nmax = 6)의 비교를 나타냄 :
도 8은 HBM과 NS 결과의 비교를 나타냄 :
도 9는 시간 영역에서 상이한 여기 조건 하에서 HBM과 NS에 따른 상대 변위의 비교를 나타냄 : (a)
도 10은 시간 영역에서 상이한 여기 조건 하에서 HBM 및 NS에 따른 기어 메쉬 힘의 비교 : (a)
도 11은 주파수 영역에서 상이한 가진 조건 하에서 HBM과 NS의 상대 변위 비교를 나타냄 : (a)
도 12는 주파수 영역에서 상이한 가진 조건 하에서 HBM 및 NS와의 기어 메쉬 힘의 비교 : (a)
도 13은 평활함수 모델 III 에 따른 ε2의 상이한 값에서의 HBM 결과를 비교를 나타냄 : (a) ε2에 따른 δ2(t)의 최대, 평균 및 최소값; (b) ε2에 따른 δ2 (t)의 RMS(Root Mean Square) 값을 나타냄.
도 14는 하모닉의 수에 따른 ε2의 효과를 나타냄 : (a) 상이한 ε2 값 및 상이한 하모닉의 수에 따른 δ1(t)의 최대, 평균 및 최소값의 비교; (b) ε2의 하모닉의 수 대 이용 가능한 ε2의 최소값을 나타냄.
이하, 본 발명의 실시예를 나타내는 첨부 도면을 참조하여 본 발명을 더욱 상세히 설명한다.
2. 실차 시스템 및 비선형성의 모델링
2.1. 물리적 시스템과 그 매개 변수
도 1(a)는 수동 변속기가 있는 프론트 엔진 및 프론트 휠 드라이브 라인을 기반으로 한 물리적 시스템을 나타낸다. 도 1 (a)의 실차 시스템을 바탕으로도 도 1(b)와 같이 개략도를 구성할 수 있다. 하중을 받는 모든 기어는 시스템의 동적 특성을 변화시키지 않고 입력축에 집중하는 것으로 가정하고, 하나의 무부하 기어 쌍에만 초점을 맞추어 진동 충격 현상을 검사한다. 또한, 사용된 기어 쌍은 동적 조건 하에서 어떠한 오류없이 기하학적으로 이상적이라고 가정된다. 따라서, 평활함수을 적용한 비선형 동적 거동을 분석하기 위해, 도1에 제시된 시스템으로부터 자유도계 수가 감소된 4 DOF 집중 시스템 모델이 사용될 것이다.
도 1에 사용된 기호 및 매개 변수 값은 표 1 및 표 2에 설명되어 있으며, 여기서 시스템 시뮬레이션을 위한 기본 시스템 속성은 실차 드라이브라인과 관련된 해당 업계로부터 측정되고 제공된다. 여기서 드래그 토크는 주어진 엔진 작동 상태에서 상수값으로 가정하고 클러치 댐퍼의 댐핑 cf과 구동축의 댐핑 cve은 5% 모달 감쇠비로 가정된다. 본 발명의 범위는 WOT (wide-open-throttle) 조건과 같이 극한 주행 조건에서 3 단 기어 결합 및 5 단 기어 무부하 상태로 제한된다.
| 매개 변수 | 값 | |
| 관성 (kg ㆍ m2) |
I f (플라이휠) I ie (변속기) I ou (언로드 기어) I ve (휠) |
1.38 × 10-1 1.49 × 10-2 5.23 × 10-4 8.08 × 10-2 |
| 강성 (Nㆍ m ㆍrad-1) |
kf (클러치 댐퍼) kve (구동축) |
9.20 × 102 3.95 × 102 |
| 반지름 (mm) |
Riu (입력축의 언로디드 기어) Rou (출력 샤프트의 무부하 기어) |
45.9 35.6 |
| 드래그 토크 | 값 (Nm) |
| TDi (입력 샤프트의 드래그 토크) TDu (무부하 기어의 드래그 토크) TDve (차량의 드래그 토크) |
1.22 × 102 2.0 44.2 |
2.2 기본 방정식과 이의 비선형 성
도 1의 시스템에 기초하여, 기본 방정식의 행렬 공식은 다음의 수학식 1과 같이 표현된다.
각 변위(
)는 각각 플라이휠, 입력축, 언로드 기어 및 차량의 절대 거동으로 정의된다. Fgu(ρu)는 무부하 기어 쌍의 병진 상대 변위(ρu)의 관점에서 입력축과 무부하 기어 사이의 기어 메쉬 힘으로 정의된다. δ(ρu)는 기어 운동의 불연속 특성을 반영한다. HBM을 사용하여 비틀림 시스템을 시뮬레이션하기 위해 새로운 변수(
)를 사용하여 시간 스케일의 무차원화를 수행하고 기간 τ의 시간 범위(
)를 
에 매핑 할 수 있다. 여기서, 
는 서브 하모닉 인덱스를 나타낸다. 또한, 
가 매개 변수화 되는 경우, 가능한 수렴 문제를 피하기 위해 정규화 된 값(
)이 사용된다. 여기서, 
는 도 1에 나타난 시스템의 진동 충격과 관련된 고유 진동수이다. 본 발명에서 
는 47.6 Hz가 사용되었다. 시뮬레이션 수렴과 무차원화의 다중 선택과의 관계에 대한 심층 연구는 본 발명의 범위를 벗어난다.
시스템 응답을 계산하기 위해 입력 토크 TE(t)는 다음의 수학식 2와 같이 정현파 가진으로 가정된다.
입력 토크에 사용 된 값은 다음과 같다. 평균 토크는 Tm = 168.9 N ㆍ m이다. 교번 토크는 Tp1 = 251.53 N ㆍ m이다. 위상은 
= -1.93이다. 시스템은 일정한 속도의 정상 상태 조건으로 가정된다. 따라서, 도 1에 도시 된 각 서브시스템의 드래그 토크는 토크의 합이 다음의 수학식 3과 같이 평균 토크 값 (Tm)과 동일하다고 가정하여 추정된다.
도 2 (a)는 "구동측에서의 접촉", "비접촉"및 "피구동측에서의 접촉"에 대한 기어 쌍의 세 가지의 상이한 조건들을 나타낸다. 기어 쌍의 동적거동이 "구동측에서의 접촉"과 "비접촉"(또는 "구동측에서의 접촉"과 "피구동측에서의 접촉") 사이에서 반복적인 동작을 보이는 경우, 비틀림 시스템은 기어 래틀과 같은 진동충격에 의해 매우 많은 영향을 받는다. 일반적으로, 이 비선형 동적 효과는 백래시라고 불리는 구동 기어와 피구동 기어 사이의 간극에 의해 발생한다. 기어 쌍의 동적 운동은 수학적으로 다음의 수학식 4와 같이 설명된다.
기어 백래시는 0.1 mm 값의 b로 정의된다. 백래시는 다음의 수학식 5와 같은 단위 스텝 함수(
)를 사용하여 표현된 구분적 비선형성이다.
이전의 연구와 수학식 4및 수학식 5에 기초하여 동적 기어 메쉬 힘은 수학적으로 다음의 각각의 수학식 6 및 수학식 7로 설명되는 모델 I 및 II 평활함수를 사용하여 추정된다. 여기서, 상대적인 거동은 
와 
로 정의된다.
여기서 kg (= 2.7 × 108 N ㆍ m- 1)은 기어 메쉬 강성이고 b (= 0.1 mm)는 기어 백래시이다. 또한 실차 시스템에서 진동 충격 조건하에서 기어 메쉬 힘의 갑작스런 변화를 시뮬레이션하기 위해 모델 I과 II 모두에 대해 σg의 값으로 1 × 1010이 사용된다. 도 3은 
와 
를 이용한 단위 스텝 함수에 대하여 두 개의 수치 모델 간의 차이점을 비교 한 것이다. 이들 모델을 비교할 때 
는 
보다 급격한 변화를 보여준다. 두 개의 수치 단위 스텝 함수를 비교하기 위해 σg으로 1 × 103을 값을 사용한다.
도 2(b)는 모델 I 또는 II를 사용하여 Fgu(ρu) 대 ρu의 관계로 예상 기어 메쉬 힘을 표시한다. 도 2(b)에서 보여지는 예상 기어 메쉬 힘에 기초하여. b/2 (= 0.05 mm) 또는 -b/2에서 힘의 동적 조건이 갑자기 변화되며, 이는 기어 메쉬 힘의 급작스런 변화에 따라 시스템 응답 특성 시뮬레이션시 기어 사이의 강성이 0으로부터 높은 값으로 (또는 높은 값에서 0으로) 짧은 순간에 변화함으로써 수렴성의 문제를 발생시킨다. 두 모델 간의 차이점은 새로운 평활함수 모델에 따라 설명될 것이다.
3. 기어 메쉬 힘에 대한 평활함수의 수학적 모델
3.1 새로운 평활함수의 개발
이전의 평활함수 모델을 기반으로는, 기어 백래쉬 b/2로부터 왼쪽 (또는 오른쪽) 면의 평활 영역과 값을 변경할 수 없다. 수학식 4 내지 수학식 7에 주어진 이전 모델로부터의 평활 효과는 σg의 값에만 의존한다. 또한, 다음과 같은 몇 가지 문제점들이 관찰되었다 : (1) 모델 I을 사용함에 의한 비현실적인 기어 메쉬 힘은 나중에 설명 될 측정값들과 반대로 예상될 수 있다. (2) 자코빈(Jacobin) 행렬을 사용할 때 분수 함수가 사용되어야 하기 때문에 모델 II를 사용할 경우, 수치해석적으로 수렴성 문제가 발생할 수 있다. 따라서 새로운 평활함수 모델은 이전 연구에서 관찰 된 문제를 피할 수 있을 뿐만 아니라 b/2로부터 왼쪽과 오른쪽 모두에 대해 비대칭 방법으로 평활 영역을 조정할 수 있는 유연성을 갖도록 고려되어야 한다. 이 조건을 만족시키기 위해, 본 발명에서는 수학식 4 내지 수학식 7의 모델보다 더 유연한 평활 효과를 쉽게 적용 할 수 있기 때문에 n 차 다항식 함수를 사용한다. 여기서, b/2 또는 -b/2에서 소량의 변위 ε1 및 ε2가 평활 조건 하에서 기어 메쉬 힘 추정에 대해 정의 될 수 있다. 이러한 요인들은 도 4(a)에 도시된 바와 같이 강성 영역에서의 Fgu(ρu)의 평활 변화를 일으킨다. 모델 III은 수학적으로 다음의 수학식 8과 같이 설명된다.
여기서 도 4 (a)에 도시된 바와 같이 ε1과 ε2는 b/2 또는 -b/2로부터의 거리이다. b/2 또는 -b/2의 영역에서 평활 변화를 생성하기 위해, n 차 다항식 함수(
또는 
)가 각각 사용된다.
수학식 8b에서 설명한 바와 같이, B2는 b/2에 ε2를 가산하여 간단하게 추정되며, 여기서 ε2는 임의로 결정할 수 있다. 따라서, ε2가 작으면 ε1이 작아지고 기어 접촉 거동에 대한 평활성이 더 줄어든다. 수학식 8a 내지 수학식 8e에서, 속성 B1 및 α는 몇 가지 조건에 기초하여 결정된다. 예를 들어, 다항식 함수는 먼저 접선 방향으로 
의 범위 (또는 
)에서의 
(또는 
) 의 직선과 접촉해야 한다. 따라서 접점의 미분 값은 기어 메쉬의 강성인 접선 ㎏의 기울기와 같다. 둘째, 다항식 함수 
(또는 
)는 ρu 축 상에서 B1(또는 - B1)만큼 이동한다. 셋째, 홀수는 -b/2와 b/2 사이의 영역에서 실차 시스템에서는 발생하지 않는 Fgu(ρu)가 0 N 이하로 추정 될 수 있기 때문에 차수 n은 짝수 이여야 한다. 따라서, 수학식 8a 내지 수학식 8e에서, 기어 메쉬힘 Fgu(ρu)는 다음의 수학식 9와 같이 유도된다. 여기서 상대적인 움직임은 
, 
,
, 
, 
및 
로 정의된다.
도 4는 n에 관한 평활 효과를 비교한다. 도 4의 (a)에 도시 된 바와 같이, n을 6과 같은 특정값으로 증가시키면 도 4의 (a)에 대쉬라인으로 도시된 바와 같이 ε1이 커지게 된다. 이것은 도트라인과 같이 n이 2로 감소될 때보다 평활 효과가 점진적으로 시작됨을 나타낸다. 따라서 평활 계수 ε1을 증가 시키면 기어 메쉬 강성이 0 N ㆍ m-1에서 2.7 × 108 N ㆍ m-1로 갑자기 변경되는 것을 피함으로써 수치 수렴 조건이 향상된다.
따라서, 도 4의 (b)는 ε1과 n 사이의 관계를 나타낸다. n이 클수록, b/2 또는 -b/2로부터 거리 ε1이 증가한다. 앞에서 설명한 것처럼 ε2는 기어 접촉 거동의 평활 변화에도 영향을 준다. 도 5는 평활 효과에 대한 ε2의 관계를 도시한다. 도 5의 (a)는 ①로 도시된 ε2 값이 감소되면, ②로 표시 한 바와 같이 Fgu(ρu)의 평활도가 감소됨을 나타낸다. ε2가 1 × 10-5와 같이 작은 값인 경우 ε2가 1 × 10-3과 같이 큰 값일 때보다 기어 접촉의 동적 특성이 실차 거동에 더 가깝게 된다. 또한, ε1은 수학식 8b 내지 수학식 8e에 기술 된 바와 같이 ε2에 기초하여 추정되며, 이로부터 평활 효과가 수학적으로 결정될 수 있다.
3.2 평활 함수 모델 비교
도 6은 모델 I, II 및 III의 차이점을 보여준다. 첫째, 모델 I은 수학식 6에서 설명한 것처럼 쌍곡선 탄젠트 함수를 사용한다. 이 함수는 b/2 또는 -b/2 영역에서 음수 또는 양수 오버 슛을 나타낸다. 따라서, b/2 또는 -b/2에서 기어 접촉이 발생하기 전에는 기어 메쉬 힘이 음 또는 양의 값으로 결코 떨어지지 않기 때문에 모델 I은 심각한 오류를 포함한다. 모델 Ⅱ와 Ⅲ는 모델 Ⅰ과 같은 문제를 보이지 않으며, 이는 도 6에 나타나 있다. 그러나 모델 II와 III는 Fgu(ρu)의 평활 변화가 일어나는 영역과 약간 다르다. 예를 들어, 모델 II에서 평활된 Fgu(ρu)는 수학식 7에서 설명 된 계수 σg에 의해서만 결정되지만, ε1과 ε2의 위치를 예측하기는 어렵다. 대조적으로, ε2가 수학식 8에 의해 정의되는 한 모델 III에 대한 ε1은 정확히 추정된다. 또한, ε1은 수학식 8c와 수학식 8d의 차수 n에 따라 결정된다. 따라서 모델 III에서의 평활 효과를 갖는 동적 특성은 모델 I 및 II에서보다 명확하다.
HBM은 다양한 모델에 따른 평활함수의 영향을 조사하는 데 사용된다. 다자유도계 시스템을 위한 HBM의 개발과 기본 과정은 이전 연구에서 소개되었다. 도 7은 모델 I, II 및 III을 사용한 HBM 결과를 비교한다. 도면에서 시스템 응답은 최대 하모닉스의 수 Nmax = 6으로 추정된다. σg의 값은 2.2 절에서 설명한 모든 모델에서 1 × 1010이고, 모델 III에서 ε2와 n은 각각 1 × 10-5 및 20이다. 여기서 δ2(t) = Riuθie(t) + Rouθou(t)는 입력축과 무부하 상태의 상대 변위이고, δ2(max), δ2(mean) 및 δ2(min)는 및 주파수 스위핑 (frequency sweeping) 조건에 따라 도 7에 도시 된 바와 같이, 한 주기의 시간 응답에서 각각 δ2(t)의 최대값, 평균값 및 최소값이다.
모든 모델에 대한 결과는 서로 잘 연관되어 있다. 또한, 단면 및 양면 진동 충격은 
= 0.775 및 
= 1.175 사이에서 분명하게 관찰되었다. 
는 특성 주파수 ω = 47.6Hz를 사용하여 정규화된 주파수이다. 하모닉의 수가 증가하면 HBM을 사용한 시뮬레이션은 모델 I, II 및 III에 따라 많은 차이점을 나타낸다.
표 3은 각 평활함수 모델을 사용하여 시뮬레이션의 실현 가능성을 설명한다. Nmax = 6에 따른 비선형 응답은 HBM을 사용하여 성공적으로 시뮬레이션 할 수 있다. 그러나 하모닉의 수가 6 이상으로 증가한 경우 표 3에 나타낸 바와 같이, 모델 I 및 II의 경우 σg 값만을 이용하여서는 비선형 응답을 계산하지 못한다. 그러나 모델 III의 경우에는 하모닉 수가 높을 경우 수치 해석결과와 비교시 다소 해석 상의 에러가 발생은 하고 있으나, 적용한 모든 하모닉수에 대해 성공적으로 시뮬레이션이 수행된다. 표 3에 설명된 결과를 바탕으로 볼 때, 모델 III의 시뮬레이션 사례는 모델 I 및 II와는 달리 하모닉 조건의 적응에 더 적합하며 이는 모델 III에는 수학식 8에 기초하는 ε2, n 및 σg와 같은 평활 조건을 관리하는 더 많은 요소를 포함하고 있기 때문이다.
| 하모닉의 수 |
|||
| 모델 I | 모델 II | 모델 III | |
| 6 8 10 12 |
o x x x |
o x x x |
o o o o |
4. 결과
4.1 새로운 평활 함수 모델을 이용한 수치 해석과 HBM의 비교
도 8은 수치 해석 (NS)을 이용한 시뮬레이션 결과와 주파수 영역에서의 HBM을 비교한 것을 나타낸다. 계산 시간이 비교 될 때, NS는 상향 (또는 하향) 주파수 스위핑을 위해 2 시간이 필요하다. 반면 HBM 계산 시간은 20 분이다. 두 결과 모두 진동 충격을 잘 반영한다. 그러나 HBM은 기어 충격 조건에 대한 NS 결과를 따르지 않는다. 시스템이 
= 0.8403와 
= 1.122 사이의 양면 충격을 가질 때, 도 8에서 실선으로 표시되 있는 바와 같이 δ2 (최대)에서 NS와 HBM 사이의 심각한 차이가 관찰된다. 이것은 하모닉의 수가 6이기 때문에 이전 연구에서 검사된 HBM의 한계에 기인한다. 진동 충격은 본질적으로 임펄스 형태의 특성을 포함하기 때문에 진동 충격은 Nmax = 6 또는 12보다 높은 수의 하모닉 성분과 더 높은 수퍼 하모닉 성분을 포함한다. 또한, HBM을 갖는 하모닉 수의 한계는 NS로부터의 FFT 결과와 비교해 볼 때, 푸리에 성분 중 위상각 값의 불일치를 야기한다. 이들 거동은 도 9 내지 도 12에 도시되어있다.
도 9는 시간 영역에서의 HBM과 NS의 상대 변위를 비교 한 것이다. 도 9(a)는 가진 주파수 
= 0.825에서 추정 된 결과를 나타내며, 도 9(b)는 
t = 1에서의 결과를 나타낸다. 여기서 δ1(t) = θf(t)-θie(t)는 플라이휠과 입력축 사이의 상대적인 변위를 나타낸다. 도 9(a)는 단면 충돌 하에서의 시간 이력을 비교하고 있다. HBM과 NS로부터의 δ1(t)의 결과는 서로 잘 일치하고 있다. 그러나, δ2(t)는 원형의 점선으로 표시된 바와 같이 특히 기어 충돌이 b/2에서 발생할 때, 작은 차이를 보인다. 일반적으로 NS는 시간 영역 분석을 기반으로 하기 때문에 충격 반응을 잘 포함한다. HBM의 이러한 불일치는 도 9(b)에 나타난 것처럼 시스템에 양면 충돌이 있을 때 분명하게 관찰된다. 양면 충돌 조건이 단면 충돌 조건보다 나쁘기 때문에 점선으로 표시된 것처럼 기어 충격 시 기어메쉬 힘이 단면 충돌보다 더 우세하다.
도 10은 
= 0.825와 
= 1에서의 두 가지 다른 가진 조건에서의 기어 메쉬 힘 Fgu(t)를 비교 한 것이다. 도 10 (a)와 (b)는 각각 단면과 양면의 충격을 시뮬레이션한 것이다. 예를 들어, 도 10 (a)에 나타난 Fgu(t)의 동적 거동은 처음에는 영 (zero) 값을 따르고, 그 다음에는 양의 값으로만 370N 근방의 높은 값까지 올라간다. 그러나 NS 결과는 HBM 결과보다 충격 반응의 밀도가 더 높음을 보여준다. 도 10(b)의 Fgu(t)의 결과는 양면 충돌을 나타낸다. 도 10(b)의 단면 임팩트와 유사한 방식으로, NS의 Fgu(t)는 기어 충돌이 발생하는 순간에 더 높은 밀도를 나타낸다. 양면 충격에 대한 Fgu(t)의 동적 거동은 양과 음의 양쪽에 반복적 인 움직임을 보여준다. 또한 양면 충돌의 피크 값은 단면 충돌의 피크 값보다 높다. 로컬 최고값은 1200 N이고 최소값은 -1100 N이다. 전반적으로 HBM과 NS 사이의 양측의 비교는 NS 결과가 HBM 결과보다 슈퍼하모닉 성분을 많이 포함하고 있음을 보여준다. 두 시뮬레이션 간의 이러한 불일치는 FFT 결과를 바탕으로도 발견되었다.
도 11 및 도 12는 δ2(t) 및 Fgu(t)의 FFT 결과를 6 하모닉과 비교한다. 도 11은 HBM 및 NS에 기초한 δ2(t)로부터의 FFT 결과의 비교를 도시한다. 단면 충돌이 발생하면 도 11 (a)와 같이 두 시뮬레이션 간의 심각한 불일치가 관찰되지 않았다. 그러나 4, 5 및 6 차 하모닉의 위상각 값은 잘 일치되지 않는다. 양면 충돌에 대한 FFT 결과는 모든 하모닉 성분 범위에서 HBM과 NS 사이의 위상각 값들에서 심각한 차이를 보여주며, 이는 도 11 (b)에서 명확하게 관찰되고 있다.
도 12는 단면 및 양면 충돌에 대한 Fgu(t)의 FFT 결과를 비교한다. δ2(t)의 FFT 결과와 비슷한 방식으로 도 12의 (a)에 나타난 단면 임팩트에 대한 Fgu(t)의 FFT 결과는 HBM의 4,5,6 차 하모닉의 위상각이 NS의 위상각들과 잘 일치되지 않았다. 또한, HBM의 양면 충격에 대한 위상각의 하모닉 스펙트럼은 1 차 하모닉의 위상각 성분을 제외하고는 NS의 결과와 큰 차이를 보인다. 따라서 HBM에 적용된 하모닉의 한계 개수는 도 11과 도 12의 결과를 토대로 500 Hz를 초과하는 높은 범위의 수퍼 하모닉 성분을 포함하고 있지 않기 때문에 해석상의 불일치가 발생한다. 그러나 HBM은 도 8과 도 9에서와 같이 주파수 및 시간 영역에서 주파수 스윕 조건에서 진동 충격 현상을 평가하는 데 여전히 사용할 수 있다.
4.2 진동 충격에 대한 HBM에서의 ε2 값의 영향
일반적으로 간극형태의 비선형성은 본질적으로 불연속성을 포함하므로 기어 메쉬 힘이 0에서 높은 강성 수준으로 갑자기 변경되거나 그 반대가 될 수 있다. 이러한 동적 특성으로 인해 수렴 문제가 발생하거나 계산 시간이 소모될 수 있다. 따라서 이러한 문제를 해결하기 위해 평활함수가 사용된다, 수학식 8과 수학식 9에 기초하여, 평활효과가 서로 다른 레벨의 ε2를 사용하여 적용될 수 있다. 예를 들어, ε2의 레벨이 증가함에 따라 무부하 상태의 기어 쌍의 상대 변위 δ2(t) 또는 기어 메쉬 힘 Fgu(ρu)는 ε2가 감소될 때보다 부드럽게 추정된다.
도 13은 다른 ε2로 추정 된 δ2(t)의 동적 거동을 비교한다. ε2 = 5 × 10-5 및 1 × 10-4으로 시뮬레이션되는 것은 ε2 = 1 × 10-5의 결과와 불일치하는 것을 나타낸다. ε2 = 1 × 10-5 인 HBM 결과는 4.1 절에서 설명한 바와 같이 임펄스 특성을 제외한 진동 충격을 합리적으로 시뮬레이션한 것으로 가정한다. 도 13에서 볼 수 있듯이 δ2(max)와 δ2(Root Mean Square, RMS)의 양측 결과에서 ε2의 영향이 명확하게 나타나며, 여기서 m은 시간 이력의 한주기 내에서의 이산화된 각 순간별 단계를 나타내는 수이다.
도 13의 (a) 및 (b)에 실선으로 나타낸 바와 같이, 진동 충격은 
= 0.775와 
= 1.175 사이에서 발생한다. 그러나 
< 0.775 이고, 
> 1.175 인 주파수 범위에서 δ2(max)가 b / 2 = 0.05mm 미만의 값을 가지므로 ε2 = 1 × 10-4에서의 시뮬레이션 결과는 심각한 불일치를 나타낸다. ε2 = 5 × 10-5 및 ε2 = 1 × 10-4에서의 δ2(RMS)의 결과는 
< 0.775 및
> 1.175에서 ε2 = 1 × 10-5 인 경우와 매우 다른 결과를 나타낸다. 도 13(a)에 나타낸 ε2 = 1 × 10-4에서의 δ2(max)의 시뮬레이션 결과에서, b/2 = 0.05mm 이하의 δ2(max) 레벨은 기어 쌍이 결코 서로 접촉하지 않는다는 것을 반영하며, 이는 물리 시스템에 대하여 실질적으로 합리적이지 못하다. 합리적인 시뮬레이션 결과를 얻으려면 ε2가 특정 범위 내에서 결정되어야 한다. 본 발명에서는 모든 HBM 결과는 ε2 = 1 × 10-5으로 추정된다.
도 14와 표 4는 하모닉의 수와 함께 고려한 ε2 값의 관계를 보여준다. 도 14(a)는 여러 개의 하모닉 수 Nmax의 HBM 결과를 보여준다. Nmax가 증가함에 따라, 불일치는 Nmax = 6 인 HBM 결과에 비해 심각해진다. HBM 결과의 정확도가 떨어지는 이유는 ε2 값 때문이다. ε2 값 대 Nmax는 도 14의 (b)에 도시되어 있으며, 표 4에 나타나 있다. Nmax가 증가할 때 수렴하는 문제를 극복하기 위해서는 ε2가 Nmax = 6일 때의 1 × 10-5보다 커야한다. 예를 들어, Nmax = 6에 대해 ε2의 최소값은 1 × 10-7이다. 그러나 표 4에서 설명한 것처럼 Nmax가 6보다 커지면 ε2는 1 × 10-3 이상이어야 한다. 따라서 ε2의 증가로 인해 수렴 문제가 해결된다. 반면에 ε2가 크면 도 14 (a)와 같은 불일치가 발생한다.
| 하모닉의 수 | ε 2 |
| 6 8 10 12 |
1×10-7 1×10-3 2×10-3 3×10-3 |
5. 결론
새로운 평활함수가 제안되고, 본 모델은 이전 연구에서 제시된 다른 모델과 비교되었다. 이 모델을 사용하여 HBM의 한계가 δ2(t), Fgu(t) 및 FFT 결과의 시간 이력에 대한 임펄스 응답에 대해 조사되었다. 이 발명의 구체적인 효과는 다음과 같이 요약된다. 첫째, 새로운 평활함수 모델은 n 차 다항식 함수를 사용하여 제안되었다. 이 모델은 불연속 영역에서 기어 메쉬 힘의 변화를 평활할 수 있어 수렴 문제를 해결할 수 있다. 둘째, 평활 계수 ε2의 타당성을 조사 하였다. ε2의 값을 높이면 수렴 문제가 제거됨을 확인하였다. 그러나 ε2가 특정 값을 초과하면 심각한 오류가 발생하며, 특히 진동 충격이 발생하지 않는 주파수 범위에서는 더욱 심각한 오류가 발생하였다. 셋째, 기어 래틀과 같은 충격 현상에 대한 HBM의 한계가 조사되었다. HBM과 NS를 비교해 볼 때, HBM이 포함하는 하모닉 수의 제한에 따라 임펄스 형태의 응답 특성을 해석상으로 얻을 수는 없었으나 HBM을 이용한 해석결과는 여전히 기어에서 발생하는 충격형태의 진동 특성을 잘 보여주고 있다.
Nmax 대 ε2의 연구에 기초하여, 모델 III 평활함수는 수렴 문제를 성공적으로 극복하더라도 NS 결과와 비교시 여전히 해석상의 불일치를 보인다. 따라서, HBM을 위한 간극형태의 비선형성을 위한 여러 형태의 비차원화 방법의 개발 또는 해석기법 연구가 향후 연구 대상이 될 수 있다.
한편, 본 발명에 의한 실차 드라이브라인 시스템 내 간극형태의 비선형해석을 위한 신개념 평활함수 효과 및 효용성 분석 방법은 모든 과정이 컴퓨터상에서 수행된다.
상기 본 발명의 내용은 도면에 도시된 실시예를 참고로 설명되었으나 이는 예시적인 것에 불과하며, 본 기술 분야의 통상의 지식을 가진 자라면 이로부터 다양한 변형 및 균등한 타 실시예가 가능하다는 점을 이해할 것이다. 따라서 본 발명의 진정한 기술적 보호 범위는 첨부된 특허청구범위의 기술적 사상에 의해 정해져야 할 것이다.
Claims (7)
- n차 다항식 함수를 사용하여 평활함수 모델을 사용하는 단계;
특정 범위에 따라 상기 평활함수 모델의 핵심 요소인 평활함수 계수(ε2)를 검증하는 단계; 및
기어 충격 조건에 초점을 맞춤으로써 하모닉 균형 방법 (HBM)을 기반으로 상기 평활함수 모델을 이용한 시뮬레이션의 영향을 조사하는 단계;를 포함하고,
상기 평활함수 모델은 수학적으로 정의되며, 다음의 수학식으로 나타내도록 구성되는 것인 실차 드라이브라인 시스템 내 간극형태의 비선형해석을 위한 신개념 평활함수 효과 및 효용성 분석 방법.
상기 수학식에서 ε1과 ε2는 b/2 또는 -b/2로부터의 거리이며, b/2 또는 -b/2의 영역에서 평활 변화를 생성하기 위해 n차 다항식 함수(또는
)가 각각 사용되며, ρu는 기어 쌍의 병진 상대 변위를 나타냄.
- 제1항에 있어서, 상기 평활함수 모델은,
불연속 영역에서 기어 메쉬 힘의 변화를 평활할 수 있도록 구성되는 실차 드라이브라인 시스템 내 간극형태의 비선형해석을 위한 신개념 평활함수 효과 및 효용성 분석 방법. - 제1항에 있어서, 상기 평활함수 모델은,
실차 시스템에 있어서 하중을 받는 모든 기어는 시스템의 동적 특성을 변화시키지 않고 입력축에 집중하는 것으로 가정하고, 하나의 무부하 기어 쌍에만 초점을 맞추어 진동 충격 현상을 검사하며, 사용된 기어 쌍은 동적 조건 하에서 오류가 없도록 기하학적으로 이상적이라는 가정하에 진행되는 것인 실차 드라이브라인 시스템 내 간극형태의 비선형해석을 위한 신개념 평활함수 효과 및 효용성 분석 방법. - 제1항에 있어서, 평활함수 계수(ε2)를 검증하는 단계에서,
상기 평활함수의 계수(ε2)의 값을 높이면 수렴 문제가 제거되고, 평활함수 계수(ε2)가 특정값을 초과하면 심각한 오류가 발생하며, 평활함수 계수(ε2)가 진동 충격이 발생하지 않는 주파수 범위에서 설정되면 심각한 오류가 발생하는 것인 실차 드라이브라인 시스템 내 간극형태의 비선형해석을 위한 신개념 평활함수 효과 및 효용성 분석 방법. - 제1항에 있어서, 시뮬레이션의 영향을 조사하는 단계에서, 상기 HBM을 사용하여 해석된 진동 충격이 여전히 나타나는 것인 실차 드라이브라인 시스템 내 간극형태의 비선형해석을 위한 신개념 평활함수 효과 및 효용성 분석 방법.
- 삭제
- 제1항에 있어서, 다항식 함수는 먼저 접선 방향으로의 범위 (또는
)에서의
(또는
) 의 직선과 접촉해야 하므로 접점의 미분 값은 기어 메쉬의 강성인 접선 kg(2.7 × 108 N ㆍ m-1)의 기울기와 같고, 다항식 함수
(또는
)는 ρu 축 상에서 B1(또는 -B1)만큼 이동하며, 홀수는 -b/2와 b/2 사이의 영역에서 실차 시스템에서는 발생하지 않는 Fgu(ρu)(무부하 기어 쌍의 병진 상대 변위(ρu)의 관점에서 입력축과 무부하 기어 사이의 기어 메쉬 힘)가 0 N 이하로 추정 될 수 있기 때문에 차수 n은 짝수 이여야 하고, 따라서, 상기 수학식의 Fgu(ρu)는 다음의 수학식으로 유도되는 것인 실차 드라이브라인 시스템 내 간극형태의 비선형해석을 위한 신개념 평활함수 효과 및 효용성 분석 방법.
여기서,,
,
,
,
및
로 정의될 수 있으며, U3(θn1)은 θn1에서의 스텝 함수이며, U3(θp1)은 θp1에서의 스텝함수이고, U3(θp2)는 θp2에서의 스텝함수임.
Priority Applications (2)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| KR1020170015487A KR101944422B1 (ko) | 2017-02-03 | 2017-02-03 | 실차 드라이브라인 시스템 내 간극형태의 비선형해석을 위한 신개념 평활함수 효과 및 효용성 분석 방법 |
| PCT/KR2017/004209 WO2018143513A1 (ko) | 2017-02-03 | 2017-04-19 | 실차 드라이브라인 시스템 내 간극형태의 비선형해석을 위한 신개념 평활함수 효과 및 효용성 분석 방법 |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| KR1020170015487A KR101944422B1 (ko) | 2017-02-03 | 2017-02-03 | 실차 드라이브라인 시스템 내 간극형태의 비선형해석을 위한 신개념 평활함수 효과 및 효용성 분석 방법 |
Publications (2)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| KR20180090526A KR20180090526A (ko) | 2018-08-13 |
| KR101944422B1 true KR101944422B1 (ko) | 2019-01-31 |
Family
ID=63040738
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| KR1020170015487A Active KR101944422B1 (ko) | 2017-02-03 | 2017-02-03 | 실차 드라이브라인 시스템 내 간극형태의 비선형해석을 위한 신개념 평활함수 효과 및 효용성 분석 방법 |
Country Status (2)
| Country | Link |
|---|---|
| KR (1) | KR101944422B1 (ko) |
| WO (1) | WO2018143513A1 (ko) |
Families Citing this family (3)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN114662278B (zh) * | 2022-02-14 | 2023-04-18 | 东方电气集团东方电机有限公司 | 一种水力瞬态过程实测压力数据分析方法 |
| KR102693922B1 (ko) * | 2022-12-01 | 2024-08-09 | 인천대학교 산학협력단 | 조각별 형태의 비선형성을 포함하는 회전체 시스템 내에서 수퍼 및 서브 하모닉 응답특성에 대한 안정성 및 분기 분석방법 |
| CN117172052B (zh) * | 2023-08-02 | 2025-04-29 | 华南理工大学 | 一种发动机平衡轴系统的齿轮敲击的分析和优化方法 |
Family Cites Families (2)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| GB0807775D0 (en) * | 2008-04-29 | 2008-06-04 | Romax Technology Ltd | Methods for model-based diagnosis of gearbox |
| CN103971006B (zh) * | 2014-05-16 | 2017-06-13 | 清华大学 | 一种考虑主减速器壳的驱动桥齿轮动力学特性确定方法 |
-
2017
- 2017-02-03 KR KR1020170015487A patent/KR101944422B1/ko active Active
- 2017-04-19 WO PCT/KR2017/004209 patent/WO2018143513A1/ko active Application Filing
Non-Patent Citations (2)
| Title |
|---|
| T.C. KIM 외 2인, ‘Super- and sub-harmonic response calculations for a torsional system with clearance nonlinearity using the harmonic balance method’, Journal of Sound and Vibration, 2004.10.13. 1부.* |
| YI GUO 외 1인, ‘Dynamic Analysis of Planetary Gears With Bearing Clearance’, Journal of Computational and Nonlinear Dynamics [online]. 2012.06.13. 1부.* |
Also Published As
| Publication number | Publication date |
|---|---|
| KR20180090526A (ko) | 2018-08-13 |
| WO2018143513A1 (ko) | 2018-08-09 |
Similar Documents
| Publication | Publication Date | Title |
|---|---|---|
| Wang et al. | Survey of nonlinear vibration of gear transmission systems | |
| Zucca et al. | Numerical assessment of friction damping at turbine blade root joints by simultaneous calculation of the static and dynamic contact loads | |
| Yuksel et al. | Dynamic tooth loads of planetary gear sets having tooth profile wear | |
| Liu et al. | Impact of tooth friction and its bending effect on gear dynamics | |
| Palermo et al. | Multibody element for spur and helical gear meshing based on detailed three-dimensional contact calculations | |
| Qiu et al. | Load-sharing characteristics of planetary gear transmission in horizontal axis wind turbines | |
| Kang et al. | Dynamic analysis of gear-rotor system with viscoelastic supports under residual shaft bow effect | |
| Dai et al. | An efficient hybrid analytical-computational method for nonlinear vibration of spur gear pairs | |
| Walha et al. | Effects of eccentricity defect on the nonlinear dynamic behavior of the mechanism clutch-helical two stage gear | |
| KR101944422B1 (ko) | 실차 드라이브라인 시스템 내 간극형태의 비선형해석을 위한 신개념 평활함수 효과 및 효용성 분석 방법 | |
| Zhao et al. | Numerical and experimental investigation of the torsional stiffness of flexible disc couplings | |
| Donmez et al. | Characterization of nonlinear rattling behavior of a gear pair through a validated torsional model | |
| Yoon et al. | Nonlinear frequency response analysis of a multistage clutch damper with multiple nonlinearities | |
| Chowdhury et al. | Lead mismatch calculation of a helical gear system mounted on balance shafts | |
| Donmez et al. | Vibro-impact motions of a three-degree-of-freedom geartrain subjected to torque fluctuations: Model and experiments | |
| Yoon et al. | Effect and feasibility analysis of the smoothening functions for clearance-type nonlinearity in a practical driveline system | |
| Yoon et al. | Nonlinear analysis of vibro-impacts for unloaded gear pairs with various excitations and system parameters | |
| Donmez et al. | An investigation of dynamic behavior of electric vehicle gear trains | |
| Firrone et al. | Modelling a friction damper: analysis of the experimental data and comparison with numerical results | |
| Atanasiu et al. | Nonlinear dynamics of steel/plastic gears of servomechanism structures | |
| Korka | An overview of mathematical models used in gear dynamics | |
| Armand et al. | A multi-scale approach for nonlinear dynamic response predictions with fretting wear | |
| Zhang et al. | Torsion vibration and parametric instability analysis of a spur gear system with time-varying and square nonlinearities | |
| Liu et al. | Rattle dynamic model and vibration behaviors of noncircular face gear | |
| Liu et al. | Nonlinear dynamic characteristic of gear system with the eccentricity |
Legal Events
| Date | Code | Title | Description |
|---|---|---|---|
| A201 | Request for examination | ||
| PA0109 | Patent application |
Patent event code: PA01091R01D Comment text: Patent Application Patent event date: 20170203 |
|
| PA0201 | Request for examination | ||
| PG1501 | Laying open of application | ||
| E902 | Notification of reason for refusal | ||
| PE0902 | Notice of grounds for rejection |
Comment text: Notification of reason for refusal Patent event date: 20180928 Patent event code: PE09021S01D |
|
| E701 | Decision to grant or registration of patent right | ||
| PE0701 | Decision of registration |
Patent event code: PE07011S01D Comment text: Decision to Grant Registration Patent event date: 20190123 |
|
| PR0701 | Registration of establishment |
Comment text: Registration of Establishment Patent event date: 20190125 Patent event code: PR07011E01D |
|
| PR1002 | Payment of registration fee |
Payment date: 20190128 End annual number: 3 Start annual number: 1 |
|
| PG1601 | Publication of registration | ||
| PR1001 | Payment of annual fee |
Payment date: 20211228 Start annual number: 4 End annual number: 4 |
|
| PR1001 | Payment of annual fee |
Payment date: 20231221 Start annual number: 6 End annual number: 6 |
|
| PR1001 | Payment of annual fee |
Payment date: 20241226 Start annual number: 7 End annual number: 7 |