CN104850532B - 压弯构件的极限荷载的计算方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提供了一种压弯构件的极限荷载的计算方法包括以下步骤：(1)将压弯构件等距划分为n个单元；(2)构造压弯构件的弯曲挠度函数；(3)计算压弯构件各单元端点的挠度和曲率；(4)计算截面上的弯矩和轴向压力；(5)建立非线性平衡方程组；(6)计算压弯构件的荷载；(7)计算迭代初始向量和迭代初始矩阵；(8)计算迭代向量和迭代矩阵；(9)根据收敛条件一判断迭代是否结束；(10)根据收敛条件二判断迭代是否结束。本发明的方法计算过程简单、数据处理量小、计算效率高且速度快。
Description
技术领域
本发明涉及一种结构设计中的数值计算方法，具体涉及一种压弯构件的极限荷载的计算方法。
背景技术
在现有的许多结构设计计算中均是以线弹性结构为基础的，即限定结构在弹性范围内工作。当结构的最大应力达到材料的极限应力σn时，结构将会破坏，故强度条件为：
σmax≤[σ]＝σn/K
式中，σmax为结构的最大工作应力；[σ]为材料的许用应力；σn为材料的极限应力，对于脆性材料为其强度极限σb，对于塑性材料为其屈服极限σs；K为安全系数。基于这种假定的结构分析称为弹性分析。
从结构强度角度来看，弹性分析具有一定的缺点，因为对于塑性材料的结构，尤其是超静定结构，在某一截面的最大应力达到屈服应力，某一局部已进入塑性阶段时，结构并不破坏，还能承受更大的荷载继续工作，因此按弹性分析设计不能正确地反映整个结构的安全储备，是不够经济合理的。因此充分地考虑材料的塑性性质，研究结构完全丧失承载能力时的极限状态时的荷载，即结构所能承受荷载的极限，则具有重大的理论与实际意义。
对于实际工程中的压弯构件，在计算极限荷载时要考虑许多因素，诸如多种截面形状、不同的截面尺寸和加工条件和与之对应的残余应力分布、构件的几何缺陷、端部约束以及不同的荷载作用条件及构件的二阶效应等因素，这样就需借助于数值法确定压弯构件的极限荷载。
目前，现有常用的压弯构件的极限荷载的计算方法是数值积分法，如图1所示，该方法可分两大步骤进行：第一步根据截面的内力平衡条件建立弯矩、压力和曲率之间的关系，第二步根据构件的变形曲线建立挠度、转角与曲率之间的关系，而曲率需与作用于截面的外力矩相对应，故可通过同一个截面的曲率把内外力和压力与挠度联系起来，达到截面的内外力平衡和变形协调。
通过数值计算得到压力P与构件中点挠度vm一一对应的数值。通过分级加载，用试算的方法形成P与vm之间的数值计算结果。然后利用极值条件即可获得压弯构件的极限荷载。因外力作用和构件两端的约束条件不同，研究构件达到极限状态时塑性发展分布在构件一定范围内的方法又称塑性区法。
数值积分法是一种最基本的数值计算方法，在求解单跨刚架平面内的极限荷载、求解压弯和受弯构件的弹塑性弯扭屈曲荷载等多类计算过程中均会涉及构件的平面内分析。
具体计算中采用泰勒级数作为分段插值函数，分别根据各单元中点处挠度yi、转角θi通过递推插值关系得到yi+1，再由M-P-Ф关系得到曲率Фi。递推计算中从构件的左端开始，先假定初始转角θ0，由插值关系计算出挠度y0，再计算出弯矩M，由M-P-Ф关系得到曲率Ф0，依次类推，计算到构件中点xm。如果θm＝0，即可得到所需的中点挠度vm；如果θm≠0，则需修正构件左端的初始角θ0，重复前面的计算步骤直到满足要求为止。改变荷载P值后再重复计算又可得到与之对应的vm，最终形成P-vm曲线。曲线的极值点给出构件的极限荷载Pu。由于极限荷载的计算过程需通过多次试算，因此要有合适的给定轴心压力P和初始角θ0的方法。
然而，第一，由于现有计算方法的程序在运行时，对构件每一点在所有迭代循环中均需通过调用M-P-Ф关系程序获得相应曲率，因而计算量大且收敛时间长；第二，由于在递推过程中需要单独计算转角θi，因而增加了数据存储量；第三，由于在插值过程中，需要用单元中点截面的弯矩及曲率作为单元弯矩及曲率的平均值，因而与直接计算端点处的弯矩与曲率相比更为繁琐；第四，对给定荷载P，需要给出适当的转角θ0，否则迭代循环收敛速度慢；第五，由于迭代循环多，如需增加构件单元数提高计算精度时，计算量会显著增加。故，现有的压弯构件的极限荷载的计算方法的递推算法过程复杂、迭代循环多、数据处理量大且收敛性较差等不足，从而导致现有程序的运行时间过长，使得数值模型在工程中的应用受到很大的限制。
因此，有必要提供一种压弯构件的极限荷载的计算方法来克服上述缺陷。
发明内容
本发明的目的是提供一种计算过程简单、数据处理量小、计算效率高且速度快的压弯构件的极限荷载的计算方法。
为了实现上述目的，本发明提供了一种压弯构件的极限荷载的计算方法包括以下步骤：
(1)将压弯构件等距划分为n个单元；
(2)采用三次样条基函数构造压弯构件的弯曲挠度函数，并选取样条基函数的系数使得弯曲挠度满足边界条件；
(3)根据构造的弯曲挠度函数，计算压弯构件各单元端点的挠度和曲率；
(4)根据压弯构件各单元端点的挠度和曲率计算作用在截面上的弯矩和轴向压力；
(5)根据内外力平衡条件，建立非线性平衡方程组，非线性平衡方程组包括力平衡方程和弯矩平衡方程；
(6)根据力平衡方程和弯矩平衡方程建立Broyden法迭代格式，计算初始向量和初始矩阵，并将计算得到的初始向量和初始矩阵代入Broyden法迭代格式计算迭代向量和迭代矩阵；
(7)根据Broyden法收敛条件||第二个迭代向量-第一个迭代向量||＜δ，其中，δ为小常数，判断Broyden法迭代是否结束，如果是，输出迭代收敛信息并进入步骤(8)，否则，判断迭代次数是否超过预设数值，如果是，输出迭代不收敛信息并进入步骤(8)，否则重新设定初始向量等于第一个迭代向量以及初始矩阵等于第一个迭代矩阵并返回步骤(6)；
(8)设定初始荷载和荷载增量，并根据设定的初始荷载和荷载增量计算压弯构件的荷载；
(9)根据极限荷载法收敛条件其中，δ为小常数，判断迭代是否结束，如果是，输出压弯构件的荷载作为极限载荷，否则，重新设定初始荷载等于当前的压弯构件的荷载以及初始荷载增量为原来的1/2并返回步骤(8)。
优选地，所述步骤(1)具体为：将压弯构件等距划分为n个单元，各个单元的端点坐标分别为xi＝(i-1)*a(i＝0，…，n+1)，n为自然数，其中，xi为各个单元的端点坐标，a为单元长度。
优选地，所述步骤(2)具体为：
根据公式构造压弯构件的弯曲挠度函数，其中，y(xi)为弯曲挠度，ck为样条插值系数，φk(xi)为三次B样条基函数构成的基函数，并选取插值参数使得弯曲挠度满足边界条件y(0)＝0,y′(L)＝0，其中，L为压弯构件长度。
优选地，所述步骤(2)中三次B样条基函数构成的基函数φk(xi)的计算方法如下：
其中，
φ3(xi)为三次B样条基函数，k＝0，…，n。
优选地，所述步骤(3)具体为：
根据公式计算压弯构件沿长度方向第i个单元端点的挠度，并根据公式计算压弯构件沿长度方向第i个单元端点的曲率，其中，yi为单元端点的挠度，y(xi)为弯曲挠度，Φi为单元端点的曲率，ck为样条插值系数，φk(xi)为三次B样条基函数构成的基函数。
优选地，所述步骤(4)具体为：
根据公式计算作用在沿长度方向第i个单元(坐标点xi)的截面上的弯矩，并根据公式计算作用在沿长度方向第i个单元截面上的轴向压力，其中，为沿长度方向第i个单元的截面上第j个单元的面积，上标i表示沿长度方向的单元坐标，下标j表示截面上的单元编号，Mi为作用在沿长度方向第i个单元截面弯矩，为沿长度方向第i个单元的轴向应变，Φi为沿长度方向第i个单元端点的曲率，为沿长度方向第i个单元上第j个单元的应力,为此单元中心距截面形心的距离，Pi为作用在沿长度方向第i个单元截面上的轴向压力。
优选地，所述步骤(5)具体为:
根据内外力平衡条件，即Pi＝P以及Mi＝M+P·yi＝P(e+yi)，建立力平衡方程和弯矩平衡方程。
力平衡方程为：
弯矩平衡方程为：
其中，Pi为作用在沿长度方向第i个单元截面上的轴向压力，P为端部作用荷载，Mi为作用在沿长度方向第i个单元截面上的弯矩，e为偏心距，yi为沿长度方向第i个单元截面形心的挠度，为轴向应变，ck为样条插值系数，φk(xn)为三次B样条基函数构成的基函数，为沿长度方向第i个单元的截面上第j个单元的面积，为沿长度方向第i个单元上第j个单元的应力,为此单元中心距截面形心的距离(i＝0，…，n)。
优选地，所述步骤(6)具体包括：
(61)令则力平衡方程和弯矩平衡方程可统一表示为：
Ψ(x)＝0
从而建立Broyden法迭代格式：
其中，sk＝xk+1-xk，tk＝Ψ(xk+1)-Ψ(xk)；
(62)将初始向量x0和初始矩阵H0代入迭代格式中计算迭代向量和迭代矩阵，其中，x1为迭代向量，H1为迭代矩阵，s0＝x1-x0，t0＝Ψ(x1)-Ψ(x0)。
优选地，所述步骤(6)中的初始向量x0和初始矩阵H0的计算方法如下：
(a)根据公式计算初始矩阵，其中，H0为初始矩阵，I(n+1)×(n+1)为n+1阶单位矩阵，其中，E为弹性模量，I为截面惯性矩，φn(xn)为三次B样条基函数构成的基函数；
(b)根据公式x0＝H0·P计算初始向量，其中，x0为初始向量，P＝(P,…,P,Pe,…,Pe)，P为端部作用荷载，e为偏心距。
优选地，所述步骤(8)具体为：根据公式P＝P0+ΔP计算压弯构件的荷载，其中，P0为压弯构件的初始端部作用荷载，ΔP为荷载增量，P为压弯构件的荷载。
与现有技术相比，一方面，本发明的压弯构件的极限荷载的计算方法能够结合三次样条函数解析与数值的双重特性，以及逼近精度高、未知量少和效率高等优点，利用样条函数的形式表达构件挠度及曲率，建立非线性平衡方程组，通过Broyden法计算得到构件挠度曲线及轴向应变等，相比于现有数值方法相比减少三个迭代循环，从而避免了嵌套循环，大大减少了计算量；另一方面，在计算非线性方程组时采用Broyden法，避免了计算非线性方程组的Jacobi矩阵，每次迭代仅对迭代矩阵进行秩数为1的矩阵修正，且计算是超线性收敛的，因而计算量小、收敛速度快，而且本发明的方法可应用于H型、T型、L型、十字型等不同截面型式压弯构件的极限荷载的计算，适用于包含残余应力的弹性、理想弹塑性等本构关系的材料弯压极限荷载的计算。
通过以下的描述并结合附图，本发明将变得更加清晰，这些附图用于解释本发明的实施例。
附图说明
图1为现有压弯构件的极限荷载的计算方法是数值积分法的流程图。
图2为两端铰接的压弯构件的示意图。
图3(a)为宽翼缘I形截面压弯构件的端部侧视图。
图3(b)为截面划分成多个单元的示意图。
图3(c)为宽翼缘I形截面压弯构件受压弯作用时单元的轴向应变和弯曲应变的分布示意图。
图4为Broyden法计算流程图。
图5为基于三次样条基函数的压弯构件极限荷载法的计算流程图。
具体实施方式
现在参考附图描述本发明的实施例，附图中类似的元件标号代表类似的元件。
如图2所示为两端铰接的压弯构件的示意图，其中，轴向压力P及弯矩M对称作用，构件沿轴线方向等距划分为n个单元段，每段长度为a，则各单元端点的坐标为xi，该点挠度为yi(i＝0，...，n)。
如图3(a)-3(c)所示为宽翼缘I形截面压弯构件受压弯作用的计算分析示意图。其中，图3(a)为构件的端部侧视图；如图3(b)所示，将坐标点xi处的截面划分为很多单元，以上标i表示截面的轴向位置，下标j表示截面上单元编号，则坐标点xi处的截面上第j个单元的面积为如图3(c)所示，当截面单元划分较细时，可认为该单元的轴向应变弯曲应变Φizj为常数。
本实施例的压弯构件的极限荷载的计算方法包括以下步骤：
(1)将压弯构件等距划分为n个单元，各个单元的端点坐标分别为xi＝(i-1)*a(i＝0，…，n+1)，n为自然数，其中，xi为各个单元的端点坐标，a为单元长度；
(2)根据公式构造压弯构件的弯曲挠度函数，其中，y(xi)为弯曲挠度，ck为样条插值系数，φk(xi)为三次B样条基函数构成的基函数，并选取插值参数使得弯曲挠度满足边界条件y(0)＝0,y′(L)＝0，其中，L为压弯构件长度，三次B样条基函数构成的基函数φk(xi)的计算方法如下：
其中，
φ3(xi)为三次B样条基函数，k＝0，…，n；
(3)根据公式计算压弯构件沿长度方向第i个单元端点的挠度，并根据公式计算压弯构件沿长度方向第i个单元端点的曲率，其中，yi为单元端点的挠度，y(xi)为弯曲挠度，Φi为单元端点的曲率，ck为样条插值系数，φk(xi)为三次B样条基函数构成的基函数；
(4)根据公式计算作用在沿长度方向第i个单元(坐标点xi)的截面上的弯矩，并根据公式计算作用在沿长度方向第i个单元截面上的轴向压力，其中，为沿长度方向第i个单元的截面上第j个单元的面积，上标i表示沿长度方向的单元坐标，下标j表示截面上的单元编号，Mi为作用在沿长度方向第i个单元截面弯矩，为沿长度方向第i个单元的轴向应变，Φi为沿长度方向第i个单元的曲率，为沿长度方向第i个单元上第j个单元的应力,为此单元中心距截面形心的距离，Pi为作用在沿长度方向第i个单元截面上的轴向压力；
(5)根据内外力平衡条件，即Pi＝P以及Mi＝M+P·yi＝P(e+yi)，建立力平衡方程和弯矩平衡方程，
力平衡方程为：
弯矩平衡方程为：
其中，Pi为作用在沿长度方向第i个单元截面上的轴向压力，P为端部作用荷载，Mi为作用在沿长度方向第i个单元截面上的弯矩，e为偏心距，yi为沿长度方向第i个单元截面形心的挠度，为轴向应变，ck为样条插值系数，φk(xn)为三次B样条基函数构成的基函数，为沿长度方向第i个单元的截面上第j个单元的面积，为沿长度方向第i个单元上第j个单元的应力,为此单元中心距截面形心的距离(i＝0，…，n)；
(6)令则力平衡方程和弯矩平衡方程可统一表示为：
Ψ(x)＝0
从而建立Broyden法迭代格式：
其中，sk＝xk+1-xk，tk＝Ψ(xk+1)-Ψ(xk)；
(7)根据公式计算初始矩阵，其中，H0为初始矩阵，I(n+1)×(n+1)为n+1阶单位矩阵，其中，E为弹性模量，I为截面惯性矩，φn(xn)为三次B样条基函数构成的基函数；
(8)根据公式x0＝H0·P计算初始向量，其中，x0为初始向量，P＝(P,…,P,Pe,…,Pe)，P为端部作用荷载，e为偏心距；
(9)将初始向量x0和初始矩阵H0代入迭代格式中计算迭代向量、迭代矩阵以及s1＝x2-x1，其中，x1为迭代向量，H1为迭代矩阵，s0＝x1-x0，t0＝Ψ(x1)-Ψ(x0)；
(10)根据Broyden法收敛条件||S1＝X2-X1||＜δ，其中，δ为小常数，判断Broyden法迭代是否结束，如果是，输出迭代收敛信息并进入步骤(11)，否则，判断迭代次数是否超过预设数值，如果是，输出迭代不收敛信息并进入步骤(11)，否则重新设定初始向量等于第一个迭代向量以及初始矩阵等于第一个迭代矩阵并返回步骤(6)；
(11)根据公式P＝P0+ΔP计算压弯构件的荷载，其中，其中，P0为压弯构件的初始端部作用荷载，ΔP为荷载增量，P为压弯构件的荷载；
(12)根据极限荷载法收敛条件ΔP/P＜δ，其中，δ为小常数，判断迭代是否结束，如果是，输出压弯构件的荷载作为极限载荷，否则，重新设定初始荷载等于当前的压弯构件的荷载以及初始荷载增量为原来的1/2并返回步骤(11)。
具体地，三次样条基函数插值方法如下：
将构件从端点到跨中点(长度为L)等距划分为n个单元，单元长度为a＝L/n(如图1所示)。则各单元端点坐标分别为
xi＝(i-1)*a(i＝0，…，n+1) (1)
设挠度函数可以用三次样条基函数逼近：
其中φk为三次B样条基函数构成的基函数：
为三次B样条基函数：
该挠度函数自动满足边界条件y(0)＝0，y′(L)＝0。
由于基函数φk(x)的局部紧凑，若要计算某样条结点xi的位移值，上式中最多只有三项不为零，即
y(xi)＝ci-1φi-1(xi)+ciφi(xi)+ci+1φi+1(xi) (3)
由于φk(x)在结点上的值φk(xi)是一些简单的现成的数，故需要的计算量很小。
构件曲率可以表示为
各单元端点的挠度及曲率可表示为
具体地，端部作用荷载P和弯矩M的推导过程如下：
以宽翼缘I型钢为例，端部作用荷载P和弯矩M。考虑压弯构件，即假设弯矩由端部荷载偏心产生，偏心距e，则M＝Pe。残余应力σr沿构件长度保持不变，弹性模量为E，截面惯性矩为I。
将坐标点xi处的截面划分为很多单元。下面以上标i表示截面的坐标，下标j表示截面上单元编号，则坐标点xi处的截面上第j个单元的面积为该单元的应变是轴向应变弯曲应变Φizj，和残余应变εri＝σri/E三部分的代数和，即
在此以σy表示屈服应力，任一单元面积上的应力均取平均值，考虑理想弹塑性本构关系，即当时，
当时，
当时，
由此得到作用在截面i上的荷载及弯矩：
从式(7)可以看出，弯矩Mi和轴向压力Pi均为轴向应变和曲率Φi的非线性函数，即
具体地，非线性平衡方程组的推导过程如下：
根据内外力平衡条件，认为各截面上轴向荷载相同，即Pi＝P；各截面上弯矩为Mi＝M+P·yi＝P(e+yi)。由此可建立平衡方程组进行求解。
以各截面上轴向应变和样条插值系数ck(k＝0,…,n)为未知变量，共2n+2个。将式(5)、(6)代入(10)、(11)可以建立各点截面上的平衡方程。其中力平衡方程(n+1个)：
弯矩平衡方程(n+1个)：
该非线性方程组共有2(n+1)个未知数，2(n+1)个方程，因此在给定外荷载P的情况下，可以通过数值计算得到各截面轴向应变和样条插值系数ck，进而计算出构件挠度曲线及跨中挠度vm。
具体地，Broyden法计算流程如下：
令则方程组(12)和(13)可统一表示为：
Ψ(x)＝0 (14)
因此可以建立Broyden法迭代格式：
其中sk＝xk+1-xk，tk＝Ψ(xk+1)-Ψ(xk)。
根据迭代流程，Broyden法计算时需要初始向量x0和初始矩阵H0。可以采用弹性压弯方程组的Jacobi矩阵逆作为H0。
其中I(n+1)×(n+1)为n+1阶单位矩阵，B(n+1)×(n+1)的具体形式如下。
令荷载向量为P＝(P,…,P,Pe,…,Pe)，则初始向量x0可由弹性压弯方程组解出。
x0＝H0·P (18)
将x0和H0代入式(15)，得到x1和H1。如果||s1||足够小，满足精度要求，则计算结束，输出迭代收敛信息，否则，判断迭代次数是否超过预设数值，如果是，输出迭代不收敛信息，否则进入下一步迭代。计算流程如图4所示。计算结束后由式(5)计算出跨中挠度vm。
具体地，极限荷载的推导过程如下：
采用荷载增量法计算压弯构件的极限荷载。
设定荷载增量ΔP，令P＝P0+ΔP，进入迭代计算；如计算不收敛，则令ΔP＝ΔP/2，继续进行P＝P0+ΔP的压弯计算；直到ΔP/P＜δ(δ为小常数)，即认为计算结束，P为极限荷载。具体计算流程如图5所示。δ计算上根据需要可取为1×10-3或1×10-6等小常数。
最后应当说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非对其限制，尽管参照上述实施例对本发明进行了详细的说明，所属领域的普通技术人员应当理解：依然可以对本发明的具体实施方式进行修改或者等同替换，而未脱离本发明精神和范围的任何修改或者等同替换，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。
Claims (10)
1.一种压弯构件的极限荷载的计算方法，其特征在于，包括以下步骤：
(1)将压弯构件等距划分为n个单元；
(2)采用三次样条基函数构造压弯构件的弯曲挠度函数，并选取样条基函数的系数使得弯曲挠度满足边界条件；
(3)根据构造的弯曲挠度函数，计算压弯构件各单元端点的挠度和曲率；
(4)根据压弯构件各单元端点的挠度和曲率计算作用在截面上的弯矩和轴向压力；
(5)根据内外力平衡条件，建立非线性平衡方程组，非线性平衡方程组包括力平衡方程和弯矩平衡方程；
(6)根据力平衡方程和弯矩平衡方程建立Broyden法迭代格式，计算初始向量和初始矩阵，并将计算得到的初始向量和初始矩阵代入Broyden法迭代格式计算迭代向量和迭代矩阵；
(7)根据Broyden法收敛条件||第二个迭代向量-第一个迭代向量||＜δ，其中，δ为小常数，判断Broyden法迭代是否结束，如果是，输出迭代收敛信息并进入步骤(8)，否则，判断迭代次数是否超过预设数值，如果是，输出迭代不收敛信息并进入步骤(8)，否则重新设定初始向量等于第一个迭代向量以及初始矩阵等于第一个迭代矩阵并返回步骤(6)；
(8)设定初始荷载和荷载增量，并根据设定的初始荷载和荷载增量计算压弯构件的荷载；
(9)根据极限荷载法收敛条件其中，δ为小常数，判断迭代是否结束，如果是，输出压弯构件的荷载作为极限载荷，否则，重新设定初始荷载等于当前的压弯构件的荷载以及初始荷载增量为原来的1/2并返回步骤(8)。
2.根据权利要求1所述的压弯构件的极限荷载的计算方法，其特征在于：所述步骤(1)具体为：将压弯构件等距划分为n个单元，各个单元的端点坐标分别为xi＝(i-1)*a，其中i＝0，…，n+1，n为自然数，其中，xi为各个单元的端点坐标，a为单元长度。
3.根据权利要求2所述的压弯构件的极限荷载的计算方法，其特征在于：所述步骤(2)具体为：
根据公式构造压弯构件的弯曲挠度函数，其中，y(xi)为弯曲挠度，ck为样条插值系数，φk(xi)为三次B样条基函数构成的基函数，并选取样条基函数的系数使得弯曲挠度满足边界条件y(0)＝0,y′(L)＝0，其中，L为压弯构件的长度。
4.根据权利要求3所述的压弯构件的极限荷载的计算方法，其特征在于：所述步骤(2)中三次B样条基函数构成的基函数φk(xi)的计算方法如下：
其中，
φ3(xi)为三次B样条基函数，a为单元长度，k＝0，…，n。
5.根据权利要求1-4中任意一项所述的压弯构件的极限荷载的计算方法，其特征在于：所述步骤(3)具体为：
根据公式计算压弯构件沿长度方向第i个单元端点的挠度，并根据公式计算压弯构件沿长度方向第i个单元端点的曲率，其中，yi为单元端点的挠度，y(xi)为弯曲挠度，Φi为单元端点的曲率，ck为样条插值系数，φk(xi)为三次B样条基函数构成的基函数。
6.根据权利要求5所述的压弯构件的极限荷载的计算方法，其特征在于：所述步骤(4)具体为：
根据公式计算作用在沿长度方向第i个单元，坐标点xi，的截面上的弯矩，并根据公式计算作用在沿长度方向第i个单元截面上的轴向压力，其中，为沿长度方向第i个单元的截面上第j个单元的面积，上标i表示沿长度方向的单元坐标，下标j表示截面上的单元编号，Mi为作用在沿长度方向第i个单元截面弯矩，为沿长度方向第i个单元的轴向应变，Φi为沿长度方向第i个单元端点的曲率，为沿长度方向第i个单元上第j个单元的应力,为此单元中心距截面形心的距离，Pi为作用在沿长度方向第i个单元截面上的轴向压力。
7.根据权利要求6所述的压弯构件的极限荷载的计算方法，其特征在于：所述步骤(5)具体为:
根据内外力平衡条件,即Pi＝P以及Mi＝M+P·yi＝P(e+yi)，建立力平衡方程和弯矩平衡方程，
力平衡方程为：
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</mfenced>
其中，Pi为作用在沿长度方向第i个单元截面上的轴向压力，P为端部作用荷载，Mi为作用在沿长度方向第i个单元截面上的弯矩，e为偏心距，yi为沿长度方向第i个单元端点的挠度，为轴向应变，ck为样条插值系数，φk(xn)为三次B样条基函数构成的基函数，为沿长度方向第i个单元的截面上第j个单元的面积，为沿长度方向第i个单元上第j个单元的应力,为此单元中心距截面形心的距离，其中i＝0，…，n。
8.根据权利要求7所述的压弯构件的极限荷载的计算方法，其特征在于：所述步骤(6)具体包括：
(61)令则力平衡方程和弯矩平衡方程可统一表示为：
Ψ(x)＝0
从而建立Broyden法迭代格式：
<mfenced open = "{" close = "">
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</mrow>
</mfrac>
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</mtr>
</mtable>
</mfenced>
其中，sk＝xk+1-xk，tk＝Ψ(xk+1)-Ψ(xk)；
(62)将初始向量x0和初始矩阵H0代入迭代格式计算迭代向量和迭代矩阵，其中，x1为迭代向量，H1为迭代矩阵，s0＝x1-x0，t0＝Ψ(x1)-Ψ(x0)。
9.根据权利要求8所述的压弯构件的极限荷载的计算方法，其特征在于：所述步骤(6)中的初始向量x0和初始矩阵H0的计算方法如下：
(a)根据公式计算初始矩阵，其中，H0为初始矩阵，I(n+1)×(n+1)为n+1阶单位矩阵，其中，E为弹性模量，I为截面惯性矩，φn(xn)为三次B样条基函数构成的基函数；
(b)根据公式x0＝H0·P计算初始向量，其中，x0为初始向量，P＝(P,…,P,Pe,…,Pe)，P为端部作用荷载，e为偏心距。
10.根据权利要求9所述的压弯构件的极限荷载的计算方法，其特征在于：所述步骤(8)具体为：根据公式P＝P0+ΔP计算压弯构件的荷载，其中，P0为压弯构件的初始端部作用荷载，ΔP为荷载增量，P为压弯构件的荷载。
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